Đề tài: Khai thác từ kết quả một bài toán hình học pps

BÁO CÁO THỰC TẬP
Đề tài
Khai thác từ kết quả một bài
Toán hình học
MỤC LỤC
BÁO CÁO TH C T PỰ Ậ 1
t iĐề à 1
Khai thác t k t qu m t b i Toán hình h cừ ế ả ộ à ọ 1
M C L CỤ Ụ 2
PHẦN THỨ NHẤT.
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu phát
triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước. Hướng
đổi mới của giáo dục và đào tạo là đào tạo con người năng động, sáng tạo, chủ
động trong học tập, dễ thích ứng với cuộc sống và lao động. Bên cạnh việc dạy cho
học sinh (HS) nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức, giáo viên (GV) còn phải
dạy cho HS biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạo cho HS có nhu cầu nhận thức
trong quá trình học tập. Từ nhu cầu nhận thức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá
trình học tập tự giác, tích cực và tự lực trong học tập để chiếm lĩnh tri thức. Những
thành quả đạt được sẽ tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến
thức sẽ trở thành “tài sản riêng” của các em. HS không những nắm vững, nhớ lâu
mà còn biết vận dụng tốt những tri thức đạt được để giải quyết những vấn đề nảy
sinh trong học tập, trong thực tế cuộc sống và lao động mai sau. Đồng thời, HS có
phương pháp học trên lớp học và phương pháp tự học để đáp ứng được sự đổi mới
thường xuyên của khoa học công nghệ ngày nay.
Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toán
hình học nói riêng, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen
là: Sau khi đã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục
suy nghĩ, lật lại vấn đề để tìm kết quả mới hơn. Tìm được cái mới hơn rồi, lại tiếp
tục đi tìm cái mới hơn nữa hoặc đi tìm mối liên hệ giữa các vấn đề, . . . cứ như thế

chúng ta sẽ tìm ra được những kết quả thú vị.
Đã từng giảng dạy toán và hiện đang dạy toán lớp 8, tôi đã tích cực tự bồi
dưỡng và hướng dẫn các em HS bồi dưỡng kiến thức nâng cao, luôn quan tâm đến
việc khai thác bài toán. Với các lí do trên, tôi xin trình bày đề tài “Khai thác từ kết
quả một bài toán hình học” hi vọng góp phần vào giải quyết vấn đề trên.
II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
1. Đối tượng nghiên cứu: HS lớp 8, lớp 9 THCS Yên Bình.
2. Phạm vi nghiên cứu: Chương trình hình học lớp 8, lớp 9 THCS.
PHẦN THỨ HAI.
NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Đặc điểm của lứa tuổi HS THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự
mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh
hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần
phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy, cô
giáo. Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS là một quá
trình lâu dài.
*Tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của HS được thể hiện ở một số mặt sau:
- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập
khuôn, máy móc.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở
nhiều khía cạnh.
- Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cách nào khác
nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận còn đúng hay không? …
- Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề.
- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết.
*Khai thác, phát triển kết quả một bài toán nói chung có nhiều hướng như:
- Nhìn lại toàn bộ các bước giải. Rút ra phương pháp giải một loại toán nào đó.
Rút ra các kinh nghiệm giải toán.
- Tìm thêm các cách giải khác.

- Khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán, đề xuất các bài toán mới.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy:
- Đa số HS, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng và
dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sáng
tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- HS còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc. Từ đó dẫn đến làm mất đi tính tích
cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- HS yếu toán nói chung và yếu hình học, đặc biệt là yếu về giải bài toán quỹ tích
hình học nói riêng chủ yếu là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ,
lười tư duy trong quá trình học tập.
- Không ít HS thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp,
chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.
- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân HS ít được củng cố, khắc sâu kiến
thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng
lực cá nhân không được phát huy hết.
- Một số GV chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toán
trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói chung.
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển
một bài toán sẽ giúp cho HS khắc sâu được kiến thức. Quan trọng hơn là nâng cao
được tư duy cho các em HS, giúp HS có hứng thú hơn khi học toán.
Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy
và học sao cho phù hợp.
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
Qua những bài toán mà HS đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy,
tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các hình thức
như:
- Kiểm tra kết quả. Xem xét lại các lập luận.
- Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như:
Liệu bài toán còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để

đề xuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác
không? . .
Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, phát triển từ kết quả
một bài toán quen thuộc (bài toán quỹ tích hình học lớp 8). Nhằm giúp HS thấy
được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong học hình học nói
riêng. Từ đó, giúp HS tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp HS thêm
yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán.
IV. NỘI DUNG CỤ THỂ
Từ kết quả của một bài toán hết sức đơn giản ban đầu, nếu chịu khó suy xét
tiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển bài
toán, tạo ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác. Sau đây là ví dụ minh hoạ:
1. Bài toán gốc:

♦
Bài toán 1.

