Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức và Phép biến đổi Laplace ppt

Tóm tắt và các ví dụ
Phần Tích phân phức và
Phép biến đổi Laplace
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
1

Chú ý
Số chỉ mục và thứ tự ví dụ được giữ nguyên như trong Bài giảng.

Chương 3. TÍCH PHÂN HÀM PHỨC
§2. ĐỊNH LÝ CAUCHY

2.1. Định lý Cauchy cho miền đơn liên
a) Định lý
Nếu hàm
( )
f z
giải tích trên miền đơn liên
D
và liên tục trên biên
C D
≡ ∂
thì:
( ) 0.

C
f z dz
=
∫


VD 1. Hàm
2
( )
4
z
f z
z
=
+
giải tích trong
: | | 1
D z
≤
và liên tục trên biên
D
∂
nên
2
| | 1
0
4
z
zdz
z

=
=
+
∫

.
b) Hệ quả
• Nếu hàm
( )
f z
giải tích trong miền đơn liên
D
và
C
là đường cong kín nằm trong
D
thì
( ) 0
C
f z dz
=
∫

.
• Nếu hàm
( )
f z
giải tích trong miền đơn liên
D
, thì tích phân

( )
C
f z dz
∫

với mọi đường cong
C
nằm trong
D
có
cùng điểm đầu và điểm cuối nhận giá trị như nhau.

VD 2. Tính tích phân
2
C
I z dz
=
∫
, trong đó
C
là cung
3 2
3
y x x
= −
nối
0
z
=
với

1 2
z i
= −
.
Giải. Đoạn thẳng
OA
nối
0
z
=
với
1 2
z i
= −
có phương trình:
( ) 2 , : 0 1
z t t it t
= − →
.
Do
( ) 2
f z z
=
giải tích trong
ℂ
nên:
2 2
C OA
I z dz z dz
= =

∫ ∫

1
0
2( 2 )(1 2 )
t it i dt
= − −
∫

1
2 2
0
(1 2 ) . 3 4
i t i
= − = − −
.

2.2. Định lý Cauchy cho miền đa liên
a) Định lý 1
Cho miền
D n
−
liên (
1
n
>
) có biên
D
∂
gồm

1 2
, , ,
n
C C C
, trong đó
1
C
bao các chu tuyến khác và các chu
tuyến
2
, ,
n
C C
nằm ngoài nhau. Nếu
( )
f z
giải tích trong
D
và liên tục trong
D D D
= ∂
∪
thì:
1 2
( ) ( ) ( ) .
n
C C C
f z dz f z dz f z dz
= + +
∫ ∫ ∫

  

b) Định lý 2
Với giả thiết như trong định lý 1, ta có:
( ) 0.
D
f z dz
∂
=
∫



Hệ quả (tính bất biến khi biến dạng chu tuyến)
Nếu chu tuyến
1
C
có thể biến dạng liên tục mà không vượt qua bất kỳ điểm kỳ dị nào của
( )
f z
để trở thành chu
tuyến
2
C
thì:
1 2
( ) ( ) .
C C
f z dz f z dz
=

∫ ∫
 

VD 3. Khảo sát tích phân
( )
n
n
C
dz
I
z a
=
−
∫

, trong đó
C
là đường cong kín không đi qua điểm
a
và
n
∈
ℤ
.
Gi
ải
• Trường hợp 1: điểm
a
nằm ngoài
C

.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đồn Vương Ngun – ĐHCN Tp.HCM
2

Do hàm
1
( )
( )
n
f z
z a
=
−
giải tích trong miền đóng
D
có biên
C
nên
0
n
I
=
(định lý 2).
• Trường hợp 2: điểm
a
nằm trong
C
.
Ta chọn
r

đủ bé để đường tròn
r
C
tâm
a
, bán kính
r
nằm trong
C
.
Phương trình tham số của
r
C
là:
( [0;2 ])
i
z a re
ϕ
ϕ π
= + ∈
.
Áp dụng hệ quả, ta được:
2 2
(1 )
1
0 0
( ) ( )
r
i
i n

n
n i n n
C
dz ire d i
I e d
z a re r
π π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
−
= = =
−
∫ ∫ ∫

.
 Với
1
n
=
thì
2
1
0
2
I i d i
π

ϕ π
= =
∫
.
 Với
1
n
≠
thì
2
(1 )
1
0
0
(1 )
i n
n
n
e
I
r n
π
ϕ
−
−
= =
−
.
Vậy
2 , 1

0, .
( )
n
C
i n a C
dz
z a
π


=

=


−


∫

và nằm trong
các trường hợp còn lại



§4. CƠNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY
4.1. Định lý (cơng thức tích phân Cauchy)

Giả sử hàm
( )

f z
giải tích trong miền giới nội
D
và liên tục trong miền
D D D
= ∂
∪
. Khi đó, giá trị
0
( )
f z
tại
điểm bất kỳ
0
z D
∈
được biễu diễn qua giá trị trên biên
D
∂
theo cơng thức tích phân Cauchy:
0
0
1 ( )
( ) .
2
D
f z
f z dz
i z zπ
∂

=
−
∫


VD 1. Tính tích phân
2
| | 1
1
z i
dz
I
z
− =
=
+
∫

.
Giải. Hàm dưới dấu tích phân có điểm bất thường
z i
=
nằm trong đường tròn
| | 1
z i
− =
.
Do đó
| | 1
( )

z i
f z
I dz
z i
− =
=
−
∫

, với hàm
1
( )f z
z i
=
+
giải tích trong hình tròn
| | 1
z i
− <
.
Áp dụng cơng thức tích phân Cauchy, ta có:
| | 1
1 ( ) 1
( ) .
2 2
z i
f z dz
f i I
i z i i
π π

− =
= =
−
∫


2
2 . ( )
2
i
I i f i
i
π
π π
⇒ = = =
.

VD 2. Tính tích phân
2 2
4
iz
C
e dz
I
z
π
=
−
∫


, trong đó: a)
: | 1 | 1
C z
− =
; b)
: | | 3
C z i
− =
.
Giải
a) Hàm dưới dấu tích phân có điểm bất thường
2
z
π
=
nằm trong
C
.
Do
đó
( )
2
C
f z dz
I
z
π
=
−
∫


, với hàm
( )
4
2
iz
e
f z
z
π
=
 



+





 
giải tích trong
| 1 | 1
z
− <
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
3

Vậy
cos sin
1
2 2
2 . 2 .
2 4 2
i
I i f i
π π
π
π π
π
+
 



= = = −





 
.
b) Hàm
2 2
4
iz
e

w
z
π
=
−
có 2 điểm bất thường
2
z
π
= ±
nằm trong
C
. Xét miền đa liên như hình vẽ và áp dụng
định lý Cauchy cho miền đa liên, ta có:
1 2
. . .
4 2 4 2
2 2
iz iz
C C
e dz e dz
I
z z
z z
π π π π
= +
− +
+ −
∫ ∫
 

Vậy
2 2
2 . 2 . 1
4 2 4 2
iz iz
z z
e e
I i i
z z
π π
π π
π π
=− =
= + = −
− +
.

4.2. Hệ quả 1 (công thức Cauchy cho đạo hàm của hàm giải tích)
Giả sử hàm
( )
f z
giải tích trong miền giới nội
D
và liên tục trong miền
D D D
= ∂
∪
. Khi đó, hàm
( )

f z
có đạo
hàm mọi cấp tại điểm
0
z
bất kỳ trong miền
D
và được biễu diễn qua công thức tích phân Cauchy:
( )
0
1
0
! ( )
( ) , 1, 2,
2
( )
n
n
D
n f z dz
f z n
i
z z
π
+
∂
= =
−
∫


VD 3. Tính tích phân
2 2
| 1| 1
sin
( 1)
z
z
I dz
z
π
− =
=
−
∫

.
Giải. Do hàm
2 2
sin
( 1)
z
w
z
π
=
−
có điểm bất thường
1

z
=
nằm trong
: | 1 | 1
C z
− =
, nên ta có:
2
| 1| 1
( )
( 1)
z
f z
I dz
z
− =
=
−
∫

, với
2
sin
( )
( 1)
z
f z
z
π
=

+
giải tích trong hình tròn
| 1 | 1
z
− <
.
Áp dụng hệ quả 1, ta được:
2 2
| 1| 1
sin 2
. (1)
1!
( 1)
z
z i
I dz f
z
π π
− =
′
= =
−
∫

2 2
4
1
cos .( 1) 2( 1)sin
2 . .
2

( 1)
z
z z z z i
i
z
π π π π
π
=
+ − +
= = −
+


VD 4. Tính tích phân
4
3
| | 2
( )
z
z
I dz
z i
=
=
−
∫

.
Giải. Do hàm
4

3
( )
z
w
z i
=
−
có điểm bất thường
z i
=
nằm trong
: | | 2
C z
=
, nên ta có:
3
| | 2
( )
( )
z
f z
I dz
z i
=
=
−
∫

, với
4

( )
f z z
=
giải tích trong hình tròn
| | 2
z
<
.
Áp dụng hệ quả 1, ta được:
4
3
| | 2
2
. ( )
2!
( )
z
z i
I dz f i
z i
π
=
′′
= =
−
∫


2
2

.12 12
2
z i
i
z i
π
π
=
= − .



Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
4

Chương 4. Chuỗi và Thặng dư
§2. THẶNG DƯ
2.1.3. Cách tìm cực điểm cấp m
Cho
z a
= ≠ ∞
là điểm bất thường cô lập của
( )
f z
.
 Nếu
lim ( )
z a
f z L
→

= ≠ ∞
thì
z a
=
là cực điểm cấp 0.
 Nếu
lim ( )
lim[( ) ( )] \ {0}
z a
m
z a
f z
z a f z L
→
→


= ∞




− = ∈



ℂ
thì
z a
=

là cực điểm cấp
m
.
 Nếu
lim ( )
z a
f z
→
không tồn tại thì
z a
=
là điểm bất thường cốt yếu.

VD 5. Tìm và phân loại điểm bất thường cô lập của
2
2 3
sin
( )
( 1)
z
f z
z z
=
−
.
Giải. Hàm
( )
f z
có 2 điểm bất thường là
0

z
=
và
1
z
=
.
• Do
2
3
0 0
1 sin
lim ( ) lim . 1
( 1)
z z
z
f z
z
z
→ →
 
 
 



= = − ≠ ∞

 





−
 
 
 
nên
0
z
=
là cực điểm cấp 0 của
( )
f z
.
• Ta có:
1
lim ( )
z
f z
→
= ∞
và
3 2
1
0 lim[( 1) ( )] sin 1
z
z f z
→
≠ − = ≠ ∞

. Suy ra
1
z
=
là cực điểm cấp 3.
VD 6. Xác định điểm bất thường cô lập của
1
( ) cosf z
z i
=
−
.
Giải. Hàm
( )
f z
có điểm bất thường cô lập là
z i
=
.
Do
1
lim cos
z i
z i
→
−
không tồn tại nên
z i
=
là điểm bất thường cốt yếu.

2.1.4. Điểm bất thường cô lập tại vô cùng
• Giả sử hàm
( )
f z
giải tích trong miền
| |
r z
< < +∞
với
0
r
>
và không giải tích tại
z
= ∞
.
Đặt
1
t
z
=
thì
1
( ) ( )
f z f g t
t
 




= =





 
. Khi đó
( )
g t
giải tích trong miền
1
0 | |z
r
< <
nên có khai triển Laurent.
• Trong khai triển Laurent của
( )
g t
, tùy theo
0
t
=
là cực điểm bỏ được, cực điểm cấp
m
hay điểm bất thường
cốt yếu ta có
z
= ∞

là cực điểm tương ứng của
( )
f z
.

VD 7. Xác định điểm bất thường cô lập
z
= ∞
của:
a)
1
( ) cos
f z
z
=
; b)
( )
z
g z e
=
; c)
1
0 1 0
( ) , 0
m m
m m
P z a z a z a a
−
= + + + ≠
.

Giải
a) Đặt
1
t
z
=
, ta có:
2 4
cos 1
2! 4 !
t t
t
= − + −
nhận
0
t
=
làm không điểm.
Vậy
z
= ∞
là không điểm của
( )
f z
.
b) Đặt
1
t
z
=

, ta có:
1
2 3
1 1 1
1
2! 3!
t
e
t
t t
= + + +
nhận
0
t
=
làm điểm bất thường cốt yếu.
Vậy
z
= ∞
là điểm bất thường cốt yếu của
( )
g z
.
c)
Đặt
1
t
z
=
, ta có:

0 1
0
1
1
, 0
m m
m m
a a
P a a
t
t t
−
 



= + + + ≠





 
nhận
0
t
=
làm cực điểm cấp
m
.

Vậy
z
= ∞
là cực điểm cấp
m
của
( )
m
P z
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
5

2.2. THẶNG DƯ
2.2.2. Phương pháp tính thặng dư
 Cách 1. Dùng định nghĩa, ta có:

1
[ ( ), ]
Res f z a c
−
=
(hệ số của
1
z a
−
trong khai triển
( )
f z
quanh điểm

z a
=
).

1
[ ( ), ]
Res f z c
−
∞ = −
(hệ số của
1
z
trong khai triển
( )
f z
quanh điểm
z
= ∞
).

 Cách 2. Dùng cực điểm.
 Nếu
a
≠ ∞
là cực điểm đơn thì:
[ ( ), ] lim[( ) ( )].
z a
Res f z a z a f z
→
= −

 Nếu
a
≠ ∞
là cực điểm cấp
m

( 2)
m
≥
thì:
( 1)
1
[ ( ), ] lim[( ) ( )] .
( 1)!
m m
z a
Res f z a z a f z
m
−
→
= −
−

Chú ý
1) Nếu
a
≠ ∞
là cực điểm đơn và
( )

( )
( )
h z
f z
g z
= với
( ) 0
g a
=
,
( ) 0
h a
≠
,
( ) 0
g a
′
≠
thì:
( ) ( )
[ ( ), ] .
( ) ( )
z a
h z h a
Res f z a
g z g a
=
= =
′ ′

2) Khi tính giới hạn có dạng
0
0
, ta có thể dùng quy tắc L’Hospital.

VD 8. Tính
[ ( ), 2]
Res f z
của
2
2 3
( )
2
z z
f z
z
− +
=
−
.
Giải
Cách 1. Ta có:
2
2 3 3
2 ( 2) (0 | 2 | )
2 2
z z
z z
z z
− +

= + − + < − < ∞
− −
.
Vậy
1
[ ( ), 2] 3
Res f z c
−
= =
.
Cách 2. Ta có
2
z
=
là cực điểm đơn của
( )
f z
nên:
2
2 2
[ ( ), 2] lim[( 2) ( )] lim( 2 3) 3
z z
Res f z z f z z z
→ →
= − = − + =
.
Hoặc
2
2
2 3

[ ( ), 2] 3
( 2)
z
z z
Res f z
z
=
− +
= =
′
−
.

VD 9. Tính
[ ( ), 1]
Res f z
của
2
1
( )
( 1)
f z
z z
=
−
.
Giải
Cách 1. Ta có:
2 2
1 1 1

.
1 (1 )
( 1) ( 1)
z
z z z
=
− −
− −
2
2
1
1 (1 ) (1 )
( 1)
z z
z
 
= + − + − +
 
 
−


2
1 1
1 (0 | 1 | 1)
1
( 1)
z
z
z

= − + − < − <
−
−
.
Vậy
1
[ ( ), 1] 1
Res f z c
−
= = −
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
6

Cách 2. Ta có:
1
lim ( )
z
f z
→
= ∞
và
2
1
lim[( 1) ( )] 1 1
z
z f z z
→
− = ⇒ =
là cực điểm cấp 2.

Vậy
2
1
1
[ ( ), 1] lim[( 1) ( )]
1!
z
Res f z z f z
→
′
= −
2
1 1
1 1
lim lim 1
z z
z
z
→ →
′
 



= = − = −






 
.

VD 10. Tính
[ ( ), ]
Res f z
∞
của các hàm: a)
2
( )
z
f z e
=
; b)
15
8
3
( )
1
z
g z
z
=
+
.
Giải
a) Ta có:
2
1
2

0
1 2 2 4
1 2
!
n
z
n
e c
n z z
z
∞
−
=
 



= = + + + ⇒ =





 
∑
.
Vậy
1
[ ( ), ] 2
Res f z c

−
∞ = − = −
.
b) Ta có:
15
7
8
8
3 1
( ) 3 .
1
1
1
z
f z z
z
z
= =
−
+
−
7 7
1
8 9
0
( 1) 3 3
3 3 3
n
n
n

z z c
z
z z
∞
−
=
−
= = − + − ⇒ = −
∑
.
Vậy
1
[ ( ), ] 3
Res f z c
−
∞ = − =
.

