THIẾT KẾ CÁC MAPLET HỖ TRỢ TÍNH TOÁN VÀ MINH HỌA TRONG MÔN HÌNH HỌC VI PHÂN

MỤC LỤC


 ! "#$#%!&'
#()'!*+
, %/012+
+345#06
6 )'!*7
+)89:;%%<
+=>#=
2
<
+)89: 9?=>#=
+
<
++@%=>#=
+
=/A#%B
++>#=
6
<
++)89: 9?=>#=
6
<
+++@%=>#=
6
=/A#%+B
+6C#=
6
+D
+6)89: 9?C#=

6
+D
+6+@%C#=
6
=/A#%6
@EFG6H
IJJK)L@)MN6O
MỞ ĐẦU
Hnh hc vi phân&"('PQ'#*&)'R
S!&##%'RQTUV39?#WX0R*&
('9&#-!S#%YZ%>5'-5[5';#
'WS!&5';\QQ]T8=1QS3QHnh hnh hc vi
phân9#=C^0('&A$#%_2Q%T/Q33
5SR=`*;($;R;4=a!8>'%$#%35[PQ
2QT8QS"bPQA_XQcA&9deAV-cR
"#;XPQA$c%=/;/=,5!b$#%&"
Q1Q_X0-!S;AVT&95&f12#%
'Maple;(V=%3= VSQ1QS&TS5=RgR
(?!h'ai8;A4$#%3_5[Maple
#jk&!bS%;%blQ 0#%'G#&[
!8RMaplet[Mapleg#jkX;X%Maplet9^=/$#%
!hbQPQA!&9d9& 9?#'>
m#=R[k(595'=2&n)JE@EoLfp)q
rstG)NoGiIJG))uLrNGvwG)xG))uiJf)yGz
2
Chương 1
LẬP TRÌNH SYMILIC – MAPLET HỖ TRỢ VƯỢT TRỘI TRONG
TÍNH TOÁN VÀ MINH HỌA TRONG MÔN HÌNH HỌC VI PHÂN
1.1. Lịch sử phát triển của phần mềm Maple
@%b=1QS!2MaplecQ_%l"Q"'!&#%4

{OB55'|##GV&S3Q5=5'QaQ"%
$=05=/5-!&#=R[>PQX=,'-h%/
ba=5-a%$S=/R/5= V%$R%&
 Zm#=R[9W%Te=1Q!8?SQ&5#"ba=5-a
3&%&S3Q!&-!SR/Q= 
W%/=1QS0Maple= X&_[!8STA5
X=1QScQ_b!&#%+4{OBGV&S3Q=`.
b!&#5T}2QZU;%Q=/5#"baS?AX
Maple= 9d=1QS5V",Te=1Q!&#4{O+
XQa4{O6[S<B>=5'=`&MapleS%0'
m#-a  !&SQ1Q_j8[!&#4{O7[RS3Q=`
-ecX!8|LNf#9Q-J=/_j!&*aMaple
i&#4{OO[9#-a  &&4[|##J= 
&?SQ=1QS0(&PQAZVTA*a12
Qa^[(~AUgr•mU=R;%2Q-W%/#
= Wb=X&
i&#4{O{[#9b=€'>9^=1QS0Maple= %
/!&T#€#TA769&##-GVSTA80
Maple]€#9b9gb!8•2Q‚Aƒ!&|9#„-!8
#9b8XT8!&#4{OB!8Maple V
i&#4{{{[!8!b%&Maple 6[Maple=`=!&#"-a
!ba'GLv[= U"="$c%:QS
3
i&#4+BB6[#9b…Q†…b= 8bQ#Maple 9
v#9b&= !X0XQT‡ˆ!‰C9^R2Q1[Q#
!b•(3#%'[= !XT‡(VMapleŠv#9bˆ!T,S
%&‹V-W%/= Wb#%TA-Q[C9^&bQ
Maple 119#Q#;QX%##9b‰nŒ=/zŠ8=*9&#>
!8T"8!Z$<BB‚v#9bŒ=/&;(g= TA#
vV{{<!&+BB<Maple=`_;%2Q,1!&#=a09#R

#9b>9^XQG!&#4+BB<[Maple 108bQ"nX
="!4TAz8["10#9bQ†$4$0X="
&&j#%= =!&#T‡•2Q[9#=RRcQ_b
W(3#-%i&#4+BBO[Maple 12=`SV$4
#9b>9^a[€RV;/QT&#
?=$=CTb[PQAZ1=1Q!&Qa[-#^U=R#C[!^
WbW="[:Q#&&b[;/k%!&!^W=";U5#
GV$4;%= S=/&#Maple9d9^""(
?Maple)b5STAMaple 13=`= %/9WSMaple 12
1.2. Chức năng tạo Maplet của Maple
Maple&"12#%'R/Wba= 2Q34
TA•
Maple&"ba$#%S%T/Q3=5-a
R/Wb1QX%j$#%TAU=5'!&Œ(
"(V=A!&5hR;A4%!8
%(V;%
#j$cQ_%95;%Qc[|#9[)[Ž
"-a(?TS-#5%#%!&T&A=b.[$ !8%
8'%WX
R;A4X;Xa"T&;/eb
4
%$#%[!h0Maple=2Q= WbS%b=a!8
%&-a[=a-am#=R[=g}> 9?Ae!V_Qkb!&
Q#%=a!8V$#%35[PQ2QT8Qi&~
$=2Q&=`*2Q;R;4#> 9?/;e?=2Q
&[Maple#jk5#%Maplet'&%#9b!8!b
$ !&#=R2Q(?$#%[!h&Maplet= 5#&!8%
9?a 9?"%$T}kG9VbQ=2T&['j
$1Wb!&_Q"!&#"kPQ=,=/cQ_;XPQA$#%
A34&= Wb#R Maplet0Maple["3

4kkR/WbR%j$#%[!h>
!&#!b-•i&~$!X[%Mapletk#'>R/
Wb%$#%!h1X"%9d9&kR/
=/R/5#"Maplet^$!8!bR/$ !&#=R2Q
34Maple~=`Q_-•#> 9?2QMapletX
#•##-SQ0#9b&!bMaple
1.3. Sơ lược chương trình Hình học vi phân
(Hnh hc vi phân&(' 9?%;XPQA0A$Œ=/
‰0XQ&A$&2QTXŠ=/c*9WSZQX=>!&CHnh
hc vi phân&l%T&#%'Œ=/!&%T&#%!Z%
&A$&V>=CXR=1QS#-W=>0('
!*Œ=/‘[[r#-[Ž’U$0('&=€
_"=a '!8"=a 0A$[?/&%&;A
!"!&TXQ=R 9?%(?=5#&!&$*=/;A#-%
$_0%=a '
5
Chương 2
HƯỚNG DẪN KHAI THÁC CÁC MAPLET
2.1. Maplet Đường trong =
2
2.1.1. Hướng dẫn sử dụng Maplet Đường trong =
2
)+•=>#=
+
a. Thanh Menu
Khái quát•€34
Giới thiệu•v8bQ!2340Maplet
Trong Maplet này sẽ hỗ trợ các tính toán về đường trong =
2
, gồm các phép

tính như sau:
%=/;($PQ
$="#
6
SQ=2
Q
@Q!W
-a0=>#
@Q!W'%
!h'
@Q!W=2Q;/
#50!h
@Q!W';/Q/,
0!hY!h
@Q!W$#% @Q!Wb
,!h
$'="%!#0>?SQFrenet‰!#Xck=!,[
%!#=!,Š
%XQa0=>gX‰'="*[T%;$[
=>gXŠ
Maplet này sẽ hỗ trợ vẽ một số hnh ảnh minh ha về đường trong =
2
:
ih=>#=
+
#TU-a
ih%!#0>?SQFrenet
ih=>kTX
ih=>gX
Thoát•#%;}Maplet

