Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Tài liệu bồi dưỡng HSG toán lớp 9

Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
Chuyên đề bồi d ỡng hsg toán 9
3.1. Khái niệm ph ơng trình vô tỉ
3.1.1. Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn .
3.1.2. Các ví dụ :
a)
11 =x

b)
2173 =++ xx
c)
3+ xx
1
2
+ xx
=3
d)
4
1
1
1
1
3
3 2
3 2
3
=
+

x
x
x
xx
3. 2.Ph ơng pháp chung :
Để giải phơng trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn .
Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ của phơng trình .
- Biến đổi đa phơng trình về dạng đã học.
- Giải phơng trình vừa tìm đợc .
- So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm .
3.3. Một số ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ cơ bản:
a. Ph ơng pháp nâng lên luỹ thừa (Bình ph ơng hoặc lập ph ơng hai
vế ph ơng trình ):
a.1. Các ví dụ :
* Giải phơng trình dạng :
)()( xgxf =
Ví dụ 1: Giải phơng trình :
11 =+ xx
(1)
ĐKXĐ : x+1

0

x

-1
Với x

-1 thì vế trái của phơng trình không âm .Để phơng trình có nghiệm thì

x-1

0

x

1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình :
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
x+1 = (x-1)
2


x
2
-3x= 0


x(x-3) = 0



=
=
3
0
x
x

Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x

1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =3 .
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
131 =+ xx


xx = 131
ĐKXĐ :





013
01
x
x







13
1
x
x

1

13x
(2)
Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :

2
)13(1 xx =

017027
2
=+ xx
Phơng trình này có nghiệm
10
1
=x
và
17
2
=x
.Chỉ có
10
1
=x
thoã mãn (2) .
Vậy nghiệm của phơng trình là
10=x
* Giải phơng trình dạng :
)()()( xgxhxf =+
Ví dụ 3: Giải phơng trình:

121 =+ xx

xx ++= 211
(1)
ĐKXĐ:
02
01
+

x
x



2
1


x
x


12 x
Bình phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc :

xxx ++++= 22211


01
2

=+ xx
Phơng trình này có nghiệm
2
51
=x
thoã mãn (2)
Vậy nghiệm của phơng trình là
2
51
=x
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
3
1+x
27
3
=+ x
(1)
(1)
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
Lập phơng trình hai vế của (1) ta đợc:

82).7)(1(371
3
=++++ xxxx


(x-1) (7- x) = 0


x =-1

x =7 (đều thoả mãn (1 )).
Vậy
7;1 == xx
là nghiệm của phơng trình .
* Giải phơng trình dạng :
=+ )()( xhxf
)(xg
Ví dụ5: Giải phơng trình
1+x
-
7x
=
x12



1+x
=
x12
+
7x
(1)
ĐKXĐ:
121
7
12
1
07
012
01

+
x
x
x
x
x
x
x
Bình phơng hai vế ta đợc: x- 4 = 2
)7)(12( xx
(3)
Ta thấy hai vế của phơng trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phơng 2 vế của
phơng trình (3) ta đợc :

(x - 4)
2
= 4(- x
2
+ 19x- 84)

5x
2
- 84x + 352 = 0
Phơng trình này có 2 nghiệm x
1
=
5
44
và x
2
= 8 đều thoả mãn (2) .
Vậy x
1
=
5
44
và x
2
= 8 là nghiệm của phơng trình.
* Giải phơng trình dạng :
=+ )()( xhxf
)(xg
+
)(xq

Ví dụ 6: Giải phơng trình :
1+x
+
10+x
=
2+x
+
5+x
(1)
ĐKXĐ :







+
+
+
+
05
02
010
01
x
x
x
x

5
2
10
1
x
x
x
x
x -1 (2)
Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
x+1 + x+ 10 + 2
)10)(1( ++ xx
= x+2 + x+ 5 + 2
)5)(2( ++ xx

