Báo cáo khoa học: "DIỄN TẢ QUY LUẬT TỪ BIẾN CỦA ĐÁ BẰNG CƠ HỆ PHỨC TẠP" docx

DIỄN TẢ QUY LUẬT TỪ BIẾN CỦA ĐÁ BẰNG
CƠ HỆ PHỨC TẠP
Nguyễn Xuân Mãn
Viện Cơ học Ứng dụng

Tóm tắt : Trong kỹ thuật xây dựng công trình ngầm và khai thác mỏ cần
đề cập đến các bài toán về biến dạng của đá theo thời gian. Bài viết đề cập đến
biến dạng từ biến của đá thông qua mô hình lưu biến phức tạp gồm phần tử cơ
hệ Hook mắc nối tiếp với mô hình Kelvin, được mắc nối tiếp với mô hình
Kennedi và phần tử Saint-Vennant.
Đã rút ra các quy luật từ biến của đá ứng với các giá trị ứng suất thay đổi.
I. Đặt vấn đề:
Trong xây dựng công trình mà đá làm nền như xây dựng công trình ngầm, trong khai
thác khoáng sản ở độ sâu trong lòng đất,…Chúng ta luôn gặp phải bài toán liên quan đến
tính chất lưu biến của đất đá. Tính chất biến dạng của đất đá theo thời gian khi chịu tải là
bài toán khá phức tạp trong cơ học đá. Đá có tính chất là phát triển biến dạng theo thời
gian khi tải trọng tác động không đổi tính chất đó gọi là từ biến. Hiện tượng ứng suất
giảm theo thời gian xảy ra trong đất đá khi biến dạng giữ nguyên không đổi được gọi là
chùng ứng suất.
Sau đây đề cập đến khả năng diễn tả tính từ biến của đá qua mô hình phức tạp, được
hình thành từ các mô hình cơ bản liên kết theo sơ đồ sau:
212121
VSVSNNHHL
tt
−−−=
(1)
Trong công thức (1):
L
: - mô hình lưu biến phức tạp diễn tả tính chất biến dạng của đất đá.
21
,HH

:-Thành phần cơ bản Hook trong cơ hệ ứng với môđun đàn hồi và
1
E
2
E
21
, NN
: - Thành phần cơ bản Newton trong cơ hệ tương ứng với độ nhớt
1
η
và
2
η

21
, VSVS
tt
- thành phần cơ bản Saint-vennant tương ứng với ứng suất giới hạn lâu
dài
∞
σ
và ứng suất giới hạn phá hủy
f
σ

σ
ứng suất nền tác động lên mô hình.
Công thức này minh họa bằng hình vẽ 1.

σ

11
;EH
11
;
ε
σ
22
;EH
22
;
ε
σ

11
;
η
N
33
;
ε
σ

22
;
η
N

44

;
ε
σ

1
VS
t

∞
σ

2
VS
t

f
σ

σ

Hook
Kelvin
Kennedi
Saint-Vennant
Hình 1: Mô hình lưu biến phức tạp

Qua hình 1 có thể thấy cơ hệ được lắp ghép nối tiếp bởi các mô hình sau: mô hình
Hook mắc nối tiếp với mô hình Kelvin, sau đó mắc nối tiếp với mô hình Kennedi và nối
tiếp với mô hình Saint-Vennant.
Trên hình vẽ 1:
4321
,,,
σ
σ
σ
σ
ứng suất trong các thành phần và
121
,, NHH
2
N
4321
,,,
ε
ε
ε
ε
biến dạng trong các thành phần và
121
,, NHH

2
N
Phân tích cơ hệ trên đây cho thấy:
- Khi
∞
<
σ
σ
trong cơ hệ chỉ có thành phần Hook và Kelvin hoạt động
- Khi
f
σ
σ
σ
<≤
∞
trong cơ hệ có các thành phần Hook, Kelvin và Kennedi hoạt
động
- Khi
f
σ
σ
=
các thành phần của cơ hệ đều hoạt động và cơ hệ dần dần bị phá hủy
Như vậy quy luật từ biến của cơ hệ sẽ khác nhau tùy thuộc vào giá trị của
σ

II. Xác lập quy luật từ biến của cơ hệ:
II.1. Trước hết xác định quy luật từ biến ứng với
∞

<
σ
σ

Khi
∞
<
σ
σ
cơ hệ có hai thành phần tham gia: Hook và Kelvin
Khi đó
321
σ
σ
σ
σ
+
=
=
(2)
Và
3121
ε
ε
ε
ε
ε
+
=
+

