Xử lý ảnh số - Khôi phục ảnh part 4 doc

Ngo`ai kh´o khˇan, nhu
.
v´ıdu
.
trˆen, trong viˆe
.
c x´ac d¯i
.
nh H(u, v)ch´ung ta hiˆe
´
m khi biˆe
´
t
d¯ ˆa
`
yd¯u
˙’
thˆong tin vˆe
`
nhiˆe
˜
ud¯ˆe
˙’
t`ım N( u, v).
5.4.2 Khu
.
˙’
nho`e do chuyˆe
˙’
nd¯ˆo
.

ng d¯ˆe
`
u tuyˆe
´
n t´ınh
C´o mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng thu
.
.
ctˆe
´
trong d¯´o c´o thˆe
˙’
x´ac d¯i
.
nh l`o
.
i gia
˙’
i H(u, v)mˆo
.
t c´ach gia
˙’

i
t´ıch. Tuy nhiˆen nghiˆe
.
m n`ay c´o c´ac gi´a tri
.
bˇa
`
ng khˆong trong v`ung tˆa
`
nsˆo
´
quan tˆam.
Ch´ung ta d¯˜a gˇa
.
p kh´o khˇan khi H(u, v) = 0 trong Phˆa
`
n 5.4.1. Du
.
´o
.
id¯ˆayx´et b`ai to´an
phu
.
chˆo
`
ia
˙’
nh bi
.
nho`e do chuyˆe

˙’
nd¯ˆo
.
ng d¯ˆe
`
u tuyˆe
´
n t´ınh. Ch´ung ta d¯ˆe
`
cˆa
.
p b`ai to´an n`ay
do n´o c´o liˆen quan d¯ˆe
´
n thu
.
.
ctˆe
´
v`a c´o thˆe
˙’
x´ac d¯i
.
nh mˆo
.
t nghiˆe
.
m gia
˙’
it´ıcht`u

.
d¯´o.
Gia
˙’
thiˆe
´
ta
˙’
nh f(x, y) di chuyˆe
˙’
nv´o
.
i c´ac th`anh phˆa
`
n chuyˆe
˙’
nd¯ˆo
.
ng theo th`o
.
i gian
x = x
0
(t)v`ay = y
0
(t), v`a T l`a khoa
˙’
ng th`o
.
i gian xa

˙’
y ra chuyˆe
˙’
nd¯ˆo
.
ng. Khi d¯´o a
˙’
nh bi
.
nho`e
g(x, y)=

T
0
f[x − x
0
(t),y− y
0
(t)]dt. (5.15)
Biˆe
´
nd¯ˆo
˙’
i Fourier h`am g(x, y) ta d¯u
.
o
.
.
c
G(u, v)=


R
2
g(x, y) exp[−2πi(ux + vy)]dxdy
=

R
2


T
0
f[x − x
0
(t),y− y
0
(t)]dt

exp[−2πi(ux + vy)]dxdy.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
c Fubini
G(u, v)=

T
0



R
2
f[x − x
0
(t),y− y
0
(t)] exp[−2πi(ux + vy)]dxdy

dt
=

T
0
F (u, v) exp[−2πi(ux
0
(t)+vy
0
(t))dt
= F(u, v)

T
0
exp[−2πi(ux
0
(t)+vy
0
(t))]dt.
D
-

ˇa
.
t
H(u, v):=

T
0
exp[−2πi(ux
0
(t)+vy
0
(t))]dt.
Ta c´o
G(u, v)=H(u, v)F (u, v).
Nhu
.
vˆa
.
y, nˆe
´
ubiˆe
´
t c´ac biˆe
´
n chuyˆe
˙’
nd¯ˆo
.
ng x
0

(t)v`ay
0
(t)th`ıdˆe
˜
d`ang suy ra h`am di
.
ch
H(u, v). Chˇa
˙’
ng ha
.
n, gia
˙’
thiˆe
´
ta
˙’
nh chuyˆe
˙’
nd¯ˆo
.
ng d¯ˆe
`
u, tuyˆe
´
n t´ınh theo hu
.
´o
.
ng tru

.
c x v´o
.
i
126
vˆa
.
ntˆo
´
c x
0
(t)=
at
T
. Khi t = T a
˙’
nh d¯˜a di chuyˆe
˙’
nmˆo
.
t khoa
˙’
ng c´ach l`a a. V´o
.
i y
0
(t)=0
ta c´o
H(u, v)=


T
0
exp[−2πiux
0
(t)]dt
=

T
0
exp

−2πiuat
T

dt
=
T
πua
sin(πua)exp[−πiua].
Hiˆe
˙’
n nhiˆen H triˆe
.
t tiˆeu ta
.
i c´ac gi´a tri
.
u = n/a v´o
.
i n ∈ Z.

Nˆe
´
u f(x, y) = 0 (hoˇa
.
c d¯˜a biˆe
´
t) ngo`ai d¯oa
.
n[0,L]vˆa
´
nd¯ˆe
`
triˆe
.
t tiˆeu cu
˙’
a H(u, v)c´o
thˆe
˙’
tr´anh v`a a
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c phu
.
chˆo
`

i ho`an to`an t`u
.
h`am g(x, y) trong d¯oa
.
n n`ay. V`ı y l`a bˆa
´
t
biˆe
´
nd¯ˆo
´
iv´o
.
i th`o
.
i gian, nˆen khu
.
˙’
biˆe
´
n n`ay trong (5.15) ta d¯u
.
o
.
.
c
g(x)=

T
0

f[x − x
0
(t)]dt =

T
0
f

x −
at
T

dt, 0 ≤ x ≤ L.
Thay biˆe
´
n τ := x −
at
T
v`a bo
˙’
qua mˆo
.
thˇa
`
ng sˆo
´
ta d¯u
.
o
.

.
c
g(x)=

x
x−a
f(τ )dτ, 0 ≤ x ≤ L.
Sau d¯´o d¯a
.
o h`am theo biˆe
´
n x
∂g
∂x
(x)=f(x) −f(x −a), 0 ≤ x ≤ L.
Hay
f(x)=
∂g
∂x
(x)+f(x − a), 0 ≤ x ≤ L. (5.16)
D
-
ˆe
˙’
thuˆa
.
ntiˆe
.
n trong phˆa
`

n sau ta gia
˙’
thiˆe
´
t L = Ka trong d¯´o K l`a sˆo
´
nguyˆen. Khi
d¯´o biˆe
´
n x c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
udiˆe
˜
nda
.
ng
x = z + ma
trong d¯´o z ∈ [0,a]v`am l`a phˆa
`
n nguyˆen cu
˙’
a(x/a). Chˇa
˙’
ng ha
.
n, nˆe
´
u a =2v`ax =3.5

th`ı m =1v`az =1.5. Dˆe
˜
kiˆe
˙’
m tra la
.
i z + ma =3.5. Cˆa
`
nch´u´yrˇa
`
ng, v´o
.
i L = Ka th`ı
chı
˙’
sˆo
´
m c´o thˆe
˙’
lˆa
´
ymˆo
.
t trong c´ac gi´a tri
.
nguyˆen 0, 1, ,K −1. V´ıdu
.
, khi x = L th`ı
z = a v`a m = K − 1.
Thay x = z + ma v`ao (5.16) ta d¯u

.
o
.
.
c
f(z + ma)=
∂g
∂x
(z + ma)+f[z +(m − 1)a]. (5.17)
K´yhiˆe
.
u φ(z) l`a mˆo
.
t phˆa
`
ncu
˙’
aca
˙’
nh chuyˆe
˙’
nd¯ˆo
.
ng trong d¯oa
.
n[0,a):
φ(z)=f(z − a), 0 ≤ z ≤ a.
127
Phu
.

o
.
ng tr`ınh (5.17) c´o thˆe
˙’
gia
˙’
id¯ˆe
.
qui theo φ(z). Do d¯´o v´o
.
i m =0th`ı
f(z)=
∂g
∂x
(z)+f(z −a)
=
∂g
∂x
(z)+φ(z).
V´o
.
i m =1, phu
.
o
.
ng tr`ınh (5.17) tro
.
˙’
th`anh
f(z + a)=

∂g
∂x
(z + a)+f(z).
Suy ra
f(z + a)=
∂g
∂x
(z + a)+
∂g
∂x
(z)+φ(z).
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
,v´o
.
i m =2:
f(z +2a)=
∂g
∂x
(z +2a)+f(z + a)
v`a thay f(z + a)d¯u
.
o
.
.

c
f(z +2a)=
∂g
∂x
(z +2a)+
∂g
∂x
(z + a)+
∂g
∂x
(z)+φ(z).
Lˇa
.
pla
.
ithu
˙’
tu
.
c trˆen, cuˆo
´
ic`ung ta c´o
f(z + ma)=
m

k=0
∂g
∂x
(z + ka)+φ(z).
Nhu

.
ng x = z + ma, nˆen
f(x)=
m

k=0
∂g
∂x
(x − ka)+φ(x − ma) (5.18)
v´o
.
imo
.
i x ∈ [0,L]. V`ı g(x) d¯˜a biˆe
´
t, vˆa
´
nd¯ˆe
`
cˆa
`
n x´ac d¯i
.
nh φ.
Phu
.
o
.
ng ph´ap x´ac d¯i
.

