Xử lý ảnh - Chương 4

chơng
2
Các hệ thống hai chiều
2.1 Chỉ dẫn
Các tín hiệu vốn là hai chiều thì phải đợc xử lý bằng kỹ thuật xử lý tín hiệu hai chiều.
Các điểm ảnh đợc coi là một dạng tín hiệu hai chiều, vì vậy việc xem xét các kiến thức cơ
bản của hệ thống hai chiều (2-D) là cần thiết. Trong chơng này chúng ta sẽ xem xét biểu
diễn tần số và biểu diễn không gian của tín hiệu hai chiều, và cung cấp kiến thức cần thiết
cho việc phát triển các kỹ thuật xử lý ảnh hai chiều nh là nổi ảnh, trơn ảnh và khôi phục
ảnh.
2.2 Các tín hiệu hai chiều
Một tín hiệu lấy mẫu hai chiều đợc biểu diễn dới dạng một mảng hai chiều x(n
1
T
V
,n
2
T
H
)
(V: Vertical - chiều dọc, H: Horizontal - chiều ngang). ở đây n
1
, n
2
là số nguyên và T
V
, T
H
là khoảng cách lấy mẫu theo chiều ngang và chiều dọc. x(n
1
T

V
, n
1
T
H
) thờng đợc kí hiệu tắt
là x(n
1
,n
2
) và biểu diễn cho cờng độ sáng hay là biên độ tín hiệu tại điểm (n
1
,n
2
) trong miền
không gian. Hình 2.1 giới thiệu một phép biểu diễn trong miền không gian, ở đây cờng độ
sáng của tín hiệu đợc kí hiệu bởi chiều cao tại điểm x(n
1
T
V
, n
2
T
H
). Chú ý rằng T
V
là khoảng
cách lấy mẫu giữa hai cột dọc kế tiếp nhau, T
H
là khoảng cách lấy mẫu giữa hai dòng

ngang kế tiếp nhau của tín hiệu 2-D.
Mặc dù một tín hiệu lấy mẫu 2-D có thể xử lý nh các d y của tín hiệu lấy mẫu một chiềuã
bằng cách xử lý tất cả các hàng (cột) một cách tuần tự song cách tiếp cận này không cho
một kết quả mong đợi nh khi xử lý hai chiều. Ví dụ, nếu chúng ta dùng một bộ lọc làm nổi
đờng biên ảnh 1-D, cụ thể đó là một bộ lọc thông cao, trên một ảnh bằng cách xử lý từng
hàng một, thì đờng biên sẽ phần lớn đợc làm nổi bật dọc theo các đờng thẳng đứng. Các đ-
ờng biên ảnh nằm theo các đờng nằm ngang sẽ không đợc làm nổi một chút nào và các đ-
ờng biên nằm theo các hớng khác ngoài hai hớng này sẽ nhận đợc hiệu ứng làm nổi ảnh ít
hơn các đờng biên dọc. Để đạt đợc hiệu quả nh nhau theo mọi hớng, tín hiệu đợc lấy mẫu
hai chiều phải đợc xử lý qua một hệ thống 2-D (Hình 2.2).
Trong hệ thống tuyến tính bất biến - TTBB (Linear Shift Invariant - LSI), đáp ứng đầu
ra có thể tính theo công thức :

),h(n*),(),(
212121
nnnxnny =
(2.1)
Dấu * đợc hiểu là tích chập và h(n
1
,n
2
) là đáp ứng xung của hệ thống 2-D. Biểu thức (2.1)
có thể viết là:


=

=
=
1 2

),(),(),(
22112121
k k
knknhkkxnny
(2.2)
7
n
1
T
v
2T
v
T
v
2T
H
T
H
x(n
1
,T
v
,n
2
,T
H
)
n
2
T

H
Hình 2.1 Biểu diễn trong miền khoảng cách.
2.3 Một số d y 2-D thông dụng ã
Chúng bao gồm:
1. D y xung đơn vị :ã



