Bài giảng biến đổi năng lượng điện cơ chương 3 pptx

1Bài giảng 3
408001
Biến ñổi năng lượng ñiện cơ
TS. Nguyễn Quang Nam
HK2, 2009 – 2010
/>
2Bài giảng 3
 Mạch từ với một phần tử chuyển ñộng sẽ ñược khảo sát.
 Mô hình toán cho các hệ thống ñiện cơ thông số tập trung sẽ ñược
rút ra.
 Một hay nhiều hệ cuộn dây tương tác ñể tạo ra lực hay mômen trên
hệ cơ.
 Tổng quát, cả dòng ñiện trong cuộn dây lẫn lực/mômen biến thiên
theo thời gian.
 Một hệ phương trình vi phân ñiện cơ có tương quan ñược rút ra, và
chuyển thành dạng không gian trạng thái, thuận tiện cho việc mô phỏng
trên máy tính, phân tích, và thiết kế.
Hệ thống ñiện cơ – Giới thiệu
3Bài giảng 3
S
 Xét hệ thống trong hình 4.1
 ðịnh luật Ampere
trở thành
 ðịnh luật Faraday
Hệ tịnh tiến – Áp dụng các ñịnh luật ñiện từ
∫∫
⋅•=•
S
f
C
daJdlH

η
NiHl
=
∫ ∫
⋅•−=•
C S
daB
dt
d
dlE
η
( )
dt
d
N
dt
d
v
λ
=Φ=
trở thành
 Việc áp dụng ñịnh luật Gauss còn tùy thuộc vào hình dạng, và cần thiết
cho hệ thống với H khác nhau. ðịnh luật bảo toàn ñiện tích dẫn ñến KCL.
Contour C
4Bài giảng 3
 Với các hệ chuyển ñộng tịnh tiến, λ = λ(i, x).
 Khi hình dạng của mạch từ là ñơn giản, theo ñịnh luật Faraday
Cấu trúc của một hệ thống ñiện cơ
Hệ ñiện
(tập trung)

Ghép
ñiện cơ
Hệ cơ
(tập trung)
v, i, λ
f
e
, x
or T
e
, θ
dt
dx
xdt
di
idt
d
v
∂
∂
+
∂
∂
==
λ
λ
λ
ðiện áp biến áp ðiện áp tốc ñộ
5Bài giảng 3
Như vậy,

Hệ tuyến tính về ñiện
(
)
ixL
=
λ
( )
(
)
dt
dx
dx
xdL
i
dt
di
xLv +=
 Với hệ không có phần tử chuyển ñộng
Li
=
λ
dt
di
Lv =
and
 Với hệ có nhiều cửa
∑∑
==
∂
∂

+
∂
∂
==
M
j
j
j
k
N
j
j
j
kk
k
dt
dx
xdt
di
idt
d
v
11
λλλ
Nk , ,2,1
=
 Lực và từ thông móc vòng có thể là hàm của tất cả các biến.
6Bài giảng 3
Tìm H
1

, H
2
, λ, và v, với các giả thiết sau: 1) µ = ∞ với lõi, 2) g >> w, x >>
2w và 3) không có từ thông tản.
Ví dụ 4.1
(
)
(
)
(
)
022
2010
=
−
wdHwdH
µ
µ
xg
Ni
HH
+
==
21
Dẫn ñến
ðịnh luật Gauss
xg
iNwd
N
+

=Φ=
2
0
2
µ
λ
Từ thông móc vòng
ðiện cảm
( )
xg
Nwd
xL
+
=
2
0
2
µ
( )
( )
dt
dx
xg
iNwd
dt
di
xg
Nwd
tv
2

2
0
2
0
22
+
−
+
=
µµ
ðiện áp
7Bài giảng 3
 Vd. 4.2: Hình 4.7. Tìm λ
s
, λ
r
làm hàm của i
s
, i
r
, và θ, và tìm v
s
và v
r
của
rôto hình trụ. Giả thiết µ = ∞, và g << R và l.
Hệ thống chuyển ñộng quay
31 r
rrss
r

H
g
iNiN
H −=
−
=
42 r
rrss
r
H
g
iNiN
H −=
+
=
(
)
lRHNlRHNN
rsrssss
θ
π
µ
θ
µ
φ
λ
−
+
=
=