nh h`am φ t`u
.
a
˙’
nh bi
.
nho`enhu
.
sau. Tru
.
´o
.
chˆe
´
t nhˆa
.
nx´et
rˇa
`
ng, khi x thay d¯ˆo
˙’
i trong d¯oa
.
n[0,L]th`ım thay d¯ˆo
˙’
i trong d¯oa
.
n[0,K − 1]. Do d¯´o
x − ma ∈ [0,a)v`av`ıvˆa
.

y φ(x − ma)d¯u
.
o
.
.
clˇa
.
pla
.
i K lˆa
`
n khi x thay d¯ˆo
˙’
i trong d¯oa
.
n
[0,L]. D
-
ˇa
.
t
ˆ
f(x):=
m

j=0
∂g
∂x
(x − ja). (5.19)
Khi d¯´o (5.18) c´o thˆe

˙’
viˆe
´
tla
.
i
φ(x − ma)=f(x) −
ˆ
f(x). (5.20)
128
U
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng bˆen tr´ai v`a bˆen pha
˙’
icu
˙’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh n`ay v´o
.
i ka ≤ x<(k +1)a v`a sau

d¯´o cˆo
.
ng c´ac kˆe
´
t qua
˙’
v´o
.
i k =0, 1, ,K −1, ta d¯u
.
o
.
.
c
Kφ( x − ma)=
K−1

k=0
f(x + ka) −
K−1

k=0
ˆ
f(x + ka),x∈ [0,a),
trong d¯´o m =0do0≤ x<a.Suy ra
φ(x)=
1
K
K−1


k=0
f(x + ka) −
1
K
K−1

k=0
ˆ
f(x + ka).
Tˆo
˙’
ng th´u
.
nhˆa
´
tbˆen vˆe
´
pha
˙’
icu
˙’
abiˆe
˙’
uth´u
.
c n`ay chu
.
abiˆe
´
t. Tuy nhiˆen, v´o

.
i K d¯ u
˙’
l´o
.
n gi´a
tri
.
n`ay tiˆe
´
nd¯ˆe
´
n f. Do d¯´o ta c´o thˆe
˙’
xˆa
´
pxı
˙’
gi´a tri
.
n`ay bˇa
`
ng hˇa
`
ng sˆo
´
A;v`av`ıvˆa
.
y
φ(x)  A −

1
K
K−1

k=0
ˆ
f(x + ka)
v´o
.
imo
.
i x ∈ [0,a). Hay
φ(x −ma)  A −−
1
K
K−1

k=0
ˆ
f(x + ka −ma)
v´o
.
imo
.
i x ∈ [0,L]. Do d¯´o t`u
.
(5.19)
φ(x − ma)  A −
1
K

K−1

k=0
k

j=0
∂g
∂x
[x + ka −ma −ja]
 A −
1
K
K−1

k=0
k

j=0
∂g
∂x
[x −ma +(k − j)a].
Kˆe
´
tho
.
.
pv´o
.
i (5.19) v`a (5.20) cho kˆe
´

t qua
˙’
f(x)  A −
1
K
K−1

k=0
k

j=0
∂g
∂x
[x −ma +(k − j)a]+
m

j=0
∂g
∂x
(x − ja)
v´o
.
i x ∈ [0,L]. Cuˆo
´
ic`ung thˆem biˆe
´
n y v`ao ta d¯u
.
o
.

.
c
f(x, y)  A −
1
K
K−1

k=0
k

j=0
∂g
∂x
[x − ma +(k − j)a, y]+
m

j=0
∂g
∂x
(x −ja,y)
trong d¯´o x ∈ [0,L]. Nhu
.
trˆen, f(x, y)d¯u
.
o
.
.
c gia
˙’
thiˆe

´
tl`aa
˙’
nh k´ıch thu
.
´o
.
c vuˆong. Thay
d¯ ˆo
˙’
i vai tr`o cu
˙’
a x v`a y ta c˜ung c´o kˆe
´
t qua
˙’
tu
.
o
.
ng tu
.
.
cho viˆe
.
c khˆoi phu
.
ca
˙’
nh chuyˆe

˙’
nd¯ˆo
.
ng
theo tru
.
c y. Phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay c´o thˆe
˙’
d`ung biˆe
˙’
udiˆe
˜
na
˙’
nh d¯˜a khˆoi phu
.
c cho chuyˆe
˙’
n
d¯ ˆo
.
ng liˆen tu
.
cd¯ˆe
`
u theo ca

˙’
hai chiˆe
`
u x v`a y.
129
5.5 Lo
.
c b`ınh phu
.
o
.
ng tˆo
´
i thiˆe
˙’
u
Gia
˙’
su
.
˙’
R
f
v`a R
n
l`a c´ac ma trˆa
.
ntu
.
o

