Phương pháp giải và kỹ thuật giải phương trình_phương pháp3 potx

ðăng nhập / ðăng ký Góp ý với Onthi.com

Từ điển Anh-Việt Tra từ Gõ tiếng việt: On Off
Ôn thi
Bài tập
ðề tự luyện
Thi thử
Chuyên ñề
Danh bạ
Tin tức
Thư giãn
Diễn ñàn
Kết bạn
Download
Blog
Gia sư
Chú ý chú ý:
Xem tiếp các chuyên
ñề khác
Bàn về một dạng
phương trình
MỘT SỐ LƯU Ý KHI
GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG
GIÁC
Một số lưu ý khi giải
phương trình lượng
giác
PHƯƠNG PHÁP
THAM SỐ PHỤ
Phương pháp ñặt ẩn

phụ trong giải phương
trình vô tỷ (2)
Phương pháp ñặt ẩn
phụ trong giải phương
trình vô tỷ
HÀM SỐ HỮU TỶ
HÀM SỐ TRÙNG
PHƯƠNG
Tính ñơn ñiệu của
hàm số (2)
HÀM SỐ BẬC BA
Tính ñơn ñiệu của
hàm số
Ứng dụng ñạo hàm
trong các bài toán
tham số
Sử dụng ñạo hàm ñể
tìm giới hạn
Bài toán về tiếp tuyến
của ñường cong.
Sử dụng tính chất ñơn
ñiệu giải phương trình
chứa căn
Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT
Tác giả: nguyentatthu ñưa lên lúc: 14:17:15 Ngày 11-05-2008
I.Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số ñể giải PT-BPT-HPT:

ðịnh lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luôn ñb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm của pt
trên D : f(x)=k không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:

Giả sử phương trình f(x)=k có nghiệm x=a, tức là f(a)=k. Do f ñồng biến nên
*x>a suy ra f(x)>f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm
*x<a suy ra f(x)<f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm
Vậy pt f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm.

Chú ý:* Từ ñịnh lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến ñổi tương ñương ñưa phương trình
về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong ñó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh ñược f(x) là hàm luôn
ñồng biến (nghịch biến)
Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh ñó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm ñược nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng ñịnh lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất
nghiệm.

ðịnh lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn ñb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn
ñb)và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f ñồng biến còn g nghịch
biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn ñến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a.
*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn ñến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a.
Vậy pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.

Chú ý: Khi gặp pt F(x)=0 và ta có thể biến ñổi về dạng f(x)=g(x), trong ñó f và g khác tính ñơn
ñiệu. Khi ñó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh ñó là nghiệm duy nhất.
ðịnh lí 3:Cho hàm số y=f(x) có ñạo hàm ñến cấp n và pt có m nghiệm, khi ñó pt có nhiều nhất
là m+1 nghiệm.
ðịnh lí này là hệ quả của ðịnh lí Roll.

ðịnh lí 4: Nếu hàm số y=f(x) luôn ñồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục trên D thì

.
Góp sức duy trì onthi.com
Máy tính
Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT www.onthi.com
Một số biểu thức liên
hợp thường dùng
trong khi giải các bài
toán giới hạn
Một số dạng cơ bản
và cách giải giới hạn
dạng vô ñịnh 0/0
Sử dụng hằng ñẳng
thức giải phương trình
vô tỉ
Sử dụng tính chất của
hàm số bậc hai giải
phương trình chứa
căn.
Chuyên ñề về tích
phân
Hệ phương trình ñồng
bậc
Chuyên ñề hệ thức và
bất ñẳng thức lượng
giác trong tam giác
Kĩ thuật Cô-Si ngược
dấu

Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

.
.
.
.
Giải:
1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay ñặt ẩn phụ sẽ gặp
nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm ñồng biến
và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo ñịnh lí 1 ta có ñược x=1 là nghiệm duy nhất.
Vậy ta có cách giải như sau.
ðK:
Xét hàm số , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và
nên hàm số f(x) luôn ñồng biến.
Mặt khác, ta thấy f(1)=4
*Nếu x>1 suy ra f(x)>f(1)=4 nên pt vô nghiệm
*Nếu x<1 suy ra f(x)<f(1)=4 nên pt vô nghiệm
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình ñã cho.

Chú ý:* vì các hàm số y=ax+b với a>0 là một hàm ñồng biến và nếu f(x) là hàm ñồng biến thì
hàm ( với ñiều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm ñồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra
VT của pt là hàm ñồng biến.
* Khi dự ñoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận
giá trị là số chính phương.

2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến ñổi tương ñương hay ñặt ẩn phụ sẽ gặp khó
khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm ñồng biến và pt có
nghiệm x=1. Do ñó pt này có nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1)
3) Với ñường lối như hai bài trên thì ta khó khăn ñể giải quyết ñược bài toán này. Tuy nhiên
nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là
x+2=(x+1)+1 và 2x^2+1=(2x^2)+1, do vậy nếu ñặt thì phương trình ñã
cho trở thành:

, trong ñó là một hàm liên tục và có
nên f(t) luôn ñồng biến. Do ñó
Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2.
4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:
, do vậy nếu ñặt
, khi ñó phương trình trở thành:
, trong ñó với t>0 . Ta
thấy f(t) là hàm liên tục và ñồng biến, do vậy
.

Có nhiều phương trình ñể giải nó ta dự ñoán ñược một số nghiệm và sau ñó ta chứng minh ( dựa
vào ñịnh lí 3) số nghiệm của phương trình không vượt quá số nghiệm ta vừa dự ñoán. Ta xét ví
dụ sau
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
.
.
Giải:
1) Ta thấy pt có hai nghiệm x=0 và x=1. Ta chứng minh phương trình ñã cho có không quá hai
nghiệm. ðể có ñiều này ta cần chứng minh hàm số có
g''(x)>0 (vì khi ñó theo ñ/l 3 suy ra g'(x) có nhiều nhất một nghiệm dẫn ñến g(x) có nhiều nhất
Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT www.onthi.com
hai nghiệm), ñiều này luôn ñúng vì
Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.

2) ðk: x>-1/2.
, trong ñó là hàm liên tục và ñồng biến. Do ñó

Xét hàm số , ta có: , suy ra pt
g’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn ñến pt g(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy x=0 và
x=1 là hai nghiệm của pt g(x)=0

nên phương trình ñã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất
.
Giải:
ðể chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau
* Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm: ðể chứng minh ñiều này, ta cần chứng
chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b)<0
* Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Trở lại bài toán:
Xét hàm số .Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2)<0, dẫn ñến
pt f(x)=0 luôn có nghiệm
Giả sử là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi ñó . Từ ñây ta
suy ra ñược . Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x>=1
Ta có nên f(x) là hàm ñồng biến.
Vậy phương trình ñã cho luôn có nghiệm duy nhất.

Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có ñược f(x) là hàm ñồng
biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác ñịnh của x. ðiều này ta có ñược là nhờ vào bản thân của
phương trình.
*ðể chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác ñó là khảo
sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra ñược ñồ thị của hàm f(x)
chỉ cắt Ox tại một ñiểm.

Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính ñơn ñiệu vào giải một số dạng toán về
phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ ñó hi vong các em có
thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng ñược những dạng phương trình nào có thể
dùng ñồng biến, nghịch biến . Bây giờ ta ñi xét một số bài toán về Bất Phương trình.

Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:

.
.

Giải:
1) ðK: .
Xét hàm số
Ta dễ dàng chứng minh ñược f(x) là hàm nghịch biến và f(1)=6.
Do ñó
Kết hợp với ñiều kiện ta có nghiệm của Bpt là: .
2) ðK: .
Xét hàm số , ta có
suy ra f(x) là hàm ñồng biến
Mặt khác:
Do vậy Bpt
Kết hợp ñiều kiện ta có nghiệm của Bpt là

Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT www.onthi.com

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

Giải:
Từ (2) ta suy ra ñược |x|,|y|<=1.
, trong ñó
với |t|<=1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1]
nên . Thay x=y vào (2) ta có ñược
là ngiệm của hệ ñã cho.

Ví dụ 6: Giải hệ pt: .

Giải: Từ pt(1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số

Từ (2) và (3) ta có :
(vì hàm số f(t)=sint-3t là hàm liên tục và nghịch biến trên
.)
Thay x=y vào (2) ta ñược nghiệm của hệ là: .

Chú ý: *Qua hai ví dụ trên ta thấy cả hai cùng chung một phương pháp, là một phương trình của
hệ có dạng f(x)=f(y), dẫn ñến ta khảo sát tính ñơn ñiệu của hàm số f(t)
* Một chú ý khi sử dụng tính ñơn ñiệu là chúng ta chỉ có ñược
khi f(t) liên tục và ñơn ñiệu

Ví dụ 7:Giải hệ phương trình: .

Giải: ðặt t=2x-y. Khi ñó (1) trở thành:
(*)
Ta thấy vế trái (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm ñồng biến và t=1 là một nghiệm của (*).
Do vậy (*) có nghiệm duy nhất t=1
t=1 hay 2x=y+1, thay vào (2) ta ñược: (Vì hàm
là hàm liên tục và ñồng biến, ñồng thời f(-1)=0).
Vậy nghiệm của hệ là:(x;y)=(0;-1).

Ví dụ 8: Giải hệ: .
.
Giải: Xét hàm số
Khi ñó hệ có dạng : .
ta có: nên f(t) là hàm ñồng biến
Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ và x=Max{x,y,z} khi ñó, ta suy ra
Vậy , thay vào hệ ta ñược phương trình:
. Ta dễ dàng chứng minh ñược phương trình này có nghiệm duy
nhất x=1
Vậy x=y=1 là nghiệm của hệ ñã cho.

Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT www.onthi.com
Bài 2: Giải các bất phương trình sau


Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Bài 4: Giải và biện luận phương trình

Nguyễn Tất Thu (các bạn có thể tham khảo thêm tại />



Lưu ý tất cả các thành viên khi tham gia diễn ñàn onthi.com: Chỉ ñưa lên diễn ñàn các tài liệu do mình sở hữu hoặc ñược sự cho phép của chủ sở
hữu. Các ñơn vị phát hiện thấy nội dung do các thành viên ñưa lên onthi.com là sở hữu của mình mà không ñược phép xin liên hệ với ban quản trị
ñể chúng tôi kịp thời gỡ bỏ
Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT www.onthi.com

Giới thiệu onthi.com
© 2008 Sáng lập bởi: Nguyễn Duy Phi và Bùi Minh Mẫn. Phát triển bởi các thành viên
(Email:duyphian[at]yahoo.com Mobile:0936132468)
Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT www.onthi.com