2010
Rút gọn thành
rrssss
iLNNiLN






−+=
π
θ
λ
2
1
00
2
Tương tự,
rrsrsr
iLNiLNN
0
2
0
2
1 +







−=
π
θ
λ
π
θ
<
<
0
π
θ
<
<
0
( ) ( ) ( )
dt
d
Mi
dt
di
M
dt
di
Ltv
r
r
s
ss

θ
θθ
sincos −+=
Máy thực tế,
8Bài giảng 3
 Tính λ
1
và λ
2
và xác ñịnh tự cảm và hỗ cảm cho hệ trong hình 4.14,
dùng mạch từ tương ñương.
Ví dụ 4.4
R
x
R
x
R
x
N
2
i
2
N
1
i
1
Φ
1
Φ
2

2
0
0
W
x
A
x
R
x
µ
µ
==
2111
2
Φ
+
Φ
=
xx
RRiN
2122
2
Φ
+
Φ
=
xx
RRiN
( )
2211

2
1
2
0
111
2
3
iNNiN
x
W
N −=Φ=
µ
λ
( )
2
2
2121
2
0
222
2
3
iNiNN
x
W
N +−=Φ=
µ
λ
 Bạn có thể nhận diện tự cảm và hỗ cảm không?
9Bài giảng 3

 Lực f
e
= f
e
(i, x) = f
e
(λ, x) (vì i có thể ñược tính từ λ = λ(i, x)) với hệ có
một cửa ñiện và một cửa cơ.
 f
e
luôn luôn tác ñộng theo chiều dương của x.
 Xét hệ trong hình 4.17, ñược chuyển thành sơ ñồ trong hình 4.18. Gọi
W
m
là năng lượng lưu trữ, theo nguyên tắc bảo toàn năng lượng
Tính lực bằng khái niệm năng lượng
Tốc ñộ thay ñổi
năng lượng lưu trữ
Công suất
ñiện ñưa vào
Công suất
cơ lấy ra
=
_
dt
dx
f
dt
d
i

dt
dx
fvi
dt
dW
ee
m
−=−=
λ
dxfiddW
e
m
−=
λ
hay
 Một biến ñiện và một biến cơ có thể ñược chọn tùy ý, mà không vi
phạm các quy tắc vật lý của bài toán. Giả sử
(λ, x) ñược chọn.
10Bài giảng 3
 Vì môi trường liên kết ñược bảo toàn, ñộ thay ñổi năng lượng lưu trữ khi ñi từ
a ñến b trong mặt phẳng λ – x là ñộc lập với ñường lấy tích phân (hình 4.19).
Với ñường A
Tính lực (tt)
( ) ( ) ( ) ( )
∫∫
+−=−
b
a
b
a

dxidxxfxWxW
b
x
x
a
e
aambbm
λ
λ
λλλλλ
,,,,
 Với ñường B
( ) ( ) ( ) ( )
∫∫
−=−
b
a
b
a
x
x
b
e
aaambbm
dxxfdxixWxW ,,,,
λλλλλ
λ
λ
 Cả hai phương pháp phải cho cùng kết quả. Nếu λ
a

= 0, không có lực sinh ra
bởi ñiện năng, khi ñó ñường A dễ tính hơn, với
( ) ( ) ( )
∫
=−
b
dxixWxW
bambbm
λ
λλλ
0
,,0,
 Có thể tổng quát hóa thành
( ) ( )
∫
=
λ
λλλ
0
,, dxixW
m
11Bài giảng 3
 Nhớ lại
Quan hệ lực và năng lượng
dxfiddW
e
m
−=
λ
 Vì W

m
= W
m
(λ, x), ñạo hàm của W
m
có thể ñược biểu diễn
(
)
(
)
dx
x
xW
d
xW
dt
dW
mmm
∂
∂
+
∂
∂
=
,,
λ
λ
λ
λ
 So sánh hai phương trình, cho ta

