BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2
CHƯƠNG I: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Bài 1: Tính các tích phân sau
a/
∫
=
2
ln
e
e
xx
dx
I
b/
∫
−=
1
0
2
1 dxxI
c/
∫
=
e
xdxI
1
ln
d/
∫
=

2/
0
sin
π
xdxI
n
n
e/
∫
++
=
1
0
2
544 xx
dx
I
f/
∫
−
=
3/
3/
2
cos
sin
π
π
dx
x

xx
I
g/
∫
−
+
=
2
2
4
2
1
2
dx
x
xtgx
I
h/
∫
−=
π
2
0
2cos1 dxxI
i/
∫
+
=
π
0

2
cos1
sin
x
xdxx
I
j/
∫
−+
=
6
1
231 x
dx
I
k/
∫
+
=
2
0
cos23 x
dx
I
l/
∫
+
=
1
0

1
arcsin
dx
x
x
I
m/
∫
+
=
8ln
3ln
1
x
e
dx
I
n/
∫
=
3
0
xarctgxdxI
o/
∫
=
e
xdxI
1
2

ln
p/
∫
+
=
2/
0
2
sin21
π
x
dx
I
q/
∫
=
e
n
n
xdxI
1
ln
r/
∫
=
2/
0
coscos
π
nxdxxI

n
n
s/
∫
=
4/
0
2
π
xdxtgI
n
n
t/
∫
−
=
1
0
dxexI
xn
n
Bài 2: Tính các tích phân suy rộng
a/
∫
+∞
+
=
0
2
1 x

dx
I
b/
∫
−
=
1
0
2
1 x
dx
I
c/
∫
+∞
∞−
+
=
22
)1( x
dx
I
d/
∫
+∞
+
=
0
3
1 x

dx
I
e/
∫
+∞
−
=
0
dxexI
xn
f/
∫
+∞








−
=
2
2
1xx
dx
I
g/
∫

=
e
xx
dx
I
1
ln
h/
∫
−−
=
b
a
xbax
xdx
I
))((
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
1





=
∫
∫
−
a
a

a
dxxf
dxxf
0
)(2
0
)(


, nếu
)(xf
là hàm lẻ
, nếu
)(xf
là hàm lẻ
, nếu
)(xf
là hàm chẵn
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
i/
∫
−−
=
3
1
2
34 xx
dx
I
j/

∫
+∞
−
=
0
2
dxxeI
x
k/
∫
−
+
=
2
0
2
2
dx
x
x
I
l/
( )
∫
+∞
+
=
0
2/3
2

1
dx
x
arctgx
I
Bài 3: Khảo sát sự hội tụ (hay phân kỳ) của tích phân suy rộng
a/
∫
∞
=
a
x
dx
I
α
, với
0
>
α
b/
∫
∞
+
=
0
2
2
1
cos
dx

x
x
I
c/
∫
∞
+
=
1
2
1 xx
dx
I
d/
∫
∞
+
=
1
2
2/3
1
dx
x
x
I
e/
∫
−
=

b
a
xb
dx
I
α
)(
, với
R
∈
α
f/
∫
−
=
1
0
4
4
1 x
dx
I
g/
∫
+
=
1
0
2
1

ln
dx
x
x
I
h/
∫
∞
+
=
0
2
1
ln
dx
x
x
I
i/
∫
=
1
0
dx
x
arctgx
I
j/
∫
+∞

+
=
2
1 x
dx
I
k/
∫
+∞
∞−
++
=
22
)1( xx
dx
I
l/
∫
+∞
+
=
1
)1ln(
dx
x
x
I
m/
∫
+∞

+
=
1
3
1
dx
x
xarctgx
I
n/
∫
+∞
+
=
1
1
ln xx
dx
I
βα
, với
0
>
α

o/
∫
+∞
−
=

1
1
ln xx
dx
I
βα
, với
0
>
α
p/
∫
+∞
=
2
ln xx
dx
I
β
q/
∫
+∞
=
0
cos xdxI
r/
∫
+∞
=
1

