Econometrics-chapter2 docx

08/06/14 Thành Thái - NTU 1
Chương 2:
Chương 2:
MÔ HÌNH HỒI QUI HAI
MÔ HÌNH HỒI QUI HAI
BIẾN
BIẾN
:
:


VẤN ĐỀ ƯỚC LƯNG
VẤN ĐỀ ƯỚC LƯNG


Prepared by Pham Thanh Thai
Prepared by Pham Thanh Thai
Economics Faculty - NTU
Economics Faculty - NTU
08/06/14 Thành Thái - NTU 2
I. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI
THIỂU THÔNG THƯỜNG (OLS).
Ta nhắc lại hàm PRF hai biến:
i 1 2 i i
Y =β +β X +U
Tuy nhiên, như
đã lưu ý trong Chương 1, hàm PRF không thể quan
sát trực tiếp được. Ta ước lượng nó từ hàm SRF:
i 1 2 i i
ˆ ˆ
Y = β + β X + e

i i i
ˆ
Y =Y + e
Hay:
08/06/14 Thành Thái - NTU 3
Nhưng ta sẽ
xác đònh hàm SRF như thế nào? Để thấy được điều này, ta
hãy tiến hành như sau. Đầu tiên, ta biểu thò SRF thành :
i i i
ˆ
e =Y -Y
I. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI
THIỂU THÔNG THƯỜNG (OLS).
i 1 2 i
ˆ ˆ
=Y -β -β X
08/06/14 Thnh Thỏi - NTU 4
X
2
X
1
X
3
X
4
X
Y

1
e
2
e










3
e
4
e

i21i
X

Y

+=
I. PHệễNG PHAP BèNH PHệễNG TOI
THIEU THONG THệễỉNG (OLS).
08/06/14 Thành Thái - NTU 5
I. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI
THIỂU THÔNG THƯỜNG (OLS).
Theo nguyên lý của phương pháp OLS để tìm
SRF, chúng ta phải cực tiểu tổng bình phương các
phần dư, có nghóa là:
2 2
i i i
2
i 1 2 i
ˆ
e = (Y -Y )
ˆ ˆ
= (Y -β -β X ) Min
→
∑ ∑
∑

Chúng ta có thể xem tổng bình phương các phần dư
là một hàm theo và . Nghóa là:
1
β
$
2
β
$
08/06/14 Thành Thái - NTU 6
2
i 1 2
ˆ ˆ
e =f(β ,β )
∑
Quá trình vi phân cho các phương trình sau để ước
lượng và :
1
β
$
2
β
$
I. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI
THIỂU THÔNG THƯỜNG (OLS).
i 1 2 i
ˆ ˆ
Y =nβ +β X
∑ ∑
2
i i 1 i 2 i

ˆ ˆ
Y X =β X +β X
∑ ∑ ∑
08/06/14 Thành Thái - NTU 7
Trong đó: n là
cỡ mẫu. Phương trình này được gọi là cáùc phương trình
chuẩn.
Giải hệ phương trình chuẩn này, ta thu được:
i i i
i i i i
i
2
2
2 2
2
i i
i
i
n X Y - X Y
(X -X)(Y -Y)
ˆ
β = = =
(X -X)
n X -( X )
x y
x
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑

I. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI
THIỂU THÔNG THƯỜNG (OLS).
Và:
1 2
ˆ ˆ
β = Y - β X
08/06/14 Thành Thái - NTU 8
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG
PHÁP OLS
- SRF đi qua các giá trò trung bình mẫu của Y và X.
- Giá trò trung bình Y ước lượng bằng giá trò trung
bình của Y thực. Nghóa là:
ˆ
Y = Y
- Giá trò trung bình của các phần dư bằng 0.
i
e
- Các phần dư là không tương quan với Y
i
ước
lượng. Nghóa là:
i
e
µ
i
i
e Y =0
∑
08/06/14 Thành Thái - NTU 9
- là duy nhất ứng với n cặp quan sát cho

trước.
1 2
β ,β
$ $
- Các phần dư là không tương quan với X
i
, nghóa
là:
i i
e X =0
∑
i
e
- lần lượt là các ước lượng điểm của β
1
, β
2

và là các đại lượng ngẫu nhiên.
1 2
β ,β
$ $
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG
PHÁP OLS
08/06/14 Thành Thái - NTU 10
III. CÁC GIẢ THIẾT CỦA PHƯƠNG
PHÁP OLS
Giả thiết 1: Mô hình hồi quy tuyến tính. Mô hình hồi quy là
tuyến tính theo các thông số.
Giả thiết 2: Các giá trò X được cố đònh trong việc lấy mẫu

