CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 7 pps

Chương 7
SỰ DẪN SÓNG PHỤ THUỘC KHOẢNG CÁCH
Ở những chương trước chúng ta đã xét sự truyền âm trong đại
dươn
t đã phát triển ở trên có được rất nhiều ứng dụng thực tiễn.
Tuy nhiên, đôi khi chúng ta cần khái quát hóa lý thuyết này cho trường
hợp các đặc trưng của sự dẫn âm trong đại dương biến thiên với khoảng
cách theo phương ngang. Cụ th
ể, điều này cần thiết khi:
a) âm truyền ở vùng ven bờ, nơi độ sâu biển biến thiên một cách
đáng kể;
b) các sóng âm đi ngang qua những đới front trong đại dương, ví dụ,
những hải lưu như Gulf Stream, Kurosyo v.v
c) âm truyền trên những khoảng cách lớn cỡ hàng nghìn km. Biến
thiên của trắc diện
đáng kể trong trường hợp này, đặc biệt khi
đường truyền nằm trên hướng kinh tuyến.
Lý thuyết truyền âm đối với một trường hợp tổng quát của môi
trường có các đặc trưng biến thiên dọc theo ba tọa độ còn chưa phát triển
một cách đầy đủ. Nhưng có một tình huống làm cho vấn đề trở nên dễ
dàng hơn trong trường hợp của chúng ta, cụ thể là khi các đặc trưng của
ống dẫn sóng đại dương trên hướng ngang biến thiên chậm. Khi đó,
thẳng đứng của tốc độ âm cho trường hợp trắc diện
ụ thuộc
vào khoảng cách. Sự tồn tại của những tham số nhỏ như vậy sẽ làm cho
Bây giờ ta xét sự dẫn sóng âm trong đại dương, khi tốc độ âm
iến thiên không những theo độ sâu, mà còn theo cả khoảng cách
g
ặc dù là chậm hơn rất nhiều. Bài toán quy về
ệm của phương trình Helmholtz đối với áp suất âm
(7.1.1)

với những điều kiện tương thích lân cận nguồn, tại các biên và ở vô cùng.
Hiện tại chúng ta chấp nhận rằng đáy và bề mặt đại dương phản xạ lý
tưởng. Chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ
dẫn sóng quy chiếu tại đối
với ống dẫn sóng đồng nhất không phụ thuộc
ắc diện tốc độ âm
thẳ
1
r
. Một cách tổng quát, độ
sâu phụ thuộc vào
ưng ống dẫn sóng quy chiếu tương
Chúng ta sẽ chấp nhận rằng, đối với sự dẫn sóng quy chiếu tương
ứng với một
g nơi có độ sâu, các đặc trưng âm học của đáy biển và trắc diện tốc
độ âm
)(zc
trong nước không thay đổi dọc theo đường truyền. Nhiều khi
đây là một phép xấp xỉ tương đối tốt đối với một tình huống hiện thực và
vì vậy, lý thuyế
)(zc

chúng ta có thể đưa ra những tham số nhỏ tương ứng như: độ nghiêng
đáy nhỏ hoặc tỉ số nhỏ giữa građien phương ngang và građien phương
lý thuyết đơn giản đi một cách đáng kể.
Hiện nay có ba phương pháp phân tích sự truyền sóng trong những
môi trường như thế đã được phát triển tương đối tốt - phương pháp dẫn
sóng quy chiếu, phương pháp phương trình parabolic và phương pháp tia.
7.1. CÁC THỨC CHUẨN TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN L
),( rzc

ph
ỚP HOÀN
TOÀN: PHƯƠNG PHÁP DẪN SÓNG QUY CHIẾ
U
),( rzc
b
phương ngan
},{ yx=r
, m
tìm nghi
),( rzp

),(/),(,),( rzcrzkprzkp
ω
==+∆ 0
2

1
rr =

r , tr
ng đứng của nó được cho bằng hàm
,(zc )
r ,
)(rhh =
. Nh
ứng với điểm

1
r

có một đáy nằm ngang tại độ sâu
)(
1
rhh =
.
r
bất kỳ sẽ có một hệ đầy đủ các hàm riêng trực giao
,,),,( 21=lz
l
r
ψ
tùy thuộc vào
z
(
r
được lấy làm một tham số) thỏa
mãn phương trình
[]
0
22
2
2
=−+
ll
l
zk
dz
d
ψξ
ψ

),( r
(7.1.2)
với các điều kiện biên tại đáy và mặt. Ở đây
)(r
ll
ξ
ξ
=
là những giá trị
riêng của dẫn sóng quy chiếu tại
r .
235 236

Về nguyên tắc, trường bất kỳ phụ thuộc vào
z
đối với ã cho có
thể được biểu diễn như một khai triển thành những số hạng c m
r
đ
ủa các hà
l
ψ
. Do đó, ta biểu diễn nghiệm của (7.1.1) dưới dạng
∑
Ψ=
l
ll
zzp ),()(),( rrr
ψ
. (7.1.3)

các
ng dẫn sóng ụ thuộc khoáng
cách. Có thể kỳ vọng rằng, trong trườ
hàm biến thiên chậm của
hệ số khai triển được cho bằng )(H
)(
rB
lll
ξ
1
0
=Ψ , trong đó
l
B
là
những hằng số đối với ố phân tầng không ph
ng hợp của chúng ta,
l
B
là những
r
.
Thế (7.1.3) vào (7.1.1) và bỏ qua các đối số của hàm để cho ngắn
gọn, ta được
∑
∂
∂
Ψ=
∂
∂

l
l
l
zz
p
2
2
2
2
ψ
,
()
∑
Ψ∇+∇Ψ∇+∇Ψ=∇≡
∂
∂
+
∂
∂
l
lrllrlrlrlr
p
y
p
x
p
222
2
2
2

2
2
ψψψ
,
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
∂
∂
=∇
yx
r
,
. (7.1.4)
Giả thiết rằng các hàm
l
ψ
là trực giao, tức
Khi và sau đó nhân với
∫
=
h
mlml
dt
0

δψψ
.
đó, đưa (7.1.4) vào (7.1.1)
),( rz
m
ψ
rồi tích
phân theo
z
từ 0 tới ẽ cho tập hợp các phương trình vi phân kép:
5)
Phương trình này sẽ là cơ sở của phương pháp dẫn sóng quy chiếu.
Phương trình tương tự đối với trường hợp sóng điện từ do
Katzenelenbaum [7.1] thu được lần đầu tiên. Trong trường hợp sóng âm
phương trình này là do Pierce [7.2] và muộn hơn là Milder [7.3] nhận
được và đã được các nhà nghiên cứu áp dụng nhiều lần. Chwieroth và
nnk. [7.4] đã xét chi tiết trường hợp trắc diện tốc độ âm theo phương
thẳng đứng có dạng parabon.
Vế
phải của (7.1.5) sẽ nhỏ nếu các tính chất của ống dẫn sóng biến
thiên đủ chậm theo khoảng cách phương ngang. Nếu ta chấp nhận rằng vế
phải bằng không, các phương trình cho những thức chuẩn sẽ không cặp
đôi. Mỗi thức chuẩn truyền trong ống dẫn sóng một cách độc lập với
ữa các thức bị bỏ qua thường được gọi là
xấp xỉ đoạn nhiệt.
hải lưu ý rằng sự kết hợp giữa các thức có thể xảy ra do những điều
kiện biên, như trong trường hợp một đáy nghiêng.
7.2. XẤP XỈ ĐOẠN NHIỆT: BẤT BIẾN TIA
ể đơn giản, ta xét một bài toán có đối xứ
ng hình trụ, tức tốc độ âm

c =
phụ thuộc vào
h
s
∫
∑
∫
∑
∇Ψ−∇Ψ∇−=Ψ+∇ dzdz
lrm
l
llrm
l
lrmmr
ψψψψξ
222
2)(
. (7.1.
nhau, thích ứng với những điều kiện biến đổi trong ống dẫn sóng. Phép
x
ấp xỉ trong đó sự tương tác gi
P
Đ
),( zr
z
và khoảng cách đó, ta có trong phép
xấp xỉ đoạn nhiệt
r . Khi
0
1

2
=Ψ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Ψ∂
∂
∂
mm
m
r
r
r
rr
)(
ξ
. (7.2.1)
Ta đưa ra một hàm mới
này thỏa mãn phương
trình
)()(
/
rrrF
mm

Ψ=
21
, hàm
mmm
F
r
F
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
2
2
4
1
ξ
"
. (7.2.2)
Chúng ta uối cùng này
đối với
quan tâm tới một nghiệm của phương trình c
1>>r
m
ξ
. Khi đó, nếu bỏ qua số hạng thứ hai trong dấu ngoặc ,
ta nhận được phương trình cho
(7.2.3)

m
F

mmm
FrF )(
" 2
ξ
−= .
237 238

Nghiệm của phương trình này trong phép xấp xỉ WKB, như có thể thấy
nếu so sánh với (6.7.1), là
(7.2.4)
ở đây
một hằng số bất kỳ.
Nếu chú ý tới tất cả các thức chẩun, chúng ta nhận được cho áp suất
âm (7.1.3)
(7.2.5)
Đối với trường hợp ống dẫn sóng đồng nhất theo phương ngang,
được cho bằng (6.4.11). Nếu giả thiết rằng
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
∫
−
r

mmmm
drrrArF
0
21
)(iexp)()(
/
ξξ
,

m
A
là
∑
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
l
r
llll
drrrzArzp
0
21
ξξψ
iexp))(,(),(

/
.
),( rzp

1>>r
l
ξ
để cho dạng tiệm cận
của hàm Hankel có thể được sử dụng, thì (6.4.11) trở thành
(7.2.6)
ng khoảng cách
ương đối nhỏ từ nguồn (nhưng lớn so với
bước sóng âm) thì biến t ủa các tính chất môi trường trên hướng
ngang không ảnh hưởng t ường âm và
∑
−
−=
l
llll
rrzzrzp )iexp())(()()/iexp()/(),(
//
ξξψψππ
21
1
21
42
.
Tại nhữ
r t
hiên c

ới tr
l
ξ
có thể xem như một hằng
số. Vì vậy, đối với những khoảng cách đó (7.2.5) và (7.2.6) phải bằng
nhau. Vì với các hằng số
l
ξ

∫
=
r
ll
rdr
0
ξξ
,
ta nhận được
(7.2.7)
trong đó
),()/iexp()/(
/
042
1
21
zA
ll
ψππ
−= ,
)(),(

11
0 zz
ll
ψ
ψ
=
là m
ới nguồn
)( 0=r
. Bây
∑
−
−=
l
lll
rrzzrzp
21
1
21
042
//
)(),(),()/i(exp)/(),(
ξψψππ

ột hàm riêng phương thẳng đứng trong
vùng gần v
giờ (7.2.5) đối với áp suất âm được viết
thành
⎜
⎜

⎝
×
∫
l
dr
0
ξ
iexp . (7.2.8)
Chúng ta nhớ lại rằng
⎟
⎟
⎠
⎞⎛
r
)(r
ll
ξ
ξ
=
là nh
ống dẫn sóng quy
ững giá trị riêng của phương trình
độ sâu (7.2.1) đối với chiếu tương ứng với một
trước.
7.2.1. Bất biến tia
Khi nhận (7.2.8) chúng ta đã sử dụng phép xấp xỉ WKB đối với
nghiệm của phương trình khoảng cách (7.2.3). Tiên đề của chúng ta rằng
các tính chất của môi trường trên hướng ngang biến thiên chậm thông
thường có thể xem là hoàn toàn đúng.
20

Đối với những trường hợp khi
ống dẫn sóng đủ rộng trong hướng thẳng đứng và số thức lan truyền đủ
lớn, phép xấp xỉ WKB cũng có thể được sử dụng để giải phương trình độ
sâu, tức thủ tục mô tả ở mục 6.6 có thể áp dụng. Các giá trị riêng
r cho
l
ξ
có
thể tìm được bằng cách sử dụng tích phân pha trong trường hợp này. Ví
dụ, đối với một ống dẫn sóng bên trong, nhờ (6.7.12) chúng ta có
(7.2.9)
ở đây, các điểm quay trở lại
ại đó biểu thức trong dấu căn trở
thành bằng không) cũng như
[]
)/(/),(
/
21
21
2
0
22
0
+=−
∫
′′
′
ldzkrznk
l
l

z
z
l
πξ
,
l
z
′
và
l
z
′′
(t

0
k
và
l
ξ
phụ thuộc vào
Trong mục 6.7 đã cho thấy rằng có một hệ thống các tia tương ứng

r .
239 240


20
Nhớ lại rằng chúng ta đang xét một bài toán đối xứng trụ với một sơ đồ tia
khá đơn giản trong mặt phẳng ngang. Trong những trường hợp phức tạp hơn, khi
các tia trong mặt phẳng ngang có thể hình thành vùng tụ tia (mục 7.3), thì pháp

xấp xỉ WKB phải được cải biên.
với từng thức chuẩn lấy trong phép gần đúng WKB. Trong ống dẫn sóng
t phương ngang góc mà những tia này làm thành với trụch kênh
=
) là
đồng nhấ
(
zz = ,
00
cc =≡ )(
0
z
ll
χ
χ

)/(arccos
0
k
l
ξ
. Đối với những độ
sâu khác, một góc tương tự
)(z
l
χ
được xác định thông qua
l
χ
b

i ống d
ằng
định luật Snell (6.7.23). Hoàn toàn tương tự trong trường hợp vớ ẫn
sóng có những tính chất biến thiên chậm theo khoảng cách ngang, nhưng
trong đó
l
χ
và
)(z
l
χ
còn phụ thuộc vào y nhiên, chúng vẫn liên r . Tu
hệ với nhau bằng (6.7.23), tức là
)(cos),(cos),( rrzrzn
ll
χ
χ
=
, (7.2.10)
ở đây
c xem là một tham số.
a trên biểu diễn tia, người ta có thể tưởng tượng ngay được môi
trường phải biến thiên chậm như thế nào theo khoảng cách phương ngang
để cho phép gần đúng đoạn nhiệt là đúng. Tõ ràng cần thiết biến thiên của
các đặc trưng ống dẫn sóng phải nhỏ trên độ dài chu trình tia. Nói cách
khác, một chu trình tiếp sau phải chỉ khác một ít so với chu trình trước
đó. Những lập luận
định lượng này sẽ được nêu ra muộn hơn, nhưng bây
giờ chúng ta viết (7.2.9) thông qua các tia. Nếu thế

r đượ
Dự
)(cos/ rk
ll
χ
ξ
=
0

vào (7.2.9) và cũng sử dụng (7.2.10), ta được
∫
′′
′
+=
l
l
z
z
l
ldz
rzc
rz
)/()/(
),(
),(sin
21
ωπ
χ
. (7.2.11)
Vì vế phải của phương trình này không phụ thuộc vào

ở
vế trái cũng là hằng số. Đây là một kết quả quan trọng, nó biểu thị một
trong những “định luật bảo toàn” đối với phép gần đúng đoạn nhiệt.
Các góc
r , nên tích phân
)(r
l
χ
và
),( zr
l
χ
biến đổi gián đoạn theo y nhiên,
nếu số lượng các thức chuẩn là lớn, thì sự biến đổi này có thể xem như
liên tục. Trong trường hợp đó chỉ số
không cần thiết và (7.2.11) có
thể được viết dưới dạng
l
. Tu
l
là
const
),(
),(sin
==
∫
dz
rzc
rz
I

χ
. (7.2.12)
Tích phân được lấy trên toàn chu trình tia. Đại lượng
I

n
được gọi là bất
biến tia. Nó có thể được liên hệ với thời gian di chuyể
T
của một sóng
âm trên chu trình và khoảng cách chu trình
D
. Nếu bỏ qua các đối số
trong
),( rz
χ
và
),( rzc
để cho ngắn gọn, chúng ta có (2.31, 4)
∫∫
==
χχ
tg
,
sin
dz
D
c
dz
T

. (7.2.13)
Theo định luật Snell, ta có
0
0
cc
χ
χ
cos
cos
= , ở đây
0
c
và
0
χ
là tốc độ
âm và góc mở của tia trên trục ống dẫn sóng. Sử dụng định luật này, ta có
đồng nhất thức hiển nhiên
χ
χ
χ
χ
tg
cos
sin
sin 11
0
0
⋅−=
ccc

.
Tích phân biểu thức cuối cùng trên chu trình tia và sử dụng (7.2.13), ta
được
q
D
T
I
−= , (7.2.14)
trong đó
vc
q
11
0
0
==
χ
cos
, và
v
là thành ph
z
ần phương ngang của tốc
độ pha của một sóng chạy dọc theo quãng đường tia, nó bằng tốc độ âm
tại các độ sâu quay ngược lại
ặc ơi 0
z
′
=
ho
zz

′′
=
, n =
χ
.
T
và
D
như sau:
Ta biểu diễn
dzqcqDdzqccT
212221222 //
)(,)(
−−−−−
∫∫
−=−=

và sau khi chú ý tới quan hệ hiển nhiên
241 242

dq
dD
q
dq
dT
=
,
ta nhận được
D
dq

dI
−=
.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng tỉ số
T
D
/
bằng thành phần phương ngang
của tốc độ nhóm
ξ
ω
ddu /=
. Phương trình (7.2.11) có thể được viết lại
thành
const=
I
ω
.
Lấy đạo hàm phương trình này theo
ξ
và chú ý rằng
ω
ξ
/
=
q
và
ωξ
qu
d

dq −
=
1
, ta tìm được
T
D
dq
dI
qI
dq
dI
u =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=

.
Bây giờ bất biến tia có thể biểu diễn như sau;
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
vu
DI
11
.
Khái niệm về bất biến tia có lợi về nhiều phương diện. Ví dụ, sử
dụng nó, người ta có thể nhận được
)(r
0
χ
, góc mở của tia tại trục kênh
như một hàm của
ệm bất biến tia trong âm học biển do Weston
[7.5] hình thành lần đầu tiên.
Chúng ta đã chứng minh một cách chặt chẽ sự không đổi của
r . Khái ni
I
đố
hoàn
ý n
i
với bài toán đối xứng trụ. Nhưng rõ ràng là giả thiết đối xứng trụ

toàn không cần thiết, và kết quả có thể áp dụng cho trường hợp tùy ếu
như có thể chọn được mặt phẳng
cho một tia truyền trong mặt
phẳng đó không rời khỏi nó, tức sự khúc xạ phương ngang của tia có thể
bỏ qua.
7.2.2. Một ví dụ về sử dụng bất biến tia
Xét sự truyền âm trong biển, nơi độ sâu ăng đơn điều dọc
theo đường truyền (ví dụ, một vùng ven bờ) và t đối với
ất
kỳ giảm tuyến tính từ bề mặt
ới đáy
(7.2.15)
Tốc độ âm
ại bề mặt và građien ể là những hàm liên tục bất
kỳ của
Hình 7.1 biểu diễn sơ đồ tia cho trường hợp
hông đổi, còn
ăng tuyến tính với ven bờ với một góc nghiêng
zr,
sao
)(rhh =
t
ốc độ âm
r b
0=z
t
hz =
:
)(),( rhzazcc
s

≤≤−= 01
.
s
c
t
a
có th
r .
s
c
và
a
k
h
t r : vùng '30=
φ
. Ta
thấy rằng từ một
ất định vùng tối âm bắt đầu xảy ra lân cận bề mặt.
Độ rộng của vùng đó tăng lên với khoảng cách. Ta sử dụng bất biến tia để
xác định những điều kiện hình thành vùng tối và quy luật mở rộng của
nó.
r
nh

Hình 7.1. Sơ đồ tia của sự truyền âm trong đại dương
với đáy nghiêng và građien tốc độ âm âm. Độ sâu
14 −−
⋅ m
[7.6]

nguồn là
75
1
=z
m,
'30=
φ
,
21= ,a 10
243 244


Hình 7.2. Chu trình đầy đủ của một tia khúc xạ xuống phía dưới
ố định nào đó là một lớp phẳng
tại một độ sâu tuân theo (7.2.15) với
ằng số. ta ước lượng bất biến
tia đối với tia được biểu diễn trên hình 7.2. Ta có
Ống dẫn sóng quy chiếu đối với
r
c
a
là h
∫
=
h
z
dz
c
I
'

sin
χ
2
. (7.2.16)
Ta sẽ sử dụng
χ
làm một biến tích phân thay cho
z
. Theo định luật
Snell, ta có
h
h
czc
z
χ
χ
cos
)(
)(cos
= . (7.2.17)
ở đây
h
χ
và
h
c
tu
c (bỏ
ần tự là góc mở và tốc độ âm tại đáy. Đạo hàm
(7.2.17), ta đượ qua các đối số trong

)(z
χ
và
)(zc
)
dzac
c
dz
dz
dc
c
d
s
h
h
h
h
χχ
χχ
coscos
sin =−= . (7.2.18)
Nhờ (7.2.17, 18) (7.2.16) trở thành
∫
=
h
d
ac
I
s
χ

χχχ
0
2
sintg
.
h
χ
thường nhỏ. Do đó, đặt
χ
tg ∼
χ
sin
∼
χ
và lấy tích phân, ta được
(7.2.19)
Một kết luận lý thú rút ra từbiểu thức này. Nếu
phụ thuộc
vào
const)( ==
− 31
32
hs
acI
χ
.
a
và
s
c

không
r , góc
h
χ
m
u biế
à tia làm với mặt phẳng ngang tại đáy là không đổi đối
với mọi kiể n thiên của
Từ (7.2.17), chú ý rằng
)(rh
.
=
′
−=
′
=
′
hs
czaczcz ),()(,)( 10
χ

)( ahc
s
−1
và
h
χ
,
za
′

,
ah
nhỏ, ta còn tìm được

trong đó
độ sâu quay ngược lại của một tia (hình 7.2). Nếu tiệm cận
tới một
ỏ hơn (cũng như tới ẽ dần dần đạt tới độ sâu
ơi độ sâu quay ngược lại trùng với bề mặt
Như có thể thấy từ (7.2.19), góc mở của tia ở đáy tại
đó sẽ là
)( zha
h
′
−= 2
2
χ
, (7.2.20)
z
′
là
h
nh
r
), chúng ta s
0
hh =
(tại
0
rr =

), n
)( 0=
′
z
.
0
r

00
2
0
ha
h
=
χ
, ở đây ờ ta có thể viết lại (7.2.19)
dưới dạng
Từ đây, ta tìm
)(
00
raa ≡
. Bây gi
23
00
1
00
31
00
31
2

0
/
)()()()( hacacaac
shshs
−−−
==
χχ
.
31
00
00
2
/
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
s
s
h
ca
ac
ha
χ
và n

c cho
z
′
- độ sâu của vùng t
ếu thế biểu thức này vào
(7.2.20), thu đượ
ối đối với các tia đang xét
(7.2.21)
Nếu
ằng số, ta nhận được một kết quả lý thú khác
(7.2.22)
tức biên phía dưới của vùng tối phỏng theo trắc diện đáy ở một khoảng
cách không đổi
đáy (xem hình 7.1 đối với trường hợp cụ thể
với đáy phẳng nghiêng).
32
0
31
00
//
)/()/(
ss
ccaahhz −=
′
.
a
và
s
c
là h

0
hrhrz −=
′
)()(
,
0
h
bên trên
Trong những trường hợp hiện thực,
245 246

Độ sâu ể dễ dàng xác định được, nếu ta xét bất biến tia đối
với các độ sâu
ức ơi đây một tia bị phản xạ cả từ đáy
và từ bề mặt nước. Trong trường hợp ấy độ sâu nguồn và góc apectua
định hướng của nguồn phải được chỉ định. Một tia rời khỏi nguồn với góc
mở cực đại sẽ xác định vùng tối mà biên của nó vừa được tìm. Để áp
dụng bất biến tia cho các trường hợp phức tạp hơ
n, hãy xem bài báo của
Harrison [7.7].
7.2.3. Những điều kiện áp dụng của xấp xỉ đo n nhiệt và bất
biến tia
Bây giờ chúng ta sẽ rút ra những điều kiện để có th bỏ qua vế phải
của (7.1.5). Chúng ta sẽ không bậc đại lượng của nó bằng cách chỉ giữ lại
tổng thứ nhất và giữ lấy một số hạng duy nhất
nó bởi vì
sự tương tác của các thức lân cận là hiệu quả nh ếu thay thế
0
h
có th

0
hh <
(t
0
rr <
), n
ạ
ể
1+= ml
trong
ất. Ngoài ra, n
r
bằng x∂∂
∇

/
,
x
là tọa độ trên hướng truyền sóng, ta nhận được cho
m
Ψ
một phương trình
12
2
2
2
+=
∂
Ψ∂
−=Ψ+

∂
Ψ∂
ml
x
S
x
l
mlmm
m
,
ξ
, (7.2.23)
ở đây
∫
∂
∂
= dz
x
S
l
mml
ψ
ψ
. (7.2.24)
Để ước lượng bậc độ lớn của vế phải trong (7.2.23),
ể được ước
lượng trong phép gần đúng WKB (tới độ chính xác của một thừa số
không đổi)
Lại một lần nữa trong phạm vi độ chính xác một bậc độ lớn
l

Ψ
có th
()
∫
−
=Ψ dx
lll
ξξ
iexp
/ 21
.
()
)i(exp~iexp~
//
xdx
x
llll
l
ξξξξ
2121
∫
∂
Ψ∂
. (7.2.25)
Thế (7.2.25) vào (7.2.23), ta nhận được phương trình quen thuộc cho các
dao động cưỡng bức của bộ phát dao động điều hòa với nghiệm, có thể dễ
dàng kiểm tra, là
)i(exp~
/
x

S
l
lm
lml
m
ξ
ξξ
ξ
22
21
2
−
Ψ
;
m
Ψ
là hiệu chỉnh cho thức chuẩn thứ do nó tương tác với thức thứ
Xấp xỉ đoạn nhiệt sẽ đúng nếu hiệu chỉnh này nhỏ so với
độ
của thức chuẩn thứ
ức là

m

l
.
21/−
m
ξ
- biên

m
, t
1
2
22
2121
<<
−
lm
mlml
S
ξξ
ξξ
//
. (7.2.26)
Ở đây
0
k
ml
~~
ξ
ξ
. Nhớ lại rằng ừ (6.7.27) ta tìm
được
1+= ml
, t
D
lm
/

π
ξ
ξ
2=−
, trong đó
D
là khoảng cách chu trình của một tia
tương ứng. Kết quả là, điều kiện (7.2.26) áp dụng xấp xỉ đoạn nhiệt có thể
viết thành
(7.2.27)
Việc ước lượng
1<<DS
ml
.
ml
S
và
D
trong từng trường hợp cụ thể không khó.
Tuy nhiên, ít nhất là đối với các thức chuẩn những số hiệu thấp
có thể ước lượng được một cách tổng quát. Thật vậy, trong (7.2
ml
S
còn
.24) ta có
Mx
ll
/~/
ψ
ψ

∂∂
,
M
là quy mô biến thiên phương ngang của môi
trường. Đại lượng
g lớn hơn một chuẩn của các hàm
∫
dz
lm
ψψ
khôn
m
ψ

và
l
ψ
, tức đơn vị. Do đó, (7.2.27) có thể viết lại thành
1<<
M
D
/
, (7.2.27’)
tức khoảng cách chu trình của tia phải nhỏ so với quy mô biến thiên
247 248

phương ngang của môi trường - điều kiện đã nhắc ở trên. Ta xem xét điều
kiện này cho một số trường hợp cụ thể, ước lượng
D
sử dụng biểu thức

xấp xỉ
(7.2.28)
ng đồng nhất độ sâu biến thiên và đáy cứng tuyệt đối. Đại
)/(~)/(
2
1
2
01
42
++
−−=
llll
kD
ξξπξξπ
.
1) Đại dươ
lượng
l
ξ
được cho bằng (5.3.5). Nếu chú ý rằng ừ (7.2.28) ta
nhận được
điều kiện (7.2.27’) được viết thành
(7.2.29)
tức là tần số càng thấp (
hì xấp xỉ đoạn nhiệt sẽ càng tốt.
2) Dẫn sóng tuyến tính bề mặt. Trường hợp này đã được xét ở mục
6.6 khi
ằng số. Bây giờ chúng ta có thể loại bỏ hạn chế này và đặt
Đại lượng được cho bằng (6.6.19). Nếu chú ý rằng
m được ỉ tiêu (7.2.27’) được viết

thành
(7.2.30)
nó trùng với công thức trong sách của Brekhovskikh [7.8, phương trình
(53.36)] thu được bằng một phương pháp khác. Nhờ (6.6.11), điều kiện
cuối cùng giản ước thành
(7.2.30’)
Như ta thấy, trong trường hợp này xấp xỉ đoạn nhiệt sẽ càng chính xác
hơn nếu tần số càng cao.
3) Ống dẫn sóng bên trong với một trắc diện parabon phụ thuộc
khoảng cách
)(1Ol =
, t
)(
2
0
hkOD = và
1
2
0
<<Mhk / ,
0
k
càng bé), t
a
là h
)(raa =
.
2
l
ξ

)(1Oy
l
=
, ta tì )(
2
0
HkOD = và ch
1
2
0
<<MHk / ,
1
312
0
>>
/
)( akM .
)(,),( xhh
h
z
kzxk =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
2
2
0
2
4
1
1
. (7.2.31)
y Đối với trường hợp nà
l
ψ
là hàm trụ parabon và theo sách của
ng trình (52.45)] ta có
(7.2.32)
Bây giờ ta có
7.2.27’) sẽ là
(7.2.33)
ở đây tần số hoàn toàn không hiện diện.
7.2.4. Các thức kết hợp
Bây giờ chúng ta nhận nghiệm của phương trình (7.1.5) cho phép sự
tương tác giữa các thức và chúng ta giới hạn thảo luận ở bài toán đối
xứng trụ. Đối với hàm đã nhân được trước đây
ại

Brekhovskikh [7.8, phươ
)/()/( 21
0
2
0
2
+−= lhkk
l
ξ
.
)(hOD =
và tiêu chí (
1<<Mh /
,
)(rF
n
t
lr
n
>>
ξ
,
(7.1.5) sẽ có dạng
)()( rF
dr
d
STrF
dr
d
m

mn
mnmnnn
∑
≠
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
2
2
2
ξ
, (7.2.34)
trong đó các hệ số kép
được cho bằng
(hệ số
biệt với định nghĩa của nó trong trường hợp bài toán
một chiều bởi nhân tử 2).

Theo gương McDaniel [A.7.1], ta biểu diễn mỗi thức như một tổng
của một hợp phần truyền tiến lên và một hợp phần tản mát ngược lại:
mn mn
∫∫
∇=∇= dzSdzT
ψψψψ
2
2
,

T
và
S

mrnmnmrnmn
mn
S
khác
)i(exp)i(exp)( rvrurF
nnnnn
ξξ
−+=
, (7.2.35)
trong đó
∫
′′
=
r
nn
rdrr

0
)(
ξξ
.
Đưa ra hai hàm mới
hay cho một hàm duy nhất
n
u
và
n
v
(t
n
F
), ta
249 250

cho chúng thỏa mãn điều kiện
0=−+ )iexp()iexp( r
dr
dv
r
dr
du
n
n
n
n
ξξ
. (7.2.36)

Thế (7.2.25) vào (7.2.24) và chú ý tới (7.2.36), ta nhận được
=−− )i(exp)i(exp r
dr
dr
nn
dv
r
du
nn
ξξ

[
)i(exp)i(exp rvru
d
n
ξξ
ξ
ξ
−−−
−1

]
dr
nnnnn
[]
∑
≠
−
−++
nm

mmmmmnn
rvruS )i(exp)i(expi
ξξξ
2

[]
∑
≠
−−−
nm
mmmmmn
n
m
rvruT )i(exp)i(exp
ξξ
ξ
ξ
. (7.2.37)
Giải đồng thời các phương trình này sẽ cho
[]
∑
≠
−+−=
nm
mmnmmmnmn
n
rvCruCr
dr
du
)i(exp)i(exp)i(exp

)()(
ξξξ
21
2
1

(7.2.38)
và
[]
∑
≠
−+−=
nm
mmnmmmnmn
n
rvCruCr
dr
dv
)i(exp)i(exp)i(exp
)()(
ξξξ
21
2
1
,
(7.2.39)
trong đó các ma trận
c cho bằng
)(1
mn

C và
)(2
mn
C đượ
⎩
⎨
⎧
≠
=
=+=
mn
mn
TS
dr
d
C
nmmn
n
m
nm
n
nm
n
n
mn
,
,
,i
),(
0

1
11
21
δ
ξ
ξ
ξ
δ
ξ
ξ
mm

Ở đây, các dấu bên trên nhằm cho
ấu bên dưới nhằm cho
Bỏ qua các sóng tản mát trở lại, ta nhận được một phương trình
tương đối đơn giản đối với
)(1
mn
C và các d
)(2
mn
C .
)(ru
n
:
[]
∑
≠
−=
nm

nmmnm
n
ruC
dr
du
)(iexp
)(
ξξ
1
2
1
. (7.2.40)
Khi đã tìm được nghiệm của phương trình này và thế nó vào (7.2.39), ta
được phương trình đối với các sóng tản mát trở lại.
Với tư cách làm ví dụ, ta xét sự truyền âm trong đại dương với độ
sâu biến thiên trơn đều [A.7.1]. Đối với những độ nghiêng đáy bé, đặc
trưng cho các vùng thềm, sự tương tác giữa các thức là yếu và hệ số kép
và các số sóng từng thức có thể xem là bất biến với khoả
ng cách. Chấp
nhận rằng chỉ một thức (thứ nhất) là được kích thích từ ban đầu. Sự
truyền của thức thứ nhất sẽ kéo theo sự kích thích các thức cao hơn; sự
kết hợp của thức thứ nhất với thức thứ
được mô tả bằng
phương trình
n
(
0≠n
)
[]
ruC

dr
du
nn
n
)(iexp
)(
ξξ
−=
11
1
1
2
1
. (7.2.41)
Đối với những giả thiết đã nhắc tới ở trên về các tham số của bài
toán, nghiệm của nó với điều kiện ban đầu
ạng
(
ể được xem là hằng số đối với kết hợp yếu)
(7.2.42)
ở đây
00 =)(
n
u

)( 1≠n
có d
n
u
có th

)/(sin)i(exp)(
)(
2
11
1
11
1
1
rruCru
nnnnn
κκκ
−
= ,
251 252

nn
ξξκ
−=
11
. T
ến thiên tuần hoàn v
ừ (7.2.42) suy ra rằng biên độ của thức bậc cao
hơn bi ới khoảng cách
ỳ của các dao động r và chu k
1
4
n
L
κ
π

/=
sẽ không phụ thuộc vào khoảng cách. Hàm đạt tới
cực trị thứ nhất của nó tại khoảng cách được gọi là ội tụ
)(ru
n

độ dài h
11 nn
r
κ
π
/=
. T
độ ban đầu củ
ỉ số của biên độ đỉnh của một thức bậc cao hơn trên biên
a thức thứ nhất
)(/)/( 0
11
uu
nn
κπ
đặc trưng cho độ lớn
của năng lượng trao đổi giữa các thức.
Bây giờ hãy thế (7.2.42) vào (7.2.39) và rút bỏ khỏi vế phải những
số hạng mô tả các thức tản mát trở lại bởi vì các biên độ của chúng trong
trường hợp biến thiên độ sâu trơn đều ít quan trọng hơn so với những
thức truyền trong hướng tiến lên. Lại chấp nhận rằng chỉ có thức thứ nhất
là được kích thích từ ban đầu. Phương trình (7.2.39) khi đó có dạng
[]
ruC

dr
dv
nn
n
)(iexp
)(
ξξ
+−=
11
1
1
2
1
. (7.2.43)
Cho tuân thủ điều kiện biên
ệm của phương trình này là

0=)(Rv
n
, nghi
[
]
[
]
22
11
1
11
1
1

/)(sin/)(iexp)()(
''')(
rRrRuCrv
nnnnn
−+=
−
κκκ
,
(7.2.44)
trong đó
211
ξξκ
+=
′
n
.
Các kết quả tính toán số về các đặc trưng khác nhau của những thức
thứ nhất và bậc cao hơn được trình bày trong [A.7.1].
7.3. CÁC TIA TRONG MẶT PHẲNG NGANG
Một tham số
l
ξ
ở trên hay đề cập đến là số sóng phương ngang của
thức chuẩn thứ
ốc độ pha của thức này trong mặt phẳng ngang là
l
. T
ll
v
ξ

ω
/=
. Ở các chương 5 và 6
l
ξ
và, do đó ác hằng số. Trong
chương này,
l
v
, là c
l
ξ
phụ thuộc vào
r
và, do đó, mặt phẳng ểu
diễn cho một thức chuẩn một không gian hai chiều với tố ụ
thuộc vào
},{ yx=r
bi
c độ truyền ph
r
.
Đối với môi trường này, chúng ta có thể định nghĩa chỉ số khúc xạ
)(/)()(/)()( rrr
llll
vvn 00 ==
ξ
ξ
và phát triển lý thuyết tia đối với sự
ử rằng một nguồn

điểm nằm tại điểm
Đối với trường hợp đối xứng trụ đã xét ở trên,
khi
ý thuyết này sẽ cự kỳ đơn giản. Tất cả các tia sẽ hướng
dọc theo các vectơ bán kính
truyền sóng trong một môi trường như vậy. Ví dụ, giả s
0=r
.
)(rnn =
thì l
r
. Thay đổi pha trên mỗi tia là
Biên độ sóng suy giảm theo
ư ăng lượng suy giảm như
tuân theo định luật lan tỏa tia. Đối với trường hợp tổng quát
chúng ta có thể phát triển một lý thuyết tia sử dụng các kết quả
2.6 với phiên bản hai chiều của chúng. Cụ thể, quỹ đạo tia có th
tìm như là các nghiệm của phương trình eikonal (2.6.3), sau đ
(2.6.5) hoặc các nghiệm của phương trình (2.6.7). Hiệu pha giữa các
ọc theo tia là
với
ơ đơn vị của một đường tiếp tuyến với tia, và biên độ được
xác định từ định luật lan tỏa tia của các tia. Trong công trình của
Burridge và Weinberg [7.9] đã dẫn lập một cách chính xác lý thuyết tia
đối với các thức chuẩn trong mặt phẳng ngang.
7.3.1. Trường hợp vùng ven bờ
Với tư cách một ví dụ, ta xét sự khúc xạ phương ngang của các thức
chuẩn trong vùng ven bờ. Giả sử rìa của vùng (đường độ sâu bằng không)
trùng với trục
∫

r
l
dr
0
ξ
.

r
nh
21/−
r (n
1−
r )
)(rnn =

của mục
ể được
ó sử dụng
điểm
1
r
và
2
r
d
∫
2
1
r
r

l
drrer )()(
ξ
,
e là vect
x
và độ sâu biển tăng tỷ lệ với tọa độ
y
, tức với khoảng
từ rìa cách tính
1<<=
ε
ε
,yh
. Giả sử đáy rắn tuyệt đối và tốc độ âm
trong nước không đổi. Theo (5.3.5), ta có đối với
c

)( y
l
ξ

ckl
y
ky
l
/,)/()(
/
ω
ε

π
ξ
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
21
2
2
2
21
. (7.3.1)
Giả sử nguồn nằm ở điểm
ơi độ sâu biển là
0

0 yyx == ,
, n
=
0
h

0
y
ε
.
Khi đó bình phương của chỉ số khúc xạ ứng với điểm này sẽ là
== )(/)()(
0
222
yyyn
ll
ξξ

253 254

1
2
2
0
22
2
2
2121
−
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
− )/()/( l
y
kl
y
k
ε
π
ε
π
. (7.3.2)
Sẽ thuận tiện hơn nếu biểu diễn (7.3.2) qua góc
một tia tương ứng
với thức thứ
ạo với mặt phẳng ngang lân cận nguồn. Theo (5.3.4),
chúng ta có
(7.3.3)
Bây giờ (7.3.2) có thể viết thành
0
l
χ
mà
l
t
)/()(sin 21
1
0

0
+=
−
lyk
l
επχ
.
[
]
02022
0
2
1
ll
yyyn
χχ
−
−= cossin)/()( . (7.3.4)
Vì chỉ số khúc xạ chỉ phụ thuộc vào một tọa độ Đêcac, sơ đồ tia trong
mặt phẳng ngang có thể dễ dàng tính toán nếu sử dụng các kết quả của
mục 2.3 và thay thế
ằng r b
x
,
z
bằng
y
. Vì
)( yn
giảm khi

y
giảm,
nên tia
h 7.3) trở nên song song với trục
OBCD
(hìn
x
tại một điểm
ất định và sau đó truyền ra khỏi đường bờ.
m
yy =
nh








Hình 7.3. Các tia trong mặt phẳng
ngang ở vùng ven bờ (đối với
một thức chuẩn tách biệt). Trục
x
trùng với đường bờ
Ký hiệu
0
φ
là góc mà tia tạo với trục
y

tại điểm ể tìm
ằng định luật Snell từ quan hệ
O
, ta có th
m
y
b
,sin)(
0
φ
=
m
yn

2
0
/
π
φ
>
. Nếu sử
dụng (7.3.4), ta được
(7.3.5)
Một tia phóng về phía bờ dọc theo trục
2102
0
20
0
1
/

)cossin(sin
−
−=
llm
yy
χφχ
.
y

)(
π
φ
=
0
sẽ quay trở lại
điểm
ới ức chuẩn thứ nhất (giá trị nhỏ
nhất của
ẽ tiệm cận tới bờ gần hơn so với một thức bấy kỳ nào
khác.
Sự khúc xạ ngang của các thức chuẩn là hoàn toàn tự nhiên do sự
phụ thuộc tọa độ của chỉ số khúc xạ
đã xác định ở trên. Tuy nhiên,
hiệu ứng này cũng có thể dễ dàng hiểu được, nếu người ta xem xét các tia
tương đương với các thức chuẩn (trong phép xấp xỉ WKB). Một tia tại
mỗi lần phản xạ từ đáy nghiêng sẽ thay đổi góc nghiêng trong mặt phẳng
thẳng đứng và đỉnh của nó trong mặt phẳng nằm ngang. Mô tả chi tiết
hơn về điều này có thể thấy trong các công trình của Harrison [7.7, 10].
Bây gi
ờ ta tìm phương trình tia trong mặt phẳng ngang đối với đáy

nghiêng. Đối với những đoạn nào không chứa điểm quay trở lại (các đoạn
hức (2.3.2) được viết cho trường hợp
đang xét như sau:
(7.3.6)
Thế
ừ (7.3.4), bằng lấy tích phân cơ bản ta nhận được một
phương trình tia có dạng một parabôn
0
0
lm
yy
χ
sin= v
0=)(
m
yn
. Th
0
l
χ
) s
)(rn

OA
và
OB
trên hình 7.3) công t
[]
dyynx
y

y
21
0
22
0
0
/
sin)(sin
−
∫
−=
φφ
.
)( yn
2
t
[
)sincos(sin)sincos(
0
202022
00
2022
11
φχχφχ
lll
xyy −+=−
]
2
0
0

0
10
0
φχχφ
coscos)cos(sin
ll
y−×
−
. (7.3.7)
Đường bao của họ tia này cũng là một hypecbôn [7.10]:
(7.3.8)
022
0
0222
ll
yxy
χχ
sintg += .
255 256

Nó đi qua giữa nguồn và đường bờ và có một đường tiệm cận
đường tiệm cận này tạo với trục
0
l
xy
χ
tg= ,
x
cùng một góc ống
như một tia tương ứng với một thức chuẩn cho trước tạo với đường nằm

ngang. Vùng bên trong của đướng parabôn này là một vùng tối không có
các tia xuyên vào.
0
l
χ
gi

Hình 7.4. Các tia và đường bao của chúng đối với
ường
ột số tia và đường bao của chúng đối với thức cơ bản đối
với
0
=l , tr
hợp ven bờ: bước sóng bằng hai lần độ sâu ở lân cận nguồn
M
0=l
,
0
0
0
2
2
1
2
h
kh
l
===
λ
π

χ
,sin
được biểu diễn trên hình 7.4.
7.4. PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH PARABÔN
Ngày nay một phương pháp gần đúng khác được sử dụng rộng rãi
học biển - phương pháp phương trình parabôn lần đầu tiên do
Leontovich và Fock [7.11] đề xuất trong lý thuyết truyền sóng vô tuyến
trong khí quyển. Người ta có thể áp dụng phương pháp này bởi vì sự
truyền âm khoảng cách xa tr đặc điểm là có các góc mở
nhỏ. Thông thường các góc n 10
o
.
(7.4.1)
Ở đ
trong âm
ong đại dương có
đó không lớn hơ
Chúng ta sẽ lại bắt đầu bằng phương trình Helmholtz
0
22
0
=+∆ pzrnkp ),,(
ϕ
.
ây
000
cck ,/
ω
=
là tốc độ âm tại một độ sâu quy chiếu nào đó, ví

dụ, tại trục của kênh âm. Trong hệ tọa độ trụ
zr ,,
ϕ
ta có
2
2
2
2
2
11
z
pp
r
r
p
r
rr
p
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

∂
∂
∂
∂
=∆
ϕ
. (7.4.2)
Nghiệm của (7.4.1) đối với những sóng truyền trên các hướng gần
ng
21

với phương ngang có thể có dạ
)(H),,(),,(
)(
rkzrFzrp
0
1
0
ϕϕ
= . (7.4.3)
Ở đây hàm Hankel )(H
)(
rk
0
1
0
mô tả phần nghiệm biến thiên nhanh trên
hướng
r , còn
),,( zrF

ϕ
là hàm biến thiên chậm trên tất cả ba tọa độ.
Thế (7.4.3) vào (7.4.1) và xét trường âm trong vùng sóng
ơi
(7.4.4)
ta được một phương trình cho
)( 1
0
>>rk
, n
[]
)i(exp)i/(~)(
/
)(
rkrkrkH
0
21
00
1
0
2
π
,
F

01
1
2
22
0

2
2
2
2
2
0
2
2
=−+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Fnk
z
FF
r
r
F
k
r
F
)(i

ϕ
. (7.4.5)
Vì
F
biến thiên ít trên một khoảng cách cỡ bước sóng, ta có
r
F
∂
∂

Fk
0
<<
. Chú ý t
257 258

ới điều này, chúng ta bỏ qua số hạng thứ nhất trong
(7.4.5), số hạng này nhỏ, ít ra là so với số hạng thứ hai, và khi đó ta nhận

21
Ở đây chúng tôi giới thiệu phương pháp phương trình parabôn theo Tappert
[7.12].
được phương trình loại parabôn
01
1
2
22
0
2
2

2
2
2
0
=−+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Fnk
z
FF
r
r
F
k )(i
ϕ
. (7.4.6)
Chúng ta tiếp tục giản ước phương trình này như sau. Tại những khoảng
cách lớn tính từ nguồn, ta có thể bỏ qua độ cong của front sóng và cho
dyrd =
ϕ
. Kết quả là, ta được
012
22
0

2
2
2
2
0
=−+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Fnk
z
F
y
F
r
F
k )(i
. (7.4.7)
Nếu những biến thiên của trường âm với phương vị có thể bỏ qua, ta có
một phương trình đơn giản
012
22
2
=−+
∂

+
∂
Frnnk
0
2
0
∂
∂
z
FF
k
]),([i
r
. (7.4.8)
Nếu chú ý tới phần ảo của
ể cho phép chúng ta mô tả sự
hụ các sóng.
Thủ tục làm việc với các phương trình (7.4.6-8) như sau. Trước hết,
người ta chọn một khoảng cách nào đó
đủ nhỏ sao cho trường có
thể được ước lượng bằng một số phương pháp khác (ví dụ, phương pháp
âm hình học), nhưng đủ lớn sao cho ph phương trình parabôn
có thể áp dụng. Khi đó, thông qua (7.4. dụng máy tính, người ta
suy diễn từng bước một trường
ị lớn hơn của
cho tới một giới hạn mong muốn. Một trong những phương pháp làm
thích ứng các nghiệm của phương trình parabôn với một trường g
nguồn có thể tìm thấy trong bài giảng của Tappert [7.12]. Các điều ki
như trong các phương
pháp khác.

Ưu điểm chính của phương pháp phương trình parabôn là ở chỗ có
thể ước lượng các trường âm trong đại dương với tốc độ âm phụ thuộc
vào cả ba tọa độ. Ngoài ra, vì trong trường hợp này ta quan tâm tới đường
bao biến thiên chậm của trường âm, khi đó các tính toán có thể được thực
hiện trên các quy mô không gian vượt trội hơn bướ
c sóng âm rất nhiều.
Điều này rất làm giảm thời gian máy tính. Nhưng phương pháp phương
trình parabôn có một số hạn chế - nó không tính tới sự tản mát ngược lại
và pha của các sóng tiến trên hướng tiến lên được xác định với sai số tăng
lên khi khoảng cách từ nguồn tăng.
Theo gương McDaniel [7.13], chúng ta áp dụng phương pháp
phươ
Tại khoảng cách đủ lớn, thức chuẩn
c cho bằng
(7.4.9)
trong đó
),( zrn
còn có th
hấp t
0
rr =

ương pháp
8) và sử
),( zrF
0
cho các giá tr r

ần
ện

biên cho
),( zrF
tại bề mặt nước và đáy đều giống
ng trình parabôn cho trường hợp môi trường phân lớp theo phương
ngang
))(( znn =
. Nếu so sánh các kết quả nhận được theo cách này với
những kết quả rút ra từ phương pháp thức chuẩn chính xác, ta có thể đánh
giá những giới hạn áp dụng của phương pháp phương trình parabôn.
m
đượ
)i(exp)(
/
rzurAp
mmmm
ξ
21−
= ,
)(zu
m
và
m
ξ
là những hàm riêng và những giá trị riêng của
phương trình độ sâu
[]
0
222
0
2

2
=−+
mm
m
uznk
dz
ud
ξ
)(
, (7.4.10)
và
ột hằng số.
Phương trình parabôn (7.4.8) với
một nghiệm dưới
dạng các thức chuẩn. Do đó, ta đặt
(7.4.11)
và phân tách các biến trong (7.4.8), ký hiệu một hằng số phân tách bằng
ết quả là, phương trình đối với ới (7.4.10) và
phương trình đối với
m
A
là m
)(znn =
còn có
)()( rRzuF
mmm
=

2
m

ξ
. K
)(zu
m
trùng v
)(rR
m
là
259 260

mm
m
Rk
kdr
dR
)(
i
2
0
2
0
2
−=
ξ
. (7.4.12)
Nghiệm của phương trình sau cùng là
⎥
⎦
⎤
⎢

⎣
⎡
−= rk
k
AR
mmm
)(
i
exp
2
0
2
0
2
ξ
. (7.4.13)
Để nhận được
ần, theo (7.4.3, 4), nhân
(7.4.11) với
ết quả là, chúng ta nhận được một biểu
thức có cùng d đó biểu thức trong dấu hàm mũ sẽ là
m
p
chúng ta c
m
F
trong
)i(exp
/
rkr

0
21−
. K
ạng như (7.4.9), trong
r
m
ξ
′
thay vì
r
m
ξ
, ở đây
0
22
0
2k
k
m
m
ξ
ξ
+
=
′
.
Như vậy, phép xấp xỉ parabôn cho một giá trị có phần sai lệch của
tốc độ pha (và cả của tốc độ nhóm) của các thức chuẩn. Điều đó tạo nên
sự sai lệch của pha thức chuẩn tăng lên với khoảng cách. Về phần mình,
sự sai lệch pha của mỗi thức dẫn tới sự sai lệch trong bức tranh giao thoa

của trường âm.
m
ξ
càng gần ức hướng lan truyền càng gần với
phương ngang, thì tất cả những sai lệch đó càng nhỏ.
Để ước lượng sai số về pha của một thức chuẩn chúng ta xét trường
hợp đại dương đồng nhất
sâu không đổi ới hạn
bởi đáy cứng tuyệt đối từ phía dưới và bề mặt phẳng ở bên trên. Theo
(5.3.5) ta có đối với trường hợp này
(7.4.14)
Các tia có thể tương ứng với thức chuẩn số hiệu
ở
0
k
, t
)const( ==
0
cc
độ
h
, gi
222
0
2
21 )/()/( +−= mhk
m
πξ
.
m

và có góc m
m
χ
tìm được từ quan hệ
mm
k
χ
ξ
cos
0
=
, do (7.4.14) mà quan hệ này
trở thành
)/)(/(sin 21
0
+= mhk
m
π
χ
.
121
0
<<+ )/)(/( mhk
π
.
Sai số về pha của một thức chuẩn có thể tìm được bằng cách khai
triển (7.4.14) thành một chuỗi lũy thừa của
hk
m
0

21 )/( +
π
. Khi đó
mm
m
mm
rk
hk
m
rk
r
k
k
r
χ
π
ξ
ξ
ξξ
4
0
4
0
0
0
22
0
8
121
82

sin
)/(
)( =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
≈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=−
′

(7.4.16)
Chúng ta có thể mong chờ rằng các tốc độ pha, và do đó, bức tranh
giao thoa sẽ được cho một cách đúng đắn nếu như giá trị này là nhỏ so
với đơn vị, tức

(7.4.17)
Có những lý do để cho rằng điều kiện này cũng áp dụng đối với đại
dương phân tầng
Để phân tích đầy đủ hơn về các sai số của
ng ta sử dụng biểu thức sau
đây cho
1
4
0
<
m
rk
χ
sin .
))(( znn =
.
phương pháp phương trình parabôn chúng tôi giới thiệu người đọc với
công trình của DeSanto [7.14]. Tác giả này cùng với Baer [7.15] đã đề
xuất một số cải biên đối với phương pháp phương trình parabôn làm giảm
sai số của nó một cách đáng kể. Theo đó, chú
p
theo
F
thay vì (7.4.3)
22

)i(exp)(
i
),(),(
/

rkrk
r
F
k
r
zrFzrp
0
21
0
2
2
2
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+= . (7.4.18)
bỏ qua
nó, (7.4.18) giản ước thành (7.4.30 (tại

Số hạng thứ hai trong cặp dấu ngoặc vuông là số hạng mới. Nếu
1
0
>>rk
).

22
Ở đây sẽ thuận tiện nếu ký hiệu bằng i lượng mà trong [7.15] được ký
(7.4.15)
Vì chúng ta luôn quán triệt phép xấp xỉ các góc nhỏ, nên ta giả thiết rằng
F
đạ
261 262

hiệu là
p
.
Phương trình (7.4.18), gọi là xấp xỉ parabôn hiệu chỉnh (CPA), đã
được so sánh với một ví dụ thức chuẩn [7.16] và dẫn tới một sự cải thiện
về biên độ so với phép xấp xỉ parabôn và một sự cải thiện đáng kể về pha
(xem thêm [5.4]).
Dựa trên một nghiệm phương trình parabôn có thể đưa ra một phiếm
hàm, phiếm hàm này là nghiệm chính xác của phương trình Helmholtz
(7.4.1). Một phiếm hàm như vậy đượ
c Polyanskii [7.17] đưa ra lần đầu
tiên ng hai chiều phân tầng theo phương ngang.
DeSanto [7.14, 18] đã nhận được một biến đổi tích phân tương tự cho
trường hợp ba chiều bao gồm cả sự dẫn sóng phụ thuộc khoảng cách,
chúng tôi sẽ dựa vào kết quả này trong việc xem xét dưới đây.
Đối với trường hợp môi trường phân tầng nhưng đồng nhất trong
mặt phẳng ngang, phiếm hàm này có dạng
(7.4.19)
trong đó
cho trường hợp dẫn só
∫

∞
−
=
0
1
dttztFCzrp )iexp(),(),(
ϕ
,
2
0
≡
ϕ

12
)(
−
+ trtk
(7.4.20)
và
ột hằng số.
Tính đúng đắn của (7.4.19) cũng có thể được chứng minh bằng thế
trực tiếp vào (7.4.1), hoặc sử dụng một biểu thức đối với
C
là m
F
như là một
tổng của các thức. Chúng ta sẽ làm theo cách thứ hai.
Nếu tính đến (7.4.11, 13) ta nhận được
[
]

∑
−=
m
mmm
krkzuAztF
0
2
0
2
2/)(iexp)(),(
ξ
.
dtt
t
tzuACzrp
∞
∑
∫
=
)(),(
m
mmm
1
0
2
2
4
−
⎥
⎥

⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
β
α
iexp
, (7.4.22)
trong đó
Tích phân trong (7.4.22) bằng
7.19]. Kết quả là, ta nhận
được đối với
ểu thức đồng nhất với nghiệm phương trình
Helmholtz (6.4.80 ấp nhận
21
0
21
0
22

//
)(,)( krk
mm
≡≡
−
βξα
.
)(i
)(
rH
m
ξπ
1
0
[
),( zrp
bi
nếu ta ch
i/
π
1=C
và
)()( zzu
mm
ψ
≡
.
Sau khi tính tích phân trong (7.4.19) bằng phương pháp pha dừng
(điểm dừng ận được một nghiệm gần đúng
nó đồng nhất với (7.4.3) tại

rt = ), nh
),()i(exp)i/(~),(
//
zrFrkrkCzrp
0
2121
0
2
−
π
,
1
0
>>rk
và
i/
π
1=C
. Như vậy, nghiệm
gần đúng nhận được bằng phương pháp phương trình parabôn trùng với
những tiệm cận của nghiệm chính xác của phương trình Helmholtz.
Đối với sự dẫn sóng phụ thuộc khoảng cách với đối xứng trụ, phiếm
hàm tương ứng có dạng
(7.4.23)
trong đó
ỏa mãn phương trình
∫
∞
−
=

0
1
dttzrtVztFCzrp )i(exp),,(),(),(
ϕ
,
),,( zrtV
th
F
zz
V
t
V
k
z
V
r
V
t
rk
r
r
V
lni
i
∂
∂
∂
∂
+
∂

∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
∂
∂
22
2
1
0
2
2
0
2
2

[
]

Frzntznk ),(),(
222
0
−= . (7.4.24)
Phương trình (7.4.24) tương đối phức tạp vì hệ số đứng trước
(7.4.21)
Bây giờ, ta thế (7.4.21) vào (7.4.19). Điều này cho
263 264

z
V
∂∂
/
l
dừng
ại là một nghiệm của (7.4.8). Tuy nhiên, sự hiện diện của điểm
nhận được một nghiệm gần đúng đơn
giản. Th y, tại ế phải của (7.4.24) trở thành bằng không và
nghiệm của phương trìn iêng này là một hằng số. Vì
ý, hằng
số này có thể được chọn bằng đơn vị. Nhận xét rằng đối với một môi
rt = cho phép chúng ta
ật vậ rt = , v
h r
C
là tùy
trường phân tầng phương ngang a có
)(znn =
chúng t
1=

V
tại mọi
Nếu chỉ số khúc xạ có dạng
vế phải của (7.4.24) tỉ lệ với
t .
),()(),( rzznrzn
µ
+=
2
0
2
,
µ
. Đối với những điều kiện đại dương điển
hình,
µ
là một đại lượng nhỏ đó, hàm )(~
2
10
−
và do
V
rất gần với đơn
vị.
Bây giờ, nếu khai triển các hàm
lân
cận một chuỗi lũy thừa của
ho các số hạng cùng
bậc bằng nhau, ta nhận được một hệ truy ệ số
của chuỗi khai triển của

ốn hệ số đầu tiên (bỏ qua các đối số
của chúng) [7.14] là:
33
. (7.4.25)
ủa chỉ số khúc xạ
xuất hiện trong số hạng thứ ba.









Chương 8
SỰ TRUYỀN ÂM PHẢN DẪN SÓNG
n âm phản dẫn sóng diễn ra
khi một tia rời khỏi nguồn không bao giờ trở lại độ sâu của nguồn. Một ví
dụ về truyền phản dẫn sóng được cho trên hình 1.8. Ở đây chúng ta sẽ xét
kiểu truyền âm này đối với hai trường hợp khác nhau, tức tùy thuộc
građien tốc độ
ại một trục phản dẫn sóng không bằng không
(mục 8.1) hay bằng không (mục 8.2, 3).
8.1. KÊNH PHẢN DẪN SÓNG TUYẾN TÍNH LÂN CẬN BỀ MẶT
NƯỚC
Giả sử rằng trong nửa không gian
ới hạn bởi mặt nước tự
do tại
phương của chỉ số khúc xạ được cho bằng luật tuyến

tính
(8.1.1)
Tại
ần tương ứng với luật tuyến tính đối với tốc độ âm
(mục 6.6). Phương trình (6.5.4) với
ản ước thành
(6.6.12) nếu chúng ta đặt
trong đó
(8.1.2)
Trường âm tại một điểm bất kỳ lại một lần nữa được mô tả bằng (6.6.6)
với những hàm riêng được chọn đúng dắn
),(),,,( ztFzrtV
và ),( tzn
2
ở
rt = thành
)( rt −
và c
hồi cho các h ),(
)(
zrV
m

),,( zrtV
. B
2210
21211 rVrVV /,/,
)()()(
=−== ,
rnkrV ∂∂+−=

−
/
)( 2
0
Ta thấy rằng sự hiệu chỉnh liên quan tới sự biến thiên c
Ngược lại với truyền dẫn sóng, sự truyề
dzdc/
t
0>z gi
0=z , bình
azzn += 1
2
)( .
az
bé, nó g
)(zc

)()( znkzk
0
=
gi
Hztt /−=
0
,
312
0
2
0
22
0

/
)(),(
−
=−= akHkHt
ξ
.
)(z
l
ψ
.
Đối với các điều kiện phản dẫn sóng, những hàm này tại
265 266

∞→
z

phải biểu diễn các sóng đi ra. Điều kiện này được thỏa mãn bởi hàm Airy