Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 4 potx

70
Nhằm mục đích tính toán với các trờng hợp thực tế: biến
thiên độ sâu v dòng chảy l tuỳ ý, Booij (1981) đã sử dụng lý
thuyết Lagrange để khái quát hoá phơng trình (5.7). Cả khúc
xạ v tán xạ đều đợc đa vo. Song, việc tính toán thực tế có
thể khá tốn kém v nên tiến hnh xấp xỉ hoá tiếp.




Chơng 4 - Sóng di biên độ nhỏ vô hạn
trên nền đáy biến đổi đáng kể

Khi sóng lan truyền vo vùng có độ sâu biến t
hiên đáng kể
trong khoảng bớc sóng, hiện tợng phân tán xuất tiện, trong
đó sự phản xạ trở thể hiện rõ. Lý thuyết tia đơn bỏ qua sự phản
xạ sẽ không phù hợp nữa. Trớc khi bn luận về sự phân tán
các sóng tản mát, ta khảo sát các bi toán tơng tự đối với các
sóng di trên vùng nớc nông trờng hợp quá trình phân tán
đợc xem l không quan trọng. Để đơn giản về phơng diện
toán học, ta chủ yếu đề cập tới trờng hợp độ sâu biến đổi không
liên tục. Một hiện tợng thú vị khi xét độ sâu biến đổi l hiện
tợng bẫy sóng, tức các sóng bị giữ lại ở một vùng no đó của
biển. Chủ đề ny đã thảo luận đối với các sóng ngắn ở chơng 3.
Các bi toán về bẫy sóng di ở những bãi biển thoải, những
vùng thềm lục địa v các dãy núi ngầm đại dơng sẽ đợc xét ở
đây bằng một số mô hình đơn giản nh l miền hình chữ nhật
v độ nghiêng bãi đồng nhất, v.v Ngoi ra, ở đây cũng sẽ
nghiên cứu một số khía cạnh về ma trận phân tán. Vì chỉ có thể

giải đợc bằng giải tích theo phơng pháp đại số cho một số ít ỏi
trờng hợp biến thiên độ sâu liên tục, nên các phơng pháp gần
đúng, hay phơng pháp số, sẽ rất cần thiết v sẽ đợc xem xét ở
cuối của chơng ny.
4.1 Xây dựng lý thuyết sóng di tuyến tính hoá
4.1.1 Các phơng trình
mô tả
Trong mục 1.4 ta đã thấy rằng, với các sóng nhỏ vô hạn trên
nền sâu không đổi, thì chuyển động của nớc trong sóng di chủ
yếu diễn ra trong phơng ngang, tức sự biến đổi trong thẳng
đứng yếu v áp suất l thuỷ tĩnh. Nhận xét ny đã đợc k
hẳng
định lại trong mục 3.6 khi rút ra các phơng trình phi tuyến
cho các dòng chảy qui mô lớn, tức chính l các sóng di biên độ
hữu hạn. Vậy chuyển động sóng di l chuyển động gần đúng
hai chiều.
Tuyến tính hoá các phơng trình (6
.11) v (6.12), chơng 3,
đối với các sóng biên độ nhỏ vô hạn
1<<

h
(1.1)
v đổi các
ký hiệu từ U thnh u , từ thnh

, ta có phơng
trình bảo ton khối lợng
0

=+



)( uh
t
, (1.2)
v phơng trình bảo ton động lợng
=


g
t


u
. (1.3)
áp suất tổng l áp suất thuỷ tĩnh
)( zgP


= . (1.4)
Loại
u từ phơng trình (1.2) v phơng trình (1.3), ta đợc

71
2
2
t

hg


= )(
. (1.5)
Đây l một phơng trình đạo hm
riêng dạng hyperbolic với các
hệ số biến đổi.
Nếu các sóng có dạng sin theo thời gian với tần số góc

, ta
có thể tách riêng các phần phụ thuộc không gian v thời gian
thnh
ti
eyx

= ),( ,
ti
eyxtyx

),(),,( uu . (1.6)
Từ các phơng trình (
1.2) v (1.3), các nhân tố không gian liên
quan với
)( uhi = , (1.7)


=
ig
u (1.8)

v
0
2
=

+
g
h )( . (1.9)
Với độ sâu không đổi (
const=h ), phơng trình (1.5) trở
thnh phơng trình sóng cổ điển:
2
2
2
1
t
gh


=
, (1.10)
trong khi phơng trình (1.9) trở thnh phơng trình Helmholtz:
21
22
0
/
)(
,
gh
kk

==+ . (1.11)
Nếu biên bên l tờng thẳng đứng, thì
điều kiện biên phải
l dòng năng lợng pháp tuyến bằng không. Từ phơng trình
(1.8) rút ra
0


=



n
hoặc 0


=



n
, (1.12)
có nghĩa rằng độ cao mặt tự do có thể l cực đại hoặc cực tiểu.
Nếu biên l một bãi biển nghiêng tơng đối v nếu sóng không
quá dốc đến mức có thể đổ (xem mục 10.5), thì phơng trình
(1.12) có thể biến đổi thnh
0
0
=

nuh
h
lim hoặc 0


0
=




n
h
h
lim . (1.13)
Mặt khác, điều kiện biên dọc theo đê chắn sóng lởm chởm
hoặc dọc theo một bã
i biển thoải có sóng đổ thì khó có thể xác
định, vì sự tiêu tán năng lợng trên các biên ny l một quá
trình phi tuyến khó mô tả bằng toán học.
Cuối cùng, phải xác định một điều kiện biên thích hợp tại
vô cực.
Để diễn đạt luận chứng luận lý trên, ta tiến hnh dẫn lập
các phơng trình (1.1) v (1.4) một cách chí
nh thức hơn, bằng
cách vận dụng lý thuyết tuyến tính hoá tổng quát cho trờng
hợp sóng di. Những lập luận ở đây thuân theo Friedrichs
(1948) đối với các sóng di phi tuyến v một phần nh trong
mục 3.1. Ta sẽ quy chuẩn tất cả các biến theo các qui mô đã biết

trớc dựa trên các căn cứ vật lý:
[]
,)(,,)(
,,),,(),(
//
=

=

=

=

=

=

21
0
00
21
0
00
1


gh
h
A
kA

tghkt
h
h
h
h
z
zyxkyx
(1.14)
trong đó
kgh
21
0
/
)(~ . Việc quy chuẩn đối với t v tuân theo
phơng trình (2.2), chơng 1. Các phơng trình phi thứ nguyên
quả sẽ đúng nh các phơng trình (1.3)(1.5) ở chơng 3, nếu ta
thay tất cả các dấu gạch trên bằng dấu '. Để cho ngắn gọn, từ
đây trở đi ta sẽ bỏ các dấu phảy trên trong các phơng trình.

72
Giả sử ta có chuỗi
+++=
4
4
2
2
0
(1.15)
Tại bậc
)(

0
ta có
0 0
2
0
2

<<=


zh
z
, , (1.16)
hz
z
==


0 0


0
,, , (1.17)
sao cho
),,( tyx
00
= . Tại bậc
)(
2

ta có
0
0
2
2
2
2

<<=


zh
z
, , (1.18)
0
2
0
2
2



=


=


z
t

z
, , (1.19)
hzh
z
==



0
2



, , (1.20)
áp dụng công thức Green (phơn
g trình 4.11, chơng 2) với
0

v
2

sẽ cho điều kiện khả giải với
2


2
0
2
0

t
h


= )(
. (1.21)
Nếu các biến tự nhiên đợc k
hôi phục v phơng trình
Bernoulli tuyến tính hoá
t
g =

đợc sử dụng, thì phơng
trình (1.21) dẫn đến phơng trình (1.5).
4.1.2 Các sóng tựa một chiều trong kênh di tiết diện ngang
biến thiên chậm
Đối với một kênh di, tiết diện ngang hình chữ nhật, chiều
rộng kênh nhỏ hơn nhiều so với quy mô di phơng dọc, thì biến
thiên theo phơng ngang nhỏ hơn nhiều so với biến thiên theo
chiều dọc. Xét theo kinh nghiệm ta thấy điều ny l đúng, vì các
điều kiện biên dòng pháp tuyến bằng không tại các bờ của kênh
hẹp có nghĩa rằng sự biến đổi phơng ngang của

có thể bỏ
qua ở mọi nơi. Chuyển động có thể mô tả bằng phơng trình
một chiều; cách thiết lập luận lý sẽ trình by dới đây.
Giả sử
x
l trục dọc v y l trục ngang, )(xb l độ rộng v

),( yxh l độ sâu. Giả sử )(xay
1
= v )(xa
2
l các bờ, khi đó
,
12
aab = diện tích

=
2
1
a
a
hdyA . (1.22)
Tích phân phơng trình
liên tục (1.2) từ bờ ny đến bờ kia v lợi
dụng công thức Leibniz, ta có
0
2
1



2
1


2
1

=














+


+


=
=

ay
ay
a

a
a
a
x
a
uvhyduh
x
yd
t
.
Các số hạng tích phân triệt tiêu dọc theo cả hai bờ, do đó
0
1


=


+



x
Au
bt
. (1.23)
Khi bỏ qua những biến thiên phơng ngang của

v u , thì
phơng trình động lợng dạng gần đúng sẽ l

x
g
t
u







=


. (1.24)
Kết hợp các phơng trì
nh (1.23) v (1.24), ta có
0
2
2




=

t
g
b
x
A
x
. (1.25)
Với các sóng dạng sin
ti
e





= , phơng trình mô tả sẽ l
0
2



=

+










g
b
x
A
x
; (1.26)
đây l một kiểu phơng trình lo
ại SturmLiouville quen biết.
Phải nhấn mạnh rằng từ giờ trở đi bớc sóng v kích thớc dọc
của kênh đợc xem nh cùng bậc.