Hướng dẫn•€T34
HD nhập – xuất dữ liệu•)89:%!&cQ_9VbQ$#%
Maplet#jk!&#%9VbQ1X0=2T&=/$
#%!&cQ_;XPQAU;Q!W•"MathMLViewer/,;XPQA$#%
!&"Plotter/,!h
mQ/Q"51jA0%TextBox-hRk$b,
SQ1QA9VbQ!&#TextBox=R•
R%TextBox= 9VbQW9#
 R%TextBoxSQ1Q;AQ"=/']= j
9VbQ!&#TextBoxl%9VbQR-•T‡%;AQ"€W'
%TextBox=/9VbQ!2&Q-eR/W'&Q-eR-•
T‡%;Q"!&#k~S;XTS€W'
#TextBox9VbQ%,t1$“$5”R/W'
"%,#-a%%,R-•T‡%;AQ"
#Rkb=2Q;/#5[ “9”#j
k=Œ-W0-W#5T‡%=Œ!,$0
k Gk U!,$&8-W#59d&!& 5
%CheckBox#jkW'33&YES
#CNO3&Wb&;(Wb
HD cách tính•)89:%Wb%j$#%
7
/Wb$#%[k1=1=0%9VbQ0=2T&=/R
/$#%•
fA-a0=>
W'j$
G!&#%,0-at•
•fj#%=/;($PQ;( 9?=X%,0t
•%j#%g51%,t5?“$5”Qa$
5tT_;–'%,1$5t~&t
—k“$”=/Wb$#%[;XPQA-hb,UMathMLViewer

TS98
(;;XPQA$#%= _9&[;RPQ-%= X;XPQA[_
k“@XPQA”=/U"MathMLViewer /,;XPQA$#%8
—k“ƒR@˜”=/cR;XPQA!l$@XPQA0j$-hT,cR
==/>Œ#;XPQA0j$8= Wb
HD cách vẽ hnh•)89:%Wb!h'
/Wb!h[k1=1=0%9VbQ=/R/!h•
fA-a0=>
˜Q=,%XQa-h= !h^!8=>
G!&#=#5%,0-at=/!h=>#5?“ih=€,
!8”
G!&#-a=/= !h0=>#[-a=/&8j!h
0=>&,
GXQ=>gX= !h=>g&]= /,
#V/,!hm#=R[1c%=,SV&
G!&#=#5%,0-at=/!h%XQag55?“ih
!#!8”QZ•Qa!h!#5"=/3!8%,t™a9V
bQ!&#=#5&&“a‹a”
W'&Q-e0%XQa= !h
W';/Q/,0!hR+?1W'•
•W'!2]1!hT,3#V= /,
@=R[k1Ac%=,V&U%TextBox TS%;2TS
•W'!2-Wb,0%b?'="
—k“ih”=/Wb!h[!h-hb,UPlotterTSS
8
—k“ƒR)”=/cRA!l!h)!h-hT,cR==/>
Œ#!h8= Wb
)89:=2Q;/-W#50!h•
'“#Q#Q-”=/5-W#5
—k“f”=/Wb#5

—k“#”=/_93-W#5
—k“fQ-”=/59l-W#5
b. Khu vực nhập phương trnh tham số của đường cong
G!&#-a0=>##=
+
[%
#'="&#†t[%!Xa%!X#Latex
)++•@Q!W-a0=>
c. Khu vực tính toán
)+6•@Q!W$#%
9
G
#'="c
G
#'="
W'j$
G%,0
-a1$
GkWb$#%
GkUi„
b,;XPQA$#%
GkcR;XPQA$#%
i„/,;XPQA$
d. Khu vực chn các hnh vẽ minh ha
)+7•@Q!W'%!h'
e. Khu vực điều khiển hoạt hnh của hnh vẽ
)+<•@Q!W=2Q;/#50!h
10
ih!#X
ck=!,

ih%!#
=!,
ih=>k
TX
ih=>g
X
a=/0
=>#
&Q!#
Xck=!,
&Q%
!#=!,
&Q=>k
TX
&Q=>
gX
ih=€,!8
Q"=#5“‹T”
ih%XQa;%!8
Q"=#5“š‹Tš”
&Q*=>
gX
GkWb
#5
Gk_93
#5
Gk59l
#5
'#5
S?

