SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ TÌM DAO ĐỘNG CỦA CÁC MÀNG CÓ HÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT pdf

1
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ TÌM DAO ĐỘNG CỦA CÁC
MÀNG CÓ HÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT

Nguyễn Thị Minh, Phạm Hữu Kiên
Khoa Vật l ý trường Đại học Sư pham Thái Nguyên

Tóm
tắt: Phương pháp tách biến Fourier đã được sử dụng để nghiên cứu dao động của các
màng có hình dạng đặc biệt. Hai bài toán dao động tổng quát của màng chữ nhật và màng tròn đã
được đưa ra như một ví dụ minh hoạ về tính hiệu quả và đơn giản của phương pháp tính toán này khi
giải các bài toán vật lý có liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng. Trong nghiên cứu này
chúng tôi đã trình bày lời giải chi tiết về dao động của màng chữ nhật và màng tròn. Kết quả tìm đượ
c
cũng được chúng tôi thảo luận và nhận xét tương đối đầy đủ trong công trình này.

1. Giới thiệu
Dao động tự do của các vật có hình dạng đặc biệt (vuông, chữ nhật, tròn và quạt…) đã
được nghiên cứu, tính toán bằng nhiều phương pháp khác nhau. Nhưng đơn giản và hiệu quả
hơn cả là đưa bài toán về dạng các phương trình vi phân đạo hàm riêng, sau đó sử dụng các
công cụ toán học để giải các phương trình vi phân này như: biến đổi ảnh Laplace, tách biến
Fourier, Mặc dù, đã có rất nhiều giáo trình viết về những phương pháp và kết quả tính toán
đối với các dạng dao động này. Xong trên thực tế những giáo trình này vẫn chưa được giảng
dạy phổ biến và có tính chất hệ thống tại các trường Đại học ở Việt Nam. Tuy nhiên, những
vấn đề này lại thu hút được sự quan tâm rất lớn của những nhà nghiên cứu về Vật lý lý thuyết
cũng như các bạn Sinh viên khoa Vật lý ở các trường Đạ
i học Sư phạm. Vì vậy, với mong
muốn tìm hiểu, trang bị những kiến thức bổ ích, chúng tôi đã lựa chọn hướng nghiên cứu “Sử
dụng phương pháp tách biến Fourier để tìm dao động của các màng có hình dạng đặc biệt”.
V

V
ớ
ớ
i
i


m
m
o
o
n
n
g
g


m
m
u
u
ố
ố
n
n


t
t
ì

ì
m
m


l
l
ờ
ờ
i
i


g
g
i
i
ả
ả
i
i


c
c
h
h
o
o

c
c
á
á
c
c


b
b
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n


d
d
a

a
o
o


đ
đ
ộ
ộ
n
n
g
g


t
t
ự
ự


d
d
o
o


c
c
ủ

ủ
a
a


c
c
á
á
c
c


l
l
o
o
ạ
ạ
i
i


m
m
à
à
n
n
g

g


c
c
ó
ó


h
h
ì
ì
n
n
h
h


d
d
ạ
ạ
n
n
g
g


đ

đ
ặ
ặ
c
c


b
b
i
i
ệ
ệ
t
t
,
,


c
c
h
h
ú
ú
n
n
g
g

t
t
ô
ô
i
i


đ
đ
ã
ã


s
s
ử
ử


d
d
ụ
ụ
n
n
g
g

p
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g


p
p
h
h
á
á
p
p


t
t
á
á
c

c
h
h


b
b
i
i
ế
ế
n
n


F
F
o
o
u
u
r
r
i
i
e
e
r
r

đ
đ
ể
ể


t
t
ì
ì
m
m


n
n
g
g
h
h
i
i
ệ
ệ
m
m


c

c
ủ
ủ
a
a


c
c
á
á
c
c


p
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g


t

t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


v
v
i
i


p
p
h
h
â
â
n
n


đ
đ
ạ

ạ
o
o


h
h
à
à
m
m


r
r
i
i
ê
ê
n
n
g
g


m
m
ô
ô

t
t
ả
ả


d
d
a
a
o
o


đ
đ
ộ
ộ
n
n
g
g


c
c
ủ
ủ
a

a


m
m
à
à
n
n
g
g


t
t
r
r
ê
ê
n
n
.
.
K
K
ế
ế
t
t

q
q
u
u
ả
ả


t
t
í
í
n
n
h
h


t
t
o
o
á
á
n
n


đ

đ
ư
ư
ợ
ợ
c
c
,
,


c
c
h
h
ú
ú
n
n
g
g


t
t
ô
ô
i
i

đ
đ
ã
ã


t
t
h
h
ả
ả
o
o


l
l
u
u
ậ
ậ
n
n


v
v
à

à


n
n
h
h
ậ
ậ
n
n


x
x
é
é
t
t


r
r
ấ
ấ
t
t


r

r
õ
õ


r
r
à
à
n
n
g
g
.
.


