CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 4 docx

Chương 4

ự
i m ữu hạn kể từ các biên của môi
trường. Trong âm học nguồn đơn giản nhấ
a tiế
U N ĐỊNH VỊ GẦN MẶT NƯỚC
4.1.1. Biểu diễn sóng
ểm (đa hướng) trong không gian tự do
được cho bởi công thức sau đây nếu s dụng (2.1.3):
Để đơn giản ta sẽ bỏ qua nhân tử
SỰ PHẢN XẠ ÂM TỪ BỀ MẶT VÀ ĐÁY ĐẠI DƯƠNG:
NGUỒN ĐIỂM
Trong chương 3 chúng ta đã xét sự phản xạ của các sóng phẳng từ
bề mặt và đáy đại dương. Nhưng trong những tình huống th c một nguồn
âm thường định vị tạ ột khoảng cách h
t là một hình cầu phát xung có
bán kính nhỏ (nguồn “điểm”). Vì vậy chúng t n tới bài toán về trường
củ
a nguồn điểm đa hướng định vị tại một khoảng cách hữu hạn kể từ mặt
phân cách phẳng giữa hai môi trường, tức bài toán về sự phản xạ của
sóng cầu - đó là chủ đề của chương này.
4.1. TRƯỜNG ÂM CỦA NG Ồ
Áp suất âm của một nguồn đi
ử
)]
(4.1.1)
(i[exp)(i tkRRVp
ωπωρ
−−=
−1

0
4 .
)i(exp)/i( tV
ω
π
ω
ρ
−− 4
0
để có
)i(exp kRRp
1−
= . (4.1.2)
Nhân tử bỏ qua có thể được đưa vào những công t ức cuối cùng.
Bây giờ giả sử nguồn
O này nằm tại một khoảng cách ể từ bề
mặt nước
nh 4.1). Áp suất âm cũng phải thỏa mãn phương trình
Helmholtz (mục 2.1)
pk (4.1.3)
và điều kiện biên (xem nh 3.1.16))
h
1
z
k
0=z
(hì
0
2
=+∆p

ận xét sau (
0=
p
tạ (4.1.4) i
0=z
.

Hìn 4.1. Nguồn O và nguồn “ảo” O’
D
h
ễ dàng thấy rằng điều kiện này được thỏa mãn bằng tổng của sóng
cầu (4.1.2) và sóng cầu phát ra b i một nguồn “ảo ảnh” tại điểm
ương của nguồn ại bề mặt
nước (xem hình 4.1). Kết quả là ta nhận được đối v
1.6)
Thự
ở
'O
),(
1
00 z−
nhận được bằng sự phản xạ g
O
t
ới áp suất âm
)i(exp)i(exp
1
1
1
1

kRRkRRp
−−
−= , (4.1.5)
trong đó
212
1
2 /
])([ zzrR −+= và
212
1
2
1
/
])([ zzrR ++= . (4.
c tế tại
0=z
ta có
1
RR =
và do đó 0=
p
. Biểu thức (4.1.5) đối
với áp suất
p
thỏa mãn (4.1.3) cũng như các điều kiện cần thiết khác, cụ
thể là nó biểu diễn sóng
ến như là
đi ra tại
∞→zr,
và diễn bi

R
/1 khi
một điểm quy chiếu tiến dần đến nguồn
)( 0→R
.
125 126

4.1.2. Biểu diễn tia
Trong lý thuyết tia công thức (4.1.5) nhận được như sau. Một trường
âm tại điểm
P
(hình 4.1) sẽ là tổng của trường của tia trực tiếp
trường của tia phản xạ
ường độ âm dọc theo tia trực tiếp giảm
khi
OP
và
OAP
. C
R
tăng theo điều này có nghĩa rằng áp suất âm giảm theo
ủa sóng tại khoảng cách
2−
R
và
1−
R
. Pha c
R
là

kR
. Kết quả là ta được số hạng
thứ nhất trong (4.1.5), tức áp suất âm đối với tia trực tiếp.
Cường độ âm và pha dọc theo tia phản xạ
ễn biến theo cách
tương tự. Tia phản xạ có thể được xem như nó b ừ nguồn ảo
ệ số phản xạ từ bề mặt nước bằng 1
(3.1.12) đối với
OAP
di
ắt đầu t
'O
vì
1
RAPOOAP == '
. H − (xem
0
1
==
ρ
ρ
/m
). Do đó nguồn ảo phải lệch pha 180
o
so
với nguồn chính. Kết quả là ta được số hạng thứ hai trong (4.1.5) với dấu
trừ.
4.1.3. Sơ đồ hướng
Tổng cộng cả hai số hạng trong (4.1.5) cho một sơ đồ giao thoa
tương đối phức tạp của trường âm. Để cho đơn giản, ta sẽ xét trường âm

tại một khoảng cách
R
lớn hơn nhiều so với độ sâu của nguồn ng
trường hợp đó
1
z
. Tro
R
và
1
R
ở
=
0
R
mẫu số của cả hai số hạng trong (4.1.5) có thể
được thay thế bằng
h 4.1). Kết quả là biểu thức
của

2122 /
)( zr + (hìn
p
có thể viết
.7)
trong đó
(4.1.8)
Số hạng thứ hai dưới dấu căn bậc hai bé so với đơn vị; do đó
(4.1.9)
Biểu thức của

ận được khi được thay bằng đó
(4.1.10)
Ngoài ra ta có (hình 4.1)
)](iexp)(i[exp)i(exp
0100
1
0
RRkRRkkRRp −−−=
−
, (4.1
0
2122
1
2
00
212
1
2
0
RzzzRRzzrRR −−−+=−−+=−
//
])([])([
{}
121
212
01
2
10
−−+=
− /

])([ RzzzR .
1
01
2
10
22
−
+=− ))(( RzzzRR .
01
RR −
nh
1
z

1
z−
. Do
1
01
2
101
22
−
+=− ))(( RzzzRR .
00
θ
cos/ =Rz
. Kết quả là (4.1.7) có thể viết
như sau:
)]cosi(exp)cosi([exp)i(exp

01010
1
0
θθ
zkzkkRRp −−=
−

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×
0
2
1
2R
kzi
exp
. (4.1.11)
Giả sử
đủ lớn để thỏa mãn điều kiện
10


0
R

1
0
2
1
<<
R
kz
hay
1
2
0
2
1
≈
R
kzi
exp
. (4.1.12)
Khi đó (4.1.11) trở thành
)i(exp)cossin(
i
001
0
2
kRkz
R
p
θ
−=

. (4.1.13)
Đối với biên độ áp suất âm
p
ta được
)cossin(
01
0
2
θ
kz
R
p =
. (4.1.14)
Đối với một nguồn điểm trong không gian tự do ta sẽ có
0
1 Rp /=
. Do

10
Điều này có nghĩa rằng điểm giao thoa nằm trong vùng Fraunhofer, tức đủ xa
để xem trong hình 4.1 các đường
song song và để sử dụng
các biểu thức gần đúng
POoP ', và OP là
010
θ
coszRR −=− và
0101
θ
coszRR −=− .

