Các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Toán lớp 9

CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
PHẦN :ĐẠI SỐ
CHUYÊN ĐÊ 1
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I/ Phương pháp đặt nhân tử chung
AB + AC = A (B + C)
II/Phương pháp dùng hằng đẳng thức
1/ 10x -25 –x
2
2/ 8x
3
+12x
2
y +6xy
2
+y
3
3/ -x
3
+ 9x
2
-27x +27
III/Phương pháp nhóm hạng tử
1/ 3x
2
- 3xy-5x+5y
2/ x
2
+ 4x-y
2

+4
3/ 3x
2
+6xy +3y
2
– 3z
2
4/ x
2
-2xy +y
2
–z
2
+2zt –t
2
IV/ Phương pháp tách
( Tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp)
Vd: hân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ 2x
2
– 7xy + 5y
2
= 2x
2
– 2xy – 5xy+5y
2
= ( 2x
2
-2xy) – (5xy- 5y
2

)
= 2x(x-y) -5y(x-y) = (x-y) . (2x – 5y)
b/ 2x
2
3x – 27 = 2x
2
– 6x + 9x -27 = 2x(x-3) + 9 (x-3) = (x-3).(2x + 9)
c/ x
2
–x -12 = x
2
+ 3x -4x -12 = x(x+3) -4 (x + 3) = (x+3) .(x-4)
d/ x
3
-7x + 6= x
3
– x
2
+ x
2
–x -6x +6 = x
2
(x-1) + x (x-1) -6 (x-1)
= (x-1) (x
2
+x -6) = ( x-1)[ x
2
+3x-2x-6]
=(x-1)[x(x+3) -2(x +3)] = (x-1)(x+3)(x-2)
Baì tập tự giải:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1/ x
2
+ 8x + 15
2/ x
2
+ 7x +12
3/ x
3
+ 2x -3
4/ 2x
2
+ x -3
5/2x
2
– 5xy +3y
2

6/3x
2
– 5x +2
7/ xy(x-y)- xz(x+z) +yz(2x-y+z)
8/ x
3
+ y
3
+ z
3
-3xy
V/ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Ví dụ:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1/ a
4
+ 4 = a
4
+4a
2
+ 4 - 4a
2
= (a
2
+2)
2
– (2a)
2
=( a
2
+2a +2)( a
2
-2a +2)
2/ x
5
+x – 1 = x
5
+

x
2
– x
2

+x – 1 = x
2
(x
3
+ 1) –( x
2
-x + 1) = x
2
(x+ 1)( x
2
-x + 1) –( x
2
-x + 1)
= ( x
2
-x + 1)[ x
2
(x+ 1)-1] = (x
2
-x + 1)(x
3
+x
2
-1)
VI/ Phương pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ)


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Ví dụ:Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x

2
+ 2x +8)
2

+3x(x
2
+ 2x +8) + 2x
2
Đặt y = x
2
+ 2x +8; Ta có:
y
2
+3xy+2x
2
= y
2
+xy+2xy+ 2x
2
= y(x+y) +2x(x+y) = (x+y)(y+2x) = (x+ x
2
+ 2x +8)( x
2
+ 2x
+8 +2x) =(x
2
+3x+8)( x
2
+4x+8)
BÀI TẬP TỔNG HỢP

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1/ A = x
3
+y
3
+z
3
-3xyz
2/ x
3
+7x -6
3/ 2x
3
–x
2
-4x +3 = 2x
3
– 2x
2
+x
2
-x-3x+3 = 2x
2
(x-1) +x(x-1) -3(x-1) =(x-1)(2x
2
+x-3)
= (x-1)(x-1)(2x+3) = (x-1)
2
(2x+3)
2

2
2
2
2
1/ x 5x 6
2 / x 5x 6
3/ x 7x 12
4 / x 7x 12
5/ x x 12
− +
+ +
− +
+ +
+ −

2
2
2
2
2
6 / x x 12
7 / x 9x 20
8/ x 9x 20
9 / x x 20
10 / x x 20
− −
− +
+ +
+ −
− −

2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
21/ x xy 2y
22 / x xy 2y
23/ x 3xy 2y
24 / x xy 6y
25/ 2x 3xy 2y
− −
+ −
− −
− −
− −

2 2
2 2
26 / 6x xy y
27 / 2x 5xy y
− −
+ +
2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
11/ 2x 3x 2
12 / 3x x 2
13/ 4x 7x 2
14 / 4x 5x 6
15/ 4x 15x 9
16 / 3x 10x 3
17 / 6x 7x 2
18/ 5x 14x 3
19 / 5x 18x 8
20 / 6x 7x 3
− −
+ −
− −
+ −
+ +
+ +
+ +
+ −
− −
+ −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2

2 2
2 2
31/ x x xy 2y 2y
32 / x 2y 3xy x 2y
33/ x x xy 2y y
34 / x 4xy x 3y 3y
35/ x 4xy 2x 3y 6y
36 / 6x xy 7x 2y 7y 5
37 / 6a ab 2b a 4b 2
38/ 3x 22xy 4x 8y 7y 1
39 / 2x 5x 12y 12y 3 10
− − − +
+ − + −
+ − − +
− − + +
+ + + +
+ − − + −
− − + + −
− − + + +
+ − + − −
2 2
xy
40 / 2a 5ab 3b 7b 2+ − − −

2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
41/ 2x 7xy x 3y 3y

42 / 6x xy y 3x 2y
43/ 4x 4xy 3y 2x 3y
44 / 2x 3xy 4x 9y 6y
45/ 3x 5xy 2y 4x 4y
− + + −
− − + −
− − − +
− − − −
− + + −
Bài 6: Tìm x và y, biết:


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1/ x 2x 5 y 4y 0
2 / 4x y 20x 2y 26 0
3/ x 4y 13 6x 8y 0
4 / 4x 4x 6y 9y 2 0
5/ x y 6x 10y 34 0
6 / 25x 10x 9y 12y 5 0
7 / x 9y 10x 12y 29
8/ 9x 12x 4y 8y 8 0

