bài tập về tổ hợp chỉnh hợp và nhị thức Niutơn

GIẢI TÍCH TỔ HP
LOẠI TOÁN ĐẾM
Bài 1: Với các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có tính chất:
1. Mỗi số gồm 3 chữ số trong đó chữ số 1 là chữ số duy nhất lập lại nhiều nhất 2 lần.
2. Mỗi số gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 1 và 3 xuất hiện một lần, chữ số 2 xuất hiện ba lần.
1. Đs: 12
2. Đs: 20
Bài 2: Với các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số số tự nhiên khác nhau, mỗi số có các chữ số không
trùng nhau và dó nhiên không có chữ số 0 ở vò trí đầu trừ số không.
Đs:261
Bài 3: Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số không trùng nhau sao
cho hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau.
Đs :72
Bài 4: Với các chữ số 1,2,3,....,n có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số khác nhau trong đó chữ số 1
và 2 không đứng cạnh nhau.
Đs :n! - 2(n - 1)!
Bài 5: Với các chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số lớn hơn 20.000 sao cho trong mỗi số các chữ số 2,3,4
có mặt một lần và chữ số 1 có mặt hai lần.
Đs :
!
.
4
3
2
Bài 6: Có tất cả bao nhiêu số đăng ký xe ôtô khác nhau có 5 chữ số nếu chữ số đầu tiên khác không.
Đs :9x10
4
.
Bài 7: Các số 1,2,...,n được xếp thành hàng ngang. Hỏi có mấy cách sắp xếp sao cho:
1. Hai chữ số 1 và 2
2. Ba chữ số 1,2,3

đứng cạnh nhau và theo thứ tự tăng dần.
1. Đs: (n - 1)!
2. Đs: (n - 2)!
Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số tạo bỡi các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 sao cho các chữ số không lặp lại và
chữ số cuối cùng là chẵn.
Đs :
.A
5
6
3
.
Bài 9: Có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của nó là số chẵn.
Hd: - Có tất cả là 9x10
6
số nguyên dương có 7 chữ số.
- Trong 10 số nguyên dương có 7 chữ số sau:

......................
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0
1
9
có 5 số có tổng các chữ số là chẵn và 5 số có tổng các chữ số là lẻ.
Vậy đáp số là:
.

6
10
9
2
.
Bài 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số chỉ tạo bỡi các chữ số 1,2 và 3 với điều kiện chữ số 2 xuất hiện hai
lần trong mỗi số.
Trang 1
GIẢI TÍCH TỔ HP
HD: Vì số các chữ số dùng để lập một số như yêu cầu của bài toán là không kiểm soát được như vậy ta lại dựa vào
vò trí, thứ mà ta kiểm soát được. Cụ thể như sau:Ta sẽ chọn ra hai vò trí cho số 2: có
C
2
7
cách. Còn lại 5 vò trí dành
cho hai số 1 và 3: có 2
5
cách sắp. Vậy đáp số là: 2
5
C
2
7
.
Bài 11 : Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 10
4
viết dưới hệ cơ số thập phân có tất cả các chữ số khác nhau.
Đs:
A A A A A A A A+ + + − − − −
4 3 2 1 3 2 1 0
10 10 10 10 9 9 9 9

Bài 12: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 4 tạo bỡi các chữ số 1,2,3,4,5 trong hai trường hợp sau:
1. Các chữ số có thể trùng nhau.
2. Các chữ số khác nhau.
HD:
1. Các số chia hết cho 4 tận cùng bỡi các cặp: 24,44,32,12,52. Như vậy ta chỉ còn hai vò trí còn lại cho năm
số: 1,2,3,4,5: có 5
2
. Đs: 5x5
2
.
2. Nếu các chữ số khác nhau thì các số chia hết cho 4 tận cùng bỡi các cặp: 24,32,12,52. Hai vò trí còn lại ta
sẽ chọn có thứ tự hai số trong ba số còn lại. Đs: 4.
A
2
3
Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số được viết bỡi các chữ số 1 và 2
Đs:2
10
Bài 14: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có bốn chữ số khác nhau, trong đó nhất
thiết phải có chữ số 1.
Đs: 204
Bài 15: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có tám chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3
lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần.
HD: Để lập ra một số theo yêu cầu thì ta phải sắp xếp tám chữ số : 0,1,1,1,2,3,4,5 theo một thứ tự nào đó. Có 8!
Cách sắp xếp như thế. Nhưng phải loại đi 7! Số có chữ số 0 đứng đầu. Ngoài ra 3 chữ số 1 giống nhau không kể
thứ tự nên tính theo cách trên sẽ dôi ra 3! lần. Vậy đs:
! !
!
−8 7
3

