Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 1 doc

3
Trong sách chứa đựng nhiều diễn giải toán học, tuy đợc trình by cẩn
thận, nhng không tránh khỏi một số sai sót. Rất mong các độc giả góp ý để
hon thiện.



Chơng 1 Giới thiệu
Trong đại dơng có nhiều kiểu sóng gây bởi những nhân tố
vật lý khác nhau. Giống nh trong bi toán cơ bản về một hệ
đn hồi, tất cả các sóng phải liên quan tới một loại lực phục hồi
no đó. Vì vậy, để thuận tiện, nên sơ bộ phân loại các sóng đại
dơng tuỳ theo lực phục hồi nh trong bảng 1.1.
Sóng gió v sóng lừng
phát sinh bởi bão tại chỗ hoặc bão ở
xa l loại sóng m con ngời thờng gặp nhiều nhất. Loại ít gặp
hơn, nhng với hậu quả đôi khi rất nặng nề, đó l sóng thần,
sóng ny đợc xếp vo loại các dao động chu kỳ di, gây bởi
động đất hoặc trợt đất mạnh dới nớc. Sóng cũng có thể sinh
ra do hoạt động của con ngời (nh chuyển động tầu, nổ mìn )
v những sóng ny cũng có dải chu kỳ rộng. Vì các sóng ny
thờng hiện diện trên mặt nớc v lực phục hồi chủ yếu l
trọng lực, nên chúng đợc gọi l sóng mặt trọng lực. Một thuật
ngữ ngắn hơn - sóng mặt, thờng đợc dùng trong trờng hợp
không kể tới các sóng mặt mao dẫn.
Trong hải dơng học có một loại s
óng quan trọng l sóng nội
trọng lực, xảy ra tại các nêm nhiệt - đó l lớp nớc phía dới
mặt biển với cờng độ phân tầng mật độ mạnh. Chuyển động
sóng của các sóng ny thờng không lộ ra trên mặt nớc, ngoại

trừ một số dấu hiệu biểu hiện gián tiếp của chúng. Những sóng
ny góp phần vo quá trình xáo trộn v ảnh hởng đến độ nhớt
rối của hải lu. Sóng nớc dâng do bão l hậu quả tức thì của
thời tiết địa phơng v có thể lm tổn hại nặng nề tới sinh
mạng cũng nh của cải con ngời khi nó trn ngập vùng ven
biển.
Thực ra, một số lực phục hồi có thể cùng tồn tại, do đó việc
phân ra các sóng khác
nhau trong bảng 1.1 không phải l luôn
chính xác.
Cuốn sách ny chỉ đề cập tới những loại chuyển động sóng
với qui mô thời gian sao cho sự nén, sức căng bề mặt v sự quay
của Trái Đất ít quan trọng. Ngoi ra, cũng giả thiết rằng sự
phân tầng thẳng đứng trong lớp nớc nghiên cứu đủ nhỏ. Nh
vậy, ta chỉ quan tâm đến sóng mặt trọng lực, tức sóng gió, sóng
lừng v sóng thần. Về các loại sóng khác liệt kê ở bảng 1.1 có
thể tìm đọc trong những chuyên luận của Hill (1962), LeBlond
v Mysak (1978).
Bảng 1.1 Loại sóng, cơ chế vật lý v vùng hoạt động
Loại sóng Cơ chế vật lý Chu kỳ đặc trng Vùng hoạt động
Sóng âm Tính nén
10

2
10

5
giây
Trong lòng đại dơng
Sóng mao dẫn Sức căng bề mặt

<10

1
giây
Sóng gió v
sóng lừng
Trọng lực
1 25 giây
Sóng thần Trọng lực
10 phút 2 giờ
Mặt phân cách nớc
không khí
Sóng nội Trọng lực v phân tầng
mật độ
2 phút 10 giờ
Lớp đột biến mật độ
Sóng nớc
dâng do bão
Trọng lực v lực quay Trái
Đất
1 10 giờ
Gần đờng bờ
Thuỷ triều Trọng lực v lực quay Trái
Đất
12 24 giờ

Sóng hnh tinh

Trọng lực, lực quay Trái
Đ

ất v biến thiên vĩ độ địa
lý hoặc độ sâu đại dơng
O(100 ngy) Ton bộ lớp nớc đại
dơng

4
Trong chơn
g ny, trớc hết sẽ tổng quan các phơng trình
cơ bản của chuyển động chất lỏng v một số lý luận chung về
chất lỏng không nhớt v chuyển động không xoáy. Sau đó rút ra
các phơng trình tuyến tính hoá đối với sóng biên độ nhỏ vô
hạn. Sau khi đa ra những nhận xét khái quát về các sóng lan
truyền, ta sẽ khảo sát những tính chất của sóng tiến điều ho
đơn trên nền độ sâu không đổi. ở đây sẽ bớc đầu phân tích về
tốc độ nhóm sóng theo hai góc độ động học v động lực học.
1.1 Tổng quan những kết luận cơ bản về chất
lỏ
ng không nén v mật độ không đổi
1.1.1 Các phơng trình mô tả
Trong nhiều bi toán về sóng trọ
ng lực, trong quy mô thời
gian v không gian ta quan tâm, thì sự biến thiên mật độ nớc
l không đáng kể. Các định luật bảo ton cơ bản đợc mô tả
đúng đắn bằng các phơng trình Navier-Stokes:
đối với khối lợng:

0= u , (1.1)
đối với động lợng:
uuu
2

+








+=






+




gz
P
t
, (1.2)
trong đó
),( txu l vectơ vận tốc ),,( wvu , ),( yP x l áp suất,

l
mật độ,

g
l gia tốc trọng trờng,

l độ nhớt động học không
đổi v ),,( zyx=x với trục z hớng thẳng đứng lên trên.
Một trong những suy diễn quan trọng từ các phơng trình
ny l vectơ xoáy ),( tx xác đ
ịnh bằng
u ì= , (1.3)
nó bằng hai lần tốc độ xoáy địa phơ
ng. Tác dụng toán tử xoáy
lên phơng trình (1.2) v sử dụng phơng trình (1.1), ta có

2
+=






+


uu
t
. (1.4)
Về mặt vật lý, phơng trình trên
có nghĩa: theo sau chất
lỏng chuyển động, tốc độ biến thiên của xoáy l do sự dãn ra v

xoắn của các đờng xoáy v khuếch tán nhớt (xem Batchelor,
1967). Trong nớc,

nhỏ ( 10

2
cm
2
/s), thnh phần cuối cùng
của phơng trình (1.4) có thể bỏ qua, ngoại trừ trong các vùng
có gradient vận tốc lớn v xoáy mạnh. Phép xấp xỉ sau đây đúng
với gần nh mọi chất lỏng:
uu =






+



t
. (1.5)
Một lớp bi toán rất quan trọng l những bi toán trong đó
0 v đợc gọ
i l
dòng không xoáy. Lấy tích vô hớng của
phơng trình (1.5) v , ta dợc

)]([
2

2
2
ueeu =






+




t
,
ở đây,

e
l vectơ đơn vị dọc theo . Vì gradient vận tốc hữu
hạn trong mọi tình huống vật lý thực, nên trị số cực đại của
)( uee

phải có giá trị hữu hạn, thí dụ bằng
2/M
. Độ lớn
),(

2
tx theo sau một phần tử chất lỏng không thể lớn hơn
tM
e

x )0,(
2
. Do đó, nếu không có một xoáy no tại thời điểm
0=t , thì dòng sẽ mãi giữ nguyên l dòng không xoáy.
Đối với chuyển động không xoáy, không nhớt, vận tốc
u có
thể biểu diễn qua gradient của hm thế vận tốc vô hớng

=u . (1.6)
Sự bảo ton khối lợng đòi hỏi thế vận tốc phải thoả mãn

phơng trình Laplace

5
0
2
= . (1.7)
Nếu thế vận tốc đợc
biết, thì có thể tìm đợc trờng áp
suất từ phơng trình động lợng (1.2). Sử dụng đồng nhất thức
vectơ
)(
2
uu
u

uu
2
ìì=

v tính kh
ông xoáy, ta có thể viết lại phơng trình (1.2) với
0=

nh sau








+=






+


gz
P
t

2
2
1
.
áp dụng tích phân theo các biến không gian, ta đợc
)(tC
t
gz
P
++


+=


2
2
1

, (1.8)
trong đó
)(tC l một hm tuỳ ý phụ thuộc vo
t
v thờng bị
loại bỏ nhờ việc định nghĩa lại
m không ảnh hởng gì đến
trờng vận tốc. Phơng trình (1.8) đợc gọi l phơng trình
Bernoulli. Số hạng thứ nhất,
z

g
ở vế phải của phơng trình
(1.8) chính l phần áp suất thuỷ tĩnh, các số hạng khác l phần
áp suất thuỷ động lực trong áp suất ton phần
P
.
1.1.2 Các điều kiện biên cho dòng không xoáy v không
nhớt
Có hai kiểu biên đáng quan tâm: mặt phân cách nớc
không khí, còn đợc gọi l
mặt tự do, v mặt tiếp xúc rắn không
xuyên. Dọc theo hai biên ny, chất lỏng đợc xem nh chỉ
chuyển động theo phơng tiếp tuyến với mặt. Giả sử phơng
trình tức thời của biên l
0),,(),( == tyxztF

x , (1.9)
trong đó

l độ cao tính từ 0=z v giả sử vận tốc của một
điểm hình học
x trên mặt tự do đang di chuyển l q . Sau một
khoảng thời gian ngắn
dt , mặt tự do đợc mô tả nh sau
2
0 )(),(),( dtdtF
t
F
tFdttdtF +

+


+==++ qxqx
.
Kết hợp với phơng trìn
h (1.9), suy ra
0=+


F
t
F
q
với mọi
dt nhỏ. Giả thiết chất lỏng chỉ chuyển động dọc theo
mặt biên đòi hỏi phải có
FF = qu , điều ny có nghĩa rằng
0=+


F
t
F
u tại

=z , (1.10)
hay, một cách tơng đơng:
zyyxxt

=





+





+



tại

=z . (1.11)
Ngời ta gọ
i phơng trình (1.10) hay (1.11) l điều kiện biên
động học
. Trong trờng hợp đặc biệt, khi biên l mặt tờng cứng
bất động
B

S thì 0 =

t/ v phơng trình (1.10) trở thnh
0=


n
tại
B
S . (1.12)
Tại đáy biển
0
B ở độ sâu ),( yxh , phơng trình (1.9) trở
thnh 0),( =+
yxhz v phơng trình (1.12) có thể viết lại thnh
y
h
yx
h
xz



+




=

tại
0
B . (1.13)
Trên mặt phân cách nớc không khí, cả hai đại lợn
g


v
đều cha biết, do đó cần phải có thêm một điều kiện biên
động lực học liên quan đến các lực tác động.
Đối với hầu hết các vấn đề trong cuốn sách ny thì bớc
sóng l đủ lớn để sức căng bề mặt
không đáng kể; áp suất ngay
dới mặt tự do phải bằng áp suất khí quyển
a
P ở phía trên. áp

6
dụng phơng trình (1.8) cho mặt tự do, ta có
2
2
1
+


+=


t

g
P
a
tại

=z . (1.14)
Hai điều kiện (1.11) v (1.14) có
thể kết hợp thnh một điều
kiện đối với hm bằng cách lấy đạo hm ton phần của
phơng trình (1.14):
0
2

2
=








++

+


+







+


g
tt
P
t
a
u
uu ,

=z . (1.15)
Sử dụng phơng trình (1.11) v đẳng thức
2
2
1
uu

tt

=




từ phơng trình (1.15) ta có
0
2
1
2
2
2
2
=






+


+


+

+

uu
u
tz
g
t
P
Dt
D
a
,

=z . (1.16)
Ngoi ra, nếu
const=
a
P , điều kiện trên sẽ trở thnh
0
2
1
22
2
2
=+


+

+


uuu)(
tz
g
t
,

=z , (1.17)
đây thực sự l một đi
ều kiện đối với . Thấy rằng chẳng những
các thnh phần phi tuyến đã xuất hiện trong các điều kiện biên
ny, m vị trí của mặt tự do cũng l một đại lợng cha biết. Do
đó, khó có thể có một lý thuyết giải tích chính xác đối với các bi
toán về sóng trên nớc.
Khi chuyển động của không khí bên trên l đá
ng kể, thì áp
suất khí quyển không thể luôn luôn đợc mô tả trớc; chuyển
động của không khí v nớc thờng gắn liền với nhau. Thật
vậy, sự trao đổi động năng v năng lợng giữa không khí v
biển chính l điểm trọng tâm của lý thuyết phát sinh sóng mặt
do gió. Tuy nhiên, ta sẽ chỉ giới hạn nghiên cứu những vùng
tơng đối cục bộ, nơi không có tác động trực tiếp của gió. Khi đó
có thể không tính đến lớp không khí do mật độ tơng đối của nó
khá nhỏ, nhng vẫn đáp ứng đợc nhiều mục đích của chúng ta.
1.2 Phép xấp xỉ tuyến tính hóa đối với sóng biên
độ nhỏ
Giả thiết rằng những qui mô vật lý cụ thể của chuyển động

có thể đợc biết trớc. Thí dụ, giả sử


















2
2
1
/
/
A
A
đặc trng cho

t
hzyx ,,,
(2.1)
trong đó ,

, v A tuần tự l các giá trị tiêu biểu của bớc
sóng, tần số v biên độ dao động của mặt tự do. Ta đã gán quy
mô của bằng
2/A , do đó tốc độ có quy mô l

A ở gần
mặt tự do. Bây giờ ta đa ra các biến phi thứ nguyên v ký hiệu
chúng nh sau:

=

A
t
hzyx
A
t
hzyx
/
/),,,(
/
,,,
2
2
(2.2)
Nếu thế các biến phi thứ nguyên ny vo các
phơng trình
(1.7), (1.11), (1.12) v (1.14), ta nhận đợc các phơng trình phi
thứ nguyên sau đây:
0
2
2
2
2
2

2
2
=









+



+



+



=



zyx
,

<

<

zh
(2.3)
0=





n
, hz

=

(2.4)

7
zy
z
yxxt

=

















+










+

tại


=

z
(2.5)


=

=




+

+





2
2
2
2
2
2
A
P
P
g
t
a
a
)( (2.6)
trong đó
ì=

= 22 /A
biên độ / bớc sóng = độ dốc sóng. Vì
đã giả thiết rằng các quy mô phản ánh đúng vật lý của quá
trình, nên tất cả các biến phi thứ nguyên phải có bậc l đơn vị;
sự quan trọng của mỗi số hạng ở trên chỉ cần xét theo hệ số

đứng trớc số hạng đó.
Bây giờ ta xét các sóng có biên độ nhỏ với nghĩa độ dốc sóng
nhỏ:
1<<