127 128

đó một hệ thống gồm nguồn điểm cộng với bề mặt nước hoặc cũng như
vậy, một hệ thống gồm nguồn cộng với ảo ảnh của nó là tương đương với
nguồn điểm với sơ đồ hướng
)cos(sin)(
010
2
θθ
kzF =
. (4.1.15)
Trong các hướng thỏa mãn điều kiện
21
01
/
cos
+
=
N
kz
π
θ
, ,,, 210=
N
(4.1.16)
áp suất âm sẽ cực đại và bằng hai lần áp suất âm của nguồn đơn. Trong
các hướng mà
π
θ
Nkz =

01
cos
(4.1.17)
áp suất âm bằng không.
Nếu độ sâu của nguồn nhỏ so với bước sóng, tức
(4.1.18)
thì
1
1
<<kz
,
010
2
θ
θ
cos)( kzF =
, (4.1.19)
có nghĩa là ta nhận được sơ đồ hướng hình cosin như đối với cái lưỡng
cực. Điều này là tự nhiên, vì một nguồn ở độ sâu nhỏ tạo thành một cái
lưỡng cực với ảo ảnh của nó.
Trong âm học biển sự phụ thuộc của áp suất âm vào khoảng cách tại
một độ sâu cố định rất quan trọng. Trong trường hợp đang xét mối phụ
thu
ộc này thể hiện những cực đại và cực tiểu gián đoạn của áp suất âm.
Tuy nhiên, tại những khoảng cách lớn (hay
ỏ)
zz ,
1
nh
1

0101
<<= Rkzzkz /cos
θ
, áp su
2
1
2
r
k
zz
p ≈ . (4.1.20)
Do đó cường độ âm suy giảm với khoảng cách như
Cho tới nay môi trường truyền âm đã được giả thiết là đồng nhất.
Tuy nhiên, những đặc điểm chính của hiện tượng này vẫn duy trì đúng
khi tồn tại sự phản xạ tia.

4−
r .

Hình 4.2. Trắc diên
à sơ đồ tia (b)
Hình 4.2 cung cấp một thí dụ về trắc diện ơ đồ tia đối với
một trường hợp hiện thực (vùng nhiệt đới Đạ Dương) tại độ sâu
nguồn
Tại các độ sâu và các khoảng cách
có một vùng tối. Tại những khoảng cách nhỏ hơn hai tia - trự
phản xạ từ bề mặt, giao thoa tại mỗi điểm. Biến thiên của áp su ới
khoảng cách đối với
à tần số âm
được biểu diễn trên hình 4.3 cho trường hợp này. Ta nhìn thấy rằng

)(zc
(a) v
)(zc
và s
i Tây
20
1
=z
m.
50>z
m
3>r
km
c tiếp và
ất âm v
20
1
=z
m,
400=z
m v
400=f
Hz
ất âm suy giảm theo khoảng cách một
cách đơn điệu
129 130

trường âm thực sự có một đặc điểm giao thoa rất quen thuộc ở trong vùng
sáng âm và giảm nhanh trong vùng tối âm. Tại các khoảng cách

trường âm chủ yếu chỉ là do các sóng âm phản xạ từ đáy đại dươ
6>r
km
ng.

Hình 4.3. Biến thiên áp suất âm với khoảng cách
đối với trường hợp đã biểu diễn trên hình 4.2
4.1.4. Năng lượng phát xạ
Chúng ta đã thấy ở trên rằng tại ỏ trường âm trong nước có thể
xem như trường âm của một cái lưỡ ực, biên độ của áp suất âm tại
điểm bất kỳ suy giảm theo
ảm. Hoàn toàn tự nhiên năng lượng phát
tia cũng giảm. Chúng ta cũng có thể đoán trước điều đó theo những lập
luận vật lý thương đối đơn giản. Thật vậy, khi một quả cầu phát xung (nó
gần đúng như nguồn của chúng ta) định vị gần bề mặt nước, những co
giãn tuần hoàn của nó chỉ gây nên những thay đổi cục bộ nhỏ của mực
nước, không tạo ra các sóng nén giãn đáng kể trong nước. Nếu sử dụng
giả thiết về nguồn ảo, đôi khi người ta nói rằng tại độ sâu nhỏ
ột
“đoản mạch âm” xuất hiện trong tưởng tượng vận hành với pha ng c so
với nguồn đó.
Như vậy năng lượng phát tia toàn phần tăng lên theo sự tăng c
khi
ỏ. Khi nguồn rất xa kể từ bề mặt sự phát xạ của nó sẽ rõ ràng
giống ư trong không gian tự do. Ta thu nhận một công thức cho năng
lượ ạ với
ý, giả thiết rằng tốc độ khối ủa nguồn
không thay đổi với độ sâu của nó. Trong không gian tự do, nếu áp suất
âm được cho bằng (4.1.2) ta có đối với năng lượng

1
z
nh
ng c
1
z
gi
1
z
m
ượ
ủa
1
z

1
z
nh
nh
ng phát x
1
z
tùy
0
V
c
cc
pR
W
ρ

π
ρ
π
2
2
2
4
2
2
0
0
==
, (4.1.21)
trong đó
ảng cách từ nguồn và
0
R
là kho
p
là áp suất âm tại khoảng cách
đó.
Nếu tính đến bề mặt nước, ta có biên độ của áp suất âm (4.1.14) và
do đó đối với thông lượng năng lượng âm riêng tại khoảng cách

hướng xác định bởi góc
0
R
trong
0
θ

)cos(sin)()(
01
212
0
1
2
22
θρρ
kzcRcp
−−
=
. (4.1.22)
Để tìm năng lượng phát tổng cộng, biểu thức cuối cùng phải nhân với
diện tích của băng nằm trên nửa hình cầu với bán kính
ới hạn
bởi các góc
0
R
và gi
0
θ
và
00
θ
θ
d+
, diện tích đó bằng đó
lấy tích phân theo
00

2
0
2
θθπ
dR sin , sau
0
θ
từ 0 đến
2
/
π
. Khi đó ta có
∫
−
=
2
0
0001
21
4
/
sin)cos(sin)(
π
θθθρπ
dkzcW
.
131 132


Hình 4.4. Năng lượng đầu ra của một nguồn như

một hàm của độ sâu nguồn
Sau khi đưa ra một biến mới
xkz =
01
θ
cos
và thực hiện một tích phân
cơ bản, ta được
(4.1.23)
Chú ý tới (4.1.21), tỉ số của các năng lượng trong trường hợp hiện diện bề
mặt nước và trong không gian tự do được viết dưới dạng
]sin)([)(
1
1
1
1
2214 kzkzcW
−−
−=
ρπ
.
1
1
1
0
221 kzkz
W
W
sin)(
−

−=
. (4.1.24)
Trên hình 4.4 tỉ số
c vẽ như một hàm của
0
WW /
đượ
λ
π
//
11
2 zkz =
.
Nếu
ư đã chờ đợi đối với một nguồn trong
không gian tự do. ng lượng của nguồn sẽ cực đại tại
∞→
1
kz
, thì
1
0
→WW /
nh
Đầu ra nă
83
1
// =
λ
z

. Trong trường hợp này, đồ thị trên hình 4.4 còn cho một mối
phụ thuộc của trở kháng bức xạ vào độ sâu.
4.2. KHAI TRIỂN SÓNG CẦU THÀNH CÁC SÓNG PHẲNG
Khó khăn của bài toán phản xạ và khúc xạ của một sóng cầu tại một
bề mặt phân cách phẳng giữa hai môi trường là do sự khác biệt giữa sự
đối xứng của sóng và sự đối xứng của biên. Trong khi sóng có sự đối
xứng cầu thì biên là một mặ
t phẳng. Do đó lẽ tự nhiên là phải tiếp cận bài
toán bằng cách khai triển sóng cầu thành các sóng phẳng, đặc biệt vì lý
thuyết về sự phản xạ và khúc xạ của các sóng phẳng đã rất phát triển.
Chúng ta chấp nhận rằng nguồn nằm tại gốc tọa độ, sao cho trong
(4.1.2) ta có
ặt phẳng ường của
sóng cầu là
rong đó khai triển trường
này thành một tích phân Fourier kép trong các bi
21222 /
)( zyxR ++= . Trong m
0=z
, tr
rkr /)iexp(
, t
2122 /
)( yxr += . Ta
ến
x
và
y

yxyxyx

dkdkykxkkkArkr )](i[exp),(/)i(exp +=
∫∫
∞−
∞
. (4.2.1)
c cho bằng phép biến đổi Fourier nghịch
2)
Tiếp theo, biến đổi sang các tọa độ cực và sử dụng ký hiệu
),(
yx
kkA đượ
dxdyykxkkrrkkA
yxyx
)](i[exp)i(exp),()( +−=
∫∫
∞−
∞
−
12
2
π
. (4.2.
2122 /
)(,sin,cos
yxyx
kkkk +===
ξψξψξ
,
ϕ
ϕ