.
Bài 16 : Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 10
4
có các chữ số không trùng nhau, là bội số của 4 tạo bỡi các
chữ số 0,1,2,3,5.
Đs: 31
Bài 17: Có bao nhiêu số nguyên dương có bốn chữ số, trong đó nhiều nhất là hai chữ số trùng nhau.
Đs:576
Bài 18: Có bao nhiêu số nguyên dương có sáu chữ số, trong đó chỉ có đúng bốn chữ số khác nhau.
Bài 19: Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn
.
8
2 10
chia hết cho 3 có các chữ số là 0, 1, 2.
Đs:
. −
7
2 3 1
Bài 20: Người ta xếp 12 cuốn sách vào 6 hộc, mỗi hộc có 2 cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.
ĐS:
!
C C C C C C
2 2 2 2 2 2
12 10 8 6 4 2
6
=10395=
!
!
6
12

2 6
Bài 21: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ta lập tất cả các số có 4 chữ số không trùng nhau. Tìm tổng của các số đó.
HD: Có
A
4
9
số có 4 chữ số khác nhau. Trong đó ta có thể sắp thành các cặp số bù nhau, ví dụ: 3562 và 7548, tổng
của cặp số này là 1000x10 + 100x10 + 10x10 +1x10 = 11110 Vậy tổng của các số phải tìm là:
.
A
4
9
11110
2
.
Bài 22: Trong một giải cờ vua có cả nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với mỗi vận
động viên còn lại. Cho biết có hai vận động viên nữ và số ván các vận động viên nam chơi với nhau nhiều hơn số
Trang 2
GIẢI TÍCH TỔ HP
ván mà họ chơi với 2 vận động viên nữ là 66. Hỏi có bao nhiêu vđv tham dự và có tất cả bao nhiêu ván cờ đã xảy
ra.
ĐS: Có 13 vđv và 2
C
2
13
ván cờ.
Bài 23: Cho các số 3,5,7,11,13,17,19,23. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu phân số nhỏ hơn đơn vò, trong
đó mỗi phân số được tạo thành bới hai số đã cho.
ĐS:
C

2
8
Bài24: Trong ba lần chọn ngẫu nhiên 3 chữ số thì có mấy trường hợp:
1. Có hai lần lặp lại.
2. Có một lần lặp lại.
3. Không có lần nào lặp lại.
HD: 1. Chọn ba chữ số mà có hai lần lặp lại như vậy là thật ra ta chỉ chọn có một chữ số. Vậy trong trường hợp
này có 10 cách chọn.
2.Chọn ba chữ số mà có một lần lặp lại như vậy là thật ra ta chọn 2 chữ số rồi sau đó ta thêm vào một chữ số
trùng với một trong hai số đã chọn ta được
C
2
10
2
. Sau đó ta thay đổi thứ tự của các chữ số trong số được lập, ta
được
!
.
!
C
2
10
3
2
2
= 270.
3.
A =
3
10

720
.
Bài 25: Có 90 phiếu được đánh số từ 1 đến 90. Tính số cách rút ra 5 phiếu cùng một lúc sao cho có ít nhất 2
phiếu có số thứ tự là hai số liên tiếp.
HD: Số cách rút 5 phiếu tuỳ ý là:
C
5
90
. Gọi
a b c d e≤ < < < < ≤1 90
là số thứ tự của 5 phiếu mà sao cho bất kỳ hai
phiếu nào cũng có hiệu số khác 1. Khi đó a, b - 1, c - 2,
d - 3, e - 4 là 5 số phân biệt nằm giữa 1 và 86. Đảo lại, với năm số bất kỳ a’,b’,c’,d’,e’ sao cho
' ' ' ' 'a b c d e≤ < < < < ≤1 86
thì 5 số a’, b’ + 1, c’ + 2, d’ + 3, e’ + 4 sẽ có hiệu hai số bất kỳ khác 1. Vậy có
C
5
86

phiếu không thoả yêu cầu đề bài. ĐS:
C
5
90
-
C
5
86
.
Bài 26: Người ta lập tích số của hai số nguyên khác nhau từ 1 đến 100. Hỏi có bao nhiêu tích số là bội số của 3.
ĐS:

C C+
1 2
33 33
67
Bài 27: Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau cho 6 học sinh.
Bài 28: Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau cho 6 học sinh sao cho mỗi học sinh có ít nhất một
phần thưởng?
HD: Đầu tiên phát cho mỗi học sinh một phần thưởng. Như vậy có một cách. Còn lại 4 phần thưởng phát cho 6 học
sinh ( phát tuỳ ý ). Vì ta phát tất cả 4 phần thưởng cho 6 học sinh nên ta chỉ cần xét cách phân phối cho 5 học sinh,
học sinh thứ 6 nhận số phần thưởng còn lại. Bỡi vì có thể xảy ra trường hợp có 5 học sinh không nhận phần thưởng
nào trong 4 phần thưởng còn lại, cho nên ta thêm vào 4 phần thưởng đó 5 phần thưởng ảo tượng trưng cho không
có phần thưởng. Vì các học sinh nhận là khác nhau nên ta có thể xem các phần thưởng là khác nhau. Như vậy ta sẽ
lấy 5 phần thưởng trong 9 phần thưởng ra để phát cho 5 học sinh. Số còn lại học sinh thứ 6 sẽ nhận. Vậy có
C
4
9

cách phát thưởng cho học sinh.
Bài 29: Giả sử có n viên bi giống nhau và m cái hộp khác nhau. Ta xếp bi vào các hộp. Tìm số cách xếp:
1, Xếp tuỳ ý.
2, Tất cả các hộp đều phải có bi.
HD:
1, Ta biểu diễn m hộp bỡi các khoảng ở giữa m + 1 gạch thẳng đứng, còn các viên bi biểu diễn bằng các ngôi sao.
Ví dụ: |**|*| |****|….|*|.
Trang 3
GIẢI TÍCH TỔ HP
Như vậy ở ngoài cùng luôn lấcc vạch thẳng đứng, còn lại m – 1 vạch đứng và n ngôi sao được xếp theo thứ tự tuỳ
ý. Như vậy số cách chọn n phần tử trong m-1+n phần tử, nó cũng là số cách chọn m-1 phần tử trong m-1+n phần
tử:
1

1 1
m n
n m n m
C C
−
+ − + −
=
.
2, Trường hợp mội hộp có chứa ít nhất một viên bitương ứng với cách biểu diễn mỗi gạch phải bao gồm giữa hai
ngôi sao. Nhưng có tất cả n-1 khoảng trống giữa n ngôi sao. Vậy thì phải xếp m-1 vạch vào n-1 khoảng trống đó.
Vậy có:
1
1
m
n
C
−
−
. Hoặc có thể giải cách khác bằng cách trước tiên ta phân cho mỗi hộp một viên bi cái đã rồi sau đó
số viên bi còn lại ta phân phối tuỳ ý như câu 1,
Bài toán có thể phát biểu dưới dạng khác như sau:
1, Tìm số các nghiệm tự nhiên của pt:
1 2 3
...
m
x x x x n+ + + + =
2, Tìm số các nghiệm nguyên dương của pt:
1 2 3
...
m

x x x x n+ + + + =
Bài 30: Có 5 cuốn sách khác nhau đặt trên giá sách. Rút lần lượt không hoàn lại ba cuốn sách. Có bao nhiêu
cách rút được cuốn A; có bao nhiêu cách rút không được cuốn A?
LOẠI TOÁN GIẢI PT, BPT,…:
Lưu ý: Đặt đk, dùng các công thức, khử giai thừa, giải pt, bpt,…
Vì giải trong tập hợp số tự nhiên nên có thể thử nghiệm nếu cần.
( )
3 2
2 4 2 3 4
1 4 1 1
3 3
8 6
6 5
1
1
2 2 2
4 5 6
4
3
1
1
2
1
2 1
3 1
1 1
2 1
1
1, 14
2,

3, 5
4,3 4
5, 35 132
1 1 1
6,
7, 60
2
8,
3
9, 14 1
10, 79
x
x x
x x
x x x
x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x

A C x
x C A C xC
C A
C C
C C
C C C
A
C
C
C
A C x
A C
−
− −
− + −
+
+ +
−
−
−
−
+
−
+
−
+ +
−
+ =
= −
=

=
− =
=
=
+ = +
− =
( )
3 2
1
2 2
2
2 2 3 1
1 2
2
1
3
2 2
1 2
3
5
5
11, 14
12,3 2
13, 4
4
14,
5
15,3 4
16, 720
x

x x
x x
x x x
x
x
x x
x
x x
A C x
C A x
C A x A
C
x
C
C P x A
P
A P
−
+
+
+
+
+
−
+ =
= +
+ − =
=
+ =
=

Trang 4
GIẢI TÍCH TỔ HP
2
13 13
2
18 18
4 3 2
1 1 2
2 1
1 1
17,
18,
5
19, 0
4
20, 100
x x
x x
x x x
x x
x x
C C
C C
C C A
C C
+
−
− − −
− −
+ +

<
>
− − <
− ≤
( )
( )
4
1
3
3
1
1
10 10
2 1
4
3 4
1
4
4
1
105 105
1 1
1 1 1
1 1
2
5
3
1
1
21, 14

22, 2
23, 48
24
24,
23
143
25,
2 ! 4
26,8 3
27, : : 5 : 5 : 3
28, : : 2 : 3 : 4
29, 60
!
30, : :
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
m m m
n n n
n n n
m m m

k
n
n
y y
x x x
A
P
C
C C
A C
A
A C
A
x P
C C
C C C
C C C
P
A
n k
C C C
+
−
−
−
−
−
+
+
+

+ −
+ + +
− +
+
+
+
+
+
<
>
=
=
−
<
+
<
=
=
≤
−
1
6 : 5 : 2
y−
=
LOẠI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC
Bài tập1:
( )
( ) ( )
( )
1

1
2 3
1
1 2 1
1 1 1
2
1
1
1 2 3
1
0
2
2 2 2
0 1 2
1 2 3
2 3 4 2
1, .
1
1 , 2 3 ...
2
1 , 2
2, 2 3 ... 1 1
3, 0 :
4, ...
−
−
−
+ − +
+
−

−
−
=
+ −
+
+ + + + +
=
+
+ + + + =
+ + =
− + − + − = −
≤ ≤ ≤
+ + + +
∑
r r
n n
n
n n n
n
n
n n n
m m m m
n n n n
n
n k
n k
n n n n n
k
n n n
n k n k n

k
n n n n
k
n n n n k
n
C C
r
n n
C C C
a C n
C C C
b C C C C
C C C nC C
k n C C C
C C C C
C C C C
1 1
2 2
1 2 3
3
1
1 2 1 1
1 2 3
4
1
...
2
5, 3 3
6, ...
7, 4 6 4

+
+
− − −
+
+
− − + +
− − −
+
+ + =
+ + + =
+ + + + + =
+ + + =
n
n
n
n
k k k k k
n n n n n
k k k k k k
n n n k k n
k k k k k
n n n n n
C
C
C C C C C
C C C C C C
C C C C C
Bài tập2: Chọn các số nguyên dương n và k như thế nào để:
1 1
, ,

k k k
n n n
C C C
− +
theo thứ tự là các số hạng của một
cấp số cộng.
Trang 5