=
(3)
32
ε
ε
=
(4)
Do
dt
d
dt
d
E
2
1
3
13222
;
ε
η
ε
ησεσ
===

Thay vào (2), ta có:
dt
d
E
2
1222

ε
ηεσ
+=
(5)
Từ (3), ta có :
1
12
E
σ
εεεε
−=−=
, do đó thay vào (5) nhận được:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=

dt
d
Edt
d
E
E
σε
η
σ
εσ
1
1
1
2
1
(6)
Biến đổi (6) và chú ý đến đặt:
)(
;
)(
21
21
21
1
EE
EE
E
EE
n
g

+
=
+
=
η

Ta có:
dt
d
nEE
dt
d
n
g
ε
ε
σ
σ
1
+=+
(7)
Phương trình (7), diễn tả quy luật từ biến của cơ hệ khi
∞
<
σ
σ
.
Giải (7) với const==
0
σ

σ
, tức
0=
dt
d
σ
, khi nãy (7) có dạng:

dt
d
nEE
g
ε
εσ
1
+=
(8)
Đặt
1
0
1
;
nE
q
nE
E
p
g
σ
== , thì (8) có dạng:

qp
dt
d
=+
ε
ε
(9)
Nghiệm tổng quát (9), có dạng:
g
g
EnE
E
C
0
1
exp
σ
ε
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅=
(10)

Hằng số tích phân C xác định từ điều kiện sau:
Khi thì
0=A
0
σ
σ
= và
1
0
0
E
σ
εε
==

Thay vào (10), ta có :
0
1
1
)(
σ
EE
EE
C
g
g
−
=

Như vậy:

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
+=
12
00
1
0
1
1
0
exp
exp

)(
nE
tE
EE
nE
tE
EE
EE
E
g
g
g
g
g
g
σσ
ε
σ
σ
ε
(11)
Đây chính là quy luật từ biến của cơ hệ khi
∞
<
σ
σ
.
Biểu đồ theo quy luật (11) được cho trong hình vẽ 2

g

E
0
σ
ε
=
∞

100
/ E
σ
ε
=
ε

t

Hình 2: Quy luật từ biến của cơ hệ khi
∞
<
σ
σ

Giả sử tại thời điểm với biến dạng
1
tt =
1
ε
ta dỡ tải, tức 0
0
=
=
σ
σ
khi đó biến dạng
của cơ hệ có bước nhảy đột ngột với giá trị
0
ε
, kết hợp với (10), ta có:


⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−

⋅=−
1
1
01
exp
nE
tE
C
g
εε
(12)
Từ đây:
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
nE
tE
C
g
1
1
01
exp

εε

Đưa kết quả này vào (10) chú ý 0
0
=
=
σ
σ
, ta có:
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−=
nE
ttE
g
2
1
01
)(
exp
εεε
(13)

Đường biểu diễn của quy luật này như trong hình vẽ 3

∞
ε

0
ε

ε

t

Hình 3: Quy luật từ biến khi dỡ tải và
∞
<
σ
σ










II.2. Quy luật từ biến khi
f
σ

σ
σ
<
≤
∞

Khi
∞
≥
σ
σ
cơ hệ có các thành phần Hook, Kelvin và Kennedi cùng hoạt động. Gọi
các biến dạng trong các hệ thành phần là
KH
ε
ε
,
và
Ken
ε

Ta có :
KenKH
ε
ε
ε
ε
+
+
= (14)

Hay
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
Ken
KH
ε
εε
ε
++=
(15)
Do
1432
;;
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
=
=
=
=

HKenK

và
2
2
1
2
3
1
32
1
1
1
;
E
dt
d
E
dt
d
E
KH
ε
ησ
ε
ησ
εεε
σ
εε
−

=
−
=====
;
4
ε
ε
=
Ken

22
44
2
2
2
2
1
1
;;
η
σσ
η
σε
ε
ε
η
σ
εσε
∞
−

===
−
==
dt
d
dt
d
E
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
Ken
KH

vì
σ
σ
σ
=+
∞4

Đưa các kết quả trên đây vào (15) nhận được:
2

2
2
1
11
)(
11
η
σσε
η
σσε
∞
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
dt
d
dt
d
Edt
d
Edt
d