VD 11. Tìm thặng dư của
2
( )
1
z
e
f z
z
=
+
tại các điểm bất thường cô lập hữu hạn.
Giải. Hàm

( )
f z
có hai cực điểm đơn là
z i
= ±
.
Ta có:
2
[ ( ), ]
2 2
( 1)
z z i
z i z i
e e e
Res f z i
z i
z
= =
= = =
′
+
;
2
1
[ ( ), ]
( 1) 2
z
i
z i
e

Res f z i
z ie
=−
− = = −
′
+
.

VD 12. Tìm thặng dư của
4
sin 1
( )
z
f z
z
+
=
tại các điểm bất thường cô lập hữu hạn.
Giải. Hàm
4
sin 1
( )
z
f z
z
+
=
có
0
z

=
là cực điểm cấp 4.
Vậy
4
4
0
1 sin 1
[ ( ), 0] lim .
3!
z
z
Res f z z
z
→
′′′
 
+



=





 
0
1 1
lim cos

6 6
z
z
→
= − = −
.

……………………………
§3. ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ
3.1. Tính tích phân dọc theo đường cong kín
 Định lý 1
Nếu hàm
( )
f z
giải tích trong miền đóng
D
giới hạn bởi đường cong Jordan kín
C
trừ một số hữu hạn điểm

1
a
,
2
a
, …,
n
a
bất thường cô lập nằm trong
D

thì:
1
( ) 2 . [ ( ), ].
n
k
k
C
f z dz i Res f z a
π
=
=
∑
∫


VD 1. Tính tích phân
2
| | 2
1
z
z
e
I dz
z
=
=
+
∫

.

Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
7

Giải. Hàm
2
( )
1
z
e
f z
z
=
+
có 2 điểm bất thường cô lập là
z i
= ±
nằm trong hình tròn
: | | 2
D z
≤
.
Áp dụng định lý 1, ta có:
(
)
2 [ ( ), ] [ ( ), ]
I i Res f z i Res f z i
π
= + −

2 2

2
( 1) ( 1)
z z
z i z i
e e
i
z z
π
= =−
 




= +




′ ′

 + +
 


2 2 .sin1
2
i i
e e
i i

i
π π
−
 
−



= =





 
.

VD 2. Tính tích phân
2
| 1| 1
2
( 1) ( 1)
z
z
I dz
z z
− =
+
=
− +

∫

.
Giải. Hàm
2
2
( )
( 1) ( 1)
z
f z
z z
+
=
− +
có 1 cực điểm cấp 2 là
1
z
=
nằm trong hình tròn
: | 1 | 1
D z
− ≤
.
Áp dụng định lý 1, ta có:
1
2
2 . [ ( ), 1] 2 .lim
1 2
z
z

I i Res f z i i
z
π
π π
→
′
 
+



= = = −





+
 
.

 Định lý 2
Nếu
( )
f z
giải tích trong toàn mặt phẳng phức trừ một số hữu hạn điểm
1 2
, , ,
n
a a a

bất thường cô lập thì:
1
[ ( ), ] [ ( ), ] 0.
n
k
k
Res f z a Res f z
=
+ ∞ =
∑

VD 3. Tính tích phân
4
| | 2
1
z
dz
I
z
=
=
+
∫

.
Giải. Hàm
4
1
( )
1

f z
z
=
+
có 4 điểm bất thường cô lập
k
a
,
1, 4
k = là căn bậc 4 của
1
−
.
Ta có:
4 4 4
0
4
1 1 1 ( 1)
( ) . .
1
( )
1
n
n
n
f z
z z z
z
∞
=

−
= =
−
−
∑

4 8 12
1 1 1

z z z
= − + −
1
0 [ ( ), ] 0
c Res f z
−
⇒ = ⇒ ∞ =
.
Áp dụng định lý 2, ta được:
2 . [ ( ), ] 0
I i Res f z
π
= − ∞ =
.
VD 4. Tính tích phân
4
5
| | 1
2 1
z
z

I dz
z
=
=
−
∫

.
Giải. Hàm
4
5
( )
2 1
z
f z
z
=
−
có 5 điểm bất thường cô lập
k
a
,
1, 5
k =
là căn bậc 5 của
1
2
.
Ta có:
4

5 5
0
5
1 1 1 1
( ) . .
2 1 2
2 1 (2 )
1
2
n
n
z
f z
z z
z z
z
∞
=
= = =
−
−
∑
6 11
1 1 1

2
4 8
z
z z
= + + +

1
1 1
[ ( ), ]
2 2
c Res f z
−
⇒ = ⇒ ∞ = −
.
Áp dụng định lý 2, ta được:
2 . [ ( ), ]
I i Res f z i
π π
= − ∞ =
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
8

3.2. Tính tích phân hàm lượng giác
 Dạng tích phân
2
0
(cos ,sin ) (cos , sin )
I R t t dt I R t t dt
π π
π
−
= =
∫ ∫
hoaëc

Trong đó,
(cos ,sin )
R t t
là hàm hữu tỉ theo sin và cosin.

 Phương pháp giải
• Đặt
it
z e
=
, ta có:
it
dz
dz ie dt dt
iz
= ⇒ =
,

2 2
( ) 1 1
cos
2 2
2
it it it
it
e e e z
t
z
e

−
+ + +
= = =
,

2 2
( ) 1 1
sin
2 2
2
it it it
it
e e e z
t
i iz
ie
−
− − −
= = =
.
• Khi
t
biến thiên từ 0 đến
2
π
(hoặc từ
π
−
đến
π

) thì
z
biến thiên trên đường tròn đơn vị
| | | | 1
it
z e
= =
.
Suy ra, các tích phân trên có dạng:
1
| | 1
( ) 2 [ ( ), ].
n
k
k
z
I f z dz i Res f z a
π
=
=
= =
∑
∫


Trong đó
(
)
1,
k

a k n
=
là các điểm bất thường cô lập nằm trong hình tròn
| | 1
z
<
.
VD 5. Tính tích phân
2
0
2 sin
dt
I
t
π
=
+
∫
.
Giải. Đặt
it
dz
z e dt
iz
= ⇒ =
, ta có:
2 2
| | 1 | | 1
2
1 4 1

2
2
z z
dz
dz
iz
I
z z iz
iz
= =
= =
− + −
+
∫ ∫
 
.
Hàm
2
1
( )
4 1
f z
z iz
=
+ −
có điểm
(
)
2 3
a i

= − + là cực điểm đơn nằm trong hình tròn
| | 1
z
<
.
Vậy
2
2.2 . [ ( ), ] 4 .lim
4 1
z a
z a
I i Res f z a i
z iz
π π
→
−
= =
+ −
2
( ) 2
4 .lim
( 4 1)
3
z a
z a
i
z iz
π
π
→

′
−
= =
′
+ −
.
VD 6. Tính tích phân
0
3 cos
dt
I
t
π
=
−
∫
.
Giải. Đặt
it
dz
z e dt
iz
= ⇒ = , ta có:
2
| | 1
1 1
2 3 cos 2
1
3
2

z
dz
dt
iz
I
t
z
z
π
π
− =
= =
−
+
−
∫ ∫

2 2
| | 1 | | 1
1
6 1 6 1
z z
dz dz
i
i
z z z z
= =
= − =
− + − +
∫ ∫

 
.
Hàm
2
1
( )
6 1
f z
z z
=
− +
có điểm
3 2 2
a
= −
là cực điểm đơn nằm trong hình tròn
| | 1
z
<
.
V
ậy
2
.2 . [ ( ), ] 2 .lim
6 1
z a
z a
I i i Res f z a
z z
π π

→
−
= = −
− +
2
( )
2 .lim
( 6 1)
2 2
z a
z a
z z
π
π
→
′
−
= − =
′
− +
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
9

3.3. Tính tích phân suy rộng
3.3.1. Dạng suy rộng
( )
f x dx
+∞
−∞

∫

b) Ứng dụng
Cho
( )
f z
giải tích trong nửa mặt phẳng trên (trừ một số hữu hạn điểm bất thường cô lập
1 2
, , ,
n
a a a
) .
Nếu
( )
( )
( )
P x
f x
Q x
=
, với bậc
( )
P x
≤
(bậc
( ) 2
Q x
+
) thì:
1

( ) 2 [ ( ), ].
n
k
k
f x dx i Res f z a
π
+∞
=
−∞
=
∑
∫

VD 7. Tính tích phân
4
1
dx
I
x
+∞
−∞
=
+
∫
.
Giải. Hàm
4
1
( )
1

f z
z
=
+
có 2 cực điểm đơn
4
1
i
a e
π
= và
3
4
2
i
a e
π
= nằm trong nửa mặt phẳng phía trên.
Ta có:

{
}
1 2
2 [ ( ), ] [ ( ), ]
I i Res f z a Res f z a
π= +
1 2
1 2
4 4
2 lim lim

1 1
z a z a
z a z a
i
z z
π
→ →
 
− −




= +





+ +
 


1 2
3 3 3 3
1 2
1 1 1 1
2 lim lim
2
4 4

z a z a
i
i
z z a a
π
π
→ →
 
 







= + = +










 
 
3

1 2
4 4
4 4
1 2
2
2 2 2
i i
a a
i i
e e
a a
π π
π π π
 
 








= + = − + =










 
 
.

