PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Chương IV
- 74 -
Chương 4
PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI
LAPLACE
Trong chương này, ta sẽ xét đáp ứng của hệ thống nhân quả tuyến tính bất biến khi tín hiệu
tác động vào hệ thống ở thời điểm t = 0, các điều kiện đầu có thể bằng 0 hay khác 0. Công cụ
dùng để xác định đáp ứng tần số của hệ thống là phép biến đổi Laplace.
Phép biến đổi Laplace là một công cụ rất tuyệt vời trong việc phân tích hệ thống liên tục vì
nh
ững lý do sau đây:
- Nó thay thế phương trình vi phân bằng phương trình đại số, giúp cho việc giải
phương trình vi phân được đơn giản đi nhiều.
- Nó giúp tìm nghiệm tổng quát một cách trực tiếp, nghĩa là tìm được đáp ứng tổng
quát chứa cả đáp ứng trạng thái 0 và đáp ứng đầu vào 0.
- Có thể dùng phép biến đổi Laplace cho các tín hiệu không có phổ (tức là các tín hiệu
không có biến đổi Fourier)
- Bi
ến đổi Laplace của đáp ứng xung của hệ tuyến tính bất biến nhân quả là hàm truyền
đạt của hệ. Hàm này rất hữu ích trong việc xác định các đặc điểm của hệ thống.
Chương này gồm hai nội dung chính:
- Lý thuyết phép biến đổi Laplace, gồm các công thức tính biến đổi Laplace thuận và
ngược, các tính chất, cách tính.
- Ưng dụng phép biến đổi Laplace vào bài toán phân tích hệ thống. Bài toán phân tích
hệ thống ở đây là bài toán tìm tín hiệu ra hệ thống theo một tín hiệu vào cụ thể. Bài
toán có thể thực hiện dựa vào giải phương trình vi phân hoặc là dựa vào một mô hình
toán học khác của hệ thống- đó là hàm truyền đạt.
4.1 GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
Phần này sẽ trình bày về phép biến đổi Laplace tổng quát - đó là phép biến đổi Laplace hai
phía và biến đổi Laplace ngược tương ứng. Sau đó ta sẽ xem xét phép biến đổi Laplace một
phía- đó là một trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Laplace hai phía. Phần này cũng sẽ

bàn về điều kiện tồn tại và các tính chất của phép biến đổi Laplace một phía.
4.1.1 Phép biến đổi Laplace hai phía
1. Định nghĩa biến đổi Laplace hai phía
Ta tìm biến đổi Fourier của tín hiệu )t(xe
tσ−
(trong đó
σ
là một hằng số thực):
{}
dte)t(xdte)t(xe)t(xeFT
t)j(tjtt
∫∫
∞
∞−
ω+σ−
∞
∞−
ω−σ−σ−
==
Ta có thể chọn hằng số
σ sao cho )t(xe
tσ−
thỏa điều kiện khả tích tuyệt đối:
∞<
∫
∞
∞−
σ−
dt)t(xe
t

Chương IV
- 75 -
Ta thấy rằng có thể có các tín hiệu x(t) không thỏa điều kiện khả tích tuyệt đối nhưng nhờ
nhân với
t
e
σ−
mà trở thành )t(xe
tσ−
khả tích tuyệt đối. Như vậy, biến đổi Fourier của
)t(xe
tσ−
luôn tồn tại nếu ta chọn
σ
thích hợp.
Ta đặt:
ω
+
σ
≡
js

Biến s là một biến phức.
Ta có thể vẽ các giá trị của biến phức s trong một
mặt phẳng gọi là
mặt phẳng s (s-plane).
Mặt phẳng s có trục hoành là Re[s] và trục tung là
Im[s].

Ta định nghĩa phép biến đổi Laplace bằng cách
dùng biến phức s.
Biến đổi Laplace hai phía (double-sided Laplace Transform) của tín hiệu x(t) là:
{}
{}
)s(Xdte)t(x)t(xeFT)t(xLT
st
sj
t
≡==
∫
∞
∞−
−
=ω+σ
σ−

Như vậy biến đổi Laplace hai phía của tín hiệu x(t) chính là biến đổi Fourier của tín hiệu
)t(xe
tσ−
được viết dưới dạng một hàm theo biến phức
ω
+
σ
≡
js .
Như nói trên, ta có thể chọn
σ sao cho biến đổi Laplace của x(t) tồn tại. Ưng với một giá trị
của
σ , ta xác định được một đường thẳng song song với trục tung trong mặt phẳng s. Tập

các đường thẳng này tạo thành một phần mặt phẳng và được gọi là
miền hội tụ (region of
convergence) của phép biến đổi Laplace hai phía của x(t).
2. Biểu thức tính biến đổi Laplace hai phía ngược
Ta có thể khôi phục tín hiệu x(t) từ biến đổi Laplace hai phía của nó bằng cách dùng biến đổi
Laplace ngược.











1
σ
Im(s)
s = 4+j2
Đường tích
phân cho LT
-1
2
4 Re(s)
Mặt
phẳng s
Chương IV
- 76 -

{}
∫
∞+σ
∞−σ
−
≡
π
=
j
j
1st
1
1
)s(XLTdse)s(X
j2
1
)t(x
Để tính biến đổi Laplace ngược, ta phải lấy tích phân của hàm biến phức X(s)e
st
dọc theo
đường thẳng
ω+σ≡ js
1
trong mặt phẳng s. Ta phải chọn
1
σ
sao cho đường thẳng

ω+σ≡ js
1
nằm trong miền hội tụ của X(s).
Có nhiều trường hợp các tín hiệu khác nhau có cùng hàm biến đổi Laplace hai phía, chỉ khác
nhau ở miền hội tụ. Vậy biến đổi Laplace hai phía phụ thuộc vào hàm biến đổi X(s) và miền
hội tụ.
4.1.2 Phép biến đổi Laplace một phía
1. Biểu thức tính biến đổi Laplace một phía
Phép biến đổi Laplace hiệu quả nhất trong việc tính đáp ứng của hệ nhân quả đối với tín hiệu
vào bắt đầu ở thời điểm
0t ≥
. Trong trường hợp này, cả tín hiệu và đáp ứng xung đều bằng 0
với t < 0 và biến đổi Laplace hai phía trở thành
biến đổi Laplace một phía (single-sided
Laplace transform):
∫
∞
−
−
=
0
st
dte)t(x)s(X

Cận dưới của tích phân trên là
0
-
ý là bao hàm cả gốc thời gian trong tích phân, ở đây là bao
gồm cả các điểm gián đoạn và xung tại gốc thời gian. Sau đây, ta viết cận dưới là
0 thay cho

0
-
cho đơn giản.
Biến đổi Laplace của tín hiệu x(t) cũng chính là biến đổi Laplace một phía của tín hiệu
x(t)u(t).
2. Định lý về sự tồn tại của biến đổi Laplace một phía
Nếu x(t) khả tích tuyệt đối trong khoảng Tt0 <≤
−
với T > 0 bất kỳ và nếu có thể chọn các
số thực c và K sao cho
K)t(xe
ct
≤
−
với
Tt ≥
thì tích phân biến đổi Laplace một phía hội tụ
tuyệt đối và duy nhất với mọi s thỏa Re(s) > c.
Giá trị c nhỏ nhất gọi là
hoành độ của hội tụ tuyệt đối (abscissa of absolute convergence).
Từ định lý này ta thấy: nếu biến đổi Laplace một phía tồn tại thì miền hội tụ là miền bên phải
của đường thẳng ω+= jcs. Miền hội tụ được biểu diễn minh họa bằng vùng có gạch chéo
trên hình vẽ sau:

-
2
c
=
2
4

Chương IV
- 77 -
3. Biểu thức tính biến đổi Laplace một phía ngược
Biến đổi Laplace một phía ngược được tính tương tự như Laplace hai phía ngược, nhưng kết
quả chỉ có nghĩa với
0t ≥ .
Định lý về sự tồn tại của biến đổi Laplace một phía cho thấy chỉ có một miền hội tụ duy nhất
đối với một tín hiệu. Tín hiệu đó bằng 0 khi t < 0. Do đó, kết quả tính biến đổi Laplace một
phía ngược chỉ có duy nhất một tín hiệu. Tính duy nhất này làm cho phép biến đổi Laplace
một phía trở thành một công cụ rất hiệu quả trong phân tích hệ thống.
Từ đây trở
đi, ta tập trung xét phép biến đổi Laplace một phía.
Tóm lại, sự chuyển đổi tín hiệu giữa miền thời gian t và miền biến phức s được thực hiện nhờ
cặp biến đổi Laplace thuận và ngược và được ký hiệu ngắn gọn như sau:
)s(X)t(x
L
⎯→←
4.1.3 Tính phép biến đổi Laplace
1. Ví dụ 1
Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu )t(ue)t(x
tα−
= và miền hội tụ

2. Ví dụ 2
Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu )t()t(x
δ
=
và miền hội tụ




3. Ví dụ 3
Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu )t(tu)t(x
=
và miền hội tụ






Chương IV
- 78 -
4.2 TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
Các tính chất của phép biến đổi Laplace giúp cho việc tính biến đổi Laplace thuận và ngược
trở nên dễ dàng hơn. Sau đây nêu một vài tính chất thông dụng.
4.2.1 Tính tuyến tính
Nếu
)s(X)t(x
L
⎯→← và )s(Y)t(y
L

⎯→←
Thì
)s(bY)s(aX)t(by)t(ax
L
+⎯→←+
Ví dụ:
Tính biến đổi Laplace của tín hiệu )t(u)tsin()t(x
0
ω
=







4.2.2 Thay đổi thang thời gian
Nếu
)s(X)t(x
L
⎯→←
Thì
0m
m
s
X
m
1
)mt(x

L
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎯→←
Ví dụ:
Tính biến đổi Laplace của tín hiệu )t3(r)t(x
=






4.2.3 Trễ thời gian
Nếu
)s(X)t(x
L
⎯→←
Thì
0te)s(X)tt(x
0
st
L
0
0

>⎯→←−
−

Chương IV
- 79 -
Ví dụ:
Tính biến đổi Laplace của đáp ứng xung của hệ giữ mẫu bậc 0 (ZOH), biết thời gian giữ mẫu
là T.






4.2.4 Dịch s
Nếu
)s(X)t(x
L
⎯→←
Thì
)as(X)t(xe
L
at
+⎯→←
−

Ví dụ:
Tính biến đổi Laplace của tín hiệu sin suy giảm )t(u)tsin(e)t(x
0
at

ω=
−







4.2.5 Nhân với t
Nếu
)s(X)t(x
L
⎯→←
Thì
n
n
n
L
n
L
ds
)s(Xd
)1()t(xt
ds
)s(dX
)t(tx
−⎯→←
−⎯→←

Ví dụ:
Tính biến đổi Laplace của tín hiệu )t(ute)t(x
at−
=


Chương IV
- 80 -


4.2.6 Đạo hàm x(t)
Nếu
)s(X)t(x
L
⎯→←
Thì
−
=
−
=
−−
∑
−⎯→←
0t
1n
0i
i
i
i1nn
L

n
n
dt
)t(xd
s)s(Xs
dt
)t(xd





















4.2.7 Tích phân x(t)
Nếu

)s(X)t(x
L
⎯→←
Thì
s
)0(y
s
)s(X
)0(yd)(x)t(y
L
t
0
−
−
+⎯→←+λλ=
∫
−

Chương IV
- 81 -
4.2.8 Tính chất chập
Nếu
)s(X)t(x
L
⎯→← và )s(Y)t(y
L
⎯→←
Thì
)s(Y).s(X)t(y)t(x
L

