XÁC SUẤT THỐNG KÊ - CHƯƠNG 6 ppt

Chương 6. Lý thuyết ước lượng
§1. Khái niệm chung về ước lượng.
-Ký hiệu là a,p, hoặc
-Việc dùng kết quả của mẫu để đánh giá 1 tham số nào
đó của tổng thể dược gọi là ước lượng
1.Ước lượng điểm:
Chọn G=G(W),sau đó lấy
1.Không chệch:
2.Vững:
3.Hiệu quả:
4.Ước lượng có tính hợp lý tối đa( ứng với xác suất lớn
nhất-xem SGK)
θ
2
σ
θ
G
θ
≈
θ
( )E G
θ
=
lim
n
G
θ
→∞
=
( ) minD G →
Khoa Khoa Học và Máy Tính 1Xác Suất Thống Kê. Chương 6

@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
2
Kết quả: có đủ 4 tính chất trên.

có đủ 4 tính chất trên.
Không chệch
Hợp lý tối đa
2.Ước lượng khoảng:
Định nghĩa: Khoảng được gọi là khoảng ước
lượng
của tham số với độ tin cậy nếu:
-độ dài khoảng ước lượng hay khoảng tin
cậy.
:a x
≈
2 2
2 2
:
:
:
p f
S
S
σ
σ
∧
≈
≈

≈
( )
1 2
,
θ θ
θ
1
γ α
= −
( )
1 2
1
θ θ θ α
Ρ < < = −
2 1
I
θ θ
= −
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
3

Sơ đồ giải: Chọn sao cho G có quy luật phân
phối xác suất đã biết, tìm 2 số sao cho
( )
W,G
θ
1 2
,g g
( )

( )
1 2
1 2
1 2
1
,
g G g
g g w g
α
θ
θ θ θ
Ρ < < = −
⇒ < <
⇔ < <
§2. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể p.
Bài toán: từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có tỷ lệ mẫu f.
Với độ tin cậy ,hãy tìm khoảng tin cậy của p.
Giải: Chọn
Xét
γ
( )
( )
( )
−
= = ≈ Ν
−
0,1 neáu n ñuû lôùn
1
f p n
G U

f f
( )
( )
( )
( ) ( )
1 2
1 1 2 2
2 1
1 2 1 2
1
2 1 2
2 2
, 0 :
1
1
1 1
. .
u U u
f p n
Z u u Z
f f
f f f f
f Z p f Z
n n
α α
α α α α
α α
α α α α α
α
−

−
≥ + =
⇒ Ρ < < = −
−
⇒ − = < < =
−
− −
⇔ − < < +
Khoa Khoa Học và Máy Tính 4Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
5






(Ước lượng đối xứng)
(Độ dài khoảng tin cậy)
( )
1 2 2
1
1) , 0 .
(ước lượng tỷ lệ tối đa)
f f
p f Z
n
α

α α α
−
= = ⇒ −∞ < < +
( )
1 2 2
1
2) 0, .
(ước lượng tỷ lệ tối thiểu)
f f
f Z p
n
α
α α α
−
= = ⇒ − < < +∞
( )
α
α
α α ε
= == ⇒
−
1 2
1
.3) - độ chính xác
2
f f
Z
n
f p f
ε ε

− <⇒ < +
2I
ε
⇒ =
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
6
.
Quy ước: Nếu đề bài không nói rõ thì ta xét ước lượng đối
xứng.
Ví dụ 2.1:
Để điều tra số cá trong hồ ,cơ quan quản lý đánh bắt 300
con,làm dấu rồi thả xuống hồ,lần 2 bắt ngẫu nhiên 400
con thấy 60 con có dấu. Hãy xác định số cá trong hồ với
độ tin cậy bằng 0.95.
( )
2
2
1
. 1
f f
n Z
α
ε
−
 
= +
 
 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6

@Copyright 2010
7
Giải: Gọi N là số cá trong hồ
P là tỷ lệ cá bị đánh dấu trong hồ :
300
N
Ρ =
0,05
400, 60 0,15
.(1 )
0,15.0,85
. .1,96
400
300
? ?
ε
ε ε
= = ⇒ =
−
= =
⇒ − < Ρ = < + ⇔ < <
n m f
f f
Z
n
f f N
N

