Đề ôn tập môn toán cao cấp docx

Đề 1:
Câu 1: Tìm khai triển Taylor của
2
( , )
x y
f x y
x y
+
=
+
tại điểm (2,1) đến cấp 3.
X=x-2, Y=y-1
f(X,Y)= = 1+ = 1 + [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3)
2
-(X/3 +Y/3)
3
+ o(ρ
3
)]
= + X - Y - X
2
+ Y
2
+ XY + X
3
- Y
3
- XY
2
+ o(ρ
3

)
= + (x-2) - (y-1) - (x-2)
2
+ (y-1)
2
+ (x-2)(y-1) + (x-2)
3
- (y-1)
3
- (x-2)(y-1)
2
+ o(ρ
3
)
Câu 2:tìm cực trị của hàm
2 2
12 3z x y xy x y= + + − −
Điểm dừng: <=> x=7, y=-2
A= z’’
xx
=2, B=z’’
xy
=1, C=z’’
yy
=2
Δ=AC-B
2
=3>0, A=2>0 =>z(x,y) đạt cực tiểu tại (7,-2)
Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
∑

∞
=1n
n
n
v
u
với u
n
=
n
n






+
2
1
2
và v
n
=
2
2
1
n
n







+
= = = 2/e
2
<1 =>
∑
∞
=1n
n
n
v
u
hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1 2
1
( 1)
4 (3 1)
n n
n
n
x
n
−
∞
=

−
−
∑
ρ= = =1/4
=> -4<x
2
<4 => -2<x<2
x= 2 : = hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ: [-2;2]
Câu 5: Tính tích phân kép
2 2
1
D
I dxdy
x y
=
∫∫
+
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2 2
2 6 ,x x y x y x≤ + ≤ ≥
x=rcosφ, y=rsinφ
2 2
1
D
I dxdy
x y
=
∫∫
+

= = = 4-2
Câu 6: Tính tích phân
( )
( )
2
2
cos
x
C
I e xy dx y y x dy= + + +
∫
với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1),
B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ.
Các đk công thức Green thỏa
Chiều C ngược chiều quy ước
( )
( )
2
2
cos
x
C
I e xy dx y y x dy= + + +
∫
= = =-7/2
Câu 7: Tính
( )= + + +
∫Ñ
C
I ydx z x dy xdz

, với C là giao của
2 2
1+ =x y
và
1z y= +
, chiều kim đồng hồ
theo hướng dương trục 0z.
Công thức Stokes
I = = =
= = =
Câu 8: Tính tích phân mặt loại một
( )
2 2
= +
∫∫
S
I x y dS
, trong đó S là phần mặt nón
2 2 2
z x y= +
, nằm
giữa hai mặt phẳng
0, 1z z= =
.
D=pr
xOy
S là hình chiếu của phần mặt nón xuống xOy, D={x
2
+y
2

=1}
( )
2 2
= +
∫∫
S
I x y dS
= = /2
Đề 2:
Câu 1. Cho hàm
2
( , )
xy
f x y xe=
. Tính
2
(2,1)d f
.
f'’
x
= +xy
2
f’’
xx
= 2y
2
+ xy
4
=> f’’
xx

(2,1)= 4e
2
f’’
xy
= 4xy + 2x
2
y
3
=> f’’
xy
(2,1)=16e
2
f’
y
=2x
2
y
f’’
yy
= 2x
2
+4x
3
y
2
=> f’’
yy
(2,1)=40e
2
 d

2
f(2,1)=4e
2
dx
2
+ 32e
2
dxdy + 40e
2
dy
2
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của
2 2
2 2 1
( , ) ( )
x y
f x y y x e
− +
= −
trên miền
2 2
{( , ) | 4}D x y x y= + ≤
 x=0,y=0 v x=1,y=0 v x=-1,y=0
Xét: L(x,y,λ)= +λ(x
2
+y
2
-4)
 x=0,y= , λ=-5e
5

v x= ,y=0, λ=-3e
-3
f(0,0)=0 f(1,0)=-1 f(-1,0)=1
f(0,2)= f(0,-2)=4e
5
f(2,0)= f(-2,0)=-4e
-3
Maxf=4e
5
x
2
+y
2
4
Minf=-1
x
2
+y
2
4
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/
)2(
2
2
1
+
∞
=
∑







+
−
nn
n
n
n
b/
1
1
3.
)2 (6.4.2
)12 (5.3.1
+
∞
=
∑
−
n
n
n
n
a) = = =1/e
3
<1


)2(
2
2
1
+
∞
=
∑






+
−
nn
n
n
n
hội tụ theo tc Cauchy
b) = = 6>1

1
1
3.
)2 (6.4.2
)12 (5.3.1
+
∞

=
∑
−
n
n
n
n
phân kỳ theo tc D’alembert
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
3
1
( 1) ( 3)
2 ln
n n
n
x
n n
∞
=
− −
∑
+
ρ= = = 1
=> -1<x-3<1=> 2<x<4
x=2: phân kỳ theo tc so sánh
x=4: hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ (2,4]
Câu 5. Tính tích phân kép
2 2
x y

D
I e dxdy
− −
=
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn
bởi
2 2
1 4, 0, 3x y y y x≤ + ≤ ≥ ≤
2 2
x y
D
I e dxdy
− −
=
∫∫
= = (e
-4
-e
-1
)
Câu 6. Tính tích phân
( ) ( )
C
I x y dx x y dy= + + −
∫
, với C là phần đường cong
siny x x= +
, từ
(0,0)A

đến
( , )B
π π
.
= => tích phân ko phụ thuộc đường đi
( ) ( )
C
I x y dx x y dy= + + −
∫
= =
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu
2 2 2
z R x y= − −
nằm trong hình trụ
2 2
x y Rx+ =
.
Gọi S là phần mặt cầu
2 2 2
z R x y= − −
nằm trong hình trụ
2 2
x y Rx+ =

D=pr
xOy
S, D={x
2
+y
2

Rx}
S= dxdy = rdr =2R(
Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai
3 3 3
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
, với S là biên vật thể giới hạn bởi
2 2 2 2 2
4,+ + ≤ ≥ +x y z z x y
, phía trong.
Các đk công thức Gauss thỏa
3 3 3
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
= -
=-3 = (
Đề 3:
Câu 1. Cho hàm
( , ) (2 )ln
x
f x y x y
y
= +
. Tính
2
(1,1)d f

f’x= 2ln + (2x+y)/x
f’’xx= 2/x –y/x
2
=> f’’xx(1,1)=1
f’’xy= -2/y +1/x => f’’xy(1,1)=-1
f’y= ln - (2x+y)/y = ln -2x/y -1
f’’yy= -1/y +2x/y
2
=> f’’yy(1,1)=1
 d
2
f(1,1)=dx
2
-2dxdy+dy
2
Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy +
x
3
+
y
9
với x > 0, y > 0
Điểm dừng:
 x=1, y=3
A=z’’
xx
=6/x
3
B=z’’
xy

= 1 C=z’’
yy
=18/y
3
Δ=AC-B
2
= -1
x=1, y=3 => Δ=3>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại x=1, y=3
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
1 4 7 (3 2)
(2 1)!!
n
n
n
∞
=
× × −
∑
−
L
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1
!( 4)
n
n
n
n x
n
∞

=
−
∑
ρ= = =
n
=1/e
=> -e<x-4<e => -e+4<x<e+4
x= -e+4: = phân kỳ
x= e+4: phân kỳ theo so sánh
Miền hội tụ (-e+4,e+4)
Câu 5. Tính tích phân kép
( 2)
D
I x dxdy= +
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2 2
1, 0
9 4
x y
y+ ≤ ≥
x=3rcosφ, y=2rsinφ
( 2)
D
I x dxdy= +
∫∫
= = 6
Câu 6. Tính tích phân
( ) ( )
2 3 2

C
I x y dx x y dy= + + +
∫Ñ
, trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn
bởi
2
2 ,y x y x= − = −
, chiều kim đồng hồ.
S là biên của miền phẳng giới hạn bởi
2
2 ,y x y x= − = −
Các đk CT Green thỏa, C ngược chiều quy ước
( ) ( )
2 3 2
C
I x y dx x y dy= + + +
∫Ñ
= = -2 = -9
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt
2 2
z x y= +
nằm trong hình cầu
2 2 2
2x y z z+ + =
.
S là phần mặt
2 2
z x y= +
nằm trong hình cầu
2 2 2

