GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12NÂNG CAOTÍCH PHÂN ppsx

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO







TÍCH PHÂN


I. Mục tiêu:
a) Về kiến thức : khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích
phân,
-Học sinh hiểu được bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng
đường đi
được của một vật.
- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lí về diện tích hình thang cong.
- Viết được các biểu thứcbiểu diễncác tính chất của tích phân
b) Về kỹ năng:Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn giản. Vận
dụng
vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng
đường đi
được của một vật
c) Về tư duy và thái độ :
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức
mới .
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình
suy nghĩ.
II. Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.

- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Chuẩn bị:
+ Chuẩn bị của giáo viên :
- Phiếu học tập, bảng phụ.
+ Chuẩn bị của học sinh :
- Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà.
- Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.
IV. Tiến trình tiết dạy :
1.Ổn định lớp :
2.Kiểm tra bài cũ : 5’
- Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp.
GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO


- Tính :

 dxx )1(
- GV nhắc công thức :
 




0
0
0
'
0
lim
xx

xfxf
xf
xx





3.Vào bài mới
Tiết1:
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong





GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO


2

T
g
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng

10’

2o’

I/Khái niệm hình thang cong
y
7 B
H
f(t)=t+1

3 A

1 D G C
-1 x

O 2 t 6

( Hình 1)
-Dựng hình thang ABCD khi biết
các đư
ờng thẳng: AB: f(x)=x+1,AD:
x=2, CB: x=6 và y = 0 (trục hoành)
-Tính diện tích S hình thang ABCD

-Lấy t


6;2 . Khi đó diện tích hình
thang AHGDbằng bao nhiêu?

-S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên
hệ như thế nào ?
-Tính S(6) , S(2) ? và S
ABCD
?
Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình
thang cong và công thức tính d/t nó.


y

B
y= f (x)

A


x
O a b
-Giáo viên đưa ra bài toán: Tính di
ện
tích của hình thang cong aABb
Giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên
tục y = f(x) , f(x)

0, trục Ox v
à các
đương thẳng x = a , x = b (a<b)
-Cho học sinh đọc bài toán 1 sgk

-Kí hiệu S(x) là diện tích hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị (C)
của hàm số y = f(x), trục Ox và các
đường thẳng đi qua a, x và song
song Oy. Hãy chứng minh S(x) là
một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]
















S = 204.
2
37



S(t) = 4
2

)2(
2
13
2


t
t
t
t

t


6;2
S’(t) = t+1= f(t)

S(t) là nột
nguyên hàm của f(t) = t+1
S(6) = 20,S(2) = 0
và S
ABCD
= S(6)-S(2)

-Bài toán tích diện tích hình ph
ẳng
giới hạn bởi một đường cong có
thể đưa về bài toán tính diện tích
của một số hình thang cong

1/ Hai bài toán d
ẫn đến khái niệm
tích phân:
a) Diện tích hình thang cong
-Bài toán 1: (sgk)
y
y=f(x)




S(x)

x
o a x b
Hình 3
KH: S(x) (a
bx


)

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

3’









-Giả sử x
0
là điểm tùy ý cố
định thuộc (a ; b)
*Xét điểm x


(a ; b ]
-Diện tích hình thang cong
MNEQ?
-Dựa vào hình 4 so sánh diện
tích
S
MNPQ
, S
MNEQ
và S
MNEF
*f(x) liên tục tr
ên [ a; b ]




xf
xx
0
lim ?
- Suy ra 




0
0
)()(
lim

0
xx
xSxS
xx
?


*Xét điểm x

[a ; b )
Tương tự 




0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
?

Từ (2) và (3) suy ra gì?

S(x) là 1 nguyên hàm của f(x)
trên
[ a; b ] ta biểu diễn S(x)?

* S
MNEQ
= S(x) – S(x
0
)

S =?