==
==
lại còn hợp trường các với
với
0
0 1
),(),(
21
21021
nn
nnunn

(2.3)
2. D y nhảy bậc đơn vị :ã




=

lại còn hợp trường các với
với

0
0, 1
),(
21
211
nn
nnu
(2.4)
3. D y hàm mũ:ã




=
lại còn hợp trường các với
với
0
0,
),(
2121
21
21
nnaa
nnx
nn
(2.5)
4. D y tín hiệu hình sin (phức):ã
)(
21
2211

),(
nnj
ennx

+
=
- <n
1
,n
2
< + (2.6)
Hình 2.2 Xử lý tín hiệu 2-D.
8
h(n
1
,n
2
)
x(n
1
,n
2
) y(n
1
,n
2
)
2.4 Đáp ứng tần số của hệ thống 2-D -TTBB
Đặt
)(

21
2211
),(
nnj
ennx

+
=

Đáp ứng ra có thể rút ra khi dùng biểu thức (2.2).

[ ]


=

=
+
=
1
21
2
)()(
21
),(),(
222111
k k
knknj
kkhenny

(2.7)
hoặc



=

=
++
=
1 2
22112211
),(),(
21
)()(
21
k k
kkjnnj
kkheenny

(2.8)
Công thức này có thể viết lại thành

),(),(),(
212121

Hnnxnny =

Tín hiệu ra là tín hiệu hình sin phức (sinusoid) hoàn toàn có cùng tần số nh tín hiệu vào,
nhng biên độ và góc pha thì bị thay đổi bởi hàm khuyếch đại phức H(

1
,
2
). Hàm khuếch
đại này gọi là đáp ứng tần số và đợc cho bởi

)(
2121
2211
2
2
1
1
),(),(
kkj
k
k
k
k
ekkhH


+
=
=
=
=

=
(2.9)

Biểu thức
)(
2211
kkj
e

+

đợc gọi là nhân. Nếu khoảng cách cách lấy mẫu T
V
,T
H
đ đã ợc biết
thì biểu thức (2.9) có thể viết lại thành



=


=
=
2
21
1
),(2
21
),(),(
k
TvkTukj

HV
k
HV
eTkTkhvuH

(2.10)

1
,
2
có thứ nguyên là radian/đơn vị, còn u và v có thứ nguyên là vòng/đơn vị. Đơn vị ở
đây có thể là đơn vị khoảng cách (nh cm, inch) hoặc là đơn vị thời gian (nh giây). Việc chọn
đơn vị (thời gian hoặc khoảng cách) phụ thuộc nguồn gốc của ảnh, đó là một phép chiếu từ
không gian ba chiều lên mặt phẳng hai chiều. Nếu ta xử lý với một ảnh lấy ra trực tiếp từ
ma trận CCD camera thì T
V
và T
H
(và do đó là đơn vị) phải tính theo chiều không gian (xem
hình 2.3). Mặt khác, với một ảnh truyền hình thì T
V
và T
H
phải theo chiều thời gian (xem
hình 2.4).
Từ (2.9) ta có thể viết

),(),2(
2121

HH =+

),()2,(
2121

HH =+
(2.11)
),()2,2(
2121

HH =++
Và từ (2.10) ta có thể viết
),(,
1
vuHv
T
uH
V
=








+
9

),(
1
, vuH
T
vuH
H
=








+
(2.12)
),(
1
,
1
vuH
T
v
T
uH
HV
=

++
Hình 2.3 T
V
và T
H
cho lấy mẫu ảnh trên một ma trận camera CCD.
Hình 2.4 T
V
và T
H
cho một ảnh quét xen kẽ.
Hàm H(
1
,
2
) xác định trên toàn bộ miền
( ) ( )