ϕ
rdrddxdyryrx === ,sin,cos
. (4.2.3)
Khi đó ta nhận được
Tích phân theo
ơ bản. Hơn nữa, nếu chấp nhận rằng
một phần ảo dương nhỏ (hấp thụ nhỏ trong môi trường), thay thế cận trên
cho kết quả bằng không và ta được
{}
∫∫
∞
−−=
0
2
0
2
2 drkrdkkA
yx
)](cos[(iexp),()(
ϕψξϕπ
π
.

r là tích phân c
k
có
∫∫
−
=
−−

=
−
ππ
αξ
α
ϕψξ
ϕ
π
2
0
1
2
0
2
1
2
cos)/()cos(
i),()(
k
d
ki
k
d
kkA
yx
.
Ở đây tích phân là tích phân cơ bản, do đó
133 134

21222121221
22
//
)()(i)()(i),(
−−−−
−−=−=
yxyx
kkkkkkA
πξπ
.
(4.2.4)
Như vậy
.5)
Biểu thức này mô tả trường trong mặt phẳng
=rkr /)i(exp

∫∫
∞−
∞
−−
+−−
yxyxyx
dkdkykxkkkk )](i[exp)()(i
/ 212221
2
π
. (4.2
y
x
, có t

ết, m
ông gian. M
số hạ
hể được dễ dàng
“tiếp tục” vào không gian. Như mọi người đã bi ỗi hợp phần Fourier
khi đó sẽ tương ứng với một sóng phẳng trong kh ột cách hình
thức, bởi vì sự “tiếp tục” này nên chỉ cần thêm ng
m
mũ của biểu thức dưới dấu tích phân, trong đó
(4.2.6)
Dấu cộng (trừ) tương ứng với các sóng truyền trên hướng
zk
z
i±
trong hà
212221222 //
)()(
ξ
−=−−= kkkkk
yxz
.
z
dương (âm)
trong nửa không gian
ậy
)( 00 <> zz
. V
∫∫
∞−
∞

−−
++=
≥
,)](i[exp)(i/)i(exp
yxzyxz
dkdkzkykxkkRkR
z
11
2
0
π

0≤z
(4.2.7)
Sự đúng đắn của một phép “tiếp tục” như thế được chứng minh bằng thực
tế là những vế phải của các biểu thức cuối cùng thỏa mãn phương trình
Helmholtz (bởi vì nó được thỏa mãn bởi các biểu thức dưới dấu tích
phân) và cho giá trị đúng đối với trường tại
Các phương trình (4.2.7) thể hiện sự khai triển của một sóng cầu
thành các sóng phẳng. Hàm mũ trong biểu thức dưới dấu tích phân là một
sóng phẳng truyền trên hướng được cho bằng các thành phần
ủa vectơ sóng.
4.3. SÓNG PHẢN XẠ
Bây giờ chúng ta sẽ chấp nhận rằng một nguồn nằm ở điểm
4.5). Mặt phẳng à biên giữa hai chất lỏng như
trong mục 3.1.
∫∫
∞−
∞
−−

++=
yxzyxz
dkdkzkykxkkRkR )](i[exp)(i/)i(exp
11
2
π
.
0=z .
yx
kk , và
z
k
c
0
0 zzr == ,
(hình
0=z
l






Hình 4.5. Các vị trí của
nguồn O và điểm quy chiếu
P so với biên phân cách
Mỗi sóng phẳng trong biểu thức dưới dấu tích phân trong (4.2.7)
truyền từ nguồn tới biên, và thông qua sự phản xạ, tới máy thu tại điểm
ạo nên pha độ của nó phải được

nhân lên bởi hệ số ph
),( zr
t )(
0
zzkykxk
zyx
+++ . Biên
ản xạ
=
zz
kkV ),(

,cos
θ
k
ở đây
θ
là góc tới.
Kết quả là, ta nhận được đối với sóng phản xạ
∫∫
∞−
∞
−−
+++=
yxzyxzzr
dkdkzzkykxkkVkp )]((i[exp)()(i
0
11
2
π

135 136

(4.3.1)
hay trong các tọa độ cực có sử dụng (4.2.3)
Tích phân theo
∫∫
−+=
∞
−−
π
ψψϕξξξπ
2
00
0
11
2 ddzzkkVkp
zzzr
)]cos(i[exp)](i[exp)()(i
.
ψ
bằng
)( rJ
ξ
π
0
2
, trong đó
)( rJ
ξ

0
là một hàm
Bessel bậc không. Bây giờ chúng ta sử dụng mối liên hệ quen thuộc trong
lý thuyết các hàm trụ
ở đây
m Hankel loại một và loại hai. Do đó
Trong tích phân thứ hai chúng ta thay
)](H)(H[)(
)()(
rrrJ
ξξξ
2
0
1
0
1
0
2 +=
−
,

)(
H
1
0
và
)(
H
2
0

là các hà
ξξξξ
dzzkkVkrrp
zzzr
)](i[exp)()(H)(Hi
)()(
0
1
0
2
0
0
1
0
1
2 +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
−
∞∞
−
∫∫
.
ξ
bằng

ξ
− và lợi dụng quan hệ
(xem [4.1, trang 89])
đó ta nhận
được trong tích phân nà đúng
như trong tích phân th
zzr
)](i[exp)(H)(i
)(
1
0
11
2 +=
∫
∞
∞−
−−
. (4.3.2)
)(H)]i(exp[H
)()(
rr
ξπξ
1
0
2
0
−=− . Khi
y cùng một biểu thức dưới dấu tích phân
ứ nhất, các cận lấy tích phân là ∞ . Kết hợp hai −,0
tích phân thành một, ta có

ξξξ
dzzkrkVkp
z 0
Nếu hệ số phản xạ
V
không phải là một óc tới, nó có thể
được đưa ra ngoài dấu tích ph n. Kh đó tích phân còn lại là (xem [4.2,
chương 4])
)(
11
zkkr
∞
−
∫
ξ
hàm của g
â i
1
1
100
2 kRRdz
zz
−
∞−
−=+
ξξ
,
2 /
])([ zzrR ++= . (4.3.3)
Kết quả là sóng ph

1
kRVRp
−
= , (4.3.4)
tập
Bây giờ chúng ta trở lại một trường hợp t
khoảng cách lớn so với bước sóng là mối quan tâm của chúng ta. Trong
những điều kiện đó thuận tiện nhất là sử dụng một biểu diễn tiệm cận của
hàm Hankel
(4.3.5)
Nếu giới hạn ở số hạng thứ nhất trong biểu thức này, ta nhận được từ
(4.3.2)
)i(expi)(i[exp)(H
212
01
ản xạ bằng
)i(exp
11r
tức là sóng cầu đi ra trung tại nguồn ảo
O
′
(hình 4.5).
ổng quát. Trường tại những
.] )i([)]/(i[exp)]/([)(H
/)(
++−≈
−1211
0
8142 rrrr
ξπξπξξ