2+
)10)(1( ++ xx
=

)5)(2( ++ xx
(3)
Với x

-1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc
)10)(1( ++ xx
= 1- x
Điều kiện ở đây là x

-1 (4)
Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)






1
1
x
x
x = 1 là nghiệm duy nhầt của phơng trình (1).
a.2. Nhận xét :
Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng
trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ
thừa bậc chẵn
Với hai số dơng a, b nếu a = b thì a
2n
= b
2n

và ngợc lại (n= 1,2,3 )
Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phơng trình
đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phơng
pháp này.
Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp này với cùng nhiều
phơng pháp khác lại với nhau .
a.3. Bài tập áp dụng:
1.
4
2
x
= x- 2
2.
41
2
++ xx
= x+ 1
3.
x1
+
x+4
=3
4.
3
45+x
-
3
16x
=1
5.

x1
=
x6
-
)52( + x
6.
3
1x
+
3
2x
=
3
32 x
7.
x
+
yx +
=
1x
+
4+x
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
b. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
b.1. Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình:
416249
2
+=+ xxx
(1)

ĐKXĐ:



+
+
04
016249
2
x
xx








4
0)43(
2
x
xx
x 4
Phơng trình (1)


43 x
= -x + 4

=
+=
443
443
xx
xx




=
=
0
2
x
x
Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phơng trình (đều thoả mãn x

4 ).
Ví dụ 2 : Giải phơng trình :
44
2
= xx
+

168
2
+ xx
= 5
ĐKXĐ:
x
R
Phơng trình tơng đơng :
2x
+
4x
= 5
Lập bảng xét dấu :
x 2 4
x- 2 - 0 + +
x- 4 - - 0 +
Ta xét các khoảng :
+ Khi x < 2 ta có (2)

6-2x =5


x = 0,5(thoả mãn x

2)
+ Khi 2

x

4 ta có (2)

0x + 2 =5 vô nghiệm
+ Khi x > 4 ta có (2)

2x 6 =5


x =5,5 (thoả mãn x > 4 )
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5
Ví dụ 3 : Giải phơng trình:
314 + xx
+
816 + xx
= 1
ĐKXĐ: x

1
Phơng trình đợc viết lại là :

414)1( + xx
+
916)1( + xx
= 1
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9

2
)21( x
+
2
)31( x

= 1



21 x
+
31 x
=1 (1)
- Nếu 1

x < 5 ta có (1)

2-
1x
+ 3 -
1x
= 1


1x
=2

x= 5 không thuộc khoảng đang xét
- Nếu 5

x

10 thì (1)

0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm

- Nếu x> 10 thì (1)

-5 = 1 phơng trinh vô nghiệm
Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5

x

10
b.2. Nhận xét :
Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đợc sử
dụng giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh trên song trong thực tế cần
lu ý cho học sinh :
-áp dụng hằng đẳng thức
2
A
=
A
- Học sinh thờng hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của
ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm .
b.3. Bài tập áp dụng :
1.
96
2
+ xx
+
2510
2
++ xx
= 8
2.

12
2
++ xx
+
44
2
+ xx
=
44
2
++ xx
3.
143 ++ xx
+
168 + xx
= 5
4.
5233 ++ xx
+
522 xx
= 2
2
c.Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
c 1. Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải phơng trình: 2x
2
+ 3x +
932
2
++ xx

=33
ĐKXĐ :

x

R
Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2x
2
+ 3x +9 +
932
2
++ xx
- 42= 0 (1)
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
Đặt 2x
2
+ 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thờng mắc sai lầm không đặt
điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y)
Ta đợc phơng trình mới : y
2
+ y 42 = 0

y
1
= 6 , y
2
= -7 .Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0
Từ đó ta có
932
2

++ xx
=6

2x
2
+ 3x -27 = 0
Phơng trình có nghiệm x
1
= 3, x
2
= -
2
9
Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phơng trình đã cho.
Ví dụ 2 : Giải phơng trình:
x
+
4
x
= 12
ĐKXĐ : x

o
Đặt
4
x
= y

0

x
= y
2
ta có phơng trình mới
y
2
+ y -12 = 0 phơng trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)