9 / 4x 9y 20x 6y
− + + − =
+ − − + =
+ + − − =
+ − + + =
+ + − + =
− + − + =
+ + − − +
+ + + + =
+ + − +
2 2
26 0
10 / 3x 3y 6x 12y 15 0
=
+ + − + =
CHUYÊN ĐỀ 2
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH và BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I/ Phương trình bậc nhất một ẩn
Dạng tổng quát: ax +b = 0 (a
0≠
) . Phương trình có nghiệm là x = -b/a
II/ Phương trình đưa về dạng ax+b=0
Giải phương trình:
1/
=−+
2
1
83
xx
24

19
8
5
+
+x
2/ 3(x-5) + 2x = 5x – 9
3/
55
4
56
3
57
2
58
1 +
+
+
=
+
+
+ xxxx

II/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Cách giải
* ĐKXĐ
* Tìm MTC
* Quy đồng khử mẫu và giải phương trình
* Kết hợp với ĐKXĐ để chọn nghiệm
Ví dụ:
Giải phương trình:

1/
)3)(1(
2
)1(2)3(2 −+
=
+
+
− xx
x
x
x
x
x
2/
1
2
3
2
3
1
2
2
+
−−
=
−
+
+
+
xx

xx
x
3/
)
1
1
1(3
1
1
1
1
+
−
−=
+
−
−
−
+
x
x
x
x
x
x
x
4/
1
32
4

3
52
1
13
2
=
−+
+
+
+
−
−
−
xx
x
x
x
x

14
2
116
68
41
3
/5
2
+
=
−

+
+
− x
x
x
x

Giải


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
1/
)3)(1(
2
)1(2)3(2 −+
=
+
+
− xx
x
x
x
x
x
(1)
ĐKXĐ:



−≠

≠
1
3
x
x

( )



=
=
⇔



=−
=
⇔
=−⇔
=−⇔
=−++⇔
=−++⇔
−+
=
−+
−
+
+−
+

⇔
)(3
0
03
02
0)3.(2
062
43
4)3.()1.(
)3)(1.(2
2.2
)3).(1(2
)3.(
)1)(3(2
)1.(
1
2
22
loaix
x
x
x
xx
xx
xxxxx
xxxxx
xx
x
xx
xx

xx
xx

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {0 }
IV/Phương trình tích
Dạng tổng quát
A(x).B(x)… = 0
Cách giải :A(x).B(x)… = 0





=
=
=
⇔
0
0)(
0)(
xB
xA
Ví dụ : Giải phương trình
(5x+3)(2x-1) = (4x +2)(2x-1)
⇔
(5x+3)(2x-1) - (4x +2)(2x-1)=0
⇔
(2x-1)[(5x+3)- (4x +2)] =0
⇔
(2x-1 )[5x+3-4x -2] =0

⇔
(2x-1)(x+1) = 0

⇔



=+
=−
01
012
x
x




−=
=
⇔
1
2
1
x
x
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {
2
1
;-1}
Bài tập

Giải các phương trình sau
1/x(x+1)(x
2
+x+1)= 42
2/( x
2
-5x)
2
+10(x
2
-5x) +24 = 0
3/(x
2
+x+1).(x
2
+x+2) = 12
4/(x-1)(x-3)(x+5)(x+7)=2
V/Bất phương trình
Giải các bất phương trình sau:


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
)1(
2
)12(
3
)23(
/8
065/7
04/6

3
2
4
1
4
3
1/5
2
35
1
8
)2(3
4
13
/4
)1(4)25(2)14(3/3
28)2()2/(2
)1(253/1
22
2
2
22
+≤
+
−
−
≤+−
≥−
−
−

+
≥
−
−+
−
≥−
−
−
−
+≤+−+
−≥−−+
+−>−
xx
xx
xx
xx
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
VI/ Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Giải phương trình:
1/
2 1x −
= 3 +5x (1)
Nếu 2x-1
≥
0

⇔
x
≥
0,5 thì:
2 1x −
= 2x-1
(1)
⇔
2x-1 = 3 +5x
⇔
-3x = 4

⇔
x = -
4
3
( loại)
Nếu 2x-1 <0
⇔
x<0,5 thì:
2 1x −
= 1-2x
(1)
⇔
1-2x = 3 +5x

⇔
- 2x- 5x = 3-1

⇔

- 7x = 2

⇔
x = -
7
2
(nhận)
Vậy pt có nghiệm là : x= -
7
2
2/
x31−
= 2 - x (2)
3/
3321 =+++++ xxx
(3)
Bảng xét dấu:
x -3 -2 - 1
x+1
-
↓
-
↓
- 0 +
x+2
-
↓
- 0 +
↓
+

x+3
- 0 +
↓
+
↓
+

* Nếu x
3−≤
thì (3)
⇔
-(x+1)-(x+2)-(x+3) = 3
⇔
-3x-6 = 3
⇔
x =-3(nhận)
* Nếu -3
2
−≤<
x
thì (3)
⇔
- (x+1) –(x+2)+(x+3) = 3
⇔
-x =3
⇔
x=-3(loại)


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

* Nếu -2
1−≤< x
thì (3)
⇔
-(x+1)+x+2 x+3 =3
134 −=⇔=+⇔ xx
(nhận)
* Nếu x
1−>
thì (3)
⇔
x+1+x+2+x+3 =3
133
−=⇔−=⇔
xx
(loại)
Vậy pt có nghiệm x=-1hoặc x=-3
BÀI TẬP:
Giải các phương trình sau:
1/
2112 +−=+ xx
2/
12342 −=−+− xxx
3/
8113 =−+− xx
4/
01122 =−++−− xxx
5/
36
5

2
1
9
4
9
3
+
−=
−
−
+
x
xx
222131/8
023214/7
351213/6
−+++=−++
=+−−−+
+=−+−
xxxxx
xxx
xxx
VII/ Phương trình vô tỉ
1/ Dạng 1:
A
= B .
Cách giải:







=
≥
≥
2
0
0
BA
B
A
2/Dạng 2:
A B C+ =
hoặc :
CBA =−
Cách giải: Bình phương hai vế không âm của phương trình đưa về dạng (1)
Ví dụ : Giải phương trình:
52 +x
-
53 −x
=2
⇔
52 +x
= 2 +
53 −x
(1)