⎯→←∗












4.3 TÍNH BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
Ta có thể tính x(t) từ biến đổi Laplace một phía X(s) bằng cách tính tích phân:
{}
∫
∞+σ
∞−σ
−
≡
π
=
j
j
1st
1
1
)s(XLTdse)s(X
j2

1
)t(x với
0t ≥

dọc theo đường thẳng
ω+σ= js
1
trong mặt phẳng s. Việc tính tích phân này liên quan đến lý
thuyết về biến phức và khá phức tạp.
Trong phần này, ta sẽ tính biến đổi Laplace ngược không bằng cách tính tích phân trên. Các
tính toán ở đây dựa vào các cặp biến đổi Laplace đã biết và các tính chất của phép biến đổi
Laplace đã xét trên.
Trước khi đi vào tính biến đổi Laplace ngược, ta xét qua khái niệm về điểm cực và điểm
không.
4.3.1 Điểm cực và điểm không
Thực tế có nhiều tín hiệu và đáp ứng xung của hệ tuyến tính bất biến có biến đổi Laplace
dạng hữu tỷ:
)s(Q
)s(P
qsqsqsq
pspspsp
)s(X
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m

m
m
≡
++++
++++
=
−
−
−
−
L
L

Vì các tín hiệu và đáp ứng xung ta xét là thực nên các hệ số trong phân thức trên là thực.
Ta có thể phân tích đa thức tử số và mẫu số trên thành tích các thừa số, tử số thành tích m
thừa số và mẫu số thành tích n thừa số:
Chương IV
- 82 -
)s) (s)(s(q
)s) (s)(s(p
)s(X
n21n
m21m
α−α−α−
β
−
β
−
β
−

=
Tử số của X(s) bằng 0 khi:
i
s
β
=
với m,1i =
Ta gọi các s này là
điểm không (zero) của X(s).
Mẫu số của X(s) bằng 0 khi:
i
s
α
=
với
n,1i =

Các giá trị s này làm cho
∞
=)s(X và ta gọi đó là điểm cực (pole) của X(s).
Số lượng điểm cực trùng nhau được gọi là
bậc (order) của điểm cực, tương tự, số lượng điểm
không trùng nhau được gọi là bậc của điểm không.
Các điểm cực và điểm không có thể thực hoặc phức. Khi chúng là số phức, chúng phải xuất
hiện thành cặp liên hợp phức. Cụ thể là:
Nếu có một điểm không là
jba
k
+
=

α thì sẽ có một điểm không nữa là jba
*
kl
−=α=α để
đảm bảo tích của hai thừa số:
)ba(as2s)jbas)(jbas()s)(s(
222
lk
++−=+−−−=α−α−
có các hệ số thực.
Ta thường biểu diễn các điểm cực và không trong mặt phẳng s (ký hiệu điểm không là O, ký
hiệu điểm cực là X) và gọi là
giản đồ điểm cực-không (pole-zero diagram).
Ví dụ:
Tìm điểm cực-không và biểu diễn trong mặt phẳng s:
(a)
5s2s
12s3
)s(X
2
++
+
=
(b)
18s42s31s8s
20s4s
)s(Y
234
2
++++

+−
=











Chương IV
- 83 -
4.3.2 Tính biến đổi Laplace ngược
Về nguyên tắc, ta có thể tính biến đổi Laplace ngược không theo con đường tính tích phân
Laplace ngược bằng cách:
Ta phân tích hàm hữu tỷ X(s) thành tổng của các hàm hữu tỷ có bậc thấp hơn mà ta đã biết
biến đổi Laplace ngược. Theo tính chất tuyến tính, biến đổi Laplace ngược của hàm X(s)
chính là tổng của các biến đổi Laplace ngược của các hàm có bậc thấp hơn này.
Để phân tích hàm hữu tỷ X(s), trước hết ta xem nó có phải là phân thức
thật sự (proper)
chưa. Phân thức thật sự là phân thức có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu. Nếu X(s) chưa phải
là phân thức thật sự, tức là bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu, ta chia tử cho mẫu để
được một tổng gồm hai số hạng. Số hạng thứ nhất là một đa thức theo s và số hạng thứ hai là
phầ
n dư của phép chia- đó là một phân thức thật sự.
Ta khai triển phân thức thật sự (hàm X(s) hay phần dư) thành tổng các hàm hữu tỷ có bậc
thấp hơn bằng phương pháp