2x y z z+ + =
.
D=pr
xOy
S, D={x
2
+y
2
1}
S= dxdy = rdr =
Câu 8. Tính
2=
∫∫
S
I xdS
, với S là phần mặt trụ
2 2
4+ =x y
nằm giữa hai mặt phẳng
1, 4z z= =
.
S1={x= }, S2={ x= }
D1=pr
yOz
S1=D2=pr
yOz
S2
2=
∫∫
S

I xdS
= + = 2 dydz + 2 dydz =0
Đề 4:
Câu 1. Cho hàm
2 2
( , ) 4 sin ( )f x y y x y= + −
. Tính
2
(0,0)d f
f’x= 2sin(x-y)cos(x-y)=sin2(x-y)
f’’xx= 2cos2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2
f’’xy= -2cos(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2
f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y)
f’’yy= 8+2cos2(x-y) => f’’yy(0,0)=10
 d
2
f(0,0)=2dx
2
-4dxdy+10dy
2
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
3 2
12 8 .z x y x y= + −
Điểm dừng:
 x=2, y=-4
A=z’’
xx
=6xy+24 B=z’’
xy
= C=z’’

yy
=0
Δ=AC-B
2
= -9 =-144<0
 z(x,y) ko có cực trị
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
2 5 8 (3 1)
1 5 9 (4 3)
n
n
n
∞
=
× × −
∑
× × −
L
L
= =3/4 <1

1
2 5 8 (3 1)
1 5 9 (4 3)
n
n
n
∞
=

× × −
∑
× × −
L
L
hội tụ theo tc D’alembert
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
3
1
( 1) ( 1)
2 ( 1)ln( 1)
n n
n
n
x
n n
∞
=
− +
∑
+ +
= =1/8
=> -8<x+1<8 => -9<x<7
x=-9: phân kỳ theo tc tích phân
x=7: hội tụ theo tc Leibnitz
 Miền hội tụ (-9,7]
Câu 5. Tính tích phân
)2222
ln(. yxyx
D

++
∫∫
dxdy với D là miền 1
≤
x
2
+y
2
≤
e
2
x=rcosφ, y=rsinφ
)2222
ln(. yxyx
D
++
∫∫
dxdy = )rdr = (2/9e
3
+1/9)
Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-ye
y
. Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức
h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích phân
[ ]
∫
+
L
dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()(
trong đó L là đường cong có phương trình: 4x

2
+9y
2
=36, chiều ngược
kim đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2).
h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó
 = => h(y) =y+c
h(1)=1 => c=0
 h(y)= y
[ ]
∫
+
L
dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()(
=
= = -2e
2
+2
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt
2 2
2z x y+ + =
nằm trong hình paraboloid
2 2
z x y= +
.
S là phần mặt
2 2
2z x y+ + =
nằm trong hình paraboloid
2 2

z x y= +
.
D=pr
xOy
S, D={x
2
+y
2
1}
S= dxdy= dxdy= rdr= -1)
Câu 8. Tính
2 2 2
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
, với S là nửa dưới mặt cầu
2 2 2
2+ + =x y z z
, phía trên.
2 2 2
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
= dydz+ dydz+ dydz
dydz= +
= - + =0
Tương tự dydz=0
dydz =

2
rdr =
I= =
Đề 5
Câu 1. Tính
2
f
x y
∂
∂ ∂
, với
3
( ) sin ;
2

= = +


= +


x
f f u u u
u xy e
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện:
2 2 2 2
( , ) 2 12 ; 4 25f x y x xy y x y= + + + =
L(x,y,λ)= 2x
2
+12xy+y

2
+λ(x
2
+4y
2
-25)

 x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 v x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4
d
2
L= (4+2λ)dx
2
+ (2+8λ)dy
2
+ 24dxdy
x
2
= -4y
2
+25 => 2xdx=-8ydy
x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 =>d
2
L>0
 f(x,y) đạt cực tiểu tại (3,-2), (-3,2)
x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4 => d
2
L<0
 f(x,y) đạt cực đại tại (4,3/2), (-4,-3/2)
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
3