lập lại. Các giá trò rút ra bởi biến hồi qui độc lập X được coi
là cố đònh trong các mẫu lập lại. Nói rõ hơn, X được giả thiết
là không ngẫu nhiên.
Giả thiết 3: Giá trò trung bình bằng không của các nhiễu
U
i
. Cho trước giá trò của X, giá trò trung bình hay kỳ vọng của
các số hạng nhiễu U
i
bằng 0. Nói rõ hơn, giá trò trung bình có
điều kiện của U
i
là 0. Về mặt ký hiệu, ta có: =0
i i
E(U X )
08/06/14 Thành Thái - NTU 11
III. CÁC GIẢ THIẾT CỦA PHƯƠNG
PHÁP OLS
Bằng hình học, giả thiết này có thể được vẽ trên hình
sau, nó chỉ ra một vài giá trò của biến X và tổng thể Y liên kết
với chúng. Như đã thấy, mỗi một tổng thể Y tương ứng với
một X cho trước được phân phối xung quanh giá trò trung bình
của nó (có thể thấy được nhờ những chấm được khoanh tròn
trên PRF) cùng với một vài giá trò Y ở phía trên và dưới nó.
Khoảng cách phía trên và dưới đối với giá trò trung bình
không là gì nhưng U
i
và cái mà giả thiết 3 đòi hỏi là giá trò
trung bình của các độ lệch này tương ứng với bất kỳ X đã cho
phải bằng 0.

08/06/14 Thành Thái - NTU 12
X
Y
PRF =
Hàm Hồi qui tổng thể
i21
X
β+β
Mean (Trung bình)
X
1
X
2
X
3
X
4





+
i
u






−
i
u
III. CÁC GIẢ THIẾT CỦA PHƯƠNG
PHÁP OLS
08/06/14 Thành Thái - NTU 13
III. CÁC GIẢ THIẾT CỦA PHƯƠNG
PHÁP OLS
Giả thiết 4: Phương sai có điều kiện không đổi hay
phương sai bằng nhau của U
i
. Cho các giá trò của X,
phương sai của U
i
sẽ như nhau đối với tất cả mọi quan
sát. Nghóa là, các phương sai có điều kiện của U
i
đều
đồng nhất. Về mặt ký hiệu, ta có:
2
i i i i i
2
i i
2
Var(U X )=E[U -E(U ) X ]
=E(U X )
=σ
08/06/14 Thành Thái - NTU 14
III. CÁC GIẢ THIẾT CỦA PHƯƠNG
PHÁP OLS

Hình 2.3: Phương sai có điều kiện không đổi
08/06/14 Thành Thái - NTU 15
III. CÁC GIẢ THIẾT CỦA PHƯƠNG
PHÁP OLS
Hình 2.4: Phương sai có điều kiện thay đổi
08/06/14 Thành Thái - NTU 16
III. CÁC GIẢ THIẾT CỦA PHƯƠNG
PHÁP OLS
Giả thiết 5: Không có tự tương quan giữa các
nhiễu. Cho trước hai giá trò X bất kỳ, X
i
và X
j
(i ≠ j),
tương quan giữa U
i
và U
j
bất kỳ (i ≠ j) bằng 0. Về
mặt ký hiệu ta có:
i j i j i i i j j j
i i j j
Cov(U ,U X ,X )=E[U -E( U ) X ][U -E(U ) X ]
=E(U X )(U X )
=0
08/06/14 Thành Thái - NTU 17
III. CÁC GIẢ THIẾT CỦA PHƯƠNG
PHÁP OLS
Giả thiết 6: Đồng phương sai zero giữa U
i

và X
i
,
hay là E(U
i
X
i
) = 0.
i i i i i i
i i i
i i i i
i i
Cov(U ,X )=E[U -E(U )][X -E(X )]
=E[U (X -E(X ))]
=E(U X )-E(X )E(U )
=E(U X )
=0
Về mặt ký hiệu ta có:
08/06/14 Thành Thái - NTU 18
III. CÁC GIẢ THIẾT CỦA PHƯƠNG
PHÁP OLS
Giả thiết 7: Số lượng các quan sát n phải lớn hơn
số lượng các thông số được ước lượng. Một cách
khác, số lượng các quan sát n phải lớn hơn số lượng
các biến giải thích.
Giả thiết 8: Các giá trò X trong một mẫu cho trước
không thể tất cả đều bằng nhau. Nói theo từ ngữ kỹ
thuật, var(X) phải là một số dương hữu hạn.
2
i

(X -X)
Var(X)=
n-1
∑
, trong đó n là cỡ mẫu.
08/06/14 Thành Thái - NTU 19
III. CÁC GIẢ THIẾT CỦA PHƯƠNG
PHÁP OLS
Giả thiết 10: Không có tính đa cộng tuyến hoàn
toàn. Nghóa là không có các mối tương quan tuyến
tính hoàn toàn trong các biến giải thích.\
Giả thiết 9: Mô hình hồi quy được xác đònh một
cách đúng đắn. Nói cách khác, các mô hình được
sử dụng trong phân tích thực nghiệm không có độ
thiên lệch hoặc sai số đặc trưng.
08/06/14 Thành Thái - NTU 20
III. CÁC GIẢ THIẾT CỦA PHƯƠNG
PHÁP OLS
Đònh lý Gauss-Markov: Cho trước các giả thiết của mô hình
hồi quy tuyến tính cổ điển, các hàm ước lượng bình phương
tối thiểu, trong nhóm các hàm ước lượng tuyến tính không
thiên lệch, có phương sai nhỏ nhất, nghóa là chúng là các
hàm ước lượng không thiên lệch tuyến tính tốt nhất. Hay còn
gọi là BLUE.
Best
Linear
Unbiased
Estimators
BLUE
08/06/14 Thành Thái - NTU 21

