Vi phân tích doc

1
PHẦN II. VI TÍCH PHÂN
Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN
2
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
ξ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x ∈
X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x) ∈ Y theo qui tắc
f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y.
Ký hiệu:
)x(fyx
YX:f
=
→

)x(fx 
•
Đơn ánh: ∀x
1
, x
2
∈ X, x
1
≠ x
2
=> f(x
1
) ≠ f(x
2

)
•
Toàn ánh: Với mỗi y ∈ Y, ∃x ∈ X: y = f(x)
•
Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh
•
Nếu f: X→Y là song ánh thì f
-1
: Y→X là ánh xạ ngược
của f
3
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa hàm số: Với X,Y ⊂ R, ta gọi ánh xạ f:X→Y
là một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x).
x: biến độc lập
y: biến phụ thuộc.
Tập X: miền xác định
Tập f(X) = {f(x): x ∈ X}: miền giá trị của f
Ví dụ: Tìm miền xác định, giá trị: y = 2x
2
- 4x + 6
4
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng mxđ X:
•
f <=> g: f(x) <=> g(x), ∀ x ∈ X
•
f ± g = f(x) ± g(x), ∀x∈X
•
fg = f(x)g(x), ∀x∈X

•
af = af(x), ∀x∈X
•
f/g = f(x)/g(x), ∀x∈X, g(x)≠0
5
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) đồng thời u = g(x). Khi đó
f = f[g(x)] là hàm số hợp của biến độc lập x thông qua
biến trung gian u. Ký hiệu f
o
g.
Ví dụ: Tìm g
o
f, g
o
h, f
o
g, h
o
g với g = lg
2
x, f = sinx, h=e
x
Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu
f: X→Y là một song ánh thì f
-1
: Y→X được gọi là hàm số
ngược của f.
•
Đồ thị của f, f

-1
đối xứng nhau qua đường y = x.
6
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số đơn điệu:
•
f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x
1
,x
2
∈ (a,b):
x
1
< x
2
=> f(x
1
) ≤ f(x
2
) (f(x
1
) ≥ f(x
2
))
•
f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x
1
,x
2
∈

(a,b): x
1
< x
2
=> f(x
1
) < f(x
2
) (f(x
1
) > f(x
2
))
•
Hàm số tăng hoặc giảm trên (a,b) được gọi đơn điệu.
Hàm số bị chặn:
•
f gọi bị chặn trên nếu ∃M: f(x) ≤ M, ∀x
•
f gọi bị chặn dưới nếu ∃m: f(x) ≥ m, ∀x
•
f gọi bị chặn nếu ∃M: |f(x)| ≤ M, ∀x
7
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X.
Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: ∃T ≠ 0:
f(x+T) = f(x), ∀ x ∈ X
Số T
0
> 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu

kỳ cơ sở của hàm số f.
Ví dụ:
•
Hàm số y= sinx, y = cos(x) với chu kỳ cơ sở là T
0
= 2π.
•
Hàm số y = tg(x), y = cotgx với chu kỳ cơ sở là T
0
= π.
8
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x ∈ X.
•
f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x), ∀ x ∈ X
•
f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ X
Ví dụ: f(x) = cosx + x- x
2
là Hàm số chẵn
)1xxlg()x(g
2
++=
Hàm số lẻ
Ghi chú:
•
Hàm số chẵn đối xứng qua Oy
•
Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ
9

C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Hàm số luỹ thừa: y = x
α
, với α ∈ R
•
α ∈ N: mxđ R
•
α nguyên âm: mxđ x ≠ 0.
•
α có dạng 1/p, p ∈ Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ
•
α là số vô tỉ: qui ước chỉ xét y = x
α
tại mọi x ≥ 0, α > 0
và tại mọi x > 0 nếu α < 0.
ξ2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ
Đồ thị của y = x
α
luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ
độ (0,0) nếu α > 0, không đi qua góc toạ độ nếu α < 0.
10
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
2. Hàm số mũ: y = a
x
(a > 0, a ≠ 1)
•
Hàm số mũ xác định với mọi x dương.
•
Hàm số mũ tăng khi a > 1.
•

Hàm số mũ giảm khi a < 1.
•
Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ.
11
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. Hàm số logarit: y = log
a
x, a > 0, a ≠ 1
•
Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0.
•
Hàm số log
a
x tăng khi a > 1
•
Hàm số log
a
x giảm khi a < 1
•
Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị
•
Hàm số y = log
a
x là hàm số ngược của số y = a
x
12
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
)x(Log)x(log)
x
x

(log
2a1a
2
1
a
−=
blog
a
ab =
alog
blog
blog
c
c
a
=
•
Một số tính chất của log
a
x:
log
a
(x
1
x
2
) = log
a
(x
1

) + log
a
(x
2
)
log
a
x
α
= αlog
a
x
13
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
4. Hàm số lượng giác:
•
y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2π
•
y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2π
•
y = tgx, mxđ ∀ x ≠ (2k+1)π/2, hàm lẻ, chu kỳ π
•
y = cotgx, mxđ ∀ x ≠ kπ, k ∈ Z, hàm lẻ, chu kỳ π
14
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
5. Hàm số lượng giác ngược:
•
Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị
[-π/2,π/2] và là hàm số tăng.
•

Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá
trị [0,π] là hàm số giảm
•
Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị
(-π/2,π/2) và là hàm số tăng.
•
Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị
(0,π) là hàm số giảm.
15
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa: Các hàm số hằng số, luỹ thừa, mũ, logarit,
lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm
số sơ cấp cơ bản.