VD 8. Tính tích phân
2 2
( 1)
dx
I
x
+∞
−∞
=
+
∫
.
Giải. Hàm
2 2 2 2
1 1
( )
( 1) ( ) ( )
f z
z z i z i
= =
+ − +
có một cực điểm cấp hai
z i

=
nằm trong nửa mặt phẳng trên.
Ta có:
2
2 . [ ( ), ] 2 .lim[( ) ( )]
z i
I i Res f z i i z i f z
π π
→
′
= = −


2 3
1 2
2 .lim 2 .lim
( ) ( )
z i z i
i i
z i z i
π π
→ →
′
 
−
 
= =
 
+ +
 

1
2 .
4 2
i
i
π
π
= =
.

3.3.2. Dạng suy rộng
1 2
( )cos , ( )sin .
I f x x dx I f x x dx
α α
+∞ +∞
−∞ −∞
= =
∫ ∫

b) Ứng dụng
• Bước 1. Tính:
1 2
1
( ) 2 [ ( ) , ]
n
i x i z
k
k
I iI f x e dx i Res f z e a

α α
π
+∞
=
−∞
+ = =
∑
∫
.
Trong đó,
k
a
là các điểm bất thường nằm trong nửa mặt phẳng trên.
• Bước 2. Cân bằng phần thực và phần ảo, ta có
1
I
và
2
I
.
VD 9. Tính các tích phân sau:
1 2
2 2
cos sin
,
2 10 2 10
x x x x
I dx I dx
x x x x
+∞ +∞

−∞ −∞
= =
− + − +
∫ ∫
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
10

Giải. Hàm
2
( )
2 10
z
f z
z z
=
− +
thỏa bổ đề 2 và có 1 cực điểm đơn nằm trong nửa mặt phẳng trên là
1 3
i
+
.
Ta có:
1 2
2 . [ ( ) , 1 3 ]
iz
I iI i Res f z e i
π
+ = +

3
1 3
2 (1 3 )
2 2 3
iz
i
z i
ze
i e i e
z
π
π
−
= +
 



= = +





−
 


3 3
(cos1 3 1) (3cos1 1)

3 3
e sin i e sin
π π
− −
= − + +
.
Vậy
3 3
1 2
(cos1 3 1), (3 cos1 1)
3 3
I e sin I e sin
π π
− −
= − = +
.
………………………….

Chương 5. Phép biến đổi Laplace

§1. ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace
a) Định nghĩa
• Hàm ảnh của hàm gốc
( )
f t
là hàm phức
( )
F s
biến số phức

s i
α β
= +
xác định bởi tích phân Laplace:
0
( ) ( ) .
st
F s e f t dt
+∞
−
=
∫

• Phép biến đổi từ hàm gốc
( )
f t
sang hàm ảnh
( )
F s
xác định bởi công thức trên được gọi là phép biến đổi
Laplace. Ký hiệu là
( ) { ( )}.
F s L f t
=


1.3. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng
a) Hàm bậc thang đơn vị u(t)
1
{ ( )} (1) .

L u t L
s
= =


b) Hàm f(t) = e
at
, f(t) = e
– at
(a là hằng số phức)
1 1
( ) , ( ) .
at at
L e L e
s a s a
−
= =
− +


c) Hàm f(t) = t
n
1
!
( ) , .
n
n
n
L t n
s

+
+
= ∈
ℤ


d) Hàm lượng giác f(t) = cosat, f(t) = sinat

2 2 2 2
(cos ) , (sin ) .
s a
L at L at
s a s a
= =
+ +

………………………………………
§2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
2.1. Tính ch
ất tuyến tính
Nếu
{ ( )} ( )
L f t F s
=
và
{ ( )} ( )
L g t G s
=
thì
{ . ( ) . ( )} ( ) ( ).

L a f t b g t aF s bG s
+ = +

Trong đó,
a
và
b
là các hằng số phức.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
11

VD 1.
4 4
(3 2 ) (3 ) ( 2 )
L t t L t L t
− = + −

4
3. ( ) 2. ( )
L t L t
= −
3
5 2 5
4! 2 72 2
3.
s
s s s
−
= − =
.

2.2. Tính chất dời (dịch chuyển ảnh) (biến đổi của hàm
( )
at
e f t
−
)
Nếu
{ ( )} ( )
L f t F s
=
, với
a
là hằng số phức, thì:
{ ( )} ( ).
at
L e f t F s a
−
= +

VD 2. Do
1
!
( ) ( )
n
n
n
L t F s
s
+

= =
nên
1
!
( ) ( )
( )
n at
n
n
L t e F s a
s a
−
+
= + =
+
.
VD 3. Tìm biến đổi Laplace của các hàm: a)
2
( ) cos 3
t
g t e t
−
=
; b)
3
( ) sin 2
t
g t e t
=
.

Giải
a) Ta có:
2
(cos 3 ) ( )
9
s
L t F s
s
= =
+
. Vậy
2
2
2
( cos 3 ) ( 2)
( 2) 9
t
s
L e t F s
s
−
+
= + =
+ +
.
b) Ta có:
2
2
(sin 2 ) ( )
4

L t F s
s
= =
+
. Vậy
3
2
2
( sin 2 ) ( 3)
( 3) 4
t
L e t F s
s
= − =
− +
.

2.3. Tính chất trễ (dời theo t) (biến đổi của hàm
( ). ( )
u t T f t T
− −
)
{ ( ). ( )} ( ).
sT
L u t T f t T e F s
−
− − =

Trong đó
0,

( )
1,
t T
u t T
t T


<

− =


≥


.
 Chú ý
1)
{ ( )}
sT
st
T
e
L u t T e dt
s
+∞
−
−
− = =
∫

.
2) Cần tránh nhầm lẫn giữa hàm
( ). ( )
u t T f t T
− −
và
( )
f t T
−
(hàm
( )
f t T
−
thực chất là
( ). ( )
u t f t T
−
).

VD 4. Tìm biến đổi Laplace của các hàm:
a)
sin( 2), 2
( )
0, 2
t t
f t
t


− ≥


=


<


; b)
2
( ) ( 3).
t
g t u t e
= −
.
Giải
a) Ta có:
( ) ( 2).sin( 2)
f t u t t
= − −
,
2
T
=
.
Vì
2
1
(sin )
1
L t

s
=
+
nên ta có:
2
2
{ ( )}
1
s
e
L f t
s
−
=
+
.

b) Ta có:
2 2( 3) 6
( ) ( 3). ( 3). .
t t
g t u t e u t e e
−
= − = −
.
Vì
2
1
( )
2

t
L e
s
=
−
nên
3
2( 3)
{ ( 3) }
2
s
t
e
L u t e
s
−
−
− =
−
.
V
ậy
3 6 3
6
{ ( )} .
2 2
s s
e e
L g t e
s s

− −
= =
− −
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
12

VD 5. Tìm biến đổi Laplace của hàm
0, 1
( ) 1, 1 3
0, 3
t
f t t
t


<



= ≤ <



≥



.
Giải. Ta có:

( ) ( 1) ( 3)
f t u t u t
= − − −
.
Vậy
3
{ ( )} { ( 1)} { ( 3)}
s s
e e
L f t L u t L u t
s s
− −
= − − − = −
.
VD 6. Tìm biến đổi Laplace của hàm
0, 0
( ) 1, 0 1
3, 1
t
f t t t
t


<



= + ≤ <




≥



.
Giải
Ta có:
( ) [ ( 0) ( 1)]( 1) 3 ( 1)
f t u t u t t u t
= − − − + + −


( ).( 1) ( 1).(2 )
u t t u t t
= + + − −
1 ( 1) ( 1).( 1)
t u t u t t
= + + − − − −
.
Vậy
2 2
1 1 1 1
{ ( )}
s
L f t e
s s
s s
−
 




= + + −





 
.
VD 7. Tìm biến đổi Laplace của hàm
0, 0
, 0 1
( )
2 , 1 2
0, 2
t
t t
f t
t t
t


<



≤ <



=


− ≤ <



≥



.
Giải
Ta có:
( ) [ ( ) ( 1)]
f t u t u t t
= − −
[ ( 1) ( 2)](2 )
u t u t t
+ − − − −


( ) 2 ( 1)( 1) ( 2)( 2)
u t t u t t u t t
= − − − + − −
.
Vậy
2
2 2 2

1 1 1
{ ( )} 2.
s s
L f t e e
s s s
− −
= − +
.

2.5. Biến đổi Laplace của đạo hàm f
(n)
(t)
Nếu
{ ( )} ( )
L f t F s
=
và hàm gốc
( )
f t
có đạo hàm đến cấp
n
và các đạo hàm cũng là hàm gốc thì:
( ) 1 2 ( 2) ( 1)
{ ( )} ( ) (0) (0) (0) (0).
n n n n n n
L f t s F s s f s f sf f
− − − −
′
= − − − − −

Trong đó,
( ) ( )
0
(0) lim ( ), 0, 1, , 1
k k
t
f f t k n
+
→
= = −
.
Các trường hợp riêng:
2
3 2
{ ( )} ( ) (0),
{ ( )} ( ) (0) (0),
{ ( )} ( ) (0) (0) (0).
L f t sF s f
L f t s F s sf f
L f t s F s s f sf f
′
= −
′′ ′
= − −
′′′ ′ ′′
= − − −


VD 9. Tìm biến đổi Laplace của hàm
( ) ( ) 3 ( ) 4 ( ) 2

g t y t y t y t
′′ ′
= − + −
, với điều kiện đầu
(0) 1, (0) 2
y y
′
= − =
.
Gi
ải. Đặt
( ) { ( )}
Y s L y t
=
, ta có:
{ ( )} ( ) (0) ( ) 1
L y t sY s y sY s
′
= − = +
,
2 2
{ ( )} ( ) (0) (0) ( ) 2
L y t s Y s sy y s Y s s
′′ ′
= − − = + −
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
13

Vậy

{ ( )} { ( )} 3 { ( )} 4 { ( )} (2)
L g t L y t L y t L y t L
′′ ′
= − + −
2
2
( 3 4) ( ) 5s s Y s s
s
= − + + − −
.

2.6. Biến đổi Laplace của hàm t
n
f(t)
Nếu
{ ( )} ( )
L f t F s
=
thì:
( )
{ ( )} ( 1) ( ).
n n n
L t f t F s
= −

VD 10. a) Biết
1
(1)L
s
=

, ta suy ra
( )
1
1 !
( ) ( 1)
n
n n
n
n
L t
s
s
+
 



= − =





 
.
b) Biết
1
( )
at
L e

s a
=
−
, ta suy ra
1
1 !
( ) ( 1)
( )
n
n at n
n n
d n
L t e
s a
ds s a
+
 



= − =





−
−
 
.

VD 11. Tìm biến đổi Laplace của các hàm: a)
( ) sin 3
g t t t
=
; b)
2
( ) cos 4
g t t t
=
.
Giải
a) Ta có:
2
3
( ) sin 3 ( )
9
f t t F s
s
= ⇒ =
+
. Vậy
2 2
6
( sin 3 ) ( )
( 9)
s
L t t F s
s
′

= − =
+
.
b) Ta có:
2
( ) cos 4 ( )
16
s
f t t F s
s
= ⇒ =
+
. Vậy
5 3
2
2 4
2 64 1536
( cos 4 ) ( )
( 16)
s s s
L t t F s
s
− −
′′
= =
+
.
2.7. Biến đổi Laplace của tích phân
0
( )

t
f x dx
∫

Nếu
{ ( )} ( )
L f t F s
=
thì:
0
( )
( ) .
t
F s
L f x dx
s
 




=






 
∫

VD 12. Tìm biến đổi Laplace của các hàm: a)
0
( ) sin 2
t
g t x x dx
=
∫
; b)
2
0
( ) cos 2
t
g t x dx
=
∫
.
Giải
a) Ta có:
( ) sin 2
f t t t
=

2 2 2
2 4
( )
4 ( 4)
s
F s

s s
′
 



⇒ = − =





+ +
 
.
Vậy
2 2
0
( ) 4
sin 2
( 4)
t
F s
L x x dx
s
s
 





= =





+

 
∫
.
b) Ta có:
2
1
( ) cos 2 (1 cos 4 )
2
f t t t
= = +
2
2 2
1 1 8
( )
2
16 ( 16)
s s
F s
s
s s s
 

+



⇒ = + =





+ +
 
.
V
ậy
2
2
2 2
0
( ) 8
cos 2
( 16)
t
F s s
L x dx
s
s s
 
+





= =





+

 
∫
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
14

2.8. Biến đổi Laplace của hàm
( )
f t
t

Nếu
{ ( )} ( )
L f t F s
=
và
0
( )
lim

t
f t
t
+
→
∃
thì:
( )
( ) .
s
f t
L F u du
t
+∞
 



=





 
∫

Cho
0
s

→
, ta được:
0 0
( )
( ) .
f t
F u du dt
t
+∞ +∞
=
∫ ∫

VD 13. Tìm biến đổi Laplace của:
a) hàm gốc
2
( )
t t
e e
g t
t
−
=
; b) hàm tích phân sin:
0
sin
Si( )
t
x
t dx
x

=
∫
.
Giải
a) Ta có:
2
( )
t t
f t e e
= −

1 1
( )
2 1
F s
s s
⇒ = −
− −
.
Vậy
{ ( )} ( )
s
L g t F u du
+∞
=
∫
1 1 1
ln
2 1 2
s

s
du
u u s
+∞
 
−



= − =





− − −
 
∫
.
b) Ta có:
2
1
(sin )
1
L t
s
=
+

2

sin
arctan
1
s
s
t du
L u
t
u
+∞
+∞
 



⇒ = =





+
 
∫
1
arctan arctan
2
s
s
π

= − = .
Áp dụng công thức tích phân hàm gốc, ta được:
1 1
{Si( )} arctan
L t
s s
= .
VD 14. Tính tích phân suy rộng
0
sin
x
I dx
x
+∞
=
∫
.
Giải. Ta có:
2
1
( ) sin ( )
1
f t t F s
s
= ⇒ =
+
.
Áp dụng hệ quả, ta được:
2
0

0 0
( )
arctan
2
1
f t du
I dt x
t
u
π
+∞ +∞
+∞
= = = =
+
∫ ∫
.

2.9. Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn
Nếu
( )
f t
là hàm tuần hoàn với chu kỳ
0
T
>
thì:
0
1
{ ( )} ( ) .
1

T
st
sT
L f t e f t dt
e
−
−
=
−
∫

VD 15.
Tìm biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn với chu kỳ
4
T
=
:
2, 0 3
( )
0, 3 4
t
f t
t


< <

=



< <


.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
15

Giải. Ta có:
3 4
0 0 3
( ) .2 .0
T
st st st
e f t dt e dt e dt
− − −
= +
∫ ∫ ∫
3
3
0
2 2(1 )
t
s
st
t
e
e
s s
=
−

−
=
−
= − =
.
Vậy
3
4
0
1 2(1 )
{ ( )} ( )
1 (1 )
T
s
st
sT s
e
L f t e f t dt
e s e
−
−
− −
−
= =
− −
∫
.

VD 16. Tìm biến đổi Laplace của đường sin chỉnh lưu bán sóng chu kỳ
2

T
π
=
:
sin , 0
( )
0, 2
t t
f t
t
π
π π


< <

=


< <


.

Giải. Ta có:
2 2
0 0
( ) sin .0
st st st
e f t dt e t dt e dt

π π π
π
− − −
= +
∫ ∫ ∫

0
1 1
(sin cos )
2 2
t
s
st
t
e
e t t
π
π
=
−
−
=
+
= − + =
.
Vậy
2
1 1 1
( ) .
2

1 2(1 )
s
s s
e
F s
e e
π
π π
−
− −
+
= =
− −
.

VD 17. Tìm biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn chu kỳ
2 0
T a
= >
được mô tả bằng đồ thị sau:

Giải. Ta có:
2 2
0 0
( )
a a a
st st st
a
e f t dt e dt e dt
− − −

= −
∫ ∫ ∫

2
2
0
(1 )
t a t a
st st sa
t t a
e e e
s s s
= =
− − −
= =
−
= − =
− −
.
Vậy
2
2
(1 ) 1 1
( ) .
(1 ) 1
sa sa
sa sa
e e
F s
s

s e e
− −
− −
− −
= =
− +
.
……………………………
§3. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
3.1. Định nghĩa
• Phép biến đổi Laplace ngược của hàm
( )
F s
là hàm
( )
f t
liên tục trên
[0; )
+∞
và thỏa
{ ( )} ( )
L f t F s
=
.
Ký hiệu là:
1
( ) { ( )}.
f t L F s
−
=

VD 1.
Ta có:
3 1 3
4 4
3! 6
( )
L t L t
s s
−
 



= ⇒ =





 
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
16

3.2. Các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược
3.2.1. Sử dụng các tính chất
a) Tính chất tuyến tính
1 1 1
1 2 1 2

{ ( ) ( )} { ( )} { ( )}.
L aF s bF s aL F s bL F s
− − −
+ = +

VD 2. Cho
2
3 6
( )
2
9
s
F s
s
s
= −
+
+
. Ta có:
1 1 1
2
1
{ ( )} 3 6
2
9
s
L F s L L
s
s
− − −

   
 
 
 
= −
 
 
 
 
 
+
+
   
.
Vậy
1 2
( ) { ( )} 3 6 cos 3
t
f t L F s e t
− −
= = −
.

b) Tính chất dời theo s
1 1
{ ( )} { ( )}.
at
L F s a e L F s
− − −
+ =

VD 3. Tìm biến đổi
1
4
2
( 1)
L
s
−
 
 
 
 
 
−
 
 
.
Giải. Ta có:
1 1
4 4
2 2
( 1)
t
L e L
s s
− −
 
 
 


 


=

 



  
−
 
 
 
1 3
4
2 3! 1
3! 3
t t
e L t e
s
−
 



= =






 
.
VD 4. Tìm biến đổi
1
2
3 6
4 13
s
L
s s
−
 
+








+ +
 
.
Giải. Ta có:
2 2
2

( ) 3.
( 2) 3
s
F s
s
+
=
+ +
. Vậy
1 1
2 2
2
{ ( )} 3
( 2) 3
s
L F s L
s
− −
 
 
+
 
=
 
 
+ +
 
 

2

3 cos 3
t
e t
−
=
.

c) Tính chất dời theo t
1
{ ( )} ( ). ( ).
sT
L e F s u t T f t T
− −
= − −

VD 5. Tìm biến đổi
1
2
4
s
e
L
s
π−
−
 









+
 
.
Giải. Ta có:
1 1
2 2 2
1 1 2 1
sin 2
2 2
4 2
L L t
s s
− −
   
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
+ +
   
. Vậy

1
2
1
( ).sin 2( )
2
4
s
e
L u t t
s
π
π π
−
−
 



= − −





+
 
.

VD 6. Tìm biến đổi
1 2

1 3
2 1
s
L e
s s
− −
 
 
 

 


−

 



  
− +
 
 
 
.
Giải. Ta có:
1 3
( )
2 1
F s

s s
= −
− +

1 2
{ ( )} 3
t t
L F s e e
− −
⇒ = −
.
Vậy
1 2 2( 2) ( 2)
{ ( )} ( 2)[ 3 ]
t t t
L e F s u t e e
− − − − −
= − −
.

d) Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm

1 ( )
1 ( ) 1 1
{ ( )}
{ ( )} ( 1) { ( )}, { ( )} .
( 1)
n
n n n
n n

L F s
L F s t L F s L F s
t
−
− − −
= − =
−

Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
17

VD 7. Tìm biến đổi
1
2 2
( 4)
s
L
s
−
 
 
 
 
 
+
 
 
.
Giải. Ta có:
2 2 2

1 2
4
( 4) 4
s
s s
′
 



= −





+ +
 
.
Vậy
1 1
2 2 2
1 2
4
( 4) 4
s
L L
s s
− −
 

 
 
′
 
 
 
 

 


= −

   



   
+ +
 
   
 
 
 

1
2
1 2 1
. sin 2
4 4

4
t L t t
s
−
 



= =





+
 
.
VD 8. Tìm biến đổi
1
1
ln
1
s
L
s
−
 
+









−
 
.
Giải. Ta có:
1 1 1
( ) ln ( )
1 1 1
s
F s F s
s s s
+
′
= ⇒ = −
− + −
.
Vậy
{ }
{
}
1
1
( )
( )
L F s

L F s
t
−
−
′
=
−

( )
1
1 1 1 1
1 1
t t
L e e
t s s t
− −
 



= − − = − −





+ −
 
.

e) Biến đổi Laplace ngược của tích phân
1 1
{ ( )} . ( ) .
s
L F s t L F x dx
+∞
− −
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
∫

VD 9. Tìm biến đổi
1
2 2
1
( 2 2)
s
L
s s
−
 
 

+
 
 
 
+ +
 
 
.
Giải. Ta có:
2 2
1
( )
( 2 2)
s
F s
s s
+
=
+ +
. Suy ra:
2 2
1
( )
( 2 2)
s s
x
F x dx dx
x x
+∞ +∞
+

=
+ +
∫ ∫
2
2 2 2
1 ( 2 2) 1
2
( 2 2) 2( 2 2)
s
s
d x x
x x x x
+∞
+∞
+ +
= = −
+ + + +
∫


2 2
1 1
2( 2 2) 2[( 1) 1]
s s s
= =
+ + + +
.
Vậy
{ }
1 1

2
1
( ) . sin
2
2[( 1) 1]
t
t
L F s t L e t
s
− − −
 
 
 
= =
 
 
+ +
 
 
.

3.2.2. Phân tích ảnh thành tổng các phân thức tối giản
 Phân thức tối giản loại I có dạng:
1
,
( )
n
s a
+
với

a
là số thực.
 Phân thức tối giản loại II có dạng:
2 2
[( ) ]
n
Ms N
s a k
+
+ +
với
, , ,
M N a k
là các số thực.
VD 10.
Tìm biến đổi
1
2
2 5
2
s
L
s s
−
 
+









− −
 
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
18

Giải. Ta có:
2
2 5
( )
2
s
F s
s s
+
=
− −
2 5 1 3
( 1)( 2) 1 2
s
s s s s
+
= = − +
+ − + −
.
Vậy

1 1 1
1 1
{ ( )} 3
1 2
L F s L L
s s
− − −
   
 
 
 
= − +
 
 
 
 
 
+ −
   
2
3
t t
e e
−
= − +
.
VD 11. Tìm biến đổi
1
2
2 1

6 13
s
L
s s
−
 
−








− +
 
.
Giải. Ta có:

2 2
2 1 2( 3) 5
( )
6 13 [( 3) 4]
s s
F s
s s s
− − +
= =
− + − +

2 2 2 2
2( 3) 5
[( 3) 2 ] [( 3) 2 ]
s
s s
−
= +
− + − +
.
Vậy
1
{ ( )}
L F s
−
1 1
2 2 2 2
3 5 2
2
2
[( 3) 2 ] [( 3) 2 ]
s
L L
s s
− −
   
   
−
   
= +
   

   
− + − +
   
   
3
5
2 cos 2 sin 2
2
t
t t e
 



= +





 
.

VD 12. Tìm biến đổi
1
2 2
1
( 9)
L
s s

−
 
 
 
 
 
+
 
 
.
Giải. Ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1 1
. .
9 9
( 9) 9
s s s s
= −
+ +
.
Vậy
1
2 2
1
( 9)
L
s s
−
 
 

 
 
 
+
 
 
1 1
2 2 2
1 1 1 3 1 1
sin 3
9 27 9 27
3
L L t t
s s
− −
   
 
 
 
= − = −
 
 
 
 
 
+
   
.

