CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ

BÀI TẬP:
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào các định lý trên để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc
f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu
là x
i
là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(x
i
)
B4: Dựa vào dấu của f ” (x
i
) suy ra cực trị
( f ”(x
i
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x
i
; ( f ”(x
i
) < 0
thì hàm số có cực đại tại x
i

)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số
3 2
2 3 36 10y x x x= + − −
Qui tắc I.
TXĐ: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔

= −

+
∞
-
∞

- 54
71
+
+
-
0
0
2
-3
+
∞
-
∞
y
y'
x
Vậy x = -3 là điểm cực đại và y
cđ
=71
x= 2 là điểm cực tiểu và y
ct
= - 54
Qui tắc II
TXĐ: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔

= −

y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và
y
ct
= - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và
y
cđ
=71
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x

c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
2 2
3

2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
−
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0
không kể CĐ hay CT)
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x
3
– 3mx

2
+ ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
LG
2
' 3 6 1y x mx m= − + −
.
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0
2
3.(2) 6 .2 1 0 1m m m⇔ − + − = ⇔ =
Với m = 1 ta được hàm số: y = x
3
– 3x
2
+ 2 có :
2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x
=

= − ⇒ = ⇔

=

tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực
tiểu
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm

BÀI TẬP
Bài 1. Xác định m để hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x= + + +
Bài 2. Tìm m để hàm số
3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT
3
y x mx m x= − + − +
Bài 3. Tìm m để hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+
Bài 4. Tìm m để hàm số
3 2 2
2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x= − + −
Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
3 2
( ) axf x x bx c= + + +
đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ
thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số
( )

1
q
f x xp
x
= +
+
đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2
Hướng dẫn:
2
'( ) 1 , x -1
( 1)
q
f x
x
= − ∀ ≠
+
+ Nếu
0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ã hµm sè lu«n ®ång biÕn . Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ.q ≤ ∀ ≠
+ Nếu q > 0 thì:
2
2
1
2 1
'( ) 0
( 1)
1
x q
x x q
f x
x

x q

= − −
+ + −
= = ⇔

+

= − +

Lập bảng biến thiên để xem hàm đạt cực tại tại giá trị x nào.
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.
Bài toán: ‘Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.
Phương pháp
B1: Tìm m để hàm số có cực trị.
B2: Vận dụng các kiến thức khác. Chú ý:
 Hàm số
3 2
ax ( 0)y bx cx d a= + + + ≠
có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
 Cực trị của hàm phân thức
( )
( )
p x
y
Q x
=
. Giả sử x
0
là điểm cực trị của y, thì giá trị của y(x

0
) có thể được tính
bằng hai cách: hoặc
0 0
0 0
0 0
( ) '( )
( ) hoÆc y(x )
( ) '( )
P x P x
y x
Q x Q x
= =
(Phải CM)
Ví dụ 1: Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
2
3 2
1 x 2 4
. y = ( 6) 1 . y =
3 2
mx m
a x mx m x b
x
+ − −
+ + + −
+
Hướng dẫn.
a. TXĐ: R

2

' 2 6y x mx m= + + +
.
Để hàm số có cực trị thì phương trình:
2
2 6 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖtx mx m+ + + =
2
3
' 6 0
2
m
m m
m
>

∆ = − − > ⇔

< −

b. TXĐ:
{ }
\ 2−¡

2 2
2 2
2
(2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4
'
( 2) ( 2)
µm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi ' 0 ã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 4 4 4 0
' 0 4 4 4 0

0
4 8 4 4 0 0
x m x x mx m x x m
y
x x
H y c x x m
m
m
m m
+ + − + − − + + +
= =
+ +
= ⇔ + + + =
∆ > − − >
 
⇔ ⇔ ⇔ <
 
− + + ≠ ≠
 
Ví dụ 2: Cho hàm số: y = mx
4
+(m
2
– 9)x
2
+ 10 (1).Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị.(Đại học khối B
năm 2002)
Ví dụ 3: Cho hàm số:
+ + + +
=

+
2
( 1) 1
1
x m x m
y
x
.chứng minh rằng : với m bất kỳ, đồ thị hàm số luôn có điểm
cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
20
(Đại Học khối B năm 2005)
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm m để hàm số
3 2
3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT?y x mx= − +
Bài 2. Tìm m để hàm sô
2 3
( 1) 1x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 3. Cho hàm số
3 2
2 · 12 13y x x= + − −
. Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị
cách đều trục tung.
Bài 4. Hàm số

3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx= − + + −
. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bài 5. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
+
=
−
. Tìm m để hàm số có cực trị.
Bài 6. Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trước.
Phương pháp
+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất.
Ví dụ :
1.Cho hàm số y=
)0.(
2
≠
+
++
da
edx
cbxax
.CMR:Phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số là
d
bax
y
+
=
2
.
2.Cho hàm số y=
)(
)(
xv
xu
.CMR:Nếu x
0
là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị tại x
0
là y
0

=
)(
)(
0
,
0
,
xv
xu
(Có thể
dùng để tính giá trị cực trị của hàm phân thức).
3.Tìm m để hàm số
mx
mmxmx
y
+
++++
=
4)32(
22
có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu.(ĐHTC-1999).
4.Cho hàm số
1
24)1(
22
−
−+−+−
=
x
mmxmx

y
.Tìm m để hàm số có cực trị.Tìm m để tích các giá trị cực trị nhỏ
nhất.(ĐHQGHN-1999).
5. Cho hàm số
1
22
2
+
++
=
x
mxx
y
. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng x+y+2=0.
6.Cho hàm số
mx
mxx
y
−
−+
=
8
2
. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu,khi đó viết phuơng trình đường thẳng
đi qua cực đại ,cực tiểu của đồ thị hàm số.
(ĐHCS-2000).
7.Cho hàm số
1
23)1(
2

−
+++−
=
x
mxmx
y
. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và
cực tiểu cùng dấu.(CĐSPTPHCM-2001).
8. Cho hàm số
1
2
−
+−
=
x
mmxx
y
.CMR:Với mọi m hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị
là không đổi.(ĐHTL-1998).
9. Cho hàm số
1
8
2
−
+−+
=
x
mmxx
y
. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng

9x-7y-1=0.(ĐHAN-1999).
10.Cho hàm số y=x
3
-3(m+1)x
2
+2(m
2
+7m+2)x-2m(m+2).
Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại ,cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu đó.
(HVKTMM-1999).
11.Cho hàm số y=x
3
+3mx
2
+3(1-m
2
)x+m
3
-m
2
.Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cuả đồ thị
hàm số.(ĐH-2002-Khối A).
12.Cho hàm số
.
2
1
2
3
323
mmxxy +−=

Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng
nhau qua đường thẳng y=x(ĐH Huế 2001)
13. Cho hàm số
2 2
(2 1) 4
2
x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
(1).Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm
cực trị của đồ thị hàm số (1) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.(ĐH khối A -2007)
14. Cho hàm số y = - x
3
+3x
2
+3(m
2
- 1)x – 3m
2
– 1 (1) Tìm m để hàm số (1) có cực đại ,cực tiểu và các điểm
cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. (ĐH khối B năm 2007)
15. Cho
3 2
1 1 3
(sin cos ) sin 2 .
3 2 4
y x m m x m x= − + +

. Gọi x
1,
x
2
là hoành độ 2 điểm cực trị. Tìm m để
2 2
1 2 1 2
x x x x+ = +
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5

9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
−
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:

. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]