(Bài toán quỹ tích lớp 8).
Cho ∆ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM,
điểm I di chuyển trên đường nào? (Bài 126 - SBT Toán 8 - Trang 73)
1.1/ Phân tích tìm cách giải: A
∆ABC, M
∈
cạnh BC,
GT
2
AM
IMAI ==

P I Q

d

KL I di chuyển trên đường nào?
B M C
Hình 1
Ở bài toán này, ta dễ nhận thấy khi điểm M di chuyển trên cạnh BC cố định thì
điểm I di chuyển theo và luôn là trung điểm của AM. Để xác định được quỹ tích
điểm I, ta xét 2 vị trí đặc biệt của M:
+Khi M
≡
B thì I
≡
P (P là trung điểm của AB, P cố định),
+Khi M
≡
C thì I
≡
Q (Q là trung điểm của AC, Q cố định).
Từ đó suy ra được I
∈
PQ (PQ là đường trung bình của ∆ABC).
1.2/ Lời giải: (tóm tắt theo SBT)
Qua I kẻ đường thẳng d // BC, d cắt AB, AC lần lượt tại P và Q (Hình 1).
∆AMB có AI = IM, IP // BM => P là trung điểm của AB.
Tương tự , ta có: Q là trung điểm của AC. Các điểm P, Q cố định.
Vậy I di chuyển trên đoạn thẳng PQ (PQ là đường trung bình của ∆ABC).
2. Khai thác bài toán:
2.1/ Khai thác theo hướng tìm cách giải khác:
*Từ phân tích ở trên, thông qua dự đoán quỹ tích, ta dễ dàng tìm ra hướng chứng
minh điểm I cách BC một khoảng không đổi. Từ đó có cách giải thứ 2:

Cách 2:
Kẻ AH, IK vuông góc với BC (Hình 2). A
∆AMH có IA = IM (GT), IK // AH (cùng
⊥
BC) P I Q
=> IK là đường trung bình của ∆AMH
=>
2
AH
IK =
không đổi (vì AH không đổi).
B H K M C
Mà K
∈
BC cố định nên I nằm trên đường thẳng // BC, Hình 2
cách BC một khoảng bằng
2
AH
.
-Khi M
≡
B thì I
≡
trung điểm P của AB (P cố định),
-Khi M
≡
C thì I
≡
trung điểm Q của AC (Q cố định).
Vậy I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).

*Từ việc xét 2 vị trí đặc biệt của M, cùng với nhận xét rằng đường trung
bình PQ cố định và I lại là trung điểm của AM giúp ta nghĩ đến đi chứng minh
I, P, Q thẳng hàng và ta có cách giải khác:
Cách 3:
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC. Ta có P, Q cố định.
Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta suy ra: PQ//BC và PI//BC
=> I, P, Q thẳng hàng.
-Khi M
≡
B thì I
≡
trung điểm P của AB (P cố định),
-Khi M
≡
C thì I
≡
trung điểm Q của AC (Q cố định).
Vậy I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Tiểu kết:
Việc tìm hiểu nhiều cách giải khau nhau cho một bài toán có vai trò to lớn
trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thông minh và óc
sáng tạo cho HS. Sở dĩ như vậy là vì trong khi cố gắng tìm ra những cách giải khác
nhau của bài toán HS sẽ có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác nhau của bài
toán, do đó sẽ hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm. Đồng thời,
việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp HS có dịp so sánh các cách giải đó,
chọn ra được cách hay hơn và tích luỹ được nhiều kinh nghiệm để giải toán. Ngoài
ra, với một bài toán khó chưa biết cách giải, nếu HS được biết rằng dù khó như vậy
nhưng bài toán vẫn có nhiều cách giải khác nhau thì các em sẽ cố gắng tìm lời giải
hơn; tức là tính tò mò, ham hiểu biết được khơi dậy trong HS.
Chẳng hạn, ở bài toán gốc, nếu mỗi chúng ta hiểu, nắm được 3 cách giải bài

toán này thì ít nhất từ HS (vốn sợ bài toán quỹ tích hình học) cũng sẽ thấy sự thú vị
của một bài toán. Từ đó, bản thân sẽ bớt “sợ quỹ tích” hơn, khơi dậy tính tò mò
muốn được tự khám phá, ham tìm tòi để chiếm lĩnh kiến thức hơn.
2.2/ Khai thác theo hướng thay đổi giả thiết, tìm bài toán mới:
Có thể nói, Bài toán 1 là một bài tập hết sức cơ bản về quỹ tích. Khai thác
bài toán gốc này không phải theo hướng tìm lời giải khác, mà theo hướng thử sáng
tạo: thay đổi dữ kiện - tìm bài toán mới, chúng ta có thêm một chuỗi các bài toán
mới với lời giải dễ dàng tìm được.
*Khai thác 2.2.1:
Nếu qua M, ta kẻ MD//AB và ME//AC (D
∈
AC, E
∈
AB) thì ta dễ dàng
chứng minh được AEMD là hình bình hành => I cũng là trung điểm của DE. Ta có
bài toán mới:
♦
Bài toán 2.

Cho ∆ABC, từ điểm M bất kì trên cạnh BC kẻ các đường thẳng song
song với AB, AC lần lượt cắt AB, AC lần lượt tại E và D. Gọi I là trung điểm của
DE. Tìm quỹ tích điểm I khi M di chuyển trên cạnh BC. A
Gợi ý giải: Hình 3 E
Ta có ME // AD, MD // AE (GT)
I

D

=> AEMD là hình bình hành B
M

C
mà I là trung điểm của DE Hình 3
=> I cũng là trung điểm của AM.
Đến đây, ta dễ dàng làm tiếp dựa vào kết quả bài toán gốc và có kết quả:
Quỹ tích các điểm I chính là đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Khai thác 2.2.2:
Từ bài toán 2, tiếp tục thay đổi giả thiết: “ME, MD lần lượt song song với
AC, AB” bởi quan hệ vuông góc và thêm giả thiết  = 90
0
, ta có bài toán tương tự:
♦
Bài toán 3.