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

ĐK:
3
5
3
5
2
5
053
052
≥⇔







≥
−
≥
⇔



≥−
≥+
x
x
x
x

x
Bình phương hai vế của (1)ta được: 2x +5 = 4 +3x – 5+4
53 −x
⇔
4
53 −x
= -x +6



+−=−
≤
⇔
3612)53(16
6
2
xxx
x



=+−
≤
⇔
011660
6
2
xx
x






=
=
≤
⇔
)(58
2
6
loaix
x
x
(nhận)
Kết hợp với ĐK đầu bài x=2(thõa)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:S={2}
3/ Dạng 3: Đặt ẩn phụ:
Giải Pt :
1/ x
2
+
1+x
= 1 (HSG tỉnh Kiên Giang 06-07)
2/
42
2
4
=−+
−

x
x
(1)
ĐK: x
2>
Đặt : t =
2−x
0>
(1)
⇔
2020)2(044444
4
222
=⇔=−⇔=−⇔=+−⇔=+⇔=+ tttttttt
t
(nhận)
Với t = 2 ta được
64222 =⇔=−⇔=− xxx
(nhận)
Vậy pt có nghiệm x = 6
3/ x
2
+
155
2
=+x
(1)
Đặt t =
55
2

≥+x

55
2222
−=⇔+=⇔ txxt
(1)
⇔
(t
2
-5) + t = 15
40)5)(4(020
2
=⇔=+−⇔=−+⇔ ttttt
(Nhận) hoặc t=-5 (loại)
Với t = 4 ta được
45
2
=+x
x⇔
2
+5 = 16




=
−=
⇔=⇔
11
11

11
2
x
x
x
Vậy phương trình có nghiệm : x = -
11
hoặc x=
11
4/ 4x
2
+4x +1 - 2
14 +x
+1 =0
5/ x
2
+x +12
1+x
=3
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải phương trình
1/
1215
2
−=++ xxx
2/
748532 +=−++ xxx
3/ x
2
+x+6

182 =+x
4/
242 −−+ xx
+
267 −−+ xx
=1


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
5/ 2
21
33
+=− xx
(1)(HSG tỉnh Kiên Giang 05-06)
( Đặt t =
01
3
≥− x

⇔
t
2
= 1- x
3

⇔
x
3
= 1- t
2

(1)
0
)(3
)(1
032212
22
=⇒



−=
=
⇔=−+⇔+−=⇔ x
loait
nhânt
tttt
6/
2
2
11
2
=
−
+
x
x
(1).(HSG Tỉnh Kiên Giang 07-08)
ĐK:




<<−
≠
⇔



>−
≠
22
0
02
0
2
x
x
x
x
(1)
⇔
2
2
1
2
1
x
x
−
−=

7/
22
434 xxxx −=+−
8/
411
22
=−−+++ xxxx
9/
323232
22
−+++=++−− xxxxxx
10/
04
4
2
2
3
=−+
−
x
x
x
11/2x
2
+2
033 =−x

12/
2
2

1
2
3
3
3
3
=
+
++
x
x
13/
2
1
232
+
=+++
x
xx
(chuyên HMĐ 20/6/08)
04
4
/17
3
1
32
/16
3
53
14

5/15
5168143/14
2
2
3
2
=−+
−
+=
−
−+
=
−+
−
−−
=−−++−++
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xxxx
18/ 3x
2
+6x +20 =
82

2
++ xx
19/ x
2
+x+12
361 =+x
20/
xxxxx 24)3)(1(231 −=+−+++−
. ( Đưa về HĐT)


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
21/
490:
471
≤≤
=−++
xĐKXĐ
xx
Đặt u =
xvx −+ 7;1
.ta có hệ phương trình .
9
8
4
22
=⇒




=+
=+
x
vu
vu
Chuyên đề 3: Tìm GTNN-GTLN
I/Tìm GTNN:
1/ y =
52
2
+− xx
=
xx ∀≥++ ,24)1(
2
Miny = 2 khi x = -1
2/ y =
1
64
2
+−
xx
3/ y = 2+
54
2
+− xx
4/ y =
3106
2
−++ xx
5/ y =

102
9
2
++ x
x
6/ y =
172
8
3
2
+−
−
x
x
7/ y =
1
4
2
−+ x
x
8/ y =
32
22
2
2
++
++
xx
xx
= 1-

32
1
2
++ xx
=1-
2)1(
1
2
++x
Miny = 1-
2
1
2
1
=
Khi x=-1
9/ g(x,y) = 3(x-y)
2
+ (
2
)
11
yx
−
14/ y =
32 −− xx
15/ y= x
2
-6x +10
10/A=

2005
2004
2005
2004
2005
)2005(20052
2
2
2
2
≥+
−
=
+−
x
x
x
xx
Vậy minA=
2005
2004
khi x = 2004
11/ A =
a
c
c
b
b
a
++

với a,b,c
0
Và a+b+c
3
≥
12/ Y =
267221 −−++−−− xxxx
13/ Cho x,y,z là những số thực và thoã x
2
+y
2
+z
2
=1
Tìm GTNN của A = 2xy +yz +zx
II/ Tìm GTLN


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
1/ y =
22
2
++− xx
2/ y = 2-
144
2
+− xx
3/ y = -2x
2
+x-1

4/ y =
42
1
23
++−
+
xxx
x
5/ A =
33
4 xxxx ++−
.Với 0
2≤≤ x
6/ B =
793
1793
2
2
++
++
xx
xx
( khi x= -3/2)
7/ A= -(x-1)
2
+ 2
31 +−x
Đặt: t=
44)1(321
22

≤+−−=++−=⇒− tttAx

Vậy MaxA = 4 khi t=1
⇒

11 =−x

⇒
x = 0 hoặc x = 2
8/ y =
106
116
2
2
+−
+−
xx
xx

III/ Tìm GTNN và GTLN
1/ A =
2
9 x−
2/ B =
xx −
3/ y =
1
2
++
−

x
x
4/ M =
1
1
2
2
+−
++
xx
xx
Ta có (x+1)
2
3
1
1
1
1)1(3133302420
2
2
22222
≥
+−
++
⇔−−≥++⇔+−≥++⇔≥++⇔≥
xx
xx
xxxxxxxxxx
Do đó: MinM =
)1(

3
1
Mặt khát:

3
1
1
133302420)1(
2
2
2222
≤
+−
++
⇔++≥+−⇔≥+−⇔≥−
xx
xx
xxxxxxx
Hay Max M = 3 (2)Từ (1) và (2)
3
3
1
≤≤⇒ M
Chuyên đề 4: ĐỒ THỊ VÀ HÀM SỐ
A/Lý thuyết
1/ Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(x
0 ,
y
0
) và song song hoặc trùng với đường thẳng y = ax

y- y
0
= a(x- x
0
) hay y = a(x- x
0
) + y
0
2/ Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k :y = kx +b
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(-1,-1) và có hệ số góc bằng 3
Đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 có phương trình : y = 3x + b
Vì A(-1,-1) thuộc (d) nên :
-1 = 3.(-1) + b
⇔
b =2
Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng y = 3x +2.
3/ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(x
0,
y
0
); B(x
1
,y
1
) có dạng:
01
0
01
0
xx

xx
yy
yy
−
−
=
−
−


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Hoặc : Gọi phương trình quát của đường thẳng AB là: y = a.x +b
Vì A
∈
AB nên tọa độ của A thỏa mãn phương trình đường thẳng AB.
Do đó ta có y
0
= a.x
0
+ b (1)
Vì B
∈
AB nên tọa độ của B thỏa mãn phương trình đường thẳng AB.
Do đó ta có y
1
= a.x
1
+ b (2)

Từ (1) và (2) Giải hệ phương trình tìm được a và b

⇒
phương trình đường thẳng AB cần tìm
4/ Lập phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng khác.
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua A(1,2) và vuông góc với đường thẳng (d): y = -2.x + 5
Giải:
Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng cần tìm là: (D) : y = a.x + b
Vì (D)
⊥
(d) nên a. a
’
= -1
⇔
a. (-2) = -1
2
1
=⇔ a
⇒
(D) có dạng: y =
2
1
.x+b
Vì A(1,2)
∈
(D) nên : 2=
2
3
1.
2
1
=⇒+ bb

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y =
2
1
.x +
2
3
4/ Sự tương giao của hai đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng
(d) : y = ax +b và (d’) : y = a’x+b’ , ta có kết quả sau:
* (d)
≡
(d’)
',' bbaa ==⇔
)(* d
song song (d’)
',' bbaa ≠=⇔
*(d)
')'( aad ≠⇔∩
*(d)
1'.)'( −=⇔⊥ aad
Hoặc
Cho hai đường thẳng: (d): ax + by = c
(d’): a’x+ b’y = c’
• Hai đường thẳng cắt nhau nếu :
'' b
b
a
a
≠
• Hai đường thẳng song song nhau nếu:

''' c
c
b
b
a
a
≠=
• Hai đường thẳng trùng nếu:
''' c
c
b
b
a
a
==

5/ Khoảng cách h từ gốc toạ độ đến đường thẳng ax+by = c
h =
22
ba
c
+
6/ Khoảng cách từ O đến A với :
• A(0,y
A
) thì OA =
A
y
• A(x
A,

0) thì OA =
A
x
• A(x
A,
y
A
) thì OA =
22
AA
yx +


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
7/ Khoảng cách giữa hai điểm A(x,y); B(x’,y’) trên mặt phẳng toạ độ: AB =
22
)'()'( yyxx −+−
8/ Trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ : M(
)
2
'
;
2
' yyxx ++
B/ BÀI TẬP
1/ Cho A(2,3); B(5,8) thuộc đường thẳng d
a/ Tính hệ số góc của d.
b/ Xác định đường thẳng d.
2/ Cho (d) : y = 2x+1 và (d’): y = x+1
a/ CMR (d) cắt (d’). Xác định toạ độ I của chúng.

b/ Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua I có hệ số góc bằng -4.
c Lập phương trình đường thẳng (d’) qua I và song song với đướng thẳng y = 0,5x +9.
3/ Cho họ đường thẳng (d
m
) có phương trình:
32
1
32
1
−
+
+
−
−
=
m
m
x
m
m
y
.Xác định m để:
a/ (d
m
) qua A(2,1).
b/ (d
m
) có hướng đi lên( hàm số đồng biến) “hệ số góc dương”
c/ (d
m

) song song với dường thẳng (D):x - 2y + 12 = 0
d/ Tìm điểm cố định mà họ (d
m
) luôn đi qua.
Giải
d/ (d
m
) viết lại : (d
m
): (m-1)x + (2m-3)y – m-1 = 0
Giả sử M(x
o,
y
o
) là điểm cố định mà (d
m
) luôn đi qua, khi đó
(m-1)x
o
+ (2m-3)y
o
– m-1 = 0,với mọi m
⇔
(x
o
+2y
o
-1)m –x
o
-3y

o
-1 = 0 , với mọi m.



−=
=
⇔



=++
=−+
2
5
013
012
0
0
00
00
y
x
yx
yx
Vậy (d
m
) luôn đi qua điểm cố định M(5,-2)
4/ Cho hàm số y = x +2
a/ Vẽ đồ thị hàm số trên

b/ Tìm phương trình đường thẳng qua K(0,1) và vuông góc với y = x +2
c/ Tìm khoảng cách từ O đến đường thẳng y = x + 2
5/ Viết phương trình đường thẳng qua A( 2,1) và vuông góc với y = 0,5 +1
6/ cho hai đường thẳng y= (m
2
+2)x +m (d
1
) và y = 3x +1(d
2
)
Xác định m để:
a/Hai đường thẳng cắt nhau
b/ Hai đường thẳng trùng nhau
c/ Hai đường thẳng song song với nhau
d/ Hai đường thẳng vuông góc với nhau.
7/ Cho hai đường thẳng y= 3x +1(d
1
) và y = -x +2(d
2
) . Viết phương trình đường thẳng (d
3
) biết:


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
a/ (d
3
) song song với (d
1
) và (d

3
) cắt (d
2
) tại điểm có hoành độ bằng 1
b/ (d
3
) vuông góc vời (d
2
) và (d
3
) cắt (d
1
) tại điểm có tung độ bằng 4.
8/ Chứng minh rằng : y = 2x +4 , y = 3x + 5 , y = -2x cùng đi qua một điểm.
9/ Cho A(3,4) ; B(12,5) ; C( 2,-1)
a/ Vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng tọa độ
b/ Tính khoảng cách từ A đến O; B đến O ;C đến O.
10/ CMR:
a/ (d) : y = (m-2)x –m +4
b/ y = mx +m-2
c/ y = -
1
3
1
−+ mmx
luôn đi qua một điểm cố định?
11/ Cho A(0,5) ; B(-3,0) ; C(1,1) ; M(-4,5). CMR:
a/A,B,M thẳng hàng
b/ A,B,C không thẳng hàng.
c/ Tính diện tích tam giác ABC ?

