Các bài giảng về tổ hợp

PHẠM HỒNG PHONG - ĐẶNG VĂN HIẾU





ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11

TỔ HỢP









KHỞI THẢO THÁNG 5 – 2014

Khách có kẻ:
Giương buồm giong gió chơi vơi,
Lướt bể chơi trăng mải miết
…
(Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu)







Mục lục
Chủ đề 1. Hai quy tắc đếm cơ bản 1
Chủ đề 2. Ba khái niệm cơ bản của tổ hợp 7
§1. Phương trình, bất phương trình và hệ liên quan đến các số chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị 8
§2. Ứng dụng ba khái niệm cơ bản vào bài toán đếm 14
Chủ đề 3. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn 23
§1. Chứng minh đẳng thức 24
§2. Hệ số của một lũy thừa trong khai triển 29

Khách có kẻ:
Giương buồm giong gió chơi vơi,
Lướt bể chơi trăng mải miết
…
(Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu)



1

Chủ đề 1. Hai quy tắc đếm cơ bản
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Quy tắc cộng
Giả sử để thực hiện công việc
A
, ta phải thực hiện một trong
k
công việc:
1
A
,
2
A
, ,
k

A
. Nếu
thực hiện công việc
i
A
có
i
n
cách (
1, ,
i n


), thì thực hiện công việc
A
có
1 2
1
k
i k
i
n n n n n

   

(cách).
n
k
cách
.

.
.
Phương án A
k
Phương án A
2
n
1
+n
2
+ +n
k
cách
n
2
cách
n
1
cách
Phương án A
1
Công việc A:

Hình 1: Quy tắc cộng

2. Quy tắc cộng
Giả sử để thực hiện công việc
A
, ta phải lần lượt thực hiện
k

công việc:
1
A
,
2
A
, ,
k
A
. Nếu
thực hiện công việc
i
A
có
i
n
cách (
1, ,
i n


), thì thực hiện công việc
A
, ta có
1 2
1
.
.
.
k

i k
i
n n n n n

    (cách).
n
1
n
2
n
k
cách
n
k
cách
n
2
cách
n
1
cách

Công việc A
kCông việc A
2
Công việc A
1
Công việc A:

Hình 2: Quy tắc nhân

B. CÁC VÍ DỤ

2

Ví dụ 1. Bạn Kiên có
5
cuốn sách Văn học khác nhau và
6
cuốn sách Lịch sử khác nhau. Hỏi
Kiên có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách để tặng sinh nhật một người bạn.
Giải. Để chọn một cuốn sách, Kiên có hai phương án:
 Phương án 1: Chọn sách Văn học. Vì Kiên có
5
cuốn sách Văn học khác nhau nên số
cách thực hiện phương án này là
5
(cách)
 Phương án 2: Chọn sách Lịch Sử. Vì Kiên có
6
cuốn sách Lịch sử khác nhau nên số
cách thực hiện phương án này là
6
(cách)
Theo quy tắc cộng, số cách chọn sách của Kiên là:
5 6 11
 
(cách).
Ví dụ 2. Từ tỉnh
A
đến tỉnh

B
có
3
đường đi, từ tỉnh
B
đến tỉnh
C
có
4
đường đi. Hỏi có bao
nhiêu cách đi từ tỉnh
A
đến tỉnh
C
biết rằng muốn đi từ tỉnh
A
đến tỉnh
C
bắt buộc phải đi
qua tỉnh
B
.
Giải. Để đi từ tỉnh
A
đến tỉnh
C
ta phải thực hiện hai bước.
 Bước 1: Đi từ tỉnh
A
đến tỉnh

B
. Vì có
3
đường đi từ
A
đến
B
nên số cách thực hiện
bước này là
3
(cách).
 Bước 1: Đi từ tỉnh
B
đến tỉnh
C
. Vì có
4
đường đi từ
B
đến
C
nên số cách thực hiện
bước này là
4
(cách).
Theo quy tắc nhân, số cách đi từ
A
đến
C
là

3 4 12
 
(cách).
Ví dụ 3. Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số từ
0
đến
9
.
Giải. Giả sử số cần lập là 
1 2 5
A a a a

. Để lập số
A
, ta phải lần lượt chọn
1
a
,
2
a
, ,
5
a
sao
cho
1
0
a

và

1
a
,
2
a
, ,
5
a
đôi một khác nhau.
 Vì
1
0
a

nên có
9
cách chọn
1
a
.
 Vì
2
a
có thể bằng
0
, tuy nhiên
2 1
a a

nên có

9
cách chọn
2
a
.
 Lập luận hoàn toàn tương tự, ta có số cách chọn
3
a
,
4
a
,
5
a
lần lượt là:
8
,
7
,
6
cách.
Vậy theo quy tắc nhân thì số cách lập số
A
là
9.9.8.7.6 27216

(cách).
Ví dụ 4. Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau chia hết cho
5
từ các

chữ số từ
0
đến
9
.
Giải. Giả sử số cần lập là 
1 2 5
A a a a

. Để lập số
A
ta có hai phương án như sau với chú ý
rằng
5
a
phải bằng
0
hoặc
5
:
 Phương án 1: Nếu chọn
1
5
a

thì
5
0
a


. Số cách chọn
2
a
,
3
a
,
4
a
lần lượt là:
8
,
7
,
6

cách. Theo quy tắc nhân thì phương án này có số cách thực hiện là:
8.7.6 336

(cách).
 Phương án 2: Nếu Chọn
1
5
a

thì có
8
cách chọn
1
a

,
2
cách chọn
5
a
(
5
a
có thể bằng
0
hoặc
5
). Số cách chọn
2
a
,
3
a
,
4
a
lần lượt là:
8
,
7
,
6
cách. Theo quy tắc nhân thì
phương án này có số cách thực hiện là:
8.2.8.7.6 5376


cách.
Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lập số
A
là
336 5376 5712
 
cách.

3

Nhận xét. Việc lập số
A
trong Ví dụ 4 được chia thành hai phương án vì việc
1
a
có bằng
5
hay
khác
5
có ảnh hưởng đến số cách chọn
5
a
.
Ví dụ 5. Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số từ
0
đến
9
biết rằng số này có đúng hai chữ số

1
và các chữ số còn lại đôi một khác nhau.
Giải. Giả sử số cần lập là
1 2 5

A a a a
 . Để lập số
A
ta có hai phương án như sau (về cách chọn
1
a
):
 Phương án 1:
1
1
a

.
 Chọn thêm một vị trí nữa cho cho chữ số
1
có
4
cách.
 Lần lượt chọn chữ số cho ba vị còn lại có số cách lần lượt là
9
,
8
,
7
cách.

Do đó, số cách lập số
A
theo phương án này là
1.4.9.8.7 2016

cách.
 Phương án 2:
1
1
a

.
 Có
8
cách chọn
1
a
.
 Có
6
cách chọn hai vị trí cho chữ số
1
: chọn
2
a
và
3
a
,
2

a
và
4
a
,
2
a
và
5
a
,
3
a
và
4
a
,
3
a
và
5
a
,
4
a
và
5
a
.
 Lần lượt chọn chữ số cho hai vị còn lại có số cách lần lượt là

8
,
7
cách.
Do đó, số cách lập số
A
theo phương án này là
8.6.8.7 2688

cách.
Vậy số cách lập số
A
là
2016 2688 4704
 
cách.
Ví dụ 6. Từ các chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có
6

chữ số đôi một khác nhau và chữ số
2
đứng cạnh chữ số
3
.
Giải. Giả sử số cần lập là
1 2 5

A a a a
 . Để lập số
A
ta có hai phương án như sau:
 Phương án 1: xếp
2
và
3
vào hai vị trí đầu tiên có
1
2
n

cách (
1
2
a

,
2
3

a

hoặc
ngược lại). Số cách chọn chữ số cho các vị trí
3
a
,
4
a
,
5
a
lần lượt là
4
,
3
,
2
cách. Do
đó, số cách thực hiện phương án này là
4 3 2 24
  
(cách).
 Phương án 2: xếp
2
và
3
vào hai vị trí khác vị trí
1
a

. Có thể xếp
2
và
3
vào các vị trí:
2
a
và
3
a
,
3
a
và
4
a
,
4
a
và
5
a
, suy ra số cách xếp
2
và
3
theo phương án này là

2.3 6

cách. Số cách chọn
1
a
là
2
3
m

cách. Chọn chữ số cho
2
vị trí còn lại có số cách lần
lượt là
3
,
2
. Vậy số các thực hiện phương án này là
6 3 3 2 108
   
(cách)
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
24 108 132
 
.
Ví dụ 7. Có
6
quả cầu xanh được đánh số từ
1
đến
6
,

5
quả cầu đỏ được đánh số từ
1
đến
5

và
4
quả cầu vàng được đánh số từ
1
đến
4
. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra
3
quả cầu vừa khác
mầu vừa khác số.
Giải. Để chọn được
3
quả cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta lần lượt làm như sau:
 Bước 1: Chọn quả cầu vàng có
1
4
n

cách.

4

 Bước 2: Chọn quả cầu đỏ: vì không được chọn quả cầu đỏ có số trùng với số của quả cầu
vàng đã chọn ở bước 1 nên số cách chọn quả cầu đỏ là

2
4
n

.
 Bước 3: Chọn quả cầu xanh: vì không được chọn quả cầu xanh có số trùng với số của các
quả cầu đã chọn ở bước 1 và bước nên số cách chọn quả cầu đỏ là
3
4
n

.
Vậy số cách chọn ra
3
quả cầu vừa khác mầu vừa khác số là:
1 2 3
. . 64
n n n

.
C. BÀI TẬP
Bài 1. Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có
5
màu khác nhau, áo cỡ 40 có
4
màu khác nhau. Hỏi
a) Có bao nhiêu sự lựa chọn một chiếc áo?
b) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cỡ?
ĐS: a)
9

; b)
20
.
Bài 2. Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có
4
màu là trắng, đỏ, xanh,
vàng; áo cỡ 40 có
3
màu là trắng, đỏ, tím. Hỏi
a) Có bao nhiêu sự lựa chọn một chiếc áo?
b) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cỡ?
c) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cả cỡ và màu?
ĐS: a)
7
; b)
12
; c) 10.
Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số sao cho
3
chữ số đầu tiên khác nhau và các chữ
số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau.
ĐS: 648.
Bài 4. Từ cách chữ số
1
,
5
,
6
,
7

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
a) Có bốn chữ số.
b) Có bốn chữ số đôi một khác nhau.
ĐS: a) 256; b) 24.
Bài 5. Từ các chữ số
1
,
5
,
6
,
7
có thể lập được bao nhiêu số có
4
chữ số tự và lớn hơn
4000

nếu
a) Các chữ số không nhất thiết khác nhau.
b) Các chữ số đôi một khác nhau.
ĐS: a)
64
; b)
6
.
Bài 6. Có bao nhiêu số có
3
chữ số được tạo thành từ các chữ số
2
,

3
,
4
,
5
,
6
nếu
a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau.
b) Các chữ số của nó đôi một khác nhau.
c) Các chữ số của nó hoàn toàn giống nhau.
ĐS: a)
125
; b)
60
; c)
5
.
Bài 7. Từ cách chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
a) Có bốn chữ số.
b) Có bốn chữ cố đôi một khác nhau.
c) Có bốn chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5.
ĐS: a)
1080
; b)
300
; c)
108
.

5

Bài 8. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng


2000;3000
có thể tạo nên từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6

nếu
a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau.
b) Các chữ số của nó đôi một khác nhau.
ĐS: a)
125
; b)
60
.
Bài 9. Khi gieo đồng thời ba con xúc xắc khác nhau có bao nhiêu khả năng mà tổng số chấm
xuất hiện trên ba mặt của ba con súc sắc lớn hơn
9
.
ĐS:
6
.
Bài 10. Có
4
hành khách bước lên một đoàn tàu có
4
toa. Hỏi
a) Có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của
4
hành khách.
b) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có
1
người lên.
c) Có bao nhiêu trường hợp mà một toa có
3
người lên, một toa có
1

người lên và hai toa
còn lại không có ai lên.
ĐS: a)
256
; b)
24
; c)
36
.


7

Chủ đề 2. Ba khái niệm cơ bản của tổ hợp
1. Hoán vị
 Cho tập hợp
A
có
n
phần tử (
1
n

). Mỗi cách sắp xếp
n
phần tử của nó theo một thứ tự
được gọi là một hoán vị của
n
phần tử của
A

.
 Số các hoán vị của tập hợp có
n
phần tử là
! 1.2.3
n
P n n
  .
Với quy ước
0! 1

, ta có thể định nghĩa
0
1
P

.
2. Chỉnh hợp
 Cho tập hợp
A
có
n
phần tử (
1
n

) và số nguyên
k
với
1

k n
 
. Mỗi cách lấy ra
k

phần tử của
A
và sắp xếp chúng theo một thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập
k
của
n
phần tử của
A
.
 Số các chỉnh hợp chập
k
của tập hợp có
n
phần là

 
    
!
1 2 1
!
k
n
n
A n n n n k
n k

     

. (1)
Ta thấy công thức (1) cũng có nghĩa khi
0
k

nên, để cho tiện, ta định nghĩa số
k
n
A
với
k
,
n

nguyên và
0
k n
 
.
3. Tổ hợp
 Cho tập hợp
A
có
n
phần tử (
1
n


) và số nguyên
k
với
1
k n
 
. Mỗi cách lấy ra
k

phần tử của
A
được gọi là một tổ hợp chập
k
của
n
phần tử của
A
.
 Số các tổ hợp chập
k
của tập hợp có
n
phần tử là:
 







1 2 1
!
! ! ! !
k
k
n
n
n n n n k
A
n
C
k k n k k
   
  

. (2)
Ta thấy công thức (2) cũng có nghĩa khi
0
k

nên, để cho tiện, ta định nghĩa số
k
n
C
với
k
,
n

nguyên và

0
k n
 
.
 Hai tính chất cơ bản của số tổ hợp:

k n k
n n
C C

 . (công thức phần bù)

1
1
k k k
n n n
C C C


  (công thức Pa-xcan).

8

§1. Phương trình, bất phương trình và hệ liên quan đến các số chỉnh hợp, tổ
hợp, hoán vị
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Khi giải phương trình, bất phương trình và hệ liên quan đến các số chỉnh hợp tổ hợp, hoán vị, ta
cần chú ý:
 ! 1 2
n

P n n
    

có nghĩa khi và chỉ khi
n


.

 
!
!
k
n
n
A
n k


và
 
!
! !
k
n
n
C
k n k



có nghĩa khi và chỉ khi:
n


và
0
k n
 
.
B. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
2
1 1
1
! !
n
k
k
k n


 


với
n


,

2
n

.
b)
   
3
2 3
3 !
n n n
n n n n
P C C C
n


với
n


.
c)
2
2
1 1
n
k
k
n
A n





với
n


;
2
n

.
Giải.
a) Ta có
   
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
! 1 ! ! 1! 2! 2! 3! 1 ! ! !
n n
k k
k
k k k n n n
 
   

   
          
   
   

 
   
   
   
 
 (ĐPCM).
b) Ta có
   
 


 


 
33
2 3
2 ! 3 !
!
! . .
! ! ! 2 ! ! 3 !
n n n
n n n n
n n
n
n
n n n n n n n
P C C
n
C

n

  

 




 
 
3
2 ! 3 !
!
! . .
!0! ! !
3 !
! ! 2
n n
n
n
n n n n
n
n


(ĐPCM).
c) Với mọi
k
nguyên,

2
k n
 
ta có
 
 
 
2
2
! 1 1 1 1
1
2 ! 1 1
k
k
k
A k k
k A k k k k
      
  
.
Do đó
2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 3 1
n n
k k
k
A k k n n
 

       
        
       
 
       
 

1 1
1
n
n n

   (ĐPCM).

9

Ví dụ 2. Giải các phương trình, bất phương trình và hệ sau:
a) [TN2007]
4 5 6
1
3
n n n
C C C

  .
b) [TN2005]
1 2
2 2
5
2

n n
n n n
C C A

 
  .
c) [TN2003]
1
1
1
1
6
(1)
5
5
(2)
2
y
x
y
x
y
x
y
x
C
C
C
C














.
Giải.
a) Điều kiện:
n
là số nguyên và
5
n

. Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan ta có
4 5 5
1
n n n
C C C

  .
Phương trình đã cho tương đương với



 


 
5 6
1 1
1 ! 1 !
1 1
3 3 6
5! 4 ! 6! 5 ! 4 2
n n
n n
C C n
n n n
 
 
      
  
(thỏa mãn).
b) Điều kiện:
n
là số nguyên và
2
n

. Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan ta có
1
2 2 3
n n n
n n n

C C C

  
  .
Bất phương trình đã cho tương đương với


 






 
2
3
3 ! 1 2 3
5 5 !
5
2 !3! 2 2 ! 3 1
n
n n
n n n n
n
C A
n n n n

   
    

 









3 2
1 2 3 15 1 9 26 6 0
n n n n n n n n
          
. (1)
Với mọi
2
n

, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho
2
số dương
3
n
và
2
26
n
, ta có
3 3 2 2 2

26 2 .26 2 26 2.5 10
n n n n n n n
     .
Do đó
2 2 2
(1) 10 9 6 6 0
VT n n n
     


(1) nhận mọi
2
n

là nghiệm

bất phương trình
đã cho nhận mọi
2
n

là nghiệm.
c) Điều kiện:
x
,
y
nguyên,
1 1
y x
  

.
Ta có


 








  
1 ! 1 ! 1 ! 1 1
6 6
(1) .
! 1 ! ! 5 1 5
x y x y x y
y x y x x y x y
     
   
    
. (3)

   









 
1 ! 1 ! 1
! 5 5
(2) .
1 ! 1 ! ! 2 1 2
y x y x y x y
x
y x y x y y
     
   
   
. (4)
Nhân từng vế (3) và (4) ta có
1
3 3 1
x
x y
y

   
. (5)
Thay (5) vào (4) ta được

10




 


 
2
2 2 1 2 2 1
5 5
3 9 0 3
1 2 1 2
y y y y
y y y
y y y y
 
       
 

Thay
3
y

vào (5) ta được
8
x

. Ta thấy cặp giá trị





; 8;3
x y 
8
x

,
3
y

thỏa mãn điều
kiện để hệ có nghĩa. Vậy hệ có nghiệm duy nhất




; 8;3
x y  .
Ví dụ 3. [ĐHD05] Tính giá trị của biểu thức
 
4 3
1
3
1 !
n n
A A
M
n





biết rằng
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
   
    . (1)
Giải. Điều kiện:
n
nguyên,
3
n

.
Ta có


 




 


 
1 ! 2 ! 3 ! 4 !
(1) 2. 2.

2! 1 ! 2! ! 2! 1 ! 2! 2 !
n n n n
VT
n n n n
   
   
  




     




1 3 4
1 2 2 3
2 2
n n n n
n n n n
  
       

 
2
1
6 24 28
2
n n  

2
3 12 14
n n
  
.
Do đó


 
2 2
5
(1) 3 12 14 149 3 12 135 0
9
thoûa maõn
loaïi
x
n n n n
x
 
        

 


.
Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
1 2 3
3

3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C
  

    , với
k
,
n
là các số nguyên dương thỏa mãn
3
k n
 
.
b)
1 1 1 1
1 2 1

k k k k k
n n n k k
C C C C C
   
  
     , với
k
,
n
là các số nguyên dương thỏa mãn
k n


.
Giải.
a) Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có
1
2 2
k k
n n
VP C C

 
 





1 1 2
1 1 1 1
k k k k
n n n n
C C C C
  
   
   

1 2
1 1 1
2
k k k

n n n
C C C
 
  
  







1 1 2 2 3
2
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
    
     

1 2 3
3 3
k k k k
n n n n
C C C C
  
   

(1)
VT


(điều phải chứng minh).
a) Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có
1
1 1
k k k
n n n
C C C

 
 
1
1 2 2
k k k
n n n
C C C

  
 

11



1
1
k k k
k k k
C C C



  .
Cộng từng vế các đẳng thức trên, giản ước
1 1

k k
n k
C C
 
  ở hai vế, ta được

1 1 1
1 2

k k k k k
n n n k k
C C C C C
  
 
    


1 1 1 1
1 2 2 1

k k k k
n n n k
C C C C
   
   

     (chú ý:
1
1
1
k k
k k
C C


  ).
Ví dụ 5. Chứng minh
1 1 1 1
2
1! 2! 3! !
n
   
, (1)
với
*
n

.
Giải. Ta có
1 1 1
(1) 1
2! 3! !
n
   
.

Lại có

1 1 2 1 1 1
2! 1.2 1.2 1 2

   
,
1 1 3 2 1 1
3! 2.3 2.3 2 3

   
,
1 1 4 3 1 1
4! 3.4 3.4 3 4

   
,



 


 
1
1 1 1 1
! 1 1 1
n n
n n n n n n n
 

   
  
.
Cộng từng vế
1
n

đẳng thức, bất đẳng thức nói trên, ta thu được

1 1 1 1 1 1 1 1
(2)
1 2 2 3 3 4 1
VT
n n
       
        
       

       


1
1 1
n
  
(ĐPCM).
Ví dụ 6. Cho
*
n


. Tìm


2
0;2
max
k
n
k n
C

.
Giải.Với
0;2 1
k n
 
, xét tỷ số


   


 
1
2
2
2 ! ! 2 !
2
.
1 ! 2 1 ! 2 ! 1

k
n
k
n
n k n k
C
n k
T
C k n k n k



  
   
.
Ta có
2 1
1 1 0; 1
1 2
n k
T k n k n
k

        

.
Chú ý rằng dấu “

” không xảy ra. Thay từng giá trị của
k

vào
T
ta được
1 0 1 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2
n n n n n
n n n n n n n
C C C C C C C
  
       
 
.

12

Vy


2 2
0;2
max
k n
n n
k n
C C

.
Vớ d 7. [HB06] Cho tp hp
A
gm

n
phn t (
4
n

). Bit rng s tp con gm
4
phn t
ca
A
bng
20
ln s tp con gm
2
phn t ca
A
. Tỡm


1;2; ;
k n
sao cho s tp con
gm
k
phn t ca
A
ln nht.
Gii. Mi mt cỏch chn
k
phn t t tp

A
cho ta mt tp con gm gm
k
phn t ca
A



s tp con gm
k
phn t ca
A
l
k
n
C
. S tp con gm
4
phn t ca
A
bng
20
ln s tp
con gm
2
phn t ca
A
ngha l

4 2

! !
20 20
4! 4 ! 2! 2 !
n n
n n
C C
n n







2
18
1 20
5 234 0
12 3 2
13
thoỷa maừn
loaùi
n
n n
n n
n

.
Vy s phn t ca
A
l
18
. Vi
1;17
k , xột t s



1
18
18
! 18 !
18! 18
.
1 ! 17 ! 18! 1
k
k
k k
C
k
T
C k k k

.
Ta cú
18 17
1 1 1;8
1 2
k
T k k
k



.
Chỳ ý rng du

khụng xy ra.
Thay tng giỏ tr ca
k
vo
T
ta c
1 2 8 9 10 17 18
18 18 18 18 18 18 18

C C C C C C C
.
Do ú

18 18
1;18
max
k k
k
C C




9
k

. Vy s tp con gm
9
phn t ca
A
l tp con cú s tp con
ln nht.
C. BI TP
Baứi 1. Chng minh
a)


1 1
1
n n n
P P n P

vi
*
n

.
b)
1
1
k
k
n
n
nC
C
k


vi
k
,
*
n

,
k n

.
c)

2

1 1
! 1 ! 2 !
n
n n n


vi
*
n

,
2
n

.
d) [HB08]
1
1 1
1 1 1 1
2
k k k
n n n
n
n C C C

vi ,k n


,
0
k n

.
e)
2 1 2
n n n
n k n k n k
A A k A


vi
n
,
*
k

,
2
k

.
f)
2 2 2 5

1 3 5 5
!
k n n n n
P A A A nk A

vi
*
n

.

13

g)


1 2 3 1
1 2 3 1
n n
P P P P n P

       với
n


;
2
n

.

h)


2 3
1
2 2 1
1
2 3
2
n
n n n
n
n
n n n
n n
C C C
C n
C C C


   
với
*
n

.
i)
2 3
1 2
1

1 2 1
2 3
n
n n n
n n
n
n n n
C C C
C n C
C C C


    
với
*
n

.
j)


1.1! 2.2! 3.3! . ! 1 !
n n n
     
với
*
n

.
k)

1
1
1
n
k
k
k
P




với
*
n

.
Bài 1. Chứng minh
a)
4 1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
    

     , với
k
,

n


,
0 4
k n
  
;
b)
1 1 1 1
1 2 2 1 2
n n n n n
n n n n n
C C C C C
   
  
    

với
*
n

.
Bài 2. Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:
a)


 
! 1 !
1

1 ! 6
n n
n
 


. ĐS:
2
,
3
.
b)


 
1 !
72
1 !
n
n



. ĐS:
8
.
c)


 



  
1 ! 1 !
1 5
. 5
2 1 3 !4! 12 3 4 !2!
n n n
n n n n n
 
 
 
 
    
 
 
. ĐS:
5
,
6
.
d)
3
20
n
A n
 . ĐS:
6
.
e)

5 4
2
18
n n
A A

 . ĐS:
10
.
f)
5
3 5
72
n n n
P A P
 
 . ĐS:
7
.
g)
   
4
4
15
2 ! 1 !
n
A
n n



 
. ĐS:
3
,
4
,
5
.
h)
1
1 1
: : 21: 60 :10
y y y
x x x
A A C

 
 . ĐS:




; 7;3
x y  .
i)
2 5 90
5 2 80
x x
y y
x x

y y
A C
A C

 


 


. ĐS:




; 2;5
x y  .
Bài 3. Cho
*
n

. Tìm


2 1
0;2 1
max
k
n
k n

C

 
. ĐS:


1
2 1 2 1 2 1
0;2 1
max
k n n
n n n
k n
C C C

  
 
  .

14

§2. Ứng dụng ba khái niệm cơ bản vào bài toán đếm
Sau đây ta sẽ áp dụng ba khái niệm cơ bản vào bài toán đếm (tất nhiên vẫn sử dụng các quy tắc
đếm). Nhờ đó, việc đếm được thực hiện đơn giản và chính xác hơn.
A. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Bạn Ngọc có
12
cuốn sách khác nhau, trong đó có
2
cuốn sách Toán,

4
cuốn sách Văn
và
6
cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu
các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?
Giải.
 Bước 1. Trước hết ta tính số cách xếp thứ tự từng loại sách. Vì có
3
loại sách nên số các
sắp thứ tự loại sách là
3
3! 6
P
 
(cách).
 Bước 2. Xếp sách vào kệ: ứng với mỗi phương án sắp xếp
3
loại sách, ta lại có

2 2
2!
n P
 
cách xếp
2
cuốn sách Toán,

3 4
4!

n P
 
cách xếp
4
cuốn sách Văn,

4 6
6!
n P
 
cách xếp
6
cuốn sách Anh.
Như vậy, ứng với mỗi phương án sắp xếp
3
loại sách, ta lại có số cách sắp xếp
12
cuốn sách là
2!4!6! 34560

(cách).
Tóm lại số các xếp thỏa mãn yêu cầu là
6 34560 207360
 
(cách).
Ví dụ 2. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có
6
ghế. Người ta muốn xếp chỗ
ngồi cho
6

học sinh trường A và
6
học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách
xếp trong mỗi trường hợp sau.
a) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau.
b) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
Giải.
a)
 Bước 1. Trước tiên ta xác định trong
12
vị trí, vị trí nào của học sinh trường A, vị trí nào
của học sinh trường B. Rõ ràng để đảm bảo bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc
đối diện nhau thì khác trường với nhau ta có các xếp như sau.
Cách 1
A

B A

B A

B
B A

B

A

B A

Cách 2
B A

B

A

B A

A

B A

B A

B

 Bước 2. Ứng với mỗi cách đã xác định ở bước 1, ta xếp
12
học sinh vào chỗ.
 Xếp
6
học sinh trường A vào
6
chỗ: có
6!
cách.
 Xếp
6
học sinh trường B vào

6
chỗ còn lại: có
6!
cách.
Theo quy tắc nhân thì số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là
2 6!6! 1036800
 
(cách).

15

Vớ d 3. Cú bao nhiờu cỏch xp
5
bn nam v
4
bn n thnh mt hng ngang sao cho khụng
cú hai bn n no ng cnh nhau?
Gii.
Bc 1. Xp
5
bn nam thnh hng ngang. Ta thy cú
5!
cỏch lm nh vy.
Bc 2. Xp
4
bn n. Ta thy vic xp tha món yờu cu bi toỏn thỡ phi xp
4
bn
vo
6

v trớ nh hỡnh v.
(1)

Nam

(2)

Nam

(3)

Nam

(4)

Nam

(5)

Nam

(6)

Nh vy, ng vi mi cỏch xp
5
bn nam cú
4
6
A
cỏch xp

4
bn n.
Túm li, s cỏch xp l
4
6
5! 43200
A (cỏch).
Vớ d 4. [HB02] Cho a giỏc u
1 2

n
A A A
(
2
n

,
n
nguyờn). Bit s tam giỏc cú cỏc nh l
3
trong
2
n
im
1
A
,
2
A
, ,

n
A
gp
20
ln s hỡnh ch nht cú cỏc nh l
4
trong
2
n
im
1
A
,
2
A
, ,
n
A
, tỡm
n
.
Gii.
Mi cỏch chn ra
3
im trong
2
n
im ri ni chỳng li cho ta mt hỡnh tam giỏc. Do
ú, s tam giỏc cú nh l
3

trong s
2
n
im l
3
2
n
C
.
Gi s a giỏc u
1 2

n
A A A
ni tip ng trũn


O
,
ABCD
l hỡnh ch nht cú cỏc
nh l
4
trong s
2
n
nh ca a giỏc. Ta thy


90

ABC BCD




AC
v
BD
i
qua


O
. T õy, ta suy ra cỏch to mt hỡnh ch nht cú
4
nh l bn nh ca t giỏc:
Chn ra
2
ng chộo i qua
O
t
n
ng chộo i qua
O
ca a giỏc. Bc ny cú
2
n
C
cỏch thc hin. T
2

ng chộo va chn ra, bao gi ta cng cú ỳng mt cỏch ni
cỏc u mỳt c mt hỡnh ch nht. Vy s hỡnh ch nht cú nh l
4
trong s
2
n

im l
2
n
C
.
Theo gi thit thỡ








3 2
2
2 ! 2 2 2 1 2
!
20 20 20 1
3! 2 3 ! 2! 2 ! 3
n n
n n n n
n

C C n n
n n










2
0
1 2 1 15 1 1 2 16 0 1
8
loaùi
loaùi
thoỷa maừn
n
n n n n n n n n n
n

.
Vy
8
n

.
Vớ d 5. [HB04] Trong mt mụn hc, thy giỏo cú
30
cõu hi khỏc nhau gm
5
cõu hi khú,
10
cõu hi trung bỡnh v
15
cõu hi d. T
30
cõu hi ú, cú th lp c bao nhiờu kim

16

tra, mỗi đề gồm
5
câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ
3
loại câu hỏi
(khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn
2
?
Giải. Thầy giáo có
3

phương án sau đây để lập một đề thi thỏa mãn yêu cầu.
 Phương án 1. Đề thi có
2
câu dễ,
1
câu trung bình,
2
câu khó. Theo quy tắc nhân, số
cách thực hiện phương án này là
2 1 2
15 10 5
C C C
.
 Phương án 2. Đề thi có
2
câu dễ,
2
câu trung bình,
1
câu khó. Theo quy tắc nhân, số
cách thực hiện phương án này là
2 2 1
15 10 5
C C C
.
 Phương án 3. Đề thi có
3
câu dễ,
1
câu trung bình,

1
câu khó. Theo quy tắc nhân, số
cách thực hiện phương án này là
3 1 1
15 10 5
C C C
.
Vậy, theo quy tắc cộng, số đề kiểm tra lập được theo yêu cầu là
2 1 2 2 2 1 3 1 1
1 2 3 15 10 5 15 10 5 15 10 5
56875
n n n C C C C C C C C C      .
Ví dụ 6. [ĐHB05] Một đội thanh niên tình nguyện có
15
người gồm
12
nam và
3
nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách phân công đội thanh niên đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có
4

nam và
1
nữ.
Giải.
Ta phân công như sau.
Bước 1. Chọn thanh niên tình nguyện cho tỉnh thứ nhất. Theo quy tắc nhân thì bước này có số
cách thực hiện là
4 1

12 3
C C
.
Bước 2. Chọn thanh niên tình nguyện cho tỉnh thứ hai. Vì đã chọn
4
nam và
1
nữ ở bước 1 nên
theo quy tắc nhân, số cách thực hiện bước này là
4 1
8 2
C C
.
Các thanh niên còn lại phân công đi giúp đỡ tỉnh thứ ba.
Vậy theo quy tắc nhân thì số cách phân công là
4 1 4 1
12 3 8 2
207900
C C C C  .
Ví dụ 7. [ĐHD06] Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có
12
học sinh, gồm
5

học sinh lớp T,
4
học sinh lớp L và
3
học sinh lớp H. Cần chọn ra
4

học sinh đi làm nhiệm vụ
sao cho
4
học sinh đó thuộc không quá
2
trong
3
lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như
vậy?
Giải. Nếu bỏ qua điều kiện
4
học sinh thuộc không quá
2
trong
3
lớp thì số cách chọn là
4
12
C
.
Bây giờ ta đếm số cách chọn mà
4
học sinh đó bao gồm học sinh của cả
3
lớp. Để làm như vậy
ta có sau phương án sau.
 Phương án 1. Chọn
2
học sinh lớp T,
1

học sinh lớp L,
1
học sinh lớp H. Theo quy tắc
nhân, số cách thực hiện phương án này là
2 1 1
2 5 4 4
n C C C
 .

17

 Phương án 2. Chọn
1
học sinh lớp T,
2
học sinh lớp L,
1
học sinh lớp H. Theo quy tắc
nhân, số cách thực hiện phương án này là
1 2 1
3 5 4 4
n C C C
 .
 Phương án 3. Chọn
1
học sinh lớp T,
1
học sinh lớp L,
2
học sinh lớp H. Theo quy tắc

nhân, số cách thực hiện phương án này là
1 1 2
3 5 4 4
n C C C
 .
Vậy, số cách chọn
4
học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là
4 2 1 1 1 2 1 1 1 2
12 5 4 4 5 4 4 5 4 4
225
C C C C C C C C C C    (cách).
Ví dụ 8. Một thầy giáo có
12
cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có
5
cuốn sách văn học,
4

cuốn sách âm nhạc và
3
cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra
6
cuốn và đem tặng cho
6
em học
sinh
A
,
B

,
C
,
D
,
E
,
F
, mỗi em một cuốn. Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng sách sao cho sau
khi tặng, mỗi loại sách : văn học, âm nhạc, hội hoạ, thầy vẫn còn ít nhất một cuốn.
Giải. Ta thấy tổng hai loại sách bất kỳ đều lớn hơn
6
nên không thể chọn sao cho cùng hết
2

loại sách.
 Số cách chọn
6
cuốn sách từ
12
cuốn sách là
6
12
665280
A  .
 Số cách chọn sao cho không còn sách văn là
5
6
.7 5040
A 

 Số cách chọn sao cho không còn sách nhạc là
4 2
6 8
. 20160
A A  .
 Số cách chọn sao cho không còn sách hoạ là
3 3
6 9
. 60408
A A  .
Vậy, số cách chọn cần tìm là


665280 – 5040 20160 60480 579600
   .
Ví dụ 9. Hỏi từ
10
chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,

6
,
7
,
8
,
9
có thể lập được bao nhiêu số gồm
6

chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số
0
và
1
.
Giải. Giả sử
1 2 3 4 5 6
A a a a a a a
 là số cần lập. Để lập số
A
, ta lần lượt làm như sau
 Bước 1. Chọn vị trí cho chữ số
0
. Vì
1
0
a

nên bước này có số cách thực hiện là
5

cách.
 Bước 2. Chọn vị trí cho chữ số
1
. Ta có hai phương án thực hiện bước này.
 Phương án 1.
1
1
a

. Số cách chọn
4
vị trí còn lại là
4
8
A
.
 Phương án 2.
1
1
a

. Vì
1
1
a

và chữ số
0
đã chiếm một vị trí nên để chọn vị trí

cho chữ số
1
có
3
4
n

cách. Vì


1
0;1
a  nên có
4
8
n

cách chọn
1
a
. Số cách
chọn
3
chữ số cho
3
vị trí còn lại là
3
5 7
n A


. Theo quy tắc nhân thì số cách thực
hiện phương án 2 là
3
6 3 4 5 7
32
n n n n A
  .
Theo quy tắc cộng, số cách thực hiện bước 2 là
4 3
8 7
32
A A
 .
Theo quy tắc nhân, số cách lập số
A
là


4 3
8 7
5 32 42000
A A  (cách).

18

Ví dụ 10. Tính tổng các số chẵn có
5
chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
1
,

2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
.
Giải.
Giả sử
1 2 3 4 5
A a a a a a
 là số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó để lập số
A
ta lần lượt làm như
sau
 Bước 1: Chọn
5
a
.
A
chẵn



5
a
chia hết cho
2





2;4;6;8
a . Như vậy, bước này
có
4
cách thực hiện.
 Bước 2: Chọn các chữ số còn lại. Mỗi một cách chọn các chữ số
1
a
,
2
a
,
3
a
,
4
a
là một
chỉnh hợp chập

4
của
8
phần tử




5
1;2;3;4;5;6;7;8;9 \
a
nên số cách chọn các chữ số
này là
4
8
A
.
Theo quy tắc nhân thì số cách lập số
A
là
4
8
4. 6720
A  .
Để tính tổng các số lập được, ta tính tổng từng vị trí.
 Vì vai trò của các chữ số
2
,
4
,

6
,
8
là giống nhau nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số
này ở hàng đơn vị là
1680
4
n
 . Từ đây suy ra tổng các chữ số ở hàng đơn vị là


1680 2 4 6 8 33600
    .
 Nếu cố định
4
1
a

thì có
4
cách chọn
5
a
,
3
7
A
cách chọn các vị trí còn lại. Như vậy số
lần chữ số
1

xuất hiện ở vị trí hàng chục là
3
7
4. 840
A  . Vì vai trò của các chữ số
1
,
3
,
5
,
7
,
9
là như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở vị trí hàng chục cũng là
840
.
Tổng số lần xuất hiện các chữ cố
2
,
4
,
6
,
8
ở vị trí hàng chục là
6720 5.840 2520
 
.
Vì vai trò của các chữ số

2
,
4
,
6
,
8
là như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở
vị trí hàng chục là
2520
630
4
 .
Như vậy, tổng các chữ số hàng đơn vị là




840 1 3 5 7 9 630 2 4 6 8 33600
         .
 Tương tự, tổng các chữ số hàng trăm, hàng nghìn và hàng vạn bằng nhau và bằng
33600
.
Vậy tổng các số lập được là


33600 1 10 100 1000 10000 33600.11111 373329600
      .
B. BÀI TẬP
1. Từ các chữ số

0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
có thể lập được bao nhiêu số có
6
chữ số đôi
một khác nhau thỏa mãn thêm điều kiện
a) là số chẵn.
b) chia hết cho
5
.
2. Tính tổng các số có
5
chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho

5
được lập
từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
.

19

3. Tính tổng các số có
5
chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho
5
được lập
từ các chữ số
0,
1
,
2
,
3
,
4

,
5
.
4. Từ các chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
có thể lập được bao nhiêu số có
5
chữ số. Biết
chữ số
1
xuất hiện đúng hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau.
5. Từ các chữ số

0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
có thể lập được bao nhiêu số có
5
chữ số. Biết
chữ số
1
có thể không xuất hiện hoặc xuất hiện một số chẵn lần, còn các chữ số còn lại đôi một
khác nhau.
6. Từ các chữ số
0
,
1

,
2
,
4
,
5
,
6
,
9
có thể lập được bao nhiêu số có
6
chữ số chia hết cho
2
.
Biết chữ số
2
xuất hiện hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau.
7. Từ các chữ số
0
,
1
,
2
,
4
,
5
,
6

,
9
có thể lập được bao nhiêu số có
6
chữ số đôi một khác
nhau và trong các chữ số có chữ số
2
và chữ số
4
.
8. Từ các chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9

có thể lập được bao nhiêu số có
6
chữ số biết
rằng trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau nó.
9. Từ các chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
có thể lập được bao nhiêu số có
6
chữ số thỏa
mãn một trong hai điều kiện: trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ
số đứng sau nó hoặc trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước nhỏ hơn chữ số đứng
sau nó.

10. Một trường Phổ thông trung học có
280
nam sinh và
325
nữ sinh.
a) Có bao nhiêu cách chọn ra
11
học sinh.
b) Có bao nhiêu cách chọn ra
3
học sinh có cả nam và nữ.
c) Giả sử trong các học sinh nam có một bạn bạn tên là Long và trong các nữ sinh có một
bạn tên là Ngọc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra
3
học sinh có cả nam và nữ nhưng
không đồng thời có hai bạn Long và Ngọc.
11. Trong một lớp học có
7
nam sinh và
4
nữ sinh ưu tú (trong số đó có nam sinh Hưng và nữ
sinh Hoa). Cần lập một ban cán sự lớp gồm
6
người từ những học sinh ưu tú với yêu cầu có ít
nhất hai nữ sinh, ngoài ra ban cán sự không đồng thời có cả Hưng và Hoa. Hỏi có bao nhiêu cách
lập ban cán sự này.
12. Có
5
nhà toán học nam,
3

nhà toán học nữ và
4
nhà vật lý nam. Hỏi có bao nhiêu cách lập
một đoàn công tác
3
người từ các nhà khoa học nói trên sao cho trong đoàn có cả nam và nữ, có
cả nhà toán học và nhà vật lý.
13. Một trường trung học có
8
thầy dạy toán,
5
thầy dạy lý và
3
thầy dậy hóa học. Hỏi có bao
nhiêu cách cử
3
thầy thuộc đủ cả
3
bộ môn đó đi đại hội.

20

14. Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm
11
người, trong đó có
7
nam và
4
nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách lập ra một hội đồng thường trực gồm

3
người từ những thành viên nói trên sao cho
trong đó có ít nhất
1
nam.
15. Có bao nhiêu cách xếp
3
người bạn nam và
2
bạn nữ vào một cái ghế dài sao cho bất kỳ ai
đều ngồi bên cạnh ít nhất một người cùng giới.
16. Một nhóm gồm
10
học sinh, trong đó có
7
nam và
3
nữ. Có bao nhiêu cách xếp
10
học
sinh trên thành một hàng dọc sao cho
7
học sinh nam đừng liền nhau.
17. Có
10
câu hỏi trong đó có
4
câu lý thuyết và
6
câu bài tập. Thầy giáo có bao nhiêu cách để

lập ra một đề thi gồm
3
câu, trong đó có cả lý thuyết và bài tập từ
10
câu hỏi nói trên.
18. Một đồn cảnh sát khu vực có
9
người. Hỏi có bao nhiêu cách phân công
3
cảnh sát làm
nhiệm vụ ở khu vực A,
4
cảnh sát làm nhiệm vụ ở khu vực B và
2
người còn lại trực tại đồn.
19. Có
5
tem thư khác nhau và
6
bì thư khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn và dán
3
tem thư
lên
3
bì thư.
20. Có
7
nghệ sĩ, trong đó có
4
nam và

3
nữ, tham gia một buổi biểu diễn mà mỗi người phải
biểu diễn đúng một tiết mục.
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho trong chương trình ấy xen kẽ hết nam lại
đến nữ nghệ sĩ biểu diễn.
b) có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho
2
tiết mục đầu và tiết mục sau cùng là
do nam biểu diễn.
21. Có bao nhiêu cách xếp
10
vật phân biệt vào
4
hộp phân biệt sao cho hộp thứ nhất chứa
3

vật, hộp thứ hai chứa
2
vật, hộp thứ ba chứa
2
vật, hộp thứ tư chứa
3
vật.
22. Đội dự tuyển bóng bàn có
10
nữ,
7
nam, trong đó có danh thủ nam là Đường Ngọc Hưng và
danh thủ nữ là Lý Thu Thủy. Người ta cần lập một đội tuyển bóng bàn quốc gia gồm
3

nữ và
4

nam từ đội dự tuyển nói trên sao cho trong đội phải có cả nam lẫn nữ và có mặt hai danh thủ.
23. Chia nhóm
16
học sinh gồm
3
học sinh giỏi,
5
học sinh khá và
8
học sinh trung bình thành
hai tổ có số học sinh bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia mà mỗi tổ đều có học sinh giỏi và có
ít nhất là
2
học sinh khá.
24. Tổ I gồm
10
người và tổ II gồm
9
người. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm câu lạc bộ
bóng bàn gồm
8
thành viên sao cho mỗi tổ có ít nhất hai người thuộc câu lạc bộ này.
25. Trong một lớp có
33
người trong đó có
7
nữ và

26
nam. Có bao nhiêu cách chia lớp thành
ba tổ sao cho: tổ
1
gồm
10
người, tổ
2
gồm
11
người, tổ
3
gồm
12
người và mỗi tổ có ít nhất
hai nữ.

21

26. Một trường tiểu học có
50
học sinh đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có
4
cặp
anh em sinh đôi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm
3
học sinh trong số
50
học sinh trên đi
dự đại hội Cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào.

27. Một đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm
18
em, trong đó có
7
học sinh khối
12
,
6

học sinh khối
11
và
5
học sinh khối
10
. Hỏi có bao nhiêu cách cử
8
học sinh trong đội đi dự
trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn đi.
28. Từ một tổ gồm
7
học sinh nữ và
5
học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ra
6
em trong đó
số học sinh nữ phải nhỏ hơn
4
.