4
x
= 3

x = 81 là nghiệm của phơng trình đã cho.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
1+x
+
x3
-
)3)(1( xx +
= 2 (1)
ĐKXĐ :




+
03
01
x
x

3
1
x
x
-1 x 3
Đặt
1+x
+
x3
= t

0

t
2
= 4 + 2
)3)(1( xx +


)3)(1( xx +
=
2
4
2

t
(2) .thay vào (2) ta đợc
t
2
2t = 0

t(t-2) = 0



=
=
2
0
t
t
+ Với t = 0 phơng trình vô nghiệm.
+Với t = 2 thay vào (2) ta có :
)3)(1( xx +
= 0

x
1
= -1; x
2
= 3 (thoả mãn)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x
1
= -1và x
2

= 3
Ví dụ 4: Giải phơng trình : 5
1
3
+x
= 2( x
2
+ 2)
Ta có
1
3
+x
=
1+x
1
2
+ xx
Đặt
1+x
= a

0 ;
1
2
+ xx
= b

0 và a
2
+ b

2
= x
2
+ 2
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
Phơng trình đã cho đợc viết là
5ab = 2(a
2
+ b
2
)


(2a- b)( a -2b) = 0




=
=
02
02
ba
ba
+ Trờng hợp: 2a = b


2
1+x
=

1
2
+ xx


4x + 4 = x
2
x +1


x
2
5x -3 = 0
Phơng trình có nghiệm x
1
=
2
375
; x
2
=
2
375 +
+ Trờng hợp: a = 2b



1+x
= 2
1

2
+ xx


x+ 1 = 4x
2
-4x + 3 = 0


4x
2
-5x + 3 = 0 phơng trình vô nghiệm.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x=
2
375 +
và x=
2
375
Ví dụ 5: Giải phơng trình:
1+x
+ 2 (x+1) = x- 1 +
x1
+ 3
2
1 x
(1)
Đặt
1+x
= u

0 và
x1
= t

0
ĐKXĐ: -1

x

1 thì phơng trình (1) trở thành.
u + 2u
2
= -t
2
+ t +3ut


(u t )
2
+ u(u-t) + (u-t) = 0


(u-t)(2u t +1 ) = 0




=+
=
tu

tu
12








=++
=+
xx
xx
1112
11






=
=
25
24
0
x
x
thoả mãn điều kiện -1

x

1 là nghiệm của phơng trình đã cho.
Ví dụ 6: Giải phơng trình:
12 xx
+
12 + xx
=
2
3+x
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
ĐKXĐ : x

1
Đặt
1x
= t

0

x = t
2
+ 1 phơng trình đã cho trở thành
2
)1( +t
+
2
)1( t
=

2
4
2
+t


1+t
+
1t
=
2
4
2
+t






=
=+
0
044
2
2
t
tt
(t

1)



=
=
0
2
t
t




=
=
1
5
x
x


ĐkXĐ:
x 1
Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5
c.2 . Nhận xét :
Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu
tỉ .Song để vận dụng phơng pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi h-
ớng giải quyết cách đặt ẩn nh thế nào cho phù hợp nh :
Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3)

Đặt ẩn phụ để đa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5)
c.3. Bài tập áp dụng:
1/ x
2
5 +
6
2
x
= 7
2/ x
x
1
- 2x
3
x
= 20
3/
3
2
x
- 3
3
x
=20
4/
8
3
+x
= 2x
2

6x +4
5/
96 + xx
+
96 xx
=
6
23+x
d. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình tích :
d.1.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
2110 ++ xx
= 3
3+x
+ 2
7+x
- 6 (1)
ĐKXĐ : x

-3
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
Phơng trình (1) có dạng :
)7)(3( ++ xx
- 3
3+x
+ 2
7+x
+6 = 0