73
Bi tập 1.1:
Sử dụng phơng pháp Friedrich để rút ra phơng trình
(1.25) bằng phép phân tích nhiễu.
4.1.3 Nhận xét thêm về điều kiện phát xạ
Theo mục 2.4, với các bi toán sóng dạng sin ổn định, thì
phải đặt điều kiện biên phát xạ: các sóng gây bởi những nhiễu

địa phơng đợc lan ra ngoi. Một cách tiếp cận tơng đơng
khác: đó l xuất phát từ bi toán giá trị ban đầu v xem trạng
thái ổn định l trạng thái giới hạn khi
t . Một cách lựa chọn
khác: đó l duy trì theo cách dẫn lập với trạng thái ổn định,
nhng yêu cầu một sự tiêu giảm nho nhỏ, sự tiêu giảm ny có
thể l thực hay l nhân tạo, v sau đó đòi hỏi nghiệm điều ho
đơn phải triệt tiêu ở vô cùng. Khi sự tiêu giảm đợc phép giảm
đi ở cuối, thì kết quả cuối cùng sẽ thoả mãn điều kiện phát xạ.
Tính nhân tạo của tiêu giảm nhân tạo l ý tởng của Rayleigh.
Trong nớc nông,
ngời ta có thể tởng tợng ma sát đáy l
nguồn tiêu giảm tự nhiên. Giả sử lực ma sát đợc diễn tả bằng
u 2 , một hệ số dơng giá trị bé. Phơng trình động lợng sẽ
nh sau
u
u
2


=


g
t
, (1.27)
phơng trì
nh ny có thể kết hợp với phơng trình liên tục (1.2) cho
2
2

2
t
t
hg


=



, (1.28)
Đối với chuyển động điều ho đơn, phơng trình (1.28) trở thnh
02
2
=++ )( ihg
, (1.29)
hay có thể viết lại thnh

0
2
=++ )( ihg (1.30)
với
nhỏ. Điều kiện biên tại vô cùng l

phải có hạn. Vậy
trạng thái ổn định cuối cùng sẽ l giới hạn của nghiệm tại

0 .
Thay vì cách tiếp cận vật lý hoặc giả vật lý về đa ra sự tiêu
giảm, con đờng toán học tơng đơng l phát biểu rằng
thoả
mãn
0
2
=

+ hg , (1.31)
ở đây


l số phức với phần ảo nhỏ, dơng.
Để thấy ý nghĩa của tiêu giảm hay số phức


, ta xét quá
trình phân tán một chiều gần một vật cản. Trong các vùng độ
sâu
h không đổi, sóng phân tán bằng
xki
e

hoặc
xki
e

ở đây
21

/
)(

+=

hgikk , (1.32)
21

/
)(

= hgk . Muốn nghiệm giới hạn khi x , phải loại bỏ
xki
e


. Trong giới hạn của 0 , nhiễu trở thnh
S

xik
e
, xk . (1.33)
điều ny có
nghĩa l các sóng đi ra. Nh vậy giá trị phức


chỉ

điều kiện phát xạ. Dễ dng kiểm tra đợc rằng điều kiện phát
xạ có thể diễn tả nh sau











0 xkki
x
S
, . (1.34)
Trong sự phân tán hai chiều gây ra do các vật cản, nghiệm
trong vùng
biển độ sâu không đổi có thể xây dựng bằng tổng của
các số hạng dới đây:








)(

)(
)(
)(
rkH
rkH
n
n
2
1









n
n


cos
sin
.
Do biến thiên bất đối xứng của các hm Hankel

74

)(
)(
)(
)(
rkH
rkH
n
n
2
1

24
2



21
n
rki
rk
exp
/
, (1.35)
)(2
n
H phải đợc loại bỏ khi
k

phức với phần thực dơng. Tại giới
hạn

0 , nghiệm tổng quát của các sóng phân tán có thể viết
nh sau:
)()sincos(
)(
krHnn
nn
n
n
S
1
0
+=


=
. (1.36)
Với
S
kr >> 1, biến thiên nh
[]








+

4
21
2
2

/
/
/
)sincos((
iikrin
nn
S
e
kr
enn
4
21
2

/
/
)(

iikr
e
kr
A , (1.37)
đây lại l m
ột sóng đi ra. Vì vậy, phơng trình (1.37) l điều
kiện phát xạ cho sự phân tán hai chiều gây bởi các vật cản hữu
hạn. Một cách khác, điều kiện ny có thể biểu diễn tả bằng
1 0


21
>>









rkki
r
rk
S
,)(
/

. (1.38)
Ta phải nhấn mạnh ngay rằng phơng trìn
h (1.38) mạnh hơn
nhiều so với yêu cầu
0
S
tại vô cùng.
Những nhận xét trên đây gợi ra một thủ tục quy tắc giản để
xây dựn
g các nghiệm biến thiên thời gian từ các nghiệm điều
ho đơn. Nếu nhiễu bắt đầu sinh ra tại một thời điểm hữu hạn,
thì
0

khi t . Với quá trình tiêu giảm, ta cũng kỳ vọng
rằng
0

khi +t . Vậy có thể vận dụng phép biến đổi
Fourier
dtet
ti





=
2
1

),(x . (1.39)
Biến đổi của phơng trình (1.28) chính l phơng trình (1
.29) v
bi toán giá trị biên đúng l bi toán về nhiễu điều ho tiêu
giảm
),(



x . Do đó, nhiễu biến thiên có thể nhận đợc bằng
phép biến đổi ngợc:


=




det
ti


),(),( xx , (1.40)
đây l tổng
cộng tuyến tính của các nghiệm điều ho đơn bị tiêu
giảm. Vì
+

=

i
, phơng trình (1.40) có thể viết lại thnh
=

=







deet
tit


),(),( xx




=



+
+

dee
ti
i
i
t
),(x . (1.41)
Nghiệm không nhớt đơn giản l
giới hạn của 0 , nếu quan
niệm rằng tích phân Fourier trong phơng trình (1.41) thực
hiện dọc theo một đờng ở bên trên một chút so với trục thực
x

trong mặt phẳng phức


. Bây giờ vì mục đích cuối cùng đã đạt
đợc, ta có thể quên đi tính nhân tạo của sự tiêu giảm v đơn
giản nói rằng
) x, t(

l tích phân Fourier của nghiệm điều ho
đơn thoả mãn điều kiện phát xạ
=




det
ti
),(),( xx , (1.42)

trong đó đờ
ng lấy tích phân phải ở phía trên trục thực

một chút.
Các ý tởng trong phụ mục ny có thể khái quát hoá c
ho
trờng hợp ba chiều với
kh tuỳ ý.
4.2 Độ sâu gián đoạn sóng tới vuông góc
4.2.1. Nghiệm
Xét đại dơng đơn giản độ sâu biến thiên gián đoạn: tại
0=x ,
1
hh = tại 0<x v
2
hh = tại 0>x ,
21
hh , các hằng số. Hai

75
sóng tới tần số

đến từ
x
~

. Từ mỗi chuỗi sóng đó, có một
phần năng lợng đợc truyền qua chỗ gián đoạn độ sâu v một
phần bị phản xạ trở lại, tạo thnh các sóng phân tán truyền ra
xa từ chỗ gián đoạn ny. Vấn đề l phải tìm các sóng truyền qua

v các sóng phản xạ.
Sóng trên hai phía của
0=x thoả mãn
0


=


+



)(hu
xt
(2.1)
v
0




=



+


x

g
t
u
, (2.2)
trong đó
),(
21
=
,
),(
21
uuu =
, v
),(
21
hhh =
tuần tự tại 0<x
v
0>x . Bây giờ ta phải tìm các điều kiện tơng hợp tại 0=x .
Để lập luận chu đáo hơn, bây giờ ta giả sử các phơng trình
(2.1) v (2.2) l đúng ngay cả khi qua điểm gián đoạn độ sâu v
có thể tích phân đợc theo
x
từ = 0x

đến += 0x . Vì khoảng
lấy tích phân l vô cùng bé v
t

/ v

tu /
l hữu hạn, nên
các số hạng đầu của các phơng trình (2.1) v (2.2) không đóng
góp vo kết quả, do đó
+
=
0 0
2211

xx
uhuh ,limlim
(2.3)
+
=
0 0
21
, lim lim
xx


(2.4)
Những điều kiện ny
(Lamb, 1932) liên hệ

v dòng uh qua
điểm gián đoạn độ sâu.
Đối với chuyển động điều ho đơn, ta sử dụng phơng trì
nh
(1.9) sao cho các thừa số không gian thoả mãn phơng trình
,,, 2 1 0

2
2
2

==+

mk
xd
d
mm
m
(2.5)
với
21 /
)(
m
m
gh
k

= . (2.6)
Thừa số không gian của vận tốc đợc cho bằng
xd
d
gi
u
m
m

=
. (2.7)
Các điều kiện tơng hợp tại điểm nối l
21
= , (2.8a)
x
h
x
h




2
2
1
1


=


. (2.8b)
Để kết thúc việc thiết lập công thức, ta phải bổ sung thêm
điều k
iện phát xạ: nhiễu gây ra bởi sóng tới chỉ có thể đi ra
ngoi. Vậy nếu chỉ có một sóng tới từ phía trái (hoặc từ phía

phải), thì các sóng ở phía phải (trái) phải l sóng chỉ chạy sang
phải (hoặc sang trái). Một cách tổng quát hơn, ta giả sử rằng có
các sóng tới đến từ cả hai phía của vô cùng
xki
eA

1

v
xki
eB

2

+
.
Nghiệm tổng quát sẽ có dạng sau:
xikxik
eBeA
11
1


+= với
0<x
(2.9)
v
xkixki
eAeB

2
11
+

+
+= với 0>x . (2.10)
Các biên độ của những sóng tới

A v
+
B l biết trớc v các
biên độ của các sóng phân tán
+
A v

B sẽ phải tìm thấy. áp
dụng các điều kiện xứng hợp (2.8a) v (2.8b), ta thu đợc
++
+=+ BABA ,
)()(
++
+= ABhkBAhk
2211

từ các biểu thức ny có
thể giải ra
2211
222211
2
hkhk

BhkAhkhk
B
+
+
=
+

)(
, (2.11)

