Báo cáo khoa học: "xác định độ dày của lớp vỏ tròn xoay" pot

xác định độ dy của lớp vỏ tròn xoay


TS. Phạm hồng nga
Bộ môn Toán
Khoa Khoa học cơ bản
Trờng Đại học GTVT

Tóm tắt:Đề ti đã giải một lớp bi toán ngợc, xác định hm độ dy của các vỏ tròn xoay
nh vỏ parabol, vỏ cầu chịu tải đối xứng trục. Phơng trình vi tích phân tổng quát xác định hình
dạng đờng sinh v độ dy vỏ đã đợc đa ra. Nghiệm của phơng trình hm độ dy đã đợc
tính bằng phơng pháp nửa giải tích v số. Các thí dụ số đã đợc thực hiện cho vỏ Parabol chịu
tải phân bố đều, tác dụng vuông góc lên mặt vỏ, vỏ cầu ngâm trong chất lỏng, vỏ tròn xoay khi
quay một cung cầu có tâm cách trục z một khoảng a quanh oz. Các hm độ dy nhận đợc
bằng các chơng trình tính toán v kết quả cho dới dạng bảng số các giá trị rời rạc hoặc đồ
thị. Các kết quả có thể dùng để tham khảo trong thiết kế vỏ mỏng.
Summary: The paper has solved the diverse problem of identifying thickness function of
the revolution parabola, sphere shells under axisysmetrical load. The general integro-
differential equations for determining the meridian form and the shell thickness are obtained.
Solution to differential equations for the thickness is calculated by semi-analytical and
numerical methods. Numerical solutions are given to the parabola under external pressure, the
sphere in the fluid and for the shell, which is obtained by revolution of the sphere arc in
distance a from axis Oz. The thick - ness functions are calculated by programming and results
are illustrated in the graph forms or in the numerical tables. These results may be used in the
thin shell design.

CB
A

i. các phơng trình cơ bản của lý thuyết phi mômen của vỏ mỏng đn hồi

chịu tải trọng có đối xứng trục
Phơng trình cân bằng có dạng: [ 1]








=+
=+

+


Z
R
T
R
T
0X
r
sin
)TT(
ds
dT
21
s
s

s
(1)
Với và là lực màng, R
s
T

T
1
, R
2
là bán kính cong của vỏ, là góc giữa đờng sinh và
trục Oz, là thành phần của tải trọng ngoài,
Z,X
r
là bán kính của đờng tròn vĩ tuyến.
Đối với vỏ tròn xoay, chúng ta có: [1]

ds
d
R
1
1

=
;
r
cos
R
1
2

=
; = sin
ds
dr



r
sin
R
1
R
1
R
1
ds
d
122









=

(2)
Do đó, quan hệ giữa biến dạng nhỏ và chuyển dịch là:








+

=
+=

2
1
s
R
w
u
r
sin

R
w
ds
du
(3)
Theo định luật Hook, chuyển dịch
s
theo phơng tiếp tuyến của đờng sinh và

là chuyển
dịch theo phơng vuông góc với đờng sinh. Khi đó, phơng trình cân bằng màng là:








=
=


)TT(
Eh
1
)TT(
Eh
1
s

ss
(4)
Với E là môđun đàn hồi, là hệ số Poisson và h là độ dày của vỏ mỏng.
ii. phơng trình vi phân xác định hm độ dy của vỏ đn hồi
Từ điều kiện ứng suất uốn bằng 0, nghĩa là sự thay đổi độ cong của vỏ bằng 0, ta có:

0)
R
u
ds
dw
(
r
sin
0)
R
u
ds
dw
(
ds
d
1
1
s
=

=
==

,
CB
A

do đó
0
R
u
ds
dw
1
=
.
Thế vào phơng trình biến dạng và sử dụng đẳng thức hình học (2):

0cos)
1
R
u
ds
dw
(sin)(
ds
d
r
s
=

Từ điều kiện ứng suất uốn bằng 0, ta có:

.
dr
)r(d
0
ds
dr
)(
ds
d
r
s
s
=

=




(5)
Trong điều kiện không có mômen của vỏ (bán kính cong bằng 0), đây là liên hệ cơ bản để
thiết lập phơng trình vi tích phân để xác định độ dày và hình dạng hình học của vỏ.
Nghiệm tổng quát của hệ phơng trình cân bằng (1) có dạng: [1]


dr
d

rdr
1
X
ZCZrT
rdr
1
X
ZC
r
1
T
r
r
2
r
r
2
s
o
o

+++=

++=



(6)
Với
=

= sec
cos
1
đợc dùng để xác định hình dạng của vỏ.
Hằng số C có thể thu đợc từ điều kiện biên của vỏ nh sau:
Trên biên r = r
0
, từ (6) thành phần của lực thẳng đứng có dạng:
, (6a)
00
0
s
cosrTC =
Trên biên r = r
1
, nếu Q là tổng hợp lực của các thành phần thẳng đứng và đối xứng trục với
độ lớn p

z
, song song với O
z
thì điều kiện cân bằng sẽ là:
(6b)
z1z1
0
0
0
s
prCpr2Q
QcosrT2C2
==
==
Phơng trình vi phân xác định độ dày của vỏ nhận đợc từ việc thay (4) vào (5)

() ()
()
)TT(r
TT
TT
dr
d
TT
1
r
1
dr
dh
h

1
TT
hE
r
dr
d
TT
hE
1
s
s
s
s
ss




+=







=

(8)
Từ đó, độ dày là:
CB
A















=





r
r
s

s
0
s
0
s
0
0
dr
)TT(r
TT
exp
TT
TT
0r
r
h)r(h
(9)
Với T
s
và T

xác định từ (6).
Thế (6) vào (4) và (5), ta có phơng trình vi tích phân xác định hình dạng vỏ:
0
dr
dX
r
1
Zr
1

dr
dh
h
r
I
hdr
dh
ZrZr2
dr
d
.
1
Xr
Zr2
hdr
rdh
1Ir
dr
d
Ir
3
2
2
32
2
2
2
2
2
2

=








+











+
+

++






+


với:
Cdr
1
X
ZrI

r
r
2
o
+











+=


Chú ý rằng nếu hình dạng đờng sinh và các thành phần tải trọng ngoài X, Z là cho
trớc, thì phơng trình (8) cũng có thể đợc xác định trực tiếp từ phơng trình vi phân tổng quát
này.
Trên thực tế, các nội lực (6) phụ thuộc vào hình dạng đờng sinh
và các thành phần

ngoại lực X, Z. Chúng có thể đợc biểu diễn dới dạng giải tích chỉ trong những trờng hợp có
thể lấy đợc tích phân bằng phơng pháp giải tích. Chúng ta sẽ xem xét giá trị độ dày của công
thức (9) với các tải trọng và các loại vỏ có hình dạng hình học khác ở phần sau.
III. xác định độ dy h = h(r) của vỏ cầu hình dạng khác nhau, chịu tải trọng
khác nhau

a. Xét vỏ cầu
Bán kính R, ngâm trong nớc với khối lợng riêng của nớc là và a là chiều cao của cột
nớc đến biên trên của vỏ cầu (H.1), khi đó ngoại lực đợc tính theo [5]:
p
z
= (a + R - Rsin)
X = - (a + R - Rsin) cos.
Z = - (a + R - Rsin) sin.
Với + = /2.
Đối với hình cầu, ta có:
r
R
=
;
R
rR
sin
22

=
, d/dr = - R/r
2
Thay các giá trị này vào (6), lấy tích phân, nội lực có dạng:

+









++= C
2
Rr
rR)Ra(R
r
R
)r(T
22
22
2
s

CB
A

)r(TrR]rRRa[)r(T
s

2222
+=

(10)
Chú ý, lực T
s
trên biên r
0
= R là:
T
s
0
= T
s
(R)= C/R (10a)
Mặt khác, hằng số C có thể xác định từ (6b):
(10b)
z1
prC =
với p
z
là độ lớn của lực trên biên r = r
1
:

2
1
1
1z
R

r
1cos
)Rcos - R (ap






=
+=

Từ đó, kết hợp với (10a, 10b) hằng số C và T
s
0
sẽ đợc xác định.
Hàm h(r) có thể đợc xác định bằng cách thay (10), (6) vào (9) và lấy tích phân bằng công
thức gần đúng Simpson. Giá trị hàm số h(r) đợc xác định bằng dạng số rời rạc.
Ví dụ số đợc cho bởi các thông số hình học và tải trọng sau:
r
0
= R = 1,3m ; h
0
= 0,01m; = 9810 N/m
3
; a = 1m; r
1
= r(

1

) = 0,5m; = 0,33; C= -5395.5
T
0
s
= - 4150.38N/m, T

0
= 4150.38N/m. Các kết quả số và đồ thị biểu diễn trong hình 1.

r(m) h(r) (m)
CB
A

0,5 0,06408
0,54 0,05759
0,58 0,05186
0,62 0,04673
0,66 0,0421
0,7 0,03789
0,74 0,03401
0,78 0,03042
0,82 0,02707
0,86 0,02393
0,9 0,02097
ro
r1
R

z
a

1

0,94 0,01816
0,98 0,01549
1,02 0,01293
1,06 0,01048
1,1 0,00812
1,14 0,00583
1,18 0,00362

0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,50,70,91,11,3
r
h(r)

Hình1.
1,22 0,00144
Chú ý rằng, trong trờng hợp này, khi vỏ đợc ngâm trong chất lỏng, giá trị độ dày giảm từ
biên trên đến biên dới của vỏ.
b. Xét vỏ cầu bán kính
R cách trục Oz đoạn a (hình 2). Vỏ cầu chịu tải trọng phân bố đều với độ lớn p, vuông góc

với bề mặt của vỏ.
Trong trờng hợp này, các đặc trng hình học sẽ là: [1]
R
1
= R;


=

=
cos
acosR
cos
r
R
2

ar
R
cos
1
+
=

=
;
2
)ar(
R
dr

d
+
=


Các thành phần ngoại lực có dạng:
Z = p = const , X = 0,
R
)ar(r
TC
00
0
s
+
=

Khi đó, nội lực của vỏ, theo (6) là:
R
)ar(r
T)rr(
)ar(r2
Rp
T
00
0
s
2
0
2
s

+
+
+
=

[]
s
TpR
ar
r
T
+
=


Thế vào (9), ta có thể tính đợc hàm độ dày h(r).
Ví dụ số minh hoạ cho loại vỏ này có các thông số hình học và tải trọng nh sau:
r
0
= 0,5m r
1
=1.6 m, h
0
= 0,02m R = 3,1m , a= 1,5 m
= 0,33 p = -2100000 N/m
2
r [0,5m; 1,6m], T
s
0
= 0 ( N/m)

CB
A


r(m)
h(r)(m)
0.5550000000 0.0233096138
0.6100000000 0.0266222915
0.6650000000 0.0299178952
0.7200000000 0.0331816247
0.7750000000 0.0364025094
0.8300000000 0.0395724707
0.8850000000 0.0426856398
0.9400000000 0.0457378510
0.9950000000 0.0487262607
1.0500000000 0.0516490563
ro
r1
R
r
r2
p

a


1.1050000000 0.0545052310
1.1600000000 0.0572944091
1.2150000000 0.0600167080

1.2700000000 0.0626726298
1.3250000000 0.0652629739
1.3800000000 0.0677887690
1.4350000000 0.0702512171
1.4900000000 0.0726516493
1.5449999999 0.0749914903
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.5 0.7 0.9 1.1 1.3
1.5
h
r


Hình 2.
1.5999999999 0.0772722296
Kết quả trong hình 2 cho thấy độ dày trên biên R gấp khoảng 3 lần so với độ dày trên biên r = r
0
.
IV. Xác định độ dy h = h(r) của vỏ có đờng sinh dạng parabol chịu tải
trọng đều, độ lớn p, vuông góc với bề mặt của vỏ
Xét vỏ parabol, có phơng trình đờng sinh là (H.3) [5]:
r
2
= 2a(h