VD 13*. Tìm biến đổi

1
2
1
( 4)
s
L
s s
−
 
 
−
 
 
 
+
 
 
.
Giải. Ta có:
2 2
1
( 4) 4
s A Bs C
s
s s s
− +
= +
+ +
2
2

( ) 4
( 4)
A B s Cs A
s s
+ + +
=
+
.
Đồng nhất các hệ số, ta được:
0
1 1
1 , , 1
4 4
4 1
A B
C A B C
A


+ =


−

= − ⇔ = = = −



=




.
Suy ra:
2 2
1
1
1 1
4
4
( 4) 4
s
s
s
s s s
+
−
= −
+ +
2 2
1 1 1 1 2
. . .
4 4 2
4 4
s
s
s s
= − −
+ +
.

Vậy
1
2
1 1 1 1
cos2 sin 2
4 4 2
( 4)
s
L t t
s s
−
 
 
−
 
= − −
 
 
+
 
 
.
VD 14*. Tìm biến đổi
1
2
1
( 1)
L
s s
−

 
 
 
 
 
−
 
 
.
Gi
ải. Ta có:
2 2
1
1
( 1)
A B C
s s
s s s
= + +
−
−

2
2
( ) ( )
( 1)
B C s A B s A
s s
+ + − −
=

−
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
19

Đồng nhất các hệ số, ta được:
0 1
0 1
1 1
B C A
A B B
A C
 
 
+ = = −
 
 
 
− = ⇔ = −
 
 
 
− = =
 
 
 
.
Suy ra:
2 2
1 1 1 1

1
( 1)
s s
s s s
= − − +
−
−
. Vậy
1
2
1
1
( 1)
t
L t e
s s
−
 
 
 
= − − +
 
 
−
 
 
.

VD 15*. Tìm biến đổi
2

1
3
3
7 6
s
L
s s
−
 
−








− +
 
.
Giải. Ta có:
2 2
3
3 3
( 1)( 2)( 3)
7 6
s s
s s s
s s

− −
=
− − +
− +

1 2 3
A B C
s s s
= + +
− − +
.
Quy đồng và đồng nhất các hệ số, ta được:
1
1 1 3
2 3 0 , ,
2 5 10
6 3 2 3
A B C
A B C A B C
A B C


+ + =



+ − = ⇔ = = =




− − + = −



.
Suy ra:
2
3
3 1 1 1 1 3 1
. . .
2 1 5 2 10 3
7 6
s
s s s
s s
−
= + +
− − +
− +
.
Vậy
2
1 2 3
3
3 1 1 3
2 5 10
7 6
t t t
s
L e e e

s s
− −
 
−



= + +





− +
 
.

3.2.3. Sử dụng thặng dư
Cho
( )
F s
là phân thức thực sự và
k
s

( 1,2, , )
k n
=
là các điểm bất thường cô lập của
( )

F s
. Khi đó:
1
1
{ ( )} Res[ ( ), ].
n
st
k
k
L F s e F s s
−
=
=
∑

VD 16. Tìm biến đổi
1
2
1
2
s
L
s s
−
 
−









+
 
.
Giải. Hàm
2
1
( )
2
s
F s
s s
−
=
+
có hai cực điểm đơn là
0
s
=
và
2
s
= −
.
Ta có:
1
2

1
Res[ ( ), 0] Res[ ( ), 2]
2
st st
s
L e F s e F s
s s
−
 
 
−
 
= + −
 
 
+
 
 
.
•
0
Res[ ( ), 0] lim( 0) ( )
st st
s
e F s s e F s
→
= −
0
( 1) 1
lim

2 2
st
s
e s
s
→
−
= = −
+
.
•
2
2
2
( 1) 3
Res[ ( ), 2] .
2
( 2 )
st
st t
s
e s
e F s e
s s
−
=−
−
− = =
′
+

V
ậy
1 2
2
1 1 3
2 2
2
t
s
L e
s s
− −
 
−



= − +





+
 
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
20

VD 17. Tìm biến đổi
1
2
( 3) ( 5)
s
L
s s
−
 
 
 
 
 
− +
 
 
.
Giải. Hàm
2
( )
( 3) ( 5)
s
F s
s s
=
− +
có
3
s
=

là cực điểm cấp hai và
5
s
= −
là cực điểm đơn.
Ta có:
1
{ ( )} Res[ ( ), 3] Res[ ( ), 5]
st st
L F s e F s e F s
−
= + −
.
•
5
Res[ ( ), 5] lim( 5) ( )
st st
s
e F s s e F s
→−
− = +
5
2
5
5
lim
64
( 3)
st
t

s
se
e
s
−
→−
= = −
−
.
•
2
3
1
Res[ ( ), 3] lim[( 3) ( )]
(2 1)!
st st
s
e F s s e F s
→
′
= −
−
3 3
3
5 3
lim
5 64 8
st
t t
s

se
e te
s
→
′
 



= = +





+
 
.
Vậy
{ }
1 3 3 5
5 3 5
( )
64 8 64
t t t
L F s e te e
− −
= + −
.

VD 18. Tìm biến đổi
1
3
1
( 2)
L
s
−
 
 
 
 
 
+
 
 
.
Giải.
3
1
( )
( 2)
F s
s
=
+
có cực điểm cấp 3 là
2
s
= −

.
Vậy
{
}
1
( ) Res[ ( ), 2]
st
L F s e F s
−
= −
3
2
1
lim[( 2) ( )]
(3 1)!
st
s
s e F s
→−
′′
= +
−
2 2
2
1 1
lim( )
2 2
st t
s
e t e

−
→−
′′
= =
.

3.2.4. Sử dụng tích chập f(t)
∗
g(t)
a) Định nghĩa tích chập
Tích chập của hai hàm gốc
( ), ( )
f t g t
được định nghĩa và ký hiệu là:
0
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .
t
f t g t f g t f x g t x dx
∗ = ∗ = −
∫


VD 19. Cho hai hàm gốc
( )
f t t
=
và
( )
t
g t e

=
. Ta có:
0 0
( )( ) 1
t t
t x t x t
f g t xe dx e xe dx e t
− −
∗ = = = − −
∫ ∫
.
VD 20. Xác định tích chập
at
t e
∗
?
Giải
( )
0 0
t t
at a t x at ax
t e xe dx e xe dx
− −
∗ = =
∫ ∫
2 2
0
1 1
t
at

at ax
x e at
e e
a
a a
−
 
− −



= − + =





 
.
b) Tính chất của tích chập
1) Tính giao hoán:
f g g f
∗ = ∗
.
2) Tính k
ết hợp:
( ) ( )
f g h f g h
∗ ∗ = ∗ ∗
.

3) Tính phân phối:
( )
f g h f g f h
∗ + = ∗ + ∗
.
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
21

c) Ứng dụng của tích chập
 Định lý Borel
Nếu
{ ( )} ( )
L f t F s
=
và
{ ( )} ( )
L g t G s
=
thì:
{ ( ) ( )} ( ). ( ).
L f t g t F s G s
∗ =

Nhận xét
1 1 1
{ ( ). ( )} { ( )} { ( )}.
L F s G s L F s L G s
− − −
= ∗

VD 21. Tìm biến đổi
1
2
1
( 1)
L
s s
−
 
 
 
 
 
−
 
 
.
Giải. Ta có:
1 1
2 2
1 1 1
.
1
( 1)
L L
s
s s s
− −
 
 

 

 


=

 



  
−
−
 
 
 
1 1
2
1 1
1
L L
s
s
− −
   
 
 
 
= ∗

 
 
 
 
 
−
   
1
t t
t e e t
= ∗ = − −
.

VD 22. Tìm biến đổi
1
2 2
1
( 1)
L
s
−
 
 
 
 
 
+
 
 
.

Giải. Ta có:
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
( 1) 1 1
L L L
s s s
− − −
 
   
 
 
 
 
 
= ∗
 
 
 
 
 
   
+ + +
   
 
 


0
sin sin sin sin( )

t
t t x t x dx
= ∗ = −
∫


0
1
[cos(2 ) cos )]
2
t
x t t dx
= − −
∫
0
1 1
sin(2 ) cos
2 2
x t
x
x t x t
=
=
 



= − −






 
1
(sin cos )
2
t t t
= −
.