IV. TÍNH CHÍNH XÁC HAY LÀ CÁC SAI
SỐ CHUẨN CỦA CÁC ƯỚC LƯNG BÌNH
PHƯƠNG TỐI THIỂU
Các phương sai và sai số chuẩn của các ước lượng
bình phương tối thiểu thông thường OLS như sau:
¶
2
2
2
2
2
i
σ
ˆ
Var(β ) = =
x
β
σ
∑
µ
2
2
2
i
σ
ˆ
se(β )=
x
β
σ

=
∑
µ
1
2
i
2 2
1
2
i
X
ˆ
Var(β )= = σ
n x
β
σ
∑
∑
µ
1
2
i
1
2
i
X
ˆ
se(β )=
n x
β

σ σ
=
∑
∑
⇒
⇒
08/06/14 Thành Thái - NTU 22
Trong đó: var là phương sai, se là sai số chuẩn và
σ
2
là
phương sai có điều kiện không đổi hay phương sai hằng số
của U
i
, trong giả thiết 4.
Trừ đại lượng
σ
2
, tất cả các số lượng nhập vào công
thức trên đều có thể tính từ dữ liệu,
σ
2
tự nó được tính bằng
công thức sau:
2
i
2
e
ˆ
σ =

n-2
∑
IV. TÍNH CHÍNH XÁC HAY LÀ CÁC SAI
SỐ CHUẨN CỦA CÁC ƯỚC LƯNG BÌNH
PHƯƠNG TỐI THIỂU
08/06/14 Thành Thái - NTU 23
IV. TÍNH CHÍNH XÁC HAY LÀ CÁC SAI
SỐ CHUẨN CỦA CÁC ƯỚC LƯNG BÌNH
PHƯƠNG TỐI THIỂU
Trong đó: là ước lượng không chệch của .
2
ˆ
σ
2
σ
Do đó, trong tính toán thường người ta thay bằng .
Khi đó, phương sai và sai số chuẩn ước lượng của các ước
lượng OLS sẽ là:
2
ˆ
σ
2
σ
·
µ
¶
$
2
2
2

2
2
i
σ
ˆ
Var(β ) = =
x
β
σ
∑
µ
µ
µ
µ
2
2
2
i
ˆ
se(β )=
x
β
σ
σ
=
∑
·
µ
µ
$

1
2
2
2
i
1
2
i
X
ˆ
Var(β )= = σ
n x
β
σ
∑
∑
µ
µ
µ
µ
1
2
i
1
2
i
X
ˆ
se(β )=
n x

β
σ σ
=
∑
∑
⇒
⇒
08/06/14 Thành Thái - NTU 24
V. HỆ SỐ XÁC ĐỊNH (r
2
) : ĐẠI
LƯNG ĐO “SỰ THÍCH HP”.
Trước khi chỉ rõ r
2
được tính như thế nào ta hãy xét sự giải
thích có tính khai phá đối với r
2
bằng đồ thò, đó là phương
pháp đồ thò Venn, hay là Ballentine, như trên hình 2.5 sau.
Quan điểm Ballentine đối với r
2
: (a) r
2
= 0; (f) r
2
= 1\
08/06/14 Thành Thái - NTU 25
Trong hình này, vòng tròn Y tượng trưng cho biến thiên
trong biến phụ thuộc Y và vòng tròn X tượng trưng cho biến
thiên trong biến giải thích X. Vùng chồng lên nhau của hai

vòng tròn (vùng tối) chỉ rõ phạm vi mà độ biến thiên trong Y
được giải thích bởi biến thiên trong X (cho là theo hướng hồi
quy các bình phương tối thiểu thông thường OLS). Phạm vi
vùng chồng lên càng lớn, độ biến thiên trong Y được giải thích
bởi X càng lớn. r
2
đơn giản là đại lượng đo bằng số cho vùng
tối này. Khi không có vùng tối, r
2
rõ ràng bằng 0, nhưng khi
vùng tối đã hoàn chỉnh, r
2
bằng 1, và 100% độ biến thiên của
Y được giải thích bởi X. Ta nói ngắn gọn rằng r
2
nằm giữa 0 và
1.
V. HỆ SỐ XÁC ĐỊNH (r
2
) : ĐẠI
LƯNG ĐO “SỰ THÍCH HP”.