2
sin
dx
x
x
I
s/
∫
+∞
=
1
cos
dx
x
x
I
t/
∫
−
=
1
0
1
x
e
dx
I
u/
∫
−

=
1
0
1x
dx
I
v/
∫
=
2
1
ln x
dx
I
w/
∫
−
=
1
0
cos xe
dx
I
x
x/
∫
−
=
1
0

2
xx
dx
I
y/
∫
+∞
++
=
0
3
12xx
xdx
I
z/
∫
+∞
+
−
=
1
3
3
3sin41
dx
xx
x
I
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi các đường cong
a/

xy 2
2
=
và
yx 2
2
=
b/
∫
−=
2
0
|1| dxxS
c/
2
2 xy −=
và
23
xy =
d/



−=
−=
)cos1(
)sin(
tay
ttax
và trục

Ox
e/
1
2
−= tx
và
3
4 tty −=
f/
)cos1(
ϕ
+= ar
và
ar =
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
2
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
g/
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
, với
0,0 >> ba

h/
2
)1( += xy
và
)sin( yx
π
=
i/
4
22
=+ yx
và
02
22
=++ xyx
j/
xy =
và
xxy
2
sin+=
, với
π
≤≤
x0
k/
0,0 == yx
và
)1(
2

−= yyx
l/
)(
2222
xaxy −=
, với
0
>
a
Bài 5: Tính thể tích
a/



−=
−=
)cos1(
)sin(
tay
ttax
;
π
20
≤≤
t
và
0=y
xoay quanh
Ox
b/




=
−=
0
2
2
y
xxy
xoay quanh
Ox
và
Oy
c/ vật bị giới hạn bởi mặt
2
4 yz −=
và
ax =
(với
0
>
a
),
0,0 >> zx
d/ vật bị giới hạn bởi 2 mặt trụ
222
ayx =+
và
222

azy =+
e/ vật tròn xoay khi quay hình phẳng bị giới hạn bởi
xy sin=
(
π
≤≤
x0
) và trục
Ox
khi
quay quanh
Ox
và quay quanh
Oy
f/ vật tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi
2
xy =
và
4=y
quay quanh
Oy
và quay
quanh đường thẳng
2=x
g/
32
)4( += xy
,
0=x
xoay quanh trục

Oy

h/
0,1,1
2
=+=−=
−−
xeyey
xx
quay quanh trục
Ox
Bài 6: Tính diện tích mặt tròn xoay
a/
2
xy =
;
10 ≤≤ x
xoay quanh
Oy
b/



−=
−=
)cos1(
)sin(
tay
ttax
; và

0=y
xoay quanh
Ox
c/
22
)3(9 xxy −=
;
30 ≤≤ x
quay quanh
Ox

d/
3
3 xy =
;
ax ≤≤0
quay quanh
Ox
e/



=
=
tay
tax
3
32
sin
cos

;
π
20 ≤≤ t
quay quanh
Ox
Bài 7: Tính độ dài đường cong
a/
32
xy =
từ gốc toạ độ đến điểm
)8,4(A
b/



=
=
tay
tax
3
3
sin
cos
;
π
20 ≤≤ t
c/
3
sin
3

ϕ
=r
với
2/0
πϕ
≤≤
d/
xxy )3(
3
1
−=
;
30 ≤≤ x
e/
xxy ln
2
1
4
1
2
−=
;
ex ≤≤1
CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1: Tính các tích phân bội hai
a/
∫∫
−=
D
dxdyxyxI )2(

2
, với



=
−=
2
2
2
3
:
xy
xy
D
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
3
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
b/
∫∫
+=
D
dxdyxxyI )3(
, với



+=
=
12

2
:
2
xy
xy
D
c/
∫∫
+=
D
dxdyxyxI )5(
2
, với



−=
−=
xy
xy
D
1
1
:
2
d/
∫∫
=
D
xydxdyI

, với





=
=
=
1
2:
y
yx
yx
D
e/
∫∫
−=
D
dxdyyxI )4(
, với



≤≤
≤+≤
xyx
yx
D
3

41
:
22
f/
∫∫
−−=
D
dxdyyxI
22
4
, với



≤
=+
0
2
:
22
y
xyx
D
g/
∫∫
+
=
D
dxdy
yx

I
22
1
, với



≤
≤+
xy
yyx
D
2
:
22
h/
∫∫
+=
D
dxdyyxI )2(
, với





≤
−≥
≤+
0

4
:
22
y
xy
yx
D
i/
∫∫
−=
D
dxdyyxI )72(
, với





−≥
≥
−≤
xy
y
xy
D 0
2
:
2
j/
∫∫

=
D
xdxdyI 3
, với





≥
≥
≤+≤
0
42
:
22
x
xy
yyxy
D
k/
∫∫
−=
D
dxdyyxI )6(
, với






=
=
=
2
0
ln
:
ex
y
xy
D
Bài 2: Tính các tích phân bội ba
a/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzzxI
22
, với





