Cong_thuc_XSTK.pdf

PHẦN I: XÁC SUẤT
1. Biến cố ngẫu nhiên & xác suất của biến cố:
1.1. Công thức cộng xác suất:
1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 biến cố xung khắc)
1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B)  p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-
[p(AB)+p(AC)+p(BC)]+p(ABC)
1.2. Công thức nhân xác suất:
1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 biến cố độc lập)
1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A) 
1 2 1 2 1 1 2 1
( ... ) ( ). ( / )... ( / .. )
n n n
p A A A p A p A A p A A A A
−
=
1.3. Công thức Bernoulli: cho 2 biến cố A và
A

1.3.1.
( )
x x n x
n n
p x C p q
−
=
, p=p(A), q=1-p
1.4. Công thức xác suất đầy đủ:
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )
n n
p F p A p F A p A p F A p A p F A= + + +

1.5. Công thức Bayes:
( . ) ( ). ( / )
( / )
( ) ( )
i i i
i
p A F p A p F A
p A F
p F p F
= =

2. Biến ngẫu nhiên:
2.1.
Bảng phân phối xác suất (biến ngẫu nhiên rời rạc)

2.2.
Hàm mật độ xác suất (
( )f x
) (biễn ngẫu nhiên liên tục)

2.2.1.
( )f x ≥
0

2.2.2.
( ) 1f x dx
+∞
−∞
=

∫

2.2.3.
( ) ( )
b
a
p a x b f x dx≤ ≤ =
∫

2.3.
Hàm phân phối xác suất (
( )F x
) (dùng cho cả 2 loại biến-thường là biến ngẫu nhiên liên
tục)

2.3.1.
( )F x
=p(
F
<x)

2.3.2.
'( ) ( )
F x f x=

2.3.3.
( ) ( )
x
F x f t dt
−∞

=
∫

2.4.
Kỳ vọng

2.4.1.
1 1 2 2
( ) ...
n n
E x x p x p x p= + + +
(từ bảng phân phối xác suất)

2.4.2.
( ) ( )
E x xf x dx
+∞
−∞
=
∫

2.5.
Phương sai:

2.5.1.
2 2
( ) ( ) [ ( )]
V x E x E x= −

2.5.2.

2 2
( ) ( ) [ ( ) ]
V x x f x dx xf x dx
+∞ +∞
−∞ −∞
= −
∫ ∫

3. Một số phân phối xác suất thông dụng:
3.1.
Phân phối chuẩn tổng quát:
2
~ ( ; )
X N
µ σ

3.1.1.
2
2
( )
2
1
( )
2
x
f x e
µ
σ
σ π
−

−
=

3.1.2.
( ) 1
f x dx
+∞
−∞
=
∫

3.1.3.
ModX MedX
µ
= =
;
2
( ) , ( )
E x V x
µ σ
= =

3.1.4.
( ) ( ) ( )
b a
p a x b
µ ϕ
ϕ ϕ
σ σ
− −

≤ ≤ = −

3.1.5.
Phân phối chuẩn tắc
2
0, 1
µ σ
= =

3.1.5.1.
~ (0,1)T N

3.1.5.2.
2
2
1
( )
2
t
f t e
π
−
=

3.1.5.3.
Đổi biến
X
T
µ
σ

−
=

3.1.5.4.
( ) ( ) ( )p a x b b a
ϕ ϕ
≤ ≤ = −

3.2.
Phân phối Poisson:
~ ( )X P
λ
,
λ
>0

3.2.1.
( )
!
k
p k e
k
λ
λ
λ
−
= =

3.2.2.
( ) ( )E x V x

λ
= =

3.3.
Phân phối nhò thức:
~ ( , )X B n p

3.3.1.
( ) ( ) , 1
k k n k
n n
p X k p k C p q p q
−
= = = + =

3.3.2.
0
( ) 1
n
k
p X k
=
= =
∑

3.3.3.
( )E x np=
,
0 0
,ModX x np q x np q= − ≤ ≤ +

3.3.4.
Khi n=1:
~ (1, )X B p
:phân phối không-một

3.3.4.1.
2
( ) , ( ) , ( )E x p E x p V x pq= = =

3.3.5.
Xấp xỉ phân phối nhò thức:

3.3.5.1.
Bằng phân phối Poisson:
n
>50,
p
<0.1;
~ ( , ) ~ ( )X B n p X P
λ
≈
,
np
λ
=
.
( )
!
k

k k n k
n
p x k C p q e
k
λ
λ
− −
= = =

3.3.5.2.
Bằng phân phối chuẩn:
0.5, 0.5, ,np nq np npq
µ σ
≥ ≥ = =
.
~ ( , ) ~ ( , )X B n p X N np npq≈
1
( ) ( )
k
p x k f
µ
σ σ
−
= =
; p(
1
k
<X<
2 1
2

) ( ) ( )
k k
k
µ µ
ϕ ϕ
σ σ
− −
= −

3.4. Phân phối siêu bội:
~ ( , , )
A
X H N N n
[N:tổng số phần tử,
A
N
:Số phần tử có tính chất A
trong N, n: số phần tử lấy ngẫu nhiên].Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n.
.
( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
p X k
C
−
−

= =

3.4.1.
( ) ,
A
N
E X np p
N
= =
;
( ) . , 1
1
N n
V X npq q p
N
−
= = −
−

3.4.2.
Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhò thức:
0.05 ~ ( , )n N X B n p≤
⇒
;
( ) ,
k k n k
A
n
N
p X k C p q p

N
−
= = =

3.5. Biến ngẫu nhiên 2 chiều: X
và Y độc lập
( ). ( )
ij i j
P p x q y⇔ =
với mọi i,j

3.6. Hiệp phương sai và hệ số tương quan:
3.6.1.
Hiệp phương sai(cov):
cov( , ) ( ) ( ) ( )X Y E XY E X E Y= −

3.6.2.
Hệ số tương quan
,
X Y
ρ
:
,
cov( , )
( ) ( )
X Y
X Y
X Y
ρ
σ σ

=

PHẦN 2: THỐNG KÊ
1. Tổng thể và mẫu
1.1.
Thực hành tính toán trên mẫu:

1.1.1.
Tính trung bình (
n
X
):
1
1
n
n i
i
X x
n
=
=
∑

1.1.2.
Tính tỷ lệ mẫu: (
n
f
);
A
n

m
f
n
=
(
A
m
:số phần tử mang tính chất A; n: kích thước mẫu)

1.1.3.
Tính phương sai mẫu:

2 2 2
1
1
[ ( ) ]
1
k
i i
S n x n X
n
= −
−
∑

1.2.
Ước lượng tham số của tổng thể:

1.2.1.
Ước lượng điểm:

2 2
( ) , ( ) , ( )
n n
E X E f p E S
µ σ
= = =

1.2.2.
Ước lượng khoảng:

1.2.2.1.
Ước lượng khoảng cho trung bình: Với độ tin cậy 1-
α
cho trước, 1 mẫu kích
thước n.

30n ≥
,
2
σ
biết

30n ≥
,
2
σ
chưa biết

X
,

σ

1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +

X
,s
1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +

2
.u
n
α
σ
ε
=

(
1
α
−
0.5-
2
α


2
u
α
)

2
.
s
u
n
α
ε
=

(
1
α
−
0.5-
2
α

2
u
α
)

n
<30,
2

σ
biết
n
<30,
2
σ
chưa biết

Như TH1
X
,s
1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +

( 1, )
2
.
n
s
t
n
α
ε
−
=


1.2.2.2.

Ước lượng khoảng cho tỷ lệ: tổng thể có tỷ lệ p chưa biết, với độ tin cậy
1
α
−
cho trước, với 1 mẫu kích thước n, tỷ lệ mẫu
n
f
. Tìm 2 số
1 2
,p p
thoả:
1 2
( ) 1p p p p
α
≤ ≤ = −
,
1,2 n
p f
ε
=
m
Công thức:
2
(1 )f f
u
n
α
ε
−
=

1.2.2.3.
Ước lượng khoảng cho phương sai:Giả sử tổng thể có
2
σ
chưa biết. Dựa vào
1 mẫu kích thước n, với độ tin cậy 1-
α
cho trước.

TH1:
µ
chưa biết, biết
2
S
. Khi đó ta có
2 2
2
2 2
1 2
( 1) ( 1)
[ , ]
n S n S
σ
χ χ
− −
∈
trong đó
2 2
1

( 1, )
2
n
α
χ χ
= −
,
2 2
2
( 1,1 )
2
n
α
χ χ
= − −

TH2:
µ
biết. Khi đó
2
2 2
1 2
( ) ( )
[ , ]
i i i i
n x n x
µ µ
σ
χ χ
− −

∈
∑ ∑
, trong đó
2 2
1
( , )
2
n
α
χ χ
=
,
2 2
2
( ,1 )
2
n
α
χ χ
= −

1.2.3.
Kiểm đònh giả thuyết thống kê:

1.2.3.1.
Kiểm đònh giả thuyết thống kê cho
µ

1.2.3.1.1.
TH1:

2
σ
biết

Giả thuyết thống kê
W
α
:
2
σ
biết (miền bác bỏ
0
H
)

0 0
:H
µ µ
=

1
:H
µ
≠
0
µ

0
{ ,
X

W u n u
α
µ
σ
−
= =
>
2
u
α
}

0 0
:H
µ µ
=

1
:H
µ
<
0
µ

0
{
X
W u n
α
µ

σ
−
= =
,u<-
u
α
}

0 0
:H
µ µ
=

1
:H
µ
>
0
µ

0
{
X
W u n
α
µ
σ
−
= =
,u>

u
α
}


1.2.3.1.2.
TH2:
30n ≥
,
2
σ
không biết

Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)

0 0
:H
µ µ
=

1
:H
µ
≠

0
µ

0
{ ,
X
W u n u
s
α
µ
−
= =
>
2
u
α
}

0 0
:H
µ µ
=

1
:H
µ
<
0
µ

0
{
X
W u n
s
α
µ
−
= =
,u<-
u
α
}

0 0
:H
µ µ
=

1
:H
µ
>
0
µ

0
{
X
W u n

s
α
µ
−
= =
,u>
u
α
}


1.2.3.1.3.
TH3:
n
<30,
2
σ
không biết

Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)

0 0
:H
µ µ

=

1
:H
µ
≠
0
µ

0
{ ,
X
W t n t
s
α
µ
−
= =
>
( 1, )
2
n
t
α
−
}

0 0
:H
µ µ

=

1
:H
µ
<
0
µ

0
{
X
W t n
s
α
µ
−
= =
,
t
<-
( 1, )
2
n
t
α
−
}

0 0

:H
µ µ
=

1
:H
µ
>
0
µ

0
{ ,
X
W t n
s
α
µ
−
= = t
>
( 1, )
2
n
t
α
−
}

1.2.3.2.
Kiểm đònh giả thuyết thống kê cho tỷ lệ:

Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)

0: 0
H p p=

1:
H p
≠
0
p

0
0 0
{ ,
(1 )
f p
W u u
p p
n
α
−

= =
−
>
2
u
α
}

0: 0
H p p=

1:
H p
<
0
p

0
0 0
{
(1 )
f p
W u
p p
n
α
−
= =
−
,

u
<-
u
α
}

0: 0
H p p=

1:
H p
>
0
p

0
0 0
{
(1 )
f p
W u
p p
n
α
−
= =
−
,
u
>

u
α
}


1.2.3.3.
Kiểm đònh giả thuyết thống kê cho phương sai:

1.2.3.3.1.
TH1:
µ
chưa biết

Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)

2 2
0 0
:H
σ σ
=

2
1
:H

σ
≠
2
0
σ

2
2
2
0
( 1)
{
n s
W
α
χ
σ
−
= =
,
2
χ
<
2
1
χ
hoặc
2
χ
>

2
2
χ

2 2 2 2
1 2
( 1,1 ) ( 1, )
2 2
,
n n
α α
χ χ χ χ
− − −
= =