Giáo trình bộ môn toán ứng dụng Vô cùng lớn - vô cùng bé liên tuc

Giáo trình bộ môn toán ứng dụng Vô cùng lớn - vô cùng bé liên tuc

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------TOÁN 1 HK1 0708•BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN. LIÊN TỤC (SINH VIÊN) VÔ CÙNG BÉ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------( )0lim0=→xxxαĐại lượng α(x) – vô cùng bé (VCB) khi x → x0: VCB cơ bản (x → 0): Lượng giác( )xxxx tg,cos1,sin−=αMũ, ln:( )xex+−1ln,1Lũy thừa:( )131:VD.11−+−+xxαx0: Không quan trọng. VCB x → ∞:x1VCB x → 1: sin(x–1) …VD: xxcxxbxaxxxπππsinlim/sinlim/sinlim/00∞→→→α(x), β(x) – VCB khi x → x0 ⇒ α(x) ± β(x) , α(x)β(x): VCB ⇒ C(x)α(x): VCBα(x) VCB, C(x) bò chặnBT: ( )xxxsin1sinlim−+∞→ SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------α(x), β(x) – VCB, x → x0 và ∃( )( )cxxxx=→βα0lim⇒ So sánh đượcVD: So sánh VCB: xxx tg,cos1,sin−1/ c = 0 : α(x) – VCB cấp cao so với β(x): α(x) = o(β(x))2/ c = ∞: Ngược lại trường hợp c = 0 ⇒ β(x) = o(α(x))3/ c ≠ 0, c ≠ ∞ : vô cùng bé cùng cấpCách nói khác: β(x) – VCB cấp thấp hơnVCB cấp thấp: Chứa ít “thừa số 0” hơn. VD: sin2x, x3p dụng: So sánh 2 vô cùng bé xm , xn (m, n > 0) khi x → 0 VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TRỌNG) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------α(x), β(x) – VCB tương đương khi x → x0 ⇔ ( )( )1lim0=→xxxxβαVD: Tìm hằng số C và α để:0,~sintg→−xCxxxαVCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!) VCB lượng giác:0,2~cos1,~tg,~sin2→−xxxxxxxVCB mũ, ln:( )0,~1ln,~1→+−xxxxexVCB lũy thừa (căn):( )0,~11→−+xxxααVD:32~213xx+ DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------30tgsinlimxxxx−→ :VDα ~β & α1 ~ β1 khi x → x0 ⇒ α ± α1 ~ β ± β1 VD: Tìm ( )xxxxsintg21lnlim20+→ 1/( )( )xexxxsin13coslnlim/220−→x có thể → x0 bất kỳ. VD: Tìm xxxxxx+−−+∞→132lim22p dụng: Dùng vô cùng bé tương đương tính giới hạn( ) ( )( )( )( )( )xxxxxxxxxxxxxx11110000limlim~,~βαβαββαα→→→→=⇒Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG)Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU) QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------α, β – VCB khác cấp ⇒ α + β tương đương VCB cấp thấp hơn Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: α(x), β(x) – tổng VCB khác cấp ⇒ lim α/β = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu) VD: ( )( )2301ln2coslnlimxxxx++→( )xxxxxx2sintg322sinlim3220+++−+→≠+=≠++⇒→→0&iff~,~,~µλβαβαµλµλβαβαxxgfaxxgaxxfThay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa & Σ ≡ 0( )xxxxxxxxx−++±+∞→→lim/2sinlim/10( )( )+−+→201ln11limxxxxx VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT BỎ VCL -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm y = f(x) – vô cùng lớn (VCL) khi x → x0 : ( )∞=→xfxx0lim Tổng vô cùng lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao nhất Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) khi tính limSo sánh VCL: f(x), g(x) – VCL khi x → x0 và ∃ giới hạn f/gcxgxfxx=→)()(lim0VD:223~143 xxxx∞→+−( )0,1log>>>>>>∞→∞→αβαaxxaxxxc ≠ 0, ∞: f(x), g(x) – VCL cùng cấpc = 1: f, g – VCL tương đương : f ~ gc = ∞: f – VCL cấp cao hơn g. Viết: f >> g KẾT LUẬN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 …):  Dạng tích (thương) ⇒ Thay các THỪA SỐ bằng biểu thức tương đương & đơn giản hơn( ) ( )( )( ) ( )( )xhxgxfxhxgxfxxxx11100limlim→→=với f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) …  Dạng tổng VCB khác cấp ⇒ Thay bằng VCB cấp thấp 1 Dạng tổng VCB tổng quát Σfi(x) ⇒ Thay mỗi fi(x) bằng VCB tương đương dạng luỹ thừa:( )0&~≡∑iixCxCxfiiiααGiới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng ∞/∞ …): 1/ Thay tương đương vào tích (thương) khi tìm lim 2/ Tổng VCL ~ VCL cấp cao nhất HÀM LIÊN TỤC ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm sơ cấp (đònh nghóa qua 1 biểu thức) liên tục ⇔ xác đònhVD: Tìm a để hàm liên tục tại x = 0:=≠=0,0,sinxaxxxy f(x) xác đònh tại x0 ( ) ( )00lim xfxfxx=→ Hàm f(x) liên tục tại x0:Hàm liên tục/[a, b] ⇔ (C): đường liềnGián đoạn!VD: Khảo sát tính liên tục của các hàm số:11tg/22+−+=xxxyaxxybsin/=≥−<=1,11,)(/xxxxxfc: Không sơ cấp! LIÊN TỤC MỘT PHÍA ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm f(x) liên tục tại x0 ⇔ Liên tục trái & liên tục phải tại x0( )( )( )000lim xfxfxfxx=−−→ f(x) liên tục phải tại x0 khi xác đònh tại x0 và( )( )( )000lim xfxfxfxx=++→ f(x) liên tục trái tại x0 khi xác đònh tại x0 vàTương tự giới hạn 1 phía: Hàm ghép, chứa trò tuyệt … ⇒ Khảo sátVD: Khảo sát tính liên tục:=≠+=−1,11,11)(11xxexfxChú ý:?lim =∞→xxa [...]... (căn): ( ) 0,~11 →−+ xxx α α VD: 3 2 ~21 3 x x + HÀM LIÊN TỤC Hàm sơ cấp (định nghóa qua 1 biểu thức) liên tục ⇔ xác định VD: Tìm a để hàm liên tục tại x = 0:      = ≠ = 0, 0, sin xa x x x y  f(x) xác định tại x 0 ( ) ( ) 0 0 lim xfxf xx = →  Hàm f(x) liên tục tại x 0 : Hàm liên tục/[a, b] ⇔ (C): đường liền Gián đoạn! VD: Khảo sát tính liên tục của các hàm số: 1 1tg / 2 2 + −+ = x xx ya x x yb sin / =    ≥− < = 1,1 1, )(/ xx xx xfc :... k (Hay sử dụng) Định lý giá trị hai đầu trái dấu: f(a).f(b) < 0 ⇒ ∃ c ∈ (a, b) : f(c) = 0 Chuù ý: Không thể thay đoạn bằng khoảng! Hàm y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ α, β – VCB khác cấp ⇒ α + β tương đương VCB cấp thấp hơn Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: α(x), β(x) – tổng VCB khác cấp ⇒ lim α/β = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu) VD: ( ) (... ) xx xxx x 2sin tg322sin lim 3 22 0 + ++−+ →    ≠+= ≠ ++⇒      → → 0& iff~ ,~ ,~ µλβα βα µλ µ λ βα β α xxgf axxg axxf Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa & Σ ≡ 0 ( ) xxxx x xx xx −++ ± +∞→→ lim/2 sin lim/1 0 ( ) ( )       + − + → 2 0 1ln 1 1 lim x x xx x VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TRỌNG) α(x), β(x) – VCB tương đương khi x → x 0 ⇔ ( ) ( ) 1lim 0 = → x x xx β α VD: Tìm hằng số C và α để: 0,~sintg →− xCxxx α VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương... CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN f bị chặn trên [a, b]: ∃ m, M & m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ [a, b] f đạt GTLN, BN treân [a, b]: ∃ x 0 , x 1 ∈ [a, b]: f(x 0 ) = m, … f nhận mọi giá trị trung gian: ∀ k & GTBN ≤ k ≤ GTLN ⇒ ∃ c ∈ [a, b]: f(c) = k (Hay sử dụng) Định lý giá trị hai đầu trái dấu: f(a).f(b) < 0 ⇒ ∃ c ∈ (a, b) : f(c) = 0 Chuù ý: Không thể thay đoạn bằng khoảng! Hàm y = f(x) liên tục . NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - α, β. VIÊN) VÔ CÙNG BÉ -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -( )0lim0=→xxxαĐại