2Q;/-W
0#5
f. Khu vực chn kiểu hiển thị của hnh vẽ – vẽ hnh
)+D•@Q!W';/Q/,0!hY!h
2.1.2. Khai thác Maplet Đường trong =
2
để giải toán
2.1.2.1. Ví dụ 1: Xét đường Elip (E) trong =
2
có phương trnh:



=
=
-T
#-c
a. Tm các điểm không chính quy
'j$&•Diem_khong_chinh_quy
@XPQAj$&•n™z[3&;(R=/&#;($PQ
b. Tính độ cong
'j$&•Do_cong
 $="#5%,tT_;–•
!&#%,$5t&t
@XPQAj$&•
+
6
+++++
Š#-#-T‰
T

−+

 $="#5%,t™
7
π
•
!&#%,$5t &Pi/4‰R/'%%,#(&T‡
%;AQ"Š
11
f1!h
= /,
@/Q/,b
?'="
˜Q=,V
/,!h
GkWb
!h
Gk#%;}

GkcR
!l!h
@XPQAj$&•
++++
+T+ŠT‰
T
7
++

c. Tính ta độ của vector tiếp xúc đơn vị tại điểm bất kỳ
'j$&•Vector_tiep_xuc_don_vi[!&#%,$5t&t

@XPQAj$&•








−+−+
−
Š#-#-T‰
Š#-‰T
[
Š#-#-T‰
Š-‰
++++++++++

d. Tính ta độ của pháp vector đơn vị tại điểm bất kỳ
'j$&•Phap_Vector_don_vi[!&#%,$5t&t
@XPQAj$&•








−+

−
−+
−
Š#-#-T‰
Š-‰
[
Š#-#-T‰
Š#-‰T
++++++++++

e. Tm ta độ tâm đường tròn mật tiếp tại điểm bất kỳ
'j$&•Toa_do_tam[!&#%,$5t&t
@XPQAj$&•






−
−
−

ŠT‰-
[

ŠT‰#-
++6++6

Lưu ý: Đây cũng là phương trnh của đường túc bế.

f. Bán kính của dường mật tiếp tại điểm bất kỳ
'j$&• Ban_kinh_duong_tron_mat_tiep[!&#%,
$5t&t
@XPQAj$&•
T
Š#-#-T‰
+
6
+++++
−+

g. Phương trnh đường tròn mật tiếp tại điểm bất kỳ
'j$&•PT_duong_tron_mat_tiep,!&#%,$5t&t
@XPQAj$&•

+
+
6
+++++
+
++6
+
++6
T
Š#-#-T‰

ŠT‰-


ŠT‰#-

c
−+
=








−
++








−
−

12
Lưu ý: Đây là một kết quả dài, muốn xem dễ dàng kết quả tính toán chúng ta nên
mở MathMLViewer hiện thị kết quả tính toán riêng.
2.1.2.2. Ví dụ 2: Vẽ các yếu tố minh ha cho đường Elip (E) trong =
2
có phương

trnh:



=
=
-6
#-7c
i8•ih=>p‰EŠ!8tS=#5“B‹+
π
”
ih!#Xck=!,[%!#=!,!8tS=#5“B‹+
π
”
ih=>kTX[!h=>gX!8tS=#5“B‹+
π
”
Lưu ý: Đường tròn mật tiếp chỉ được hiển thị những phần nằm trong hnh
chữ nhật được giới hạn để hiện thị.
Hnh ảnh minh ha chỉ vẽ được khi đề bài không có tham số.
*&"= !h!8"=#5%,0tSR/#!h
X="#5k-h=2Q;/-W#5&T‡%(?#
khu vực điều khiển hoạt hnh của hnh vẽ
= A-Q‰)+HŠ•
)+H•)!h'
2.1.2.3. Ví dụ 3: Xét đường đường cong (C) trong =
2
có phương trnh:




−=
−=
Š#-‰T
Š-‰c
a. Tm các điểm không chính quy
'j$&•Diem_khong_chinh_quy
13
@XPQAj$&•n™z[3&;(R=/&#;($PQ
b. Tính độ cong
'j$&•Do_cong
 $="#5=/R%,tT_;–•
!&#%,$5t&t
@XPQAj$&•
( ) ( )
+++++++++++
TŠ#-‰TŠ#-‰#-TT#-Š#-‰+
T
−−−−++−

 $="#5%,t™
+
π
•
!&#%,$5t &Pi/2
@XPQAj$&•
+
6
++
ŠT‰

T
+
−

c. Tính ta độ của vector tiếp xúc đơn vị tại điểm bất kỳ
'j$&•Vector_tiep_xuc_don_vi[!&#%,$5t&t
@XPQAj$&•
( )
( )
( )














−++−
−++−
+−
−
#-TT#-Š#-‰+
Š-‰T

[
#-TT#-Š#-‰+
Š#-‰
+++++++
+++++++

d. Tính ta độ của pháp vector đơn vị tại điểm bất kỳ
'j$&•Phap_Vector_don_vi[!&#%,$5t&t
@XPQAj$&•
( )
( )
( )














−++−
+−
−
−++−

−
#-TT#-Š#-‰+
Š#-‰
[
#-TT#-Š#-‰+
Š-‰T
+++++++
+++++++

e. Tm ta độ tâm đường tròn mật tiếp tại điểm bất kỳ
'j$&•Toa_do_tam[!&#%,$5t&t
14
@XPQAj$&•












+−+−
−
−−−
−
T

#-Š#-‰+#-TŠ#-‰T
[

TŠ-‰TŠ-‰Š#-‰Š#-‰Š-‰
+++++++
++++

f. Bán kính của đường mật tiếp tại điểm bất kỳ
'j$&• Ban_kinh_duong_tron_mat_tiep[!&#%,
$5t&t
@XPQAj$&•
( ) ( )
+++++++++++
TŠ#-‰TŠ#-‰#-TT#-Š#-‰+
T

−−−−++−

g. Phương trnh đường tròn mật tiếp tại điểm có giá trị t =
+
π
'j$&•PT_duong_tron_mat_tiep[!&#%,$5t
&Pi/2
@XPQAj$&•
+
+
6
++
+
+

+
++
T
ŠT‰
T




+

T
c
+
=








++













π+
−

h. Vẽ các yếu tố minh ha cho đường cong (C) trong =
2
có phương trnh:



−=
−=
Š#-‰+
Š-‰c
i8•ih=>‰CŠ!8tS=#5“B‹+
π
”
ih!#Xck=!,[%!#=!,!8tS=#5“B‹+
π
”
ih=>kTX[!h=>gX!8tS=#5“B‹+
π
”
= A-Q‰)+OŠ•
15

)+O•)!h'
2.2. Maplet đường trong =
3
2.2.1. Hướng dẫn sử dụng Maplet đường trong =
3
)+{•=>#=
6
16
SQ=2
Q
@Q!W
-a0=>#
@Q!W'%
!h'
@Q!W=2Q;/
#50!h
@Q!W';/Q/,
0!hY!h
@Q!W$#% @Q!Wb
,!h
a. Thanh Menu
Khái quát•€34
Giới thiệu•v8bQ!2340Maplet
Trong Maplet này sẽ hỗ trợ các tính toán về đường trong =
3
, gồm các phép
tính như sau:
%=/;($PQ[;(-#$PQ
$="9&=>#
-aRWS0"=>#