-Giáo viên củng cố kiến thức
BT1
+ Giả sử y = f(x) la một hàm
số liên tục và f(x)

0 trên [ a;
b ]. Khi đó diện tích của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị
(C) của hàm số y = f(x),
trục Ox và 2 đường thẳng
x = a, x = b là S = F(b) – F(a)
trong đó F(x) là một nguyên

S
MNEQ
= S(x) – S(x
0
)

S
MNPQ
< S
MNEQ
< S
MNEF





xf
xx
0
lim f(x
0
)






0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
) (2)








0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx

f(x
0
) (3)





0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
)




S(x) = F(x) +C (C: là hằng
số)



S = S(b) – S(a)

y
y=f(x)

F E
f(x)

f(x
0
) Q P
x
o x
x
0 a M N b
Hình 4
*Xét điểm x

(a ; b ]
S
MNEQ
là S(x) – S(x
0
)
Ta có:S
MNPQ
< S
MNEQ
< S
MNEF


f(x
0
)(x-x
0
)<S(x)-S(x
0
)<f(x)(x-
x
0
)

f(x
0
)<
0
0
x-x
)S(x-S(x)
<f(x) (1)
Vì




xf
xx
0
lim f(x
0

)
(1)






0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
)(2)



*Xét điểm x

[a ; b )
Tương
tự: 





0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
)(3)
Từ (2) và (3)ta có:




0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
)
Hay S’ (x) = f(x
0

)
Suy ra S’ (x) = f(x) (vì x

(a ; b )

nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) =
f(b)
Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của
f(x)
trên [ a; b ]

S(x)= F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a)
= (F(b) +C) – (F(a) + C)
= F(b) – F(a)


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO


hàm bất kì của hàm số f(x)
trên [ a; b ]


3

7’





-Giáo viên định hướng học
sinh giải quyết nhiệm vụ ở
phiếu học tập số 1
-Tìm họ nguyên hàm của f(x)?

-Chọn một nguyên hàm F(x)
của f(x) trong họ các nguyên
hàm đã tìm được ?
-Tính F(1) và F(2)

Diện tích cần tìm ?



-Học sinh tiến hành giải dưới
sự định hướng của giáo viên:
I = dxx

4
= 
5
5
x
C ( C là hằng

số)

Chọn F(x) =
5
5
x


F(1) =
5
1
, F(2) =
5
32

S = F(2) –F(1) = )(
5
31
dvdt




GIẢI:
I = dxx

4
= 
5
5

x
C

Chọn F(x) =
5
5
x
( C là hằng số)


F(1) =
5
1
, F(2) =
5
32

S = F(2) –F(1) = )(
5
31
đvdt

Tiết2: Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong


Tg

Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng

8’


















5’
-Giáo viên định hướng học
sinh giải bài toán 2 (sgk)
+Gọi s(t) là quãng đường đi
được của vật cho đến thời
điểm t. Quãng đường đi
được trong khoảng thời
gian từ thời điểm t = a đến
thời điểm t = b là bao
nhiêu?
+ v(t) và s(t) có liên hệ như

thế nào?
+Suy ra f(t) và s(t) có liên
hệ như thế nào?
+Suy ra s(t) và F(t) có liên
hệ như thế nào?
+Từ (1) và (2) hãy tính L
theo F(a) và F(b)?

-Giáo viên định hướng
học sinh giải quyết nhiệm
vụ ở phiếu học tập 2
+Tìm họ nguyên hàm của
f(t)?

+Lấy một nguyên hàm của
F(t) của f(t) trong họ các
-Học sinh tiến hành giải dưới
sự định hướng của giáo viên
Quãng đường đi được trong
khoảng thời gian từ thời điểm
t = a đến thời điểm t = b là :
L = s(b) – s(a)
(1)

v(t) = s’(t)


s’(t) = f(t)

s(t) là một nguyên hàm của f(t)

suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C
(2)
Từ (1) và (2)

L= F(b)–F(a)


-Học sinh tiến hành giải dưới
sự định hướng của giáo viên

I = Cttdtt 

2
2
3
)23(
2

F(t) = tt 2
2
3
2

b, Quãng đường đi đượccủa1
vật
Bài toán 2: (sgk)
CM: Quãng đường đi được
trong khoảng thời gian từ thời
điểm
t = a đến thời điểm t = b là :

L = s(b) – s(a)
(1)

v(t) = s’(t)


s’(t) = f(t)

s(t) là một nguyên hàm của f(t)
suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C
(2)
Từ (1) và (2)

L= F(b)–F(a)



GIẢI:
I = Cttdtt 

2
2
3
)23(
2

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO


nguyên hàm đã tìm được

+Tính F(20) và F(50)?
+Quãng đường L vật đi
được trong khoảng thời
gian từ t
1
=20 đến t
2
=50
liên hệ như thế nào với
F(20) và F(50)