.
ξξξππ
dwkVkrp
zzr
)](i[exp)()/()/iexp()(
/
∫
∞
∞−
−
= 42
21
, (4.3.6)
trong đó
)()(
0
zzkrw
z
++≡
ξ
ξ
. (4.3.7)
u ý rằng
0101
Lư
0
θ
θ
cos,sin RzzRr =+=
, (4.3.8)

trong đó
1
R
là khoả ách từ điểm thu ng c
P
t i nguồ ảo
O
′
và
0
ớ n
θ
là góc
giữa đường
OP
và trục
z
(hình 4.5). Khi đó
)cossin()(
001
θ
θ
ξ
ξ
z
kRw +=
. (4.3 )
Vì theo giả thiết của chúng ta
1
R

lớn so với bước sóng, nên hàm mũ
trong biểu thức dưới dấu tích phân (4.3.6) sẽ là một hàm biến đổi nhanh,
và giá trị của tích phân có thể được ước lượng bằng cách sử dụng phương
.9
137 138

pháp pha dừng.
11
Phần đóng góp chính cho tích phân được cho ở lân cận
của điểm pha dừng
0
ξ
, nó có thể được tìm từ phương trình
0
0
=
ξ
ξ
)/( ddw . Chú ý đến (4.3.7) và giá trị của , ta được
z
k
(4.2.6)
00
θ
ξ
sin
. (4.3.10)
Vậy, điểm pha dừng tương ứng ới c
PO
′

trên hình 4.5, đối với
chúng h phương ng
k=
v ác tia
ợp phần ang của vectơ sóng ởi (4.3.10). Tất
cả các thừa số trong biểu thức dưới dấu tích phân (4.3.6), ng
mũ, có thể được đưa ngoài dấu tích phân (như một hàm biến
được cho b
oại trừ hàm
đổi chậm)
tại
0
ξ
ξ
=
, và để ước lượng tích phân còn lại
)(
ξ
w
có thể được khai
triển thành một chuỗi lũy thừa của
0
ξ

21
2 ))(()()(
ξξξξξ
−
′′
+=

−
www . (4.3.11)
000
Kết quả là ta nhận được từ (4.3.6)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
4
2
0
21
0
2
10
i
wkRVp
r
π
ξθπθ
)(iexp)cos()(
/

∫
∞
−
′′

×
ξξξ
w )()(i[exp
2
00
∞−
ξ
d]/ 2
, (4.3.12)
ở đây
0
0
ξξ
θ
=
≡ )()(
z
kVV . Bây giờ thay đổi biế phân từ n tích
ξ
thành
s

22
00
2 sw i/))(( =−
′′
ξξξ

hay
sw )/i(exp)](/[

/
42
21
00
πξξξ
′′
=− đối với
0
0
>
′′
)(
ξ
w
,
sw )/i(exp)](/[
/
42
21
00
πξξξ
−
′′
−=− đối với
0
0
<
′′
)(
ξ

w
.

ừng là một trường hợp riêng của phương pháp suy giảm
nhanh nhất đã được xét, thí dụ, trong cuốn sách của Brekhovskikh [4.3, mục 27].
Quãng đường lấy tích phân trên
11
Phương pháp pha d
s
đi từ
)/i(exp 4
π
±∞−
đến
)/i(exp 4
π
±∞
, nhưng nó có thể được biến dạng sao cho nó
theo trục thực. Kết quả là, nếu sử dụng giá trị của tích phân
sẽ đi dọc
∫
∞
∞−
=−
π
dss )(exp
2
,
ta nhận được
[]

∫
∞
∞−
±
′′
=−
′′
)/iexp()(/]/))((i[exp
/
422
21
0
2
00
πξπξξξξ
wdw

(4.3.13)
với dấu trong hàm mũ trùng với dấu của
)(
0
ξ
w
′′
.
Thế (4.3.10) vào (4.3.9) dẫn tới
10
kRw =)(
ξ
. Khi đó lấy đạo hàm

(4.3.9) hai lần theo
ξ
, chú ý tới
z
từ (4.2.6 và một lần nữa thế
0

k
)
ξ
từ
(4.3.10), ta được
)cos/()(
0
2
10
θξ
kRw −=
′′
.
Bây giờ chú ý tới (4.3.13), ta có từ (4.3.12)
1
1
1
kR
−
. (4.3.14)
Vậy trong phép xấp xỉ này kết quả hoàn toàn đơn gi
xạ bằng trường của nguồn ảo
)i(exp)(

0
RVp
r
=
θ
ản. Trường sóng phản
ới hệ số phản xạ
O
′
(hình 4.5) nhân v
)(
0
θ
V
.
ng phép xấp xỉ tiếp theo chúng ta phải làm
những việc sau:
2) khai triển hàm
Như sẽ chỉ ra dưới đây, phép xấp xỉ này không phải luôn luôn đủ
trong thực tế. Để tính
r
p
tro
1) tính tới số hạng tiếp theo trong khai triển hàm Hankel (4.3.5);

)(
ξ
w
trong (4.3.6) tới số hạng )(
ξξ

− , và
4
0
139 140

3) khai triển biểu thức dưới dấu tích phân, ngoại trừ hàm mũ trong
(4.3.6) tới số hạng
2
0
)(
ξξ
− .
Ở đây chúng ta sẽ không đề cập tới chuyện này, đơn giả
toán rất phức tạp, mà chỉ đưa ra kết quả cuối cùng
12

exp(
1
Rp =
−
n là vì các tính
1011
kRNVkR
r
−
θ
, (4.3.15)
trong đó
(4.3.16)
Ở đây dấu phẩy biểu thị đạo hàm theo

]/i)()[i
]ctg)()([
000
1
2
θθθ
VVN
′
+
′′
=
−
.
θ
.
Sử dụng (3.1.12) đối với hệ số phản xạ của một sóng âm từ biên
phân cách giữa hai chất lỏng, sau khi đạo hàm ta được
])()([
)(
)(
4
0
2
0
2
00
2
0
2
3

00
3
0
2
12312
1
γγγγ
γ
mnqmnm
qmq
nm
N −+−++−
+
−
=

(4.3.17)
trong đó
(4.3.18)
Phép xấp xỉ của âm hình học. Số hạng thứ hai trong dấu ngoặc
vuông của (4.3.15) triệt tiêu khi
ậy (4.3.14) được gọi là
phép xấp xỉ của âm hình học. Việc phân tích sự đúng đắn của phép xấp xỉ
này là điều đáng quan tâm ở đây.
Trước hết chúng ta nhận xét rằng
21
0
22
000
/

)sin(,cos
θθγ
−== nq .
∞→k
, và vì v
0=
N
nếu
V
là h
đó xu
ằng số, tức khi
hệ số phản xạ không phụ thuộc vào góc tới. Điều ất hiện đối với
một bề mặt phản xạ hoàn toàn
ự thích dụng của âm hình học

)( 1±=V
. S

12
Để rút ra đầy đủ công thức (4.3.15) với phép tích phân trong mặt phẳng phức
θ
, trong đó
θ
ξ
sink= xem Brekhovskikh [4 3, mục 28].
trong trường hợp này đã được quen biết từ lâu (mục 4.1). Hệ số phản xạ
cũng không phụ thuộc vào góc khi tốc độ âm như trong trong cả hai môi
trường. Thật vậy, nếu đặt
.1.12), ta được

ẽ dẫn lập một chỉ tiêu để chỉ ra khi nào thì số
3.15) có thể được bỏ qua nếu
1=n
trong (3
)/()( 11 +−= mmV
.
Bây giờ chúng ta s
hạng hiệu chỉnh trong (4.
V
không p
ằm t
hải là
hằng số. Để đơn giản, xét trường hợp trong đó nguồn n ại mặt phân
cách (
hình 4.5). Số hạng hiệu chỉnh trong (4.3.15) bé so với
tổng c đến
ng phản xạ
1
RR =
, xem
ủa sóng
RkR /)iexp(
và só
RkRV /)iexp()(
0
θ

nếu
NVkR >>+ )(
0

1
θ
(4.3.19)
hay sử dụng (3.1.12) đối với
)(
0
θ
V
nếu
N
nm
mkR
>>
−+
0
22
0
0
2
θθ
θ
coscos
sin
. (4.3.20)
Vì
c chấp nhận là lớn, nên điều kiện này tự động được thực hiện,
ngo ừ trường hợp khi
kR
đượ
ại tr

1
0
<<
θ
cos
và
2
0
/
π
θ
≈
. Trong trường hợp
thứ hai, nếu chú ý rằng trong (4.3.17)
1
00
<<=
θ
γ
cos
và
zR =
0
θ
cos
,
điều kiện (4.3.20) có thể viết lại thành
2
2
0

2
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
−
>>
nm
nm
kz
θ
cos
. (4.3.22)
Vậy, độ cao của máy thu bên trên biên phân cách phải lớn so với bước
141 142

sóng để phương pháp của âm hình học có thể áp dụng được.
13
Phải lưu ý
rằng âm hình học cũng không áp dụng được nếu
0
0
→q
và
n→

0
θ
sin

(trường hợp phản xạ bên trong toàn phần).
Tại
a có sự chuyển tiếp tới một biên phản xạ lý
tưởng vì
∞→m
chúng t
1→
V
(3.
và âm hình h
1.12). Một cách tương ứng vế phải của (4.3.21) tiến
tới không ọc đúng cho mọi
z
.
4.4. SÓNG BÊN (Lateral wave)
Một số hiện tượng lý thú xuất hiện khi một sóng cầu bị phản xạ
trong toàn phần (
nn ><
0
1
θ
sin,
). Sử dụng (3.1.15) đối với
V
trong
trường hợp này, ta viết lại (4.3.6) đối với sóng phản xạ dưới dạng

(4.4.1)
trong đó
∫
∞
∞−
−−
−=
ξξξξππ
dkwrp
r
2121221
42
//
)()](i[exp)/iexp()(
,
)()()(
ξ
ϕ
ξ
ξ
+++=
0
zzkrw
z
. (4.4.2)
Biểu thức (3.1.15) đối với pha
ϕ
của hệ số phản xạ biểu diễn qua
ξ
là

])(/)[(arctg
// 2122212
1
2
2
ξξϕ
−−−= kmk . (4.4.3)
Một điểm của pha dừng
0
ξ
ξ
=
được tìm từ phương trình
0
0
=
′
)(
ξ
w
.
Nếu chú ý tới giá trị của
ểu thức sau cùng có thể
viết thành
4.4)

2122 /
)(
ξ
−= kk

z
, bi
00
212
0
2
000
θξξξϕ
tg)()()()(
/
zzkzzr ++∆=−++
′
−=
−
, (4.

13
Cùng kết quả như vậy nhận được nếu máy thu đặt ở biên phân cách và độ cao
của nguồn bên trên biên phân cách lớn.
ở đây
)(
0
ξ
ϕ
′
−=∆
(4.4.5)
và góc
0
θ

được đưa vào tuân theo quan hệ
00
θ
ξ
sink=
. Bi
n (hình 4.6). Kh
ểu thức
(4.4.4) đưa ra một cách lý giải hình học đơn giả oảng cách
ngang
tia đi được gồm các đoạn r mà
OABP

00
θ
tgz
và
0
θ
tgz
và
khoảng dịch chuyển ủa tia dọc theo biên. ∆ c

Hình 4.6. Sóng bên là kết quả dịch chuyển tia trong phản xạ
Ở đây lần đầu tiên chúng ta gặp hiện tượng lý thú tia dịch chuyển
dọc theo biên tại nơi phản xạ trong toàn phần. Công thức (4.4.5) thu được
cho khoảng dịch chuyển tia được áp dụng đối với trường hợp phản xạ
toàn phần bất kỳ (mục 4.5) khi hệ số phản xạ được biểu diễn dưới dạng
)iexp(
ϕ

=V

14
và
ϕ
là thực. Đối với trường hợp khi
ϕ
được cho bằng
(4.4.3), ta tìm được
2122212
1
22
1
2222
2
1
2
2
//
)()]()([
)(
)(
ξξξξ
ξ
ξϕ
−−−+−
−
=
′
kkkkm

kkm
. (4.4.
143 144

6)

14
Hiện tượng này được nghiên cứu đầy đủ nhất trong bài báo của Lotsch [4.4].
Nhận xét rằng khoảng dịch chuyển
)(
0
ξ
ϕ
′
−=∆
nói chung có bậc
ăng đáng kể khi
k/1
, t
10
k→
ξ
, tức khi
0
θ
ti
i đây
ệm cận tới góc phản xạ
trong toàn phần. Như chúng ta sẽ thấy dướ , trường hợp này là đáng
quan tâm nhất. Vì vậy, nếu đặt

10
k==
ξ
ξ
ở mọi chỗ trong (4.4.60 ngoại
trừ trong hiệu
được đối với khoảng dịch chuyển tia
2
1
2
k−
ξ
, ta thu
212
0
2212212
1
2
0
212
1
2
1
2
////
)(sin)()()( nnkm
n
knm
n
−−

=
−−
≈∆
θξ
.
(4.4.7)
Bây giờ chúng ta lại trở lại phương trình tia (4.4.4) và xem xét trường
hợp
đủ lớn. Người ta có thể dễ dàng thấy rằng hai tia đi tới điểm
ột trong chúng là tia vừa được xét. Nó đi tới biên với góc tới
phản xạ trong toàn phần
r
),( zrP
. M
gần bằng góc
)(sin n≈
0
θ
và có một khoảng
dịch chuyển ương đối lớn. Những tia loại này tạo thành cái gọi là
sóng bên. Tia khác,
i tới biên với một góc tới lớn hơn rất nhiều và
có một khoảng dịch chuy n rất nhỏ (trên hình 4.6 nó bằng không). Tia
này thuộc họ những tia t ứng với sóng phản xạ đã được nghiên cứu ở
trên. Hãy xem xét sóng b một cách tỉ mỉ hơn bằng cách quay trở lại tích
phân (4.4.1) và ước l ị của nó được cho bởi đoạn của quãng
đường tích phân có ch ểm pha d
ừng gần sát với
∆ t
OCP

đ
ể
ương
ên
ượng giá tr
ứa đi
10
k=
ξ
. Để làm việc
này, mọi thứ ngoại trừ hàm mũ có thể được đưa ra ngoài tích phân tại
1
k=
ξ
và pha trong hàm mũ, tức hàm
)(
ξ
w
được cho bởi (4.4.2) có thể
được biểu diễn dưới dạng cho trong (4.3.11).
Chấp nhận tiếp rằng
)()(
10
kww =
ξ
, ta nhận được từ (4.4.1)
(4.4.8)
Lấy đạo hàm hai lần (4.4.2) theo
212
1

21221
1412
///
)([i{exp)/iexp()]/([)( nkrknnkrp
r
−+−=
−
ππ

∫
∞
∞−
−
′′
+×
ξξξξ
dwzz ]/)()(i[exp)]}( 2
2
000
.
ξ
, chỉ giữ lại những số hạng chứa hiệu
ới lũy thừa âm cao nhất đối với đạo hàm của
)(
2
1
2
k−
ξ
v

