PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ TRONG KHÍ HẬU ( Phan Văn Tân - NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ) - PHỤ LỤC ppt

250
PHẦN PHỤ LỤC
PHỤ LỤC 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1. Ma trận
Ma trận A cấp (hay bậc m×n, ký hiệu là A(m×n) là một bảng hình chữ nhật
gồm các số hay các phần tử a
ik
được sắp xếp thành m hàng và n cột:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
A

Đôi khi để cho gọn ta thường viét A = (a
ik
), hoặc đơn giản hơn: (a
ik
). Trong
phạm vi tài liệu này ta sẽ luôn giả thiết rằng các phần tử a
ik
là những số thực.
Khi m = 1, ma trận A chỉ gồm một phần tử a
11
, và nó được đồng nhất với
một số. Khi m = n, ma trận A được gọi là ma trận vuông.
- Ma trận A’(n
×m) tạo thành từ ma trận A(m×n) bằng cách đổi chỗ vị trí
hàng thành cột được gọi là ma trận chuyển vị của A:
ki
'
ik
aa =
- Ma trận A'(n
xm) tạo thành từ ma trận A(mxn) bằng cách đổi chỗ vị trí
hàng thành cột được gọi là ma trận chuyển vị của A:
kiik
aa
=
′

với k=1 m, i=1 n.
- Tổng của hai ma trận cùng cấp A và B là một ma trận cùng cấp C mà các
phần tử của nó bằng tổng các phần tử tương ứng của các ma trận A và B:
c
ik
= a
ik
+ b
ik

- Tích của hai ma trận A(m
xn) và B(nxp) sẽ là một ma trận C cấp (mxp),
trong đó các phần tử c
ik
được xác định bởi:



251
c
ik
=
∑
=
n
1j
jkij
ba

Cần lưu ý rằng tích hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận

thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai. Hơn nữa phép nhân ma trận không có
tính giao hoán, tức là nói chung AB
≠BA trong trường hợp phép nhân thực hiện
được.
- Nếu A là một ma trận vuông thì các phần tử a
ii
(chỉ số hàng bằng chỉ số
cột) lập nên đường chéo chính của A và các phần tử đó được gọi là các phần tử
đường chéo. Nếu A có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính thì A được
gọi là ma trận đối xứng.
− Ma trận đối xứng A có các phần tử bằng 0 trừ đường chéo chính được gọi
là ma trận đường chéo. Ma trận đường chéo mà các phần tử đều bằng 1 được gọi
là ma trận đơn vị.
− Ma trận chỉ gồm một hàng hoặc một cột được gọi là vectơ hàng hoặc
vectơ cột.
2. Định thức
Mỗi một ma trận vuông A(nxn) tương ứng với một số D nào đó được gọi là
định thức của A. Số D được ký hiệu bằng:
D =
A =
ik
a =
mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa

và được xác định bởi tổng:
D =
±
∑
aa a
rr nr
n
12
12

trong đó các chỉ số r
1
, r
2
, , r
n
chạy qua tất cả n! hoán vị có thể có của các số
1,2, ,n, còn dấu của mỗi số hạng là (+) hay (
−) tuỳ theo hoán vị tương ứng là
chẵn hay lẻ. Số n được gọi là cấp của định thức.



252
− Định thức của ma trận vuông A và chuyển vị A' của nó bằng nhau.
− Nếu đổi chỗ hai hàng hay hai cột của ma trận cho nhau thì định thức đổi
dấu. Do đó nếu ma trận có hai hàng hoặc hai cột giống nhau thì định thức của nó
bằng không.
− Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức của chúng.
− Nếu A là một ma trận bất kỳ thì ma trận A

1
nhận được từ ma trận A bằng
cách bỏ đi một số hàng và một số cột được gọi là ma trận con của A. Nếu A là
ma trận vuông thì ma trận con vuông của A có các phần tử đường chéo chính là
những phần tử đường chéo chính của A.
− Định thức của một ma trận con vuông của ma trận A được gọi là một tử
thức của A. Ta gọi phần phụ đại số A
ik
của phần tử a
ik
của ma trận vuông A là
tích của tử thức nhận được bằng cách bỏ đi hàng thứ i cột thứ k, nhân với
(
−1)
i+k
.
− Ta có một số đồng nhất thức quan trọng:

aA
D khi i k
khi i k
ij kj
j
n
=
∑
=
=
≠
⎧

⎨
⎩
1
0


yxinm
ikik
k
m
==−+
+−
=
∑
ω
1
1
12 1,( , , )

PHỤ LỤC 2. MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1. Hàm Gamma
Hàm Gamma Γ(p) được xác định bởi hệ thức sau với mọi số thực p>0:

Γ(p) =
xedx
px−−
+∞
∫
1
0

Nếu p dần tới 0 hay tới +
∞ thì Γ(p) dần tới +∞. Hàm Γ(p) có cực tiểu duy
nhất tại p
o
∈ (0; +∞) và người ta đã xác định được giá trị gần đúng của p
o
là
p
o
=1.4616. Giá trị hàm Γ(p) tại điểm cực tiểu bằng Γ(p
o
) = 0.8856.



253
Một số tính chất của hàm Γ(p):
1) Với mọi p>0 ta có
Γ(p+1) = pΓ(p)
2) Nếu p là số nguyên dương n thì
Γ(1) = 1 và Γ(n+1) = n!
3) Với mọi
α>0, λ>0 ta có:
xedx
xλα
λ
λ
α
−−

+∞
∫
=
1
0
Γ()

4)
Γ
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=π
,
Γ
2
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=π

2. Hàm Bêta
Hàm Bêta B(p,q) được xác định bởi hệ thức sau với mọi p>0 và q>0:
B(p,q) =
xxdx
pq−−
−
∫
11
0
1
1()
Giữa hàm
Γ(p) và hàm B(p,q) liên hệ với nhau bởi hệ thức:
B(p,q) =
Γ
Γ
Γ
() ()
()
pq
pq
+

PHỤ LỤC 3. MỘT SỐ BẢNG TÍNH SẴN
1. Bảng giá trị hàm Laplas Φ(x) =
1
2
1
2

0
2
π
edt
t
x
−
∫

x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
0.10 0.0398 0.60 0.2257 1.10 0.3643 1.60 0.4452
0.15 0.0596 0.65 0.2422 1.15 0.3749 1.65 0.4505
0.20 0.0793 0.70 0.2580 1.20 0.3849 1.70 0.4554
0.25 0.0987 0.75 0.2734 1.25 0.3944 1.75 0.4599
0.30 0.1179 0.80 0.2881 1.30 0.4032 1.80 0.4641
0.35 0.1368 0.85 0.3023 1.35 0.4115 1.85 0.4678
0.40 0.1554 0.90 0.3159 1.40 0.4192 1.90 0.4713
0.45 0.1736 0.95 0.3289 1.45 0.4265 1.95 0.4744
0.50 0.1915 1.00 0.3413 1.50 0.4332 2.00 0.4772
0.55 0.2088 1.05 0.3531 1.55 0.4394 2.05 0.4798

254
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
2.10 0.4821 2.60 0.4953 3.10 0.4990 3.60 0.4998
2.15 0.4842 2.65 0.4960 3.15 0.4992 3.65 0.4999
2.20 0.4861 2.70 0.4965 3.20 0.4993 3.70 0.4999
2.25 0.4878 2.75 0.4970 3.25 0.4994 3.75 0.4999
2.30 0.4893 2.80 0.4974 3.30 0.4995 3.80 0.4999
2.35 0.4906 2.85 0.4978 3.35 0.4996 3.85 0.4999
2.40 0.4918 2.90 0.4981 3.40 0.4997 3.90 0.5000
2.45 0.4929 2.95 0.4984 3.45 0.4997 3.95 0.5000
2.50 0.4938 3.00 0.4987 3.50 0.4998 4.00 0.5000
2.55 0.4946 3.05 0.4989 3.55 0.4998 4.05 0.5000

2. Phân bố
χ
2

Bảng tính giá trị χ
2
p
ứng với xác suất p=P(χ
2

>χ
2
p
)= fxndx
p
(,)
χ
2
∞
∫
, trong đó
f(x,n) là hàm mật độ xác suất
χ
2
với n bậc tự do.

p
n 0.99 0.98 0.95 0.90 0.80 0.70 0.50 0.30 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.001
1 0.000 0.001 0.004 0.016 0.064 0.148 0.455 1.074 1.642 2.706 3.841 5.412 6.635 10.827
2 0.020 0.040 0.103 0.211 0.446 0.713 1.386 2.408 3.219 4.605 5.991 7.824 9.210 13.815
3 0.115 0.185 0.352 0.584 1.005 1.424 2.366 3.665 4.642 6.251 7.815 9.837 11.345 16.266
4 0.297 0.429 0.711 1.064 1.649 2.195 3.357 4.878 5.989 7.779 9.488 11.668 13.277 18.466
5 0.554 0.752 1.145 1.610 2.343 3.000 4.351 6.064 7.289 9.236 11.070 13.388 15.086 20.515
6 0.872 1.134 1.635 2.204 3.070 3.828 5.348 7.231 8.558 10.645 12.592 15.033 16.812 22.457
7 1.239 1.564 2.167 2.833 3.822 4.671 6.346 8.383 9.803 12.017 14.067 16.622 18.475 24.321
8 1.647 2.032 2.733 3.490 4.594 5.527 7.344 9.524 11.030 13.362 15.507 18.168 20.090 26.124
9 2.088 2.532 3.325 4.168 5.380 6.393 8.343 10.656 12.242 14.684 16.919 19.679 21.666 27.877
10 2.558 3.059 3.940 4.865 6.179 7.267 9.342 11.781 13.442 15.987 18.307 21.161 23.209 29.588
11 3.053 3.609 4.575 5.578 6.989 8.148 10.341 12.899 14.631 17.275 19.675 22.618 24.725 31.264
12 3.571 4.178 5.226 6.304 7.807 9.034 11.340 14.011 15.812 18.549 21.026 24.054 26.217 32.909

13 4.107 4.765 5.892 7.041 8.634 9.926 12.340 15.119 16.985 19.812 22.362 25.471 27.688 34.527
14 4.660 5.368 6.571 7.790 9.467 10.821 13.339 16.222 18.151 21.064 23.685 26.873 29.141 36.124
15 5.229 5.985 7.261 8.547 10.307 11.721 14.339 17.322 19.311 22.307 24.996 28.259 30.578 37.698
16 5.812 6.614 7.962 9.312 11.152 12.624 15.338 18.418 20.465 23.542 26.296 29.633 32.000 39.252



255
17 6.408 7.255 8.672 10.085 12.002 13.531 16.338 19.511 21.615 24.769 27.587 30.995 33.409 40.791
18 7.015 7.906 9.390 10.865 12.857 14.440 17.338 20.601 22.760 25.989 28.869 32.346 34.805 42.312
19 7.633 8.567 10.117 11.651 13.716 15.352 18.338 21.689 23.900 27.204 30.144 33.687 36.191 43.819
20 8.260 9.237 10.851 12.443 14.578 16.266 19.337 22.775 25.038 28.412 31.410 35.020 37.566 45.314
21 8.897 9.915 11.591 13.240 15.445 17.182 20.337 23.858 26.171 29.615 32.671 36.343 38.932 46.796
22 9.542 10.600 12.338 14.041 16.314 18.101 21.337 24.939 27.301 30.813 33.924 37.659 40.289 48.268
23 10.196 11.293 13.091 14.848 17.187 19.021 22.337 26.018 28.429 32.007 35.172 38.968 41.638 49.728
24 10.856 11.992 13.848 15.659 18.062 19.943 23.337 27.096 29.553 33.196 36.415 40.270 42.980 51.179
25 11.524 12.697 14.611 16.473 18.940 20.867 24.337 28.172 30.675 34.382 37.652 41.566 44.314 52.619
26 12.198 13.409 15.379 17.292 19.820 21.792 25.336 29.246 31.795 35.563 38.885 42.856 45.642 54.051
27 12.878 14.125 16.151 18.114 20.703 22.719 26.336 30.319 32.912 36.741 40.113 44.140 46.963 55.475
28 13.565 14.847 16.928 18.939 21.588 23.647 27.336 31.391 34.027 37.916 41.337 45.419 48.278 56.892
29 14.256 15.574 17.708 19.768 22.475 24.577 28.336 32.461 35.139 39.087 42.557 46.693 49.588 58.301
30 14.953 16.306 18.493 20.599 23.364 25.508 29.336 33.530 36.250 40.256 43.773 47.962 50.892 59.702
3. Phân bố Student (t)
Bảng tính giá trị t
p
ứng với xác suất p=P
()
tt fxndx
p
t

p
>=
∞
∫
2(,)
, trong đó f(x,n)
là hàm mật độ phân bố
t với n bậc tự do.
p
n 0.900 0.800 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100 0.050 0.010 0.001
1 0.158 0.325 0.510 0.727 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 63.656 636.58
2 0.142 0.289 0.445 0.617 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 9.925 31.600
3 0.137 0.277 0.424 0.584 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 5.841 12.924
4 0.134 0.271 0.414 0.569 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 4.604 8.610
5 0.132 0.267 0.408 0.559 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 4.032 6.869
6 0.131 0.265 0.404 0.553 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.707 5.959
7 0.130 0.263 0.402 0.549 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 3.499 5.408
8 0.130 0.262 0.399 0.546 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 3.355 5.041
9 0.129 0.261 0.398 0.543 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 3.250 4.781
10 0.129 0.260 0.397 0.542 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 3.169 4.587
11 0.129 0.260 0.396 0.540 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 3.106 4.437
12 0.128 0.259 0.395 0.539 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 3.055 4.318
13 0.128 0.259 0.394 0.538 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 3.012 4.221
14 0.128 0.258 0.393 0.537 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.977 4.140
15 0.128 0.258 0.393 0.536 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.947 4.073



256
16 0.128 0.258 0.392 0.535 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.921 4.015

17 0.128 0.257 0.392 0.534 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.898 3.965
18 0.127 0.257 0.392 0.534 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.878 3.922
19 0.127 0.257 0.391 0.533 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.861 3.883
20 0.127 0.257 0.391 0.533 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.845 3.850
21 0.127 0.257 0.391 0.532 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.831 3.819
22 0.127 0.256 0.390 0.532 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.819 3.792
23 0.127 0.256 0.390 0.532 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.807 3.768
24 0.127 0.256 0.390 0.531 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.797 3.745
25 0.127 0.256 0.390 0.531 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.787 3.725
26 0.127 0.256 0.390 0.531 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.779 3.707
27 0.127 0.256 0.389 0.531 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.771 3.689
28 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.763 3.674
29 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.756 3.660
30 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.750 3.646
40 0.126 0.255 0.388 0.529 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.704 3.551
60 0.126 0.254 0.387 0.527 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.660 3.460
120 0.126 0.254 0.386 0.526 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.617 3.373
∞
0.126 0.253 0.385 0.524 0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.576 3.290

257

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.
Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như: Thống kê toán học.
NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1984, 505 tr.
2.
Ngô Như Hoà: Thống kê trong nghiên cứu y học (Tập II). NXB Y học,
1982, 416 tr.
3.
Doerffel: Thống kê trong hoá học phân tích (Trần Bính và Nguyễn Văn
Ngạc dịch). NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1983, 272
tr.
4.
Harald Cramér: Phương pháp toán học trong thống kê (Tập I) (Nguyễn
Khắc Phúc, Nguyễn Duy Tiến, Đào Hữu Hồ dịch). NXB Khoa học, Hà Nội,
1969, 474 tr.
5.
Harald Cramér: Phương pháp toán học trong thống kê (Tập II) (Nguyễn
Khắc Phúc, Nguyễn Duy Tiến, Đào Hữu Hồ dịch). NXB Khoa học, Hà Nội,
1969, 326 tr.
6.
Khac Kevit A. A.: Phổ và phân tích phổ (Nguyễn Văn Ngọ và Phương
Xuân Nhàn dịch). NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1977,
260 tr.
7.
Pugatrep V.S.: Lý thuyến hàm ngẫu nhiên và ứng dụng vào các vấn đề

điều khiển tự động
(Tập I) (Huỳnh Sum và Nguyễn Văn Hữu dịch). NXB
Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1978, 558 tr.
8.
Pugatrep V.S.: Lý thuyến hàm ngẫu nhiên và ứng dụng vào các vấn đề
điều khiển tự động
(Tập II) (Huỳnh Sum và Nguyễn Văn Hữu dịch). NXB



258
Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1978, 380 tr.
9.
Rumsixki L. Z.: Phương pháp toán học xử lý các kết quả thực nghiệm.
NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 1972, 283 tr.
10.
Ventxel A.D.: Giáo trình lý thuyết quá trình ngẫu nhiên (Nguyễn Viết
Phú, Nguyễn Duy Tiến dịch). NXB "MIR" Maxcơva, 1975; NXB Đại học
và THCN, Hà Nội, 1987, 461 tr.
11.
Anderson T. W.: An introduction to multivariate statistical analysis.
Copyright (C) 1958 by John Wiley & Sons, Inc. Canada, 353 p.
12.
Chang C.P., Kirshnamurti T.N.: Mosoon mteorology. Oxford University
Press. New York, Clarendon Press. Oxford, 1987, 544 p.
13.
Daniel S. Wilks: Statistical methods in the Atmospheric Sciences - An
Introduction. Academic Press, 1995, 465 p.
14.
Hans A. Panofsky, Glenn W. Brier: Some applications of statistics to

meteorology
. University Park, Pennsylvania, 1965, 223 p.
15.
Palul G. Hoel: Introduction Mathematical Statistics. New York John
Wiley & Sons, Inc. London, 1961, 331 p.
16.
Thiébaux H.J., Pedder M.A.: Spatial objective analysis: with applications
in atmospheric science
. Academic Press, 1987, 297 p.
17.
William H. Press, Brian P. Flannerg, Saul A. Teukolsky, William T.
Verrerling:
Numerical recipes. Cambridge University Press Inc., 1990, 681
p.
18.
Benđat Đj., Pircon A.: Idmerenie i analid xluqa`nưh procexxov. Idđatel]xtvo
MIR, Moxkva, 1974, 464 x.
19.
German Đj. R, Golđberg R.A.: Xolnce, pogođa i klimat. Leningrađ
giđrometeoidđat, 1981, 318 x.
20.
Gruda G.V., Ran]kova D.Ă.: Veroătnoxtnưe meteorologiqexkie prognodư.
Giđrometeoidđat Leningrađ, 1983, 271 x.



259
21. Gumbel] |.: Xtatixtika \kxtremal]nưh dnaqeni`. Idđatel]xtvo MIR, Moxkva,
1965, 452 x.
22.

Ivahnenko A.G., Lapa V.G.: Pređxkadanie xluqa`nưh procexxov.
Idđatel]xtvo Naukova, Kiev, 1971,446 x.
23.
Ixaev A.A.: Xtatixtika v meteorologii i klimatologii. Idđatel]xtvo
Moxkovxkogo Univerxiteta, 1988, 244 c.
24.
Kadakeviq Đ.I.: Oxnovư teorii xluqa`nưh funkci` i eê primenenie v
giđrometeorologii. Giđrometeorologiqexkoe idđatel]xtvo, Leningrađ, 1971,
267 x.
25.
Kovưseva N.V., Gol]berg M.A.: Metođiqexkie ukadaniă po xtatixtiqexko`
obrabotke meteorologiqexkih răđov. Leningrađ, giđrometeoidđat, 1990, 85
x.
26.
L]vovxki` E.N.: Xtatixtiqexkie metođư poxtroeniă \mpiriqexkih formul.
Moxkva, Vưxsaă skola, 1982,224 x.
27.
Otnex R., |nokxon L.: Priklađno` analid vremennưh răđov - Oxnovnưe
metođư. Idđatel]xtvo MIR, Moxkva, 1982, 428 x.
28.
Pugaqev V.X.: Teoriă veroătnoxte` i matematiqexkaă xtatixtika. Moxkva
Nauka glavnaă ređakciă fidiko-matematiqexko` literaturư, 1979, 495 x.
29.
Rojđextvenxki` A.V., Qebotaerev A.I.: Xtatixtiqexkie metođư v giđrologii.
Giđrometeoidđat, Leningrađ, 1974, 424 x.