(
)
λ
λ
∂
∂
=
xW
i
m
,
(
)
x
xW
f
m
e
∂
∂
−=
,
λ
12Bài giảng 3
 Tính f
e
(λ, x) và f
e
(i, x) của hệ thống trong ví dụ 4.1.
Ví dụ 4.5

gx
i
L
gx
i
g
Nwd
xg
iNwd
N
+
=
+
=
+
=Φ=
11
22
0
2
0
2
0
µµ
λ
( )
gx
L
i += 1
0

λ
( ) ( ) ( )
gx
L
dgx
L
dxiW
m
+=+==
∫∫
1
2
1,
0
2
0
0
0
λ
λ
λ
λλ
λλ
( )
gL
x
x
W
f
m

e
0
2
2
,
λ
λ
−=
∂
∂
−=
( )
( ) ( )
2
2
0
2
0
22
0
1
2
1
12
,
gx
iL
gxgL
iL
xif

e
+
−=
+
−=
Giải theo i
Tính f
e
13Bài giảng 3
 ðể tính W
m
(λ, x), cần có i = i(λ, x). Việc này có thể phức tạp. Có thể sẽ thuận
tiện hơn nếu tính f
e
trực tiếp từ λ = λ(i, x).
Tính lực bằng khái niệm ñồng năng lượng
dxfiddW
e
m
−=
λ
(
)
diidid
λ
λ
λ
+
=
(

)
diidid
λ
λ
λ
−
=
(
)
dxfdiiddW
e
m
−−=
λλ
(
)
dxfdiWid
e
m
+=−
λλ
 ðịnh nghĩa ñồng năng lượng như
(
)
xiWWWi
mmm
,
''
==−
λ

 Lấy tích phân dW’
m
dọc ñường Ob’b (hình 4.21), f
e
= 0 dọc Ob’
( ) ( )
∫
=
i
m
dixixiW
0
'
,,
λ
dx
x
W
di
i
W
dW
mm
m
∂
∂
+
∂
∂
=

''
'
 Về mặt toán học,
⇒
λ
f
e
14Bài giảng 3
 Tìm f
e
cho hệ trong hình 4.22.
Ví dụ 4.8
Ni
R
iron
R
gap
Φ
A
l
R
c
iron
µ
=
A
x
R
gap
0

2
µ
=
( )
xR
NiNi
RR
Ni
A
x
A
l
gapiron
c
=
+
=
+
=Φ
0
2
µµ
( )
xR
iN
N
2
=Φ=
λ
( )

( )
xR
iN
dixiW
i
m
2
,
22
0
'
==
∫
λ
( )
( )
2
2
0
2222
'
0
1
2
A
x
A
l
m
e

c
A
iN
xRdx
diN
x
W
f
µµ
µ
+
−=








=
∂
∂
=
 Từ thông móc vòng và ñồng năng lượng
 Lực (sinh ra bởi ñiện năng)
15Bài giảng 3
 Trong các hệ tuyến tính (về ñiện), cả năng lượng lẫn ñồng năng lượng ñều
bằng nhau về trị số. Trong hình 4.24,
Biểu diễn hình học của năng lượng và ñồng năng lượng

( )
A Vùng ,
0
==
∫
λ
λλ
dxiW
m
( )
B Vùng ,
0
'
==
∫
i
m
dixiW
λ
 Nếu λ(i, x) là một hàm phi tuyến như minh họa trên hình 4.25, khi ñó hai diện
sẽ không có trị số bằng nhau. Tuy nhiên, f
e
rút ra bằng năng lượng hay ñồng
năng lượng sẽ như nhau.
 Trước tiên, giữ λ cố ñịnh, năng lượng W
m
ñược giảm một lượng –∆W
m
như
trên hình 4.26(a) ñối với việc tăng một lượng

∆x. Tiếp ñó, giữ i không ñổi, ñồng
năng lượng tăng một lượng
∆W’
m
. Lực (do ñiện sinh ra) trong cả hai trường hợp
x
W
f
m
x
e
∆
∆
−=
→∆ 0
lim
x
W
f
m
x
e
∆
∆
=
→∆
'
0
lim
16Bài giảng 3

 Xét một hệ có 2 cửa ñiện và 1 cửa cơ, với λ
1
= λ
1
(i
1
, i
2
, x) và λ
2
= λ
2
(i
1
, i
2
, x).
Tốc ñộ thay ñổi năng lượng lưu trữ
Lực cho hệ 2 cửa ñiện – 1 cửa cơ bằng ñồng năng lượng
dt
dx
f
dt
d
i
dt
d
i
dt
dx

fiviv
dt
dW
ee
m
−+=−+=
2
2
1
12211
λλ
dxfdididW
e
m
−+=
2211
λλ
hay
(
)
221122112211
didiiiddidi
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−

+
=
+
(
)
dxfdidiWiid
e
m
++=−+
22112211
λλλλ
dxfdididW
e
m
++=
2211
'
λλ
Xét
Như vậy,
'
m
W
( )
(
)
(
)
∫∫
+=

21
0
'
2
'
212
0
'
1
'
1121
'
,,,0,,,
ii
m
dixiidixixiiW
λλ
Sau cùng,
17Bài giảng 3
 Xét một hệ có N cửa ñiện và M cửa cơ, các từ thông móc vòng là λ
1
(i
1
, , i
N
,
x
1
, , x
M

), , λ
N
(i
1
, , i
N
, x
1
, , x
M
).
Lực trong hệ nhiều cửa tổng quát
M
e
M
e
NNm
dxfdxfididdW −−−++=
1111
λλ
(
)
(
)
(
)
NNNNNN
didiididiid
λ
λ

λ
λ
λ
λ
+
+
+
+
+
=
+
+

111111
∑∑∑
===
+=






−
M
i
i
e
i
N

i
ii
W
m
N
i
ii
dxfdiWid
m
111
'
λλ
44 344 21
Ni
i
W
i
m
i
, ,1
'
=
∂
∂
=
λ
Mi
x
W
f

i
m
e
i
, ,1
'
=
∂
∂
=
18Bài giảng 3
 ðể tính W’
m
, việc tính tích phân ñược thực hiện trước tiên dọc các trục x
i
, rồi
dọc mỗi trục i
i
. Khi tính tích phân dọc x
i
, W’
m
= 0 vì f
e
bằng 0. Khi ñó,
Tính ñồng năng lượng W’
m
(
)
( )

( )
∫
∫
∫
−
+
++
=
'
21
'
121
0
'
221
'
212
0
'
121
'
11
'
, ,,,, ,,
, ,,0, ,,
, ,,0, ,0,
2
1
NMNNN
i

M
i
Mm
dixxxiiii
dixxxii
dixxxiW
λ
λ
λ
 Chú ý các biến dùng ñể tính tích phân. Với trường hợp ñặc biệt của hệ 2 cửa
ñiện và 2 cửa cơ,
(
)
(
)
∫∫
+=
21
0
'
221
'
212
0
'
121
'
11
'
,,,,,0,

ii
m
dixxiidixxiW
λλ
Và,
1
'
1
dx
W
f
m
e
∂
=
2
'
2
dx
W
f
m
e
∂
=
19Bài giảng 3
 Tính W’
m
và mômen (do ñiện sinh ra) của một hệ 3 cửa ñiện và 1 cửa cơ.
Ví dụ 4.10

(
)
ψ
φ
λ
−
+
=
cos
31111
MiiL
(
)
ψ
φ
λ
−
+
=
sin
32222
MiiL
(
)
(
)
ψ
φ
ψ
φ

λ
−
+
−
+
=
sincos
213333
MiMiiL
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
ψφψφ
ψφλψφλψφλ
−+−+++=
++=
∫∫∫
sincos
2
1
2
1
2
1
,,,,,,0,,,,0,0,
3231

2
333
2
222
2
111
0
'
3
'
3213
0
'
2
'
212
0
'
1
'
11
'
321
iMiiMiiLiLiL
diiiidiiidiiW
iii
m
( ) ( )
ψφψφ
φ

φ
−+−−=
∂
∂
= cossin
3231
'
iMiiMi
W
T
m
e
( ) ( )
ψφψφ
ψ
ψ
−−−=
∂
∂
= cossin
3231
'
iMiiMi
W
T
m
e
20Bài giảng 3
 Bỏ qua tổn thất trong từ trường, có thể rút ra quan hệ ñơn giản cho hệ ghép,
Biến ñổi năng lượng – Kiểm tra tính bảo toàn

Σ
dt
d
i
λ
vf
e
(
)
ω
e
T
dt
dW
m
Nhớ lại
(
)
x
xW
f
m
e
∂
∂
−=
,
λ
(
)

λ
λ
∂
∂
=
xW
i
m
,
Và chú ý rằng
λλ
∂∂
∂
=
∂∂
∂
x
W
x
W
mm
22
 ðiều kiện cần và ñủ ñể cho hệ là bảo toàn sẽ là
(
)
(
)
λ
λλ
∂

∂
−=
∂
∂ xf
x
xi
e
,,
(
)
(
)
i
xif
x
xi
e
∂
∂
=
∂
∂ ,,
λ
hay
21Bài giảng 3
 Với hệ này
Hệ thống 2 cửa ñiện và 1 cửa cơ
 Các ñiều kiện cho sự bảo toàn là
1
'

1
i
W
m
∂
∂
=
λ
dxfdididW
e
m
++=
2211
'
λλ
 Các phương trình cho từ thông và lực (do ñiện sinh ra) là
2
'
2
i
W
m
∂
∂
=
λ
x
W
f
m

e
∂
∂
=
'
1
1
i
f
x
e
∂
∂
=
∂
∂
λ
2
2
i
f
x
e
∂
∂
=
∂
∂
λ
1

2
2
1
ii ∂
∂
=
∂
∂
λλ
 ðiều này có thể mở rộng cho các hệ có nhiều cửa ñiện và nhiều cửa cơ.
22Bài giảng 3
 Nhớ lại
Biến ñổi năng lượng giữa hai ñiểm
(
)
(
)
(
)
dxxfdxidW
e
m
,,
λλλ
−+=
 Khi ñi từ a ñến b trong hình 4.31, ñộ thay ñổi năng lượng lưu trữ là
( ) ( )







−+=−
∫∫
b
a
b
a
x
x
e
aambbm
dxfidxWxW
λ
λ
λλλ
,,
bababa
m
EFMEFEW
→→→
+=∆
Với EFE viết tắt cho “energy from electrical” (năng lượng từ ñiện) và EFM viết
tắt “energy from mechanical” (năng lượng từ cơ).
 ðể ñánh giá EFE và EFM, cần có một ñường ñi cụ thể. Khái niệm EFM này
có ích trong việc nghiên cứu sự biến ñổi năng lượng theo chu kỳ của thiết bị.
23Bài giảng 3
 Trong 1 chu kỳ, khi hệ thống trở về trạng thái khởi ñầu, dW
m

= 0.
Biến ñổi năng lượng trong 1 chu kỳ
(
)
∫
∫
∫
∫
−+=−= dxfiddxfid
ee
λλ
0
 Từ hình 4.30, idλ = EFE, và –f
e
dx = EFM. Như vậy, trong 1 chu kỳ,
∫
∫
=+ 0EFMEFE
0=+
cyclecycle
EFMEFE
 Có thể tính EFE hoặc EFM trong 1 chu kỳ. Nếu EFE|
cycle
> 0, hệ thống ñang
hoạt ñộng như một ñộng cơ, và EFM|
cycle
< 0. Nếu EFE|
cycle
< 0, hệ thống ñang
vận hành như một máy phát, và EFM|

cycle
> 0.
 Xem vd. 4.14 – 4.16 trong giáo trình (Vd. 4.14 ñược hướng dẫn trên lớp)
24Bài giảng 3
 Các phần tử tập trung của hệ cơ: khối lượng (ñộng năng), lò xo (thế năng), và
bộ ñệm (tiêu tán). ðịnh luật Newton ñược dùng cho phương trình chuyển ñộng.
 Xét khối lượng M = W/g ñược treo trên lò xo có ñộ cứng K. Ở ñiều kiện cân
bằng tĩnh, trọng lực W = Mg ñược cân bằng bởi lực lò xo Kl, với l là ñộ giãn của
lò xo gây ra bởi khối lượng W.
 Nếu vị trí cân bằng ñược chọn làm gốc, chỉ có lực sinh ra bởi dịch chuyển cần
ñược xem xét. Xét mô hình vật tự do trong hình 4.35(c).
 ðịnh luật Newton: Lực gia tốc theo chiều dương của x bằng với tổng ñại số tất
cả các lực tác ñộng lên khối lượng theo chiều dương của x
.
ðộng học của hệ tập trung – Hệ khối lượng-lò xo
KxxM
−
=
&&
0
=
+
KxxM
&&
hay
25Bài giảng 3
 Nếu vị trí chưa biến dạng ñược chọn làm gốc (Hình 4.36), khi ñó
Hệ khối lượng-lò xo với phần tử tiêu tán
MgKyyM
+

