Báo cáo khoa học: "những đóng góp mới trong ph-ơng pháp ma trận chuyển tiếp để tính thanh và hệ thanh dạng dải" pdf

những đóng góp mới trong phơng pháp ma trận
chuyển tiếp để tính thanh v hệ thanh dạng dải



gS. vũ đình lai
Bộ môn Sức bền vật liệu - ĐH GTVT
Tóm tắt: Phơng pháp ma trận chuyển tiếp l phơng pháp rất hiệu quả để tính thanh
hoặc siêu thanh dạng dải. Để giải những thanh cong không gian, trớc đây, chúng tôi đã đề ra
những ma trận tuyển nhằm mục đích tổ chức việc tính toán, thiết lập công thức tính vec tơ trạng
thái dới dạng tờng minh.
Trong công trình ny, chúng tôi tiếp tục hon thiện phơng pháp bằng cách khai thác triệt
để các mảng trong ma trận nút. Điều ny lm cho thuật toán đơn giản hơn nhiều.
Summary: New contribution in the Matrix transfert method.
Transfert matrix method is the most effective method in the caculating of a strip shape
bar or superbar. Before, we have proposed different types of select matrix in order to
separating the condition and unknown components, that permits to establish the formula of the
state vector in explicite form.
In this article, our method is more perfected by thorough exploiting all partioned matrices
in the point matrix. Finally our new algorithm for the calculating of the state vector is more
simple.
1. vi nét về ý tởng hon thiện phơng pháp
Phơng pháp ma trận chuyển tiếp (MTCT) là một trong những phơng pháp giải tích cơ
bản để tính hệ thanh. Nó đặc biệt có hiệu quả khi tính thanh dạng dải (thẳng, cong, không gian).
ứng dụng vào bài toán ổn định, dao động, nó cho phép giải một loạt các trờng hợp phức tạp.
Đợc hình thành từ giữa thế kỷ trớc, phơng pháp MTCT đã đợc nhiều tác giả phát triển
theo những hớng khác nhau và đã thu đợc nhiều kết quả [1, 2, 3, 4, 5].
Trớc đây, sử dụng phơng pháp này để nghiên cứu thanh cong phức tạp, chúng tôi đã
đa ra những ma trận tuyển (ẩn và điều kiện) nhằm mục đích tổ chức việc thiết lập các phơng
trình tính toán [6, 7, 8, 9]. Việc này làm cho phơng pháp trở thành đơn giản, vectơ trạng thái
của thanh đợc viết dới dạng tờng minh bằng một công thức. Trong một chuyên đề giới thiệu

gần đây, chúng tôi đã giới thiệu vectơ trạng thái của thanh bất kỳ có dạng:
'a011i1iiaii
WNL LN)s(KLW)s(K)s(W

=

= (1)
trong đó:

=




bj
1n
dj
1
aj
1n
djaba
TTTTTTW
(2)

Trong công trình này, với ý tởng hoàn thiện phơng pháp bằng cách giảm bớt các ma trận
xuất phát tức là giảm công chuẩn bị, đã khai thác thêm các mảng cha đợc sử dụng hết trong
ma trận nút, đồng thời sử dụng các phơng trình cân bằng tĩnh - động liên quan đến khái niệm
các mômen bậc cao.

Chúng tôi đã không sử dụng đến các ma trận tuyển điều kiện T
d
từ đó công thức tính véc tơ
trạng thái đợc đơn giản hơn nhiều.
ii. các véc tơ v ma trận xuất phát
Trong các phơng pháp tính dùng MTCT ngoài những ẩn ở đầu trái (gốc xuất phát để tính
toán) còn có ẩn ở những liên kết ngoài cứng và liên kết trong trơn. Những giá trị không biết ở
đầu phải (nút cuối thanh) thờng đợc tính ra trong bớc 2 của việc giải bài toán. Trong thuật
toán mới để đồng thời giải quyết thuận tiện trờng hợp khi ở nút cuối có liên kết đàn hồi, các giá
trị không biết tại đây dù trờng hợp nào cũng đợc coi là ẩn và đợc tính trong bớc 1. Nh vậy
số ẩn n của hệ bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 2 lần số k của bài toán n = 2k + m, trong đó m
là số ẩn ở giữa hai nút đầu và cuối.
Trong quan hệ trên, k là số lợng các yếu tố nội lực hoặc chuyển vị trên mặt cắt của bài
toán, thí dụ:
- Thanh thẳng bị uốn phẳng ngang k = 2
- Thanh thẳng bị uốn ngang + kéo, nén k = 3
- Thanh không gian phẳng (uốn + xoắn) k = 3
- Thanh không gian k = 6
- v.v
Dới đây giới thiệu các dạng véc tơ và ma trận đợc sử dụng trong phơng pháp. Những
đại lợng này, có cái đã đợc trình bày trong các tài liệu nghiên cứu về phơng pháp ma trận
chuyển tiếp, thí dụ ma trận nhịp L
i
, có cái do chúng tôi đã đề xuất trớc đây, thí dụ các ma trận
tuyển T
a
T
b
. Tuy nhiên, để đảm bảo tính hệ thống, chúng tôi vẫn nhắc lại cùng với những đại
lợng mới hoàn thiện, đặc biệt là ma trận nút N

i
.
Véc tơ ẩn w
a
là véc tơ ghi các ẩn từ nút đầu đến nút cuối. Kích thớc: n
w
a
= { ẩn nút 0 (k) (m) gian trun nút các ẩn
yể
u tạo
g ẩn nút n (k) }
Véc tơ tu n biết T
b
có kích thớc (n + k
+ 1) và cấ nh sau:
T
a
có kích thớc
(n + nh sau (xem hình
bên)
t đầu (nút 0).
T
a
=
T
b
= {0 0 0 0 1}
Véc tơ tuyển biết
k + 1)*n và cấu tạo

.
Trong đó mảng AD phụ thuộc dạng liên
kết nú
0 00
1
0 10
0 01
0
0AD

2k
n - k +1

Véc tơ ẩn tính toán W
a
có kích thớc (n + k + 1).
(k) n nút (m)ẩn gian
W
a
= {ẩn nút 0 (2k) tru nút các ẩn ng 1}
Nh vậy theo
W
a
= T
b
+ T
a
W
a
Ma trận nhịp L

i
có kích thớc (n + k + 1
tơ trạng thái gồm 2k thành phần ở đầu (trái) một
đoạn
L
i
=
định nghĩa:
)
2
.
Tác dụng của ma trận nhịp là chuyển véc
thanh đến cuối (phải) đoạn thanh đó, thể hiện bằng mảng C đồng thời cộng thêm ảnh
hởng của các yếu tố phân bố đợc ghép vào bởi mảng b. Ma trận nhịp có dạng sau đây:

10
0
1
.
.
1
1
0
b0C


ấu tạo mảng C phụ thuộc nghiệm các phơng trình vi phân cơ bản đoạn thanh giải ra với
các
h thớc (n + k + 1)
2

.


1
N
i
=
0

Ma trận nút có những mảng với các tá sa
2k
2k
C
điều kiện đầu đoạn.
Ma trận nút N
i
có kíc
Dạng tổng quát của ma trận nút nh sau:

Đ A B

1
N
i
= G .
.
1
0 1
c dụng u đây:

Mảng Đ (2k)
2
. Mảng này có tác dụng chuyển véc tơ trạng thái từ bên trái nút sang bên phải
nút.
. Mảng này có tác dụng đa các yếu tố chuyển vị cỡng bức (v, ), mômen tập
trung
t (trừ nút đầu, ở đấy các ẩn đã
đợc
ở nút đầu). Việc gửi thực hiện
bằng
ày ở nút cuối giảm đi
k giò
Nếu liên kết tại nút là đàn hồi thì mảng này đợc thêm phản lực liên kết ngoài đa vào nhờ
độ cứng c
v
, - c

; hoặc đợc thêm số gia chuyển vị do có liên kết trong đàn hồi đa vào nhờ độ
mềm f
v
, - f

.
Mảng B
hoặc lực (M, P) tại nút vào véc tơ trạng thái bên phải nút.
Mảng A. Mảng này có tác dụng đa các yếu tố ẩn tại nú
đa vào nhờ mảng AD) vào véc tơ trạng thái bên phải nút.
Mảng G. Đây là mảng gửi các điều kiện (không để điều kiện
việc chuyển số 1 của một dòng đến cột tơng ứng với loại điều kiện.
Vì điều kiện của nút cuối cùng không cần gửi vào mảng G nên mảng n

ng. Nó có kích thớc m*(n + k + 1) và cấu tạo nh sau:
10 00
01 00
1
00
1 00

Nh vậy kích thớc ma trận nút cuối N
n
có kích thớc n*(n + k + 1).
đợc dới dạng tờng
minh
iii. công thức cơ bản
véc tơ ẩn tính toán W
a
. Chuyển tiếp véc tơ này cùng các thông số
chuy

(4)
trong đó:

n
= N
n
L
n

của
(6)
Thay W

a
bằng (3), ta đợc:

n
(T
b
+ T
a
W
a
) = 0 (7)
Vì việc sử dụng phơng pháp ma trận chuyển tiếp cho phép viết
yếu tố cần tính, nên việc chuẩn bị các véc tơ ma trận xuất phát trở thành công việc chủ
yếu. Trong thực tế có thể lập catalô các mảng giới thiệu ở trên để ngời làm toán có thể tra và
chuẩn bị dữ liệu một cách dễ dàng, thí dụ xem [10].
Giả sử bài toán n ẩn,
ển vị và lực đã biết nhận đợc ở các nút thông qua mảng B hoặc ở các đoạn thanh thông
qua mảng b đến bên phải nút cuối cùng n ta đợc véc tơ:

n
W
a
N
n-1
N
1
L
1
N
0

(5)
Véc tơ (4) gồm (2k + m) thành phần, trong đó 2k thành phần ở các dòng trên là thành phần
véc tơ trạng thái bên phải nút cuối. Đấy là những tổng mômen các bậc của các yếu tố tĩnh -
động của thanh đối với mặt cắt phải của nút cuối cùng. Những mômen bậc cao này triệt tiêu
(xem [11]). Còn m thành phần ở dới từ 2k + 1 đến n là những điều kiện (thành phần triệt tiêu
của véc tơ trạng thái) ở các nút trung gian. Vì vậy ta có phơng trình:

n
W
a
= 0

Từ đó, rút ra véc tơ ẩn tính toán W
a
đơ

(8)
Để minh hoạ việc sử dụng phơ t
lập cá
n giản hơn nhiều so với (2):
W
a
= T
b
(
n
T
a
)
-1

n
T
b
ng pháp MTCT dạng mới, dới đây là thí dụ về việc thiế
c ma trận

Hình 1.
Giải hệ vẽ trên hình 1.

ở đây, n = 5, k = 2.
w
a
= { v
0

0
R
1
v
3

3
}

==
1
0
0
0
0
0
0
0
T
00000
10000
01000
00100
00000
00000
00010
00001
T
ba

10000000
01000000
00100000
00010001
00001000
00000100
00000010

00000001
N
10000000
01000000
00100000
00010000
00001000
M00001c0
00000010
00000001
N
1
10
0
=

=




00010000
P000100c
00000100
01000010
00100001
N
10000000
01000000
00100000

00010000
00001000
M0000100
00000f10
00000001
N
3v
3
2
2
2
=


=


iv. kết luận
Nh ở trên đã trình bày công thức véc tơ ẩn (8) đã đợc hoàn thiện bằng cách khai thác hết
các mảng của ma trận nút, do đó thuật toán tính thanh có thể nói là tối giản. Với công thức cơ
bản này hoàn toàn có thể mở rộng cho các loại thanh và siêu thanh dạng dải, thanh cong không
gian có hoặc không có nền đàn hồi, các bài toán ổn định, dao động của những thanh này

Tài liệu tham khảo
[1] Albigès M., Coin A., Journet H. Etude des structures par la méthode matricielle. Eyrolles.
Paris, 1
969.
[2]
Géry P. M., Calgaro J. A. Les matrices - transfert dans le calcul des structures. Eyrolles. Paris. 1973.
méthode des matrices transfert. Annales de L Institute technique des bâtiments et des

tr
kva.
1972.
[6
] V. Đ. Lai. Ma trận chuyển tính thanh cong không gian. Tập san KHKT Giao thông vận tải. 5 - 1978.
0.
[3] Lacroix R. La
avaux publics. 1967, 20, N
0
231 232, 345 364.
[4] Pestel E. C., Leckie F. A. Matrix methods in Elastomechanics. Mc Graw - Hill Book Company Inc.
New York. 1963.
[5]
Ponomariev K. K. Raxchet elementov kontrukxhij x primeneniem Ehxh VM. Masinoxtroenie. Mox
[7]
V. Đ. Lai. Tính thanh cong không gian liên tục bằng ma trận chuyển. Thông tin KHKT trờng ĐHGT
Đờng sắt và Đờng bộ. 4 - 1978.
[8] V. Đ. Lai. Tính thanh cong không gian liên tục dới tác dụng của nhiệt độ thay đổi. Thông tin KHKT
trờng ĐHGT Đờng sắt và Đờng bộ. 4 1978.
[9]
V. Đ. Lai. Ma trận chuyển ảnh hởng của tải trọng phân bố trên thanh cong không gian. Thông tin
KHKT trờng ĐHGT Đờng sắt và Đờng bộ. 1 198
[10]
Ivovich V. A. Perekhodnue matrixhu v dinamike uprugikh xixtem. Masinoxtroenie. Moxkva. 1957.
[11]
V. Đ. Lai. Về phơng pháp tính chuyển vị của dầm thẳng bằng các mômen bậc cao. Thông báo các
Trờng Đại học Xây dựng và GTVT. Bộ Đại học và Trung học chuyên nghiệp. Hà Nội. 1 - 1971
Ă