VD 23. Tìm biến đổi
1
3
1
( 2)
L
s s
−
 
 
 
 
 
+
 
 
.
Giải. Ta có:
1 1 1

3 3
1 1 1
2
( 2)
L L L
s
s s s
− − −
 
   
 
 
 
 
 
= ∗
 
 
 
 
 
   
+
+
   
 
 
2 2 2 2( )
0
1 1

2 2
t
t t x
t e x e dx
− − −
= ∗ =
∫


(
)
2 2( )
0
1
2 2 1
8
x t
t x
x
x x e
=
− −
=
= − +
2 2
1
(2 2 1 )
8
t
t t e

−
= − + −
.

 Công thức Duamel
Nếu
{ ( )} ( )
L f t F s
=
,
{ ( )} ( )
L g t G s
=
và
( )
f t
′
,
( )
g t
′
cũng là hàm gốc thì:
1 1
{ ( ) ( )} ( ) ( ) (0) ( ), { ( ) ( )} ( ) ( ) (0) ( ).
L sF s G s f t g t f g t L sF s G s g t f t g f t
− −
′ ′
= ∗ + = ∗ +

VD 24. Tìm biến đổi
1
2
( 1)( 1)
s
L
s s
−
 
 
 
 
 
+ −
 
 
.
Gi
ải. Ta có:
2 2
1 1
. .
1
( 1)( 1) 1
s
s
s
s s s
=
−

+ − +

Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
22

2
1 1
( ) , ( )
1
1
F s G s
s
s
⇒ = =
−
+
( ) sin , ( )
t
f t t g t e
⇒ = =
.
Vậy
1
2
( ) ( ) (0) ( )
( 1)( 1)
s
L f t g t f g t
s s
−

 
 
 
′
= ∗ +
 
 
+ −
 
 
0
cos cos .
t
t t x
t e x e dx
−
= ∗ =
∫
1
(sin cos )
2
t
t t e
= − +
.
……………………………

§4. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

4.1. Giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

 Phương pháp giải. Xét phương trình vi phân với nghiệm cần tìm là
( )
y t
.
• Bước 1. Biến đổi Laplace hai vế của phương trình vi phân ta thu được một phương trình bậc nhất với hàm cần
tìm là
( ) { ( )}
Y s L y t
=
.
• Bước 2. Thay điều kiện đầu (nếu có), tìm
( )
Y s
theo
s
.
• Bước 3. Nghiệm cần tìm là
1
( ) { ( )}
y t L Y s
−
=
.

Chú ý. Để đơn giản, ta viết
Y
thay cho
( )
Y s
;

y
thay cho
( )
y t
.

VD 1. Giải phương trình vi phân:
2 3 ; (0) 1
t
y y e y
′
− = = −
.
Giải. Lấy biến đổi Laplace hai vế, ta được:
3
(0) 2
1
sY y Y
s
− − =
−

Thay
(0) 1
y
= −
và giải theo
Y
, ta được:
4 3 2

( 2)
1 1 2
s
Y s Y
s s s
− +
− = ⇒ = − +
− − −
.
Vậy nghiệm của phương trình là:
1 1 2
1 1
3 2 3 2
1 2
t t
y L L e e
s s
− −
   
 
 
 
= − + = − +
 
 
 
 
 
− −
   

.

VD 2. Giải phương trình vi phân:
3
3 ; (0) 2
t
y y e y
−
′
+ = =
.
Giải. Lấy biến đổi Laplace hai vế, ta được:
1
(0) 3
3
sY y Y
s
− + =
+
1
( 3) 2
3
s Y
s
⇒ + = +
+
2
1 1
2.
3

( 3)
Y
s
s
⇒ = +
+
+
.
Vậy
1 3 3
( ) 2
t t
y L Y e te
− − −
= = +
.

VD 3. Giải phương trình vi phân:
; (0) 1, (0) 2
y y t y y
′′ ′
+ = = = −
.
Giải. Ta có:
( ) ( ) ( )
L y L y L t
′′
+ =
2
2

1
. (0) (0)s Y s y y Y
s
′
⇒ − − + = .
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
23

Thay
(0) 1, (0) 2
y y
′
= = −
và giải theo
Y
, ta được:
2 2 2 2 2 2
1 2 1 3
( 1) 1 1 1
s s
Y
s s s s s s
−
= + = + −
+ + + +
.
Vậy
cos 3 sin
y t t t
= + −

.

VD 4. Giải phương trình vi phân:
2
3 2 4 ; (0) 3, (0) 5
t
y y y e y y
′′ ′ ′
− + = = − =
.
Giải. Ta có:
2
( ) 3 ( ) 2 ( ) 4 ( )
t
L y L y L y L e
′′ ′
− + =
2
4
[ . (0) (0)] 3[ (0)] 2
2
s Y s y y sY y Y
s
′
⇒ − − − − + =
−
.
Thay các điều kiện đầu và giải theo
Y
, ta được:

2
2 2
3 20 24 7 4 4
1 2
( 1)( 2) ( 2)
s s
Y
s s
s s s
− + −
= = − + +
− −
− − −
.
Vậy
2 2
7 4 4
t t t
y e e te
= − + +
.

VD 5. Giải phương trình vi phân:
1; (0) (0) (0) 0
y y y y y
′′′ ′ ′ ′′
+ = = = =
.
Giải. Lấy biến đổi Laplace hai vế, ta được:
3 2

1
[ . (0) . (0) (0)] [ (0)]s Y s y s y y sY y
s
′ ′′
− − − + − =
3 2 2 2 2
1 1 1 1
( ) ( 1) 1
Y
s s s s s s s
⇒ = = = −
+ + +
.
Vậy
sin
y t t
= −
.

VD 6*. Giải phương trình vi phân:
4 2 sin 2 ; (0) 0, (0) 1
y y t y y
′′ ′
+ = = = −
.
Giải. Ta có:
2
2
4
. (0) (0) 4

4
s Y s y y Y
s
′
− − + =
+
2 2 2 2 2 2
4 1 2 2 1
.
( 4) 4 4 4 4
Y
s s s s s
⇒ = − = −
+ + + + +
.
Vậy
1 1
2 2 2
2 2 1
.
4 4 4
y L L
s s s
− −
   
   
   
= −
   
   

+ + +
   
   


sin 2 * sin 2 cos 2
y t t t
= −
0
cos2 sin 2 sin 2( ) cos2
t
t x t x dx t
= − + − −
∫


1 1
cos2 sin 2 cos 2
4 2
t t t t
= − + − .

4.2. Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng
VD 7. Giải hệ phương trình vi phân:
3 0
; (0) 1, (0) 1
0
x x y
x y
y x y


′

+ + =

= =

′

− + =


.
Gi
ải. Đặt
( ), ( )
X L x Y L y
= =
.
Lấy biến đổi Laplace cả hai phương trình, ta được:
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM
24

(0) 3 0
(0) 0
sX x X Y
sY y X Y


− + + =




− − + =



( 3) 1
( 1) 1
s X Y
X s Y


+ + =

⇒


− + + =


.
Giải hệ bằng công thức Cramer, ta được:
2 2
2 2
1 2
2
( 2) ( 2)
4 1 2
2

( 2) ( 2)
s
X
s
s s
s
Y
s
s s



= = −


+
+ +



+

= = +


+
+ +


.

Vậy nghiệm của hệ là
2 2
2 2
2 ,
2 .
t t
t t
x e te
y e te
− −
− −


= −




= +





VD 8. Giải hệ phương trình vi phân:
2 1
; (0) 0, (0) 0
2
x y
x y

y x t

′

− =

= =

′

+ =


.
Giải. Đặt
( ), ( )
X L x Y L y
= =
. Ta có:
2 2
1 1
(0) 2 2
1 1
(0) 2 2
sX x Y sX Y
s s
sY y X X sY
s s
 
 

 
− − = − =
 
 
 
⇒
 
 
 
− + = + =
 
 
 
 


2
2 2 2 2
2 2
2 1 1 1 1
. .
2 2
( 4) 4
1 1 1 1
. .
4 4
( 4) 4
s
X
s s s s

s
Y
s
s s s


+

= = +


+ +

⇒


− −

= = +


+ +


.
Vậy hệ có nghiệm là
1 1
sin 2 ,
2 4
1 1

cos2 .
4 4
x t t
y t



= +






= − +





…………………………