+
+
=
2x
3)xsin(2
lg)x(f
2
2
3

Ví dụ: f(x) là hàm số sơ cấp.
•
Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số
hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy
hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi
chung là hàm số sơ cấp.
16
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
ξ3. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số:
Định nghĩa lân cận:
•
x thuộc lân cận của x
0
⇔ ∃δ>0 nhỏ bất kỳ: 0<|x-x
0
| < δ
•
x thuộc lân cận của +∞ ⇔ ∃M>0 lớn bất kỳ: x > M
•
x thuộc lân cận của -∞ ⇔ ∃N<0 nhỏ bất kỳ: x < N
Mở rộng thêm:
•
x thuộc lân cận phải của x
0
và x > x
0
⇔ x
0
< x < x

0
+ δ
•
x thuộc lân cận trái của x
0
và x < x
0
⇔ x
0
- δ < x < x
0
17
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa giới hạn: Cho hàm f(x) xác định trên một
khoảng chứa x
0
(riêng tại x
0
, f(x) có thể không tồn tại).
Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x →x
0
,
nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0: 0 < |x – x
0
| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε. Ký
hiệu:
L)x(flim
0
xx
=

→
Ví dụ, Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng
7)1x2(lim
3x
=+
→
2
1x
1x
lim
2
1x
=
−
−
→
18
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
L)x(flim
0
xx
=
+→
L)x(flim
00
xx,xx
=
>→
L)x(flim
0

xx
=
−→
L)x(flim
00
xx,xx
=
<→
Định nghĩa giới hạn một bên:
•
Bên phải: ∀ε > 0, ∃δ > 0: x
0
< x < x
0
+ δ ⇒ |f(x) – L| < ε
•
Bên trái: ∀ε > 0, ∃δ > 0: x
0
- δ < x < x
0
⇒ |f(x) – L| < ε
<=>=
→
L)x(flim
0
xx
L)x(flim)x(flim
00
xxxx
==

−→+→
Định lý:
Ví dụ, Tìm giới hạn f(x) khi x→0



<
>
=
0 x khix-1
0 xkhix
)x(f
19
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận
của điểm x
0
thì:
)x(f)x(flim
0
xx
0
=
→
.
Định nghĩa giới hạn lân cận ∞:
L)x(flim
x
=
+∞→

nếu ∀ε > 0, ∃N > 0 đủ lớn: x > N ⇒ |f(x) - L| < ε
L)x(flim
x
=
−∞→
nếu ∀ε > 0, ∃N < 0 đủ nhỏ: x < N ⇒ |f(x) - L| < ε
Ví dụ, chứng minh rằng
0
x
1
lim
x
=
+∞→
20
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
2. Giới hạn vô hạn của hàm số:
+∞=
→
)x(flim
0
xx
∀M > 0 lớn tuỳ ý, ∃δ > 0: 0 < |x – x
0
| < δ ⇒ f(x) > M
−∞=
→
)x(flim
0
xx

∀N < 0 nhỏ tuỳ ý, ∃δ > 0: 0 < |x – x
0
|< δ ⇒ f(x) < N
Ví dụ: chứng minh
+∞=
−
→
2
ax
)ax(
1
lim
21
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. Các tính chất của giới hạn hàm số:
Định lý: nếu lim f(x) = A và lim g(x) = B thì
•
lim (f ± g) = A ± B
•
lim (fg) = AB
•
lim (f/g) = A/B (B ≠ 0)
•
lim f
g
= A
B
•
lim C = C
•

lim [Cf(x)] = CL
1

Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞,
0.∞, 1
∞
, ∞
0
, 0
0
thì phải biến đổi để khử chúng.
22
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Ví dụ: Tìm
1xx3
xsin
lim )a
2
x
2
++
π
→
1x
1x
lim )b
2
1x
−
−

→
2x
8x
lim )c
3
2x
−
−
→
23
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Giả sử g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) đối với mọi x thuộc lân
cận của x
0
. Nếu
=>==
→→
L)x(hlim)x(glim
00
xxxx
L)x(flim
0
xx
=
→
Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là
hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì
limf(u) = f(L) = f(limu)









−
+π
∞→
xx2
1x
sinlim
2
2
x
Ví dụ: Tìm
)x/1sin(xlim
0x→
Ví dụ: Tìm
24
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1
x
xsin
lim
0x
=
→
e
x

1
1lim
x
x
=






+
∞→
( )
ex1lim
x/1
0x
=+
→
aln
x
1a
lim
x
0x
=
−
→
1
x

)x1ln(
lim
0x
=
+
→
4. Một số giới hạn đặc biệt:
•
Hàm số lũy thừa:
0 xlim ; xlim : 0
0x
x
=+∞=>α
+
→
α
+∞→
α
+∞==<α
+
→
α
+∞→
α
0x
x
xlim ;0 xlim : 0
25
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
•

Hàm mũ:
0a lim ;a lim : 1a
x
x
x
x
=+∞=>
−∞→+∞→
+∞==<<
−∞→+∞→ x
x
x
x
a lim ;0a lim : 1a0
•
Hàm logarit:
−∞=+∞=>
+
→
+∞→
0x
a
x
a
xlog lim ;xlog lim : 1a
+∞=−∞=<<
+
→
+∞→
0x

a
x
a
xlog lim ;xlog lim : 1a0
•
Hàm ngược lượng giác:
2
arctgx lim ;
2
arctgx lim
xx
π
−=
π
=
−∞→+∞→
π==
−∞→+∞→ xx
arccotgx lim ;0arccotgx lim