F(20) = 640 ; F(50) = 3850
Suy ra L = F(50)–
F(20)=3210(m)



F(t) = tt 2
2
3
2


F(20) = 640 ; F(50) = 3850
Suy ra L = F(50)–
F(20)=3210(m)

4

Hoạt động 3: Tìm hiểu khái niệm tích phân

Tg

Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng
GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO


7’












5’

15’







-Giáo viên nêu định nghĩa tích

phân (sgk)
-Giáo viên nhấn mạnh. Trong
trường hợp a < b, ta gọi

b
a
dxxf )(
là tích phân của f
trên đoạn [a ; b ].
Giáo viên yêu cầu học sinh
trả lời câu hỏi (H2)
Gợi ý:
-Gọi F(x) = g(x) +C là họ các
nguyên hàm của f(x)

-Chọn nguyên hàm F
1
(x) =
g(x)+C
1

bất kì trong họ các nguyên
hàm đó.
-Tính F
1
(a), F
1
(b)?

-Tính

b
a
dxxf )(
?


-Nhận xét kết quả thu được

-Giáo viên lưu ý học sinh:
Người ta còn dùng kí hiệu
F(x)|
b
a
để chỉ hiệu số F(b) -
F(a).
-Hãy dùng kí hiệu này để viết



b
a
dxxf )(

-Giáo viên lưu ý học sinh:
Người ta gọi hai số a, b là hai
cận tích phân, số a là cận dưới,
số b la cận trên, f là hàm số
dưới dấu tích phân, f(x)dx là

biểu thức dưới dấu tích phân
và x là biến số lấy tích phân
-Giáo viên định hướng học
sinh giải quyết nhiệm vụ ở
phiếu học tập số 3




Học sinh tiếp thu và ghi nhớ






Học sinh tiến hành giải dưới
sự định hướng của giáo viên

Giả sử: F(x) =

b
a
dxxf )(
=
g(x)+C
Chọn F
1
(x) = g(x)+C
1

bất kì


F
1
(a) = g(a)+C
1

F
1
(b) = g(b)+C
1




b
a
dxxf )(
= [g(b)+C
1
]-
[g(a)+C
1
]
= g(b) – g(a)
Không phụ thuộc vào cách
chọn C
1


đpcm

Học sinh tiếp thu , ghi nhớ


Giả sử F(x) là một nguyên
hàm của f(x) thì:

b
a
dxxf )(
=
F(x)|
b
a







Học sinh giải quyết dưới sự
định hướng của giáo viên:


5
2/Khái niệm tích phân
Định nghĩa: (sgk)

Người ta còn dùng kí hiệu
F(x)|
b
a
để chỉ hiệu số F(b) -
F(a).Như vậy nếu F là một
nguyên hàm của f trên k thì
:


b
a
dxxf )(
= F(x)|
b
a
















GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

5’







a)

5
1
2xdx

-Tìm nguyên hàm của 2x?
-Thay các cận vào nguyên
hàm trên
b)

2/
0
sin

xdx

-Tìm nguyên hàm của sinx?
-Thay các cận vào nguyên
hàm trên
c)


3/
4/
2
cos


x
dx

-Tìm nguyên hàm của
x
2
cos
1
?
-Thay các cận vào nguyên
hàm trên

d)

4
2
x
dx

-Tìm nguyên hàm của
x
1
?

-Thay các cận vào nguyên
hàm trên

+Với định nghĩa tích phân
như trên, kết quả thu được ở
bài toán 1 được phát biểu lại
như thế nào?
-Giáo viên thể chế hóa tri
thức, đưa ra nội dung của định
lý 1:Cho hàm số y = f(x) liên
tục và không âm trên K; a và
b là hai số thuộc K
( a<b). Khi đó diện tích S của
hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f(x) trục
hoành và 2 đường thẳng x = a,
x =b là: S =

b
a
dxxf )(

-Giáo viên hướng dẫn học
sinh trả lời H3.
-Theo kết quả của bài toán 2.
quãng đường vật đi được từ
điểm a đến thời điểm b được
tính như thế nào?