Cho ∆ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh huyền. Gọi E và D lần
lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Trung điểm I của ED di chuyển trên
đường nào?
Gợi ý giải: Hình 4 A
-Chứng minh được AEMD là hình chữ nhật E
I D
Mà I là trung điểm của ED
=> I cũng là trung điểm của AM B
M
C
Đến đây, làm tiếp dựa vào kết quả bài toán gốc và có kết quả: Hình 4
Các điểm I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
Kính chào các bạn.
Các bạn thử làm theo tôi nhé!
Lời đầu tiên cho phép tôi được gửi tới các bạn lời chúc tốt đẹp nhất. Khi các
bạn đọc bài viết này nghĩa là các bạn đã có thiên hướng làm kinh
doanh

Bản thân tôi cũng là một sinh viên. Vậy làm cách nào để kiếm thêm cho mình
4, 5 triệu mỗi tháng ngoài tiền lương.
Thực tế tôi thấy rằng thời gian các bạn lướt web trong một ngày cũng tương
đối nhiều. Ngoài mục đích kiếm tìm thông tin, các bạn còn sưu tầm, tìm hiểu thêm
rất nhiều lĩnh vực khác. Vậy tại sao chúng ta không bỏ ra mỗi ngày 5 đến 10 phút
lướt web để kiếm cho mình 4, 5 triệu mỗi tháng.
Điều này là có thể?. Các bạn hãy tin vào điều đó. Tất nhiên mọi thứ đều có giá của
nó. Để các bạn nhận được 4, 5 triệu mỗi tháng, cần đòi hỏi ở các bạn sự kiên trì,
chịu khó và biết sử dụng máy tính một chút. Vậy thực chất của việc này là việc gì
và làm như thế nào? Và các bạn hãy đọc bài viết của tôi, và nếu có hứng thú thì hãy
bắt tay vào công việc ngay thôi.
Các bạn chắc đã nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng. Chắc chắn là có.
Tuy nhiên trên internet hiện nay có nhiều trang Web kiếm tiền không uy tín
( đó là những trang web nước ngoài, những trang web trả thù lao rất cao ). Nếu là
web nước ngoài thì chúng ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn về mặt ngôn ngữ, những
web trả thù lao rất cao đều không uy tín, chúng ta hãy nhận những gì tương xứng
với công lao của chúng ta, đó là sự thật.
Ở Việt Nam trang web thật sự uy tín đó là : .Lúc đầu
bản thân tôi cũng thấy không chắc chắn lắm về cách kiếm tiền này. Nhưng giờ tôi
đã hoàn toàn tin tưởng, đơn giản vì tôi đã được nhận tiền từ công ty.( các bạn cứ
tích lũy được 50.000 thôi và yêu cầu satavina thanh toán bằng cách nạp thẻ điện
thoại là sẽ tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm được chẳng bao nhiêu,
nhưng sau đó số tiền kiếm được sẽ tăng lên. Có thể các bạn sẽ nói: đó là vớ vẩn,
chẳng ai tự nhiên mang tiền cho mình. Đúng chẳng ai cho không các bạn tiền đâu,
chúng ta phải làm việc, chúng ta phải mang về lợi nhuận cho họ. Khi chúng ta đọc
quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa là mang về doanh thu cho Satavina, đương
nhiên họ ăn cơm thì chúng ta cũng phải có cháo mà ăn chứ, không thì ai dại gì mà
làm việc cho họ.
Vậy chúng ta sẽ làm như thế nào đây. các bạn làm như này nhé:
1/ Satavina.com là công ty như thế nào:

Đó là công ty cổ phần hoạt động trong nhiều lĩnh vực, trụ sở tại tòa nhà Femixco,
Tầng 6, 231-233 Lê Thánh Tôn, P.Bến Thành, Q.1, TP. Hồ Chí Minh.
GPKD số 0310332710 - do Sở Kế Hoạch và Đầu Tư TP.HCM cấp. Giấy phép ICP
số 13/GP-STTTT do Sở Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận 1 Thành
Phố HCM.
Khi các bạn là thành viên của công ty, các bạn sẽ được hưởng tiền hoa hồng
từ việc đọc quảng cáo và xem video quảng cáo( tiền này được trích ra từ tiền thuê
quảng cáo của các công ty quảng cáo thuê trên satavina)
2/ Các bước đăng kí là thành viên và cách kiếm tiền:
Để đăng kí làm thành viên satavina làm như sau:
Bước 1:
Nhập địa chỉ web: vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt
firefox, không nên dùng trình duyệt explorer)
Giao diện như sau:
các bạn chỉ điền thông tin của mình là được. Tuy nhiên, chức năng đăng kí
thành viên mới chỉ được mở vài lần trong ngày. Mục đích là để thầy cô và
các bạn tìm hiểu kĩ về công ty trước khi giới thiệu bạn bè
Để nhanh chóng các bạn có thể coppy đường linh
sau:


Bước 2:
Click chuột vào mục Đăng kí, góc trên bên phải( có thể sẽ không có giao diện
ở bước 3 vì thời gian đăng kí không liên tục trong cả ngày, các bạn phải thật kiên
trì).
Bước 3:
Nếu có giao diện hiện ra. khai báo các thông tin:
khai báo cụ thể các mục như sau:
+ Mail người giới thiệu( là mail của tôi, tôi đã là thành viên chính thức):

+ Mã số người giới thiệu( Nhập chính xác) :00084668
+ Địa chỉ mail: đây là địa chỉ mail của các bạn. Khai báo địa chỉ thật để còn vào đó
kích hoạt tài khoản nếu sai các bạn không thể là thành viên chính thức.
+ Nhập lại địa chỉ mail:
+ Mật khẩu đăng nhập: nhập mật khẩu khi đăng nhập trang web satavina.com
+ Các thông tin ở mục:
Thông tin chủ tài khoản: các bạn phải nhập chính xác tuyệt đối, vì thông tin này
chỉ được nhập 1 lần duy nhất, không sửa được. Thông tin này liên quan đến việc
giao dịch sau này. Sai sẽ không giao dịch được.
+ Nhập mã xác nhận: nhập các chữ, số có bên cạnh vào ô trống
+ Click vào mục: tôi đã đọc kĩ hướng dẫn
+ Click vào: ĐĂNG KÍ
Sau khi đăng kí web sẽ thông báo thành công hay không. Nếu thành công các bạn
vào hòm thư đã khai báo để kích hoạt tài khoản. Khi thành công các bạn vào web
sẽ có đầy đủ thông tin về công ty satavina và cách thức kiếm tiền. Hãy tin vào lợi
nhuận mà satavina sẽ mang lại. Hãy bắt tay vào việc đăng kí, chúng ta không mất
gì, chỉ mất một chút thời gian trong ngày mà thôi.
Kính chúc các bạn thành công.
2/ Cách thức satavina tính điểm quy ra tiền cho các bạn:
+ Điểm của các bạn được tích lũy nhờ vào đọc quảng cáo và xem video quảng cáo.
Nếu chỉ tích lũy điểm từ chính chỉ các bạn thì 1 tháng chỉ được khoảng 1tr.Nhưng
để tăng điểm cần phát triển mạng lưới bạn bè các bạn.
3/ Cách thức phát triển mạng lưới:
- Xem 1 quảng cáo video: 10 điểm/giây. (có hơn 10 video quảng cáo, mỗi video
trung bình 1 phút)
- Đọc 1 tin quảng cáo: 10 điểm/giây. (hơn 5 tin quảng cáo)
_Trả lời 1 phiếu khảo sát.:100,000 điểm / 1 bài.
_Viết bài
Trong 1 ngày bạn chỉ cần dành ít nhất 5 phút xem quảng cáo, bạn có thể kiếm
được: 10x60x5= 3000 điểm, như vậy bạn sẽ kiếm được 300đồng .

- Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cáo (gọi là Mức 1 của bạn), 10 người này
cũng dành 5 phút xem quảng cáo mỗi ngày, công ty cũng chi trả cho bạn
300đồng/người.ngày.
- Cũng tương tự như vậy 10 Mức 1 của bạn giới thiệu mỗi người 10 người thì bạn
có 100 người (gọi là mức 2 của bạn), công ty cũng chi trả cho bạn
300đồng/người.ngày.
- Tương tự như vậy, công ty chi trả đến Mức 5 của bạn theo sơ đồ sau :
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 1, bạn được 3.000đồng/ngày
→ 90.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 2, bạn được 30.000đồng/ngày
→ 900.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 3, bạn được 300.000đồng/ngày
→ 9.000.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 4, bạn được 3.000.000đồng/ngày
→ 90.000.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 5, bạn được 30.000.000đồng/ngày
→ 900.000.000 đồng/tháng.
Tuy nhiên các bạn không nên mơ đạt đến mức 5. Chỉ cần cố gắng để 1tháng được
1=>10 triệu là quá ổn rồi.
Như vậy các bạn thấy satavina không cho không các bạn tiền đúng không. Vậy hãy
đăng kí và giới thiệu mạng lưới của mình ngay đi.
Lưu ý: Chỉ khi bạn là thành viên chính thức thì các bạn mới được phép giới thiệu
người khác.
Hãy giới thiệu đến người khác là bạn bè các bạn như tôi đã giới thiệu và hãy
quan tâm đến những người mà bạn đã giới thiệu và chăm sóc họ( khi là thành viên
các bạn sẽ có mã số riêng).Khi giới thiệu bạn bè hãy thay nội dung ở mục thông tin
người giới thiệu là thông tin của các bạn. Chúc các bạn thành công và có thể kiếm
được 1 khoản tiền cho riêng mình.