3
1
2
2
1
n
n
n
n
n
∞
=
 
+
∑
 ÷
−
 
= = 8 >1

3
3
1
2
2
1
n
n
n
n

n
∞
=
 
+
∑
 ÷
−
 
phân kỳ theo tc Cauchy
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi:
)1ln()1(
)5(2)1(
11
1
++
−−
++
∞
=
∑
nn
x
nnn
n
= = 2
=> -1/2<x-5<1/2 => 9/2<x<11/2
x=9/2: phân kỳ theo tc tích phân
x=11/2: hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ (9/2,11/2]

Câu 5. Tính tích phân
(
)
dxdyyxarctg
D
∫∫
+
22
với D là hình tròn: x
2
+y
2

≤
3
I=
(
)
dxdyyxarctg
D
∫∫
+
22
= = 2 = 2
Câu 6. Chứng tỏ tích phân
[ ]
(1 ) (1 )
x y
C
I e x y dx x y dy

−
= + + + − −
∫
không phụ thuộc đường đi. Tính
tích phân I với C là phần ellipse
2 2
1
9 4
x y
+ =
từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ.
=
[ ]
(1 ) (1 )
x y
C
I e x y dx x y dy
−
= + + + − −
∫
= + = -3e
3
+ 2e
-2
Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi
2
2 , 1, 0, 3y x y z z x= − = = =
, lấy phần
0.z ≥
V= = 2 = 2 =2 = 3/2

Câu 8. Tính
( )
2
2 3= + + +
∫∫
S
I xdydz y z dxdz z dxdy
, với S là phần mặt phẳng
4+ + =x y z
nằm trong hình
trụ
2 2
2x y y+ =
, phía trên.
( )
2
2 3= + + +
∫∫
S
I xdydz y z dxdz z dxdy
=
=
=
x=rcosφ, y-1=rsinφ
I=
=
=
= =
Đề 6
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) =

32
3
yx
e
. Tính dz(1,1) và
)1,1(
2
yx
z
∂∂
∂
dz = 6xy
3
dx + 9x
2
y
2
dy => dz(1,1) = 6edx+9edy
6xy
3
= 18xy
2
+ 6xy
3
3x
2
y
2
= 18xy
2

+ 18x
3
y
5
=>
)1,1(
2
yx
z
∂∂
∂
= 36e
Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x
3
+ y
3
+ 3x
2
- 3xy +3x-3y +1
Điểm dừng:  x=0, y=1 v x=-1,y=0
A= z’’
xx
=6x+6 B=z’’
xy
=-3 C=z’’
yy
=6y
Δ=AC-B
2
=36(x+1)y-9

x=0, y=1 => Δ=27>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại (0,1)
x=-1,y=0 => Δ=-9<0 => ko có cực trị
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
2
1
1 4 9
(4 3)!!
n
n
n
∞
=
× ×
∑
−
L
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n
n
n
nn
x
n
)1(
1.4
3.)1(
0
3
2
1

−
+
−
∑
∞
=
+
+
ρ= = =3/4
=> -4/3<x-1<4/3 => -1/3<x<7/3
x= -1/3: phân kỳ
x= 7/3: hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ (-1/3,7/3]
Câu 5. Tính tích phân kép
2 2
4
D
I x y dxdy= − −
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2 2
1,x y y x+ = ≤
2 2
4
D
I x y dxdy= − −
∫∫
= =
Câu 6. Tính tích phân
2 2

( ) ( )
C
I x y x y dx y x xy dy= + − + − −
∫
, với C là nửa bên phải của đường tròn
2 2
4 ,x y y+ =
chiều kim đồng hồ.
2 2
( ) ( )
C
I x y x y dx y x xy dy= + − + − −
∫
= -
= - 8= 12
Câu 7. Tính tích phân đường loại một I= , với C là nửa trên đường tròn
2 2
2+ =x y y
.
x=rcost, y=rsint => r= 2sint
I= = = 4
Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính
( ) (2 )= + + − +
∫Ñ
C
I x y dx x z dy ydz
, với C là giao của
2 2 2
4+ + =x y z

và
0x y z+ + =
, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
S là mặt giao của C là giao của
2 2 2
4+ + =x y z
và
0x y z+ + =
( ) (2 )= + + − +
∫Ñ
C
I x y dx x z dy ydz
= (S có n=( )
= = = - S = - = -4
Đề 7
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x
2
- y
2
). Tính dz(
)1,2
và
2
2
x
z
∂
∂
(
)1,2