3+x
(
)37 +x
-2(
)37 +x
) =3


(
)37 +x
(
23 +x
) =0








=+
=+
023
037
x
x

=+
=+
43
97
x
x




=
=
1
2
x
x


ĐKXĐ.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
3
1 x
+
2+x
=1
ĐKXĐ : x

-2
Đặt
2+x
= t

0 Khi dó
3
1 x
=
3
2
3 t
Phơng trình (1)


3
2
3 t
+ t = 1


3
2
3 t
= 1- t

3- t
3
= (1-t)
3

t
3
- 4t
2
+ 3t + 2 =0

(t-2) ( t
2
-2t -1) = 0
Từ phơng trình này ta tìm đợc x=2 ; x= 1 + 2
2
là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ3 : Giải phơng trình: (4x-1)
1
2
+x
= 2(x
2
+ 1) + 2x - 1 (1)
Đặt
1
2
+x
=y ; y

0
(1)

(4x-1) y = 2y
2
+ 2x -1

2y
2
- (4x -1) y + 2x 1= 0

( 2y
2
- 4xy + 2y) ( y- 2x+1) = 0

(y- 2x+1) (2y- 1) = 0
Giải phơng trình này ta tìm đợc x = 0 ; x =
3
4
là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 4: Giải phơng trình: (
11 + x
)(
11 + x
) = 2x
ĐKXĐ: -1

x

1 (1)
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
đặt
x+1

= u (0

u


2
)
suy ra x = u
2
-1 phơng trình (1) trở thành :
(u -1 ) (
)12
2
+ u
= 2 ( u
2
-1)

(u -1 ){ (
)12
2
+ u
- 2 (u+1)} = 0


(u-1) (
)122
2
uu
= 0

=
=
0122
01
2
uu
u
(+) u-1 = 0

u =1 ( thoả mãn u

0 ) suy ra x = 0 thoả mãn (1)
(+)
122
2
uu
= 0


2
2 u
= 2u + 1

+=
+
)12(2
012
2
uu
u
(thoả mãn vì u

0 ) 5u
2
+ 4u - 1 = 0






=
<=
5
1
)(01
2
1
u
loaiu

nên có x = u
2
2
-1 = (
5
1
)
2
1 =
25
24
thoã mãn điều kiện (1)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x =
25
24
.
d.2.Nhận xét :
Khi sử dụng phơng pháp đa về phơng trình tích để giải phơng trình vô tỉ
ta cần chú ý các bớc sau .
+ Tìm tập xác định của phơng trình .
+ Dùng các phép biến đổi đại số , đa phơng trình về dạng f(x) g(x) .= 0 (gọi
là phơng trình tích) . Từ đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ; là những ph ơng
trình quen thuộc.
+ Nghiệm của phơng trình là tập hợp các nghiệm của các phơng trình f(x) = 0
g( x) = 0 ; thuộc tập xác định .
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
+ Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phơng pháp khác nh nhóm
các số hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn
đa về phơng trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải .
d.3.Bài tập áp dụng:

1.
67
3
xx
= 0
2.
2
2
xx
- 2
2
2
+ xx
=
1x
3. x(x+5) = 2
225
3
2
+ xx
4. 2( x
2
+ 2x + 3) = 5
233
23
+++ xxx
e. Ph ơng pháp đ a về hệ ph ơng trình :
e.1.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
2

25 x
-
2
15 x
=2
ĐKXĐ: 0

x
2


15
Đặt:
2
25 x
= a (a

0) (* )

2
15 x
= b ( b

0) ( ** )
Từ phơng trình đã cho chuyển về hệ phơng trình :

+
+=+
=
0
)(2))((
2
ba
bababa
ba




=+
=
5
2
ba
ba








=
=
2

3
2
7
b
a
Thay vào phơng trình (*) ta có 25 x
2
=
4
49


x
2
=
4
51


x =
2
51

(

ĐkXĐ ) . Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x =
2
51

.

Ví dụ 2: Giải phơng trình:
35
3)3(5)5(
+
+
xx
xxxx
= 2 (1)
ĐKXĐ : 3

x

5
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
Đặt





=
=
)0(3
)0(5
ttx
uux
Phơng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình :

=+
=+
2
2
22
22
tutu
tu
ut = 0



=
=
0
0
t
u




=
=
5
3
x
x

(thõa mãn điều kiện )
Vậy phơng trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= 5.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
3
2 x
+
1

x
= 1
ĐKXĐ: x

1
Đặt





=
=
)0(1
2
3
ttx
ux
Khi đó ta có u
3
= 2 x ; t
2

= x- 1 nên u
3
+ t
3
= 1
Phơng trình đã cho đợc đa về hệ:



=+
=+
)2(1
)1(1
33
tu
tu
Từ phơng trình (1)

u = 1 t .Thay vào phơng trình (2) ta có :
( 1 t )
3
+ t
2
= 1

t( t
2
- 4t + 3 = 0

=+
=
034
0
2
tt
t









=
=
=
3
1
0
t
t
t
Từ đó ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x

1 ) là nghiệm của phơng trình đã
cho .
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
3
2
)1(
+
x
+
3
2
)1(

x
+
3 2
1

x
= 1
Đặt:
3
1
+
x
= a ;
3
1

x

= b nên ta có:
a
2
=
3
2
)1(
+
x
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
b
2
=
3
2
)1(

x
ab =
3
2
1

x
. Ta đợc phơng trình : a
2
+ b
2
+ ab = 1 ( 1)

=
+=
1
1
3
3
xb
xa
Ta đợc phơng trình : a
3
b
3
= 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :





=
=++
2
1
33
22
ba

abba
Từ hệ phơng trình ta suy ra a b = 2

b = a 2
Thay vào hệ phơng trình (1) ta đợc : (a -1 )
2
= 0

a =1
Từ đó ta đợc x = 0
Vậy nghiệm của phơng trình là : x = 0
e.2.Nhận xét :
Qua 4 ví dụ trên cho ta thấy phơng pháp hệ phơng trình có những điểm
sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải t duy hơn do đó phơng pháp
này đợc áp dụng cho học sinh khá , giỏi .Ta cần chú ýmột số điểm sau:
+ Tìm điều kiện tồn tại của phơng trình
+ Biến đổi phơng trình để xuất hiện nhân tử chung .
+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình về việc giải hệ phơng trình
quen thuộc .
Ngoài ra ngời học còn biết kết hợp phơng pháp này với phơng pháp khác
nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng hằng đẳng thức.
e.3.Bài tập áp dụng :
Giải các phơng trình sau :
1.
x
1
+
2
2
1

x
= 2
2. 2
3
12

x
= x
3
+ 1
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
3.
3
1 x

+
3
1 x
+
=1
4.
3
1

x
+
3
21

x

=
3
32 x
5.
x
+
44
= x
g. Ph ơng pháp bất đẳng thức :
g.1. Ph ơng pháp chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau , khi đó ph ơng
trình vô nghiệm .
g.1.1.Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải phơng trình:
1

x
-
15

x
=
23 x
(1)
ĐKXĐ:

023
015
01
x
x
x













3
2
5
1
1
x
x
x

Với x

1 thì x < 5x do đó
1

x
<
15

x
Suy ra vế trái của (1) là số âm , còn vế phải là số không âm .
Vậy phơng trình vô nghiệm .
Ví dụ 2: Giải phơng trình:

116
2
+
xx
+
136
2
+
xx
+
4
2
54
+
xx
= 3 +

2




2)3(
2
+
x
+
4)3(
2
+
x
+
4
2
1)2(
+
x
= 3 +
2
(*)
Mà
2)3(
2
+
x
+
4)3(

2
+
x
+
4
2
1)2(
+
x


2
+
4
+ 1 = 3 +
2


Vế phải của phơng trình đã cho lớn hơn vế trái .
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm .
g.1.2.Bài tập áp dụng:
1.
1

x
-
1
+
x
= 2

2.
6
2
+
x
= x - 2
1
2

x
3.
x6
+
2+x
= x
2
- 6x +13
g.2. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế :
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
g.2.1.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
763
2
++
xx
+
14105
2
++
xx