C
C
h
h
ú
ú
n
n
g
g


t

t
ô
ô
i
i


h
h
y
y


v
v
ọ
ọ
n
n
g
g


r
r
ằ
ằ
n
n
g

g


n
n
g
g
h
h
i
i
ê
ê
n
n


c
c
ứ
ứ
u
u


n
n
à
à
y

y


c
c
ó
ó


t
t
h
h
ể
ể


l
l
à
à
m
m


t
t
à
à
i

i


l
l
i
i
ệ
ệ
u
u


t
t
h
h
a
a
m
m


k
k
h
h
ả
ả
o

o


t
t
ố
ố
t
t


c
c
h
h
o
o


S
S
i
i
n
n
h
h


v

v
i
i
ê
ê
n
n


đ
đ
ã
ã


v
v
à
à


đ
đ
a
a
n
n
g
g

t
t
h
h
e
e
o
o


h
h
ọ
ọ
c
c


V
V
ậ
ậ
t
t


l
l
ý

ý


ở
ở


c
c
á
á
c
c


t
t
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g


Đ

Đ
ạ
ạ
i
i


h
h
ọ
ọ
c
c


S
S
ư
ư


p
p
h
h
ạ
ạ
m
m
,

,


Đ
Đ
ạ
ạ
i
i


h
h
o
o
c
c


K
K
h
h
o
o
a
a


h

h
ọ
ọ
c
c


T
T
ự
ự


n
n
h
h
i
i
ê
ê
n
n


v
v
à
à

H
H
ọ
ọ
c
c


v
v
i
i
ê
ê
n
n


ô
ô
n
n


t
t
h
h
i

i


C
C
a
a
o
o


h
h
ọ
ọ
c
c
…
…
.
.


2
2
.
.


P

P
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g


p
p
h
h
á
á
p
p


t
t
í
í
n
n
h

h


t
t
o
o
á
á
n
n


Chúng tôi đã sử dụng phương pháp tách biến Fourer để tính toán trong quá trình nghiên
cứu. Giả sử tìm nghiệm phương trình [1-3]:

2
()
,, 2
, ,
tt
UauGxyzt−Δ= , (1)
nghiệm thoả mãn phương trình vi phân (1), được tìm bằng cách phân tích hàm
()
, , , Uxyz t

thành tích các hàm chứa các biến độc lập với nhau, cụ thể là chúng ta đặt:
()
() ( ) ( ) ()
, , , ,

txyz
Uxyz t TX YZ=⋅⋅⋅ (2)
sau đó thay phương trình (2) vào phương trình (1), kết hợp với điều kiện biên và điều kiện
ban đầu sẽ tìm được nghiệm của bài toán.
Cụ thể chúng tôi xét chuyển động dao động của một màng mỏng được căng ra trên mặt
phẳng (x,y), các dao động chuyển động ngang vuông góc với mặt phẳng của màng dưới sự tác
dụng của ngoại lực (hình 1) [1-3, 13].
Đưa vào các đại lượng sau:
()
,,UUxyt= là đại lượng mô tả dao động ngang của màng tại (,,)
x
yt
ρ
là mật độ khối lượng trên một đơn vị diện tích của màng.
T là sức căng tính trên một đơn vị diện tích.
()
,,wwxyt= là ngoại lực tác dụng tính trên một đơn vị diện tích.
()
,,
e
F
wxyt xy=ΔΔ
là ngoại lực tác dụng lên yếu tố diện tích
x
y
Δ
Δ .
d
u
Fxy

t
β
∂
=ΔΔ
∂
là lực hãm hay lực tắt dần tỷ lệ với vận tốc dao động trên yếu tố diện
tích
x
yΔ⋅Δ,
β
là hệ số tắt dần.















Hình 1. Dao động của màng
U(x,y,z)
y
X

u
x

3

Xét độ dịch chuyển nhỏ, trong đó các góc
1
α
,
2
α
,
1
β
,
2
β
là nhỏ và tổng các lực tác dụng
lên yếu tố của màng theo hướng
x
và
y
là hình chiếu của sức căng lên mặt phẳng, ta có:
22
T
os =
1+tg
1
o
T

Tc T T
u
x
α
α
≅
≈≡
∂
⎛⎞
+
⎜⎟
∂
⎝⎠

21
os os
o
Tc Tc T
α
α
==,
21
os os
o
Tc Tc T
β
β
=
= .
Áp dụng định luật II-Newton, lấy tổng các lực theo hướng vuông góc với yếu tố của

màng:

()()
()
2
21 21
22
sin sin sin sin
,, .
u
xy Ty Tx
t
u
wxyt xy xy
t
ρ
αα ββ
β
∂
ΔΔ = Δ − + Δ −
∂
∂
+ΔΔ−ΔΔ
∂
(3)
Chú ý rằng:
2
22
x
sin ; 0

xx
1
u
1+
x
u
tg u u
tg
α
α
α
∂
∂∂
⎛⎞
∂
=≈ ≈ ≈
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
+
∂
⎛⎞
⎜⎟
∂
⎝⎠
,
do đó, ta có:
()
21
u

sin sin , , , , ;
x2 x2
o
xux
Ty T y x yt x yt
αα
⎡
∂Δ ∂Δ⎤
⎛⎞⎛⎞
Δ−=Δ+ −−
⎜⎟⎜⎟
⎢
⎥
∂∂
⎝⎠⎝⎠
⎣
⎦

()
21
sin sin , , , , .
y2 2
o
uyuy
Tx T x xy t xy t
y
ββ
⎡
⎤
∂Δ∂Δ

⎛⎞⎛⎞
Δ−=Δ +−−
⎜⎟⎜⎟
⎢
⎥
∂∂
⎝⎠⎝⎠
⎣
⎦

/2
y
y
−
Δ /2
y
y+Δ
1
β

2
β

Tx
⋅
Δ
Tx
⋅
Δ
x

/2
x
x−Δ

/2
x
x+Δ

1
α

2
α

Ty⋅Δ

Ty⋅Δ
Hình 2. Hình chiếu của các lực tác dụng lên yếu tố màng

4
Chia hai vế phương trình (3) cho
o
Txy
Δ
Δ , rồi lấy giới hạn khi 0x
Δ
→ , ta được phương
trình:
()
22 2

22 2
1
,,
oo
uu u u
wxyt
x
yT T t t
ρβ
ρ
⎛⎞
∂∂ ∂ ∂
++ = +
⎜⎟
∂∂ ∂ ∂
⎝⎠
,
hay
()
22 2
22 22
11
,,
o
uu u u
wxyt k
x
yT a t t
⎛⎞
∂∂ ∂ ∂

++ = +
⎜⎟
∂∂ ∂ ∂
⎝⎠
, (4)
trong đó:
2
;
o
T
ak
β
ρ
ρ
==
Phương trình (4) gọi là phương trình dao động của màng.
Xét các trường hợp đặc biệt:
●Trường hợp 1: Cho 0, 0
w
β
==, thu được phương trình sóng hai chiều
22 2
2222
1uu u
x
yat
∂∂ ∂
+=
∂∂ ∂
. (5)

●Trường hợp 2: Dao động của màng trong trạng thái dừng, suy ra phương trình
Poison:
()
22
22
1
,.
o
uu
wxy
xy T
∂∂
+=−
∂∂
(6)
Gọi C là đường cong kín, nó là biên của màng nằm trên mặt phẳng
()
,
x
y , gọi n
r
là
vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài đường cong trên biên. Điều kiện biên của dao động
của màng có các dạng sau:
Điều kiện biên Dirichlet được gọi là điều kiện biên gắn chặt
()
(
)
,
,, ,

xy c
Uxyt fxy
∈
= . (7)
Điều kiện biên Neumann được gọi là điều kiện biên tự do
()
,
,
xy c
u
gradu n f x y
n
∈
∂
==
∂
r
. (8)
Điều kiện hỗn hợp bao gồm cả điều kiện biên gắn chặt và điều kiện biên tự do, có dạng
() ()
()
1
2
,
,
,, ,
.,
xy c
xy c
uxyt f xy

u
gradu n g x y
n
∈
∈
⎧
=
⎪
⎨
∂
==
⎪
∂
⎩
r
(9)
Điều kiện ban đầu dao động của màng là hình dạng ban đầu và vận tốc ban đầu của
mọi điêm trên bề mặt của màng khi
0t
=
, có dạng:
()()
()
()
,, ,
,,0
,
uxyo f xy
uxy
gxy

t
⎧
=
⎪
⎨
∂
=
⎪
∂
⎩
(10)

5
3. Kết quả và thảo luận
Vận dụng các phương pháp tính toán được trình bày trong mục 2, chúng tôi đã đưa ra
lời giải tương đối chi tiết hai bài toán dao động tổng quát có hình dạng đặc biệt chữ nhật và
màng tròn. Từ các kết quả thu được, chúng tôi đã đưa ra những nhận xét về mặt vật lý, trên cơ
sở đó giải thích một vài hiện tượng quan sát trong thực tế.
Bài toán thứ nhất: Tìm dao động ngang của màng chữ nhật
1
0
x
L
≤
≤ ,
2
0
y
L≤≤ có các mép
gắn chặt, với điều kiện biên ban đầu:

(
)
(
)
(
)
12
,,0 AxyLuxy x L y
=
−−;
()
,,0 0
t
uxy = [1-3, 7].










Bài toán trở thành tìm nghiệm của phương trình vi phân hai biến:
2
()
tt xx yy
uauu=+
, (11)

thoả mãn các điều kiện biên:
12
0x=L 0
0
xyyL
uuuu
===
=
== =, (12)
và điều kiện ban đầu:
()
(
)
(
)
(
)
12
,,0 AxyL , ,,0 0.
t
uxy x L y u xy=−− = (13)
Hàm dao động xác định trong khoảng
1
0
x
L
≤
≤ ,
2
0

y
L
≤
≤ .
Dao động của màng chữ nhật này có dạng như sau:

() () ()
()
(
) ()
00
12
21 2 1
, , cos sin sin sin
mn nm mn mn
mn
nx my
uxyt A a t B a t
LL
π
π
λλ
∞∞
==
++
=+
∑∑
,
từ điều kiên ban đầu (12) xác định được các hệ số
,mn mn

A
B , ta có :

()
()
()
12
22
12 1 2
00
n
,,
4
,sin sin
X
LL
nm
mn
m
fX Y
nn
Afdd
LL L L
Y
πξ πη
ξ
ηξη
==
∫∫
.

()()
(
)
(
)
12
12
12 1 2
00
21 2 1
4
Axy L L sin sin
LL
mn
nx my
Axx dxdy
LL L L
ππ
++
=−−
∫∫

()
(
)
()
(
)
12
12

12 1 2
00
21 2 1
4
sin sin
LL
nx my
x
Lx dxyL y dy
LL L L
ππ
++
=− −
∫∫
12
12
4A
LL
=ΙΙ,
O
y
x
2
L
1
L
Hình 3. Dao động của màng chữ nhật

6
tính

1
Ι , áp dụng tích phân từng phần

()
()
()
()
()
()
()
1
1
1
11
11 1
11
0
0
1
1
1
0
21 21
cos ( 2 )cos
21 21
21
(2)cos
21
L
L

L
nx nx
LL
x
Lx L x dx
nLn L
nx
L
Lx dx
nL
ππ
ππ
π
π
++
Ι=− − + −
++
+
=−
+
∫
∫

Áp dụng tích phân từng phần, ta có:
()
()
()
()
()
1

1
22
11
11
22
22
11
0
0
21 21
2
2sin sin
21 21
L
L
nx nx
LL
Lx dx
LL
nn
ππ
ππ
++
Ι= − +
++
∫

()
3
1

3
3
4
21
L
n
π
=
+

tương tự, áp dụng tích phân từng phần, ta có:

()
()
2
22
2
0
21
sin
L
my
yL y
L
π
+
Ι= −
∫
()
3

2
3
3
4
21
L
m
π
=
+

Như vậy:
()( )
33
12
33
3
64
212 1
mn
AL L
A
nm
π
=
++
và 0
mn
B
=

.
Như vậy, dạng dao động cụ thể của màng chữ nhất là:

()
(
)
(
)
()( )
()()
22
12 1 2
33
6
,0
22
22
12
21 2 1
sin sin
64
,,
212 1
2n+1 2m+1
os at .
LL
mn
nx my
AL L L L
uxyt

nm
c
ππ
π
π
∞
=
++
=× ×
++
⎧
⎫
⎪
⎪
×+
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩⎭
∑
(14)
Từ kết quả tính được trong biểu thức (14), chúng tôi có một số nhận xét về mặt Vật lý
như sau:
Biểu thức (14) mô tả dao động tự do của màng chữ nhật, vì hàm
()
,,uxyt
khả vi hai lần
theo t , hai lần theo
x

, hai lần theo
y
và thoả mãn phương trình vi phân (11) cùng với các
điều kiện biên (12) và điều kiện ban đầu (13).
Mọi điểm ( , )
x
y đều dao động điều hoà với biên độ

(
)
(
)
()( )
22
12 1 2
33
6
,0
21 2 1
sin sin
64
212 1
mn
nx my
AL L L L
nm
π
π
π
∞

=
++
×
++
∑

với tần số dao động riêng:
()()
22
22
12
21 2 1nm
a
LL
ωπ
++
=+
.

7
Nếu
0mn==, biên độ dao động là
22
12
6
12
64
sin sin
AL L
x

y
LL
π
π
π
, các điểm trên biên đều bất
động, khi đó ta nói biên của màng là đường nút. Do
12
0,0
x
LyL
≤
≤≤≤ nên các hàm
12
sin sin 0
xy
LL
π
π
≥
, các điểm của màng đều nằm về phía này hay phía kia của mặt phẳng oxy .
Độ lệch lớn nhất đạt được tại
1
2
L
x
=
và
2
2

L
y =
. Đó là tâm của màng. Đó là điểm
bụng của sóng đứng.
Nếu
1, 0nm== biên độ dao động là
12
6
12
64 3
sin sin
27
AL L
x
y
LL
π
π
π
, các điểm (, )
x
y của
màng mà
1
0
2
L
x<<
và
2

0
y
L<< có biên độ dao động âm, các điểm
(, )
x
y
của màng mà
1
1

2
L
x
L<<
và
2
0
y
L<< có biên độ dao động dương. Do đó nửa trái và nửa phải của màng
trong quá trình dao động luôn uốn về hai phía trái nhau. Độ lệch lớn nhất đạt được tại hai
điểm
12 12
3
,; ,
42 4 2
LL LL
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
.

Nếu
0, 1nm==
, các đường nút là
2
12
0; , 0, ,
2
L
x
xLy y yL
=
=== = và hai điểm bụng
là
12 1 2
3
,;,
24 2 4
LL L L
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
.
Bài toán thứ hai: Khí lý tưởng choán đầy giữa hai mặt cầu đồng tâm
1
r
S và
2
r
S (Hình 4). Bán
kính của mặt cầu bên trong

1
r
S thay đổi thêo quy luật:
()
121
sin , ,0 ,rt r t t r r
εω ε
=+ −∞<<+∞<<− còn bán kính mặt cầu bên ngoài
2
r
S không đổi.
Tìm dao động của chất khí giữa các mặt cầu [2, 3, 14].
Gọi
()
,urt là thế vận tốc của các hạt khí lý tưởng.Phương trình dao động của khí lý
tưởng có dạng:
22
2
22
2uuu
a
trrr
⎛⎞
∂∂∂
=+
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
, (15)
với các điều kiện ban đầu:

()
121
sin , ,0 ,rt r t t r r
εω ε
=+ −∞<<+∞<<− (16)
và điều kiện biên:
12
cos , 0.
rr rr
uu
t
rr
εω ω
==
∂∂
==
∂∂
(17)


8






Thế vận tốc
(
)

,urt của các hạt khí lý tưởng mô tả dao động điều hoà được thiết lập với
tần số
ω
. Bằng phương pháp tách biến, đặt:

() ()
,cosurt Rr t
ω
= . (18)
Thay (18) vào (15) ta có phương trình:

(
) ()
()
2
2
22
2
0
dR r dR r
Rr
dr r dr a
ω
++=. (19)
Phương trình (19) có dạng là phương trình Betsen, có các tính chất sau:

() ( )
()
2
0

2
0
2
1,
!
m
m
m
x
Jx
m
∞
=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=−
∑


() ( )
()( )
21
1
0
2
1,
!1!
m
m

m
x
Jx
mm
+
∞
=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=−
+
∑


() ()
01
0
,
x
JdxJx
ξξξ
=
∫


() ()
10
,Jx Jx
′

=−

() ()
()
()
23
00 1
0
24.
x
Jd xJxxxJx
ξξξ
=+−
∫

1
r
2
r
Hình 4. Khí lý tưởng choán đầy giữa hai mặt cầu đồng tâm

9
Sử dụng các tính chất của hàm Betsen và các điều kiện (16), (17) chúng ta xác định
được:
()
() ()
22 22
22
12 12
12 12

11
2cos sin 2cos sin
cos sin
aa
11 11
cos cos
rr rr
rr
aa
ar a ar a
aa
Rr
rr rr
rr
rr a rr a
ωω ωωωω
ω
ω
εε
ωω
⎛⎞⎛⎞
−−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
=+
−−
⎛⎞ ⎛⎞
−−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Như vậy, dao động của chất khí giữa các mặt cầu:
()
()
()
22
2
12
12
22
2
12
12
1
2cos sin
cos
a
11
cos
,cos.
1
2cos sin
sin
a
11
cos
rr
r
a
ar a

a
rr
r
rr a
urt t
rr
r
a
ar a
a
rr
r
rr a
ωωω
ω
ε
ω
ω
ωωω
ω
ε
ω
⎧⎫
⎛⎞
−
⎪⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎪⎪
+

⎪⎪
−
⎛⎞
−
⎪⎪
⎜⎟
⎪⎝ ⎠ ⎪
=
⎨⎬
⎛⎞
⎪⎪
−
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠
⎪⎪
+
−
⎛⎞
⎪⎪
−
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠
⎩⎭
(20)
Từ kết quả tính được, theo trong biểu thức (20) chúng tôi có một số nhận xét về mặt Vật
lý như sau:
Dao động của chất khí giữa các mặt cầu là một dao động điều hoà với biên độ:
()

() ()
22 22
22
12 12
12 12
11
2cos sin 2cos sin
cos sin
aa
11 11
cos cos
rr rr
rr
aa
ar a ar a
aa
Rr
rr rr
rr
rr a rr a
ωω ωω
ωω
ω
ω
εε
ωω
⎛⎞⎛⎞
−−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

=+
−−
⎛⎞ ⎛⎞
−−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

và tần số góc dao động là
ω
.
Khi
r càng lớn thì
()
R
r càng giảm, điều này chứng tỏ các điểm càng xa tâm màng thì
dao động cáng nhỏ và đến biên màng thì đứng yên.

4. Kết luận
Nghiên cứu này đã thu được một số kết quả sau:
i) Đã trình bày một cách có hệ thống và lôgic phương pháp tách biến Fourier và sử dụng
phương pháp này để tìm các phương trình dao động tổng quát và dao động cụ thể (Biết điều
kiện và điều kiện ban đầu) của màng chữ nhật và tròn.

10
ii) Từ những kết quả tính toán được, chúng tôi có những thảo luận và nhận xét quan
trọng về mặt Vật lý của bài toán. Vấn đề tiếp theo là nghiên cứu và tính toán sự truyền nhiệt
trong các màng chữ nhật và tròn.

Lời cảm ơn
Để hoàn thành bản đề tài này, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô cùng

toàn thể các bạn Sinh viên trong Khoa lý đã trao đổi và động viên chúng tôi.

11
Tài liệu tham khảo
[1] Đỗ Đình Thanh, Phương pháp toán lý, NXBGD, 2002.
[2] Phan Huy Thiện,
Phương trình toán lý, NXBGD, 2007.
[3] Phan Huy Thiện,
Tuyển tập bài tập phương trình toán lý, NXBGD, 2008.
[4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh,
Toán cao cấp tập 1. NXBGD,
1997.
[5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh
, Toán cao cấp tập 2. NXBGD,
1997.
[6] Nguyễn Đình Trí- Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh,
Toán cao cấp tập 3. NXBGD,
1997.
[7] Vũ Thị Kim Liên, Phạm Hữu Kiên,
Bài tập toán Cho Vật lý, Thái Nguyên, 2009.
[8] Phạm Hữu Kiên,
Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Thái Nguyên, 2003.
[9] Phạm Hữu Kiên,
Luận văn tốt nghiệp Cao học, Hà nội, 2006
[10] Đào Văn Phúc,
Điện động lực, NXBGD,1984
[11] Đỗ Thị Liên,
Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Thái Nguyên, 2008
[12] Phạm Đức Long,
Đề tài nghiên cứu khoa học, Thái Nguyên, 2009.
[13] Nguyễn Thị Thu Hằng,
Đề tài nghiên cứu khoa học, Thái Nguyên,2009.

[14] Phạm Hữu Kiên, Nguyễn Thị Thu Hằng,
Tạp chí khoa học và công nghệ ,số 2(50), năm
2009 trang 43-47.

[15] Nguyễn Thi Bảo Ngọc,
Dao động sóng, NXBĐHQGHN, 1996.