Satavina có lừa đảo? Bạn nghe tôi giải
thích nha!
Kiếm tiền online đã có thật ở Việt Nam. Bạn không tin? Bạn cho
rằng đó là lừa đảo? Bạn nghĩ nó giống bán hàng đa cấp?
Xin giải thích một số điểm sau:
1. Thứ nhất: Satavina có trụ sở đàng hoàng, có đăng ký kinh
doanh, có mã số thuế nói chung là có tư cách pháp nhân đàng
hoàng vậy nên không thể lừa đảo được vì còn có pháp luật.
2. Thứ hai: Bạn không phải trả bất kỳ một khoản phí nào để làm
thành viên. Bạn chỉ kiếm tiền bằng cách đọc quảng cáo và xem
video hoặc giới thiệu bạn bè
3. Thứ ba: Satavina khác hẳn với bán hàng đa cấp là bạn phải
mua sản phẩm để đi bán cho người khác và giới thiệu người
khác mua sản phẩm. Satavina không bắt bạn mua gì cả.
4. Thứ 4: Bạn trực tiếp lĩnh tiền từ ATM hoặc thẻ thành viên
Satavina, có sự hợp tác của các đối tác hàng đầu Việt Nam như
ngân hàng Vietinbank.
5. Satavina là Công ty kinh doanh và nhà quảng cáo lớn. Công ty
không những làm về Quảng cáo mà còn buôn bán gỗ nhập khẩu,
là nhà nhập khẩu gỗ lớn từ Châu Âu.
Những điều trên đủ chứng minh và đảm bảo cho công việc kiếm
tiền bạn làm với Satavina. Và cũng đảm bảo rằng Satavina có đủ
khả năng để chi trả cho bạn để bạn và thành viên cùng bạn xem
và đọc quảng cáo.
Vậy Satavina lấy tiền ở đâu để chi trả cho bạn? Đơn giản quá vì
Satavina là nhà quảng cáo. Các doanh nghiệp, tổ chức, công
ty thuê Satavina làm quảng cáo. Thay vì quảng cáo trên các
phương tiện thông tin đại chúng thì Satavina chia sẻ việc xem đó
đến từng thành viên và chia lợi nhuận cho họ. Như vậy là bạn
xem quảng cáo và Satavina trả tiền cho bạn. Vậy nếu bạn giới

thiệu bạn của bạn xem quảng cáo thì tất nhiên Satavina sẽ trả
tiền cho cả hai bạn. Vậy nếu giới thiệu càng nhiều thì có nghĩa là
bạn và bạn của bạn và bạn của bạn của bạn kiếm càng nhiều.
Đó là cơ chế kiếm tiền và trả tiền của Satavina theo tôi được
biết. Vì tôi cũng đã từng biết đến mô hình này ở nhiều nước trên
thế giới. Chỉ có điều là nó mới lạ ở Việt Nam nên có thể mọi
người còn hoài nghi. Vậy sao bạn không thử? Bạn không phải
trả một khoản chi phí nào cả.
Hãy tin tôi.
HÃY KIÊN NHẪN BẠN SẼ THÀNH CÔNG
Chúc bạn thành công!
*Khai thác 2.2.3: Tiếp tục khai thác, với chú ý rằng điểm quan trọng trong điều
kiện ở giả thiết của hai bài toán 2 và bài toán 3 là ME // CD, MD // BE và BE cắt
CD tại A cố định. Bằng cách linh hoạt thay đổi giả thiết nhưng vẫn đảm bảo các
điều kiện đó, ta có được các bài toán mới lạ hơn như sau:
♦
Bài toán 4.

Cho đoạn thẳng BC cố định, lấy điểm M tuỳ ý nằm giữa B và C. Vẽ
về một phía của BC các tam giác đều BME và CMD. Tìm quỹ tích trung điểm I của
DE khi M di chuyển trên đoạn BC.
Gợi ý giải: Hình 5 A
+ Gọi A là giao điểm của BE và CD=> ∆ABC đều và cố định E
+ Chứng minh được AEMD là hình bình hành I
D

> làm tiếp dễ dàng.
Kết quả: Quỹ tích các điểm I chính là B

M C

đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC). Hình 5
♦
Bài toán 5.


Cho đoạn thẳng BC = a, lấy điểm M bất kì nằm giữa B và C. Vẽ về một phía
của BC các tam giác BME và CMD vuông cân lần lượt tại E và D. Khi M di
chuyển trên đoạn BC thì I di chuyển trên đường nào?
Gợi ý giải:
+ Gọi A là giao điểm của BE và CD => ∆ABC vuông cân tại A và cố định
+ Chứng minh được AEMD là hình chữ nhật
> làm tiếp tương tự như bài toán 3.
Kết quả: I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Khai thác 2.2.4:
Ở các bài toán trên, tiếp tục suy nghĩ, ta thấy từ điều kiện ME//CD và
MD//BC => B = CMD và BME = C, mà BE cắt CD tại A nên muốn A cố định ta
chỉ cần thêm giả thiết B = CMD = α và BME = C = β và ta có bài toán tổng quát
hay và khó:
♦
Bài toán 6.


Cho đoạn thẳng BC = a và điểm M bất kì nằm giữa B và C. Vẽ về một phía
của BC các tam giác BME và MCD sao cho B = CMD = α và BME = C = β (α, β
cho trước). Gọi I là trung điểm của DE. Khi M di chuyển trên đường thẳng BC thì I
di chuyển trên đường nào? A
Gợi ý giải: Hình 6
+Gọi A là giao điểm của BE và CD, I D
vì B = α và C = β không đổi và BC cố định E
nên A cố định.