khai triển riêng phần (partial-fraction expansion)
Giả sử X(s) là một phân thức thật sự có dạng:
2n
2
1n
1
)s()s(
)s(P
)s(X
α−α−
=
Bậc của mẫu là n1+n2 = n. X(s) có hai điểm cực là
1
α
bậc n1 và
2
α
bậc n2. Khai triển riêng
phần của X(s) là:
∑∑
==
α−
+
α−
≡
α−α−
2n
1i
i
2

i2
1n
1i
i
1
i1
2n
2
1n
1
)s(
A
)s(
A
)s()s(
)s(P

Ta có thể tìm n1 hệ số A
i1
và n2 hệ số A
2i
(n1+n2 = n) theo cách sau:
Quy đồng mẫu số vế phải, sau đó đồng nhất tử số bên vế phải với tử số bên vế trái, ta được
hệ n phương trình. Giải hệ n phương trình đó, ta tìm được n nghiệm- đó chính là n hệ số A
i1

và A
2i
.
4.3.3 Các ví dụ tính biến đổi Laplace ngược

1. Ví dụ 1
Tính biến đổi Laplace ngược của:
3
23
)1s)(2s(
3s11s8s2
)s(X
++
+++
=










Chương IV
- 84 -

Chương IV
- 85 -
2. Ví dụ 2

Tính biến đổi Laplace ngược của:
10s19s13s5s
27s22s3
)s(Y
234
2
++++
++
=

Chương IV
- 86 -
3. Ví dụ 3
Tính biến đổi Laplace ngược của:
)5s2s)(1s)(2s(
27s22s3
)s(X
2
2
++++
++
=

Chương IV
- 87 -
4. Ví dụ 4
Tính biến đổi Laplace ngược của:
)2s3s(s
ees

)s(W
2
s3s22
++
+
=
−−

Chương IV
- 88 -
4.3.4 Vị trí điểm cực và dạng tín hiệu
Như trên ta biết, có thể biểu diễn X(s) dưới dạng hữu tỷ:
)s) (s)(s(q
)s) (s)(s(p
)s(X
n21n
m21m
α−α−α−
β
−
β
−
β
−
=
ở đây
i
β là điểm không,
i

α là điểm cực và p
m
/q
n
là một hằng số.
1. Nếu X(s) chỉ có các điểm cực đơn
Khai triển riêng phần của X(s) là một trong các dạng sau:
γ+
=
s
A
)s(X
1

hoặc
22
2
)s(
B
)js)(js(
B
)s(X
ω+γ+
ω
=
ω−γ+ω+γ+
ω
=
hoặc
22

3
)s(
)s(C
)js)(js(
)s(C
)s(X
ω+γ+
γ
+
=
ω−γ+ω+γ+
γ
+
=
Các hệ số A, B, C phụ thuộc vào các hệ số của hàm X(s).
Các tín hiệu tương ứng với các hàm X
i
(s) trên lần lượt là:
)t(uAe)t(x
t
1
γ−
=
)t(u)tsin(Be)t(x
t
2
ω=
γ−

)t(u)tcos(Ce)t(x

t
3
ω=
γ−

2. Nếu X(s) có các điểm cực trùng nhau (cực bội)
Các tín hiệu sẽ là các dạng sau:
)t(ue)t(f)t(x
t
11
γ−
=
)t(u)tsin(e)t(f)t(x
t
22
ω=
γ−

