Giáo trình hướng dẫn tìm hiểu các bài toán về hàm bậc cao phần 4 ppsx

Chơng 3. Tích Phân Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 45
=





dt)t()t(fo
+





dt)t()t(go
=


+ dz)z(gdz)z(f

2. Định hớng Nếu hàm f khả tích trên đờng cong
+
= (ab) thì hàm f cũng khả tích
trên đờng cong
-
= (ba).


ba
dz)z(f = -

ab
dz)z(f (3.2.2)
Chứng minh
Tham số hoá

+
=
-
([, ]) với
-
: [, ] D,
-
(t) = (-t + + )
Từ giả thiết suy ra hàm fo
-
(t)
-
(t) khả tích trên [, ].



dz)z(f = -



++

++ dt)-t()-t(fo = -

ds)s()s(fo

3. Hệ thức Chasles Nếu hàm f khả tích trên đờng cong = (ab) thì với mọi c hàm
f khả tích trên các đờng cong
1
= (ac) và
2
= (cb).


=+
abcbac
dz)z(fdz)z(fdz)z(f (3.2.3)
Chứng minh
Giả sử c = () với [, ]. Tham số hoá

1
=
1
([, ]) với
1
: [, ] D,
1
(t) = (t)

2

=
2
([, ]) với
2
: [, ] D,
2
(t) = (t)
Từ giả thiết suy ra hàm fo
1
(t)
1
(t) khả tích trên [, ] và fo
1
(t)
1
(t) khả tích trên [, ].





dt)t()t(fo
11
+





dt)t()t(fo

22
=





dt)t()t(fo

4. Ước lợng tích phân Kí hiệu s() là độ dài của đờng cong . Nếu hàm f khả tích
trên đờng cong thì hàm | f(z) | khả tích trên đờng cong .



dz)z(f


ds)z(f sup

| f(z) | s() (3.2.4)
Chứng minh
Từ giả thiết suy ra hàm fo(t)(t) khả tích trên [, ]. Kết hợp công thức (3.1.3) với
công thức tích phân đờng loại 1 suy ra



dz)z(f =

dt)t()t(fo






dt)t()t(fo
=


ds)z(f





Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g

e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F

-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.

c
o
m
Chơng 3. Tích Phân Phức
Trang 46 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
5. Liên hệ tích phân đờng Nếu hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) khả tích trên đờng cong
thì các hàm u(x, y) và v(x, y) khả tích trên đờng cong .


++= dy)y,x(udx)y,x(vidy)y,x(vdx)y,x(udz)z(f (3.2.5)
Chứng minh
Từ giả thiết suy ra các hàm u(t) và v(t) khả tích trên [, ]. Kết hợp công thức (3.1.3) với
công thức tích phân đờng loại 2 suy ra công thức (3.2.5)

Công thức Newton-Leibniz
Hàm giải tích F(z) gọi là nguyên hàm của hàm f(z) trên miền D nếu z D, F(z) = f(z)
Cho hàm f(z) có nguyên hàm là F(z) và = (ab). Khi đó ta có

ab
dz)z(f = F(b) - F(a) (3.2.6)
Chứng minh
Từ giả thiết suy ra hàm Fo(t) là nguyên hàm của fo(t) trên [, ]. Kết hợp công thức
(3.1.1) và công thức Newton - Leibniz của tích phân xác định.


ab
dz)z(f =

dt)t()]t([f
= Fo() - Fo()

Ví dụ Tính tích phân I =


n
z
dz
với là đờng tròn | z | = R định hớng dơng
Ta có = (ab) với a = Re
i0
, b = Re
i2


Với n 1 hàm f(z) =
n
z
1
có nguyên hàm F(z) =
n1
z
n1
1


suy ra I = F(b) - F(a) = 0

Với n = 1 hàm f(z) =
z
1
có nguyên hàm F(z) = Lnz. Tuy nhiên hàm logarit chỉ xác định
đơn trị trên - (-, 0]. Vì vậy I = Ln
1
(e
i2

) - Ln
0
(e
i0
) = 2i




Đ3. Định lý Cauchy

Định lý Cho hàm f giải tích trên miền D đơn liên và đờng cong đơn, kín, trơn từng
khúc, định hớng dơng và nằm gọn trong miền D. Khi đó ta có
0dz)z(f =


(3.3.1)
Chứng minh
Kí hiệu D

D là miền đơn liên có biên định hớng dơng là đờng cong . Để đơn

giản ta xem hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) với các hàm u và v có đạo hàm liên tục trên D.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t

r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w

.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 3. Tích Phân Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 47
áp dụng công thức (3.2.5), công thức Green và điều kiện Cauchy-Riemann.


dz)z(f =


)vdyudx( + i


+ )udyvdx(


=

D
dxdy)
y
u
x
v
( + i







D
dxdy)
y
v
x
u
( = 0

Chú ý Hàm f giải tích không đủ để các hàm u và v có đạo hàm riêng liên tục. Do đó việc
chứng minh định lý Cauchy thực ra phức tạp hơn rất nhiều. Bạn đọc quan tâm đến phép
chứng minh đầy đủ có thể tìm đọc ở các tài liệu tham khảo.

Hệ quả 1 Cho miền D đơn liên có biên định hớng dơng là đờng cong đơn, kín, trơn
từng khúc và hàm f liên tục trên
D
, giải tích trong D.


D
dz)z(f = 0 (3.3.2)
Chứng minh
Theo định nghĩa tích phân, ta có thể xem tích phân trên D nh là giới hạn của tích phân
trên đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc, định hớng dơng, nằm gọn trong miền D
và dần đến D.

