CÁC bài TOÁN bất ĐẲNG THỨC HÌNH 7

CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
BÀI 1: Cho hình chữ nhật ABCDvới AB = 2AD ,M là trung điểm của đoạn AB.Trên AB lấy
H sao cho
Ð
ADH = 15
0
.Hai đường thẳng CH và DM cắt nhau tại K.Hãy so sánh độ các
đoạn thẳng DH và DK
LỜI GIẢI :


Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ là đường thẳng DH dựng tam giác đều DHN .Gọi Q là trung
điểmDC ta có :
AD = DQ = QC

0
15ADH QDN= =Ð Ð
DH = HN (
∆
DHN đều )
0 0
90 90( . . ) ( . . )ADH QDN c g c NQD HAD NQC NQD NQC c g c= = = = =Þ D D Þ Ð Ð Þ Ð Þ D D
0 0 0 0 0
15 180 15 15 150( )NCQ NDQ DNC= = = - + =Þ Ð Ð Þ Ð
Từ đó suy ra
CDCHcgcDNCHNCHNC =⇒∆=∆⇒=+−=∠ ) (150)15060(360
0000
Tức là
∆
CHD cân tại C .Mà
0000

75751590 =∠=−=∠ DHCnênHDC
(1)
Do tam giác ADM vuông cân tại A nên
0000
30154545 =−=∠=∠ HDMSuyraADM
(2)
Xét tam giác DHK từ (1) và (2) suy ra
0
75=∠HKD
(3)
Từ (1) và(3) suy ra tam giác DHK cân tại D Tức là DH = DK
BÀI2 :Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm O trong tam giác sao cho
AOCAOB
∠<∠

So sánh độ dài của OB và OC
Cách 1:
Kẻ đường cao AH, nếu điểm O thuộc AH
Thì dễ thấy OB =OC và
AOB AOC=Ð Ð
Trái giả thiết .
1
Gỉa sử tia AO nằm trong góc BAH và CO cắt AH tại M nối BM .ta có OC = OM + MC
= OM + MB > OB từ đó suy ra
OCB OBC<Ð Ð
suy ra :

ACO ACB OCB ABC OBC ABO= - > - =Ð Ð Ð Ð Ð Ð
(1)
Ta có

CAO CAH BAH BAO> = >Ð Ð Ð Ð
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
0 0
180 180 0( ) ( )AOB ABO BAO AC CAO AOC= - + > - + =Ð Ð Ð Ð Ð Ð
.
Điều này trái giả thiết .
Vậy tia AO phải nằm trong góc CAH .Lập luận tương tự ta có OB> OC và
AOB AOC<Ð Ð
Vậy
AOB AOC OB OC< >Ð Ð Û
Cách 2: Vẽ tia AD sao cho <DAC =<BAO và AD = AO (B, D khác phía với AC.
Ta có tam giác ABO và tam giác ACD bằng nhau( c.g.c) =>OC =OB và <AOB =<ADC
Từ AO = AD => Tam giác AOD cân ở A => <AOD =<ADO.
Mà <AOB < <AOC nên< COD < <ODC=>OC < OD => OC < OB.
BÀI3 : cho tam giác ABC vuông cân tại A .Gọi M là trung điểm BC ,G là điểm thuộc cạnh
AB sao cho AB = 3AG,Elà chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG.Các đường thẳng MG
và AC cắt nhau tại D.So sánh độ dài DE và BC.
LỜI GIẢI :

Trên tia CA lấy điểm D’ sao cho Alà trung đểm của CD’ thì 2 đường trung tuyến BAvà D’M cắt
nhau tại G với 3AG = AB do đó điểm D’
º
D .Mặt khác BA
^
DC nên
BDCD
vuông cân tại B
.Do
0

45BCD BDCvuông=Ð Þ D
cân tại B. Do đó BD = BC (1)
Gọi N là giao đểm của CG và BD .Vì G trọng tâm
BDCD
Nên N là trung điểm của BD
Từ đó BN = CM = BM . Hạ BK
^
NC Thì KM =BM = CM vì
KCMD
cân tại M nên
KE = CE (2)
Lại có
BNK CME=Ð Ð
( Cùng phụ với
)BCNÐ
Suy ra
BNK CME NBK MCE= =D D Þ Ð Ð

Và BK = CE (3) Từ (2) và (3) suy ra KE = KB
Nên
BKED
là tam giác vuông cân tại K do đó
0
45BEK BEM= =Ð Ð
.
Hai tam giác BKDvà CEB Có
DBK BCE=Ð Ð
Và BK = CE , BD = CB do đó
0
135BKD CEB DKB BEC= = =D D Þ Ð Ð

Suy ra
( . . )DKB DKE c g c DB DE= =D D Þ
(4)
Từ (1) và (4) suy ra DB = DE
BÀI 4 :
Cho tam giác ABC với
0
36ABC ACB= =Ð Ð
Trên tia phân giác của góc ABC lấy điểm N sao
cho
0
12BCN =Ð
.Hãy so sánh độ dài của CN và CA
LỜI GIẢI :
2

Trên tia BA lấy điểm Dsao cho BD = BC Ta có tam giác BCD cân tại B .Vì
0 0
0 0
180 36
36 72
2
ABC nên BCD BDC
-
= = = =Ð Ð Ð
.
Ta lại có
0 0 0
36 36 72DAC ABC ACB= + = + =Ð Ð Ð
(Tính chất của góc ngoài )

0
72( )BDC DAC= =Þ Ð Ð
Suy ra tam giác ACD cân tại C dó CA = CD (1).
Xét 2 tam giác BDN và BCN có :
BN chung BD= BC Và
CBN DBN=Ð Ð
Nên suy ra
( . . )BDN BCN c g c CN DN NCD= =D D Þ Þ D
Cân tại N lại có :

0 0 0
72 12 60NCD BCD BCN NCD= - = - =Ð Ð Ð Þ D
là tam giác đều
CN CD=Þ
(2)
Từ (1) và (2) ta có CA = CN
BÀI 5:
Cho tam giác ABC với
0 0
55 115,BAC ABC= =Ð Ð
.Trên tia phân giác của góc ACB lấy điểm
M sao cho
0
25MAC =Ð
. So sánh số đo góc BMC và BME
LỜI GIẢI :

Ta có
0 0 0 0
180 55 115 10( )C = - + =Ð

. Kẻ DE
^
AM (E
∈
AC) Ta có
0
30DAM DMA DAM= =Ð Ð Þ D
cân tại D từ đó suy ra
0
120ADM =Ð
Và DE là đường phân
giác của góc ADM nên
0
60EDM BDM= =Ð Ð
do đó
( . . )EDC BDC c g c=D D
.
Xét 2 tam giác BMC và EMC có BC = EC
0
5MCB MCE= =Ð Ð
, MC chung Do đó

0 0 0 0 0
9 180 180 180 55 125. . )BMC EMC c g c BMC EMC DME DAE= = = - = - = - =D D Þ Ð Ð Ð Ð
BÀI 6:
3
Cho tam giác ABC cân trên cạnh đáy BC lấy đểm D sao cho CD = 2 BD. So sánh số đo 2 góc
BADÐ
Và
1

2
CADÐ

LỜI GIẢI :
Gọi M là trung điểm của DC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA .Ta có
EMDAMC ∆=∆
Vì có MD = MC , MA = ME
EMDAMC ∠=∠
Nên DE = AC Và

EA ∠=∠
3
Mặt khác
BD ∠>∠
1
(tính chất góc ngoài của tam giác ) do
3221
AAEADADEADACCDCB ∠>∠⇒∠>∠⇒>⇒>⇒∠>∠⇒∠=∠
Vì
321313213
2) (( AAAAAAAcgcACMABDdoAA ∠+∠<∠⇒∠+∠>∠+∠⇒∆=∆∠=∠
Suy ra
DACBAD ∠<∠
2
1
BÀI 7:
Cho tamgiác ABC lấy điểm D thuộc nửa mf không chứa C bờ AB sao cho
DBDA ⊥
và AD =
AB . Lấy điểm E thuộc nửa mf không chứa B bờ AC sao cho

ACAE
⊥
và AE = AC . So
sánh diện tích 2 tam giác ADE và ABC.
LỜI GIẢI :

Ký hiệu S
ABC
là diện tích tam giác ABC .Trên tia đối của tia AB lấy B’ sao cho AB = AB’,ta có
'ADB∆
vuông cân ,suy ra AD = AB’ và AD
⊥
AB’.
Xét 2 tam giác DAE và B’AC có AD = AB’ , AE = AC ,
ABCDAE
SSACBDAEACBDAE =⇒∆=∆⇒∠=∠ ''
(1) .Mặt khác 2 tam giác B’AC và ABC
có AB’ = AB , cùng đường cao hạ từ đỉnh C do đó S
B’AC
= S
ABC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra S
ADE
= S
ABC
BÀI 8:
Cho tam giác ABC có AB> AC .Trên các cạnh AB , AC lấy các điểm M,N sao cho AM = AN
gọi K là giao điểm của BN và CN .Hãy so sánh độ dài của KB và KC .
4

LỜI GIẢI :

Trên đoạn AB lấy điểm I sao cho AI = AC khi đó
ANIAMC
∆=∆
(c.g.c)
MCNI
=⇒
(1) vì
tam giác AIC cân tại A suy ra
0
90<∠AIC
( Tia IN nằm giữa 2 tia IA,IC ) . vì
00
90180 >∠⇒=∠+∠ BINBINAIN
Trong tam giác BIN góc là góc tù suy ra BN > IN
(2) . Từ (1)và (2) ta có BN > CM (3) . cũng do
ANIAMC ∆=∆
nên

ANIAMC
∠=∠
Vì
INMKMNANMAMN
=∠⇒∠=∠
ta lại có
KNMINM
∠<∠

(do I nằm giữa Mvà B ) do đó

KNKMKNMKMN >⇒∠<∠
(4)
Từ (3) và (4) ta có BN+KM > CM+KN
⇒
BN –KN .> CM – KM
⇒
BK > CK
BÀI 9:
Cho tam giác ABC có góc ACB = 45
0
và góc A tù Kẻ tia BD cắt tia đối của tia CA tại D sao
cho góc CBD = góc ABC kẻ AH vuông góc với BD tại H tính số đo góc CHD.
LỜI GIẢI :

Gọi tia đối của tia AB là tia Ax .Xét tam giác ABH ta có :
1
0
290 BABHAHBHAx ∠+=∠+∠=∠
. Xét tam giác ABC ta có :

HAxBBCA ∠=∠+=∠+∠=∠
2
1
45
1
0
112
suy ra AC là tia phân giác của góc Hax.
Kết hợp với giả thiết BC là tia phân giác của góc ABH suy ra HC là phân giác góc AHD
Do góc AHD = 90

0
Nên suy ra góc CHD = 45
0
.
BÀI 10
Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC .Gọi M,N là trung điểm của AB , AC .Kẻ NH
⊥
CM tại
H kẻ HE
⊥
AB tại E . So sánh: a) BA và BH
b) <BHM và <MHE
LỜI GIẢI :
5

a, Cách 1:
Từ A kẻ AK
⊥
MC tại K và AQ
⊥
HN tại Q .Hai tam giác vuông MAK và NCH có MC = NC
(=
2
1
AB ) ,
11
CA ∠=∠
(cùng phụ với góc AMC )
HCAKNCHMAK
=⇒∆=∆⇒

(1)
Dễ thấy
AHCBKAcgcACHBAK ∠=∠⇒∆=∆ ) (
. 2 Tam giác vuông AQN và CHN có AN
= NC ,
CHAQCNHANQCNHANQ =⇒∆=∆⇒∠=∠
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AK = AQ
⇒
AH là tia phân giác của góc KHQ
000
13513545 =∠⇒=∠⇒=∠⇒ BKAAHCAHQ
Từ
00
135360 =∠⇒=∠+∠+∠ BKHAKHBKHBKA
Tam giác AKH có
0
45=∠KHA
Nên nó
vuông cân tại K suy ra KA = KH . Xét 2tam giác BKA và BKH có BK chung ,
0
135=∠=∠ BKHBKA
, KA = KH
BHBAcgcBKHBKA =⇒∆=∆⇒ ) (
hay tam giác
ABH cân tại B .
Cách 2:Kẻ AK vuông góc với MC. Ta chứng minh được tam giác MKA bằng tam giác NKC
suy ra KC = AK. Ta có AK //NH , NA = NC => KH = HC =>AK = KH.
Ta có ME //AC, HK = HN => HE cắt KA ử trung điểm I của AK.
Xét tam giascMAB có M là trung điểm của AB, I là trung điểm của AK => MI là đường trung

bình của tam giác ABC =>MI // BK.
Trong tam giác MAH có hai đường cao He, AK cắt nhau tại I => I là trực tâm của tam giác
MAH => MI vuông góc với AH=> BK vuông góc với AH tại F
Lại có tam giác AKH cân ở K=> đường cao KF vơaf là đường cao vừa là trng tuyến =>
FA=FH. Tam giác BAH có đường cao BF vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên tam giác
ABH cân ở B=> BA=BH
b, ta có
11
HA ∠=∠
theo (1) mà HE // CA
12
CH ∠=∠⇒
(góc đồng vị) vì
2111
HHCA ∠=∠⇒∠=∠
hay HM là tia phân giác góc BHE
BÀI 11: Cho tam giác ABC đều, trên BC, AC lấy M, N sao cho BM= CN. Kẻ MP, NQ, CH
vuông góc với AB.
a) So sánh MP + NQ và CH.
b) Tìm vị trí M, N để MN ngắn nhất.
BÀI 12: Cho góc xOY. Vẽ tia Oz sao cho xOz bằng nửa < yOz. Trên Oy lấy A kẻ AH vuông
góc với Ox, AH cắt Oz ở B. Trên tia Bz vẽ D sao cho OA = BD. So sánh AO và AD.
(Gợi ý: Trên tia Oz vẽ M sao cho OM =AO=> tam giác AOM cân => <OMA =( 180
0
–
xOz):2=<ABH=> tam giác ABM cân=>AM= AB=. Tam giác ABO và tam giác ADM bằng
nhau => AO = AD.
BÀI 13: Cho tam giác ABC vuông ở A. So sánh: AB +
3
AC và 2BC.

6
( Vẽ tia Am sao cho<BAm =30
0
, vẽ BK, CH cùng vuông góc Am. Ta có BK = AB: 2, CH =
3
AC:2; BK + CH <BC ).
BÀI 13 : Cho góc xOy bằng 60
0.
Trên Ox, Oy lấy A, B bất kỳ. Chứng minh
OA + OB < 2AB .
( Gợi ý: Vẽ Oz là phân giác góc xOy. Kẻ AH, BK cùng vuông góc với Oz Ta có AH= AO:2,
BK= OB :2)
7