Ví dụ 2.2:Cần lập một mẫu ngẫu nhiên với kích thước bao
nhiêu để tỷ lệ phế phẩm của mẫu là 0,2 ;độ dài khoảng

tin cây đối xứng là 0,02 và độ tin cây là 0.95.
Bài giải:
( )
( )
2
2
0,95, 0,02, 0, 2
0,02 0,01
0, 2.0,8
. 1,96 1
0,01
I f n
I
n
γ
ε
= = = ⇒
= ⇒ =
 
= +
 
 
 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 8Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
§3. Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể a
Bài toán: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có trung bình
mẫu và phương sai điều chỉnh mẫu . Với độ tin cậy
,hãy tìm khoảng ước lượng của trung bình tổng thể a.
Bài giải.Ta xét 3 trường hợp:

TH1. Đã biết phương sai tổng thể
Chọn
Xét
x
2
S
γ
2
σ
( )
( )
0,1
x a n
G U N
σ
−
= =
:
Khoa Khoa Học và Máy Tính 9Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
2 1
1,2 1 2 2 2
0 : . .
α α
σ σ
α α α α
≥ + = ⇒ − < < +
x Z a x Z
n n
.

(Ước lượng trung bình tối đa)

(Ước lượng trung bình tối thiểu)





1 2 2
1. , 0 .a x Z
n
α
σ
α α α
= = ⇒−∞< < +
1 2 2
2. 0, , .x Z a
n
α
σ
α α α
= = → − < < +∞
α
εα
σα
α
== = →
1 2
3. -độ chính . xác

2
Z
n
ε ε
− < < +⇒
(ước lượng đối xứng)x a x
2 - độ dài khoảng ước lượng đối xứngI
ε
=
Khoa Khoa Học và Máy Tính 10Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
2
. 1.n Z
α
σ
ε
 
 
= +
 
 ÷
 
 
 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
11

TH2. Chưa biết phương sai tổng thể

Chọn:
Kết quả tương tự TH1, thay bằng S ta có:

2
, 30
σ
≥
n
( )
( )
2 1
1,2 1 2 2 2
0,1
0; . .
x a n
G U N
S
S S
x Z a x Z
n n
α α
α α α α
−
= =
≥ + = ⇒ − < < +
:
σ
.
(Ước lượng trung bình tối đa)

(Ước lượng trung bình tối thiểu)





1 2 2
1. , 0 .
α
α α α
= = ⇒−∞< < +
S
a x Z
n
1 2 2
2. 0, , .
α
α α α
= = → − < <+∞
S
x Z a
n
α
α
α α ε
= = → =
1 2
3. -độ chính ác
2
. x

S
Z
n
(ước lượng đối xứng)x a x
ε ε
⇒ − < < +
2 - độ dài khoảng ước lượng đối xứngI
ε
=
Khoa Khoa Học và Máy Tính 12Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính 12Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
2
. 1.
α
ε
 
 
= +
 
 ÷
 
 
 
S
n Z
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
13

. TH3.Chưa biết phương sai tổng thể
Kết quả tương tự TH2 , thay bằng ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1 2
1 2
2 1
1
1 1
2 2
1 1
2 2
1
.
n n
n n
t T t
x a n
T T
S
S S
x T a x T
n n
α α
α α
α α

α
−
− −
− −
⇒ Ρ < < = −
−
⇒ − < <
⇔ − < < +
Z
α
( )
1n
T
α
−
( )
( )
α α α α
−
= = −
≥ + =
:
1,2 1 2
1
Xeùt 0;
x a n
Choïn G T T n
S
2
, 30n

σ
<
.

