Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động - Hệ thống điều khiển phi tuyến part 10 potx

26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 73
Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov
Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov
–
–
Thí dụ
Thí dụ
 Xét tính ổn đònh của hệ thống tại điểm cân bằng:
))(),(()(
t
u
t
t
x
f
x
=
&








+−−
=
)(
1
)()(sin

)(
),(
2
2
2
1
2
tu
ml
tx
ml
B
tx
l
g
tx
uxf
trong đó:
 Xét hệ con lắc mô tả bởi PTTT:
m
u
l
θ
+
−
0
(a)
(b)







=
0
0
e
x






=
0
π
e
x
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 74
Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov
Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov
–
–
Thí dụ (tt)
Thí dụ (tt)









+−−
=
)(
1
)()(sin
)(
),(
2
2
2
1
2
tu
ml
tx
ml
B
tx
l
g
tx
uxf
0
)0(
1

1
11
=
∂
∂
=
== u
x
f
a
0,x
l
g
tx
l
g
x
f
a
u
u
−=−=
∂
∂
=
==
==
)0(
1
)0(

1
2
21
)(cos
0,x
0,x
1
)0(
2
1
12
=
∂
∂
=
== u
x
f
a
0,x
2
)0(
2
2
22
ml
B
x
f
a

u
−=
∂
∂
=
==0,x
 Mô hình tuyến tính quanh điểm cân bằng
[
]
T
e
00=x
u
~
~
~
BxAx +=
&








−−
=
2
10

ml
B
l
g
A
⇒
⇒ PTĐT
0
1
det)det(
2
=








+
−
=−
ml
B
s
l
g
s
sI A

0
2
2
=++
l
g
s
ml
B
s
⇔
Kết luận: Hệ thống ổn đònh (theo hệ quả tiêu chuẩn Hurwitz)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 75
Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov
Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov
–
–
Thí dụ (tt)
Thí dụ (tt)








+−−
=
)(

1
)()(sin
)(
),(
2
2
2
1
2
tu
ml
tx
ml
B
tx
l
g
tx
uxf
0
)0
0
(
1
1
11
=
∂
∂
=

=






= u
x
f
a
,x
π
l
g
tx
l
g
x
f
a
u
u
=−=
∂
∂
=
=







=
=






=
)0
0
(
1
)0
0
(
1
2
21
)(cos
,x
,x
π
π
1
)0

0
(
2
1
12
=
∂
∂
=
=






= u
x
f
a
,x
π
2
)0
0
(
2
2
22
ml

B
x
f
a
u
−=
∂
∂
=
=






= ,x
π
 Mô hình tuyến tính quanh điểm cân bằng
[
]
T
e
0
π
=x
u
~
~
~

BxAx +=
&








−
=
2
10
ml
B
l
g
A
⇒
⇒ PTĐT
0
1
det)det(
2
=









+−
−
=−
ml
B
s
l
g
s
sI A
0
2
2
=−+
l
g
s
ml
B
s
⇔
Kết luận: Hệ thống không ổn đònh (PTĐT không thỏa điều kiện cần)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 76
Phương pháp trực tiếp Lyapunov
Phương pháp trực tiếp Lyapunov
–

–
Đònh lý ổn đònh
Đònh lý ổn đònh
Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho:
ii)
0)0( =V
i)
x
x
∀
≥ ,0)(
V
iii)
0 ,0)( ≠∀< xxV
&
Thì hệ thống (1) ổn đònh Lyapunov tại điểm 0.
Giả sử hệ thống có điểm cân bằng x
e
= 0.
 Đònh lý ổn đònh Lyapunov: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô
tả bởi phương trình trạng thái:
0
),(
=
=
u
uxfx
&
(1)
Chú ý: Hàm V(x) thường được chọn là hàm toàn phương theo biến

trạng thái.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 77
Phương pháp trực tiếp Lyapunov
Phương pháp trực tiếp Lyapunov
–
–
Đònh lý không ổn đònh
Đònh lý không ổn đònh
Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho:
ii)
0)0( =V
i)
x
x
∀
≥ ,0)(
V
iii)
0 ,0)( ≠∀> xxV
&
Thì hệ thống (1) không ổn đònh tại điểm 0.
Giả sử hệ thống có điểm cân bằng x
e
= 0.
 Đònh lý không ổn đònh: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả
bởi phương trình trạng thái:
0
),(
=
=

u
uxfx
&
(1)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 78
Phương pháp trực tiếp Lyapunov
Phương pháp trực tiếp Lyapunov
–
–
Thí dụ
Thí dụ
 Xét tính ổn đònh của hệ thống tại điểm cân bằng u(t)=0:
))(),(()(
t
u
t
t
x
f
x
=
&









+−−
=
)(
1
)()(sin
)(
),(
2
2
2
1
2
tu
ml
tx
ml
B
tx
l
g
tx
uxf
trong đó:
 Xét hệ con lắc mô tả bởi PTTT:
m
u
l
θ
+
−

0
(a)
(b)






=
0
0
e
x






=
0
π
e
x
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 79
Phương pháp trực tiếp Lyapunov
Phương pháp trực tiếp Lyapunov
–
–

Thí dụ
Thí dụ
()
[]
2
2
2
1
2
5.0sin2)( x
g
l
xV +=x
 Chọn hàm Lyapunov
(a)






=
0
0
e
x
 Rõ ràng:
xx
∀
≥ ,0)(V

0 khi 0)(
=
=
xxV
 Xét
)(xV
&
()()
22111
5.0cos5.0sin2)( xx
g
l
xxxV
&&
&
+=
x








+−−
=
)(
1
)()(sin

)(
),(
2
2
2
1
2
tu
ml
tx
ml
B
tx
l
g
tx
uxf
0,0)(
2
2
≠∀<−= xx x
mgl
B
V
&
⇒
 Kết luận: Hệ thống ổn đònh tiệm cận tại điểm cân bằng
[
]
T

00=
e
x
() ()






−−+=
2
2
1212
sinsin x
ml
B
x
l
g
x
g
l
xx
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 80
Phương pháp trực tiếp Lyapunov
Phương pháp trực tiếp Lyapunov
–
–
Thí dụ

Thí dụ
 Chọn hàm Lyapunov chứng tỏ rằng
hệ thống không ổn đònh (SV tự làm)
(b)








+−−
=
)(
1
)()(sin
)(
),(
2
2
2
1
2
tu
ml
tx
ml
B
tx

l
g
tx
uxf






=
0
π
e
x