)(
ξ
ϕ
và đặt
10
k=
ξ
tại mọi nơi, ngoại trừ trong hiệu này, ta nhận được
232
1
2
0
2
232
1
2
0
212
1
0
1
2
///
)(
)(
)()(
)(
kk
zzk
knm

nk
w
−
+
−
−−
=
′′
ξ
ξ
. (4.4.9)
Vì
ấp nhận rằng số hạng thứ hai có thể bỏ qua. Khi đó,
chú ý t .7) đối với khoảng dịch chuyển
(4.4.10)
Cuối cùng, chú ý tới (4.3.13) (tại
2
1
2
0
k−
ξ
bé, ta ch
ới (4.4 ∆ , ta có
3122
0
41 ∆−=
′′
−
))(()( nnkmw

ξ
.
0
0
>
′′
)(
ξ
w
), ta nhận được từ (4.4.8)
)]}()([i{exp
)(
i
/
//
0
212
1
23212
1
1
2
zznkrk
rnkm
n
p
r
+−+
∆−
=

.
(4.4.11)
Đối với
ỏ và ớn, chúng ta có ừ (4.4.4). Trong
trường hợp này biên độ của sóng bên sẽ giảm theo khoảng cách như
0
zz +
nh r l ∆∼r t
2
1 r
/
.
Người ta có thể hiểu nguồn gốc của sóng bên nếu sử dụng cách lập
luận vật lý đơn giản. Một sóng cầu từ nguồn
đi tới tạ điểm
O

A
trên
biên dưới một góc phản xạ trong toàn phần
)(sin n=
δ
δ
phát sinh ra
ường bên dưới (hì
ại một phần n
. Theo định
đó, tia
một sóng truyền dọc theo biên trong môi tr nh 4.7).
Trong quá trình truyền sóng này liên tục phát l ăng lượng

của nó vào môi trường bên trên, tạo nên sóng bên luật phản
xạ, những tia tương ứng với sóng bên (một trong các tia
BP

ng nh
được
thể hiện trên hình 4.7 bằng đường liền nét, các tia khác bằ ững
đường gạch nối) rời bỏ biên dưới góc
δ
tạo với đường pháp tuyến của
biên. Front
ủa sóng bên là một đường thẳng trong mặt phẳng của
PP
′′′
c
145 146

hình vẽ, nhưng trong không gian nó là một hình nón nếu xét tới sự đối
xứng qua trục thẳng đứng chứa điểm
O
.

Hình 4.7. Một trong những tia tạo thành sóng bên,
khoảng dịch chuyển dọc theo biên trong phản x
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng pha của sóng bên (4.4.11) tuân thủ
sự biến đổi pha dọc theo tia
OABP
. Tia này gồm các đoạn
OAL =
và

∆
là
ạ
0
BP
L = , dọc theo đó sóng tru ới một tốc độ yền v
kc /
ω
=
và đoạn
A
B=∆ với tốc độ
== kc /
11
ω

kn/
ω
. Trước hết, chúng ta có pha của
ấu ngoặc trong hàm ủa (4.4.11)) nếu đặt sóng bên (các d mũ c
δ
θ
=

trong (4.4.4)
0
)()(]tg)([)()(
//
0
212

010
212
1
11 zznkzzkzznkrk +−+++∆=+−+
δ

)(cos/)( LLkkzzkk ++∆=++∆=
0101
δ
. (4.4.12)
Ở đây chúng ta đã tính đến
δ
sin=n
.
Biên độ của sóng bên (4.4.11) cũng có thể nhận được từ những lập
luận hình học đơn thuần. Ta xét tia
và các tia lân cận
tạo nên một chùm tia hẹp đi tới biên v ần bằng nhưng hơi lớn
hơn góc
OA
trên hình 4.7
ới các góc g
δ
. Mỗi tia của chùm này có một quỹ đạo tương tự như quỹ đạo
của tia
độ áp suất bình phương tại điểm bất kỳ
trong môi trường bên trên có thể tính được bằng công thức (mục 2.5)
ừa số tiêu điểm được cho bằng (2.5.3), ở đây
OABP
. Biên

),( zrP

22
rfp
lat
/= ;
f
là th
==
1
χ
χ

,/
θ
π
−2
0
θ
∂−∂=∂∂ // x
. Nếu lấy đạo hàm (4.4.4) thì
0
θ
∂∂ /r
có thể
tìm được, trong đó
0
θ
∂∆∂ /
là số hạng áp đảo. Sử dụng (4.4.7) ta tìm

được
.)()()(
)(sin)(
/
/
312322
232
0
212
00
41
2
∆−=
−−=
∂
∆∂
≈
∂
∂
−
−−
nnkm
nkmn
r
θ
θθ

Như vẫn làm, ta chấp nhận
n=
0

θ
sin
ở mọi nơi ngoại trừ trong
đó, nếu thay thế
2
0
2
n=
θ
sin . Khi
0
θ
∂∂ /r
thành
f
vào trong (2.5.3),
ta được
3222
2
2
2
1
4
∆−
==
)()( nkmr
n
r
f
p

lat
.
Biểu thức này trùng với biên độ bình phương của (4.4.11).
Tại những khoảng cách lớn ta có
độ áp suất bình
phương của sóng bên suy thoái như
∆∼
r
và biên
2
lat
p ∼
4
1 r
/
, tức nhanh hơn nhiều so
với suy thoái của các thức. Rất nhiều khi sóng bên tạo thành một phần
đóng góp nhỏ có thể bỏ qua vào trường tổng cộng. Tuy nhiên, có một số
trường hợp nó rất quan trọng. Trong mục 4.5 sẽ phân tích tỉ mỉ về những
trường hợp như vậy. Ở đây chúng ta chỉ nhận xét một vài trường hợp.
1) Trong phát xạ xung, sóng bên tách biệt trong thời gian với các
sóng khác và nó đi tới đ
iểm thu sớm hơn các sóng khác (sóng “đi đầu”
trong địa chấn học).
147 148

2) Sóng bên là một bộ phận chính của trường âm trong các vùng tối
trong một ống dẫn sóng đại dương phân tầng.
3) Sóng bên đóng vai trò áp đảo trong ống dẫn sóng đại dương tại
những tần số thấp hơn tần số của thức thứ nhất.

4) Nguồn và máy thu nằm rất gần đáy đại dương khi các sóng tới và
các sóng phản xạ gương hầu như loại bỏ nhau.
5) Các đặc trưng c
ủa sóng bên có thể được sử dụng để tách ra thông
tin duy nhất về môi trường truyền sóng. Tại những giá trị vừa và bé của
ộ tiệm cận nhau, tạo nên vùng tụ tia - trường hợp này không
được xét ở đây [4.3].
4.5. PHẢN XẠ TỪ NỬA KHÔNG GIAN BẤT ĐỒNG NHẤT PHÂN
LỚP: CÁC VÙNG TỤ TIA
Những tính toán ở mục 4.4 nhằm dẫn tới biểu thức cho sóng bên d
dàng được khái quát hóa cho trường hợp phản x
ạ toàn phần từ một nửa
không gian phân lớp tùy ý với hệ số phản xạ được cho dưới dạng
∆ có hai h
ễ
θ
ξ
ξ
ϕ
sin)],(i[exp kV ==
, (4.5.1)
ở đây
ố sóng trong nửa không gian đồng nhất và
k
là s
θ
là góc tới. Biểu
thức tích phân (4.4.1) đối với
đối với tia và biểu thức (4.4.5)
đối với khoảng dịch chuyển tia vẫn giữ nguyên.