−
=
&&
MgKyyM
=
+
&&
KlMg
=
(
)
0
=
−
+
lyKyM
&&
 Chú ý rằng
 Xét khối lượng M ñược ñỡ bởi lò xo (hình 4.37), và một tổ hợp lò xo-bộ ñệm.
f(t) là lực áp ñặt. x ñược ño từ vị trí cân bằng tĩnh. Một bộ ñệm lý tưởng sẽ có
lực tỷ lệ với vận tốc tương ñối giữa hai nút, với ký hiệu như trong hình 4.38.
M
x
f
K1
f
B1
f(t)
f
K2

(
)
( )
dt
dx
BxKxKtf
ffftfxM
BKK
−−−=
−
−
−
=
21
21
&&
26Bài giảng 3
 Viết các phương trình cơ học cho hệ trong hình 4.40.
Ví dụ 4.17
M
1
x
1
K
2
x
11
B x
&
x

&
2
B
K
1
x
1
f
1
(t)
23
B x
&
M
2
x
2
K
3
x
2
x
&
2
B
K
2
x
f
2

(t)
 ðịnh nghĩa x
2
– x
1
= x
(
)
(
)
(
)
1111122122111
xKxBxxBxxKtfxM
−
−
−
+
−
+
=
&&&&&
(
)
(
)
(
)
2323122122222
xKxBxxKxxBtfxM

−
−
−
−
−
−
=
&&&&&
27Bài giảng 3
 Mô tả ñộng học hoàn chỉnh của hệ thu ñược từ việc viết các phương trình cho
phía ñiện và phía cơ. Các phương trình này có liên kết, và tạo ra một hệ các
phương trình vi phân bậc nhất dùng cho phân tích. Hệ phương trình này ñược
coi là
mô hình không gian trạng thái của hệ thống.
 Vd. 4.19: Với hệ thống trong hình 4.43, chuyển các phương trình ñiện và cơ
về dạng không gian trạng thái. Từ thông móc vòng từ vd. 4.8,
Mô hình không gian trạng thái
( ) ( )
xR
iN
xRR
iN
gc
22
=
+
=
λ
( )
xR

iN
W
m
2
22
'
=

 Ở phía ñiện,
( )
( )
dt
dx
A
xR
iN
dt
di
xR
N
iRv
s
0
2
22
2
µ
−+=
28Bài giảng 3
 Ở phía cơ,

Mô hình không gian trạng thái (tt)
( )
( )
xAR
iN
f
dt
dx
BlxK
dt
xd
M
e
2
0
22
2
2
µ
−==+−+
với l > 0 là ñiểm cân bằng tĩnh của phần tử chuyển ñộng. Nếu vị trí của phần tử
chuyển ñộng ñược ño từ vị trí cân bằng, các phương trình cơ có biến
(x – l) thay
vì
x. Quan hệ trên có ñược dưới ñiều kiện sau,
(
)
(
)
0

2
2
=
−
=
−
dt
lxd
dt
lxd
 Mô hình không gian trạng thái của hệ thống là một hệ 3 phương trình vi phân
bậc nhất. Ba
biến trạng thái là x, dx/dt (hay v), và i.
29Bài giảng 3
 Ba phương trình bậc nhất có ñược bằng cách ñạo hàm x, v, và i và biểu diễn
các ñạo hàm này
chỉ theo x, v, và i, và ngõ vào bất kỳ của hệ thống. Do ñó, các
phương trình sau cho ta mô hình không gian trạng thái,
Mô hình không gian trạng thái (tt)
v
dt
dx
=
( )
( )







−−−
−
= BvlxK
xAR
iN
Mdt
dv
2
0
22
1
µ
( )
( )