)t(u)tcos(e)t(f)t(x
t
33
ω=
γ−

ở đây f
i
(t) là các đa thức theo t, bậc của đa thức nhỏ hơn 1 so với bậc của điểm cực tương
ứng. Các hệ số của đa thức phụ thuộc vào các hệ số của hàm X(s).
Phần thực của các điểm cực (là
γ

−
) quyết định tín hiệu tăng hay giảm nhanh chậm như thế
nào theo thời gian. Các điểm cực càng gần trục ảo thì tín hiệu tăng/giảm càng chậm. Phần ảo
của các cặp điểm cực phức liên hợp xác định tần số dao động của thành phần dao động
(sin/cos) trong tín hiệu.
Các tín hiệu ứng với biến đổi Laplace có điểm cực đơn sẽ bị chặn n
ếu 0≥γ , tức là các điểm
cực nằm trên trục ảo hay bên trái mặt phẳng s. Các tín hiệu ứng với biến đổi Laplace có điểm
cực bội sẽ bị chặn nếu
0>γ , tức là các điểm cực nằm bên trái mặt phẳng s.

Chương IV
- 89 -
4.4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ THỐNG DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
Một ứng dụng quan trọng của phép biến đổi Laplace là giải phương trình vi phân tuyến tính
hệ số hằng với
0t ≥ . Phương trình này đặc trưng cho hệ thống tuyến tính bất biến.
4.4.1 Các bước giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng dùng phép biến đổi
Laplace
1. Tính biến đổi Laplace cho hai vế của phương trình, sử dụng các tính chất tuyến tính và đạo
hàm, ta được một phương trình đại số có nghiệm là Y(s)
2. Giải phương trình đại số để tìm nghiệm Y(s)
3. Tính biến đổi Laplace ngược của Y(s) để tìm ra y(t) với 0t ≥ .
Khi tính biến đổi Laplace hai vế của phương trình, các điều kiện ban đầu sẽ tự động có mặt.
Do đó, kết quả ta sẽ có được đáp ứng của hệ thống gồm cả đáp ứng trạng thái 0 và đáp ứng
đầu vào 0 với
0t ≥ .
4.4.2 Ví dụ giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng dùng phép biến đổi Laplace
1. Ví dụ 1
Hệ thống định vị bậc 2 của một thiết bị cơ khí được đặc trưng bởi phương trình vi phân:

)t(x)t(y6
dt
)t(dy
5
dt
)t(yd
2
2
=++
ở đây x(t) là vị trí yêu cầu và y(t) là vị trí đáp ứng.
Giải tìm y(t) với
0t ≥ khi x(t) = u(t) và các điều kiện đầu là: 12
dt
)t(dy
,2)0(y
0t
−==
−
=
−
.

Chương IV
- 90 -
















2. Ví dụ 2
Cho mạch điện sau:

Tìm điện áp trên cuộn dây v
0
(t) với 0t ≥










Chương IV
- 91 -

Chương IV
- 92 -
4.5 GIẢI MẠCH ĐIỆN DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
Trong ví dụ 2 ở mục 4.4.2, ta giải tìm tín hiệu ra của mạch điện bằng cách viết phương trình
vi tích phân biểu diễn vào-ra, rồi áp dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình đó.
Ngoài cách trên, ta có thể tìm tín hiệu trong mạch điện mà không cần viết phương trình vi
tích phân nếu ta biểu diễn tín hiệu và các thành phần trong mạch bằng

