Giáo trình Toán ứng dụng I - Đại học Bách Khoa Hà Nội

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-------------------------------------------------------------------------------------
TOÁN 1 HK1 0708
• BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN. LIÊN TỤC (SINH VIÊN)
• TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2007)
VÔ CÙNG BÉ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 
0lim
0


x
xx

Đại lượng (x) – vô cùng bé (VCB) khi x  x
0
:
VCB cơ bản (x  0): Lượng giác
 
xxxx tg,cos1,sin 

Mũ, ln:
 
xe
x
 1ln,1
Lũy thừa:
 
131:VD.11  xx


x
0
: Không quan trọng. VCB x  :
x
1
VCB x  1: sin(x–1) …
VD:
x
xc
x
xb
x
a
xxx

sinlim/sinlim/sinlim/
00 
(x), (x) – VCB khi x  x
0
 (x)  (x) , (x)(x): VCB
 C(x)(x): VCB
(x) VCB, C(x) bò chặn
BT:
 
xx
x
sin1sinlim 

SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(x), (x) – VCB, x  x
0
và 
 
 
c
x
x
xx




0
lim
 So sánh được
VD: So sánh VCB:
xxx tg,cos1,sin 
1/ c = 0 : (x) – VCB cấp cao so với (x): (x) = o((x))
2/ c = : Ngược lại trường hợp c = 0  (x) = o((x))
3/ c  0, c   : vô cùng bé cùng cấp
Cách nói khác: (x) – VCB cấp thấp hơn
VCB cấp thấp: Chứa ít “thừa số 0” hơn. VD: sin
2
x, x
3
p dụng: So sánh 2 vô cùng bé x
m
, x
n

(m, n > 0) khi x  0
VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TRỌNG)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(x), (x) – VCB tương đương khi x  x
0

 
 
1lim
0


x
x
xx


VD: Tìm hằng số C và  để:
0,~sintg  xCxxx

VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào
tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!)
VCB lượng giác:
0,
2
~cos1,~tg,~sin
2
 x
x
xxxxx

VCB mũ, ln:
 
0,~1ln,~1  xxxxe
x
VCB lũy thừa (căn):
 
0,~11  xxx


VD:
3
2
~21
3
x
x
DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
0
tgsin
lim
x
xx
x


:VD
 ~ & 
1

~ 
1
khi x  x
0
   
1
~   
1
VD: Tìm
 
xx
x
x
sin
tg21ln
lim
2
0


1/
 
 
xe
x
x
x
sin1
3cosln
lim/2

2
0


x có thể  x
0
bất kỳ. VD: Tìm
x
x
xx
xx









1
32
lim
2
2
p dụng: Dùng vô cùng bé tương đương tính giới hạn
   
 
 
 

 
x
x
x
x
xx
xxxxxxxx
1
1
11
0000
limlim~,~







Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG)
Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU)
QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
,  – VCB khác cấp   +  tương đương VCB cấp thấp hơn
Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: (x), (x) – tổng VCB khác cấp
 lim / = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu)
VD:
 
 
2

3
0
1ln
2cosln
lim
x
xx
x



 
xx
xxx
x
2sin
tg322sin
lim
3
22
0

















0&
iff~
,~
,~








xxgf
axxg
axxf
Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa &   0
 
xxxx
x
xx
xx




lim/2
sin
lim/1
0
 
 










2
0
1ln
1
1
lim
x
x
xx
x