12/Trên mp tọa độ cho A(1,2) ; B(-1,1)
a/ Tìm hệ số góc của đường thẳng AB
b/ Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm C (2,1) và vuông góc với AB.
13/ Xác định hệ số góc k của đường thẳng y = kx +3 – k trong mỗi trường hợp
a/Đường thẳng song song với đồ thị y = 2/3x
b/Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
c/ Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
14/ Cho 3 đường thẳng y` = (m
2
-1)x + (m
2
-5) (d
1
) ; y = x+1 ; y = -x +3
a/ CMR khi m thay đổi thì (d
1
) luôn đi qua một điểm cố định
b/ Xác định m để 3 đường thẳng đồng quy
15/CMR 3 đường : y = -3x ; y = 2x +5 ; y = x +4 đồng quy
16/Tìm m để 3 đường thẳng y = x-4 ; y = -2x-1 ; y = mx +2 đồng quy
17/ Cho (d) : y = 4mx – (m+5), (d1) : y = (3m
2
+1)x + m
2
-4.
a/ CMR khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua một điểm cố định A,đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định
B.
b/ Tính khoảng cách AB
c/ Với giá trị nào của m thì (d) cắt (d1). Tìm tọa độ giao điểm khi m =2
18/ Lập phương trình đường thẳng (D) biết :

CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
a/ (D) song song với y = -2x+1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 4.
b/ (D) song song với đường thẳng y = x và cắt đường thẳng y = 2x -1
tại điểm có hoành độ bằng -2.
Chuyên đề 5: RÚT GỌN CĂN THỨC BẬC HAI
1/ Cho y =
x
xx
xx
xx +
−+
+−
+ 2
1
1
2
a/ Rút gọn y
b/ Tìm x để y = 2
c/ G/S x=1.Chứng minh rằng y-
0=y
d/ Tìm GTNN của y.
2/ Cho A =
1
44
242242
2
+−
−+++−−+

x
x
xxxx
a/ Rút gọn A
b/ Tìm x để A thuộc Z
3/ P = (
)
1
(:)
1
1
1
1
−
+
−
+
−
−
+
x
x
x
x
x
x
xx
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P=-3
4/ B = (

4;0),
4
).(
2
2
2
2
≠−
−
+
−
+
−
aa
a
a
a
a
a
a

.Rút gọn B
5/ Rút gọn Q = (
)1(
)3(4
:)
1
4
1
1

1
1
2
2
2
xx
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
+
−
−
−
+
. ( HSG 05-06)
6/ Rút gọn M = (
2
)
1
1
)(
1

1
a
a
a
a
aa
−
−
+
−
−
7/ Rút gọn B =
11
22
+−
+
−
++
−
xx
xx
xx
xx
8/ M = (1+
0);
1
1)(
1
a
a

aa
a
aa
−
−
−
+
+


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
9/ CMR : Q =
)0,(,
4)(
2
yx
xy
xyyx
yx
xyyx −
−
+
+−
không phụ thuộc vào x
10/ C = (1-x
2
):[(
1)]
1
1

)(
1
1
+−
+
+
+
−
−
x
x
xx
x
x
xx
11/ A =
xxxx
x
xx ++
+
−
1
:
1
2
a. Tìm x để A có nghĩa
b. Rút gọn A
c. Tìm x để A thuộc Z
12/ D =
xx

x
xx
8)2(
8)2(
2
2
222
−++
+−
a/ Rút gọn A
b/ Tìm x để a
Z∈
13/A = [
][:]
ab
ba
aab
b
bab
a
ba
abb
a
+
−
−
+
++
−
+

14/ Cho B = (
1;0),
1
1
)(
1
1
12
3
3
≠≥−
+
+
++
−
−
+
xxx
x
x
xx
x
x
x
a/ Rút gọn B
b/ Tìm x để B = 3
15/ Cho Q = (
)
1
2

2
1
(:)
1
1
1
−
+
−
−
+
−
− a
a
a
a
aa
a/ Rút gọn Q
b/ Tìm giá trị của a để Q dương.
16/ Cho C = (
9,0);
1
3
13
(:)
9
9
3
≠−
−

+
−
+
+
+
xx
xxx
x
x
x
x
x

a/ Rút gọn C
b/ Tìm x sau cho C
1−
17/ Cho P = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1
−
+
−
−

+
−
− x
x
x
x
xx
a/ Tìm ĐKXĐ của P
b/ Rút gọn P
c/ Tìm x để P =
4
1


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
18/ Cho C =
62
3
62
3
+
−
−
−
+
a
a
a
a
a/ Rút gọn C

b/ Tìm a để C = 4
19/ A = (
)
2
1
(:)
1
1
11
2 −
−
+
++
+
+
+ x
xxx
x
xx
x
a/ Rút gọn A
b/ CMR : 0
2 A
20/ P = [(x
4
–x +
]
)4)(3(
144
].[

1
)6(2
1
33
)1)(122(
).
1
3
2
2279
23
3
xx
xx
x
x
xxx
xxxx
x
x
−+
++
+
+
−+
−−+
+−+−
+
−
a/ Rút gọn P

b/ CMR : -5
0
≤≤
P
Chuyên đề 6: RÚT GỌN NHỮNG BIỂU THỨC CÓ DẠNG
PS 2+
Hay
PS 2−
( Với S là tổng của hai số và P là tích của hai số cần tìm).
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình X
2
– SX +P=0
Ví dụ : Rút gọn các biểu thức sau:
1/ A=
625 +
.Ta có tổng hai số là 5 tích hai số là 6 .Vậy hai cần tìm là 2 và 3
Do đó A =
23)23(
2
+=+
2/ B =
1528 −
. Ta có S = 8, P = 15 Vậy hai só cần tìm là 5 và 3
Do đó B =
35)35(
2
−=−
3/ C =
62412441)2441(984265
2

+=+=+=+


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
4/ D =
6252425)2425(600249
2
−=−=−=−
BÀI TẬP NÂNG CAO
11155)15(5526535235
92035)920(35180229355122935/1
2
2
==+−=−−=−−=+−−=
+−−=−−−=−−−=−−−=A
2/ B =
1416819266536 +
3471048535/10
1281812226/9
4813522/8
612356615/7
9045316013/6
512295646/5
12612110/4
96220/3
+−+
−++−
−++
−+−
+−−