1
-z

)

(11)
Với a là tham số của parabol, h
1
là chiều cao của cung parabol.
Chú ý rằng nếu z là khoảng cách theo trục Oz của vỏ tròn xoay thì liên hệ giữa r và z có
dạng:
1
dz
dr
2
=
(12)
từ (10) và (11) ta có:
2
2
r
a
1 +=
,
2
1
2
2
3
2

r
a
1
r
a
dr
d









+=

(13)
Trong trờng hợp này, các thành phần ngoại lực có dạng:
Z = p = const , X = 0, C=0 (14)
Thế (13) và (14) vào (6), nội lực trong parabol sẽ là:
22
s
ra
2
p
T +=

22

22
ra
r2a
2
p
T
+
+
=


Do đó, hàm độ dày h(r) có thể tính bằng tích phân số theo (9).
Ví dụ này nhằm xác định độ dày h(r) của vỏ parabol với các thông số hình học và tải trọng sau:

r
0
= 2,4m; h
0
= 0,03m; a = 2,1m; r
1
= 0,5m; = 0,3; p = 475000 N/m
2
,
T
s
0
= 0 (N/m)
Giá trị h(r) cho trong hình 3.
r(m) h(r)(m)
CB

A

2.3050000000 0.0272576333
2.2100000000 0.0246650866
2.1150000000 0.0222208825
2.0200000000 0.0199234126
1.9250000000 0.0177709148
1.8300000000 0.0157614459
1.7350000000 0.0138928526
1.6400000000 0.0121627376
1.5450000000 0.0105684247
z
r
1
ro
p
r


R2


1.4500000000 0.0091069218
1.3550000000 0.0077748841
1.2600000000 0.0065685804
1.1650000000 0.0054838652
1.0700000000 0.0045161621
0.9750000000 0.0036604628
0.8800000000 0.0029113500
0.7850000000 0.0022630490

0.6900000000 0.0017095163
0.5950000000 0.0012445694
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.5 1 1.5 2

h
r


Hình 3.
0.5000000000 0.0008620598
Chú ý rằng độ dày trên biên R = r
0
lớn hơn độ dày trên biên R = r
1
(r
1
< r
0
).
Bài toán tơng tự có thể giải bằng lập trình tính toán trên máy tính.
iv. Kết luận
Đề tài đã tìm ra phơng trình vi phân để xác định hàm độ dày của vỏ mỏng đàn hồi dới tác
dụng của tải trọng đối xứng trục. Phơng trình đợc giải bằng phơng pháp nửa giải tích và số.

Hàm độ dày của vỏ mỏng đàn hồi nh dạng parabol, dạng cầu ngâm trong nớc, dạng cầu
cách trục Oz một khoảng bằng a, chịu các tải trọng khác nhau thu đợc kết quả dới dạng bảng
số và đồ thị.
Nghiệm của bài toán có thể đợc sử dụng cho các thiết kết kết cấu vỏ mỏng.
Tài liệu tham khảo
[1]. Ambarshumal. A.C. Theory of anisotropic shell. Moscow. 1966, p. 384.
[2]. Martunhenco M.D, Ngo Huong Nhu. Determine forms of thermoelastic shell of revolution, made of non
- linear materials. Report. Scien Acad. BSSR, 1987, V. 31. N. 7, p. 619 622.
[3]. Ngo Huong Nhu. The forms of the shell with zero bending stresses subjected to hydrostatic pressure
and other loads, Journal of Mechanics, NCNST of Vietnam T 19, 1997, N. 2, p. 39-43.
[4]. Ngo Huong Nhu, Pham Hong Nga. The varying thickness rules of the revolution shells subjected to
combine external loads. Proceedings of the seventh national congress on mechanics. Ha Noi, 2002, V.3
p. 403-409.
[5]. A.A.Umanskii. Designer Handbook, calculate - theoretical, V2. Construction literature publisher,
Moscow 1973