Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động - Khảo sát tính ổn định của hệ thống part 4 pps

26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 31
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Đònh nghóa
Đònh nghóa
 Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương
trình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ
thay đổi từ 0 →∞.
 Thí dụ: QĐNS của hệ thống có PTĐT có dạng
như hình vẽ dưới đây:
04
2
=
+
+
K
ss
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 32
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Qui tắc vẽ QĐNS
Qui tắc vẽ QĐNS
 Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta
phải biến đổi tương đương phương trình đặc trưng về dạng:
0
)(
)(
1 =+
sD
sN
K

)(
)(
)(
0
sD
sN
KsG =



+=∠
=
pha kiệnĐiều
độ biên kiệnĐiều
)12()(
1)(
0
0
π
lsG
sG
0)(1
0
=
+ sG
Gọi n là số cực của G
0
(s) , m là số zero của G
0
(s)

Đặt:
(1)
(1) ⇔
⇔
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 33
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Qui tắc vẽ QĐNS
Qui tắc vẽ QĐNS
 Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương
trình đặc tính = số cực của G
0
(s) = n.
 Qui tắc 2:
 Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các
cực của G
0
(s).
 Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến
m zero của G
0
(s), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm
cận xác đònh bởi qui tắc 5 và qui tắc 6.
 Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.
 Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số
nếu tổng số cực và zero của G
0
(s) bên phải nó là một số lẻ.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 34
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Qui tắc vẽ QĐNS (tt)
Qui tắc vẽ QĐNS (tt)
 Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm
trên trục thực và là nghiệm của phương trình:
0=
ds
dK
 Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A
có tọa độ xác đònh bởi:
mn
zp
mn
OA
m
i
i
n
i
i
−
−
=
−
−
=
∑∑
∑∑
== 11
zerocực

(p
i
và z
i
là các cực
và các zero của G
0
(s) )
 Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm
số với trục thực xác đònh bởi :
mn
l
−
+
=
π
α
)12(
),2,1,0( K
±
±
=
l
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 35
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Qui tắc vẽ QĐNS (tt)
Qui tắc vẽ QĐNS (tt)
 Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể
xác đònh bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hoặc thay

s=j
ω
vào phương trình đặc trưng.
 Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức p
j
được xác đònh bởi:
∑∑
≠
==
−−−+=
n
ji
i
ij
m
i
ijj
ppzp
11
0
)arg()arg(180
θ
Dạng hình học của công thức trên là:
θ
j
= 180
0
+ (∑góc từ các zero đến cực p
j
)

− (∑góc từ các cực còn lại đến cực p
j
)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 36
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
 Giải:
 Phương trình đặc trưng của hệ thống:
0)(1
=
+ s
G
 Các cực:
0
1
=p
2
2
−
=
p
3
3
−
=
p
 Các zero: không có
0
)3)(2(
1 =

++
+
sss
K
⇔ (1)
Thí dụ 1
Thí dụ 1
)3)(2(
)(
++
=
sss
K
sG
 Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 37
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 1 (tt)
Thí dụ 1 (tt)
 Tiệm cận:
3
5
03
0)]3()2(0[
zero
−=
−
−−+−+
=

−
−
=
∑
∑
mn
OA
cực
 Điểm tách nhập:
(1) ⇔
)65()3)(2(
23
ssssssK ++−=++−=
)6103(
2
++−= ss
ds
dK
⇒
1)(
)1(
3
0)(
3

03
)12()12(
3
2
1

==
=−=
==
⇒
−
+
=
−
+
=
l
-l
l
l
mn
l
πα
π
α
π
α
ππ
α
0=
ds
dK
Do đó




−=
−=
785.0
)( 549.2
2
1
s
s loại
⇔
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 38
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)



>−
>
0
0
3021
aaaa
K
Thí dụ 1 (tt)
Thí dụ 1 (tt)
 Giao điểm của QĐNS với trục ảo:
Điều kiện ổn đònh:
⇔




>×−×
>
0165
0
K
K
300
<
<
K
⇔
⇒
30
=
gh
K
Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Hurwitz
(1) ⇔
065
23
=
+
+
+
K
sss
(2)
Thay giá trò K
gh
= 30 vào phương trình (2), giải phương trình ta

được giao điểm của QĐNS với trục ảo
03065
23
=
+
++ sss





−=
=
−
=
6
6
5
3
2
1
js
js
s
⇔
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 39
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 1 (tt)
Thí dụ 1 (tt)

 Giao điểm của QĐNS với trục ảo:
Cách 2:
(1) ⇔
065
23
=
+
++
K
sss
(2)
Thay s=j
ω
vào phương trình (2):
() ()
(
)
065
23
=+++ Kjjj
ωωω
⇔
065
23
=++−− Kjj
ωωω



=+−

=+−
05
06
2
3
K
jj
ω
ωω
⇔



=
=
0
0
K
ω



=
±=
30
6
K
ω
⇔
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 40

Im s
Re s
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí dụ 1 (tt)
Thí dụ 1 (tt)
0
−3 −2
6j
6j−