. Các điều kiện biên tại mặt tự do có thể đơn giản hoá
nếu để ý rằng mặt tự do cha biết chỉ cách biệt với mặt phẳng
nằm ngang
0=

z một lợng có bậc )(O . Vì vậy, ta có thể khai
triển


v các đạo hm của nó thnh chuỗi Taylor:
)(
!2
)(
),,,(
3
0
2
22
00



+

+





+

=

z
f
z
f
ftyxf


với
0
f
có nghĩa l ),0,,( tyxf Nếu lấy đến số hạng bậc một, các
điều kiện trên mặt tự do xấp xỉ bằng
a
z
P
g
t

t

=

+







=









2
2
0=

z .
Chỉ còn các thnh phần tuyến tính đợc giữ
lại trong các
điều kiện biên ny v các điều kiện đó ứng với mặt phẳng đã

biết
0=

z . Cùng với các phơng trình (2.3) v (2.4) bi toán xấp
xỉ đã đợc tuyến tính hoá hon ton. Trở lại các biến vật lý, ta
có
0
2
= ,
0<< zh
(2.7)
0=


n
, hz = (2.8)
(2.9)
0=z




a
P
g
t
zt
=+

=


,

(2.10)
Ngoi ra các phơng trình (2.9) v (2.10) có t
hể kết hợp lại
để có
t
P
z
g
t
a


=


+



1
2
2
, 0=z (2.11)

Phơng trì
nh ny cũng có thể nhận đợc bằng cách tuyến tính
hoá phơng trình (1.16).
Có thể liên hệ áp suất ton phần trong lòng chất lỏng với

bằng cách tuyến tính hoá phơng trình Bernoulli
pgzP +

= trong đó
=


=
t
p
áp suất động lực. (2.12)
Những điều kiện ny phải đợc bổ sung bởi
các điều kiện
ban đầu v các điều kiện biên bên trong chất lỏng v ở vô cùng
nếu có.
Phải lu ý một lần nữa về giả thiết không nhớt trong khi
thực hiện phép xấp xỉ
tuyến tính. Gần biên cứng, lý thuyết thế
cho phép dòng trợt trên hớng tiếp tuyến, nhng trên thực tế
thì tất cả các thnh phần vận tốc phải triệt tiêu.
ở đây phải có
một lớp biên mỏng để l trơn sự chuyển đổi từ không đến một
giá trị hữu hạn. Nh vậy
N
x

>>
T
x



,
T
x



,
ở đây
N
x ,
T
x

v
T
x

lm thnh một hệ trục toạ độ trực giao cục
bộ, với
N
x vuông góc với bề mặt rắn, còn
T
x

v
T
x

thì song song

8
với nó. Từ phơng trình động lợng đã tuyến tính hoá suy ra
rằng vận tốc tiếp tuyến
T
u ở trong lớp biên thoả mãn biểu thức
p
xt
T
N
TT








1
2
2
uu

Với chu kỳ sóng có trị số bằng quy mô thời gian, độ dầy của
lớp biên

phải có bậc l


2/1
2









Đối với nớc,
s/
2
cm 0,01
; khi thử nghiệm mô hình chu
kỳ đặc trng l 1 giây nên
cm0560,~ , độ dầy ny khá nhỏ so
với bớc sóng thông thờng. Trong đại dơng, thờng thì sóng
lừng chu kỳ cỡ 10 giây;
~0,17 cm. Nhng lớp biên gần đáy
biển thực thờng l lớp biên rối đối với hầu hết các chu kỳ sóng.
Nh sẽ phân tích sau đây, giá trị thực nghiệm tiêu biểu của độ
nhớt rối bằng khoảng 100

; vậy độ dầy của lớp biên rối đối với
chu kỳ sóng 10 giây có bậc
O(10) cm, nó vẫn hon ton l nhỏ.
Nh vậy, vùng lớp biên chỉ l một phần nhỏ bé của cả khối chất
lỏng với kích thớc tơng đơng bớc sóng, v ảnh hởng tổng
thể lên chuyển động sóng l rất nhỏ khi qua khoảng cách một
vi lần bớc sóng hay qua một thời khoảng bằng một vi chu kỳ
sóng.
1.3 Những nhận xét cơ bản về sóng lan truyền
Xét một dạng đặc biệt của mặt tự do
)(cosRe),,(
)(
tAAetyx
ti
==

xk
xk
, (3.1)
trong đó
i l đơn vị ảo (1)
1/2
v
),( ),,(
21
yxkk = x k . (3.2)
Để tiện biến đổi toán học, ngời ta
thờng sử dụng dạng
hm mũ, v để ngắn gọn dấu Re (phần thực) sẽ đợc bỏ đi, tức
l

)(
),,(
ti
Aetyx

=
xk
, (3.3)
đợc dùng
để thay cho phơng trình (3.1). Biểu thức ny mô tả
những loại bề mặt tự do no?
Đối với ngời quan sát đứng
yên,

sẽ dao động theo thời
gian với chu kỳ

= /2T giữa hai cực trị A v
A
. Nếu ta
chụp ảnh ba chiều tại thời điểm xác định
t với

l toạ độ
thẳng đứng v
),( yx l các toạ độ ngang, sự biến thiên của


trên mặt phẳng
),( yx sẽ mô tả một địa hình tuần hon. Trong

mặt phẳng
cons
t
=y , ta thấy

biến thiên tuần hon theo
hớng
x
giữa
A
v
A
với chu kỳ không gian
1
2 k/
. Tơng tự,
trong mặt phẳng
cons
t
=
x
,

biến thiên tuần hon theo hớng
y giữa
A
v
A
với chu kỳ không gian
2

2 k/ . Vậy dọc hớng
x
số đỉnh sóng trên một đơn vị độ di l 2
1
/k , còn dọc hớng
y , số đỉnh sóng l 2
2
/k .
Ta định nghĩa
hm pha S nh sau
ttykxktyxS
21

=

+= xk),,( . (3.4)
Đối với một thời điểm xác định, phơng trình
0
const),,( StyxS == mô tả một đờng thẳng với vectơ pháp
tuyến l






=
k
k
k

k
k
21
,e , trong đó
k
2
2
2
1
=+= kkk
. (3.5)
Dọc theo đờng thẳng ny, độ ca
o mặt nớc bằng nhau ở
mọi nơi. Thí dụ, các mực nớc sẽ cao nhất (các đỉnh sóng) khi
=
nS 2
0
v thấp nhất (các chân sóng) khi += )( 12
0
nS . Khi
0
S
tăng một lợng 2 , thì độ cao mặt nớc đợc lặp lại. Các đờng
có
0
S khác nhau song song với nhau nếu
1
k v
2
k l các hằng

số. Chúng ta gọi các đờng ny l các
đờng pha. Nếu chụp ảnh
v cắt một mặt cắt ngang dọc theo hớng của
k
e , trắc diện của

9

sẽ l đờng hình sin với bớc sóng
k/=

2
. Hoặc ta có thể
nói rằng số sóng trên một đơn vị độ di dọc hớng
k l 2/k .
Do đó
k
đợc gọi l số sóng v k đợc gọi l vectơ số sóng với
các thnh phần
1
k
v
2
k
. Li độ cực đại A so với giá trị trung
bình
0=z đợc gọi l biên độ.
Giả sử ta đi theo một đờng pha cụ thể
0
SS = . Khi thời

gian
t
tiến triển, vị trí của đờng pha ny cũng thay đổi. Vậy
thì tốc độ dịch chuyển của đờng pha ny bằng bao nhiêu? Rõ
rng, nếu ngời quan sát di chuyển với cùng vận tốc
dtd /x , thì
sẽ thấy đờng pha bất động, có nghĩa l
0=


+= dt
t
S
dSdS
x .
Từ phơng trình (3.4) suy ra
SS
k
== ek , (3.6a)
t
S


=
(3.6b)
v
C
kS
tS
dt

d
k


=


=
/x
e
. (3.7)
Nh vậy, t
ốc độ m đờng pha tiến đi trong hớng vuông
góc với nó bằng
k/

đợc gọi l tốc độ pha C . Các phơng
trình (3.6a) v (3.6b) có thể coi l các định nghĩa của

v k :
tần số l tốc độ biến thiên pha theo thời gian v số sóng l tốc
độ biến thiên pha theo không gian.
1.4 Sóng tiến trên vùng nớc độ sâu không đổi
Đối với chuyển động điều ho đơn tần số

, sự tuyến tính
của bi toán cho phép chúng ta tách nhân tử phụ thuộc thời
gian
ti
e

ra nh sau:
ti
e
zyxpgztzyxP
zyxtzyx
zyxtzyx
yxtyx











=+

=
=
),,(),,,(
),,(),,,(
),,(),,,(
),(),,(
uu
. (4.1)
Chú ý rằng cùng một ký hiệu u đợc sử dụng để biểu diễn

vận tốc chất lỏng v biểu diễn nh
ân tử phụ thuộc không gian
của nó. Các phơng trình tuyến tính hoá từ (2.7) đến (2.10) có
thể dẫn tới
0
2
= , 0<< zh , (4.2)
0=



n
, hz = , (4.3)

(4.4)
0=z
,


=
=+



a
p
ig
i
z
0

(4.5)
trong đó phơng trình (4.4) v (4.5) có thể kết hợp lại thnh
a
p
i
z
g


=



2
, 0=z . (4.6)
Chọn nghiệm hai chiều biểu diễn một sóng tiến không chịu
tác động trực tiếp của khí quyển, tức
0=
a
p v
ikx
Ae= . (4.7)
Dễ dng n
hận thấy rằng hm thế thoả mãn các phơng trình
(4.2) v (4.3) sẽ bằng
ikx
ehzkB ch )( +=
.
Để thoả mãn các điều kiện biên tại mặt với
0=

a
p
, ta cần có
kh
igA
B
ch
1

=


10
v
khgk th
2
=
, (4.8)
do đó
ikx
e
kh
hzkigA

ch
ch

)( +

=

. (4.9)
Nh vậy, với một tần số cho trớc

sóng tiến phải có một số sóng
riêng xác định theo phơng trình (4.8). Trong dạng phi thứ nguyên
l
khkh
g
h
th = .
Sự biến thiên của tần số phi thứ nguyên
()
21 /
/ gh v số
sóng phi thứ nguyên
kh
đợc biểu diễn trên hình 4.1. Đặc biệt
các biểu thức xấp xỉ tới hạn bằng
gh
ghk



.
,
1
1
>>
<<
kh

kh
(4.10)
Vì

= /hkh 2
có thể xem nh l tỉ số giữa độ sâu v bớc sóng,
nên ngời ta dùng các thuật ngữ
sóng di v sóng nớc nông
khi
1<<kh
v các thuật ngữ sóng ngắn v sóng nớc sâu khi
1>>kh
. Với một độ sâu h cố định, các sóng ngắn hơn sẽ có các
tần số cao hơn. Trong vùng nớc nông, các sóng với một tần số
cố định sẽ có bớc sóng ngắn hơn ở độ sâu nhỏ hơn vì
21 /
)/(ghk .
Tốc độ pha
C cho theo công thức
kh
k
g
k
C th =

= (4.11)
đợc vẽ
dới dạng phi thứ nguyên trên hình 4.1. Đối với các
sóng di v ngắn các biểu thức tới hạn l
/

kgC
ghC
=
=

.
,
1
1
>>
<<
kh
kh
(4.12)
Nhìn chung, với cùng độ sâu, các sóng di
hơn có tốc độ nhanh
hơn. Trong chơng 2 sẽ cho thấy rằng một nhiễu động xuất phát
có thể xem nh tổng Fourier của các nhiễu động tuần hon với
các bớc sóng biến thiên trong một dải phổ liên tục. Dần dần với
thời gian, các sóng di hơn sẽ vợt lên trên so với các sóng ngắn
hơn. Trong khi các nhiễu động cùng truyền đi, thì các sóng di
nhất v các sóng ngắn nhất ngy cng cách xa nhau hơn, còn
các sóng loại trung gian thì ở giữa khoảng đó. Hiện tợng các
sóng tần số khác nhau di chuyển với các vận tốc khác nhau gọi
l
sự tản mạn (dispersion). Rõ rng rằng, nếu tỷ số giữa

v k
đối với một sóng hình sin l một biểu thức tơng quan phi tuyến

thì môi trờng truyền sóng l môi trờng tản mạn. Do đó,
phơng trình (4.8) hay dạng tơng đơng của nó phơng trình
(4.11), đợc gọi l quan hệ tản mạn (dispersion relation).
Từ phơng trình
Bernoulli tuyến tính hoá, áp suất động
(không có
gz

) bằng
kh
hzk
ge
kh
hzk
gAi
p
ikx
ch
ch
ch
ch )()( +
=
+
==

. (4.13)
Trờng vận
tốc sẽ l
ikx
e

kh
hzkgkA
u
ch
ch

)( +

=
, (4.14)
0=v (4.15)
ikx
e
kh
hzkigkA
w
ch
sh

)( +

= . (4.16)
Đối với vùng nớc rất sâu, 1>>kh :
ikxkz
eAeg
igkgkig
pwvu 0

= ,,,,),,,,( . (4.17)

11
v đối với vùng nớc rất nông, 1<<kh :
ikx
Aeg
gkig
pwvu 0, 0








= ,,,),,,,(
. (4.18)
Một số đặc điểm nổi bật của vùng nớc nông đáng đợc ghi
nhớ l: (1)
không còn sụ phụ thuộc vo
z
; (2) tốc độ thẳng đứng

có thể bỏ qua; (3) áp suất động bằng


g v áp suất ton phần
)( zgP


= l áp suất thuỷ tĩnh theo độ sâu dới mặt tự do.

Hình 4.1 Đờng cong tản mạn của sóng tiến
Cuối cùng, từ mục 1.2 ta đã biết rằng khi quy mô không
gian bằng k/1 thì điều kiện để tuyến tính hoá l 1<<kA . Ta
hãy kiểm tra giả thiết tuyến tính hoá một lần nữa bằng cách so
sánh thnh phần phi tuyến với thnh phần tuyến tính, cả hai
thnh phần ny đều đợc ớc lợng tại mặt tự do 0=z . Với kh
bất kỳ, từ (4.11) v (4.14) ta có
0=








z
tu
xuu
/
/

~
0=







z
uk
~
0=






z
C
u
=
kh
kA
th
với mọi
kh
.
Chú ý l 1<<kh , tỉ số trên trở thnh hA / . Vì vậy, trong vùng

nớc nông thì lý thuyết tuyến tính thực sự l một phép xấp xỉ rất
hạn chế.
1.5 Vận tốc nhóm sóng
Một trong số các khái niệm quan trọng nhất về các sóng tản
mạn l vận tốc nhóm sóng. Có hai quan điểm để hiểu rõ về ý
nghĩa của khái niệm đó.
1.5.1 Quan điểm động học
Giả sử có một nhóm các sóng dạng hình sin với các bớc
sóng biến đổi liên tục trong một khoảng hẹp gần
0
kk = . Li độ
của mặt tự do có thể biểu diễn bằng
1
0
0
0
<<

=

+


k
k
dkekA
kk
kk
tki
,)(

])([kx
, (5.1)
trong đó )(kA l phổ số són
g với

v k thoả mãn quan hệ tản
mạn
)(k


= . (5.2)
Bằng cách khai triển Taylor, ta viết
2
00000
0
)()()()]([ kk
dk
d
kkkkkk
k
+







+=+=
.

Nếu ký hiệu:
g
k
C
dk
d
dk
d
k
k
kk








=







==

0

0
00
0
0
),(, , (5.3)
đối với
)(kA đủ trơn v cho phép xấp xỉ thô, ta có:
{}





0
0
00
000

kk
kk
g
txki
dktCxikekA
/
/
)(
)]([exp)(

)()(
~

)(
)(sin
)(
txkitxki
g
g
eAe
tCx
tCxk
kA
0000
2
0

=


= , (5.4)

12
trong đó
)(
)(sin
)(
~
tCx
tCxk
kAA
g
g

=

2
0
. (5.5)
Do nhân tử
)]([exp txki
00


trong phơng trình (5.4),

có
thể xem nh một chuỗi sóng dạng sin xác định với biên độ A
~

biến thiên chậm. Đờng bao xác định bằng A
~
có dạng của nhóm
sóng đợc biểu diễn trên hình 5.1, nó di chuyển với tốc độ
g
C .
Do đó,
g
C đợc gọi l vận tốc nhóm. Vì có biến thiên biên độ,
khoảng cách giữa hai nút kế cận của đờng bao xấp xỉ bằng
k/ v lớn hơn nhiều so với bớc sóng của các sóng hợp phần
0

2 k/ .

Hình 5.1 Nhóm của các sóng có dải tần số hẹp
Với các sóng trên nền độ sâu không đổi, lấy vi phân quan hệ
tản mạn (4.8), ta có






+=






+

=

=
kh
khC
kh
kh
kdk
d
C

g
2 sh
2
1
22 sh
2
1
2
1
. (5.6)
Với vùng nớc sâu 1>>kh :
2/1
2
1
2
1







k
g
CC
g
(5.7)
v với vùng
nớc nông 1<<kh :

2/1
)(ghCC
g
. (5.8)
Do vận tốc pha lớn hơn vận tốc nhóm đối với các độ sâu
thông thờ
ng, các đỉnh sóng cá thể sẽ di chuyển từ sau cùng lên
hng đầu của nhóm.
Trong mục 2.4 sẽ chứng tỏ bằng một cách tổng quát hơn
rằng
g
C l tốc độ truyền của một đờng bao bất kỳ biến thiên
chậm v phơng trình (5.5) chỉ l một trờng hợp riêng.
1.5.2 Quan điểm động lực: Dòng năng lợng
Trớc hết ta tính năng lợng trung bình của một chuỗi sóng
tiến đồng nhất cho một đơn vị diện tích mặt tự do. Nếu ký hiệu
giá trị trung bình trong ton chu kỳ bằng dấu gạch ngang trên
đầu các đại lợng, ta có động năng cho ton cột chất lỏng bằng
[][ ]
{}
dzeweudztEK
h
titi
h

2

2
0
22

2





+



= )(Re)(Re)],([ xxxu
, (5.9)
ở đây với độ chính xác bậc hai
2
)(kAO cận trên của tích phân đợc
thay bằng
0=z , còn u có thể thay bằng xấp xỉ bởi bậc nhất các
phơng trình (4.14) v (4.16). Chú ý rằng đối với hai hm dạng sin
bất kỳ
ti
Aea

Re


= v
ti
Beb

Re

= ,
thì công thức sau đây l đúng:
)*(Re*)(Re BAABabdt
T
ab
T

1
2
1
2
1

0
===

, (5.10)
trong đó ( )
*
chỉ liên hợp phức. Việc chứng minh công thức ny
ginh cho bạn đọc nh l một bi tập. Với các phơng trình
(4.14), (4.16) v (5.10), phơng trình (5.9) trở thnh

13
=+++

=


0
22
2
2
shch
ch
1
4
h
dzhzkhzk
kh
Agk
EK )]()([
2
2
2
4
1
ch 2
2sh

4
Ag
khk
kh
Agk
=










=
, (5.11)
ở đây khi biến đổi đã sử dụng công thức
)( khkhd
kh
22 sh ch
0
4
1
2
+=

(5.12)
v quan hệ

tản mạn. Mặt khác, thế năng trong cột chất lỏng do
chuyển động sóng bằng
2
2
0
4
1
2
1

AggdzgzEP ===


(5.13)
vì
dzg

l trọng lợng của một lớp mỏng nằm ngang có độ cao
trên mực trung bình l
z . Năng lợng ton phần bằng
2

2
1
AgEPEKE =+=
. (5.14)
Lu ý rằng động năng v thế nă
ng bằng nhau; tính chất
ny đợc gọi l
sự phân đều năng lợng. Bây giờ xét một mặt

cắt đứng độ rộng đơn vị dọc theo đỉnh sóng. Tốc độ dòng năng
lợng (
rate of energy flux) qua mặt cắt ny bằng tốc độ trung
bình của công do áp suất động thực hiện (
rate of work), tức:
Tốc độ dòng năng lợng = Tốc độ công của áp suất =





=
0
x x
h
xt
h
dztutp ),(),( , (5.15)
biểu thức ny có thể tính đợc v ta có kết qu
ả l:
Tốc độ dòng năng lợng
=
g
EC
kh
kh
k
gA
2 sh
2

1
2
1

2
1
2












+

. (5.16)
Nh vậy
vận tốc nhóm có ý nghĩa động lực, đó l tốc độ vận
chuyển năng lợng sóng. Ngợc lại, vận tốc pha chỉ thuần tuý l
một đại lợng động học v không phải lúc no cũng liên quan
tới sự vận chuyển một thực thể động lực.
Với t cách một ứng dụng trực ti
ếp điều vừa trình by, ta
xét một máng nớc độ rộng đơn vị với các sóng dạng sin tạo ra ở

một đầu. Khi máy tạo sóng bắt đầu hoạt động, sẽ có nhiều chu
kỳ sóng đợc tạo ra, đờng bao sẽ đồng nhất ở mọi nơi ngoại trừ
vùng gần front sóng, giống nh trên hình 5.2. Vì dòng năng
lợng từ máy tạo sóng đi vo từ bên trái (tại
0=x ) l
g
EC , nên
tốc độ kéo di của vùng sóng phải l
g
C . Nh vậy front sóng
truyền đi với vận tốc nhóm. Chi tiết về sự tiến triển front sóng
sẽ xét trong mục 2.4.

Hình 5.2 Front đờng bao của một chuỗi sóng dạng sin
Bi tập 5.1
Xét một hệ chất lỏng gồm hai lớp phía trên một nền đáy
ngang. Phần chất lỏng nhẹ hơn ở phía trên có mật độ

, chất
lỏng nặng hơn ở phía dới có mật độ


. Lấy mặt tự do tại 0=z ,
mặt phân cách tại
hz = , đáy tại hz

= . Chứng minh rằng
sóng tiến dạng sin phải thoả mãn tơng quan tản mạn:

14

{}
{}
.)(
)(
0 cth cth
cth cth
2
2
=

+





+












hhkkh

gk
hhkkh
gk

Hãy khảo sát hai hi tơng ứng với hai nghiệm
2
1
v
2
2

đối với cùng một giá trị
k .
Chẳng hạn, khi

~h hãy chứng minh rằng
gk=
2
1
v
2
1
2
2
cth
<
+

=
kh
gk

v tỉ số biên
độ tại mặt phân cách so với mặt tự do l
kh
e

v
kh
e





tuần tự đối với hi thứ
nhất v hi thứ hai. Vẽ tốc độ nhóm nh
l hm của
k cho mỗi hi.
Bi tập 5.2:
Các sóng mao dẫn
Sức căng bề mặt tại mặt tự do sinh ra một hiệu áp suất
giữa áp suất khí quyển
a
P ở phía trên v áp suất nớc
P

ở dới.
Hiệu ny đợc xác định theo công thức Laplace (xem Landau v
Lifshitz, 1959, tr. 237):
)(
yyxxa
TPP

+

tại
0z
,
ở đây vế phải tỉ lệ với độ cong bề mặt v
T
l hệ số sức căng bề
mặt. Đối với mặt phân cách nớc
không khí ở 20
o
C, 74=T
dyn/cm trong hệ CGS. Hãy thiết lập các điều kiện biên tại mặt
tự do v nghiên cứu một sóng tiến phẳng trên nền nớc sâu:
)( tkxikz
ee

.
Chứng minh rằng

+=
3
2

Tk
gk

v chứng t
ỏ rằng tốc độ pha có một cực trị
m
C thoả mãn biểu thức








+=










+


=

m
mm
mm
k
k
k
k
C
C
2
1
2
1
2
2
,
trong đó
21
2
2
/

=

=
g
T
k
m
m
.
Các giá trị số của
m

v
m
C
đối với nớc v không khí
bằng bao nhiêu?
Nhận xét về sự biến thiên C
,

v
g
C theo k hoặc .



Chơng 2 - Sự truyền của các sóng ngắn trong
biển mở độ sâu không đổi

Những nhiễu động gây bởi các xung động hữu hạn về thời

gian nh động đất, trợt đất, cá
c vụ nổ , sinh ra các sóng xung.
Do quá trình phân tán, các sóng ny truyền trong nớc phức
tạp hơn nhiều so với các loại sóng khác trong tự nhiên. Để dễ
hiểu về các hệ quả vật lý của quá trình phân tán sóng, trong
chơng ny, ta sẽ xem xét các mô hình đơn giản về cơ chế
nguồn phát sinh, độ sâu đại dơng sao cho có thể phân tích đợc
chi tiết. Trong các mục 2.1 v 2.2, ta sẽ nghiên cứu bi toán gọi
l bi toán Cauchy
Poisson về các sóng do một số loại nguồn
có tính chất xung gây ra v đặc biệt tập trung phân tích diễn
biến sóng ở miền xa nguồn. Trong các mục 2.3 v 2.4 sẽ xem xét
về vai trò của sự phân tán đối với quá trình điều biến yếu các
nhóm sóng.