+Từ giả thiết, dễ dàng chứng minh được B M C
AEMD là hình bình hành. Hình 6
> làm tiếp như bài toán 5, kết quả:
Khi điểm M di chuyển trên đường thẳng BC thì điểm I di chuyển trên đường
thẳng PQ (P,Q lần lượt là trung điểm của AB và AC).
Đến đây, chúng ta thấy rằng đã có nhiều thú vị từ bài toán gốc và không ít
chúng ta đến đây có lẽ đã chấp nhận dừng lại và thoả mãn với sự khai thác! . . .
Nhưng chưa hết thú vị đâu, nếu tiếp tục suy xét, chịu khó suy nghĩ tìm tòi, chúng ta
vẫn có thể khai thác tiếp và còn được những bài toán mới thú vị và hay hơn.
*Khai thác 2.2.5: Ở các bài toán trên, bài toán mới chỉ tìm hiểu khi có một điểm M
di động trên một đoạn BC cố định. Câu hỏi đặt ra: liệu có thể thay đổi giả thiết từ
bài toán gốc để xét với 2 điểm di động trên các đoạn thẳng cố định hay không?
Thật bất ngờ là hoàn toàn được!: Nhờ dựa vào tính chất của hình bình hành và cách
giải các bài toán ở trên, chúng ta có bài toán hay và khó hơn sau đây:
♦
Bài toán 7.

Cho ∆ABC cân tại A. Hai điểm E và D thứ tự di chuyển trên các cạnh AB,
AC sao cho AE = CD. Tìm tập hợp trung điểm I của DE.
Gợi ý giải: Hình 7 A
+Kẻ DM // AB (M
∈
BC), E
=> ∆DMC cân tại D
I


D
=> DM = DC = AE
=> AEMD là hình bình hành B M C

+Đến đây làm tiếp tương tự như các bài toán trên, Hình 7
ta có kết quả : điểm I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
♦
Bài toán 8.

(bài toán 7 là trường hợp riêng của bài toán 8):
Cho ∆ABC. Hai điểm E và D lần lượt di chuyển trên các cạnh AB, AC
sao cho
BE
AE
AD
CD
=
. Tìm quỹ tích các trung điểm I của ED.
Gợi ý giải:
+ Vẽ DM // AB (M
∈
BC) (hình 8)
=>
BM
CM
AD
CD
=
(talet) mà
BE
AE
AD
CD
=

(GT) A
=>
BE
AE
BM
CM
=
=> EM // AD (talet đảo) E
I
D
=> ADME là hình bình hành
=> trung điểm I của DE cũng là trung điểm của AM
B M C
> làm tiếp tương tự bài toán 7. Hình 8
Kết quả:
Quỹ tích các điểm I chính là đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Khai thác 2.2.6:
Từ các bài toán 7 và 8, lại khéo léo thay đổi giả thiết, ta có được hai bài toán
rất hay và chắc chắn sẽ rất khó nếu ta chưa biết đến các bài toán ở trên:
♦
Bài toán 9.


Cho góc xAy cố định. Hai điểm E, D lần lượt di chuyển trên hai cạnh Ax, Ay
sao cho AE + AD = a không đổi. Tìm quỹ tích các trung điểm I của ED.
Gợi ý giải: Hình 9 x
+Lấy B, C lần lượt trên tia Ex, Dy E
B

sao cho BE = AD, CD = AE P

=> AB = AE + EB = AE + AD = a I
tương tự AC = a A
D
Vậy ∆ABC cân tại A và cố định
Q

C y
> Đến đây, ta thấy chính là bài toán 7 Hình 9
> dễ dàng làm tiếp và cho kết quả:
Quỹ tích các điểm I chính là đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
♦
Bài toán 10.


Cho ∆ABC cố định. Hai điểm E, D lần lượt di chuyển trên các cạnh AB, AC
sao cho BE + CD = a không đổi. Tìm tập hợp các trung điểm M của DE.
Gợi ý giải: Hình 10 A
+Lấy G, H thứ tự trên tia EA và DA G
H
sao cho EG = CD, DH = BE
Từ giả thiết, chứng minh được
D
BG = CH = a không đổi => G, H cố định
K M I
+Gọi I, K, O, N lần lượt là trung điểm của
CG, BH, BC và CE => I, K, O cố định E
và O, N, I thẳng hàng (vì ON//BE, OI//BG).
N
+Áp dụng tính chất đường trung bình B O C
của tam giác, ta có: Hình 10

2OK = CH = a, 2OI = BG = a => OK = OI.
Chứng minh tương tự => NI = NM
+Các tam giác cân KOI và MNI có góc ở đỉnh bằng nhau (do OK // NM // AC)
nên các góc ở đáy tương ứng bằng nhau => OIK = NIM
=> I, M, K thẳng hàng => M di chuyển trên đường thẳng IK.
-Khi D
≡
C thì E
≡
G, khi đó M
≡
I,
-Khi E
≡
B thì D
≡
H, khi đó M
≡
K
=> Kết quả: Tập hợp các điểm M là đoạn thẳng IK.
*Tiểu kết:
Quá trình đi sâu khai thác, phát triển bài toán có ý nghĩa vô cùng tích cực
cho việc dạy và học toán. Quá trình này rèn luyện trí thông minh, óc sáng tạo cho
HS. Sau khi giải xong một bài toán và tìm nhiều cách giải khác, nên tiếp tục sáng
tạo: dựa vào bài toán đó mà tự nghĩ ra các bài toán mới. Việc làm này, giúp chúng
ta nắm vững mối quan hệ giữa các đại lượng và những quan hệ bản chất trong mỗi
bài toán. Từ đó mà HS hiểu bài hơn rất nhiều.
2.3/ Khai thác theo hướng diễn đạt bài toán dưới hình thức khác:
Từ bài toán gốc, do mối liên hệ khá mật thiết giữa “quỹ tích” với “điểm cố
định”, “các điểm thẳng hàng”, “các đường thẳng đồng quy”, “bài toán dựng hình”

nên ta có thể tạo ra rất nhiều bài toán mới hay và khó, thú vị không kém các bài
toán ở trên. Chẳng hạn:
Từ bài toán 1 (bài toán gốc), ta có bài toán sau:
♦
Bài toán 11:

Cho tam giác ABC, điểm M bất kì trên BC. Gọi P, Q, R lần lượt là
trung điểm của AB, AC và AM. Chứng minh rằng: P, Q, R thẳng hàng.
Hoặc từ bài toán 4, ta có bài toán mới khá thú vị:
♦
Bài toán 12:

Cho đoạn thẳng BC cố định, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy.
Vẽ về một phía của BC các tam giác đều BME và CMD. Gọi trung điểm của DE
là I. Chứng minh rằng: BE, CD và MI luôn đồng quy tại một điểm cố định.
Bằng cách thay đổi cách phát biểu một cách linh hoạt và khoa học, tương tự
như thế ta sẽ có nhiều bài toán mới nữa:
♦
Bài toán 13:

Cho ∆ABC cân tại A. Hai điểm E và D thứ tự di chuyển trên các
cạnh AB, AC sao cho AE = CD. Gọi trung điểm của DE là I. Tìm quỹ tích các
điểm M đối xứng với A qua I.
♦
Bài toán 14:

Cho tam giác ABC vuông cân. Điểm M di chuyển trên cạnh huyền
BC, đường thẳng qua M vuông góc với BC cắt đường thẳng AB, AC lần lượt ở D
và E. Gọi I, K thứ tự là trung điểm của CE và BD. Tìm quỹ tích các trung điểm của
đoạn thẳng IK.

♦
Bài toán 15:

Cho đoạn thẳng AB. Điểm M di chuyển, nằm giữa A và B. Vẽ về
một phía của AB các hình vuông AMND và BMLK có tâm lần lượt là C và D. Gọi
I là trung điểm của đoạn CD.
a) Điểm I di chuyển trên đường nào?
b) Chứng minh rằng PK luôn đi qua một điểm cố định.
♦
Bài toán 16.

Cho góc xAy 60
0
. Hai điểm E, D lần lượt di chuyển trên hai cạnh
Ax, Ay sao cho AE + AD = 10 cm. Dựng đường thẳng d cắt 2 cạnh của góc xAy tại
P và Q sao cho APQ là tam giác đều có cạnh bằng 5 cm. Chứng minh rằng d luôn
đi qua trung điểm của DE.
Lời giải các bài toán trên dễ dàng tìm được dựa vào các bài toán trước.
Phần giải chi tiết các bài toán xin dành cho bạn đọc, coi như bài tập vận dụng.
*Tiểu kết:
Như các bạn đã thấy, nếu chịu khó suy nghĩ tìm tòi thì sau mỗi bài toán đều
có chứa nhiều điều thú vị, bổ ích khác. Khai thác, phát triển bài toán ở nhiều khía
cạnh, chúng ta có thể tìm cách giải khác, phát triển, đề xuất thêm được các bài toán
mới hay và thú vị. Điều này rất bổ ích cho việc dạy và học toán, đặc biệt là cho
người học toán đấy!
Cuối cùng, tôi xin đưa ra một số bài tập:
♦
Bài 1.

Cho góc xOy bằng 30

0
. Trên cạnh Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm.
Điểm B di động trên cạnh Oy. Gọi G là trọng tâm của tam giác AOB. Hỏi điểm G
di động trên đường nào?
♦
Bài 2.

Cho góc vuông xOy và điểm A cố định thuộc cạnh Ox. Một điểm B
chuyển động trên Oy. Dựng hình vuông ABCD ở miền trong của góc xOy.
a) Tìm quỹ tích điểm D.
b) Tìm quỹ tích điểm C.
c) Tìm quỹ tích tâm I của hình vuông.
♦
Bài 3.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Một góc vuông EHF xoay
quanh H, cắt cạnh AB và AC thứ tự tại E và F.
a) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và HEF đồng dạng với nhau.
b) Tìm quỹ tích trung điểm I của EF.
c) Chứng minh rằng: Khi HA là tia phân giác của góc EHF thì AE = AF.
V. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Trong quá trình dạy học hình học, tôi đã áp dụng đề tài này không chỉ để dạy
và bồi dưỡng cho đối tượng HS khá giỏi mà còn linh hoạt dạy cho cả HS đại trà.
Đặc biệt là đối với HS lớp 8, bài toán quỹ tích bước đầu với các em còn mới lạ và
trừu tượng, đòi hỏi tư duy cao. Do đó, lúc đầu nhiều em còn rất “ngại” học hình nói
chung và rất “sợ” bài toán quỹ tích nói riêng. Hầu như HS chỉ có ý thức làm bài tìm
một lời giải và dừng lại không suy nghĩ thêm sau khi có kết quả của bài toán, thỏa
mãn với chính mình. Các em chưa thấy được tác dụng mạnh của việc nhìn lại bài
toán dưới nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác sẽ củng cố được kiến thức của mình,
rèn cho mình được thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, tính kiên

trì, độc lập – những đức tính tốt và cần thiết của người học toán. Song, qua một
thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài và dạy HS theo ý tưởng trên, đến nay,
hầu hết các em đã tham gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến
thức khá thành thạo khi làm một số dạng bài có liên quan từ dễ đến khó. Quan
trọng hơn, các em không còn cảm thấy hình học đáng ngại, đáng sợ nữa. Do đó,
trong học toán nói chung và học hình học nói riêng các em đã nhiệt tình, chủ động,
tích cực hơn, có nhiều phát hiện thể hiện sự tìm tòi, sáng tạo bước đầu rất tích cực.
Thực tế, tôi đã sử dụng vào giảng dạy cho khối 8 hai năm học liền gần đây
thì kết quả cho thấy HS đều có ý thức thi đua nhau học tập, rất hào hứng phát biểu
các suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện của mình về cách giải khác, bài toán mới, . . Và
tôi thấy tinh thần học tập của các em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả năng tự nghiên
cứu toán học của các em được phát huy một cách tích cực; kết quả học tập môn
toán, nhất là hình học có nhiều tiến bộ. Các em không những nắm vững kiến thức
trong SGK, các em còn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài toán nâng cao,
các bài toán khó, bước đầu có thói quen tốt: biết chịu khó, tích cực tìm tòi khai
thác, phát triển các bài toán cho trước.
VI. NHỮNG KIẾN NGHỊ KHI ÁP DỤNG:
- Với đối tượng HS trung bình trở xuống khả năng lĩnh hội kiến thức, tư duy, nhận
thức chậm nên sự chuyển tải kiến thức rất khó khăn, nhất là dạng toán có điểm
chuyển động, quỹ tích hình học. Do vậy cần có thời gian và phải vận dụng linh
hoạt, thường xuyên, kiên trì và cần có nhiều tài liệu tham khảo liên quan.
- Muốn dạy HS biết cách “Khai thác từ kết quả một bài toán”, bản thân GV phải
thường xuyên thực hiện điều đó, liên tục tự tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi kinh
nghiệm qua đồng nghiệp, sách, báo và đặc biệt là qua các trang Web có liên quan ;
GV cần có sự chủ động, có kế hoạch trong từng ngày, từng giờ lên lớp.
- Việc khai thác, phát triển từ bài toán quen thuộc đã biết, giúp cho HS định hướng
tìm ra lời giải một bài toán hình học là một vấn đề rất quan trọng và không thể
thiếu được trong công tác dạy học toán nói chung và dạy học hình học nói riêng.
Phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm trong các trường học là một phong trào
có tác dụng tốt, rất có ý nghĩa, đặc biệt là trong xu thế thời đại đang rất cần sự sáng

tạo, chủ động, tích cực trên mọi lĩnh vực công tác hiện nay. Vì vậy, tôi mạnh dạn
và mong muốn Phòng giáo dục đào tạo và cấp trên duy trì phong trào này, khích lệ
động viên các tập thể, cá nhân có những sáng kiến hữu hiệu, tích cực; có hình thức
phổ biến, trao đổi về các sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên.
PHẦN THỨ BA.
KẾT LUẬN
Việc khai thác, phát triển một bài toán cho trước góp phần rất quan trọng
trong việc nâng cao năng lực tư duy cho HS khi học môn Toán - nhất là việc bồi
dưỡng HS giỏi. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, bản thân tôi nhận thấy:
- Các GV giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc khai thác, phát
triển từ một bài toán mà HS đã giải được. Mở rộng, phát triển thêm các bài toán
khác (đơn giản hoặc thường là phức tạp hơn) nhằm phát triển tư duy sáng tạo, linh
hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho cả người dạy và người học.
- Trong quá trình giảng dạy và học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết
quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích. Nó không chỉ giúp chúng ta nắm
bắt kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt
hoá, tổng quát hoá một bài toán; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo,
linh hoạt cho các em HS; giúp cho HS nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một
cách lôgic, khoa học; tạo hứng thú khoa học yêu thích bộ môn toán hơn.
Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ của
đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài "Khai thác từ kết
quả một bài toán hình học". Tôi mong muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất
cả đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm vấn đề này. Đồng thời, tôi cũng hi vọng đề tài
này sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu
tham khảo cho công tác giảng dạy toán cũng như học toán, từ đó nâng cao được
chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường.
Bước đầu, đề tài đã thu được khá nhiều kết quả tích cực, đã tạo thói quen tốt
cho nhiều HS tính kiên trì, độc lập suy nghĩ và có khả năng sáng tạo khi học toán,
tự thấy được sự phong phú, thú vị của toán học. Các em đã ham thích hơn với môn
toán. Mặc dù vậy, với khuôn khổ của đề tài này thì đây cũng chưa phải cho tất cả

các đối tượng HS và đây cũng chỉ là ý kiến của riêng cá nhân tôi là chính.