.
ng quan cu
˙’
a f v`a n d¯ u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh tu
.
o
.
ng ´u
.
ng bo
.
˙’
i
R
f
= E{ff
t
}
v`a
R
n
= E{nn
t

},
trong d¯´o E{.} l`a k`y vo
.
ng v`a f v`a n x´ac d¯i
.
nh trong Phˆa
`
n 5.1.3. Phˆa
`
ntu
.
˙’
h`ang i cˆo
.
t j
cu
˙’
a ma trˆa
.
n R
f
bˇa
`
ng E{f
i
f
j
} l`a tu
.
o

.
ng quan gi˜u
.
a c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
th ´u
.
i v`a j cu
˙’
a f.Tu
.
o
.
ng
tu
.
.
, phˆa
`
ntu
.
˙’
(i, j)cu
˙’
a ma trˆa
.
n R

n
ch´ınh l`a tu
.
o
.
ng quan gi˜u
.
a c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
˙’
a
n.V`ı c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
cu
˙’
a f v`a n l`a thu
.

.
cnˆen E{f
i
f
j
} = E{f
j
f
j
} v`a E{n
i
n
j
} = E{n
j
n
j
}.
Do d¯´o R
f
v`a R
n
l`a c´ac ma trˆa
.
nd¯ˆo
´
ix´u
.
ng thu
.

.
c. V´o
.
ihˆa
`
uhˆe
´
t c´ac h`am a
˙’
nh tu
.
o
.
ng quan
gi˜u
.
a c´ac pixel (t´u
.
c l`a c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
cu
˙’
a f hoˇa
.
c n)chı
˙’
tu

.
o
.
ng quan nˆe
´
u khoa
˙’
ng c´ach gi˜u
.
a
ch´ung khˆong vu
.
o
.
.
t qu´a 30 pixel nˆen ma trˆa
.
ntu
.
o
.
ng quan cu
˙’
ach´ung c´o c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
kh´ac khˆong trˆen da
˙’

ido
.
c theo d¯u
.
`o
.
ng ch´eo v`a bˇa
`
ng khˆong trong phˆa
`
n c`on la
.
i. Du
.
.
a trˆen
gia
˙’
thiˆe
´
ttu
.
o
.
ng quan gi˜u
.
a hai pixel l`a h`am sˆo
´
theo khoa
˙’

ng c´ach gi˜u
.
ach´ung m`a khˆong
phu
.
thuˆo
.
c v`ao vi
.
tr´ı, c´ac ma trˆa
.
n R
f
v`a R
n
c´o thˆe
˙’
xˆa
´
pxı
˙’
th`anh c´ac ma trˆa
.
n khˆo
´
i chu
tr`ınh v`a do d¯´o c´o thˆe
˙’
ch´eo ho´a bˇa
`

ng ma trˆa
.
n W theo thuˆa
.
t to´an miˆeu ta
˙’
trong Phˆa
`
n
5.2.2. K´yhiˆe
.
u A v`a B l`a c´ac ma trˆa
.
n sao cho

R
f
= WAW
−1
,
R
n
= WBW
−1
.
(5.21)
Ch´u´yrˇa
`
ng c´ac phˆa
`

ntu
.
˙’
cu
˙’
a ma trˆa
.
nd¯u
.
`o
.
ng ch´eo D = W
−1
HWtu
.
o
.
ng ´u
.
ng
biˆe
´
nd¯ˆo
˙’
i Fourier cu
˙’
a khˆo
´
i phˆa
`

n c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
cu
˙’
a H.V`ıvˆa
.
y, c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
cu
˙’
a A v`a B
l`a biˆe
´
nd¯ˆo
˙’
i Fourier cu
˙’
a c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
tu
.

o
.
ng quan trong R
f
v`a R
n
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng. Biˆe
´
nd¯ˆo
˙’
i
Fourier cu
˙’
a c´ac tu
.
o
.
ng quan n`ay, k´y hiˆe
.
u S
f
(u, v)v`aS
η
(u, v), go

.
il`aphˆo
˙’
cˆong suˆa
´
t (hay
mˆa
.
td¯ˆo
.
phˆo
˙’
)cu
˙’
a f
e
(x, y)v`aη
e
(x, y)tu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
Gia
˙’
su
.
˙’

Q l`a ma trˆa
.
n sao cho
Q
t
Q = R
−1
f
R
n
.
Khi d¯´o (5.13) cho ta
ˆ
f =(H
t
H + γR
−1
f
R
n
)
−1
H
t
g.
T`u
.
(5.7) v`a (5.21), suy ra
ˆ
f =(W

¯
DDW
−1
+ γWA
−1
BW
−1
)
−1
W
¯
DW
−1
g.
130