Ta hãy giả thiết rằng các tham số của một nửa không gian bất đồng
nhất biến đổi chậm theo
r
p
, (4.4.4)
z
để sao cho
ϕ
được cho bằng công thức
(3.5.2). Khi đó ể nhận được bằng các xấp xỉ tia nếu chúng ta theo
dõi các tia trong nửa không gian bên dưới (hình 3.8). Thật vậy, nếu lấy
đạo hàm pha (3.5.2) ta có
∆ có th
∫
−
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=∆
m
z
dzzk

0
0
212
0
2
2
0
ξξ
ξ
ϕ
ξ
/
])([ , (4.5.2)
biểu thức này trùng với (2.3.2) vì
100
χ
ξ
cosk=
và
m
zz =
. Điểm pha
dừng
0
ξ
ξ
=
đố
0
0

=
i với tích phân (4.4.1) có thể lại được tìm từ phương trình
′
)(
ξ
w
.
0
Đưa mọi thứ, ngoại trừ hàm mũ, ra ngoài tích phân đối với
ξ
ξ
=
và thay thế biểu thức trong hàm mũ bằng khai triển
(4.5.3)
ta được
(4.5.4)
(4.5.5)
Nếu chú ý tới
2
2
000
/)()()()(
ξξξξξ
−
′′
+= www ,
)](i/i[exp]([
//
0
212

0
221
0
42
ξπξπξ
wkrp
r
+−=
−

∫
∞
∞−
−
′′
×
ξξξξ
dw ]/))((i[exp 2
2
00
,
)())(()(
/
0
212
0
2
000
ξϕξξξ
+−++= kzzrw .

00
θ
ξ
sink=
và (4.3.13), biểu thức (4.5.4) dẫn đến
[]
]i)(i[exp)(coscos
/
εξξθξ
+
′′
=
−
0
21
000
wwkrp
r
. (4.5.6)
ở đây
2
/
π
ε
=
đối với
0
0
>
′′

)(
ξ
w
và
0=
ε
đối với
0
0
<
′′
)(
ξ
w
.
Biểu thức (4.5.6) khác biệt với biểu thức đã nhận được bằng các
phương pháp của âm hình học. Thật vậy, ta có (xem (4.4.2) đối với
)(
ξ
w
)
[]
)())(()(
/
0
212
0
2
0
2

0
2
0
ξϕξ
ξ
ξ
+−+
∂
∂
=
′′
kzzw

[]
)())((
/
0
212
0
2
00
0
ξϕξξ
ξ
′
−−+
∂
∂
−=
−

kzz
(4.5.7)
hay, chú ý tới các phương trình đối với tia (4.4.4, 5)
149 150

0
0
ξ
ξ
∂
∂
−=
′′
r
w
)(
. (4.5.8)
Bởi vì
() ()
0
1
00
0
1
0
0
θ
θξ
θ
θ

ξ
∂
∂
−=
′′
∂
∂
=
∂
∂
−−
r
kwk
cos)(,cos
. (4.5.9)
Bây giờ (4.5.6) dẫn tới cường độ âm
[]
1
0
0
1
000
2
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
′′
=
θ
θξθθ
r
rwrkp
r
tg)(cosctg
. (4.5.10)
Mặt khác, theo định nghĩa về thừa số tiêu điểm, chúng ta có
ục 2.5)
f
(m
2
2
−
= rfp
r
. (4.5.11)
So sánh (4.5.10) và (4.5.11) cho
1
0
0
−

∂
∂
=
θ
θ
r
rf
tg
, (4.5.12)
trùng với (2.5.3) nếu
01
2
θ
π
χ
χ
−== /
được xét.
Chúng tôi nhường cho người đọc chúng minh rằng pha trong (4.5.6)
cũng có thể nhận được trong khuôn khổ của lý thuyết tia.
Công thức (4.5.6) đối với sóng phản xạ có thể được sử dụng ở mọi
nơi, ngoại trừ trong các vùng mà
)(
0
ξ
w
′′
(cũng như
0
θ

∂∂ /r
) bằng
không hoặc bé. Nếu loại bỏ
0
θ
từ phương trình
0
0
=
θ
δ
δ
/r
và phương
trình của họ các tia
),(
0
θ
zrr =
, chúng ta nhận được đường bao của họ
đó, hay của vùng tụ tia. Trường trong vùng tụ tia này và lân cận nó phải
được tính theo một cách đặc biệt.
Với tư cách là ví dụ, ta xét trường hợp khi tốc độ âm trong nửa
không gian
ăng một cách tuyến tính theo khoảng cách kể từ biên 0<z t
0
0
0
0
1

1
c
k
az
k
zkazcc
ω
=
−
=−= ,)(),( , (4.5.13)
ở đây
ốc độ âm trong nửa không gian đồng nhất bên trên. Nếu thế
.2), thực hiện tích phân đơn giản (thế
0
c
là t
)( zk
vào (4.5
θ
ξ
sin)(
00
1 kaz =−
) và nhớ lại rằng
000
θ
ξ
sink=
ta được
0

2
θ
ctg
a
=∆
. (4.5.14)
Thế 4.4) sẽ cho phương trình tia ∆ vào (4.
000
2
0
θθ
ctgtg)(
a
zzrz ++=>
. (4.5.15)
Như chúng ta đã thấy,
0
0
=
∂
∂
θ
r
trong vùng tụ tia, tức
0
2
0
2
0
2

0
0
=−+=
∂
∂
−
θ
θ
θ
sin
cos)(
a
zz
r
. (4.5.16)
Nếu loại
0
θ
khỏi (4.5.15, 16), ta nhận được phương trình đối với vùng tụ
tia
8
2
0
ra
zz =+
. (4.5.17)
Trên hình 4.8 sơ đồ tia và vùng tụ tia đối với
được cho trong
các tọa độ không thứ nguyên
đường đi của các tia trong

môi trường bên dưới (đó là những cung của các đường tròn) được biểu
diễn trên hình vẽ này (mục 2.2).
81
0
/=az

az
và
ar
. Các
151 152


Hình 4.8. Vùng tụ tia hình thành khi phản xạ
từ một nửa không gian bất đồng nhất
Bây giờ chúng ta phân tích trường ở trong và lân cận vùng tụ tia. Ta
đưa ra hàm phụ trợ
)(
ξ
g
theo định nghĩa
)()(
ξ
ξ
wrg
′
−=
.

Hình 4.9. Các tham số để tính trường âm ở lân cận một vùng tụ tia

Chúng ta thấy rằng các tia được xác định bằng phương trình
0=
′
)(
ξ
w
,
tức
)(
ξ
gr =
. Ứng với mỗi điểm ủa vùng tụ tia có một
),(
00
zr
c
0
ξ
nhất
định - tham số của tang của tia với vùng tụ tia tại điểm điểm này khi
0=
′
)(
ξ
g
. Hình 4.9 minh họa hàm
)(
ξ
g
với những giá trị

ξ
gần
0
ξ
đối
với hai trường hợp có thể có
0
0
>
′′
)(
ξ
g
và
0
0
<
′′
)(
ξ
g
. Nh
ực trên hình
ư chúng ta
thấy từ hình, trong trường hợp thứ nhất (hiện th 4.8) hai tia đi
tới tại từng điểm
021
rggr >== )()(
ξ
ξ

. Trong tr
ự xuất hiện tại
0
rr <
. Quy
hia tách vùng mà các tia c
đi tới tại từng điểm (
ường hợp thứ hai, một
tình huống tương t
tắc chung là vùng tụ tia của
một họ các tia luôn luôn c ủa họ này không đi
tới và vùng mà hai tia nghĩa là tại điểm
hình
4.8 - một tia đã chạm tới vùng t đang tiến tới nó). Hình
4.9 gợi ý rằng nếu lân cận
A
trên
ụ tia và tia khác
0
ξ
tương ứng với vùng tụ tia, thì có thể sử
dụng khai triển của hàm
)(
ξ
g
thành một chuỗi lũy thừa của
0
ξ
ξ
−