-Dựa vào định nghĩa tích phân
hãy viết lại kết quả thu được?


a)

5
1
2xdx
= x
2
|
5
1
= 25 – 1 = 24



b)

2/
0
sin

xdx
= - cosx |
2/
0

=- (0

-1) =1


c)

3/
4/
2
cos


x
dx
= tanx|
3/
4/


= 13 




d)

4
2
x
dx
= ln|x||

4
2
= ln4 – ln2 =ln
2
4

= ln2
Học sinh thảo luận theo nhóm
trả lời.











Học sinh giải quyết dưới sự
định hướng của giáo viên:
Theo kết quả của bài toán 2.
Quãng đường vật đi được từ
điểm a đến thời điểm b là:
L = F(b) –F(a)
F(x) là nguyên hàm của f(x)
Theo định nghĩa tích phân



b
a
dxxf )(
= F(b) –F(a)

L =

b
a
dxxf )(
(đpcm)
Giải:

a)

5
1
2xdx
= x
2
|
5
1
= 25 – 1 = 24



b)

2/

0
sin

xdx
= - cosx |
2/
0

=- (0
-1) =1


c)

3/
4/
2
cos


x
dx
= tanx|
3/
4/


= 13 

d)

4
2
x
dx
= ln|x||
4
2
= ln4 – ln2 =ln
2
4

= ln2



ĐỊNH LÍ1: Cho hàm số y =
f(x) liên tục và không âm trên
K; a và
b là hai số thuộc K
( a<b). Khi đó diện tích S của
hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f(x) trục
hoành và 2 đường thẳng x = a,
x =b là:
S =

b

a
dxxf )(



Theo kết quả của bài toán 2.
Quãng đường vật đi được từ
điểm a đến thời điểm b là:
L = F(b) –F(a)
F(x) là nguyên hàm của f(x)
Theo định nghĩa tích phân


b
a
dxxf )(
= F(b) –F(a)

L =

b
a
dxxf )(
(đpcm)
6
GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

Tiết3: Hoạt động 4: Tìm hiểu các tính chất của tích phân;

Tg

Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng






15’

-Giáo viên phát biểu
định lí 2(sgk)
-Giáo viên định hướng
học sinh chứng minh
các tính chất trên: Giả
sử F là một nguyên hàm
của f, G là một nguyên
hàm của g .
1)

a
a
dxxf )(
= 0

-Nguyên hàm của f(x) ?
-Thay các cận vào
nguyên hàmtrên?
2)

b
a
dxxf )(
= -

a
b
dxxf )(



b
a
dxxf )(
= ?


a
b
dxxf )(
= ?


3)


b
a
dxxf )(
+

c
b
dxxf )(
=

c
a
dxxf )(



b
a
dxxf )(
= ?


c
b
dxxf )(
= ?


c
a

dxxf )(
= ?


4) F(x) là nguyên hàm
của f(x), G(x) là nguyên
hàm của g(x)

nguyên hàm của f(x)
+ g(x) =?
Học sinh tiếp thu và ghi nhớ
Học sinh thực hiện dưới sự định
hướng của giáo viên





a
a
dxxf )(
= F(x)|
a
a
= F(a) – F(a) =
0



b

a
dxxf )(
= F(x)|
b
a
= F(b) – F(a)


a
b
dxxf )(
= F(x)|
a
b
= F(a) – F(b)


b
a
dxxf )(
= -

a
b
dxxf )(


b
a
dxxf )(

+

c
b
dxxf )(

=F(x)|
b
a
+F(x)|
c
b
=F(b) – F(a) +
F(c) – F(b)= F(c) – F(a)



c
a
dxxf )(
= F(x)|
c
a
= F(c) – F(a)


b
a
dxxf )(
+


c
b
dxxf )(
=

c
a
dxxf )(

4)
 


dxxgxf
b
a
)()(


)()( xGxF 
b
a

=




)()()()( aGaFbGbF 

= F(b) – F(a) + G(b) – G(a)


b
a
dxxf )(
+

b
a
dxxg )(
=
F(x)|
b
a
+G(x)|
b
a

3 Tính chất của tích phân
ĐỊNH LÍ2: (sgk)



CM:(Giáo viên HD chứng minh
tính chất 3,4,5)
1)

a
a

dxxf )(
= F(x)|
a
a
=F(a) – F(a)=
0


2)

b
a
dxxf )(
= F(x)|
b
a
= F(b) – F(a)


a
b
dxxf )(
= F(x)|
a
b
= F(a) – F(b)


b
a

dxxf )(
= -

a
b
dxxf )(

3)