−−−
+
+
Chuyên đề 7: Parabol và đường thẳng
1/ Cho (P) : y = 0,5.x
2
và (d) : y = x +b
a/ Với giá trị nào của b thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
b/ Khi b = 4 tìm toạ độ A,B và tính khoảng cách AB.
2/ Cho (P): y = 4x
2
và (d): y = mx – m +4
a/ Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tính hoành độ giao điểm theo m.
b/ Viết phương trình đường thẳng qua A(1,3) và tiếp xúc với (P)
3/ Cho hàm số y = ax
2
+bx +c
a/ Xác định a,b,c biết đồ thị qua A(0,-1); B(1,0); C(-1,2)
b/ Với giá trị nào của m thì y = mx -1 tiếp xúc với đồ thị hàm số vừa tìm được.
4/ Trên cùng mp toạ độ cho (P): y = x
2
-3x +2 và (d):y = k(x-1)
a/ CMR với mọi k (d0 vá(P) luôn có điểm chung
b/ Khi (d) tiếp xúc với (P) . Tìm toạ độ tiếp điểm
5/Cho (P): y =
4
2

x
và (d) qua I(
)1,
2
3
−
có hệ số góc m
a/ Vẽ (P) và viết phương trình của (d)
b/ Tìm m để (P) tiếp xúc với (d)
c/ Tìm m để (P) và (d) có hai điểm chung phân biệt
6/Trong mp toạ độ cho 3 đường thẳng có phương trình:
y = 0,5x +4; y = 2; y = (k+1)x +k . Tìm k để 3 đường thẳng đồng quy.
7/ Cho (P):y = x
2
và (d):y = -x +2
a/ Viết pt (d’) qua M(0,m) và song song với (d)
b/ Với giá trị nào của m thì :
1/( d’) cắt (P) tại hai điể phân biệt
2/ (d’) không cắt (P)
3/ (d’) tiếp xúc với (P)
8/ Cho P có đỉnh ở O và qua A(1,-
)
4
1
a/ Viết phương trình của (P)
b/ Viết phương trình của (d) song song với x +2y =1và qua B(0,m)
c/ Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x
1
,x
2

sao cho 3x
1
+5x
2
= 5
9/Cho (P): y = ax
2
và (d): y = mx +n .Tìm m và n biết (d) qua A(2,-1) ; B(0,1)
10/ Cho hàm số y = ax
2
+2(a-2)x -3a +1 .CMR với mọi a đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định
Giải:
Gọi B(x
o
,y
o
) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi a
Ta có phương trình: y
o
= ax
o
2
+2(a-2)x
o
-3a +1 có nghiệm đúng với mọi a
Hay pt : (x
o
2
+2x
o

-3)a +( 1-4x
o
–y
o
) = 0 có vô sô nghiệm.


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9



=−−
−==
⇔



=−−
=−+
041
3;1
041
032
00
00
00
0
2
0
yx

xx
yx
xx
* Với x
o
= 1 thì y
o
= -3
⇒
A(1,-3)
* Với x
o
= -3 thì y
o
= 13
⇒
B(-3,13)
11/ Cho (P): y = x
2
và (d) qua điểm I(0,1) có hệ số góc m
a/ Viết phương trình đường thẳng (d). CMR (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b/Gọi x
1,
x
2
lần lượt là hoành độ của hai giao điểm .CMR
2
21
≥− xx

12/Cho (P): y = ax
2

a/ Xác định a và vẽ đồ thị tìm được ,biết đồ thị đi qua M(
)
4
1
,
2
1 −−

b/ Vẽ (d) qua N(2,-3) song song với trục hoành cắt (P) tại hai điểm A và B.Tìm toạ độ A,B
(biết hoành độ của A là số dương)
13/ Cho (P): y = mx
2
a/ Tìm m để (P) qua A(-1,-2)
b/ cho (d) : y = 2
x
- 4. Vẽ (P) và (d) trên cùng mp toạ độ
c/ Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phương pháp đại số.
14/ Cho (P): y = ax
2
+bx+c
a/ Tìm a,b,c biết (P) đi qua A(1,0); B(3,0); C(0,3)
b/ Tìm các giá trị của k để (d): y = kx +2 tiếp xúc với (P).Tìm toạ độ các tiếp điểm
Chuyên đề 8 : Giải và biện luận phương trình bậc hai
Ứng dụng của định lí vi ét thuận vào phươnh trình bậc hai ax
2
+bx +c =0
Khi sữ dụng định lí vi-ét cần nhớ điều kiện:




≥∆
≠
0
0a
BÀI TẬP
1/ Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm của phương trình bậc hai x
2
-x-1 =0
a/ Tính x
1
2
+x
2
2
b/ CMR: Q = (x
1
2
+x
2
2
+x
1
4

+x
2
4
) chia hết cho 5.
Giải
a/Ta có
5
=∆
0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Theo định lí vi-ét ta có x
1
+x
2
=1 và x
1
.x
2
=-1
Ta có x
1
2
+x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2

-2x
1
.x
2
= 1 +2 =3
b/ Q = (x
1
2
+x
2
2
) + (x
1
2
+x
2
2
)
2
-2x
2
.x
2
2
= 3 +3
2
-2.(-1)
2
= 10
Vậy Q chia hết cho 5

(Ta cũng chứng minh được Q= x
1
2001
+x
2
2001
+x
1
2003
+x
2
2003
chia hết cho 5)
2/ Giả sử x
1,
x
2
là các nghiệm của phương trình .x
2
–(m+1).x- m
2
- 2m +2 =0.
Tìm m để F = x
1
2
+x
2
2
đạt GTNN
Giải

Ta có
7103)22(4)1(
222
−+−=+−−+=∆ mmmmm


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Để PT có hai nghiệm thì
3
7
1071030
2
≤≤⇔≥−+−⇔≥∆ mmm
Theo định lí ta – lét ta có
x
1
+x
2
= m +1 và x
1
.x
2 =
m
2
-2m +2
Do đó F = x
2
2
+x
2

2
= (x
1
+x
2
)
2
– 2x
1
.x
2
= (m+1)
2
-2(m
2
- 2m +2) = -(m-3)
2
+6
Với
9
50
6)3(2
9
4
)3(44)3(
9
4
3
2
32

3
7
1
222
≤+−−≤⇔−≤−−≤−⇔≤−≤⇔
−
≤−≤−⇔≤≤ mmmmm
Vậy F
min
= 2 khi m = 1
3/ Tìm số nguyên m sao cho phương trình : mx
2
-2(m+3)x +m+2 = 0. có hai nghiệm x
1
,x
2
thoã
F =
21
11
xx
+
là số nguyên.
4/ Cho phương trình x
2
– (m+3)x +2m -5 =0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt mà hệ thức
này không phụ thuộc vào m.
Ta có
013)1(
2

+−=∆ m
với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo định lí ta-lét ta có
11.)(2
52.
62)(2
52.
3
2121
21
21
21
21
=−+⇒



−=
+=+
⇔



−=
+=+
xxxx
mxx
mxx
mxx

mxx
Vậy hệ thức này không phụ thuộc vào m.
5/Tìm m để phương trình x
2
- mx +m
2
-7 =0 có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
6/ Tìm m để phương trình x
2
– mx +m
2
-3 =0 có hai nghiệm dương phân biệt
7/ Cho PT x
2
-2(m+1).x+m
2
+3m +2 = 0
a/ Tìm m để PT có hai nghiệm thoã mãn x
1
2
+ x
2
2
= 12
b/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m.
8/ Cho PT (m+1)x

2
-2(m-1)x +m -2 =0
a/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt
b/ Tìm m để PT có một nghiệm bằng 2 . tình nghiệm kia
c/ Tìm m để PT có hai nghiệm sao cho
4
711
21
=+
xx
9/ Cho PT x
2
-2(m-1)x +m – 3 =0
a/ CMR Với mọi m PT luôn có hai nghiệm phân biệt
b/ Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của PT đã cho .Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
độc lập với m
10/ Cho PT 2x
2
-6x +m =0 . Với giá trị nào của m thì PT có
a/ Hai nghiệm dương
b/ Hai nghiệm x
1
, x

2
sao cho
3
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
11/ Cho PT x
2
-2(m-1)x –m-5 =0 thõ mãn hệ thức x
1
2
+x
2
2

14≥
12/Cho PT : x
2
-2(m+1)x +2m +10 =0
a/ Tìm m để PT có nghiệm
b/ Cho P = 6x
1
.x
2

+x
1
2
+x
2
2
. Tìm m để P
min
và tính giá trị ấy.
13/ Cho PT : (m +1)x
2
– 2( m-1)x +m -3 =0
a./ CMR PT luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
b/ Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của PT .Tìm m để x
1
.x
2
21
2,0 xx =≥
14/ Cho PT : 2x
2
– 2mx +m
2

-2 =0. Tìm m để PT có
a/ Hai nghiệm dương phân biệt
b/ Hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
sao cho x
1
3
+x
2
3
=
2
5
c/ G/S PT có hai nghiệm không âm .Tìm m để nghiệm dương đạt GTLN.
15/ Cho PT: (m+3)x
2
-2 (m
2
+3m )x +m
3
+12 = 0
a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất để PT có hai nghiệm phân biệt.
b/ Tìm số nguyên m lớn nhất để PT có hai nghiệm phân biệt thoã x
1
2
+ x
2
2

là một số nguyên
( HSG 07-08)
16/ Cho PT; x
2
-(m-2)x+m(m-3) = 0
a/ Tìm m để PT có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại
b/ Tìm m để PT có hai nghiệm x
1,
x
2
thoã x
1
3
+x
2
3
=0
17/ Cho phương trình x
2
-2(m-1)x +m
2
-2m =0
a/ CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b/ Tìm m để phươnh trình có một nghiệm bằng 3
18/ Cho PT; x
2
-2mx +2m +8 =0. Tìm m sau cho phương trình :
a/ Có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia
b/ Có hai nghiệm phân biệt
c/ Thoã

2
1
2
2
1
−=+
x
x
x
x
19/Tìm mọi giá trị của m để phương trình (m-3)x
2
-2mx+5m = 0 có hai nghiệm dương
Chuyên đề 9: Giải hệ phương trình
I/ Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Ví dụ: Giải hệ phương trình



=
−=
⇔



=+
−=
⇔




−=+
=+
⇔



−=+
=+
7
4
135
4
336
135
12
135
y
x
yx
x
yx
yx
yx
yx
II/ Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Ví dụ: Giải hệ phương trình




=
=
⇔



=
−=
⇔



=−+
−=
⇔



=+
=−
0
3
155
62
9)62(3
62
93
62
y
x

x
xy
xx
xy
yx
yx
III/ Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ : Giải hệ phương trình
1/







−=
+
+
+
=
+
+
+
1
1
3
1
3
11

2
y
y
x
x
y
y
x
x
Đặt u =
1
,
1 +
=
+ y
y
v
x
x
Hệ phương trình trở thành


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9





−=
−=

⇔



−−=
+=
⇔







−=
+
=
+
⇔



−=
=
⇔



−=
=+

⇔



−=
=+
⇔



−=+
=+
⇔



−=+
=+
2
1
2
1
22
1
1
2
1
1
2
1

32
55
32
262
32
13
32
y
x
yy
xx
y
y
x
x
v
u
v
vu
v
vu
vu
vu
vu
vu
2/








=
+
−
−
−=
+
−
−
0
1
2
1
1
6
2
3
yxyx
yxyx
3/





=+−
=
+

03020
2
54
xyyx
xy
yx
4/







−=
−
+
−
+
−
=
−
+
+
+
−
6
2
)1(7
2

)1(20
8
2
)1(3
2
)1(5
yx
y
yx
x
yx
y
yx
x
5/







=−
=+
5
33
1
11
yx
yx

6/







=
−
−
−
=
−
+
−
1
1
3
2
2
2
1
1
2
1
yx
yx
7/








=
+
+
−
=
+
+
−
6
7
3
1
2
2
2
3
3
2
3
yxyx
yxyx
8/




−=−−
=−+−
20)2)(1(
192
22
yxxy
yyxx
IV/ Giải và biện luận hệ phương trình
Giải và biện luận hệ phương trình:



=+
=+
''' cybxa
cbyax
• Hệ có nghiệm duy nhất khi
'' b
b
a
a
≠
• Hệ vô nghiệm khi
''' c
c
b
b
a
a

≠=
• Hệ có vô số nghiệm khi
''' c
c
b
b
a
a
==
Ví dụ:
1/Cho hệ phương trình :



=+
=+
32
32
2
myx
ymmx
. Tìm m để hệ
a/Có vô số nghiệm
b/ Vô nghiệm

Giải
a/ Hệ có vô số nghiệm khi
11
3
3

2
2
'''
2
=⇔==⇔==⇔== mmm
m
mm
c
c
b
b
a
a
b/ Hệ vô nghiệm khi
11
3
3
2
2
'''
2
≠⇔≠=⇔≠=⇔≠= mmm
m
mm
c
c
b
b
a
a

2/ Cho hệ PT:



=+
=+
2
1
yax
ayx
a/ Giải hệ khi a=2
b/ Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
3/



+=−
=−
69 mymx
mmyx
Tìm m để hệ
a/ Vô nghiệm
b/ Có vô sô nghiệm
4/ Cho hệ PT:




+=−+
=−+
1)1(
2)1(
myxm
ymx

a/ Giải hệ khi m=
2
1
b/ Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất thoã x
y
5/Cho hệ



=+
=+
ayax
yx
3
1
a/ Tìm a để hệ có một nghiệm
b/ Tìm a để hệ có vô số nghiệm
6/Giải và biện luận hệ phương trình
a/



−=−

=−
3
3
ymx
myx
b/



=−
−=−+
mymx
mymx 41)4(3
V/ Hệ phương trình đối xứng loại I
Dạng



=
=
0),(
0),(
yxg
yxf
Với



=
=

),(),(
),(),(
xygyxg
xyfyxf
( Thay x = y và thay y = x thì hệ không đổi)
Cách giải: Đặt S = x + y ; P = x.y
Ví dụ: Giải hệ phương trình
1/



=+
−=+
7
2)(
33
yx
yxxy



=+−+
−=+
⇔
7)(3)(
2)(
3
yxxyyx
yxxy
Đặt S = x+y ; P = xy

Do đó hệ trở thành



−=
=
⇔



=
−=
⇔



=−−
−=
⇔



=−
−=
2
1
1
2
7)2.(3
2

73
2.
333
P
S
S
PS
S
PS
PSS
SP
⇔




−=
=+
2
1
xy
yx
x,y là nghiệm của phương trình X
2
– SX -2 =0
Giải phương trình ta được X
1
= -1; X
2
= 2

Vậy hệ có nghiệm



=
−=
2
1
y
x
và



−=
=
1
2
y
x
2/



=
=+
3
82
44
xy

yx


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9





=+
=++





=+
=+





=+
−=+
22
4
/5
97
78)(

/4
26
6
/3
44
22
33
22
yx
xyyx
yx
xyyx
yx
xyyx
6/





=+
=+
28
12
yyxx
xyyx
7/






=+
+=++
6
232
22
yx
xyyx
8/



−=+
−=+
21
1
33
yx
yx
VI/ Hệ phương trình đối xứng loại II
Dạng



=
=
0),(
0),(
xyf

yxf
Cách giải: Đưa về dạng



=
=−
0),(
0),(),(
yxf
xyfyxf
hoặc



=
=+
0),(
0),(),(
yxf
xyfyxf
Ví dụ : Giải hệ phương trình











=+−
=++



=+−
=−
⇔



=+−
=++−
⇔





=+−
−−=−−−
⇔





=+−

=+−
yxx
yx
yxx
yx
yxx
yxyx
yxx
yxyxyx
xyy
yxx
452
02
452
0
452
0)2)((
452
)(4)(2)(
452
452
2
2
2
2
22
2
2
 Trường hợp 1:




=
=



=
=
⇒



==
=
⇔



=+−
=
⇔



=+−
=−
5
5
1

1
5;1
056452
0
22
y
x
hoac
y
x
xx
yx
xx
yx
yxx
yx
 Trường hợp 2:



=++
−−=
⇔



=++
−−=
⇔




=+−
=++
012)1(
2
0132
2
452
02
222
x
xy
xx
xy
yxx
yx
Hệ phương trình vô
nghiệm
Vậy hệ phương trình có nghiệm



=
=



=
=

5
5
;
1
1
y
x
y
x
Bài tập
Giải các hệ phương trình sau


CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9





=+
=+





=+−
=+−






=+−
=+−
1232
1232
/3
6325
6325
/2
9623
9623
/1
2
2
2
2
2
2
xy
yx
xyy
yxx
xyy
yxx
4/ 4/






−=−
−=−
232
232
22
22
xyy
yxx
(Chuyên HMĐ 20/6/2008)
5/





=+−
=++
012
012
2
2
xy
yx
6/






=+−
=+−
xyy
yxx
353
353
2
2
7/





=++
=++
15
15
xy
yx
VII/ Hệ phương trình đẳng cấp
Cách giải :
o Tìm nghiệm thoã x = 0 ( hoặc y = 0)
o Với x
0
≠
hay y
0
≠

. Đặt y = tx (hay x = ty )
Ví dụ : Giải hệ phương trình :





−=−+
=+−
836
7223
22
22
yxyx
yxyx
(I)
• y = 0 thì (I)





−=
=
⇔
8
73
2
2
x

x
Hệ vô nghiệm
• y
0
≠
, đặt x = ty ta có:

31
5
;105263121427161624
)
1
(
8
36
7
223
8)36(
7)223(
836
7223
222
2
22
22
22
2222
2222
=−=⇔=−+⇔−+=−+−⇔
=

−
−+
=
+−
⇒





−=−+
=+−
⇔





−=−+
=+−
tttttttt
y
tttt
tty
tty
ytyyt
ytyyt
* Với t = - 1 thì 7y
2
= 7

⇔
y
2
= 1
=⇔
y
1 hoặc y = -1



−=
=



=
−=
⇒
1
1
;
1
1
y
x
y
x
* Với t =
241
31

241
31
7
31
1687
31
5
2
2
22
2
=⇔=⇔= yyythì
hoặc y=
241
31−







−=
−=








=
=
⇒
241
31
241
5
;
241
31
241
5
y
x
y
x
Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là:







−=
−=








=
=



−=
=



=
−=
241
31
241
5
;
241
31
241
5
;
1
1
;
1

1
y
x
y
x
y
x
y
x