(4.5.18)

)(
)()()( +
−
′′
+=
2
2
0
00
ξξ
ξξξ
ggg
.
Nếu chú ý tới (4.5.18), ta tìm
)(
ξ
w
bằng cách tích phân. Hằng số tích
153 154

phân được xác định từ điều kiện ại
0
ww =
t
0
ξ
ξ

=
. Kết quả là, nếu chú
ý rằng
rg =)(
ξ
và
00
rg =)(
ξ
, ta được

)(
)())(( +
−
′′
−−−+=
6
3
0
0000
ξξ
ξξξ
grrww
. (4.5.19)
Nếu đưa tất cả các số hạng trong (4.4.1), ngoại trừ phần biến thiên của
hàm mũ, ra ngoài tích phân tại giá trị
00
θ
ξ
ξ

sink==
và giới hạn ở các
số hạng được viết trong (4.5.19), chúng ta nhận được cho sóng phản xạ
]/(i[exp
cos
sin
/
4
2
0
21
0
2
0
π
θπ
θ
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
= w
kr
p
r

∫
∞
∞−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
′′
−−−×
ξ
ξξ
ξξξ
dgrr
6
3
0
000
)(
)(i))((iexp
. (4.5.20)
Ta thay thế
ξ
bằng biến mới
s

và
0
rr −
bằng khoảng cách không thứ
nguyên ừ vùng tụ tia tuân theo các quan hệ
21)
ở đây các dấu được chọn đối ngược với dấu của
t t
[] []
)(/)(),(/)(
//
0
31
00
31
0
22 rrgtgs −
′′
±=−
′′
±=
−
ξξξξ
, (4.5.
)(
0
ξ
g
′′
. Khi đó hàm mũ

trong biểu thức dưới dấu tích phân có thể viết thành
Chúng ta tách tích phân trên
)/(iexp 3
3
sst + .
s
thành hai tích phân, một tích phân từ
tới 0 và tích phân khác từ 0 tới
y thế
∞−
∞ và tha
s
bằng
s
−
tron
ột tích ph
g tích phân
thứ nhất; kết quả là, hai tích phân có thể kết hợp thành m ân từ 0
đến
ng biểu thức dưới dấu tích phân của tích phân kết hợp tổng
của các hàm mũ sẽ được biến đổi thành một hàm côsin. Khi đó, biểu thức
(4.5.20) có thể được viết lại thành
∞
, và tro
[]
)()/(iexp)(
cos
sin
/

/
/
tvwg
kr
p
r
4
2
2
0
31
0
21
0
2
0
31
πξ
θ
θ
+
′′
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡

=
−
, (4.5.22)
ở đây

∫
∞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
0
3
3
11
dsssttv cos)(
π
(4.5.23)
là hàm Airy.
Đồ thị của hàm
đó được dẫn trên hình
2.7. Tại
ột đặc điểm dao động. Nó có giá trị cực đại
tại , cụ thể là
ại ảm đơn điệu khi
ăng. Các dao động tại
ự giao thoa giữa hai tia cắt ngang

mỗi điểm ở phía này của v tia. Ở phía khác
ột vùng tối
trong đó trường âm giảm đơn điệu theo khoảng cách kể từ vùng tụ tia.
Sẽ là hợp lý trong đạo hàm
0
vtv /)(
, trong
629300 ,)( =v

0<t
hàm
)(tv
có m
t âm
94901 ,)( =−v
. T 0>t hàm
)(tv
gi
t t
0<t là do s
ùng tụ
)( 0>t
có m

)()(
00
ξ
ξ
gr
′′

=
′′
chuyển từ
ξ
sang biến
số góc
θ
tuân theo các quan hệ
θ
ξ
sink=
và
00
θ
ξ
sink=
. Khi đó,
θθξ
∂
∂
=
∂
∂
r
k
r
cos
1

và, bởi vì 0

0
=
θ
θ
δ
δ
)/( r trong vùng tụ âm, ta có
2
0
2
2
0
2
2
0
θ
θ
ξ
ξ
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

∂
∂
−
r
k
r
)cos( . (4.5.24)
Như thường lệ, sẽ là hợp lý nếu ta đặc trưng cường độ của sóng (4.5.22)
bằng thừa số tiêu điểm
)()(cossin
/
///
tv
r
rkprf
r
2
32
2
0
2
00
32
0
31
0
35
2
2
2

−
−
∂
∂
==
θ
θθθ
. (4.5.25)
Công thức sau cùng là trường hợp riêng quan trọng của công thức tổng
quát (2.5.6) khi
01
2
θ
π
χ
χ
−== /
.
Phải luôn nhớ rằng (4.5.22) nhận được chỉ đối với một khoảng cách
155 156

hạn chế kể từ vùng tụ tia, nên chúng ta có thể giới hạn ở những số hạng
khai triển pha được viết trong (4.5.19). Có thể rút ra được tiêu chuẩn
tương ứng, nếu chúng ta đòi hỏi rằng số hạng bị bỏ qua đầu tiên
4.5.19) phải bé so với đơn vị, tức sự lệch pha là
4
00
))((
ξξξ
−

′′′
g trong (
bỏ qua.
15
Bởi vì
rg =)(
ξ
và
00
rg =)(
ξ
, chúng ta có
1
2
0
0
0
<<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′′
−
′′′
r

rr
r
. (4.5.26)
Giả sử mô không gian nào đó của sơ đồ tia (tức bán kính
cong của vùng ụ tia); khi đó
à chỉ tiêu của
chúng ta sẽ là
(4.5.27)










L là quy
t
0
r
′′
∼
2
kL /
và
0
r
′′′

∼
3
kL /
, v
1
2
0
<<− Lrrk /)( .

[4.3, mục 45] đã giả thiết không đúng rằng số
hạng này phải bé so với số hạng giữ lại cuối cùng và kết quả là tiêu chuẩn thu
được ở đó kém chất lượng.
Chương 5
TRUYỀN ÂM TRONG NƯỚC NÔNG
Khi truyền âm trong nước nông một tia bất kỳ (ngoại trừ tia trực tiếp
trong trường hợp môi trường đồng nhất) bị phản xạ một hoặc nhiều lần từ
đáy. Tại những khoảng cách tương đối xa trường âm chủ yếu là kết quả
của phản xạ nhiều lần các tia âm từ đáy. Lý thuyết truyền âm trong nước
nông sẽ được giới thiệu dưới đ
ây với giả thiết rằng độ sâu nước không
đổi.
5.1. BIỂU DIỄN TIA CỦA TRƯỜNG ÂM TRONG MỘT LỚP: CÁC
NGUỒN ẢO
đ

ở phía t
ở m
giả thiết đặt tại điểm
suất âm
đã chuẩn

hóa
15
Trong sách của Brekhovskikh
Giả thiết rằng một lớp ồng nhất bị giới hạn bởi bề mặt tự do
z 0=
rên và bởi đáy
hz =
phía dưới (hình 5.1). Nguồn âm điể
01
O

1
Trường âm sẽ được đặc trưng bằng áp
0 zzr == ,
.
),( zrp

theo một cách sao cho ở lân cận bề mặt
212
1
2
0101
1
01
/
])([),i(exp zzrRkRRp −+==
−
. (5.1.1)
Áp suất âm
),( zrp

thỏa mãn phương trình Helmholtz
c
kpkp
ω
==+∆ ,0
2
. (5.1.2)
Điều kiện
00 ==
z
p
, (5.1.3)
phải được thực hiện tại bề mặt (biên liên tục áp suất, mục 3.1). Trường
hợp đáy cứng lý tưởng sẽ được xét đầu tiên, với các điều kiện biên là
()
0=∂∂ zp /
.
=hz
157 158