1 2
và là hàm
tuần hoàn trong miền tần số với chu kì tuần hoàn là 2 đối với
1
và

2
. H(u,v) xác định
trên miền
( ) ( )
HHVV
TvTTuT
2
1
2
1
2
1
2
1

và là hàm tuần hoàn với chu
kì 1/T
V
và 1/T
H
cho u và v. Có thể chiếu H(

1
,

2
) hoặc H(u, v) lên miền chuẩn hoá, ở đây
/

1
,
/
2

[ ]
11,
bằng cách đặt
/
1
=
1
/;


/
2
=
2
/

hoặc
/
1
=2uT
V
;


/

2
=2vT
h
.
/
1
và
/
2
gọi là
tần số chuẩn hoá, hàm H(

/
1
,

/
2
) có thể viết lại
10

T
V
T
H

)(
2121
2211
1 2

),(),(
kkj
k k
ekkhH



+


=

(2.13)
Nếu chúng ta hạn chế h(n
1
,n
1
) chỉ lấy các giá trị thực thì đáp ứng tần số thoả m n:ã
),(),(
2121

jjjj
eeHeeH


=
(2.14)
H* = liên hợp phức của H. Điều này dẫn đến H(

1

,

2
) đối xứng (Hình 2.5).

Hình 2.5 Đối xứng tâm.
Chú ý rằng nếu x(n
1
,n
2
) =

(n
1
,n
2
), thì biểu thức (2.2) trở thành y(n
1
,n
2
) = h(n
1
,n
2
). Vì lý do
này mà h(n
1
,n
2
) đợc gọi là đáp ứng xung, hoặc là đáp ứng biên độ, của hệ thống 2-D.

Bài tập 2.1 Tính biểu thức đáp ứng tần số của một hệ thống với đáp ứng xung cho bởi










=
0.0
5.0
125.0
125.0
125.0
),(
21
nnh

Chứng minh rằng công thức tính đáp ứng tần số có thể tách đợc.
2.5 Tính đáp ứng xung từ đáp ứng tần số
Đáp ứng tần số của h(n
1
,n
2
) đợc cho bởi :

+
=
1 2
)(
2121
2211
),(),H(
n n
nnj
ennh


(2.15)
Xét tích phân



+







21
)(
21
2
2211

),(
4
1
ddeH
kkj
(2.16)
Thay biểu thức (2.15) vào biểu thức (2.16) chúng ta đợc
21
)()(
21
2
1 2
22112211
)),((
4
1







ddeennh
n n
kkjnnj



++

Và có thể viết thành
11
A
B
B
*
A
*

1

2
[ ] [ ]
2
)(
1
)(
21
2122111
1 2
2
1
2
1
),(

dedennh
knjknj
n n






Và biến đổi thành

),()()(),(
21221121
1 2
kkhknknnnh
n n
=



Điều này có nghĩa là đáp ứng xung có thể tính từ đáp ứng tần số qua mối quan hệ:
h(n
1
,n
2

) =


+







21
)(
21
2
2211
),(
4
1
ddeH
nnj
(2.17)
Nếu đáp ứng tần số đợc cho dới dạng hàm của u,v (vòng/đơn vị), thì biểu thức (2.17) có
thể viết thành

vdduvuHTTnnh
V
V
H
H

HV
T
T
T
T
nvTnuTj
HV
e


+
=
2
1
2
1
2
1
2
1
_
)(2
21
211
),(),(

(2.18)
Hoặc cho tần số chuẩn hoá:

+


=
1
1
2
1
1
1
)(
2121
2211
),(
4
1
),(


ddeHnnh
nnj
(2.19)
Ví dụ 2.3 Cho đáp ứng tần số




=

0
||,|| 1
),(
21
21
lại còn hợp trường các


ba
H
(xem hình 2.10), h y tính đáp ứng xung.ã
Hình 2.10 Ví dụ 2.3.
Giải Từ phơng trình (2.17) chúng ta có thể viết :
12

1
a-a
b
b


-
-

2