dz= => dz(
)1,2
=
=>
2
2
x
z
∂
∂
(
)1,2
= -6
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện:
2 2
( , ) 1 4 8 ; 8 8f x y x y x y= − − − =
.
L(x,y,λ)= 1-4x-8y+λ(
 x=-4,y=1, λ=-1/2 v x=4,y=-1, λ=1/2
d
2
L= dx
2
- dy
2
x
2
= 8y
2
+8 => 2xdx=16ydy

x=-4,y=1, λ=-1/2 => d
2
L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4,1)
x=4,y=-1, λ=1/2 => d
2
L<0 => f(x,y) đạt cực đại tại (4,-1)
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
2 !
n
n
n
n
n
∞
=
∑
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
( )( )
∑
∞
=
+
+
++
0
62
1.5
12
n

n
n
n
xn
ρ=
=> -5<x+1<5 => -6<x<4
x=-6:
x=4:
Miền hội tụ [-6,4]
Câu 5. Tính tích phân
∫∫
++
0
22
3 yx
dxdy
với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x
2
+y
2
= 1(x, y
≥
0), x
2
+y
2
=33 (x, y
0≥
), y=x, y = x
3

.
∫∫
++
0
22
3 yx
dxdy
=
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2ye
xy
+ e
x
α
cosy, Q(x,y)= 2xe
xy
- e
x
α
siny trong đó
α
là hằng số. Tìm
α
để biểu
thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với
α
vừa tìm được, tính tích phân đường
dyxyxQdxyyx ]),([]),[(
33
++−
∫

γ
trong đó (
)
γ
là đường tròn x
2
+y
2
= 2x lấy theo chiều dương (ngược
chiều kim đồng hồ).
Câu 7. Tính tích phân mặt loại một
2
=
∫∫
S
I x dS
, với S là nửa trên mặt
2 2 2
4+ + =x y z
2
=
∫∫
S
I x dS
=
Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính
2 2 2
(3 ) (3 ) (3 )= − + − + −
∫Ñ
C

I x y dx y z dy z x dz
, với C là giao của
2 2
= +z x y
và
2 2z y= −
, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
S là mặt giao của của
2 2
= +z x y
và
2 2z y= −
, n= (0,
2 2 2
(3 ) (3 ) (3 )= − + − + −
∫Ñ
C
I x y dx y z dy z x dz
=
= =
Đề 8
Câu 1. Tìm
' '
,
x y
z z
của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình
3 2
lnx y yz z+ + =
F(x,y)= x

3
+y
3
+yz-lnz
z'
x
=
z’
y
=
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của
2 2 2
( , ) 4f x y x y x y= + + +
trên miền
{( , ) | | | 1,| | 1}D x y x y= ≤ ≤
 x=0,y=0
x= : f(y) =y
2
+y+5
f’(y)=2y+1=0 =>y=-1/2
y=-1: f(x)= 5 với mọi x
y=1: f(x)=2x
2
+5>0
f(0,0)= 4 f(-1,-1)=f(1,-1)=5
f( f(1,1)=f(-1,1)=7
Maxf= 7
Minf= 4
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/
)1(

2
12
2
−
∞
=
∑






+
nn
n
n
n
b/
2
1
2
5.
!)12 (5.3.1
9.4.1
+
∞
=
∑
−

n
n
nn
n
a)
b) =>
2
1
2
5.
!)12 (5.3.1
9.4.1
+
∞
=
∑
−
n
n
nn
n
phân kỳ theo tc D’alembert
Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa
1 4 2
3
1
( 1) ( 2)
3 1
n n
n

n
x
n n
∞
+
=
− −
+ +
∑
ρ=
=>-3<x-2<3 => -1<x<5
x=-1 hội tụ
x=5 hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ [-1,5]
Câu 5. Tính tích phân kép
∫∫
−−
D
yx
22
9
dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường
tròn x
2
+ y
2
= 9, y
0≥
và các đường thẳng y = x, y = -x
∫∫