$="#[="c#e
$%'="!#0>?SQFrenet‰!#Xck=!,[
!#%$[!#^%Š

iX-a0XQX[%QX$[^%QX
 iXŒPQ%%C›W=5‰C›bQ
]Š[C›%9b[C›X
Maplet này sẽ hỗ trợ vẽ một số hnh ảnh minh ha về đường trong =
6
:
ih=>##=
6
#TU-a
ih%!#0>?SQFrenet
Thoát•#%;}Maplet
Hướng dẫn•€T34
HD nhập – xuất dữ liệu•)89:%!&cQ_9VbQ$#%
Maplet #jk!&#%9VbQ1X0=2T&=/$
#%!&cQ_;XPQAU;Q!W•"MathMLViewer/,;XPQA$#%
!&"Plotter/,!h
mQ/Q"51jA0%TextBox-hRk$b,
SQ1QA9VbQ!&#TextBox =R•
R%TextBox= 9VbQW9#
 
R%TextBoxSQ1Q;AQ"=/']= j
9VbQ!&#TextBox=Rl%9VbQR-•T‡%;AQ"€W'
%TextBox=/9VbQ!2&Q-eR/W'&Q-eR-•
T‡%;Q"!&#k~S;XTS€W'
17
#TextBox9VbQ%,t1$“$5”R/W'

"%,#-a%%,R-•T‡%;AQ"
#Rkb=2Q;/#5[ “9”#j
k=Œ-W0#5T‡%=Œ!,$0k
 Gk U!,$&8-W#59d&!& 5
%CheckBox#jkW'33&YES
#CNO3&Wb&;(Wb
HD cách tính•)89:%Wb%j$#%
/Wb$#%[k1=1=0%9VbQ0=2T&=/R
/$#%•
fA-a0=>
W'j$
G!&#%,0-at•
•%j#%=/;($PQ[;(-#$PQ[
-aRWS;( 9?=X%,0t
•fj#%$="9&=>#1"=#5%,0tU
?“ih=€,!8”
•%j#%g51%,t5?“$5”Qa$
5tT_;'%,1$5t~&t
—k“$”=/Wb$#%[;XPQA-hb,UMathMLViewer
TS98
(;;XPQA$#%= _9&[;RPQ-%= X;XPQA[_
k“@XPQA”=/U"MathMLViewer /,;XPQA$#%8
—k“ƒR@˜”=/cR;XPQA!l$@XPQA0j$-hT,cR
==/>Œ#;XPQA0j$8= Wb
HD cách vẽ hnh•)89:%Wb!h'
/Wb!h[k1=1=0%9VbQ=/R/!h•
fA-a0=>
˜Q=,%!#-h= !hS
G=#5%,0-at=/!h=>#5?“ih=€,!8”
18

G!&#-a=/= !h0=>#[-a=/&8j!h
&,
G!&#=#5%,0-at=/!h%!#5?“ih!#
!8”QZ•Qa!h!#5"=/3!8%,t™a9VbQ
!&#=#5&&“a‹a”
W'&Q-e#%!#!&X=/
W';/Q/,0!hR6?1W'•
•W'!2]1!hT,3#"V= 
/,@=R[k1Ac%=,"V&U%TextBox
TS%;2TS
•W'!2T?0b?'="R= =2Q;(
•W'!2-Wb,0%b?'="
—k“ih”=/Wb!h[!h-hb,UPlotterTSS
—k“ƒR)”=/cRA!l!h)!h-hT,cR==/>
Œ#!h8= Wb
)89:=2Q;/-W#50!h•
'“#Q#Q-”=/5-W#5
—k“f”=/Wb#5[
—k“#”=/_93-W#5
—k“fQ-”=/59l-W#5
b. Khu vực nhập phương trnh tham số của đường cong
G!&#-a0=>##=
6
[%
#'="&#†t[%!Xa%!X#Latex
19
G
#'="c
G
#'="

G
#'="œ
)+B•@Q!W-a0=>#
c. Khu vực tính toán
)+•@Q!W$#%
d. Khu vực chn các hnh vẽ minh ha
)++•@Q!W'%!h'
20
ih!#X
ck=!,
ih!#%
$
ih!#^
%
a=/0
=>#
&Q!#
Xck=!,
&Q!#
%$
&Q!#
^%
ih=€,!8
Q"=#5“‹T”
ih%!#!8
Q"=#5“š‹Tš”
&Q*=>
gX
W'j$
G%,0

-a1$
GkWb$#%
GkUi„
b,;XPQA$#%
GkcR;XPQA$#%
i„/,;XPQA
$
e. Khu vực điều khiển hoạt hnh của hnh vẽ
)+6•@Q!W=2Q;/#50!h
f. Khu vực chn kiểu hiển thị của hnh vẽ – vẽ hnh
)+7•@Q!W';/Q/,0!hY!h
2.2.2. Khai thác Maplet Đường trong =
3
để giải toán
2.2.2.1. Ví dụ 1: Xét đường xoắn ốc (C) trong =
3
có phương trnh:





=
=
=
Tœ
-
#-c
a. Tm các điểm không chính quy
'j$&•Diem_khong_chinh_quy

21
GkWb
#5
Gk_93
#5
Gk59l
#5
'#5
S?
2Q;/-W
0#5
f1!h
= /,
@/Q/,b
?'="
˜Q=,"
V/,
!h
GkWb
!h
GkcR
!l!h
Gk#%;}

=2Qb
?'="
@XPQAj$&•n™z[3&;(R=/&#;($PQ
b. Tm các điểm không song chính quy
'j$&•Diem_khong_song_chinh_quy
@XPQAj$&•n™z[3&;(R=/&#;( -#$PQ

c. Tính độ dài đường cong với t
∈
[0; 2
π
]
'j$&•Do_dai[=#5[0; 2
π
] !&#?“ih=€,!8”
@XPQAj$&•
( )
π+
++
T+

d. Tm tham số hóa tự nhiên
'j$&•TS_hoa_tu_nhien
@XPQAj$&•
( ) ( ) ( )








+









+








+
++++++
T
T-
[
T
-
-[
T
-
#-

e. Tính độ cong tại điểm bất kỳ
'j$&•Do_cong[!&#%,$5t&t
@XPQAj$&•
++

T

+

f. Tính độ xoắn tại điểm bất kỳ
'j$&•Do_xoan[!&#%,$5t&t
@XPQAj$&•
++
T
T
+

g. Tính ta độ vector tiếp xúc đơn vị tại điểm bất kỳ
'j$&•Vector_tiep_xuc_don_vi[!&#%,$5t&t
@XPQAj$&•
( ) ( ) ( )








+++
−
++++++
T
T
[

T
Š#-‰
[
T
Š-‰

h. Tính ta độ vector pháp chính tại điểm bất kỳ
'j$&•Vector_phap_chinh[!&#%,$5t&t
@XPQAj$&•
[ ]
BŠ[-‰Š[#-‰ −−

i. Tính ta độ vector trùng pháp tại điểm bất kỳ
'j$&•Vector_trung_phap[!&#%,$5t&t
22
@XPQAj$&•
( ) ( ) ( )








++
−
+
++++++
T


[
T
Š#-‰T
[
T
Š-‰T

j. Viết phương trnh tham số của tiếp tuyến tại điểm có t =
+
π
'j$&•PTTS_tiep_tuyen[!&#%,$5t&
+
π

@XPQAj$&•






π+λλ− T
+

T[[

k. Viết phương trnh tham số của pháp tuyến chính tại điểm có t =
+
π

'j$&•PTTS_phap_tuyen_chinh[!&#%,$5t&
+
π

@XPQAj$&•






π++λ− T
+

[ŠT‰[B
++

l. Viết phương trnh tham số của trùng pháp tuyến tại điểm có t =
+
π
'j$&•PTTS_trung_phap_tuyen[!&#%,$5t&
+
π

@XPQAj$&•







π+λλ T
+

[[T
+

m. Viết phương trnh tổng quát của mặt phẳng tiếp diện tại điểm có t =
+
π
'j$&•PTTQMP_phap_dien[!&#%,$5t&
+
π

@XPQAj$&•Yc•TœY
+

T
+
π
™B
n. Viết phương trnh tổng quát của mặt phẳng trực đạc tại điểm có t =
+
π
'j$&•PTTQMP_truc_dac[!&#%,$5t&
+
π

@XPQAj$&•‰Y•Š‰T
+

•
+
Š™B
o. Viết phương trnh tổng quát của mặt phẳng mật tiếp tại điểm có t =
+
π
'j$&•PTTQMP_mat_tiep[!&#%,$5t&
+
π

23
@XPQAj$&•cT•
+
œY
+


+
T
π
™B
2.2.2.2. Ví dụ 2: Vẽ các yếu tố minh ha của đường xoắn ốc (C) trong =
3
cho bởi
phương trnh:






=
=
=
œ
-
#-c
i8•ih=>c#ea‰Š!8t S=#5“B‹+
π
”
ih%!#0>?SQFrenet!8
tS=#5“B‹+
π
”
Lưu ý: Hnh ảnh minh ha chỉ vẽ được khi đề bài
không có tham số.
*&"= !h!8"=#5%,0
tSR/#!hX="#5k
-h=2Q;/-W#5&T‡%(?#
khu vực điều khiển hoạt hnh của hnh vẽ
= A-Q‰)+<Š•
2.2.2.3. Ví dụ 3: Xét đường cong (C) trong =
3
có phương trnh:





=
=

=
-
#-
#-
œ
#-
-c
a. Tm các điểm không chính quy
'j$&•Diem_khong_chinh_quy
@XPQAj$&•n™z[3&;(R=/&#;($PQ
b. Tm các điểm không song chính quy
'j$&•Diem_khong_song_chinh_quy
@XPQAj$&•n™z[3&;(R=/&#;(-#$PQ
24
)+<•)!h'
c. Tính độ cong tại điểm thuộc đường cong
'j$&•Do_cong
 $="#5=/R%,t T_;–•
!&#%,$5t&t
@XPQAj$&•
+
6
Š-‰+++Š#-‰+Š#-‰+
+

Š-‰+6Š-‰+Š#-‰+Š-‰++Š-‰+
Š#-‰+7Š#-‰++Š#-‰+6Š#-‰+<Š-‰+
Š-‰+6Š-‰++Š-‰+7Š#-‰
Š#-#-+‰
Š#-DŠ#-‰7Š#-‰7#-6+

#-7#-6#-+#-Š-‰+
Š-‰#-7#-Š-‰7#-+‰
+−














+−+++
++−−−
+−−

 $="#5%,t™
π
•
!&#%,$5t&Pi
@XPQAj$&•
+
6
+
+

Š‰

+

d. Tính độ xoắn tại điểm thuộc đường cong
'j$&•Do_xoan.
 $="#5=/R%,t T_;–•
!&#%,$5t&t
@XPQAj$&•












+−+++
++−−−
+−−









−−+++
−−
Š-‰+6Š-‰+Š#-‰+Š-‰++Š-‰+
Š#-‰+7Š#-‰++Š#-‰+6Š#-‰+<Š#-‰+
Š-‰+6Š-‰++Š-‰+7
+7
+67Š-‰
#-DŠ#-‰77#-6+
#-7#-6#-+#-Š-‰+
Š-‰#-7#-Š-‰7#-+
ŠŠ#-‰7#-B#-<Š#-‰Š-‰D
Š-‰#-+#-Š-‰6#-Š-‰+‰

 $="#5%,t™
π
•
!&#%,$5t&Pi
@XPQAj$&•B
e. Tính ta độ vector tiếp xúc đơn vị tại điểm có giá trị t =
7
π
25