b
a
dxxf )(
+

c
b
dxxf )(

=F(x)|
b
a
+F(x)|
c
b
=F(b) – F(a) +
F(c) – F(b)= F(c) – F(a)



c

a
dxxf )(
= F(x)|
c
a
= F(c) – F(a)


b
a
dxxf )(
+

c
b
dxxf )(
=

c
a
dxxf )(

4)
 


dxxgxf
b
a
)()(



)()( xGxF 
b
a

=




)()()()( aGaFbGbF 
= F(b) – F(a) + G(b) – G(a)


b
a
dxxf )(
+

b
a
dxxg )(
=
F(x)|
b
a
+G(x)|
b
a

= F(b) – F(a) + G(b) –G(a)
(đpcm)

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO


 
?)()( 

dxxgxf
b
a




b
a
dxxf )(
+

b
a
dxxg )(
= ?
= F(b) – F(a) + G(b) –G(a)
(đpcm)

7

25’
5) F(x) là nguyên hàm của
f(x)

nguyên hàm của kf(x)?

b
a
dxxkf )(
=?

b
a
dxxfk )(
=?

Giáo viên định hướng học
sinh giải quyết nhiệm vụ ở
phiếu học tập số 4
Biểu thức của tính chất 4?

Áp dụng tính chất này tính
tích phân trên?







Xét dấu của x – 2 trên [1:
3]?


Áp dụng tính chất 3 tính tích
phân trên?


5)

b
a
dxxkf )(
=



b
a
xkF )(
=kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)]

b
a
dxxfk )(
= kF(x)
b
a
=k[F(b) –
F(a)]


b
a
dxxkf )(
=

b
a
dxxfk )(

Học sinh thực hiện dưới sự
định hướng của giáo viên
I =



2/
0
)cos2(sin

dxxx

=


2
0
2/
0
cos2sin


xdxxdx
= -
2
1
cos2x |
2/
0

- sinx |
2/
0


= -

2
1
(cos

- cos0 ) - sin
2

-
sin0
= 0
J=
dxx


3
1
2

=


2
1
)2( dxx
+
dxx )2(
3
2



= [- x
x
2
2
2
 ]
2
1
+[ x
x
2
2
2
 ]
3
2

= 1

5)

b
a
dxxkf )(
=


b
a

xkF )(
=kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)]

b
a
dxxfk )(
= kF(x)
b
a
=k[F(b) –
F(a)]


b
a
dxxkf )(
=

b
a
dxxfk )(


I =


2/
0
)cos2(sin


dxxx

=


2
0
2/
0
cos2sin


xdxxdx
= -
2
1
cos2x |
2/
0

- sinx |
2/
0


= -
2
1
(cos


- cos0 ) - sin
2

-
sin0
= 0
J=
dxx


3
1
2

=


2
1
)2( dxx
+
dxx )2(
3
2



= [- x
x
2

2
2
 ]
2
1
+[ x
x
2
2
2
 ]
3
2

= 1



IV. CỦNG CỐ:5’
- Phát biểu lại kết quả cuă bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được
một vật.
- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lý về diện tích hình thang cong.
GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO


- Viết được các biểu thức biểu diễn các tính chất của tích phân.
- Trả lời câu hỏi H5.
V.NHIỆM VỤ VỀ NHÀ:
-Xem lại bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật.
-Học thuộc các tính chất của tích phân.

- Giải bài tập sách giáo khoa
- Bài tập làm thêm:
1) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -2x
2
+3x +6 ,trục hoành , trục
tung và đường thẳng x =2 .
2) Tính : I =
dxxx



1
2
2
.
8




VI. PHỤ LỤC

Phiếu học tập số 1
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
4
trục hoành và hai đường thẳng x =1 ,
x =2

Phiếu học tập số 2
Vật chuyển động thẳng có vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(x) = 3t + 2 m/s. Tìm quãng đường L vật

đi được trong khoange thời gian từ t
1
= 20 s đến t
2
= 50 s?

Phiếu học tập số 3
Tính giá trị các tích phân sau:
a)

5
1
2xdx
b)

2/
0
sin

xdx
c)

3/
4/
2
cos


x
dx

d)

4
2
x
dx



Phiếu học tập số 4
Tính các tích phân sau:
I=


2/
0
)cos2(sin

dxxx
, J=
dxx


3
1
2

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO










9