= 4 2x x
2
(1)
Ta có vế trái của (1)
763
2
++
xx
+
14105
2
++
xx
=
4)1(3
2
++
x
+
9)1(5
++
x



4
+
9
= 5
Vế phải của (1) : 4 -2x x

2
= 5 (x + 1)
2


5
Vậy hai vế đều bằng 5 khi x = -1 .Do đó phơng trình (1) có nghiệm là x = -1
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
4x
+
x6
= x
2
-10x + 27 (1)
ĐKXĐ: 4

x

6
Xét vế phải của (1) ta có :
x
2
10x + 27 = ( x-5)
2
+ 2

2 với mọi x và vế trái của (1)
(
2
64 xx

)
2



2
)46()1((
22
+
x
=1 hay
4x
+
x6


2
Vì vậy phơng trình (1) có nghiệm là :





=+
=+
(**)264
(*)22710
2
xx

xx
Giải phơng trình (*) ta dợc x = 5 giá trị này thoả mãn (**)
Vậy x =5 là nghiệm của phơng trình (1)
g.2.2. Bài tập áp dụng :
1.
16123
2
+
xx
+
134
2
+
yy
= 5
2.
1263
2
++
xx
+
9105
2
+
xx
= 3-4x -2x
2

3.
5,33

2
+
xx
=
)44)(22(
22
++
xxxx
h. Ph ơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số :
h.1.Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình :
3
2x
+
1
+
x
= 3 (1)
ĐKXĐ: x

1
Ta thấy x =3 là nghiệm đúng với phơng trình (1)
Với x > 3 thì
3
2x
> 1 ,
1
+
x
> 2 nên vế trái của (1) lớn hơn 3.

Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
Với x< 3 và x

-1

-1

x

3 thì
3
2x
< 1,
1
+
x
< 2 nên vế trái của (1)
nhỏ hơn 3.
Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình (1)
Ví dụ 2: Giải phơng trình :

5
2
28
+
x
+ 2
3
2
23

+
x
+
1

x
+
x
=
2
+ 9 (1)
ĐKXĐ:
1
0
01






x
x
x
Ta thấy x =2 là nghiệm của (1)
h2.Nhận xét :
Khi giải các phơng trình vô tỉ mà ta cha biết cách giải thờng ta sử dụng
phơng pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng .Rồi tìm cách
chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác .
h.3.Bài tập áp dụng :

1.
3
2
26
+
x
+ 3
x
+
3+x
= 8
2.
12
2

x
+
23
2

xx
=
322
2
++
xx
+
1
2
+

xx
i. Ph ơng pháp sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt
i.1.Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình

2x
+
1995
+
y
+
1996z
=
2
1
(x+y+z)
ĐKXĐ : x

2; y

-1995; z

1996
Phơng trình (1)

x+y+z = 2
2x
+ 2
1995
+

y
+ 2
1996

z


2
)12(

x
+
2
)11995(
+
y
+
2
)11996(

z
= 0

=
=+
=
11996
11995
12
z
y
x






=
=
=
1997
1994
3
z
y
x
( thoã mãn ĐKXĐ ).
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
Là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
763
2

++
xx
+
14105
2
++
xx
= 4 2x x
2


4)1(3
2
++
x
+
9)1(5
2
++
x
= 5 (x+1)
2
(*)
Vế trái của (*)
4)1(3
2
++
x
+
9)1(5

2
++
x


2 + 3 = 5
Vế phải của (*) 5 (x+1)
2


5
Vì thế phơng trình (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi hai vế của
phơng trình (*) bằng nhau và bằng 5

x+ 1 = 0

x = -1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =-1
Ví dụ3: Giải phơng trình:
14 x
x
+
x
x 14