Hệ quả 2 Cho miền D đa liên có biên định hớng dơng gồm hữu hạn đờng cong đơn,
kín, trơn từng khúc và hàm f liên tục trên
D
, giải tích trong D.


D
dz)z(f (3.3.3)
Chứng minh
Giả sử miền D đa liên và chúng ta cắt miền D bằng
các cung (ab) và (cd) nhận đợc miền đơn liên D
1
nh

hình bên. Ta có
D
1
= D + (ab) + (ba) + (cd) + (dc)
Kết hợp hệ quả 2 và tính định hớng, tính cộng tính
của tích phân
0 =


1
D
dz)z(f
=

D
dz)z(f +

ab
dz)z(f
+

ba
dz)z(f
+

cd
dz)z(f
+

dc

dz)z(f
=


D
dz)z(f



Hệ quả 3
Cho miền D đa liên có biên định hớng dơng gồm hữu hạn đờng cong đơn,
kín, trơn từng khúc

D =
+
+++
n10
L LL và hàm f liên tục trên
D
, giải tích trong D.

0
L
dz)z(f
=


=
n
1k

L
k
dz)z(f
(3.3.4)
Chứng minh
Suy ra từ công thức (3.3.3) và tính định hớng, tính cộng tính của tích phân.

d

c

a

b

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i

e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 3. Tích Phân Phức

Trang 48 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Hệ quả 4 Cho hàm f giải tích trong miền D đơn liên. Khi đó tích phân


az
d)(f với a, z D (3.3.5)
không phụ thuộc đờng cong đơn, trơn từng khúc, nối a với z và nằm gọn trong miền D.
Chứng minh
Giả sử (amb) và (anb) là hai đờng cong đơn, trơn từng
khúc, nối a với z và nằm gọn trong D. Khi đó (amzna) là
đờng cong đơn, trơn từng khúc, kín và nằm gọn trong D.
Từ công thức (3.3.1) và tính cộng tính
0 =


amzna
d)(f =


amz
d)(f +


zna
d)(f
Chuyển vế và sử dụng tính định hớng suy ra


amz
d)(f =

anz
d)(f

Hệ quả 5 Cho hàm f giải tích trên miền D đơn liên và a D. Khi đó hàm
F(z) =


z
a
d)(f với z D (3.3.6)
là nguyên hàm của hàm f trong miền D và F(a) = 0.
Chứng minh
Theo công thức (3.3.5) hàm F xác định đơn trị trên miền D và F(a) = 0.
Ngoài ra với mọi (z, h) D ì sao cho [z, z + h] D
)z(f
h
)z(F)hz(F

+
=
( )

+

hz
z
d)z(f)(f
h

1
sup{| f() - f(z) | : [z, z + h]}





0h
0
Suy ra hàm F giải tích trong D và F(z) = f(z).






Đ4. Công thức tích phân Cauchy

Bổ đề
Cho đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc, định hớng dơng và D = D

.
Khi đó ta có
a - , Ind

(a) =


az
dz

i2
1
=





D a 0
D a 1
(3.4.1)
Hàm Ind

(a) gọi là chỉ số của điểm a đối với đờng cong

.
Chứng minh
a

n

m
z

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X

C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o

m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t

r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 3. Tích Phân Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 49
Với a
D
, hàm f(z) =
a
z
1

liên tục trên
D
, giải tích trong D. Theo công thức (3.3.2)
tích phân của hàm f trên đờng cong kín bằng không.
Với a D, kí hiệu B = B(a, ) D, S = B
+
là đờng tròn tâm a,
bán kính , định hớng dơng và D
1
= D - B. Hàm f(z) liên tục
trên
1
D , giải tích trong D

1
theo công thức (3.3.4) và các ví dụ
trong Đ1.



az
dz
=


S
az
dz
= 2i



Định lý
Cho hàm f giải tích trong miền D và đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc,
định hớng dơng sao cho D

D. Khi đó ta có
a D - , Ind

(a)f(a) =



dz

az
)z(f
i2
1
(3.4.2)
Công thức (3.4.2) gọi là
công thức tích phân Cauchy
.
Chứng minh

Từ giả thiết suy ra hàm g(z) =





=




a z )a(f
a z
az
)a(f)z(f
giải tích trong miền D.
Sử dụng công thức (3.3.1) ta có
0 =

dz)z(g
=





dz
az
)a(f
dz
az
)z(f

Kết hợp với công thức (3.4.1) suy ra công thức (3.4.2)



Hệ quả 1
Cho miền D có biên định hớng dơng gồm hữu hạn đờng cong đơn, kín,
trơn từng khúc và hàm f liên tục trên
D
, giải tích trong D.
z D, f(z) =

D
d
z
)(f
i2
1
(3.4.3)
Chứng minh
Nếu D là miền đơn liên thì biên D là đờng cong định hớng dơng, đơn, kín và trơn
từng khúc. Lập luận tơng tự nh trong chứng minh định lý và sử dụng công thức (3.3.2)
thay cho công thức (3.3.1)
Nếu D là miền đa liên biến đổi miền D thành miền D
1
đơn liên nh trong hệ quả 2, Đ3.
Sau đó sử dụng kết quả đ biết cho miền đơn liên, tính cộng tính và tính định hớng của
tích phân.



Nhận xét Theo các kết quả trên thì giá trị của hàm giải tích trong miền D đợc xác định
bằng các giá trị của nó trên biên D.

a



S

D

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r

a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.

d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m