Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động - Hệ thống điều khiển phi tuyến part 9 pot

26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 65
Điểm cân bằng của hệ phi tuyến
Điểm cân bằng của hệ phi tuyến
 Một điểm trạng thái x
e
được gọi là điểm cân bằng nếu như hệ
đang ở trạng thái x
e
và không có tác động nào từ bên ngoài thì hệ
sẽ nằm nguyên tại đó.
 Dễ thấy điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình:
0==
== 0,
),(
u
u
e
xx
xfx
&
 Hệ phi tuyến có thể có nhiều điểm cân bằng hoặc không có điểm
cân bằng nào. Điều này hoàn toàn khác so với hệ tuyến tính , hệ
tuyến tính luôn luôn có 1 điểm cân bằng là x
e
= 0.
),( uxfx
=
&
 Xét hệ phi tuyến mô tả bởi phương trình trạng thái sau:
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 66
Điểm cân bằng của hệ phi tuyến

Điểm cân bằng của hệ phi tuyến
–
–
Thí dụ
Thí dụ
 Thành lập PTTT. Đặt:



=
=
)()(
)()(
2
1
ttx
ttx
θ
θ
&
 PTTT mô tả hệ con lắc là:
))(),(()(
t
u
t
t
x
f
x
=

&








+−−
=
)(
1
)()(sin
)(
),(
2
2
2
1
2
tu
ml
tx
ml
B
tx
l
g
tx

uxf
trong đó:
 Xét hệ con lắc mô tả bởi PTVP:
m
u
l
θ
+
−
0
)(sin)()(
2
tumgltBtml =++
θθθ
&&&
 Xác đònh các điểm cân bằng (nếu có)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 67
Điểm cân bằng của hệ phi tuyến
Điểm cân bằng của hệ phi tuyến
–
–
Thí dụ
Thí dụ









+−−
=
)(
1
)()(sin
)(
),(
2
2
2
1
2
tu
ml
tx
ml
B
tx
l
g
tx
uxf
 Điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình:
0==
== 0,
),(
u
u
e

xx
xfx
&





=−−
=
0sin
0
2
2
1
2
ee
e
x
ml
B
x
l
g
x
⇒



=

=
π
kx
x
e
e
1
2
0
⇒
 Kết luận: Hệ con lắc có
vô số điểm cân bằng:






=
0
π
k
e
x







+
=
0
)12(
π
k
e
x






=
0
2
π
k
e
x
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 68
Ổn đònh tại điểm cân bằng
Ổn đònh tại điểm cân bằng
 Đònh nghóa: Một hệ thống được gọi là ổn đònh tại điểm cân bằng
x
e
nếu như có một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi x
e
và đưa

đến điểm được x
0
thuộc lân cận nào đó của x
e
thì sau đó hệ có khả
năng tự quay được về điểm cân bằng x
e
ban đầu.
Chú ý: tính ổn đònh của hệ phi tuyến chỉ có nghóa khi đi cùng với
điểm cân bằng. Có thể hệ ổn đònh tại điểm cân bằng này nhưng
không ổn đònh tại điểm cân bằng khác.
Điểm cân bằng ổn đònh Điểm cân bằng không ổn đònh
 Thí dụ:
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 69
O
O
Å
Å
n
n
đ
đ
ònh Lyapunov
ònh Lyapunov
 Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT:
0
),(
=
=
u

uxfx
&
Giả sử hệ thống có điểm cân bằng x
e
= 0.
(1)
 Hệ thống được gọi là ổn đònh
Lyapunov tại điểm cân bằng
x
e
= 0 nếu với
ε
> 0 bất kỳ
bao giờ cũng tồn tại
δ
phụ
thuộc
ε
sao cho nghiệm x(t)
của phương trình (1) với điều
kiện đầu x(0) thỏa mãn:
0,)( )0( ≥
∀
<
⇒< tt
ε
δ
xx
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 70
O

O
Å
Å
n
n
đ
đ
ònh tie
ònh tie
ä
ä
m ca
m ca
ä
ä
n Lyapunov
n Lyapunov
 Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT:
0
),(
=
=
u
uxfx
&
Giả sử hệ thống có điểm cân bằng x
e
= 0.
(1)
 Hệ thống được gọi là ổn đònh

tiệm cận Lyapunov tại điểm
cân bằng x
e
= 0 nếu với
ε
> 0
bất kỳ bao giờ cũng tồn tại
δ
phụ thuộc
ε
sao cho nghiệm
x(t) của phương trình (1) với
điều kiện đầu x(0) thỏa mãn:
0)(lim )0(
t
=
⇒<
∞→
txx
δ
26 September 2006 â H. T. Hong - éHBK TPHCM 71
So sa
So sa
ự
ự
nh o
nh o
ồ
ồ
n

n
ủ
ủ
ũnh Lyapunov va
ũnh Lyapunov va
ứ
ứ
o
o
ồ
ồ
n
n
ủ
ủ
ũnh tie
ũnh tie
ọ
ọ
m ca
m ca
ọ
ọ
n Lyapunov
n Lyapunov
On ủũnh Lyapunov
On ủũnh tieọm caọn Lyapunov
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 72
Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov
Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov

 Cho hệ phi tuyến phương trình trạng thái:
),( uxfx
=
&
(1)
 Đònh lý:
 Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ổn đònh thì hệ phi tuyến (1) ổn
đònh tiệm cận tại điểm cân bằng x
e
.
 Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) không ổn đònh thì hệ phi tuyến
(1) không ổn đònh tại điểm cân bằng x
e
.
 Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ở biên giới ổn đònh thì không
kết luận được gì về tính ổn đònh của hệ phi tuyến tại điểm cân
bằng x
e.
Giả sử xung quanh điểm cân bằng x
e
, hệ thống (1) có thể tuyến
tính hóa về dạng:
u
~
~
~
BxAx +=
&
(2)