76
2211
221111
2
hkhk
BhkhkAhk
A
+

=
+
+
)(
. (2.12)
Các kết quả có thể viết gọn hơn dới dạng ma trận nh sau
{}
[]
{}
IS
ASA = (2.13)

với
{} {}






=






=

+
+

B
A
A
B
A
A
SI
, , (2.14)
v
[]

=








=

222211
221111
1
2211
2
2
hkhkhk
hkhkhk
hkhkS
)(
)(







=

21
21
TR
RT
. (2.15)
Ma trận
[]
S đợc gọi l ma trận phân tán.
Để hiểu ý nghĩa của
121
RTT ,, v
2
R , hãy giả sử sóng chỉ tới
từ phía trái, sao cho
0

A
v
0=
+
B
. Rõ rng rằng
2211
11
1
2
hkhk
hk
T
A

A
+
==

+
, (2.16a)
2211
2211
1
hkhk
hkhk
R
A
B
+

==


. (2.16a)
Nh vậy,

1
T
v
1
R
có thể đợc định nghĩa tuần tự l hệ số
truyền qua v hệ số phản xạ khi sóng tới xuất phát phía
1

hh = .
2
T v
2
R đợc định nghĩa tơng tự cho sóng đến từ phía
2
h . Do
21 /
)/( ghhk
mmm
= , ta có
21
12
21
2
21
1
21
1
1
1
2
2
///
/
)/()()(
)(
hhhh
h
T

+
=
+
=
, (2.17a)
21
12
21
12
21
2
21
1
21
2
21
1
1
1
1
/
/
//
//
)/(
)/(
)()(
)()(
hh
hh

hh
hh
R
+

=
+

=
. (2.17b)
Biến thiên của
1
T v
1
R theo tỉ số độ sâu thể hiện trên hình 2.1.
Chú ý rằng pha của sóng phản xạ không thay đổi khi sóng tới
đến từ phía sâu hơn, nhng nó lệch pha bằng
khi sóng tới
đến từ phía nông hơn. Việc chứng minh rằng năng lợng do các
sóng phân tán (phản xạ v truyền qua) truyền tải bằng năng
lợng do sóng tới chuyển tải sẽ ginh cho bạn đọc nh l một
bi tập. Đối với vùng thềm rất nông,
1
12
<<hh / , thì

=
21
1
2
1
1 2
/
h
h
T

21
1
2
1
21
/

=
h
h
R
. (2.18)

Hình 2.1 Các hệ số truyền qua
1
T v phản xạ
1
R vùng
độ sâu gián đoạn, hớng sóng tới vuông góc
Hệ số phản xạ 1
1
R , thnh thử tổng các sóng tới v sóng
phản xạ trên thực tế lm thnh một sóng đứng với một điểm
bụng có biên độ
I
A
2 tại 0=x . Phải nhận xét rằng các hiệu ứng
phi tuyến từ trớc đến giờ bị bỏ qua, ở đây nó có thể trở nên rất
quan trọng đối với trờng hợp
2
h

đủ nhỏ. Mặc dù biên độ sóng
truyền qua tăng lên hai lần so với biên độ sóng tới do giảm độ sâu
2
h , nhng chỉ có một phần năng lợng rất nhỏ xuyên qua đợc vì
tốc độ dòng năng lợng l
21
2
2
1
/
)(hCT
g
. Trong trờng hợp đặc

77
biệt, 1
12
>>hh / hệ số phản xạ 1
1
=R , tức hệ thống sóng tổng
cộng trong phần
0<x cũng l một sóng đứng nhng với điểm nút
tại
0=x .
Bi tập 2.1
Xét một thềm có độ sâu
1
h trong vùng
1
xx < nối với đại

dơng có độ sâu lớn hơn
2
h
trong vùng
2
xx >
. Tại vùng chuyển
tiếp
21
xxx << , độ sâu đợc cho bằng
2
axh = , với
2
11
axh =
,
2
22
axh = v
112
hxx > hoặc
2
h . Giả sử một chuỗi sóng chu kỳ
di l sóng tới trực diện từ phía đại dơng. Hãy chứng minh
rằng các hệ số phân tán l

=
21 /
ib
T

v
[]











=
212
2
1
2
sh
/
)/(exp
ln
gai
b
iR
,
trong đó
2
1

21
2
41
x
x
ga
b =









= ,
/
,
v









+

=
1
2
b
ch
1
2
b
sh2
21
2
lnln

/
ib
ga
.
Vẽ các kết quả v k
hảo sát các hiệu ứng của ga/
2
v


(Kajiura, 1961).
4.2.2 Hiệu chỉnh các điều kiện tơng hợp tại điểm nối
Mặc dù các điều kiện tơng hợp phơng trình (2.8a) v
(2.8b) l hợp lý về mặt linh nghiệm, chúng đã đợc rút ra trên
cơ sở các phơng trình (2.1) v (2.2), m các phơng trình ny
chỉ có hiệu lực khi các chuyển động thẳng đứng không đáng kể
so với chuyển động ngang v khi
x / nhỏ. Tuy nhiên, những
giả thiết ny sẽ không còn đúng ở lân cận điểm bậc thềm. Vậy
lý thuyết của ta ở mục 4.2.1 có còn đúng hay không? Câu hỏi
ny l chủ đề bi báo của Bartholomeuz (1958), ông đã xuất
phát từ bi toán với
kh tuỳ ý v chứng minh chặt chẽ rằng các
kết quả của mục trớc l giới hạn tiệm cận chính xác của
0
mm
hk . Lập luận của ông rất di v gồm một số phép toán rất
phức tạp. Dới đây, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách dẫn giải
đơn giản hơn thông qua phơng pháp tiệm cận tơng hợp,
phơng pháp ny l một phiên bản đầy đủ hơn của phép xấp xỉ

lớp biên ở mục 3.3.3 v đã đợc Ogilvie (1960), Tuck (1975) v
một số nh khoa học khác sử dụng rất hiệu nghiệm trong nhiều
bi toán về sóng di.
Trớc tiên, ta chia miền tự nhiên
thnh vùng gần v vùng
xa theo qui mô ngự trị ở mỗi vùng. Thí dụ, qui mô độ di ở phía
sóng tới ở cách xa điểm nối l bớc sóng
1
1 k/ , vậy phơng trình
)Re(
xkixki
eA

1
11

+= (2.19)
mô tả chính xác các sóng. Vùng ny có bậc
đại lợng )(
1
1

k l
một vùng xa. Dới mắt của ngời quan sát ở vùng xa thì miền
lân cận điểm độ sâu gián đoạn nhỏ đến mức chỉ một số ít các số
hạng khai triển Taylor phơng trình (2.19) đã đủ để xấp xỉ mặt
tự do ở đó; vậy
0 11
1
2

111
+++= xkxkxkiRRA )(])([
. (2.20)
Với một ngời quan sát tơng tự k
hác ở phía truyền qua của
vùng xa thì sóng đợc mô tả bằng phơng trình
xki
ATe

2
2
= , (2.21)
phơng trình ny có xu
thế trở thnh
2
222
1 )()( xkxkiAT ++= (2.22)

78
trong vùng lân cận của gián đoạn độ sâu. Đối với vùng nớc
nông, phơng trình Bernoulli cho



=
ig
,
do đó
0 11
11

xa
1
++


xkxikRRA
ig
],)()[( , (2.23)
0 1
22
xa
2
+


xkxikAT
ig
),(
. (2.24)
Bây giờ miền lân cận điểm gián đoạn cấu thnh một vùng
gần có
chuyển động hai chiều v kích thớc đặc trng l độ sâu
địa phơng
h
(
1
h hoặc
2
h ). Phơng trình chuyển động v điều
kiện biên tại điểm gián đoạn) l

0
2
2
2
2

=


+


zx
, (2.25)
0


=



n
. (2.26)
Mặc dù điều kiện biên tuyến tính hoá chính xác tại mặt tự do l
0
2


=

gz
, (2.27)
hai số hạng trên đây có tơng quan tỉ lệ l
)(
)/(
/
22
2
2


hk
g
h
z
g
=









=

.
Do đó điều kiện (2.27) l một xấp xỉ
0
z
(2.28)
với sai số
2
)(kh
. Về vật lý, phơng trình (2.28) ám chỉ rằng ngời
quan sát ở vùng gần đã không chú ý đến các sóng kích thớc di
v nhìn thấy, tại mọi thời điểm, một dòng chảy đi qua một kênh
nối với điểm gián đoạn nh trên hình 2.2. Nghiệm hình thức
của bi toán dòng chảy thế đơn giản hoá ny, về nguyên tắc, có
thể nhận đợc bằng cách vẽ bản đồ đồng dạng hay những
phơng tiện khác.
Cho đến giờ, các nghiệm vùng gần v vùng
xa chứa các hệ
số cha đợc xác định. Bớc tiếp theo của phơng pháp tiệm
cận tơng hợp đòi hỏi các nghiệm ny đợc nối trơn trên các
vùng trung gian, ở rất gần với điểm nối theo ngòi quan sát ở
vùng xa nhng ở rất xa điểm nối theo ngòi quan sát ở vùng
gần; nói cách khác
2
1

1

gần
xa
)(
/
kh
hxkx
+=
>><<
. (2.29)
Trớc khi thực hiện tơng hợp, ta viết ra biểu thức xấp
xỉ
vùng xa
gần

:
1
1

gần
h
x
xUhDUC ,+=

(2.30)
22
1
1

h
x

x
h
h
UhDUC ,++=
+
đặc biệt chú ý rằng, các hằng số cộng tại
x
~ khác nhau một
lợng
1
2 hDU ; thực tế,
D
liên quan đến hằng số cha biết U . Do
tính liên tục, tại
x
bất kỳ ta có
),( hx
x
h
zd
x
zd
x
hU
hh

=


=









00
1
,
biểu thức ny,
sau khi lấy tích phân từ
1
x
đến
2
x
với
11
hx /
v
1
22

>>hx / , sẽ cho




+=








2
1




2
1

121
0
x
x
x
x
h

xdhx
x
h
xxhUzd ),()( . (2.31)
Vì phơng trình (2.30)
áp dụng tại
1
x
v
2
x
, vế trái của phơng
trình (2.31) có thể viết lại

79
)()()(
12121112
xxhUhhhDUhhC +++ ,
trong khi vế phải của phơng trình (2.31) l






++ xdChx
x
h
hhCxxhU

12121
]),([)()( .
Thế các biểu thức ny vo phơng trình (2.31), ta đợc







+
=
121





1
hU
Chx
x
h
xd
hh
D
),(
. (2.32)

Vì
C

phải có bậc l
1
hU
,
D
l một số phi thứ nguyên có bậc
đơn vị v chỉ phụ thuộc vo hình học của vùng gần. Giá trị
tờng minh của
D
có thể thu đợc cho trờng hợp miền gián
đoạn độ sâu hình chữ nhật nh ở mục 4.2.3.

Hình 2.2 Vùng gần của một
thềm gián đoạn độ sâu
Giả sử rằng vùng gần v do đó
D
đợc biết trớc theo
C
v
U
, ta đi thực hiện so sánh các phơng trình (2.23) v (2.24) với
phơng trình (2.30). Bằng cách cho bằng nhau các hệ số của các
số hạng chứa cùng luỹ thừa của
x
, ta đợc:
)( R
Aig

DhUC +

= 1


1
,
1


1 ikR
Aig
U )(

= ,
T
Aig
DhUC

=+


1
,
2
2
1


kiT

Aig
h
h
U

= .
Các phơng trình ny có thể giải
đối với UTR ,, v
C
; các kết
quả l:
11
11
21
21
hiDks
hiDks
R
+
+
=
, (2.33)
11
21
2
hiDks
s
T
+
=

, (2.34)
11
221
21
2
hiDks
s
hik
igA
Uh
+
=
(2.35)
v
11
11
21
2
hiDks
hiDks
igA
C
+


=
. (2.36)
trong đó
22
11

hk
hk
s
. (2.37)
Vì
D
l số thực v có bậc đơn vị (xem phơng trình (2.32)), nó
chỉ tác động đến pha của
UTR , , v
C
, nhng có thể đợc bỏ
qua do độ lớn của chúng, với sai số bậc
2
)(kh . Kết luận ny
phù hợp với Bartholomeuz (1958) v đã đợc Tuck (1976) rút ra
theo cách ny. Nh vậy, những đòi hỏi đơn giản của phơng
trình (2.8) đã đợc đáp ứng.
4.2.3 Vùng gần trong miền gián đoạn hình chữ nhật
Nói chung, vùng gần của phần chuyển tiếp thô phải đợc
giải bằng số nh bi toán kinh điển về dòng thế ổn định. Đối với
một miền gián đoạn hình chữ nhật, nghiệm có thể nhận đợc
bằng phơng pháp giải tích nhờ lý thuyết các hm phức (xem
MilneThomson, 1967). Ta đa ra biến phức
yj
x
z
+=
v thế
vận tốc phức
)(zW với

)(Re),( zWyx
j
=
. Chú ý rằng đơn vị ảo
đợc ký hiệu bằng
j nhằm phân biệt với đơn vị i đợc dùng để
chỉ biến thiên thời gian. Mặc dù cả
i v
j
l
21
1
/
)(
, nhng mỗi

80
một đại lợng phải đợc coi l số thực so với đại lợng kia khi
chúng cùng xuất hiện. Chẳng hạn, thế vận tốc thực đợc trình
diễn bằng
,sincos
)(ReRe
)(ReRe
)(ReRe),,(
tt
iee
je
ezWtyx
ti
i

ti
i
j
ti
i
ti
ji
+=
=+==
=+=
==



21
21




ở đây
1
v
2
l thực theo cả i v
j
.
Đờng
vật lý trong mặt
z

có thể đợc vẽ vo nửa phía trên
của mặt

nh trên hình 2.3, theo công thức của Schwarz
Christoffel
21
2
1



/











=

c
Kzd
(2.38)
Rõ rằng rằng, thế phức

+

= jW l một nguồn lực
1
hU
tại gốc
của mặt


const
1

+

= ln
hU
W
. (2.39)
Để ấn định
K
v
2
c ta chú ý rằng vận tốc phức l
21
2
1
1

/











=

=
c
K
hU
d
zd
d
dW
zd
Wd
.
Vì

~ ở gần A ,

211
hhUKhUzdWd /// = ; do đó

2
h
K
= .
Gần
B
, 0~

v UKchUzdWd =
1
// ; do đó
1
2
h
h
c =
.

Hình 2.3 Phác hoạ đờng vật lý trong mặt
z
trong nửa trên của mặt


Để tích phân phơng trình (2.38), ta đa ra một mặt t bằng
phơng trình
1
2

22


=
t
ct
. (2.40a)
hay
21
2
1
/










=
c
t
, (2.40b)
biểu thức ny sắp đặt nửa trên mặt

vo cung phần t thứ
nhất của

t nh trên hình 2.3. Lấy đạo hm loga phơng trình
(2.40) v kết hợp với phơng trình (2.38), ta có thể tích phân
z

theo
t , với kết quả l






+


+


=+
1
11
2
1
t
t
ct
ct
c
h
jhz

lnln , (2.41)
trong đó hằng số
1
jh đợc chọn sao cho các hình ảnh của điểm
C xuất hiện trong cả mặt
z
v
t
.

81
Bây giờ đặt phơng trình (2.40a) vo trong phơng trình
(2.39), ta có
1
ln
2
22
1


=
t
ct
Uh
W

. (2.42)
Đối với một
t
cho trớc trong góc phần t thứ nhất, ta có thể

tìm
z
từ phơng trình (2.41) v W tơng ứng từ phơng trình
(2.42). Bây giờ việc giải nghiệm ở vùng gần hon thnh.
Các phép xấp xỉ tiệm cận ở các lân cận của
A v
B
l cần
thiết. Giả sử
t
tiếp cận điểm
B
từ phía trái, 0 ct , khi đó






+




1
1
2
11

2

1
c
c
c
c
ct
c
h
hjz
lnln)(ln
,
v








+


1
2
2
1


c

c
ct
hU
W
ln)(ln .
Sau khi loại
)(ln ct ta có







+
+

++

+
1
2
1
1
2
2
1


c

c
c
c
cj
hU
zUW
lnlnln . (2.43)
Giả sử
t tiếp cận
A
từ phía phải, khi đó






+






+
+


+ 21
1

11

2
1
ln)(lnln tj
c
c
c
h
hjz ,
v
[]
)(lnln)(ln 121

2
1
+

tjc
hU
W .
Loại
)(ln t1 , ta đợc






+

+

+
1
11
221


2
1
2
1
c
c
c
jc
hU
h
zhU
W
lnln)(ln . (2.44)
Bây giờ ta có thể trừ các hằng số thêm của các phơng trình
(2.43) v (2.44) để có

++

=
1
4
2
1
111
2
2
2

c
c
c
c
c
c
D
lnln ; (2.45)
đây l phơng trình do Tuck (1976) nhận đợc v nó
khẳng
định ớc lợng bậc
D
ở mục 4.2.2.
4.3 Độ sâu gián đoạn - sóng tới xiên
Xét một chuỗi sóng phẳng đi tới dới một góc

1
so với
đờng gián đoạn độ sâu (hình 3.1). Giả sử trục
y trùng với
đờng gián đoạn v trục
x
vuông góc với trục y . Các độ sâu ở
hai phía l
1
h
, 0<x v
2
h
, 0>x , một cách tổng quát
21
hh
.
Giả sử các sóng đi tới từ phía

x

)( yxi
I
Ae
+
=
1
sao cho
2
1

22
1
k=+
. (3.1)
Vectơ số sóng của sóng tới nghiêng một góc
)/(
1
1
1
tg =

(3.2)
so với trục
x
. Các nghiệm có thể có dạng nh sau:
0
2
1
22
11
11
<=++=


xkeeA
yi
xixi
,,)Re( , (3.3)
0
2

2
22
22
2
>=+=
+
xkATe
yxi
,,
)(
, (3.4)
sao cho ở phía trái có một sóng phản xạ hớng sang trái
v ở
phía phải có một sóng truyền qua hớng sang phải. Các hệ số
phản xạ v truyền qua
R v
T
phải đợc xác định bằng cách
lm tơng hợp độ cao mặt nớc v dòng khối lợng tại điểm
0=x
. Thế các phơng trình (3.3) v (3.4) vo các phơng trình
(2.8a) v (2.8b), ta đợc
T
R =+1 , (3.5a)
TihRiih
22111
= )(
. (3.5b)
Các nghiệm cho
R v

T
về hình thức giống nh trờng hợp
sóng tới vuông góc nếu ta thay thế
1
k v
2
k bằng
1
v
2


82
trong các phơng trình (2.16) v (2.17), tức l
2211
11
2
hh
h
T
+

=
, (3.6a)
2211
2211
hh
hh
R
+

=
. (3.6b)
Ta cần chú ý tới một số tính chất của nghiệm. Hớng sóng
tới v sóng truyền qua
bằng:
2122
1
1
tg
/
)(

=
k
, (3.7)
v
2122
2
2
tg
/
)(

=
k
. (3.8)
Với
21
hh > ,

21
kk < , thì
21
> .
Nếu phía truyền qua nông hơn, thì vectơ số sóng của sóng
truyền qua
sẽ hớng gần trùng với trục
x
hơn so với vectơ sóng
tới. Mặt khác, nếu
21
hh < , phía sóng tới nông hơn, thì
21
< v
các sóng truyền qua sẽ quay ra xa khỏi trục
x
. Kết quả ny
chính l hiện tợng khúc xạ đã bn luận ở chơng 2 đối với
trờng hợp độ sâu biến thiên chậm v các sóng truyền qua đợc
gọi l sóng khúc xạ. Với một tần số cố định,
1
k
v
2
k
sẽ cố định
theo
1
h v
2

h . Nếu ta tăng

về phía
1
k (tức tăng góc tới), thì sẽ
có một giai đoạn sao cho
=
2
k vì
12
kk < . Tại giai đoạn ny,
2
2
/=
v sóng truyền qua truyền dọc theo điểm gián đoạn
)( 0
2
= . Góc tới tới hạn bằng
212
2
2
1
2
1
1
2
1
cr1
tgtg
/

)(
)(
kk
kk

=

=

. (3.9)
Vì
0
2
= , hệ số phản xạ 1=R ; nh vậy l có phản xạ ton phần.
Sóng truyền qua có các đỉnh song song với trục
x
với biên độ
nh nhau dọc theo các đỉnh sóng.

Hình 3.1 Hớng của các vectơ sóng tại đờng gián đoạn
Điều gì sẽ xảy ra khi

tăng nữa?
2122
22
/
)( = k sẽ trở
thnh ảo, v
2
tg mất ý nghĩa. Ta quay lại nghiệm nguyên bản

v viết lại
22
= i ,
212
2
2
2
/
)( k= sao cho
2
l thực v dơng:
yi
x
eTea


=
2
12
. (3.10)
Nghiệm tổng quát thực sự chứa
x
e
2

v
x
e
2

; ta chỉ lấy
x
e
2

cho
nghiệm biên tại
x
~ . Nh vậy:
2211
11
2
hih
h
T
+

=
, (3.11a)

83
2211
2211
hih
hih
R
+


=

. (3.11b)
Rõ rng rằng,
1 =R , sự phản xạ l ton phần. Với các phơng
trình (3.11), nghiệm có thể chuẩn hoá lại thnh
yi
exA

11

+= )cos(
, (3.12)
yi
x
ee
hh
h
A

212
2
2
2
2
1
2
1
11
2
2

+

=
/
)(
. (3.13)
với

góc pha
.
11
22
tg
h
h


=
Ta phải giải thích nghiệm với một ý nghĩa mới. Tại phía sâu
hơn,
0>x , sóng truyền qua truyền dọc theo trục y , biên độ của
nó cực đại tại
0=x v giảm dần theo hm mũ. Góc

cng lớn
thì biên độ cng giảm nhanh.
4.4 Sự Phân tán ở thềm hoặc máng độ rộng hữu
hạn
Xét đáy biển có độ sâu biến thiên kiểu bậc nh trên hình

4.1. Từ
x
~ truyền đến một sóng tới biên độ đơn vị dới một
góc xiên. Ta xét xem kích thớc hữu hạn của bậc độ sâu sẽ có
những hiệu ứng gì?

Hình 4.1. Sống đất ngầm
Nghiệm tổng quát trên mỗi miền phẳng có thể viết nh sau:
axee
axiaxi
yi
<

+=
++


11
1
),eR(
)()(
, (4.1)
ax-aBeAee
xixi
yi
<<+=



22

2
),( , (4.2)
axeeT
axi
yi
>

=



3
3
,
)(
, (4.3)
Ta có thể định nghĩa
ai
eRR
1
2

=
(4.4)
l hệ số phả
n xạ, v
ai
eTT
)(
31

+

=
(4.5)
l h
ệ số truyền qua. Các hệ số
A
, B , R

v
T

phải tìm bằng
cách tơng hợp

v xh

/ tại hai bên đờng gián đoạn.
Tại
a
x
= , ta có
aiaaia
eBeAR
2

2

1 +=

+

, (4.6)
v
)()(
aiaaia
eBeAhRh
2

2

2211
1 =



, (4.7)
trong khi tơng hợp tại
a
x
= , ta có
TeBeA
aiaaia

=+

2

2

, (4.8)
v
TheBeAh
aiaaia

=

3322
2

2

)( . (4.9)
Bây giờ việc còn lại l g
iải đồng thời các phơng trình (4.6)
(4.9). Các tính toán có thể đợc đơn giản hoá nếu dùng các ký
hiệu mới sau đây:





=
h
h
S
với 3 2 1 ,,, =


(không lấy tổng) (4.10)

Các phơng trình (4.6)(4.9) trở thnh
RBeAe
aiai

+=+

1
22
, (4.11)
)( RsBeAe
aiai

=

1
12
22
, (4.12)

84
TeBeA
aiai

=+

2

2

, (4.13)

TseBeA
aiai

=


2

2

32
. (4.14)
Từ các phơng trình (
4.13) v (4.14) ta có thể biểu diễn
A

v
B theo
T

hoặc
T
:
)(
32
2
1
1
2

seTA
ai
+

=

, (4.15)
)(
32
2
1
1
2

seTB
ai


=

. (4.16)
Khử
A
v B từ các phơng trình (4.11) v (4.12), ta có thể
giải phơng trình cho
R

v
T

:
[]

+++
=

aiai
esssse
R
2

2
2
32323212
1111 )()()()(
, (4.17)

=

12
4s
T
, (4.18)
trong đó
aiai
essess
2

2

2
3212
2
3212
1111

++= )()()()(
. (4.19)
Cuối cùng,
A
v B có thể nhận đợc từ phơng trình (4.15)
v phơng trình (4.16) nhờ phơng trình (4.18).
Để tìm hiểu ý nghĩa vật lý, t
a khảo sát một trờng hợp đặc
biệt: độ sâu ở cả hai phía của điểm gián đoạn bằng nhau,
31
hh =
.
Bây giờ ta có
31
= ,do đó
21
2
2
2
2
1
2
2
1

22
11
3212
/
/
/










=


==
gh
gh
h
h
s
h
h
ss
. (4.20)
Chú ý rằng

1>s nếu vùng trung tâm l miền thềm v 1<s nếu
l một vùng trũng. Các hệ số truyền qua v phản xạ l:
aiai
eses
s
T
22
22
2
11
4

+
=

)()(
, (4.21)
aiai
aiai
eses
ees
R
22
22
22
2
22
2
11
1

+

=

)()(
))((
. (4.22)
Năng lợng của các sóng tru
yền qua v phản xạ tỉ lệ với
=








=

2
2
2
2




R
T
R
T

[]
1
2
2222
2
222
2
214
21
4


+

= ass
as
s
sin)(
sin)(
. (4.23)
Dễ dng
chứng minh đợc 1
22
=+ TR , có nghĩa rằng năng
lợng của các sóng phân tán cũng bằng năng lợng của các sóng
tới. Một đặc tính vật lý quan trọng l
2
R v
2
T biến thiên
tuần hon với
a
2
2 . Đặc biệt, với ,,,, 3 2 1 0 2
2
== nna , nghĩa
l,
,,,/ 3 2 1 04

2
=a , trong đó ,/
22
2 = thì 0
2
=R , v 1
2
=T
thnh thử trờng hợp ny sóng truyền qua hon ton v thềm
gọi l trong suốt đối với sóng tới sóng tới. Truyền qua cực tiểu
v phản xạ cực đại xảy ra khi
12
2
2
= asin
, hay
,,,)( 3 2 1 2
2
1
2
== nna

có nghĩa l

2
5

2
3

2
14
2
,,,=

a

Các giá trị tơng ứng l:
22
2
2
1
4


)(
min
s
s
T
+
=
, (4.24)
22
22
2
1
1

)(

)(
max
s
s
R
+

=
; (4.25)
những giá trị ny phụ
thuộc vo
2
s nh trên hình 4.2a. Phụ
thuộc của
T v R vo a
2
2 l phụ thuộc kiểu dao động (hình
4.2b).
Sóng trên thềm thu đợc bằng cách thế phơng trình (4.
21)

85
vo các phơng trình (4.15) v (4.16) với sss ==
3212
, tức l
aiai
esTBesTA
2

2

1 1
2
1
2
1



=+

= )(,)( (4.26)
v sau đó thế vo phơng trình (
4.2). Bỏ qua các bớc trung
gian, ta có kết quả cuối cùng:
[]
aiai
axiaxi
eses
esess
22
22
22
2
11
112


+
++

=
)()(
)()(
)()(
(4.27)
do đó bình phơng của đờng bao l
[]
ass
axsaxs
2
2222
2
22
2
22
2
2
214
4
+
+
=
sin)(
)(sin)(cos
. (4.28)

Hình 4.2. Đặc tính của
2
T v
2

R : a) ảnh hởng do
2211
hhs = /
biến thiên; b) ảnh
hởng do
a
2
2 biến thiên
Mặt tự do trong khoảng a
x
a << l tổng của hai chuỗi
sóng lan theo hai hớng ngợc nhau dẫn tới giao thoa v hình
thn một sóng đứng không gian có biên độ thay đổi dọc trục
x
.
Riêng tại rìa
a
x
=

ax
ass
s
=
+
=
214
4
2
2222

2
2
2
,
sin)(
(4.29)
cho nên giao thoa lm giảm sóng, tức
2

nhỏ nhất khi
= )(
2
1
2
2 na
, v lm tăng sóng, tức
2
lớn nhất khi
= na
2
2
.
Vì chất lỏng tại
a
x
= hoạt động nh l một cái pít tông đối với
chuyển động trong vùng
a
x
> , nên biên độ của nó quy định biên

độ của sóng truyền qua.
Các đặc tính giao thoa rút ra đơn
thuần từ phân tích toán
học nh trên cũng có thể đợc giải thích về mặt vật lý. Khi một
sóng đập vo rìa tại
a
x
= , một phần sóng truyền qua vo vùng
a
x
a << v một phần phản xạ. Khi đạt tới rìa tại a
x
= , sóng
truyền cũng cùng chịu trình phân tán, thnh thử một phần
sóng truyền qua tới vùng
a
x
> v một phần phản xạ về phía rìa
0=x . Quá trình qua v phản xạ lui v tiến lặp đi lặp lại vô
cùng tận đối với tất cả sóng của chuỗi sóng điều ho. Sóng tổng
cộng đi về phía trái trong khoảng
a
x
< l tổng của các sóng
phản xạ từ
a
x
= v tất cả các sóng truyền qua từ a
x
a << đến

a
x
< , trong khi đó các sóng tổng cộng đi về phía phải trong
phần
a
x
> l tổng của tất cả các sóng truyền qua từ a
x
a <<
đến
a
x
> . Bây giờ nếu a4 l một bội số tích phân của bớc sóng
2
, mỗi lần đỉnh sóng điển hình hon thnh một vòng khứ hồi,
phản xạ từ
a
x
=
đến
a
x
=
v quay lại tới
a
x
=
, thì pha của nó
bị thay đổi hai lần . Thnh thử tất cả các đỉnh sóng no đến tới
a

x
=
cùng một thời điểm sau một số lần thực hiện các vòng khứ
hồi ,
,,,,, 2 1 0 1 2 sẽ có cùng pha; chúng giao thoa với nhau
theo kiểu lm tăng sóng v hệ quả l biên độ tổng tại
a
x
=
lớn
hơn. Mặt khá, nếu
a4 bội lẻ của nửa bớc sóng
2
2
/
, thì sau
một vòng khứ hồi một đỉnh sóng điển hình sẽ ngợc về pha so
với các đỉnh sóng khác chậm hay vợt trớc một số lẻ lần các
vòng khứ hồi. Sự giao thoa sẽ theo kiểu lm yếu sóng, dẫn đến
biên độ thực nhỏ nhất tại
a
x
= .
Ngoi ra, nếu lấy đạo hm
2
2

theo
x
, ta thấy

x/
2
2


86
)(sin ax
2
2 , thnh thử cờng độ
2
2

đạt cực trị tại
= nax )(
2
2
, tức
2
2
1
= nax
. Từ phơng trình (4.28) suy ra
các giá trị cực trị bằng:
ass
s
2
2222
2
2
2

214
4
Extr

+
=
sin)(
nếu
=n
chẵn
v
ass
s
2
2222
2
2
2
214
4
Extr

+
=
sin)(
nếu =n lẻ.
Trong cả hai trờng hợ
p các giá trị cực trị l lớn nhất khi a
2
2

l các số nguyên lần của . Nh vậy, các đỉnh của
T
theo a
2
2
trùng với đỉnh thích ứng trong vùng
a
x
a << .
Cuối cùng, ta xét giới hạn khi
0
2
a . Nếu khai triển
Taylor phơng trình (4.23) sẽ rút ra
4
2
2
2
2
22
2
1
1 )()(
)(
aa
s
s
T
+

=
4
2
2
2
2
22
2
1
)()(
)(
aa
s
s
R +

=
.
Vậy một barie hẹp hơn nhiều so với bớc s
óng thì thuộc loại
trong suốt đối với các sóng tới. Thật ra thì các hiệu ứng chất
lỏng thực thờng gây ra sự tách dòng chảy, v do đó, sự tản
mát, v lm thay đổi kết luận trên đây một cách đáng kể.
4.5 Sự truyền qua v phản xạ ở vùng độ sâu
biến đổi chậm
Có một số dạng địa hình đáy cụ thể (biến thiên tuyến tính,
parabol); với chúng có thể nhận đợc nghiệm giải tích (Kajiura,
1961). Việc phân tích toán học để nhận đợc kết quả trong
trờng hợp ny không có gì khó khăn. Với các loại nền đáy với
độ sâu biến đổi chậm, ta có thể rút ra nghiệm khá tổng quát

nhng ở dạng gần đúng v có ý nghĩa về mặt vật lý.
Đối với loại nền đáy m quy mô bi
ến đổi độ sâu của nó lớn
hơn nhiều so với bớc sóng, thì hiển nhiên l nên xuất phát từ
phép gần đúng WKB kinh điển. Giả sử biến thiên độ sâu l một
chiều, tức
)(xhh = , từ phơng trình (1.26), phơng trình chuyển
động l
0
2
=+







dx
d
gh
dx
d
. (5.1)
Xét một sóng truyền theo chiều dơng trục
x
:

=
/)(

)(
xiS
exA
, (5.2)
ở đây
x
x

= , với

một tham số nhỏ đặc trng độ nghiêng đáy.
Nh trong
mục 2.1, ta ký hiệu
xd
dS
dx
dS
xk =

=
1
)( . (5.3)
Thế các đạo hm của

vo phơng trình (5.1), ta đợc
.
)(
)(
0
2

2
2
22












=








++

+









+

+++
xd
Ad
hg
xd
dA
xd
hd
g
xd
kAd
hi
xd
Ad
kighikA
xd
hd
gAghk

Từ bậc
)(
0
quan hệ tản mát sẽ nh sau
hk
g
2
2
=

, (5.4)
trong khi từ
)(

, sau một vi phép toán đơn giản, ta có
0
2
=)(khA
dx
d

do đó

87

=
~
)()(
x

khAEkhA
22
0
2
const
. (5.5)
Theo
0
E
, nghiệm bậc dẫn đầu sẽ l









==


x
iS
xdxk
i
kh
E
e
kh

E

21
0
21
0
)(exp
)()(
/
/
/
, (5.6)
ở đây
2
0
E tỉ lệ thuận với dòng năng lợng của sóng tới từ
x
~ .
Ta có thể giả thiết các sóng di chuyển theo cả hai hớng s
ao
cho nghiệm tổng quát l
)(
)(
//
/

+
iSiS
eFeE
kh

00
21
1
,
ở đây
2
0
F
tỉ lệ với năng lợng sóng tới từ phía phải,
+
=
~
)(
x
khAF
22
0

Nghiệm (5.6) hoặc (5.7) đều không tính tới sự phản xạ.
Bremmer (
1951) v các tác giả khác đã có những bổ khuyết
thêm cho cách phân tích trên đây với trờng hợp phản xạ yếu
v trong tình huống vất lý khác; v Ogawa v Yoshida (1959)
đã ứng dụng cho các sóng nớc nông. Muốn biết tổng quan rất
đầy đủ về vấn đề ny hãy xem Kajiura (1961) hoặc Wait (1962).
ở đây, ta sẽ sử dụng cách lập luận của họ.
Bắt đầu từ các phơng trình k
hối lợng v động lợng, để
tiện lợi ta định nghĩa
Quh = , do đó

dx
dQ
i =
, (5.8)
xd
d
hgQi




= . (5.9)
Từ phơng trình (5.7) lu lợng đối với bậc dẫn đầu cho bằng
)()(
///

iSiS
eFeEkhigQi
00
21
, (5.10)
bỏ qua số hạng bậc
)(

. Bây giờ, ta lm theo Bremmer v thế
00
FE , trong các phơng trình (5.7) v (5.10) bằng hai hm ẩn E
v
F
, tức

)(
)(
//
/

+=
iSiS
eFeE
kh

21
1
, (5.11)
)()(
///
=
iSiS
eFeEkhgiQi
21
; (5.12)
bây giờ những biểu thức ny đợc coi
nh l các nghiệm chính
xác của các phơng trình (5.8) v (5.9). Trong khi thế ta đợc
một cặp phơng trình mô tả
E
v
F
:
)(
)(

)(
//
/
/
//


=
iSiSiSiS
eFeE
xd
khd
kh
e
dx
dF
e
dx
dE

21
21
,
v
)(
)(
)(
//
/
/

//
+

=
iSiSiSiS
eFeE
xd
khd
kh
e
dx
dE
e
dx
dE

21
21
.
Các đạo hm
xddE / v xddF / có thể đợc giải ra


=
/
/
/
)(
)(
iS

eF
xd
khd
khxd
Ed
2
21
21



, (5.13a)


=
/
/
/
)(
)(
iS
eE
xd
khd
khxd
Fd
2
21
21

, (5.13b)
các phơng trình ny cũng l những phơng trình chính xác.
Bây giờ ta đa ra các khai triển nhiễu:
+++=
2
2
10
EEEE ,
+++=
2
2
10
FFFF ,
Thế trực tiếp biểu thức của
E v
F
ta đợc
0




00
==
xd
Fd
xd
Ed

,

+






=
//
)(ln
iS
n
n
eFkh
xd
d
xd
Ed
221
1



,
v

88

+






=
//
)(ln
iS
n
n
eEkh
xd
d
xd
Fd
221
1



,
các biểu thức trên có thể tích phân cho kết quả:
const const,
00
== FE , (5.14a)
xdeFkh
xd

d
E
iS
x
nn


2
21
1


+







=
/
/
)(ln , (5.14b)
xdeEkh
xd
d
F
iS
x

nn


2
21
1


+







=
/
/
)(ln . (5.14c)
Các giới hạn dới của tích phân đợc chọn sao
cho
,,,,)(,)( 3 2 1 0 0 === nFE
nn

Từ giờ trở đi tham số

có thể đặt bằng đơn vị v x khôi phục
thnh
x

. Bi toán đã giải xong.
Giả sử một trờng hợp cụ thể, lấy
0
0
=F sao cho sóng tới
lan từ trái sang phải. Khi đó
xEEEEE
3
3
2
2
10
,++++= + (5.15)
sẽ biểu diễn sóng truyền qua, trong khi
xFFF
2
2
1
,++=
(5.16)
biẻu diễn sóng phản xạ. Đến bậc
)(

hệ số phản xạ l

=








=
//
)(ln
iS
x
ekh
dx
d
xd
E
F
R
221
0
1
1

. (5.17)
Các tích phân có thể thực hiện bằng một phép cầu phơn
g một
khi các giá trị của

v )(xh đợc mô tả trớc.
Để thấy ý nghĩa vật lý, ta giả sử rằng
h
hơi khác một hằng
0
h :
[]
1 1
0
<<+= qxqhh ,)( , (5.18)
khi đó
)( qhk
g
+=

1
0
2
2
,
v

+

=

2
11

0
21
21
0
q
kq
gh
k
/
/
)(
)(

sao cho

+
2
1

00
q
hkkh
.
Khai triển loga, ta có
xd
qd
kh
xd
d



4
1
21

/
)(ln ,
v
xkxdk
x
0
0

.
Vậy, với các nhiễu nhỏ, phản xạ xấp xỉ bằng



= xde
xd
qd
R
xik

0


2
1
4
1
. (5.19)
Ta sẽ xét một số trờng hợp cụ t
hể khi độ sâu thay đổi từ một
giá trị hằng số ny sang một giá trị khác. Nếu độ sâu biến đổi
không liên tục một lợng
0
h , tức
== )(),( xHxHq hm Hevisai (5.20)
trong đó
1<< , ta có
=
4

1
1
R (5.21)
l hằng số.
Kết quả ở trên cũng có thể rút ra nh l giới hạn của
phơng trình (2.17) mặc dù tính gián đoạn thì không còn tơng
thích với giả thiết rằng độ sâu biến đổi chậm nữa.
Nếu độ sâu biến đổi một lợng
một cách tuyến tính từ

89
Lx
2
1
= đến Lx
2
1
+= , thì
,x
L
q







=
(5.22)

do đó
Lk
Lk
L
dxe
R
L
L
xik
0
0
2
2
2
1
44
0
sin
/
/

=

=


; (5.23)
1
R dao động theo Lk
0

; đờng bao sẽ nhỏ dần khi Lk
0
.
Cuối cùng, nếu sự chuyển tiếp độ sâu vô cùng trơn v có t
hể
mô tả bằng một hm sai số theo
x
, thì
22

21
Lx
e
L
q
xd
d
/
/



=
(5.24)
có dạng Gauss, do đó
22
0

0

44
2
2
21
1
Lk
xik
Lx
exdee
L
R





==


=

)/(
/
. (5.25)
Chú ý rằng với trờng hợp ny
1
R
giảm theo hm mũ theo
2
0

)( Lk
.
Các thí dụ trên đây khác nhau rõ rệt về tốc độ giảm theo
Lk
0
; địa hình trơn hơn sẽ giảm nhanh hơn theo
Lk
0
tăng. Điều
ny có thể chứng minh một cách tổng quát hơn từ phơng trình
(5.17) (Felsen v Marcuvitz, 1973). Giả sử
h , do đó cả k , chỉ
khác hằng số trong khoảng
21
xxx << với Lxx =
12
. Ta viết
phơng trình (5.17) thnh

=
2
1


212
1
x
x
iS
xdkh

xd
d
eR
/
)(ln .
Nếu
dxdh / hữu hạn tại các điểm đầu
21
xxx ,= , còn
22
dxhd / thì
không, ta có thể tích phân từng phần một lần để đợc
.)ln(
)ln(
/
/












+
+

=

212
212
1
2
1

2
1
2
1
kh
dx
d
ikdx
d
edx

kh
dx
d
ik
eR
x
x
iS
iS

Từ số hạng tích phân trong phơ
ng trình trên, rõ rng l
1
01

= )( LkR
, điều ny phù hợp với phơng trình (5.23). Nếu
22
dxhd / hữu hạn tại các đầu, còn
33
dxhd / thì không, thì tích
phân cuối ở trên có thể đợc tích phân từng phần một lần nữa
để cho một số hạng có bậc
2
0

)( Lk . Tổng quát hơn, nếu
nn
dxhd /
hữu hạn tại cả hai đầu, thì

1
01

=
n
LkR )( . Nếu địa hình vô cùng
trơn, tức

1
x v
2
x , thì
1
R suy giảm nhanh hơn bất kỳ
luỹ thừa số no của
00
Lk .
Kết quả nói rằng sự phản xạ phụ thuộc mạnh độ l trơn t
ại
hai điểm gợi tính tò mò toán học, vì theo quan điểm vật lý thì
một đặc tính địa phơng nh thế liệu có tác dụng ảnh hởng
mạnh không. Thật vậy, phơng trình (5.25) ám chỉ rằng hệ số
phản xạ l rất nhỏ đối với địa hình trơn vô hạn. Trong một bi
báo với nhiều phép toán phức tạp, Meyer (1979b), không sử
dụng phép xấp xỉ WKB, đã cho thấy hệ số phản xạ lại có dạng
])([exp
/ 21
0
Lk cho cả hai trờng hợp địa hình luống (mô tả bằng
hm Gauss) v thềm (dạng mặt cắt tiếp tuyến hyperbolic).

ở
đây chúng tôi sẽ không xét tiếp vấn đề ny. Bạn đọc quan tâm
có thể xem chi tiết trong bi báo của Meyer v trong ti liệu
tham khảo.
4.6 Sóng bị bẫy trên luống đất dốc
Mục 4.3 đã cho thấy những sóng dạng sin nhất định có thể
tồn tại ở một điểm gián đoạn độ sâu, nhng không thể truyền
đợc từ nớc nông ra vùng nớc sâu. Ta sẽ nghiên cứu điều gì

90
sẽ xảy ra trên một miền thềm với hai rìa tại khoảng cách hữu
hạn
a2 . Có thể thấy rằng tồn tại những tần số riêng ứng với các
hi bị bẫy trên thềm. Những hi ny tơng tự nh cái gọi l
các trạng thái bao trong cơ học lợng tử v
Love Waves trong
bán không gian co giãn phân lớp. Thực sự l nếu vay mợn các
phơng pháp của cơ lơng tử (thí dụ, Bohn, 1951), ta có thể
phân tích các sóng di bị bẫy (Snodgrass, Munk, v Miller,
1962; Longuet
Higgins, 1967).
Xét một luống đất có hình dạng nh hình 4.1
với
2
hh = trên
sờn
a
x
a << ; nghiệm tổng quát l
yi

xixi
eCeBe


+= )(
22
2
(6.1)
trong đó
2122
22
/
)( = k
. Ta chỉ quan tâm đến nghiệm no đảm
bảo giảm đến không tại vô cùng ở cả hai phía của luống đất; do đó
axeAe
yi
ax
<=

+

1
1
,
)(
, (6.2)
v
axeDe
yi

ax
>=



1
3
,
)(
(6.3)
trong đó
212
1
2
1
/
)( k=
. Giả thiết rằng
12
kk >> hay
21
2
21
1
//
)()( ghgh >> (6.4)
Các hệ số
CBA ,,
v
D

vẫn l những hệ số bất kỳ. Tính liên
tục của

v xh

/ tại a
x
= cho ta bốn điều kiện:
aiai
CeBeA
22

+= , (6.5)
)(
aiai
CeBehiAh
22
2211

=
, (6.6)
aiai
CeBeD
22

+= , (6.7)
)(
aiai
CeBehiDh
22

2211

= . (6.6)
Để tìm nghiệm không tầm thờ
ng thì định thức hệ số của hệ
các phơng trình (6.5)(6.8) phải bằng không:
0
22
2
2
2211
2
2
2211
=
aiai
ehihehih )()( (6.9)
Phơn
g trình ny có thể sắp xếp lại để đợc
2
11
2
22
2211
2
2
2tg
)()( hh
hh
a

= . (6.10)
Đặt
=


tg
22
11
h
h
, (6.11)
khi đó phơng
trình (6.10) trở thnh
=


= 2tg
tg1
2
2tg
2
2
tg
a
,
từ đó có
an

2
2
1
+= . (6.12)
Lấy tang hai vế phơng trình (6.12), ta có









=
=










=


=

lẻ
chẵn

tg
tg
2
2
22
11
n
n
a
a
h
h
,
cos
, (6.13)
hay








=
=

=


lẻ
chẵn

tg
2122
2
2122
2
2122
2
212
1
2
2
1
n
n
ak

ak
k
k
h
h
,
)cos(
)(
)(
)(
/
/
/
/
.
Vì
2
2
2
2
gh
k

=
v
2
2
1
2
1

2
2
1
k
h
h
gh
k =

=
phơng trìn
h (6.13) có thể đợc biểu diễn chỉ qua
2
k
[]








=
=

=


lẻ
chẵn

tg
2122
2
2122
2
2122
2
21
2
212
2
2
1
n
n
ak
ak
k
khh

h
h
,
)cos(
)(
)(
))/(
/
/
/
/
.
(6.14)
Bằng phép thay các biến

91
aka
2
2122
2
==
/
)(
, (6.15)
ta đợc
21
2
1
2
22

2
21
2
2
1
2
2
1
/
/

















=

h
h
akk
h
h
a

v do đó phơng trình (6.14) trở thnh








=
=

=


lẻ
chẵn

tg
ctg
2122
12
n
n
hh
,
)(
)/(
/
*
, (6.16)
với

=








=
1
2
2
2
1
2
22
2
2
11
h
h
gh
a
h

h
ak
)(
*
. (6.17)
Với

v dạng hình học cho trớc, thì
*
l cố định;

đợc
giải ra từ phơng trình (6.16), v số sóng riêng
2
rút ra từ
phơng trình (6.15). Ta xét riêng rẽ các trờng hợp
n
lẻ v chẵn.
n
lẻ: Các giá trị riêng có thể tìm bằng phơng pháp đồ thị
v nó tơng ứng với các giao điểm của đờng cong
= tg
1
y
với
đờng cong
2122
1
2
2

/
*
)(

=
h
h
y

(hình 6.1a). Đờng cong
)(
2
y l hm lẻ theo

, đi qua gốc toạ
độ v tiến đến

khi

tiến đến
*
.
Từ cùng hình vẽ đó, thấy rõ rằng nghiệm sẽ ở chỗ các cặp
điểm
n

v ta chỉ cần xét
n
+
. Với

<<

2
3
2
1
thì có một hi
với
<<
1
2
1
. Với <<

2
5
2
3
, có hai hi
1
v
3
với
<< 2
3
2
3
. Nói chung, nếu +<< )()(
*
2

1
2
1
nn , thì có n hi
1231



n
,,,
( n lẻ) với nghiệm thứ m nằm trong khoảng
<< mm
m
)(
2
1
.

Hình 6.1. Nghiệm đồ thị của các giá trị riêng: a) n lẻ, b) n chẵn
Nh vậy, có một hi mới bị bẫy mõi lần
*
tăng một lợng
bằng

, có thể nhận đợc bằng cách tăng
a

hoặc giảm độ sâu
thềm
2

h
với
12
hh /
cố định.
n chẵn
: Ta cần khảo sát các giao điểm của = cos
1
y với
2122
1
2
2
/
*
)(

=
h
h
y
.
Các điểm cắt biểu diễn trên hình 6.1b. Với
<<
*
0 , có một
hi bẫy,
0

với

<<
2
1
0
0
; với
<< 2
*
có hai hi
0

v
2
, với <<
2
3
2
. Nói chung, với >>+

nn )( 1 thì có 1+n

92
hi:
n220
,,, .
Tóm lại, các nghiệm
n
tạo thnh một chuỗi ;<<<
210

các số sóng riêng tơng ứng cũng tạo thnh một dãy tăng dần
<<<
210
.
Vậy hình dạng mặt tự do của các hi ny nh thế no? Từ
các phơng
trình (6.5) v (6.6), ta có
=

+
=









+
=

i
i
e
hih
hih
e
C

B
aiai
tg
tg
22
2
2211
2211
2



==
+

=
in
aiai
ee
i
i
e
)(
sin
sin
22
22
cos
cos
(6.18)

Dấu bằng cuối cùng đợ
c suy ra từ phơng trình (6.12). Với
n
chẵn,
CB =
; từ các phơng trình (6.5) v (6.7),
D
A
= , v li độ
tỉ lệ với
x
2
cos
, xem các phơng trình (6.1)(6.3). Do đó n chẵn
tơng ứng với một hi chẵn. Tơng tự, với
n lẻ, CB = v
D
A
= ; li độ tỉ lệ với x
2
sin v lẻ theo
x
. Một số hi đầu tiên
đợc phác hoạ trên hình 6.2.
Các hi chẵn có thể xem nh l các hi bẫy trên thềm lục địa
lí tởng hoá với độ rộng
a v đờng bờ tại 0=x . Nhằm mô
phỏng gần đúng thềm California, Miles (1972) đã lấy
600
2

=h m,
3600
1
=h
m v
= 192,
*
, với 70=a km, sẽ tơng ứng với

= /2T
7827,= phút s 10
6
1
4
ì= . Ba hi bẫy l tại 2
0
/ ,
451
2
, v 152
4
, , do đó 2802
0
=/ km, =
2
2 / 96km v
=
4
2 /
65 km, những giá trị ny rất quan trọng để gây cộng

hởng dao động gọi l dao động Helmholtz trong cảng
đây l
chủ đề sẽ thảo luận trong chơng tiếp sau. Với cùng những giá trị
của

v

, không có nghiệm no tơng ứng với giá trị ảo
1
;
không thể có sự lan truyền sóng theo hớng
x
. Từ đó suy ra rằng
các sóng tới dạng sin không thể kích hoạt những sóng bẫy trên
một luống đất hay một thềm di vô hạn có độ rộng hữu hạn theo
lý thuyết tuyến tính hoá. Tuy nhiên, sự kích hoạt lại có thể xảy
ra bởi các sóng cực ngắn, ứng lực gió trên luống (hoặc thềm) độ di
hữu hạn. Hơn nữa, phải tính tới những cơ chế kích hoạt phi tuyến.




Hình 6.2. Các hi bẫy trên một
luống đất

Bi tập 6.1: Các sóng bị bẫy trên dòng chảy dạng tia
Trong chơng 3, sự hiện diện của dòng chảy biến thiên đã
đợc xem giống nh l độ sâu biến đổi ảnh hởng đến các sóng.
Hãy khảo sát các sóng di nớc nông trên dòng chảy mạnh
0=U

, )(xVV = , trên biển độ sâu biến đổi )(xhz = . Chứng minh
rằng các phơng trình nhiễu động sóng sẽ l
0








=


+


+



+



y
v
h
x
uh

y
V
t
, (6.19)
=


+


+









ge
x
V
u
y
V
t
y
uu
, (6.20)

trong đó dòng thẳnh đứng bằng không.
Giả sử

93
)(
)(
)(
),,(
),,(
tyi
e
xu
x
tyxu
tyx










=

, (6.21)
v chứng tỏ
rằng
0
2



2
2
=

+




+




h
g
V
V
V
h )( . (6.22)
Nh vậy, n
ếu 0>)(xV trong khoảng hữu hạn ax < v triệt tiêu
ở ngoi khoảng, v nếu
0<

(các sóng truyền ngợc dòng chảy),
thì những sóng no thoả mãn điều kiện

gh
V
gh
2
2
2
)(
<<

(6.23)
sẽ bị bẫy trong dòng chảy.
Với trờng
hợp cụ thể const=h với mọi
x
, const=V nếu
ax < v 0=V nếu ax > , hãy nghiên cứu các giá trị riêng


của các sóng bị bẫy, đồng thời phân tích vấn đề tản mát khi
gh/
22
< .
4.7 Một số đặc điểm chung của các bi toán một
chiều
Các hi bẫy v ma trận tản mát
4.7.1 Nhận xét định tính về các sóng bẫy
Ta xét sự tồn tại của các hi bẫy trong trờng hợp địa hình
một chiều liên tục
)(xhh = về mặt định tính. Thay thế
[]

)(exp)( tyixX = vo trong phơng trình (1.5), ta đợc
0
2
2
=










+

Xh
g
Xh )(
. (7.1)
Có thể nghiên cứu những đặc điểm định tính trong cái gọi l
mặt phẳng
pha của
X v Y , trong đó Y đợc định nghĩa bằng
XhY

= hay .Y
h
X

1
=

(7.2)
Phơng trìn
h (7.2) có thể đợc viết lại
0
2
2
=










+

Xh
g
Y
. (7.3)
Chia (7.3) cho (7.2) đợc
Yh
Xhg
dX

dY
)/(
)/(
1
22

=
, (7.4)
đây l phơ
ng trình bậc nhất theo X v Y với
x
nh l tham
số. Trong mặt phẳng pha nghiệm của phơng trình (7.4) đợc
biểu diễn bằng một quĩ đạo. Giả sử
)(xh tiến đến một hằng hữu
hạn tại vô cùng, tức


xhxh ,)( ,
v giả thiết thêm rằng

<

< h
g
h
2
2
0
2

(7.5)
sao cho có hai điểm
),(
21
xx
tại đó
2 1
2
2
,),( ==

lxh
g
l

(xem hình 7.1). Trong lý thuyết phơng trình vi phân, hai điểm

ny đợc gọi l các điểm uốn, trên hai phía đối lập của các điểm
ny nghiệm sẽ có hnh vi khác nhau. Trong khoảng
2
xx > v
1
xx < , thừa số )/( hgh
22
âm, v nghiệm )(xX biến thiên đơn
điệu theo
x
. Đặc biệt, với
x
lớn

0
2
2
2
2
2
>





















Hh
g

hh
g
hh .
do đó
xH
eX


. Trong mặt phẳng pha điểm nghiệm ),( YX tiến

94
tới gốc toạ độ khi
x
dọc các đờng thẳng
XHhY
21 /

=
, đó
l các tích phân dạng giới hạn của phơng trình (7.4). Trong
khoảng
21
xxx << , hệ số )/( hgh
22
dơng v nghiệm )(xX
về tổng quát sẽ dao động theo
x
. Quĩ đạo trong mặt phẳng pha
có thể lợn vòng quanh gốc toạ độ v cắt các trục
X v Y . Một

số nghiệm có thể có đợc vẽ trên hình 7.2 cho cả mặt phẳng pha
v mặt phẳng tự nhiên. Nh vậy, mặt nổi sóng chỉ tồn tại trong
khoảng
),(
21
xx v giảm theo hm mũ ở ngoi khoảng; đó chính
l các đặc trng của các sóng bẫy. Nếu

> hg
22
/ , sẽ không có
một vùng biến thiên đơn điệu no v ton bộ chất lỏng có thể có
chuyển động dạng sóng; các sóng không bị bẫy nữa. Nếu
0
22
hg < / , không ở đâu có sóng điều ho.

Hình 7.1. Thay đổi của h
2
theo
x
trên một sống đất ngầm
4.7.2 Ma trận tản mát )]([

S
Xét sóng tới xiên góc trên luống đất ngầm với

hxh )( khi
.x Ta viết lại phơng trình (7.1)
()

0
2
2
=










+



Xa
gh
Xa với

=
h
h
xa )( , (7.6a)
hay, vì
222
+=

gh/ ,
()
[]
01
22
=++


XaXa )( , (7.6b)
đây l phơ
ng trình Sturm Liouville. Bằng biến đổi
=
21 /
aX
,
phơng trình (7.6b) trở thnh phơng trình không phụ thuộc
vo thời gian Schrodinger trong cơ học lợng tử:
[]
0 =+

)(xU
,
trong đó

++==

h
h
h
h
h
h
hU
2
1
4
3

2
2212
, .

Hình 7.2. Các quĩ đạo nghiệm trong mặt phẳng pha (bên trái) v mặt tự do tơng ứng
(bên phải) cho một số hi bẫy đầu tiên. Các đờng gạch nối trong các mặt phẳng pha
l
.
/
xHhY
21

= Các mũi tên dọc theo các đờng cong chỉ hớng tăng của
x

Rất nhiều tính chất chung các phơng trình Schrodinger đã
quen thuộc trong lý thuyết phân tán lợng tử. Ta sẽ chỉ thảo
luận một vi tính chất trong số đó liên quan tới phơng trình
(7.6). Để nghiên cứu kỹ hơn nên tham khảo Roseau (1952) v
Sitenko (1971).