−−
D
yx
22
9
=
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e
-y
,
( , ) (1 )
y
Q x y x y e
−
= − −
. Tìm

hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx
+ h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(x) vừa tìm, tính tích phân
[ ]
∫
+
L
dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()(
trong đó L là nữa đường tròn x
2
+ y
2
= 9 nằm bên phải trục tung, chiều
đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3).
 h(x)= e

x
[ ]
∫
+
L
dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()(
= 3e
-3
+ 3e
3
Câu 7. Tính
2=
∫∫∫
V
I zdxdydz
, với V giới hạn bởi
2 2 2
2+ + ≤x y z z
và
2 2
1+ + =z x y
.
D= pr
xOy
V , D={x
2
+ y
2
=1/2}
2=

∫∫∫
V
I zdxdydz
=
Câu 8. Tính tích phân mặt
( ) ( )
( 2 ) 2 2= + + + + +
∫∫
S
I x y dydz y z dxdz z x dxdy
, với S là phần mặt
paraboloid
2 2
= +z x y
, bị cắt bởi
2 2z x= −
, phía dưới.
D =pr
xOy
S={ (x+1)
2
+y
2
=3}, x+1=rcosφ,y=rsinφ
( ) ( )
( 2 ) 2 2= + + + + +
∫∫
S
I x y dydz y z dxdz z x dxdy
=

=
=
=
Đề 9
Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của
2 2
1
, if ( , ) (0,0)
( , )
3, if ( , ) (0,0)
x y
e x y
f x y
x y
−
+


≠
=


− =

Miền xác định: {R\ xy=0}
f(x,y)= , (x,y) khác (0,0)
 lnf(x,y) = , (x,y) khác (0,0)
 , (x,y) khác (0,0)

 0<f(x,y)<1

Miền giá trị: {(0,1) với (x,y) khác (0,0)}
{-3 với (x,y)=(0,0)}
Câu 2. Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x
2
- 2xy+ 2y
2
- 2x+ 2y +4
Điểm dừng:  x=1, y=0
A= f’’
xx
=2 B=f’’
xy
=-2 C=f’’
yy
=4
Δ=AC-B
2
=4>0, A=2>0
 f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,0)
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của
( )
∑
∞
=
+
1n
nn
vu
với
)14(

14
14
+






+
−
=
nn
n
n
n
u
,
!).13 (10.7.4
).2 (6.4.2
nn
nn
v
n
n
+
=
=> hội tụ theo tc Cauchy
=> phân kỳ theo tc D’alembert


( )
∑
∞
=
+
1n
nn
vu
phân kỳ
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
∑
∞
=
+
+
+
0
4
32
1.4
)3(
n
n
n
n
x
ρ=
=> -4<x+3<4 => -7<x<1
x=-7: hội tụ theo tc Leibnitz
x=1: phân kỳ

 Miền hội tụ [-7,1)
Câu 5. Tính J=
∫∫
D
dxdy
với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x
2
+y
2
= 2x, x
2
+y
2
= 6x và các đường
thẳng y = x, y = 0.
J=
∫∫
D
dxdy
=
Câu 6. Tìm hàm h(x
2
- y
2
), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi
I=
][
dxyxydyyxxyxh
AB
)()()(

222222
+−+−
∫
với AB là cung không cắt đường x
2
= y
2
.
 h(x
2
-y
2
)= c
h(1)=1 => c=1
 h(x
2
-y
2
)= 1
Câu 7. Tính
( )
V
I x yz dxdydz= +
∫∫∫
, với V giới hạn bởi
2 2
z x y= +
và
2 2
2z x y+ + =

.
( )
V
I x yz dxdydz= +
∫∫∫
=
=
Câu 8. Tính tích phân mặt
( ) ( )
2 3 2 4= + + + +
∫∫
S
I xdydz y z dxdz z y dxdy
, với S là phần mặt
2 2 2
2+ + =x y z x
, phần
0z
≤
, phía dưới.
Thêm mặt z=0
Công thức Gauss
( ) ( )
2 3 2 4= + + + +
∫∫
S
I xdydz y z dxdz z y dxdy
=
=
Đề 10

Câu 1. Tính
//
(0,0)
xy
f

2 2
, if ( , ) (0,0)
( , )
0, if ( , ) (0,0)

≠

=
+


=

xy
x y
f x y
x y
x y
(x,y) khác (0,0): f’
x
(x,y) =