Giáo trình bộ môn toán ứng dụng Vô cùng lớn - vô cùng bé liên tuc

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-------------------------------------------------------------------------------------
TOÁN 1 HK1 0708
•
BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN. LIÊN TỤC (SINH
VIÊN)


VÔ CÙNG BÉ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( )
0lim
0
=
→
x
xx
α
Đại lượng α(x) – vô cùng bé (VCB) khi x → x
0
:
VCB cơ bản (x → 0): Lượng giác
( )
xxxx tg,cos1,sin
−=
α
Mũ, ln:
( )
xe
x

+−
1ln,1
Lũy thừa:
( )
131:VD.11
−+−+
xx
α
x
0
: Không quan trọng. VCB x → ∞:
x
1
VCB x → 1: sin(x–1) …
VD:

x
xc
x
xb
x
a
xxx
πππ
sinlim/sinlim/sinlim/
00
∞→→→
α(x), β(x) – VCB khi x → x
0

⇒ α(x) ± β(x) , α(x)β(x): VCB
⇒ C(x)α(x): VCB
α(x) VCB, C(x) bò chặn
BT:
( )
xx
x
sin1sinlim
−+
∞→

SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
α(x), β(x) – VCB, x → x
0
và ∃
( )
( )
c
x
x
xx
=
→
β
α
0
lim
⇒ So sánh được
VD: So sánh VCB:

xxx tg,cos1,sin
−
1/ c = 0 : α(x) – VCB cấp cao so với β(x): α(x) = o(β(x))
2/ c = ∞: Ngược lại trường hợp c = 0 ⇒ β(x) = o(α(x))
3/ c ≠ 0, c ≠ ∞ : vô cùng bé cùng cấp
Cách nói khác: β(x) – VCB cấp thấp hơn
VCB cấp thấp: Chứa ít “thừa số 0” hơn. VD: sin
2
x, x
3
p dụng: So sánh 2 vô cùng bé x
m
, x
n
(m, n > 0) khi x → 0

VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TRỌNG)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
α(x), β(x) – VCB tương đương khi x → x
0
⇔
( )
( )
1lim
0
=
→
x
x
xx

β
α
VD: Tìm hằng số C và α để:
0,~sintg
→−
xCxxx
α
VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào
tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!)
VCB lượng giác:
0,
2
~cos1,~tg,~sin
2
→−
x
x
xxxxx
VCB mũ, ln:
( )
0,~1ln,~1
→+−
xxxxe
x
VCB lũy thừa (căn):
( )
0,~11
→−+
xxx
α

α
VD:
3
2
~21
3
x
x
+

DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
0
tgsin
lim
x
xx
x
−
→
:VD
α ~β & α
1
~ β
1
khi x → x
0
⇒ α ± α
1

~ β ± β
1

VD: Tìm
( )
xx
x
x
sin
tg21ln
lim
2
0
+
→
1/
( )
( )
xe
x
x
x
sin1
3cosln
lim/2
2
0
−
→
x có thể → x

0
bất kỳ. VD: Tìm
x
x
xx
xx






+−
−+
∞→
1
32
lim
2
2
p dụng: Dùng vô cùng bé tương đương tính giới hạn
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x

xx
xxxxxxxx
1
1
11
0000
limlim~,~
β
α
β
α
ββαα
→→→→
=⇒
Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG)
Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU)

QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
α, β – VCB khác cấp ⇒ α + β tương đương VCB cấp thấp hơn
Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: α(x), β(x) – tổng VCB khác cấp
⇒ lim α/β = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu)
VD:
( )
( )
2
3
0
1ln
2cosln

lim
x
xx
x
+
+
→
( )
xx
xxx
x
2sin
tg322sin
lim
3
22
0
+
++−+
→



≠+=
≠
++⇒






→
→
0&
iff~
,~
,~
µλβα
βα
µλ
µ
λ
βα
β
α
xxgf
axxg
axxf
Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa & Σ ≡ 0
( )
xxxx
x
xx
xx
−++
±
+∞→→
lim/2
sin
lim/1

0
( )
( )






+
−
+
→
2
0
1ln
1
1
lim
x
x
xx
x