(16)
Mặt khác:
KenH
ε
ε
ε
ε
−−=
2
; do đó đạo hàm 2 vế theo t, ta có:
21
2
)(
1
η
σσ
σε
ε
ε
ε
ε
∞
−
−−=−−=
dt
d
Edt
d
dt
d

dt
d
dt
d
dt
d
Ken
H

Từ đây:
dt
d
dt
d
E
dt
d
dt
d
σ
η
σε
ε
2
2
2
1
2
2
2

2
2
11
−−= (17)
Đưa (17) vào (16) và biến đổi, ta có:
)(
111
21
2
11
2
21
2
2
11
2
2
2
2
∞
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=+

σσ
ηη
σ
ηηη
σε
η
ε
E
dt
d
E
E
dt
d
Edt
d
E
dt
d
(18)
Đây chính là phương trình trạng thái của cơ hệ khi
f
σ
σ
σ
<
≤
∞

Giải phương trình (18) cho trường hợp const

=
=
0
σ
σ
(trường hợp từ biến), ta đi đến
giải phương trình
)(
0
21
2
1
2
2
2
2
∞
−=+
σσ
ηη
ε
η
ε
E
dt
d
E
dt
d
(19)

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất (19), có
dạng:
Rth
εεε
+=

trong đó: - là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
th
ε
0
1
2
2
2
2
=+
dt
d
E
dt
d
ε
η
ε
và
- nghiệm riêng của phương trình (19)
R
ε
GiảI ra ta có:

tt
E
EEE
2
0
1
2
0
22
1
0
22
1
1
0
)(
exp)()(
η
σσ
η
σσ
η
η
σσ
η
η
σ
ε
∞
∞∞

−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−+−−=
(20)
Đặt:
)(;
)(
;;
)(
0
22
1
1
0
2
0
1
2
1
22
0

∞
∞∞
−−=
−
==
−
=
σσ
η
η
σ
η
σσ
η
η
η
σσ
EE
KJ
E
N
E
M
và đưa vào
(20), ta có:
KJtNtM
+
+
−
= )exp(

ε
(21)
khi
1
0
0
E
KMt
σ
ε
=+=⇒=

Biểu đồ thể hiện quy luật (21) cho trong hình vẽ 4

ε

t

Hình 4: Quy luật từ biến của cơ hệ khi
f
σ
σ
σ
<
≤
∞

K
α

Jtg =
α

KJtNtMt
+
+
−
=
)exp()(
ε

1
0
0
E
σ
ε
=

KJtt
+
=
)(
ε

III. Nhận xét và kết luận:
Mô hình lưu biến phức tạp (L) có cấu tạo như (1) có thể diễn tả được quy luật từ biến
của đá trong các trường hợp ứng suất có độ lớn thay đổi.
- Khi
∞
<
σ
σ
: Quy luật từ biến của cơ hệ rất gần với quy luật từ biến của đá trong
tự nhiên (… ) cơ hệ không bị phá hủy …. Là đá ổn định lâu dài khi nằm trong lòng đất ở
một độ sâu nào đó sao cho ứng suất nhỏ hơn độ bền lâu dài của đá
∞
σ
. Quy luật từ biến
khi dỡ tảI cũng phù hợp với kết quả thực nghiệm thu được [2]
- Khi
f
σ
σ
σ
<≤
∞
: Quy luật từ biến là hàm tăng theo thời gian và tiệm cận với
đường
KJtt +=)(

ε

THE DESCRIPTIVE CREEP LAW OF ROCK BY THE
COMPLEX MECHANIC SYSTEMS

Nguyen Xuan Man
Institute of Applied Mechanics

Abstract:
In the underground construction and the exploiting mine usually mention the strain
problems of rock which depended on time. This paper mentioned the creep strain of rock
by the complex rheology model. This model consist of a Hook model connected with a
Kelvin model, a Kennedi model and the Saint-Vennant element.

Since then, we took out the creep law of rock when the strain value is variable


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] - Nghiêm Hữu Hạnh. Cơ học đá. Nhà NXB Xây dựng, Hà Nội –2004
[2] - I.L.Chernhiav. Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về ổn định của đường lò cơ
bản. Luận án tiến sỹ, M 1968. (Bản tiếng Nga)
[3] - Lương Lãng. Nghiên cứu tính chất lưu biến của đá trong trường ứng suất biến đổi
khi chịu uốn.Luận án tiến sỹ. M 1971. (Bản tiếng Nga)