(Ước lượng trung bình tối đa)

(Ước lượng trung bình tối thiểu)





( )
1
1 2 2
1. , 0 .
α
α α α
−
= = ⇒−∞< < +
n
S
a x T
n
( )
1
1 2 2
2. 0, , .
α
α α α

−
= = → − < <+∞
n
S
x T a
n
( )
α
α
α α ε
−
== = →
1
1 2
3. -độ chính xa. ùc
2
n
S
T
n
(ước lượng đối xứng)x a x
ε ε
⇒ − < < +
2 - độ dài khoảng ước lượng đối xứngI
ε
=
Khoa Khoa Học và Máy Tính 14Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính 14Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

2
( 1)
. 1.
α
ε
−
 
 
= +
 
 ÷
 
 
 
n
S
n T
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
15
Ví dụ 3.1. Hao phí nguyên liệu cho 1 sản phẩm là 1 đại
lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn vớí độ lệch chuẩn
Người ta sản xuất thử 36 sản phẩm và thu được
bảng số liệu:
Với độ tin cậy 0,99,hãy ước lượng mức hao phí nguyên liệu
trung bình cho 1 sản phẩm nói trên.
TH1.
0,01
0,03, 19,91111, 0,01 2,575
0,03

.2,575 0,012875
36
x Z
x a x
σ α
ε
ε ε
= = = ⇒ =
⇒ = =
− < < +
Mức hao phí
nguyên liệu(gam)
19,5-19,7 19,7-19,9 19,9-20,1 20,1-20,3
Số sản phẩm
6 8 18 4
0,03.
σ
=
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
16
Ví dụ 3.2. Để ước lượng xăng hao phí trung bình cho 1 loại
xe ô tô chạy trên đoạn đường từ A đến B ,chạy thử 49
lần trên đoạn đường này ta có bảng số liệu:
Với độ tin cậy 0.95,hãy tìm khoảng tin cậy cho mức hao
phí xăng trung bình của loại xe nói trên.
Lượng xăng
hao phí(lit)
9,6-9,8 9,8-10,0 10,0-10,2 10,2-10,4 10,4-10,6
Số lần

4 8 25 8 4
Giải
.
0,05
2 : 49 30
10,1 ; 0, 2
0,95 1,96
1,96.0, 2
0,056
7
10,044 10,156
γ
ε
= >
= =
= ⇒ =
= =
⇒ < <
TH n
x S
Z
a
Khoa Khoa Học và Máy Tính 17Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
§4. Ước lượng khoảng của phương sai tổng thể
Bài toán: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n, có phương
sai hiệu chỉnh mẫu . Với độ tin cậy hãy tìm
khoảng ước lượng của phương sai tổng thể
Bài giải
Chọn

Quy ước: Ta lấy (nếu không cho )

2
σ
2
S
γ
2
σ
( )
( )
( ) ( )
1
2 1
2
2 2
2
2 2
1
2
2 2
1,2 1 2
2
2 2 2
1
1
( 1), 0 :
( 1) ( 1)
1 1
( 1) ( 1

1
)
n S n
n
G n
S
n n
S
n n
α α
α α
σ
χ χ α α α α
χ χ
σ
χ α
χ χ
−
−
− −
−
= = − ≥ + =
< <
−
⇒ Ρ − < − = −
−
<
:
1 2
2

α
α α
= =
1 2
,
α α
Khoa Khoa Học và Máy Tính 18Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
19
Ví dụ 3.1: Để định mức gia công 1 chi tiết máy,người ta
theo dõi quá trình gia công 25 chi tiết máy,và thu được
bảng số liệu sau:
a)Với độ tin cậy 0,95 , hãy tìm khoảng tin cậy cho thời gian
gia công trung bình 1 chi tiết máy.
b)Với độ tin cậy 0,95 , hãy tìm khoảng tin cậy cho phương
sai.
Thời gian gia
công (phút)
15-17 17-19 19-21 21-23 23-25 25-27
Số chi tiết máy
1 3 4 12 3 2
Giải
a)TH3
b)
(24)
0,05
25 ; 21,52 ; 2, 4
0,95 2,064

2,064.2, 4
5
n x S
T
x a x
γ
ε
ε ε
= = =
= ⇒ =
=
⇒ − < < +
2 2
0,975 0,025
2 2
2
(24) 12, 40 ; (24) 39,36
24.2, 4 24.2, 4
39,36 12, 40
χ χ
σ
= =
⇒ < <
Khoa Khoa Học và Máy Tính 20Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010