tương đương Laplace
(Laplace transform equivalent).
Tương đương Laplace của một tín hiệu chính là biến đổi
Laplace của tín hiệu đó. Tương đương Laplace của một thành phần trong mạch điện là biến
đổi Laplace của mô hình toán học của nó, nói cách khác là ta thay biểu diễn trong miền thời
gian t thành biểu diễn trong miền biến s. . Ta gọi sơ đồ mạch tạo ra từ các tương đương
Laplace là
sơ đồ mạch biến đổi (transformed circuit diagram). Ta sử dụng sơ đồ mạch biến
đổi, biến đổi Laplace của tín hiệu vào, các điều kiện đầu và kỹ thuật phân tích mạch để có
được biến đổi Laplace của tín hiệu ra, rồi tính biến đổi Laplace ngược, ta sẽ có được tín hiệu
ra.
4.5.1 Sơ đồ mạch biến đổi
Để tạo ra sơ đồ mạch biến đổi, ta thay từng thành phần trong mạch bằng tương đương
Laplace của nó.
Trong phần này ta xét các thành phần mạch là nguồn áp, nguồn dòng, điện trở, cuộn dây, tụ
điện.

Chương IV
- 93 -

Chương IV
- 94 -
4.5.2 Ví dụ
Làm lại ví dụ 2 ở mục 4.4.2

Chương IV
- 95 -
4.6 HÀM TRUYỀN ĐẠT
4.6.1 Định nghĩa hàm truyền đạt
Đáp ứng trạng thái 0 của hệ tuyến tính bất biến là
Y(t) = x(t) * h(t)
ở đây x(t) là tín hiệu vào và h(t) là đáp ứng xung. Nếu hệ nhân quả và tín hiệu x(t) đưa vào hệ
thống ở thời điểm
0t ≥ thì ta có thể áp dụng tính chất chập của phép biến đổi Laplace để có:
Y(s) = X(s).H(s)

Vậy, biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0 là tích của biến đổi Laplace của tín hiệu vào
và đáp ứng xung. Từ đây ta có định nghĩa:
Hàm truyền đạt của hệ thống (system transfer function) là hàm theo biến s. Khi được nhân
với biến đổi Laplace của tín hiệu vào, hàm này sẽ tạo ra biến đổi Laplace của đáp ứng trạng
thái 0.
Trong một hệ thống, ứng với mỗi X(s) chỉ có duy nhất một Y(s) tương ứng. Do đó,
hàm
truyền đạt H(s) là duy nhất và là biến đổi Laplace của đáp ứng xung. Vì đáp ứng xung đặc
trưng cho hệ trong miền thời gian nên hàm truyền đạt đặc trưng cho hệ trong miền s.
Ta có thể viết:
H(s) = Y(s)/X(s)
Vậy,
hàm truyền đạt cũng là tỷ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và tín hiệu vào.
Từ hàm truyền đạt, ta có thể tính được đáp ứng trạng thái 0 rất đơn giản bằng cách:
Tính biến đổi Laplace của tín hiệu vào, nhân với hàm truyền đạt rồi tính biến đổi Laplace
ngược.
4.6.2 Tính hàm truyền đạt
Ta có thể tính hàm truyền đạt bằng cách tính biến đổi Laplace của đáp ứng xung, nhưng
muốn có đáp ứng xung ta phải giải phương trình vi phân khá phức tạp. Thực ra thì ta có thể
tính được hàm truyền đạt mà không cần phải giải phương trình vi phân.
1. Tính hàm truyền đạt từ phương trình hệ thống
Phương trình vi phân của hệ tuyến tính bất biến bậc n có dạng chuẩn sau:
∑∑
==
=+
m
0r
r
r
r

n
1k
k
k
k
dt
)t(xd
b
dt
)t(yd
a)t(y

Các hệ số a
k
và b
r
là các hằng số thực.
Giả sử các điều kiện đầu bằng 0, tính biến đổi Laplace cho cả hai vế, ta được:



Giải ra H(s) dạng chuẩn như sau:


Chương IV
- 96 -
Ví dụ:
Trong hệ thống điều khiển quỹ đạo tàu vũ trụ, đáp ứng y(t) của động cơ đẩy phản lực đối với
tín hiệu kích hoạt x(t) được thể hiện trong phương trình sau:
)t(x9

dt
)t(dx
3
dt
)t(dy
5.1
dt
)t(yd
5.0)t(y
2
2
++−−=
(a) Tìm hàm truyền đạt
(b) Tìm đáp ứng xung











2. Tính hàm truyền đạt từ sơ đồ mạch điện
Ta chuyển sơ đồ mạch thành sơ đồ biến đổi như trình bày trong mục 4.5.1, dùng các kỹ thuật
phân tích mạch để viết các phương trình chỉ ra các mối quan hệ, từ đó rút ra hàm truyền đạt.
Ví dụ:
Tìm hàm truyền của mạch lọc cầu T cung cấp cho tải là điện trở

Ω
2












Chương IV
- 97 -
3. Tính hàm truyền đạt từ sơ đồ khối

Chương IV
- 98 -
4.6.3 Quan hệ giữa các đặc điểm của hàm truyền đạt và đáp ứng của hệ thống
Hàm truyền đạt của một hệ tuyến tính bất biến bậc n là:
)s(D
)s(N
sa sa1
sb sbb
)s(H

n
n1
m
m10
=
+++
+++
=
Phân tích tử số và mẫu số ra tích các thừa số, ta được:
)s(D
)s(N
)ps) (ps)(ps(
)zs) (zs)(zs(
a
b
)s(H
n21
m21
n
m
=
−−−
−−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
=

ở đây z
i
là điểm không, p
i
là điểm cực và b
m
/a
n
là độ lợi (gain). Qua đây ta thấy hàm hệ thống
được đặc trưng bởi các cực, không và độ lợi. Như vậy, một hệ thống sẽ được đặc trưng bởi vị
trí của các cực và không của hàm truyền đạt (ngoại trừ điều kiện đầu và độ lợi).
Ta sẽ phân tích kỹ hơn về điều này.
Biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0 là:
)s) (s(
)s) (s(
)ps) (ps(
)zs) (zs(
G)s(X
)s(D
)s(N
)s(X).s(H)s(Y
r1
k1
n1
m1
α−α−
β−

β
−
⋅
−−
−
−
===

ở đây z
i
là điểm không của hàm truyền đạt, p
i
là điểm cực của hàm truyền đạt,
i
β
là điểm
không của tín hiệu vào,
i
α là điểm cực của tín hiệu vào, G là một hằng số thực.
Ta đã biết dạng của tín hiệu phụ thuộc vào các điểm cực. Do đó, trong đáp ứng trạng thái 0,
sẽ có những thành phần có dạng phụ thuộc vào các điểm cực của tín hiệu vào và sẽ có những
thành phần có dạng phụ thuộc vào các điểm cực của hàm truyền đạt.
Ta tính biến đổi Laplace hai v
ế của phương trình hệ thống sau:
∑∑
==
=+
m
0r
r

r
r
n
1k
k
k
k
dt
)t(xd
b
dt
)t(yd
a)t(y

với điều kiện đầu khác 0. Kết quả là:
∑∑
==
=++
m
0r
r
r
n
1k
k
k
)s(Xsb)s(I)s(Ysa)s(Y
ở đây I(s) là một đa thức theo s có các hệ số là hằng số, được tạo ra do biến đổi Laplace của
đạo hàm của y(t) với điều kiện đầu khác 0.
Ta có thể viết lại Y(s) dưới dạng:

)s(D
)s(I
)s(X
)s(D
)s(N
)s(Y +=
Y(s) chính là biến đổi Laplace của tín hiệu ra. Ta thấy Y(s) là tổng của hai số hạng:
- Số hạng thứ nhất là biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0.
- Số hạng thứ hai là biến đổi Laplace của đầu ra khi điều kiện đầu khác 0 và tín hiệu vào
bằng 0, tức đây chính là đáp
ứng đầu vào 0. Dạng của các thành phần của đáp ứng đầu vào 0
phụ thuộc vào điểm cực của hàm truyền đạt. Tử số của hàm truyền đạt không có ảnh hưởng
gì đến đáp ứng đầu vào không, do đó điểm không của hàm truyền đạt không có ảnh hưởng gì
đến đáp ứng đầu vào 0.