=
=
=+
Ω
2
0

4
:
22
y
y
zx
b/
∫∫∫
Ω
−+= dxdydzzyxI )(
, với





=−+−=−+
=++−=++−
=+−=+−
Ω
4;1
3;1
2;0
:
zyxzyx
zyxzyx
zyxzyx

c/
∫∫∫

Ω
++
= dxdydz
zyx
I
222
1
, với



≥
≤++
Ω
0
4
:
222
y
zyx
d/
∫∫∫
Ω
= xdxdydzI
, với



=+
+=

Ω
2
:
22
yz
yxz
e/
∫∫∫
Ω
= zdxdydzI
, với



≤++
≤++≤
Ω
0
41
:
22
222
zyx
zyx
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
4
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
f/
∫∫∫
Ω

= zdxdydzI 2
, với



≤
≤++
Ω
0
2
:
222
z
yzyx
g/
∫∫∫
Ω
= zdxdydzI 3
, với



≤+
≤++
Ω
zyx
zyx
22
222
4

:
h/
∫∫∫
Ω








++= dxdydzz
yx
I
2
22
49
, với





≥
≤++
Ω
0
1
49

:
2
22
z
z
yx
i/
∫∫∫
Ω
−= dxdydzyxI )4(
, với





≤≤
≥
≤+
Ω
50
0
4
:
22
z
x
yx
j/
∫∫∫

Ω
+= dxdydzzyI
22
, với





=−
=+
=+
Ω
2
2
4
:
22
xy
xy
zy
k/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzyxzI
22
, với




≤≤
≤+
Ω
yz
xyx
0
2
:
22
l/
∫∫∫
Ω
= xdxdydzI
, với



≥+
≤++
Ω
222
222
4
:
zyx
zzyx
Bài 3: Tính thể tích các khối vật thể
Ω
sau
a/




=
+=
Ω
1
2
:
22
z
yxz
b/





−=+
+=
=+
Ω
zyx
yxz
yx
4
1
:
22
22

22
c/





+=
≤+
≥≥≥
Ω
2
22
2
1
0,0,0
:
xz
yx
zyx
d/



+≥
≤++
Ω
22
222
1

:
yxz
zyx
Bài 4: Tính các tích phân sau
a/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzzxI )(
, với





+=
==
==
Ω
22
0,1
2,
:
yxz
zy
xyxy
b/
∫∫∫
Ω
= xdxdydzI
, với






+=
=
==
Ω
2
2
1
0
,
:
yz
z
xyxy
c/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzyxI
22
, với





+=

+=
=+
Ω
22
22
22
2
4
:
yxz
yxz
yx

d/
∫∫∫
Ω
= zdxdydzI
, với



≤
=++
Ω
0
2
:
222
z
xzyx

Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
5
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
e/
∫∫∫
Ω
= ydxdydzI
, với



+≥
=++
Ω
22
222
4
:
yxz
zyx
f/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzxI )2(
, với






++=
≥≥≥
≤+
Ω
22
22
1
0,0,0
1
:
yxz
zyx
yx
g/
∫∫∫
Ω
= xdxdydzI 2
, với







=+
=
++=
Ω
1

0
1
:
22
22
zy
x
zyx
h/
∫∫∫
Ω
= zdxdydzI
, với



=+
+=
Ω
2
:
22
xz
yxz
i/
∫∫∫
Ω
= ydxdydzI
, với




+≥
=++
Ω
22
222
4
:
yxz
zzyx
j/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzzyI )(
, với





=
≥=
−=
Ω
xz
zy
xy
2
0,1

2
:
2
k/
∫∫∫
Ω
= dxdydzI 3
, với





=−
=+
=+
Ω
4
4
2
:
22
zx
zx
xyx
l/
∫∫∫
Ω
= dxdydzI 2
, với






≥
≤+
=++
Ω
0
1
4
:
22
222
z
yx
zyx
m/
∫∫∫
Ω
−= dxdydzI 4
, với



−−=
+=
Ω
22

22
2
:
yxz
yxz
n/
∫∫∫
Ω
= ydxdydzI 2
, với



≤
≤++
Ω
1
2
:
222
y
yzyx
o/
∫∫∫
Ω
= zdxdydzI
, với




≤
≤++
Ω
0
1
:
222
z
zyx
p/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzzxI )(
, với



+−≤
≥
Ω
22
4
1
:
yxz
z
q/
∫∫∫
Ω
++= dxdydzzyxI )(

222
, với



+≤
≤++≤
Ω
22
222
41
:
yxz
zyx
r/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzyzxI )(
, với





≤≤
≤≤
≤≤
Ω
41
10

10
:
z
y
x
s/
∫∫∫
Ω
= dxdydzI
, với





+≤
≥
≤+
Ω
22
22
0
2
:
yxz
z
xyx
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
6