++−=
s
vv
A
xR
iN
iR
xLdt
di

0
2
2
21
µ
với
( )
( )
xR
N
xL
2
=
(
)
32111
,, xxxfx
=
&
(
)
32122
,, xxxfx
=
&
(
)
uxxxfx ,,,
32133
=

&
30Bài giảng 3
 Xét phương trình . Nếu ngõ vào u là không ñổi, khi ñó
bằng việc ñặt , sẽ thu ñược các phương trình ñại số .
Phương trình này có thể có vài nghiệm, và ñược gọi là
các ñiểm cân
bằng tĩnh
.
 Trong các hệ thống ít chiều, có thể dùng ñồ thị. Trong các hệ bậc cao,
thường cần dùng các kỹ thuật tính số ñể tìm nghiệm.
 Với vd. 4.19, ñặt các ñạo hàm bằng 0 cho ta
Các ñiểm cân bằng
(
)
uxfx ,
=
&
0
=
x
&
(
)
uxf
ˆ
,0
=
0=
e
v

Rvi
s
e
=
( )
(
)
( )
( )
xif
xAR
iN
lxK
ee
e
,
2
0
2
2
−==−−
µ
x
e
có thể tìm bằng ñồ thị bằng cách tìm giao ñiểm của –K(x – l) và
–f
e
(i
e
, x).

31Bài giảng 3
 Hai loại phương pháp: tường minh và ngầm ñịnh. Phương pháp Euler là dạng
tường minh, dễ hiện thực cho các hệ thống nhỏ. Với các hệ lớn, phương pháp
ngầm ñịnh tốt hơn nhờ tính ổn ñịnh số của nó.
 Xét phương trình
với
x, f, và u là các vectơ.
 Thời gian tích phân sẽ ñược chia ñều thành những bước ∆t (Hình 4.45).
Trong mỗi bước thời gian từ
t
n
ñến t
n+1
, biểu thức tích phân ñược coi là không
ñổi bằng giá trị ứng với thời ñiểm trước ñó
t
n
. Như vậy,
Tích phân số
(
)
uxfx ,
=
&
(
)
0
0 xx
=
( ) ( )

∫∫
++
=
11
,
n
n
n
n
t
t
t
t
dtuxfdttx
&
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
[
]
nnnnnnnn
tutxfttutxftttxtx ,,
11
∆
=
−
=
−
++
32Bài giảng 3
 Tính x(t) ở t = 0,1, 0,2, và 0,3 giây.
Ví dụ 4.21
(
)
2
2 xtx +−=
&
(
)
10
=
x
(
)
(

)
(
)
(
)
[
]
n
nnn
txftxx ,
1
∆+=
+
 Có thể chọn ∆t = 0.1 s. Công thức tổng quát ñể tính x
(n+1)
là
, 2,1,0
=
n
(
)
1
0
=x
 Tại t
0
 Tại t
1
= 0,1 s
(

)
(
)
(
)
2120,
2
0
0
−=+−=txf
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
8,021.01,
0
001
=−×+=∆+= txftxx
(
)
8,0
1

=x
(
)
(
)
(
)
344.18.021.0,
2
1
1
−=+−=txf
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
6656,0344,11,08,0,
1
112
=−×+=∆+= txftxx
 Tương tự,
(

)
5681,0
3
=x
(
)
4939,0
4
=x
33Bài giảng 3
 Tìm i(t) bằng pp Euler. R = (1 + 3i
2
) Ω, L = 1 H, và v(t) = 10t V.
Ví dụ 4.22
( )
tviR
dt
di
L =+
(
)
( )
tvii
dt
di
=++
2
31
(
)

00
=
i
 ðặt i = x, và v(t) = u
(
)
( ) ( )
tuxftuxx
dt
dx
,,31
2
=++−=
(
)
(
)
0
00 xx ==
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n

nnnn
tuxtfxx ,,
1
∆+=
+
, 2,1,0
=
n
(
)
0
0
=x
(
)
0
0
=u
(
)
(
)
(
)
0,,
0
00
=tuxf
(
)

0
1
=x
⇒
(
)
0
1
=x
(
)
25,0
1
=u
(
)
(
)
(
)
(
)
25,025,0001,,
2
1
11
=++−=tuxf
(
)
(

)
(
)
(
)
00625,025,0025,0
12
=+= xx
⇒