=2 (1)
ĐKXĐ: x>
4
1
áp dụng bất đẳng thức

a
b
b
a
+


2 với a,b > 0
xảy ra dấu = khi và chỉ khi a =b
Dấu = của (1) xảy ra khi x=
14

x


x
2
- 4x +1 = 0 (do x>
4
1
)
Giải phơng trình này ta tìm đợc x=
32
(thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy x=
32
là nghiệm của phơng trình.
i.2. Nhận xét :
Khi sử dụng phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỉ ta cần chú
ý các bớc sau :

+ Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x)

a , g(x)

a
(a là hằng số )
Nghiệm của phơng trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời
f(x) =a và g(x) = a
+ Biến đổi phơng trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có h(x)


m hoặc h (x)

m thì nghiệm của phơng trình là các giá trị của x làm cho dấu
đẳng thức xảy ra.
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
+ áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki
i.3. Bài tập áp dụng:
1.
1282
2
+
xx
= 3 -
4
2
13123
+
xx
2.

2x
+
x

10
= x
2
-12x + 40
3.
1
19
x
+
4
2
1
5

x
+
6
2
23
95
+ xx
= 3
4.
116
156
2

2
+
+
xx
xx
=
186
2
+
xx
k. Một số ph ơng pháp khác :
k.1.Ph ơng pháp miền giá trị :
Ví dụ1: Giải phơng trình:
1
+
x
+
931851 =+ xxx
(1)
Ta tìm miền giá trị của hàm số :
y =
1

x
+
931851 =+ xxx
trên tập xác định
[ ]
5;1
ta có:

y
,
=
xxxx 3182
3
52
1
12
1
12
1

+

+

+
+
> 0 với mọi x
[ ]
5;1

Do hàm số y liên tục và đồng biến trên
[ ]
5;1
nên miền giá trị của hàm số là
[ ]
)5();1( yy
hay
[ ]

`362;1522
+
. Suy ra y
min
=
1522

và
y
max
= 2 +
36

với mọi x
[ ]
5;1

Để phơng trình (1) có nghiệm thì y
min


9

y
max
nhng điều này không xảy ra vì
y
min
=
1522

< 9 và y
max
= 2 +
36

< 9
Do đó phơng trình (1) vô nghiệm vì không tồn tại giá trị x
[ ]
5;1

để y(x
i
) = 9
k.2.Ph ơng pháp hàm số:
Ví dụ 2: Giải phơng trình: x
3
+1 = 2
3
12

x
(1)
Ta có: (1)


3
3
12
2

1
=
+
x
x
Đặt y =
2
1
3
+x
hàm số có đạo hàm y
,
=
2
3
2
x


0 với mọi x nên đơn điệu tăng
và liên tục trong R.
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
y =
2
1
3
+x
có hàm ngợc y =
3
12

x
(vì y =
2
1
3
+x


x =
3
12

x
)
Do đó nghiệm của phơng trình là
3
3
12
2
1
=
+
x
x
cũng là nghiệm của phơng
trình
2
1
3

+x
= x

x
3
-2x + 1 = 0

x = 1 hoặc x =
2
51
+

.
Vậy nghiệm của phơng trình là x= 1 và x =
2
51
+

.
k.3. Nhận xét:
Phơng pháp miền giá trị và phơng pháp hàm số ở trên mang nội dung kiến
thức ở bậc phổ thông trung học nên không áp dụng vào việc giảng dạy ở bậc
THCS mà chỉ dành cho giáo viên dạy ở bậc THCS tham khảo thêm mà nên tìm
cách đa về những phơng pháp quen thuộc để dạy học sinh THCS .
Chẳng hạn nh ví dụ 2 ta có thể đa về hệ phơng trình nh sau:
x
3
+ 1 = 2
3
12

x
Đặt t =
3
12

x


2x -1 = t
3

Ta có hệ: x
3
+ 1 = 3t
2x -1 = t
3
x
3
t
3
+ 2 (x-t) = 0
x
1
=1 ; x
2,3
=
2
51
+

.
Bài tập vận dụng: