Giáo trình: Toán rời rạc - Đại học Thái Nguyên - chương III

Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH

20

CHƯƠNG II
BÀI TOÁN VÀ THUẬT TOÁN

2.1. KHÁI NIỆM BÀI TOÁN
2.1.1. Bài toán
Trong phạm vi Tin học, ta có thể quan niệm bài toán là việc nào đó ta
muốn máy tính thực hiện.
Viết một dòng chữ ra màn hình, giải phương trình bậc hai, quản lí điểm
trong trường học v.v…
Khi dùng máy tính giải bài toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: đưa
vào máy thông tin gì (Input) và cần lấy ra thông tin gì (Output). Do đó để phát
biểu một bài toán ta cần phải chỉ rõ Input và Output của bài toán đó.
Ví dụ 1: Giải phương trình bậc nhất ax+b=0
Input: Các giá trị thực a,b
Output: Nghiệm là giá trị x hoặc thông báo không có nghiệm
Ví dụ 2: Quản lí điểm trong trường học
Input: Thông tin cá nhân của từng học sinh
Output: Thông tin cần khai thác về một học sinh, một lớp học
sinh, một khối hay toàn trường.
2.1.2. Các bước giải bài toán bằng máy tính điện tử
Học sử dụng máy tính thực chất là học cách giao cho máy tính việc mà
ta muốn nó làm. Khả năng khai thác máy tính phụ thuộc rất nhiều vào sự hiểu
biết của người sử dụng.Việc giải bài toán trên máy tính được tiến hành qua
các bước sau:
Bước 1: Xác định bài toán
Như đã trình bày, mỗi bài toán được đặc tả bởi hai thành phần: Input và
Output. Việc xác định bài toán chính là xác định rõ hai thành phần này. Các

thông tin đó cần được nghiên cứu cẩn thận để có thể lựa chọn thuật toán, cách
thể hiện các đại lượng đã cho và các đại lượng phát sinh trong quá trình giải
bài toán và ngôn ngữ lập trình thích hợp.
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH

21

Ví dụ, trong một bài toán Tin học khi đề cập đến một số nguyên dương
N ta phải biết rõ phạm vi giá trị của nó, để lựa chọn cách thể hiện N bằng kiểu
dữ liệu thích hợp.
Bước 2: Lựa chọn hoặc thiết kế thuật toán
Bước lựa chọn và thiết kế thuật toán là bước quan trọng nhất để giải
một bài toán.
Mỗi thuật toán chỉ giải một bài toán nào đó, nhưng có thể có nhiều thuật
toán khác nhau cùng giải một bài toán. Cần chọn một thuật toán phù hợp để
giải bài toán đã cho.
Khi lựa chọn thuật toán người ta thường quan tâm đến các tài nguyên
như giờ CPU, số lượng ô nhớ,... Trong các loại tài nguyên, người ta quan tâm
nhiều nhất đến thời gian vì đó là dạng tài nguyên không tái tạo được.
Trong thực tế, khi lựa chọn thuật toán người ta còn quan tâm tới việc
viết chương trình cho thuật toán đó được dễ dàng.
Việc thiết kế và lựa chọn thuật toán để giải một bài toán cụ thể cần căn
cứ vào lượng tài nguyên mà thuật toán đòi hỏi và lượng tài nguyên thực tế
cho phép.
Bước 3: Viết chương trình
Việc viết chương trình là một tổng hợp hữu cơ giữa việc lựa chọn cấu
trúc dữ liệu và ngôn ngữ lập trình để diễn đạt đúng thuật toán.
Khi viết chương trình ta cần lựa chọn một ngôn ngữ bậc cao, hoặc hợp
ngữ, hoặc ngôn ngữ máy, hoặc một phần mềm chuyên dụng thích hợp cho
thuật toán đã lựa chọn. Viết chương trình trong ngôn ngữ nào ta cần phải tuân

theo đúng quy định ngữ pháp của ngôn ngữ đó. Chương trình dịch có thể giúp
ta phát hiện và thông báo đầy đủ các sai sót về mặt ngữ pháp.
Bước 4: Hiệu chỉnh
Sau khi được viết xong, chương trình vẫn còn có thể có nhiều lỗi khác
chưa phát hiện được nên chương trình có thể không cho kết quả đúng. Vì vậy,
cần phải thử chương trình bằng cách thực hiện nó với một số bộ Input tiêu
biểu phụ thuộc vào đặc thù của bài toán. Các bộ Input này gọi là các Test. Nếu
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH

22

có sai sót, ta phải sửa chương trình rồi thử lại. Quá trình này được gọi là hiệu
chỉnh.
Bước 5: Viết tài liệu
Tài liệu phải mô tả chi tiết bài toán, thuật toán, chương trình, kết quả
thử nghiệm và hướng dẫn sử dụng. Tài liệu này rất có ích cho người sử dụng
chương trình và cho việc đề xuất những khả năng hoàn thiện thêm.
Các bước trên có thể lặp đi lặp lại nhiều lần cho đến khi mà ta cho là
chương trình đã làm việc đúng đắn.
2.2. KHÁI NIỆM THUẬT TOÁN
2.2.1. Định nghĩa
Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác được
sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác
đó, từ Input của bài toán, ta nhận được Output cần tìm.
Có nhiều cách trình bày thuật toán: dùng ngôn ngữ tự nhiên; sơ đồ
khối; ngôn ngữ lập trình(tựa Pascal).
2.2.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Mô tả thuật toán tìm phần tử lớn nhất trong một dãy hữu hạn
các số bất kì (nguyên hoặc thực).
a) Dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả các bước cần phải thực hiện:

1. Đặt giá trị cực đại tạm thời bằng số đầu tiên trong dãy.
2. So sánh số tiếp sau với giá trị cực đại tạm thời, nếu nó lớn hơn giá trị
cực đại tạm thời thì đặt cực đại tạm thời bằng số đó.
3. Lặp lại bước 2 nếu còn các số trong dãy.
4. Dừng khi không còn số nào nữa trong dãy. Cực đại tạm thời ở điểm
này chính là số lớn nhất của dãy.
b) Dùng ngôn ngữ tựa Pascal:
Procedure max (a
1
, a
2
, ..., a
n
: Item);
Begin
max:= a
1
;
for i:= 2 to n
if max <a
i
then max:= a
i
;
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH

23

{max là phần tử lớn nhất}
End;

{Item quy ước là một kiểu dữ liệu bất kì nào đó}
Ví dụ 2: Mô tả thuật toán tìm tổng các phần tử dương trong một dãy
hữu hạn các số bất kì.
a) Dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả các bước cần phải thực hiện:
1. Đặt giá trị tổng ban đầu bằng 0.
2. Đi từ đầu dãy tới cuối dãy, kiểm tra số hiện thời nếu dương thì cộng
giá trị đó vào tổng S.
3. Dừng khi không còn số nào nữa trong dãy. Giá trị S chính là tổng cần
tìm.
b) Dùng ngôn ngữ tựa Pascal:
Procedure max (a
1
, a
2
, ..., a
n
: Item);
Begin
S:= 0;
for i:= 1 to n
if a
i
>0 then S:= S+ a
i
;
{S là tổng các phần tử dương}
End;
2.2.3. Các đặc trưng của thuật toán
Tính hữu hạn: Sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác thuật
toán phải kết thúc;

Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác, hoặc là thuật toán kết
thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo;
Tính đúng đắn: Sau khi thuật toán kết thúc, ta phải nhận được Output
cần tìm;
Tính chi tiết: Các thao tác trong thuật toán phải được xác định một cách
chặt chẽ theo nghĩa đủ chi tiết để đối tượng thực hiện thuật toán có thể làm
được;
Tính phổ dụng: Thuật toán không chỉ cho phép giải một bài toán đơn lẻ
mà áp dụng cho cả một lớp bài toán có cùng cấu trúc.
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH

24

2.3. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM
2.3.1. Bài toán tìm kiếm: Bài toán xác định vị trí của một phần tử
trong một tập hữu hạn các phần tử. Chẳng hạn chương trình kiểm tra chính tả
của các từ; tìm kiếm các từ trong một cuốn từ điển; tra cứu điểm thi đại học
v.v….Các bài toán thuộc loại này được gọi là các bài toán tìm kiếm.
Bài toán tìm kiếm tổng quát được mô tả như sau: xác định vị trí của
phần tử x trong một dãy các phần tử a
1,
a
2
, ..., a
n
hoặc xác định rằng nó không
có mặt trong dãy.
Input: dãy số a
1,
a

2
, ..., a
n
và giá trị x
Output: Nghiệm là i nếu x=a
i
và là 0 nếu x không có mặt trong dãy.
2.3.2. Thuật toán tìm kiếm tuyến tính: Tìm kiếm tuyến tính hay tìm
kiếm tuần tự. Tư tưởng thuật toán là bắt đầu bằng việc so sánh x với a
1
; khi
x=a
1
, nghiệm là vị trí a
1
, tức là 1; khi x≠a
1
, so sánh x với a
2
. Nếu x=a
2
, nghiệm
là vị trí của a
2
, tức là 2. Khi x≠a
2
, so sánh x với a
3
. Tiếp tục quá trình này bằng
cách tuần tự so sánh x với mỗi số hạng của dãy cho tới khi tìm được số hạng

bằng x hoặc là kết thúc dãy.
Dùng ngôn ngữ tựa Pascal:
Procedure tìm kiếm tuyến tính (x: Item, a
1
,a
2
,...,an: Item);
Begin
i := 1;
while (i ≤ n and x ≠ a
i
) i := i + 1;
if i ≤ n then kq := i else kq := 0;
End;
{kq là vị trí của số hạng bằng x hoặc là 0 nếu không tìm được x}
2.3.3. Thuật toán tìm kiếm nhị phân: Thuật toán này có thể được
dùng khi dãy số được sắp xếp đơn điệu theo thứ tự tăng hoặc giảm dần.Tư
tưởng thuật toán là chọn phần tử ở vị trí giữa làm chốt, chia dãy thành 2 phần
có kích thước nhỏ hơn. Sau đó so sánh phần tử cần tìm x với chốt, nếu x lớn
hơn chốt tìm ở nửa sau của dãy, nếu x nhỏ hơn chốt tìm ở nửa trước của
dãy(áp dụng với dãy tăng), quá trình trên tiếp tục cho tới khi tìm được x hoặc
dãy chia không còn phần tử nào.
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH

25

Ví dụ: Cho dãy số: A={-6,1,3,5,8,10,14,16,19,21 }; x=5; dãy gồm 10
phần tử
Gọi phần tử chốt là k, ban đầu k=8
Bước 1: k=8, so sánh x với k, x<k ta tìm kiếm x ở nửa trước {-

6,1,3,5,8}
Bước 2: k=3, so sánh x với k, x>k ta tìm kiếm x ở nửa sau {3,5,8}
Bước 3: k=5, so sánh x với k, x=k ta tìm được x kết thúc.
Dùng ngôn ngữ tựa Pascal: {Thuật toán áp dụng với dãy tăng dần}
Procedure tìm kiếm nhị phân (x: Item, a
1
,a
2
,...,an: Item);
Begin
d := 1 {d là điểm đầu của đoạn tìm kiếm}
c := n {c là điểm cuối của đoạn tìm kiếm}
while (d <c) do
begin
m:= [(d+c)/2]
if x>a
m
then d:=m+1
else c := m-1
end
if x = ai then kq := i
else kq := 0
{kq là vị trí của số hạng bằng x hoặc 0 nếu không tìm thấy x}
End;
2.4. ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN
2.4.1 Khái niệm về độ phức tạp của một thuật toán
Thước đo hiệu quả của một thuật toán là thời gian mà máy tính sử dụng
để giải bài toán theo thuật toán đang xét, khi các giá trị đầu vào có một kích
thước xác định. Một thước đo thứ hai là dung lượng bộ nhớ đòi hỏi để thực
hiện thuật toán khi các giá trị đầu vào có kích thước xác định. Các vấn đề như

thế liên quan đến độ phức tạp tính toán của một thuật toán. Sự phân tích thời
gian cần thiết để giải một bài toán có kích thước đặc biệt nào đó liên quan đến
độ phức tạp thời gian của thuật toán. Sự phân tích bộ nhớ cần thiết của máy
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH

26

tính liên quan đến độ phức tạp không gian của thuật toán. Vệc xem xét độ
phức tạp thời gian và không gian của một thuật toán là một vấn đề rất thiết yếu
khi các thuật toán được thực hiện. Biết một thuật toán sẽ đưa ra đáp số trong
một micro giây, trong một phút hoặc trong một tỉ năm, hiển nhiên là hết sức
quan trọng. Tương tự như vậy, dung lượng bộ nhớ đòi hỏi phải là khả dụng để
giải một bài toán,vì vậy độ phức tạp không gian cũng cần phải tính đến.Vì
việc xem xét độ phức tạp không gian gắn liền với các cấu trúc dữ liệu đặc biệt
được dùng để thực hiện thuật toán nên ở đây ta sẽ tập trung xem xét độ phức
tạp thời gian.
Độ phức tạp thời gian của một thuật toán có thể được biểu diễn qua số
các phép toán được dùng bởi thuật toán đó khi các giá trị đầu vào có một kích
thước xác định. Sở dĩ độ phức tạp thời gian được mô tả thông qua số các phép
toán đòi hỏi thay vì thời gian thực của máy tính là bởi vì các máy tính khác
nhau thực hiện các phép tính sơ cấp trong những khoảng thời gian khác nhau.
Hơn nữa, phân tích tất cả các phép toán thành các phép tính bit sơ cấp mà máy
tính sử dụng là điều rất phức tạp.
Ví dụ: Xét thuật toán tìm số lớn nhất trong dãy n số a
1
, a
2
, ..., a
n
. Có thể

coi kích thước của dữ liệu nhập là số lượng phần tử của dãy số, tức là n. Nếu
coi mỗi lần so sánh hai số của thuật toán đòi hỏi một đơn vị thời gian (giây
chẳng hạn) thì thời gian thực hiện thuật toán trong trường hợp xấu nhất là n-1
giây. Với dãy 64 số, thời gian thực hiện thuật toán nhiều lắm là 63 giây. Ta
nói độ phức tạp là n-1
Ví dụ: Thuật toán về bài toán “Tháp Hà Nội”
Bài toán “Tháp Hà Nội” như sau: Có ba cọc A, B, C bằng kim cương và
64 cái đĩa bằng vàng các đĩa có đường kính đôi một khác nhau. Nguyên tắc
chuyển đĩa là: mỗi lần chỉ chuyển một đĩa và không được chồng đĩa to lên trên
đĩa nhỏ hơn nó. Ban đầu, cả 64 đĩa được đặt chồng lên nhau ở cột A; hai cột
B, C trống. Vấn đề là phải chuyển cả 64 đĩa đó từ cột A sang cột B lấy cột C
làm trung gian.
Xét trò chơi với n đĩa ban đầu ở cọc A (cọc B và C trống). Gọi S
n
là số
lần chuyển đĩa để chơi xong trò chơi với n đĩa.
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH

27

Nếu n=1 thì rõ ràng là S
1
=1.
Nếu n>1 thì trước hết ta chuyển n-1 đĩa bên trên sang cọc B (giữ yên
đĩa thứ n ở dưới cùng của cọc A). Số lần chuyển n-1 đĩa là S
n-1
. Sau đó ta
chuyển đĩa thứ n từ cọc A sang cọc C. Cuối cùng, ta chuyển n-1 đĩa từ cọc B
sang cọc C (số lần chuyển là S
n-1

).
Như vậy, số lần chuyển n đĩa từ A sang C là:
S
n
=S
n-1
+1+S
n
=2S
n-1
+1=2(2S
n-2
+1)+1=2
2
S
n-2
+2+1=.....=2
n-1
S
1
+2
n-
2
+...+2+1=2
n
−1.
Thuật toán về bài toán “Tháp Hà Nội” đòi hỏi 2
64
−1 lần chuyển đĩa (xấp
xỉ 18,4 tỉ tỉ lần). Nếu mỗi lần chuyển đĩa mất 1 giây thì thời gian thực hiện

thuật toán xấp xỉ 585 tỉ năm!. Ta nói độ phức tạp là 2
n
−1
Hai thí dụ trên cho thấy rằng: một thuật toán phải kết thúc sau một số
hữu hạn bước, nhưng nếu số hữu hạn này quá lớn thì thuật toán không thể
thực hiện được trong thực tế.
2.4.2. So sánh độ phức tạp của các thuật toán
Một bài toán thường có nhiều cách giải, có nhiều thuật toán để giải, các
thuật toán đó có độ phức tạp khác nhau.
Xét bài toán:
Tính giá trị của đa thức P(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+ ... +a
1
x+a
0
tại x
0
.
Thuật toán 1:
Procedure tính giá trị của đa thức (a
0
, a
1

, ..., a
n
, x
0
: real);
Begin
S:=a
0

for i:=1 to n
S:=S+a
i
x
0
i
;
End;
{S là giá trị của đa thức P(x) tại x
0
}
Chú ý rằng đa thức P(x) có thể viết dưới dạng:
P(x)=(...((a
n
x+a
n-1
)x+a
n-2
)x...)x+a
0
.

Ta có thể tính P(x) theo thuật toán sau: