Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 5 pptx

115


Chơng 5 - Dao động cảng do tác động sóng
di
5.1 Giới thiệu
Cảng l một vùng nớc nửa kín thông với biển qua một
hoặc một số cửa. Các cảng bình thờng đợc xây dựng dọc bờ
biển, nơi phần nớc khuất của cảng l các vũng lõm tự nhiên
hoặc đợc tạo ra bởi các đê chắn sóng nhô từ bờ ra phía biển
(hình 1.1a1.1c). Cảng nhân tạo có thể cách biệt xa đất liền, ví
dụ cảng ngoi khơi cho các trạm phát điện ở Đại Tây Dơng do
Công ty điện khí công cộng New Jersey một thời đã xây dựng.
Cảng ny bao quanh hai nh máy điện hạt nhân nổi bằng hai
đê chắn sóng khổng lồ (hình 1.1d). Ngoi ra còn một số cảng
nằm trên đảo nhỏ ngoi khơi, những cảng ny có thể gần hoặc
xa đất liền, nh hình 1.1e.
Mặc dù các dao động trong cảng có thể do rất nhiều ngoại lực
gâ
y nên, nhng nguyên nhân đợc nghiên cứu nhiều nhất l các
sóng sóng thần (tsunami), chu kỳ từ vi phút đến một giờ v có
xuất xứ từ các trận động đất xa. Nếu tổng thời gian diễn ra sóng
thần đủ di, thì dao động trong cảng có thể tiếp diễn nhiều ngy,
lm đứt dây neo, hỏng đệm bảo vệ tầu, gây nguy hiểm khi neo,
bốc dỡ hng hoặc ra vo cảng Nhiều khi các tu sắp cập cảng
phải neo lại bên ngoi, đợi đến khi ngừng dao động, gây trậm chễ
rất tốn kém.
Để hiểu sơ bộ về cơ chế vật lý của những dao động ny, ta
xét một cảng có cửa dọc theo đờng bờ di v thẳng. Các sóng
tới bờ một phần phản xạ v một phần bị hấp thụ ở bờ biển. Tuy

nhiên, một phần nhỏ bị nhiễu xạ qua cửa vo cảng v bị phản
xạ một lần nữa tại các biên bên trong cảng. Một phần năng
lợng sóng phản xạ thoát ra khỏi cảng v lại phát xạ ra biển,
trong khi một phần năng lợng lu lại bên trong cảng. Nếu
chuỗi sóng kéo di v tần số sóng tới gần bằng tần số sóng đứng
trong thủy vực kín, thì sự cộng hởng trong cảng sẽ xuất hiện,
vậy một sóng tới tơng đối yếu có thể gây nên phản ứng khá lớn
trong cảng.


Hình 1.1 Sự đa dạng của cấu hình cảng
Biên độ cộng hởng lớn nhất có thể bị giới hạn bởi một số cơ
chế sau đây:
1) Suy giảm phát xạ do năng lợng thoát ra biển qua cửa.
2) Mất mát do ma sát gần biên v cửa cảng.
3) Mất mát do sóng đổ trên các bãi nông.
4) Hiệu ứng vận chuyển năng lợng biên độ hữu hạn sang
các hi tần cao hơn.
Trong số những cơ chế ny, sự suy giảm phát xạ l dễ hiểu
nhất về mặt lý thuyết v đã đợc xử lý lần đầu tiên trong một

116
bi báo của Miles v Munk (1961) đối với một hải cảng hình chữ
nhật. Mất mát do ma sát xảy ra ở biên cảng v gần đỉnh đê
chắn sóng tại cửa cảng; lợng mất mát ny khó ớc lợng v
biến thiên nhiều tuỳ tính chất của biên. Muốn ớc lợng tin cậy
thì cần đến những thông tin thực nghiệm khó có thể thu đợc
bằng mô hình bởi lý do các hiệu ứng tỉ lệ kích thớc. Sóng đổ l
hiện tợng chủ yếu liên quan với sóng gió ở trên những bãi
thoải v cho đến nay thì không theo một lý thuyết no. Rất

may, đối với các sóng rất di nh sóng thần thì hiện tợng sóng
đổ thờng l không quan trọng.
ở chơng ny, ta sẽ bỏ qua các mất mát do ma sát v do
sóng đổ, chỉ xét các hiệu ứng suy giảm phát xạ. Sau phần đặt
vấn đề, ta sẽ thảo luận riêng rẽ ba yếu tố của bi toán cảng:
sóng đứng trong vịnh, khái niệm suy giảm phát xạ v nhiễu xạ
ở khe. Tiếp nữa, đối với các sóng đầu vo hình sin v độ sâu
không đổi, ta sẽ nghiên cứu bi toán đầy đủ gồm biển v các
cảng với hình dạng đơn giản khác nhau. Sẽ xét các sóng ngắn
đối với một vịnh hẹp.
ở cuối chơng phơng pháp phần tử-ghép
tổng quát ở mục 4.11 sẽ đợc cải biên áp dụng cho các cảng độ
sâu v hình dạng bất kỳ.
5.2 Thiết lập các bi toán dao động cảng
Để đơn giản, ta giả thiết nh sau về chuyển động chất lỏng:
chất lỏng không nhớt, dòng chảy không xoáy, biên độ sóng nhỏ
vô hạn, bớc sóng rất di so với độ sâu v các đờng biên bên có
tính phản xạ hon ton v thẳng đứng. Các phơng trình đã rút
ra ở mục 4.1 có thể áp dụng đợc. Để tiện dùng, ta sẽ nhắc lại
dới đây. Đối với dao động ngắn, li độ thoả mãn phơng trình
2
2
t
hg


= )(
(2.1)
với điều kiện không có thông lợng
0=

n
h
(2.2)
tại các vách bên. Đối với chuyển động điều ho đơn, biên độ
không gian

của li độ mặt tự do sẽ thoả mãn phơng trình
0
2
=

+
g
h )( (2.3)
v chịu điều kiện không thông lợng
0=



n
h
(2.4)
tại các vách bên. Đối với độ sâu không đổi, phơng trình (2.1)
rút gọn thnh phơng trình sóng cổ điển, trong khi phơng
trình (2.3) thnh phơng trình Helmholtz
0
22

=+ k , (2.5)
trong đó
kgh
21/
)(

= .
Điều kiện phát xạ đối với chuyển động hình sin có thể viết
ra một cách tờng minh nếu địa hình ở phía xa cảng có tính đơn
giản. Xét một cảng nằm trên đờng bờ biển phản xạ hon ton.
Giả sử
l vùng gồm cảng v ton bộ miền lân cận, v

l
phần còn lại của biển nơi có
const=h v đờng bờ biển
B
thẳng
(xem hình 2.1). Sóng tới phẳng có thể diễn tả bằng
)],sincos([exp
II
I
yxikA +=
(2.6)
trong đó
kA , v hớng
I

cho trớc. Hệ thống sóng hon chỉnh
trong đại dơng

có thể đợc chia thnh
SII
++=
'
(2.7)
trong đó
'I
chỉ sóng phản xạ do bờ biển thẳng không tính đến
địa hình địa phơng gần cảng,
S
chỉ sóng phân tán do tác động
của địa hình địa phơng v bị lan toả do tác động dồn đẩy tại
cửa cảng. Giả sử trục
y trùng với đoạn bờ thẳng
B
; sóng phản

117
xạ l
)]sincos([exp
'
II
I
yxikA +=
(2.8)
do đó trên
B
có
0=+

)(
'II
x
. (2.9)
Khi đó sóng phát xạ/ phân tán sẽ không thể có thông lợng
pháp tuyến dọc theo bờ biển thẳng:
0=


S
x
trên B . (2.10)
Hơn nữa,
S
phải hớng ra ngoi tại những khoảng cách
lớn
0
21

S
ik
r
kr
/
)( ,
kr
. (2.11)


Hình 2.1 Sơ đồ định nghĩa
Trong trờng hợp cảng khơi cách xa bờ một khoảng bằng
nhiều lần bớc sóng, ngời ta có thể đơn thuần bỏ qua sóng
phản xạ
'I
trong phơng trình (2.7). Đối với các địa hình bờ
biển loại khác, hoặc độ sâu ở vùng
không phải hằng số, thì
việc diễn tả tờng minh
I
v
'I
l một vấn đề khó khăn.
Khi độ sâu không đổi ở mọi nơi trong
v

v tất cả các
biên đều thẳng đứng, thì thế vận tốc ba chiều đối với
kh tuỳ ý có
thể diễn tả bằng phơng trình

kh
hzkig
zyx


ch
ch



)(
),,(
+



=
.
Từ mục 3.5, ta đã biết rằng

cũng thoả mãn phơng trình
Helmholtz trừ việc

v k liên quan với nhau bằng phơng
trình
khgk th
2
=
. Do các vách thẳng đứng, nên vectơ pháp
tuyến nằm trong mặt phẳng ngang, v điều kiện biên l

0= n/ tại vách bên. Nh vậy, các bi toán giá trị biên đối với
các sóng ngắn v sóng di về hình thức l một. Sự đồng dạng
toán học ny cho phép ngời ta thực hiện các thí nghiệm cảng ở
vùng nớc sâu để có thể dễ dng tránh các hiệu ứng phi tuyến.
5.3 Các hi tự nhiên trong vịnh kín hình dạng
đơn giản v độ sâu không đổi
Trớc hết nên bn về những tính chất điển hình của các sóng
đứng trong vịnh kín. Để đơn giản, ta giả thiết độ sâu không đổi.
Bi toán giá trị biên đối với

bây giờ có thể coi l bi toán thực,
đợc xác định bằng các phơng trình thuần nhất (2.5) v (2.4), v
có các nghiệm không tầm thờng chỉ khi
k
bằng các giá trị riêng
nhất định. Các giá trị tơng ứng của

đợc gọi l các tần số tự
nhiên (hay tần số riêng) v các giá trị tơng ứng của

l các hi
dao động tự nhiên (hay hi riêng). Dới đây sẽ xét hai thí dụ đơn
giản.
5.3.1 Thủy vực hình chữ nhật
Giả sử các biên bên của l ax 0,= v by 0,= . Các nghiệm
riêng của phơng trình (2.5) đợc tìm bằng cách tách các biến

118
b
ym

a
xn
A
nm


= coscos
, (3.1)
với
3 2 1 0 ,,,, =mn
Các giá trị riêng tơng ứng l
21
2 2

/

+







==
b
m
a
n
kk
mn
. (3.2)
Các chu kỳ tự nhiên l
mnmn
T

2 = / , (3.3)
trong đó
mn
liên hệ với
mn
k

bằng mối quan hệ tản mạn
2

2


mnmn
kgh= . (3.4)
Nếu
ba > , thì hi thấp nhất ( 0 1 == mn , ) có tần số thấp
nhất v chu kỳ di nhất, nó đợc gọi l hi cơ bản. Chuyển động
tơng ứng l chuyển động một chiều.
Nếu tỷ số giữa hai phía l một số hữu tỉ, tức
pLa = ,
qLb = ( qp, l những số nguyên)
Lb
n
p
m
kk
mn

+








==
21
2
2

/
,
thì sẽ có hơn một tập hợp (
mn , ) tơng ứng với cùng một tần số
riêng. Tình huống ny gọi l sự suy thoái.


Hình 3.1 Các đờng đồng mức
mặt tự do của hi tự nhiên
)/(cos)/(cos byax
trong thủy
vực hình chữ nhật

Ta sẽ minh hoạ cấu trúc không gian của hi
),(),( 1 1 =mn ,
tức
b
y
a
x
A


= coscos
1111
.
Tại các biên
ax 0,= v by 0,= biên độ bằng cực đại. Mặt
khác, biên độ sẽ bằng không dọc theo các đờng nút
2/ax =
hoặc
2/by = , những đờng ny chia thủy vực thnh bốn hình
chữ nhật. Tại một thời điểm nhất định hai hình chữ nhật kề
nhau sẽ đối nhau về pha. Vậy nếu hai vùng nằm cao trên mực
nớc trung bình thì hai vùng kia sẽ nằm thấp dới v ngợc lại.
Trên hình 3.1 biểu diễn các đờng đồng mức.
Đối với các hi
),( mn cao hơn, mặt tự do cũng bị chia bởi n
tuyến nút dọc
= )( ,,,/
`
2
1

2
3
2
1
nax v đồng thời
m
tuyến nút
dọc
= )( ,,,/
`
2
1
2
3
2
1
mby
.
5.3.2 Thủy vực hình tròn
Giả sử bán kính của thủy vực l a ; ta sẽ chọn toạ độ cực
),( r sao cho điểm gốc nằm ở giữa. Phơng trình Helmholtz có
thể đợc viết dới dạng phơng trình (9.10) trong chơng 4. Tại
vách,
a
r
= thnh phần vận tốc pháp tuyến theo bán kính triệt
tiêu. Do đó
0

=



r
. (3.5)
Bằng cách tách biến, nghiệm của phơng trình Helmholtz
l
)sincos()( += mBmAkrJ
mmm
(3.6)
trong đó
m
A
v
m
B
l các hằng số tuỳ ý. Để thoả mãn điều kiện
biên, ta cần có
0==
=
)()(
''
kaJkrJ
marm
. (3.7)
Bây giờ
)(
'
zJ

m
l hm dao động của
z
có một số lợng vô
hạn giá trị không. Ký hiệu số không thứ
n của
'
m
J bằng
'
nm
j

:

119
0

=)(
''
nmm
jJ
, ta có các giá trị riêng:
,,, ,,,,, 3 2 1 3 2 1
'
n

=== mn
a
j

k
m
nm
(3.8)
Các nghiệm riêng tơng ứng hay các hi tự nhiên l
)sincos()( += mBmArkJ
nmnmnmmnm

. (3.9)
Bảng 3.1 Các giá trị của
mn
j

sao cho 0=

)(
mnm
jJ
m
n
0 1 2 3 4 5
1 0 1,84118 3,05424 4,20119 5,31755 6,41562
2 3,83171 5,33144 6,70713 8,01524 9,28240 10,51986
3 7,01559 8,53632 9,96947 11,34592 12,18190 13,98719
4 10,17346 11,70600 13,17037 14,58525 15,96411 17,31284

Để minh hoạ cấu trúc của một hi cụ thể, ta sẽ xét sự biến
thiên của mặt tự do đối với
= mrkJ
nmmmn

cos)(

với mn, cố định.
Rõ rng rằng
1=mcos khi = mm 2 4 2 0 ,,, v bằng 1 khi
= 3 ,m , )( , 12 5 m . Vì vậy, mmm /,/,/, = 3 2 0 l các
tuyến bụng (antinode), tại đó li độ của mặt l lớn nhất trên
đờng tròn bán kính
r
cho trớc. Mặt khác,
mmm /,/,/ = 5 23 2 l các tuyến nút, tại đó li độ bằng 0. Đối
với một
cố định, đờng cong )( rkJ
nmm
cắt tuyến không đúng
1n lần trong khoảng
a
r
<
, do đó có 1n vòng nút; hiện tợng
ny l hệ quả của định lý dao động Sturm tổng quát trong lý
thuyết các phơng trình vi phân thờng. Các phần mặt tự do
nằm trên v dới bề mực trung bình đợc minh hoạ trên hình
3.2. Các giá trị của các điểm không ny có trong Abramowitz v
Stegun (1972) v đợc liệt kê trong bảng 3.1. Theo thứ tự tăng
dần, các chỉ số
),( mn của các điểm không l ),( 1 0 , (1, 1), (2, 1), (0,
2), (3, 1), (4, 1), (1, 2), Để bảo ton khối lợng, thì hi (0, 0)
không thể tồn tại trong thủy vực kín hon ton.

Hình 3.2 Các đờng đồng mức của hai hi tự nhiên
cos)( rkJ
111
v 2
212
cos)( rkJ trong vịnh tròn
5.4 Khái niệm suy giảm phát xạ: một ví dụ về mô
hình
Một thuộc tính quan trọng của nhiễu xạ sóng môi trờng vô
hạn l những dao động bắt nguồn từ một vùng hữu hạn cũng sẽ
bị suy giảm ngay cả khi môi trờng l bảo ton. Sự suy giảm
ny l do năng lợng đợc các sóng mang đi ra tới vô cùng v
đợc gọi l hiện tợng
suy giảm phát xạ. Để có đợc một số khái
niệm về hiện tợng ny, ta xét một ví dụ mô hình có tính chất
giáo học thuần tuý của Carrier (1970), mô hình ny có đặc điểm
vật lý điển hình của một hệ thống dao động kết hợp với các sóng
lan truyền.
Xét một kênh bán vô hạn với độ sâu
h v chiều rộng b
(hình 4.1). Tại
0=x có một cổng với khối lợng
M
có thể trợt
dọc kênh không bị ma sát. Cổng khối lợng
M
đợc trợ giúp

120

bằng một lò xo có độ đn hồi
K
. Để đơn giản ta giả sử rằng
không có rò rỉ tại
0=x , ta sẽ tìm li độ
ti
eX

của cổng khi có
một sóng nớc nông tới với biên độ
A
v tần số

từ phía
x
~ + .

Hình 4.1 Hệ lò so vật nặng
chống lại các sóng nớc

Mặt nớc có thể biểu diễn bằng
tiikxikxikxtiikxikxt
eeReeAeeReAe

++=+== 1 ])([)( . (4.1)
Trong ngoặc vuông cuối ở phơng trình trên, số hạng thứ
hai đại diện cho sóng phản xạ khi cổng cố định v số hạng thứ
ba l sóng phát xạ do chuyển động cảm ứng của cổng.
Phơng trình chuyển động của cổng l
pbhKXXM =

2
, (4.2)
trong đó
p l áp suất thuỷ động lực trên một diện tích đơn vị
tại
0=x
:
)( RgAgp +

=

= 1 . (4.3)
Các phơng trình (4.2) v (4.3) có thể kết hợp thnh
X
gbh
MK
RA


=+
2
1 )( . (4.4)
Tại điểm
0=x , vận tốc chất lỏng
)()/()( 0 0
x
igu =
phải
bằng vận tốc của cổng
Xi

, vậy
)()( R
gkA
Xiu +

== 10 . (4.5)
Dễ dng rút ra nghiệm từ các phơng trình (4.4) v (4.5)
)()(
/
bhghiMK
gbh
bh
k
iMK
gbh
A
X
++

=

++

=
212
2
2


2
. (4.6)
Biên độ sóng phát xạ l
A
X
g
h
iR
2
21
21 /








=
.

Phơng trình (4.6) có thể so sánh với hệ thống vật lò xo
giảm sóc thông dụng. Ngoại trừ tỉ lệ không đổi, mẫu số trong
phơng trình (4.6) có thể đợc gọi l một trở kháng. Phần ảo (tỷ
lệ với
bh

) của trở kháng đóng vai trò lm suy giảm. Để xem xét
vấn đề ny ta xét một hệ thống không chịu lực. Dao động tự do
không tầm thờng có thể vẫn đợc diễn tả bằng phơng trình
(4.6) với
0=
A
nếu ta đòi hỏi mẫu số triệt tiêu, nghĩa l
0
212
=++ )()(
/
bhghiMK
, (4.7)
đây l điều kiện giá trị riêng với các nghiệm phức của

:
M
bhghi
M
bhgh
2

2

21
21
2
21
2
0



















=
/
/
/
)()(

,
trong đó
MK /=
0
. Chèn nghiệm vo nhân tử thời gian
)exp( ti

, ta thấy dao động giảm theo hm mũ với tốc độ tỉ lệ
với
M
bhgh
2
21

/
)(
. (4.8)
Để xem xét nguồn gốc vật lý của hiện tợng suy giảm ny,
ta sẽ tính tốc độ của công do sóng phát xạ thực hiện, lấy trung
bình trong một chu kỳ

121
[]
()
2
212
2
1
2
3

2
1
2
1
0
2
1

1

XghbhX
k
XiRgAbh
bhupE
x
radrad
/
*
*
)(
)()(Re
Re
=

=
=
=
=

sau khi đã sử dụng phơng trình (4.5) v
kgh
21/
)(= . Đại lợng
xác định dơng ny rõ rng chỉ liên quan với số hạng suy giảm
sao cho sự suy giảm l do tốc độ công đợc các sóng phát xạ
phát tán vo chất lỏng. Do đó, ta xem thnh phần ảo trong
phơng trình (4.6) nh l thnh phần suy giảm phát xạ.
Phản ứng (4.6) còn có thể đợc viết nh l hm của

:
1
2

2










+

=
M
bhik
Mgh
K
k
M
gbh
A
X
. (4.9)
hay l hm của
k
:
1
2

2

+







=
M
bhik
Mgh
K
k
M
b
A
X
. (4.10)
Trên mặt phẳng
k phức có hai cực đặt tại
kik

~
+ (4.11)
với
21
2
2

0
4
1
/
~

















=
Kh
Mg
M
bh
kk
,
21

21
21
0
0
1
/
/
/
)()( gh
M
K
gh
k








, (4.12)
v
0
2
<

=
M
bh

k

. (4.13)
Phơng trình (4.10) khi đó trở thnh
11

2

+







= )

~
()

~
( kikkkikk
M
b
A
X
. (4.14)
Khi sự suy giảm nhỏ, hai cực chỉ nằm phía dới trục thực
một chút. Trong bi toán vật lý,

v k đều l hai số thực
dơng; cực duy nhât có ý nghĩa vật lý l
kik

~
+ . Tại lân cận nó,
X lớn v phơng trình (4.14) có thể đợc xấp xỉ bằng
1

2
1

2















)

~
(
~
kikk
k
M
b
A
X
. (4.15)
Cực đại của
2
2AX / bằng
2
0
2
2

2

= )()
~
(
max
hkhk
A
X

đạt đợc ở lân cận

kk
~
. Khi kkk

~
= , giá trị bình phơng của
phản ứng sẽ giảm xuống bằng một nửa của giá trị đỉnh, do đó
k


l thớc đo độ rộng của đờng cong phản ứng (
2
2AX / theo k ).
Giống nh trong lý thuyết dòng điện, ta có thể định nghĩa nhân
tử chất lợng Q bằng
Q
21
21

2
/'
/
)(
~

gh
K
M
M
bh

k
k







=
. (4.16)
Khi yếu tố suy giảm phát xạ
k

giảm, thì Q giảm; độ rộng
đỉnh của đờng cong phản ứng giảm, do đó dạng đờng cong
nhọn hơn. Nh đã thấy từ phơng trình (4.8), tích Q

cũng
tơng ứng với tốc độ suy giảm của các dao động tự do.
5.5 Hiện tợng nhiễu xạ ở khe hẹp
Cửa cảng thờng l một cửa mở dọc theo một đê chắn sóng
di v mảnh no đó. Sự truyền sóng qua cửa cảng rõ rng rất
đáng quan tâm. Để đơn giản hoá phân tích, ta giả thiết đê chắn
sóng mảnh, thẳng đứng v có tính phản xạ hon ton, v độ sâu
không đổi sao cho bi toán giống nh bi toán tơng tự về âm
thanh.
Theo hình 5.1, ta xét sóng tới thẳng góc từ phía
0>x . Tại

122
phía sóng tới, 0>x , ton bộ hệ thống sóng bao gồm sóng tới,
sóng phản xạ từ vách cứng v các nhiễu động do chuyển động
chất lỏng dọc theo khe hổng.
ở phía truyền sóng, 0<x , chỉ có
các nhiễu động do chuyển động dọc theo khe. Khe hoạt động
nh một cái piston trong vách ngăn v phát xạ sóng ra ngoi vô
cùng từ cả hai phía.
Bi toán giá trị biên có thể giải cho độ rộng tuỳ ý của khe
hổng bằng phơng pháp phơng trình tích phân, ta sẽ áp dụng
phơng pháp khai triển tiệm cận xứng hợp, phơng pháp ny
đặc biệt thuận tiện đối với những khe hổng có độ rộng nhỏ hơn
nhiều so với bớc sóng (Buchwald, 1971).
Về mặt trực giác, khái niệm về phơng pháp ny đã đợc
giải thích ở mục 4.2.2. Một cách ngắn gọn, khi các phần khác
nhau của vùng vật lý đợc quy định bằng các kích thớc khác
nhau, ta sẽ xấp xỉ các phơng trình v các điều kiện biên tuân
theo các kích thớc địa phơng v tìm các nghiệm thích hợp ở
các vùng riêng biệt ny. Nghiệm ở trong một vùng thờng
không thoả mãn điều kiện biên ở vùng khác, dẫn đến một sự
không xác định. Bằng cách yêu cầu chúng phù hợp ở một số
vùng trung gian, hiện tợng không xác định sẽ bị xoá bỏ v ta
tìm đợc nghiệm theo trật tự mong muốn.

Hình 5.1 Khe hẹp giữa hai đê chắn sóng
Định nghĩa vùng xa (far field) l vùng ở cách xa khe một
vi bớc sóng
)(1Okr = (vùng xa). (5.1)
Rõ rng,
k/1 l kích thớc hợp lý v tất cả các số hạng trong

phơng trình Helmholtz quan trọng nh nhau. Tại khoảng cách
rất xa từ khe hổng, các sóng phát xạ phải thoả mãn phơng
trình Helmholtz v điều kiện phát xạ. Tuy nhiên, đối với ngời
quan sát ở vùng xa, thì khe hổng l một vùng rất nhỏ ở lân cận
của gốc. Sóng phát xạ có thể đợc diễn tả bằng cách cộng chồng
các nghiệm đơn tại gốc toạ độ v không gây ra thông lợng dọc
theo trục
y:
0
22
I
1
I
0
><+

+

=



xkrH
g
krH
g
Q
R
,sin)()(
)()(

. (5.2)
Các nghiệm tổng cộng cho vùng xa ở cả hai phía của khe hổng
l
0 2 >+=
++
xkxA
R
,cos , v 0 <=

x
R
, . (5.3)
Từ số hạng thứ nhất trong chuỗi của phơng trình (5.2),
thông lợng đi ra từ nửa vòng tròn có bán kính nhỏ quanh gốc
toạ độ bằng, đối với
x
hoặc lớn hơn không, hoặc nhỏ hơn không
0><x
:
thông lợng



=

= QkrH
rg
Q

-ig
r
r
)(lim
)(I
0
0
2

.
Do đó số hạng đầu của phơng trình (5.2) biểu diễn nguồn
có thông lợng

Q đi vo nửa mặt phẳng ( 0><x ). Các số hạng
tiếp theo l cực đôi, cực bốn
Gần điểm nối, kích thớc độ di l độ rộng khe; do đó,
chúng ta có thể định nghĩa vùng gần (near field) nơi
)(1O
a
r
= . (5.4)

123
Trong vùng ny
2
2
2
)(kaO
k
=



do đó dòng chảy đợc mô tả chủ yếu bằng phơng trình Laplace
0
2
=
với sai số tơng đối có bậc
2
)(kaO
. Điều kiện không có thông
lợng cần phải đợc thoả mãn tại các vách cứng. Điều kiện phát
xạ sẽ không còn thích ứng nữa v cần loại bỏ. Bây giờ phơng
trình (5.5) v điều kiện không thông lợng sẽ xác định một bi
toán dòng thế thông thờng với một tham số duy nhất l thời
gian. Vì

l hm điều ho, nên

có thể coi l phần thực của
hm giải tích

W của biến phức
jy
x
z
+=
, nghĩa l
)(Re zW
j
=
, (5.6)
trong đó
j
Re l phần thực theo
j
, với i đợc xem l một số thực.
Giải các phơng trình (5.5) v (2.4) sẽ quy về tìm một hm
)(zW
giải tích trong mặt phẳng
z
với
cứng tờng các ntrê const=)(Im zW
j
. (5.7)
Đối với những thủy vực hình dạng đơn giản, nghiệm chủ
yếu sẽ đợc tìm một cách dễ nhất bằng phơng pháp ánh xạ
thích hợp. Trong ví dụ ny, ta sẽ dụng phép biến đổi Joukovski
trong lý thuyết cánh máy bay

+=
1
2
ja
z
(5.8)
để ánh xạ mặt phẳng
z
bên ngoi hai đê chắn sóng lên nửa mặt
phẳng trên của

(xem hình 5.2). Cụ thể, ảnh của vách cứng
A
BD l thực âm trên trục

v ảnh của '''
D
B
A
l thực dơng
trên trục
. Để thoả mãn điều kiện
0=W
j
Im
trên '''

D
B
A
v
const=W
j
Im trên
A
BD , ta chấp nhận nghiệm
ln)( +++++++++=




2
2
1
1
2
21
CCCCMCzW
(5.9)
trong đó các hệ số l thực đối với
j
nhng có thể l phức đối với
i . Các hệ số

Q v

trong phơng trình (5.2) cũng nh C ,

M

v
1
C ,
1
C sẽ tìm đợc khi ghép vùng gần v vùng xa.
Chúng ta thử cho rằng trong một vùng trung gian tỏ ra l
gần điểm gốc theo ngời quan sát vùng xa (
1<<kr ) nhng trong
khi đó lại l xa ngời quan sát vùng gần (
>>ar / ), các nghiệm
vùng xa v vùng gần có thể đợc ghép lại. Đối với
1<<kr , khai
triển bên trong của vùng xa l
krkrO
rg
kri
g
Qi
A ln)( sinln
2
1
22
1
2
2 +

+

+=
+
+
+
, 0>x
(5.10)
krkrO
rg
kri
g
Qi
ln)( sinln
2
1
22
1
2
+

+

+=



,
0<x

(5.11)
trong đó ln

l hằng số Euler = 0,5772157 Để xấp xỉ nghiệm
vùng gần đối với
1>>ar /
, ta cần phân biệt hai phía
0<x
v
0>x
. Trên phía
0>x
, vùng 1>>az / tơng ứng với 1>>
trong mặt phẳng

sao cho














+=
2


1
2
a
r
O
a
zj
(5.12)
từ phơng trình (5.8). Nếu thế biểu thức ny vo phơng trình
(5.6), thì khai triển bên ngoi của vùng gần

sẽ nhận đợc
bằng








+








++






++

lnReRe

jz
a
C
a
jz
C
a
jz
MCW
jj
2
22
11


124
sin ln +






++

+=

r
a
C
a
y
C
a
r
MC
2
2
2
11
(5.13)
ở phía
0<x , vùng 1>>az / tơng ứng với gốc trong mặt
phẳng
. Do đó, từ phơng trình (5.8)

+=
2
1
2 a
z
O
jz
a
, (5.14)
v khai triển bên ngoi của vùng gần l








+






++

++

lnReRe
a
jz
C
jz
a
C
jz
a
MCW
jj
2
22
11

sinln +

+






=

a
y
C
r
a
C
a
r
MC
2
2
2
11
(5.15)

Hình 5.2 ánh xạ vùng gần từ mặt phẳng
z
lên nửa trên của mặt phẳng
Bây giờ ta cho bằng nhau các phơng trình (5.10) v (5.13)

để xứng hợp
+
. Từ các hệ số của các số hạng giống nhau, ta tìm
đợc một số biểu thức đại số:
a
MC
ki
g
Qi
A
2
2
1
2
2 const lnln:)( +=








+

+
+
(5.16 a)
M
g

Qi
r =


+
:)(ln
(5.16 b)
0
1
=Cy :)( (5.16 c)
ga
C
r
1
1

1
+


=






:sin . (5.16 d)
Xứng hợp

bằng cách cho bằng nhau các phơng trình
(5.11) v (5.15), ta có:
a
MC
ki
g
Qi
2
2
1
2
const lnln:)( =








+


(5.17 a)
M
g
Qi
r =

:)(ln
(5.17 b)
0
1
=

Cy :)( (5.17 c)
ga
C
r
1
1

1


=






:sin . (5.17 d)
Nhận thấy ngay rằng
0
11
==

CC , (5.18 a)
0==
+
. (5.18 b)
Có thể chỉ ra rằng các cực bậc cao hơn gần bằng 0 do đó chỉ có
yếu tố nguồn tại bậc dẫn đầu l quan trọng. Vậy
n
C , 2=n , 3
cũng bằng 0 v để đạt độ chính xác hiện tại không cần phải có các
luỹ thừa khác không của
trong nghiệm bên trong. Thực tế ny
sẽ đợc sử dụng tiếp trong các phân tích sau m không cần kiểm
tra nữa.
Bây giờ chỉ còn bốn ẩn:

Q ,
M
v C có thể đợc giải v cho
kết quả l:
)/ln()/( 41
2
1
kai
A
g
Qi
g
Qi
+
=

+=


+
, (5.19 a)

125
g
Qi
g
Qi
M


=


+=
+
, (5.19 b)
AC = . (5.19 c)
Kết hợp hai phơng trình (5.19 a) với (5.2), cuối cùng ta có
)/(ln)/(
)(
)(
4 1
2
1
I

0
2
1
kai
krAHi
R
+



. (5.20)
Khai triển phơng trình Hankel đối với
kr lớn, ta có
4
21
2
/
/









=
iikrR
e

kr
A (5.21)
trong đó
1
4
2
1









+=
kai
ln
. (5.22)
Hm
z
ln tiến đến vô cùng rất chậm khi
z
giảm. Ví dụ,
,,,,,,ln 96 64 02= z khi
321
10 10 10

= ,,z v.v Vì vậy,

)/(ln 4 ka

thực sự không lớn trong khoảng biến thiên thực tế
của
ka
, v nhỏ dần chậm khi
ka
giảm nh bảng dới đây:
ka
1 0,1 0,01 0,001

0,8890 0,4506 0,2786 0,1995
ở mức độ xấp xỉ hiện tại, vùng gần bị chi phối bởi một hằng số
v một đại lợng tỉ lệ với
r
ln . Về mặt vật lý, hằng số thể hiện sự
nâng lên v hạ xuống đều đặn của mặt tự do, còn đại lợng sau chỉ
rằng khe hổng hoạt động nh l một nguồn phát sinh sóng tới một
phía v nh l một điểm hấp thụ sóng có cùng biên độ đối với phía
kia.
Để kết luận, ta lu ý rằng với
ka tuỳ ý, bi toán nhiễu xạ có
thể giải bằng một số phơng pháp xấp xỉ dựa trên phơng pháp
các phơng trình tích phân. Khi
ka tăng, biên độ sóng phát xạ
sẽ phụ thuộc phức tạp hơn vo . Nh sau ny sẽ thấy, sự
cộng hởng đáng kể ở trong cảng sẽ xuất hiện khi bớc sóng ít
nhất l cùng cỡ với kích thớc cảng, m kích thớc cảng thờng
lớn hơn nhiều so với độ rộng cửa cảng. Vì vậy chúng ta sẽ không
thảo luận thêm về bi toán khe hổng.

5.6 Phân tán do một kênh hoặc vịnh hẹp di
5.6.1 Nghiệm tổng quát
Ta xét một kênh hẹp độ rộng a2 thông với biển. Hình dạng
kênh mô tả trên hình 6.1. Đối với các sóng di,
1<<ka , vùng xa
trong kênh chỉ có thể l một chiều v trở thnh trờng hợp đặc
biệt của mục 4.1.2. Vì vậy, nghiệm tổng quát của vùng xa trong
kênh l
0 <+=

xDeBe
ikxikx
c
,
(6.1)
với khai triển bên trong
2
)( )()( kxOxDBikDB
c
++++= với 1<<kx . (6.2)
Giống nh trớc, nghiệm vùng xa trong đại dơng l

)(cos
)(
krH
g
Q
kxA
I
00

2
2

+ (6.3)
với khai triển bên trong
1
2
2
1
2
2
0
<<+








+

+ krkrO
kri
g
Q
kxA ),(lncos
. (6.4)
Bi toán vùng gần l bi toán dòng chảy thế qua một vùng

cửa sông có dạng vuông cạnh (xem hình 6.2). Bằng phép biến
đổi Schwarz-Christoffel, vùng vật lý trong mặt phẳng phức
z

)( jyxz += có thể ánh xạ lên nửa trên của mặt

theo






+

+

=
j
j
a
z
212
212
1
1
2
/
/
)(

ln)(
(6.5)

126
(Kober, 1957, tr. 155) với các ảnh biểu diễn trên hình 6.2. Đối
với giá trị đơn, căn bậc hai
212
1
/
)(
đợc xác định trong mặt
phẳng

với một nhánh cắt dọc trục thực
11 Re
, v nhánh
đợc lựa chọn sao cho

212
1
/
)( khi . Hm logarit
ln
đợc xác định với mặt cắt dọc phần dơng của trục thực.

Hình 6.1 Dạng một vịnh hẹp


Xấp xỉ vùng gần phải l giải tích trong

nh trớc đây
)ln(Re)(Re CMW
jj
+==
(6.6)
với
M
v C l số thực theo
j
. Khai triển phía ngoi cần phải
đợc tính bằng cách tách riêng hai phía
0><x . Trên phía đại
dơng,
0>x , az / lớn tơng ứng với lớn (xem hình 6.2).
Bằng cách khai triển vế phải của phơng trình (6.5), ta có
0 1
2

12
2
>

+

=













+

= x
z
a
O
a
z
jOj

a
z ,,
. (6.7)
Thế (6.7) vo (6.6), ta đợc khai triển ngoi của vùng gần
0
22
>+

=+

xC
a
r
MC
a
zj
M
j
,lnlnRe . (6.8)

Hình 6.2 ánh xạ vùng gần từ mặt
z
tới nửa trên của mặt
ở phía kênh,
0<x
, az / lớn tơng ứng với nhỏ. Vì từ
phơng trình (6.5):
,,)(ln
)(lnln
/

1
2
hay
2
21
2

22
2
>>+

=
++=


a
x
e
e
j
O
j
e
Oj
a
z
az

ta có
j

e
a
z
22

lnln


, (6.9)
sai số sẽ nhỏ theo hm mũ khi
ax / . Khai triển ngoi của
nghiệm vùng gần, do đó, sẽ bằng
0
22a

<+

xC
e
M
x
M ,ln . (6.10)
Xứng hợp các nghiệm trong v ngoi trên phía kênh
0<x
cho
2
e
MCDB ln=+
, (6.11 a)
a

M
DBik
2


=+ )(
. (6.11 b)

127
Tơng tự, kết hợp hai phơng trình (6.4) v (6.8) ta có kết
quả trên phía đại dơng l
a
MC
ki
Q
g
A
22
2
1
2
2

+=

+

+ lnln
, (6.11 c)
M
g
Qi
=




. (6.11 d)
Nh vậy đến nay ta có bốn phơng trình đại số cho năm ẩn
số:
MCDB ,,, v Q ; với
A
cho trớc. Cần có một điều kiện nữa,
nó phụ thuộc vo điều kiện rng buộc tại đầu xa của kênh.
Những khả năng sau đây đáng quan tâm về mặt vật lý:
1) Sóng phân tán vo kênh di vô hạn, không có phản xạ ở
đầu xa của kênh. Vì chỉ có thể có các sóng đi về bên trái,
0=
D
,
vì thế nghiệm của kênh l
ikx
c

Be

=
. (6.12)
2) Sóng tới từ đầu xa của kênh v truyền ra biển. Trong
trờng hợp ny,
D
cho trớc v 0=
A
.
3) Sóng phân tán vo vịnh di có chiều di
L , đầu xa Lx =
có tính phản xạ cao.
ở đây ta đòi hỏi
Lx
x
c
==


0,
.
Nghiệm ngoi tơng ứng l
)(cos LxkE
c
+= , (6.13)
do đó
ikL
EeB

=
2
1
, (6.14 a)
ikL
EeD
2
1
= . (6.14 b)
Khai triển trong tơng ứng l
[]
2
)()(sincos kxOkxkLkLE
c
++=
. (6.15)
Bây giờ ta có thể giải các bi toán đại số để tính các hệ số
cha biết cho từng trờng hợp. Ví dụ, với bi toán thứ nhất
(sóng phân tán vo kênh di), ta đợc
[]
)/(ln)/( ekaikaka
Aka
g
Q
2 21
2
2 ++
=

, (6.16)

[]
)/(ln)/( ekaikaka
A
B
2 21
2
++

=
. (6.17)
Một lần nữa
C chỉ liên quan đến vùng gần v sẽ không đợc ghi
nhận. Phơng trình (6.16) đa ra cờng độ của nguồn phát sóng
quay trở lại đại dơng vô hạn v phơng trình (6.17) cho biên độ
của sóng truyền qua.
Bi tập 6.1
Tìm nghiệm cho bi toán 2: sóng truyền từ kênh ra biển v
thảo luận kết quả.
5.6.2 Vịnh hẹp mở
Trờng hợp một vịnh hẹp độ di hữu hạn, tức bi toán 3 ở
trên, sẽ minh hoạ nhiều tính chất chung của sự cộng hởng
trong cảng. Vì vậy ở đây ta sẽ phân tích chi tiết. Miles v Munk
(1961) lần đầu tiên đã phân tích đầy đủ bi toán ny. Xấp xỉ ở
cửa vịnh của họ hơi khác so với phép tiệm cận xứng hợp (theo
Unluata v Mei, 1973).
Kết hợp các phơng trình (6.14 a) v (6.14 b) với các phơng
trình (6.11 a)(6.11 d), ta đợc phản ứng
c
của vịnh v lu
lợng

Q qua cửa:
kLikaekakLkakL
LxkA
c
sin)/(lnsin)/(cos
)(cos
+
+
=
2 2
2
, (6.18)
kLikaekakLkakL
kLikaA
g
Q
sin)/(lnsin)/(cos
sin
+
=

2 2
2
2

, (6.19)

128
trong đó
c

ứng với chuyển động sóng từ vùng xa ra khỏi cửa
vịnh một khoảng lớn hơn
a2 rất nhiều nhng nhỏ hơn bớc
sóng cũng rất nhiều. Với cờng độ sóng đứng
A
2 , ta có thể định
ra một hệ số khuếch đại:
kLikaekakLkakL sin)/(lnsin)/(cos +
=
2 2
1
(6.20)
sao cho
)(cos LxkA
c
+= 2 . (6.21)
Đồ thị của
2
phụ thuộc vo kL , với ka l tham số, đợc gọi
l đờng cong phản ứng (
response curve).
Vì
1<<ka , đờng cong phản ứng có một đỉnh gần các giá trị
0 của
kLcos , có nghĩa l
0kLcos , += )(
2
1
nLkkL
n

,
,,, 2 1 0=n

Vì các đại lợng có bậc
)(kaO trong phơng trình (6.20) nhỏ, nên
các đỉnh cộng hởng hơi di dời khỏi các giá trị thô ny. Ta sẽ có
phép xấp xỉ tốt hơn nếu cho
+=
n
kk
v khai triển đối với
nhỏ:
)(sincos
3
+= OLkLkL
n
,
)(sinsin
2
+= OLkkL
n
.
Tại lân cận của đỉnh cộng hởng thứ
n hệ số khuếch đại
bằng
[]
2 2
1
aikeakakLLk
nnnn

+

)/(ln)/(sin

[]
1
1
1
aikLkk
nn
n
+

+
)
~
()(
, (6.22)
với

+
e
ak
kk
n
nn
2
L
a

2
1 ln
~
(6.23)
phơng trình ny có thể so sánh với phơng trình (4.15) nh l
một thí dụ mẫu. Rõ rng, đỉnh xảy ra tại
n
kk
~
= , v khoảng di rời
của đỉnh bằng
0
2
2
<



=
e

ak
L
ak
kk
nn
nn
ln)
~
( . (6.24)
Xung quanh đỉnh, bình phơng hệ số khuếch đại l
2
2

1

)()
~
( akLkk
nn
+
=
, (6.25)
trong khi giá trị đỉnh l
Lanak
n
/)(
max

11

2
1
+
==
. (6.26)
Vậy l độ cao của các đỉnh cộng hởng tiếp sau sẽ giảm theo số
hiệu hi n .
Đối với hi
n , đồ thì của theo kL xấp xỉ đối xứng qua
đỉnh. Tại những giá trị
akLkk
nn
= )
~
( ,
thì giá trị
2
giảm một nửa. Vậy
ak
n
l thớc đo của cả độ
cao đỉnh cũng nh một nửa độ rộng của đờng cong cộng hởng.
Trắc diện sóng tơng ứng trong vịnh tỉ lệ một cách thô với

+






+ 1
2
1

L
x
ncos .
Đặc biệt, với hi thấp nhất
0=n , chiều di của vịnh bằng
khoảng một phần t bớc sóng, thnh thử cửa cảng rất gần với
điểm nút đầu tiên. Ta hãy so sánh hai vịnh cùng độ di
L ,
nhng khác độ rộng. Cảng hẹp hơn sẽ có độ di dời
Lkk
nn
)
~
( nhỏ

129
v đỉnh cộng hởng sẽ nhọn v cao hơn. Khi 0ka , độ suy
giảm phát xạ sẽ giảm dần đến 0 v độ cao đỉnh sẽ trở thnh vô
hạn. Vì độ rộng của đỉnh cộng hởng trên đồ thị phản ứng cũng
giảm theo
a , nên sóng tới phải điều chỉnh tần số một cách chính
xác về tần số đỉnh để cộng hởng với cảng. Nếu sự điều tần hơi
sai, sự phản ứng sẽ giảm rất nhiều. Đặc điểm phản ứng cộng
hởng tăng khi hẹp dần cửa cảng không phải lúc no cũng phù
hợp với thực tiễn v đây chính l một vấn đề trong cái m Miles
v Munk năm 1961 gọi l điều
nghịch lý về cảng. Nghịch lý ny
sẽ không còn nếu ta tính tới ma sát tại cửa cảng v/hoặc sự phi
tuyến; hai vấn đề ny sẽ đợc xét trong các chơng sau.
Từ phơng trình (6.19), lu lợng trên một đơn vị độ sâu tại
cửa cảng
Q chính l biên độ của các sóng phát xạ, cũng đạt
cực đại tại đỉnh cộng hởng. Giá trị cực đại của
Q nhận đợc
bằng cách cho triệt tiêu phần thực của mẫu số, vậy:
n
Ag
Q

=
4
max
,
trong đó

21/
)(ghk
nn
= . Với hi cao hơn, lu lợng cộng hởng sẽ
nhỏ hơn.
Chú ý rằng tại đỉnh thứ
n
, mặt tự do có điểm nút biểu lộ rõ
tại
lx =
, vì thế
0=+ )(
~
cos Llk
n

hay







+=++
2
1
nLlk
n
)()( ,

hay
0
2
2
>



=


e
ak
L
a
kL
l
n
n
ln ,
nó giảm theo
La / v n . Nh vậy, độ di hữu hiệu của vịnh lớn
hơn độ di
L thực. Việc tăng độ di vịnh nh vậy có thể đợc coi
nh l hiện tợng quán tính bổ sung của nớc biển ở gần cửa
cảng.
Kết quả giải tích của phơng trình (6.20) sẽ l chính xác
khi no
ka còn nhỏ. Đối với một trờng hợp đặc biệt đợc xử lý
bằng các phần tử hữu hạn v sẽ đợc mô tả sau trên hình 10.3,

thì lý thuyết ny thoả mãn về định lợng chỉ đối với hi bậc
thấp nhất (một phần t bớc sóng).
Bi tập 6.2
Hãy khảo sát ảnh hởng lẫn nhau của hai kênh thẳng, hẹp,
độ di hữu hạn v cửa thông vuông góc với cùng một đoạn bờ
biển thẳng. Xét góc tới tuỳ ý. (Mei v Foda, năm 1979 đã giải
quyết bi toán tơng tự về mặt toán học cho sóng đn hồi tới
trên các mũi hớng ra biển).
Bi tập 6.3
Hãy nghiên cứu dao động trong một kênh hình bán nguyệt
với độ rộng hẹp bằng
a2 , cả hai đầu kênh cùng thông ra một
đoạn bờ biển thẳng. Xét góc tới tuỳ ý (Mei v Foda, 1979).
Bi tập 6.4: Mô hình hoá tác động cộng hởng cảng (Roger
v Mei, 1977)
Trong các thí nghiệm về cảng, biển bị giới hạn bởi kích
thớc hữu hạn của bể thí nghiệm. Trong trờng hợp điển hình
l máy tạo sóng đặt ở một khoảng hữu hạn
'L cách bờ. Bằng
phơng pháp ảnh hãy chỉ ra rằng hiệu ứng của máy tạo sóng
đặt tại
Lx

= có thể đợc tính đến một cách xấp xỉ bằng cách
cho nghiệm vùng xa trong biển bằng
[]

+++

+=


=1
1
0
1
0
1
0
2 2
2
2
n
xx
enLrkHenLrkHkrH
g
Q
kxA '()'()(cos
)()()(


130
trong khoảng Lx

<<0 v

mLk . Gần cửa cảng, 1<<kr , hiệu
chỉnh do
L

hữu hạn bằng


=

=
1
1
0
2
n
nkLH
g
Q
e )'(
)(
.
Đối với
Lk

lớn, các hm Hankel có thể đợc thay thế bằng
các xấp xỉ tiệm cận sao cho


=

=









1
21
4
21
2
2
n
inZ
i
kLZ
nZ
e
e
g
Q
e ',
)(
/
/

/
.
Với
12 >>

= LkZ chuỗi có thể đợc xấp xỉ bằng một tích
phân theo cách sau:


=

=
=
11 nn
nnfnf )()( (vì 1=n )


=
=
1n
ZZf )( với =
Z
n




Z
ZdZf
/

)(
1
.
Biểu diễn tích phân đó nh một tích phân Fresnel v chỉ ra
rằng
e
23 /
)'(~

kLO
, từ đó nêu ra tiêu chuẩn của bạn về việc xác
định độ lớn cần thiết của bể sóng để mô phỏng đợc một đại
dơng vô hạn.
5.7 Cảng hình chữ nhật với cửa hẹp
Ngoi những thuộc tính vật lý đã đợc nêu ở mục 5.6, một
cảng có các kích thớc theo hai hớng ngang tơng đơng nhau
sẽ có một kiểu dao động mới trong đó mặt tự do trong cảng đồng
thời nâng lên v hạ xuống. Hiện tợng ny rất quen thuộc trong
âm học v có thể mô tả bằng một phép phân tích đơn giản. Xét
một thủy vực diện tích mặt
S
thông ra đại dơng vô hạn qua
một kênh có độ di
L , độ rộng
a
, L đợc giả thiết l đủ di để
độ di thuỷ động lực bổ sung có thể bỏ qua (hình 7.1). Giả sử
biên độ mặt tự do tại
A
bằng

v vận tốc trong kênh bằng
U
.
Sự liên tục đòi hỏi
UahS
t
=




.
Khi cộng hởng xuất hiện trong thủy vực,

rất nhỏ tại cửa
sông
B ; građien áp suất giữa
A
v B xấp xỉ bằng
L
g
L
pp
x
p
BA

=

=



.
Phơng trình động lợng của nớc trong kênh l
L
g
t
U

=



.
Kết hợp các phơng trình khối lợng v động lợng bằng
cách khử
U , ta đợc
0
2

2
=+


L
a
gh
t

S
,
nó giống với một hệ lò so vật nặng v hi tự nhiên với tần số
tự nhiên
21 /






=
SL
gha
.



Hình 7.1 Sơ đồ thủy vực thông
với đại dơng qua kênh hẹp
Số sóng đặc trng tơng ứng dạng không thứ nguyên l
2121 //
)/( LakS = v rất nhỏ. Hi dao động ny gọi l hi
Helmholtz trong âm học v l dạng
bơm (pumping mode) trong

131
văn liệu kỹ thuật cảng. Rõ rng, sự tồn tại hi Helmholtz liên
quan với diện tích hữu hạn của cảng. Vì vịnh hẹp trong mục 5.6
tơng ứng với dao động có một lò xo nhng không có vật nặng

nên không có dạng Helmholtz.
Bây giờ ta chuyển sang phân tích chi tiết một ví dụ cụ thể
về cảng hình chữ nhật. Ví dụ ny đợc Miles v Munk lần đầu
tiên nghiên cứu năm 1961 v đợc Garrett kiểm tra năm 1970.
Ta sử dụng các tiệm cận xứng hợp do Unluata v Mei đề xuất
năm 1973. Giả sử các cạnh của cảng l
B v L nh hình 7.2.
Cửa cảng l khe qua một đê chắn sóng mỏng, thẳng cùng tuyến
với bờ biển. Giả sử độ rộng của khe rất nhỏ so với bớc sóng
1<<ka .
Để đơn giản, ta giả thiết rằng sóng tới l thẳng góc, nghiệm
bên ngoi cho đại dơng một lần nữa đợc tính bằng phơng
trình (6.3):
222I
000

2
2 yxrkrH
i
Q
g
i
kxA +=

= ,)(cos
)(
, (7.1)
ở đây hệ toạ độ có điểm gốc nằm tại giữa cửa. Để thuận tiện, ta
nhắc lại khai triển bên trong của
0

)ln(lnln krkrOrQ
g
i
ki
Q
g
iA +


+








+

+=
000
2

1
2
2
. (7.2)
Nghiệm bên trong gần cửa cảng l dòng chảy thế qua khe
hở v có khai triển bên ngoi gồm hai số hạng sau (xem các
phơng trình 5.13 v 5.15):
0>x (7.3 a)









+
+=
r
r
M
a
MC
E
ln
ln
ln
2

)( 0 0
1
>< xx (7.3
b)
Để mô tả phần bên trong cảng, sẽ thuận tiện hơn nếu dùng
một hệ toạ độ khác
),(
11
yx với gốc trùng với một góc của vịnh sao
cho
1
xx = ,
11
yyy =
'
,
2
11
2
1
2
1
)(
'
yyxr +=
. (7.4)
Điểm giữa của cửa cảng tại
'
11
yy = (xem hình 7.2).

Hình 7.2 Cảng hình chữ nhật
nằm sau bờ biển thẳng

5.7.1 Giải bằng các phơng pháp khai triển tiệm cận xứng
hợp
Ta hiểu trong cảng sẽ sử dụng hệ toạ độ
),(
11
yx
. Tuy nhiên,
để cho ngắn gọn, ta bỏ các chỉ số dới ( )
1
.
Đối với bậc dẫn đầu, nghiệm phía ngoi của cảng l một
vùng do nguồn dao động của lực với độ lớn
H
Q cha biết tại
điểm
0=x , 'yy = . Giả sử )';,( yyxG l nghiệm tơng ứng với
,0
22
=+ GkG (7.5 a)
0=


y
G
,

Lx <<0
, By 0,= , (7.5 b)
0=


x
G
,
Lx =
(7.5 c)
)'( yy = , 0=x , By <<0 . (7.5 d)
Vì
G biểu diễn nghiệm cho nguồn điểm có lu lợng đơn vị,
suy ra

132
)';,( yyxGQ
g
i
HH


= (7.6)
l nghiệm bên ngoi cần tìm ở trong thủy vực cảng. Hm
G l
một dạng hm Green; nghiệm của nó đợc dẫn lập trong phụ
lục 5.A. Ta chỉ đa ra kết quả nh sau:


=

=
0

n
nnn
yYyYxXyyxG )'()()()';,( , (7.7)
trong đó
LKBK
LxK
xX
nn
nn
n
sin
)(cos
)(

=
, (7.8 a)







=
B
yn
yY

n
cos)( , (7.8 b)
21
2
2
/















=
B
n
kK
n
, (7.8 c)
v
n
l ký hiệu Jacobi. Tuy nhiên, khai triển bên trong cần

một số bớc nữa. Chuỗi của
G hội tụ chậm vì nó dừng do
n
K ~







B
n
i

đối với
n
lớn v
[]
.
,
)/(
/)(
sin
)(cos
/

+

=






=


=


3
3


12
1
sh
ch 2
n
Oe
n
n
O

BLnn
BLxn
LKBK
LxK
Bxn
nn
nn

Số hạng thứ
n
triệt tiêu chỉ nhanh nh
n/1
. Phơng pháp
thông thờng để đẩy nhanh quá trình hội tụ l lấy tổng tất cả
chuỗi bao gồm phép xấp xỉ bậc dẫn đầu của từng số hạng:
)'()(
~
/
yYyYe
n
G
nn
Bxn

2
1

=
. (7.9)
Chuỗi còn lại


=








++
1
000

2

n
nn
Bxn
n
yYyYe
n
XyYyYX )'()()'()(
/
(7.10)
khi đó sẽ hội tụ nhanh hơn nhiều (cỡ

3
1 n/ ) (xem Kantorovich v
Krylov, 1964, tr. 79 để hiểu thêm về phơng pháp ny). Phép
lấy tổng ở đây có thể thực hiện đợc v đợc trình by chi tiết
trong Phụ lục 5.B; chúng tôi chỉ đa ra các kết quả sau:
2
2
1 1
2
1
'
ln
~
ss
ZZ
eeG



= , (7.11)
trong đó
[]
)'( yyjx
B
Z
s
+

=
,

[]
)'(
'
yyjx
B
Z
s
++

=
. (7.12)
Lu ý rằng
Z
l khoảng cách phức đợc chuẩn hoá từ điểm
vùng
),( yx đến nguồn )',( y 0 , v
s
Z

l khoảng cách phức đợc
chuẩn hoá từ
),( yx đến ảnh qua gơng của nguồn tại )',( y 0 .
Rất gần cửa,
1<<Br / , ta có 1 <<
s
Z . Vì
B
yj
ZZ
ss

'
'
2
+=
,
[]
)(
ss
Z
ZOZe
s
+=

11 ,

[]
)()(
s
ýj
Z
ZOee
s
+=


1 11
2
, (7.13)
nên suy ra

+







=

B
r
O
B
r
e
s
Z
1

1
2
2
,












+








=

B
r

O
B
r
B
y
e
s
Z
141
2
2
2


'
sin
'
. (7.14)
Thế những công thức ny vo phơng trình (7.11), ta có






+

=
B
r
O
B
y
B
r
G
'
sinln
~

21
, (7.15)

133
đây l phơng trình dạng logarit kỳ dị khi 0r . Đây l kết
quả mong đợi vì
0=
r
l điểm nguồn. Từ phơng trình (7.15),
thông lợng qua hình bán nguyệt nhỏ vô cùng lân cận điểm
nguồn ở phía
0>x bằng đơn vị. Do đó, G

~
biểu diễn phần kỳ dị
của hm Green, v chuỗi d trong phơng trình (7.10) phải l
đều tại điểm nguồn
0=
r
. Khai triển trong của G sẽ l
F
B
y
B
r
yyxG +










'
sinln)';,(

21

, (7.16)
trong đó

F
l giá trị của chuỗi d tại điểm nguồn
[]
)/(ln)/( ekaikaka
A
B
++

=
221
2

. (7.17)
Cuối cùng, khai triển trong của nghiệm bên ngoi l
kLikekakLkakL
LxkA
c
sin)/(lnsin)/(cos
)(cos
+
+
=
22
2

. (7.18)
Bây giờ ta có thể tiến hnh phép xứng hợp.
ở phía đại
dơng, các số hạng không đổi v các đại lợng
r

ln trong phơng
trình (7.2) v (7.3 a) cần phải ghép riêng biệt; ta đợc hai phơng
trình sau:








+

+=
2
1
2
2
2
0
ki
Q
g
iA
a
MC lnln
, (7.19)
v

=
H
Q
g
iM
. (7.20)
Tơng tự, khi ghép các phơng trình (7.3 b) v (7.18) ở phía
cảng
0<x ( 0
1
>x ), ta có






+










=+ F
B

y
B
Q
g
i
a
MC
H
'
sinlnln



21
2
, (7.21)


=
H
Q
g
iM
. (7.22)
Bốn phơng trình đại số (7.19)(7.22) có thể giải dễ dng
đối với các ẩn số
MQQC
H

0

,,, . Kết quả thấy ngay l
H
QQ =
0
,
điều ny có thể đoán trớc trên cơ sở sự liên tục. Kết quả quan
trọng nhất l
1
0
2
2







+

=

=

IF
i
A
g
Qi
Q

g
i
H
, (7.23)
trong đó
()








=
)/'(sin
ln
Byak
B
I


2
41
. (7.24)
Cuối cùng, nghiệm vùng xa trong cảng l

+

=

n
nnnH
yYyYxX
IFi
A
)'()()(
/

2
2
, (7.25)
nghiệm ny có thể sử dụng để tính toán bằng số phản ứng của
cảng tại hầu hết các điểm, ngoại trừ một vùng nhỏ bậc
)(aO
tính từ cửa cảng.
5.7.2 Phổ cộng hởng v sự phản ứng đối với các hi không
thuộc hi Helmholtz
Để lm rõ bản chất vật lý của các kết quả số trình by dới
đây, ta cần kiểm tra các công thức (7.23) v (7.25).
Khi số sóng tới
k gần bằng một trong các hi tự nhiên của
một vịnh kín,
21 22

/
])/()/[( LmBnk
mn
+= , thì có thể xảy ra hiện
tợng cộng hởng.
ở lân cận

mn
k

đặt
+=
mn
kk

, (7.26)
v giả thiết rằng

134
1

<<

mn
k
. (7.27)
Từ phơng trình (7.8 c) ta có
21
2
2

/
)(

+=
B
n
kLLK
mnn

,,, ,,,,, 3 2 1 2 1 0
2

==


+ mn
m
Lk
m
mn
(7.28 a)
hoặc

,,,,)(
/
3 2 1 0 2
21
0
== nmkL
n
(7.28 b)
Chú ý rằng trong cả hai phơng trình (7.28a) hoặc (7.28b)
LK
n
sin
đều gần bằng 0. Trong chuỗi của G hay của
F
, số hạng
thứ
n lớn hơn rất nhiều so với tất cả các số hạng còn lại. Số
hạng chính trong chuỗi
F
l
B
yn
BLk
c
c
B
yn
BKBK
LK
F

mn
mn
nn
nn
'
cos,
'
cos
sin
cos

2

2
2



=





,
(7.29)
khi có ít nhất một chỉ số
n hoặc m không bằng 0, trong khi đó
G đợc xấp xỉ bằng
)'(

)(
cos
))(/(cos
)'()(
yY
yY
m
LxLm
c
yYyYX
n
n
nnn





.
Phơng trình (7.25) cho phản ứng cảng bằng
)'(
)(
cos
))(/(cos
)(// yY
yY
m
LxLm
c
kIci

A
n
n
mn
H


+




2
2
, (7.30)
trong đó
[]
mn
kk
mn
kIkI


=
)()( (7.31)
l giá trị lớn dạng logarit đối với
ak
mn
nhỏ. Điều quan trọng l
phải chỉ ra rằng khi

0= , tức
mn
kk

= , vế phải của phơng trình
(7.30) tiếp cận đến giá trị không lớn
)'(
)(
cos
))(/(cos
yY
yY
m
LxLm
A
n
n




2
.
Do vậy, hi cộng hởng không trùng với hi tự nhiên của vịnh
kín. Yếu tố khuếch đại
cho hi ),( mn có thể đợc xác định
bằng phơng trình
)'(
)(
))(/(cos

yY
yY
LxLm
A
n
n
H


=

cosm

2
, (7.32 a)
trong đó
IiIc
Ic
//
/
+
=
2
1
. (7.32 b)
Phơng trình (7.32 b) có cùng dạng nh phơng trình (4.15)
đối với ví dụ mẫu. Vì vậy, số hạng Ii 2/ có liên quan đến sự suy
giảm phát xạ, nó phụ thuộc vo độ di dịch tần số
. Xét bình
phơng của yếu tố khuếch đại

222
2
2
4IIc
Ic
/)/(
)/(
+
=
. (7.33)
Cực tiểu của mẫu xảy ra tại
I
c
I
I
c
p







+=
1
2
4
1
1

.
Nh vậy, số sóng cộng hởng hơi lớn hơn giá trị tự nhiên
mn
k

,
I
c
kk
mnmn
+

~
. (7.34)
Hiệu chỉnh
Ic /
giảm khi độ rộng của cửa cảng thu hẹp. Giá
trị đỉnh
2
của (7.33) l
2
2
4I
max
. (7.35)

135
Có thể dễ dng thấy rằng khi
2
2I

c
I
c

,
thì giá trị phản ứng bình phơng giảm xuống còn bằng một nửa
giá trị tại đỉnh. Vì vậy,
2
2Ic / thực chất l một nửa độ rộng của
đỉnh cộng hởng trên đồ thị của
2
theo k . Theo định nghĩa
của
I
, sự suy giảm độ rộng cửa sẽ dẫn đến tăng
I
, do đó tăng
2

v giảm độ rộng đỉnh cộng hởng. Mặc dù thu hẹp độ rộng
cửa cảng sẽ lm giảm thay độ tinh chỉnh cộng hởng, nhng
nếu điều tần tốt thì phản ứng đỉnh vẫn rõ nét. Cơ chế ny liên
quan với sự suy giảm phát xạ tơng ứng với số hạng
Ii /
trong
phơng trình (7.32). Tỉ lệ với
2
2Ic / tại điểm cộng hởng, sự suy
giảm phát xạ sẽ giảm mạnh khi
a

giảm. Vì vậy, năng lợng
thoát ra khỏi cảng khó hơn nhiều v sự khuếch đại cờng độ sẽ
lớn hơn. Kết quả ny lại một lần nữa mâu thuẫn với kinh
nghiệm của nh thiết, nh kế thờng muốn thu hẹp cửa cảng để
bảo vệ cảng tốt hơn v đây chính l điểm nghịch lý cảng. Lu ý
rằng đỉnh cộng hởng cng nhọn thì diện tích dới đờng cong
xấp xỉ bằng
c
I
c
2
2
2
2
=
max
, (7.36)
diện tích ny không phụ thuộc vo độ rộng cửa cảng v giảm
khi hi cộng hởng cao hơn (
n hoặc m tăng) (Garrett, 1970).
Nếu các sóng tới l quá trình ngẫu nhiên dừng với phổ l
)(kS
I
,
có thể chứng minh rằng bình phơng trung bình của phản ứng
trong cảng tỉ lệ với
dkkkS
I
2
0

)()(
nh trong trờng hợp các dao động đơn. Đỉnh cộng hởng tại
mn
k

sẽ góp vo tích phân trên đây một lợng xấp xỉ bằng tích
của
)(
mnI
kS

v diện tích của đờng cong
2

phía dới đỉnh.
Vậy phơng trình (7.36) có nghĩa rằng phản ứng bình phơng
trung bình l không đổi khi thu hẹp cửa cảng. Đây l một điểm
nữa của nghịch lý cảng.
Kết hợp hai phơng trình (7.29) v (7.23), lu lợng trên
một đơn vị độ sâu gần đỉnh cộng hởng qua cửa cảng sẽ l






+

=

Ici
A
g
Qi
//
2
2
0
. (7.37)
Lu ý rằng khi độ rộng cửa cảng
a mất đi,
mn
kk

=
v
0
0
=Q , thnh thử áp suất sẽ truyền qua cửa còn khối lợng thì
không. Tại điểm cộng hởng, đại lợng
gQ /
0

đơn giản bằng
A
4 ; vận tốc dòng chảy trung bình tơng ứng qua cửa
E

U
bằng
a
gAT
a
gA
a
Q
U
mn
mn
E

=

==


0
2

2

max
, (7.38)
trong đó
mn

l tần số cộng hởng
mn

kgh

21 /
)(=
v
mn
T

l chu kỳ
tơng ứng. Nh một thí dụ bằng số ta cho 200
=a m, 20,=A m,
v
10

=
mn
T
phút, thì
6 =
E
U m/s.
Nếu bề dy của đê chắn sóng l 10m, thì số Reynolds cục bộ
cực đại l
7
106ì
. Vì dòng chảy dao động, số Reynolds tức thời
sẽ thay đổi từ 0 đến
)(
8
10O

. Trên thực tế sẽ có hiện tợng tiêu
hao năng lợng đáng kể do dòng cuộn xoáy phía sau v rối.
Phơng trình (7.38) cũng cho thấy rằng
E
U tỷ lệ nghịch với độ
rộng
a của cửa, điều ny cho thấy với các cửa hẹp hơn thì các
hiệu ứng chất lởng thực sẽ quan trọng hơn. Chơng 6 sẽ trình
by tiếp về hiện tợng tiêu hao năng lợng tại cửa cảng.
5.7.3 Hi Helmholtz
Những phân tích trớc đây (cụ thể l phơng trình (7.28))

136
không nghiên cứu trờng hợp
0== mn
dẫn đến 0
00
=k . Vì
0
X
v
0
Y l các hằng số, nên mặt tự do nâng lên v hạ xuống đồng
đều trong ton vịnh, v do đó tơng ứng với hi Helmholtz hay
hi bơm. Từ phơng trình (7.8 c) ta có
k= v
== kK
n
(7.39)
thay cho phơng trình (7.28). Các số hạng đầu trong chuỗi

F
v
G có liên quan đến số hạng 0=n , v phản ứng cảng l
B
L
k
I
B
L
k
i
A
H
22
1
12
2
+


/
/
. (7.40)
Số sóng cộng hởng
00
k
~
xấp xỉ bằng căn của phơng trình siêu
việt
0

1
2
= I
B
L
k
hay
I
BLk
1
2
= ,
00
kk
~
, (7.41)
do
I
phụ thuộc vo k . Khi a giảm,
I
tăng dẫn đến k giảm đi.
Yếu tố khuếch đại bình phơng sẽ bằng
22
4
1
22
2
1
1
)/(

)/(
IBLk
BLk
+
=
. (7.42)
Giá trị đỉnh của (7.42) sẽ xấp xỉ bằng
2
4
I
khi thoả mãn
phơng trình (7.41). Ta tính đợc nửa độ rộng của đỉnh bằng
cách đặt
2
11
2
= I
BLk
hay
213
1
4
1
/
)(
~
BLI
kk ==

. (7.43)

Khi
a giảm,
2
max

tăng v độ rộng của đỉnh giảm đi. Tuy
nhiên, diện tích dới đỉnh đờng cong
2
theo k , sẽ tỉ lệ thuận
với
21
213
2
4
4
1
/
/
)(






=
BL
I
BLI
I

, (7.44)
biểu thức ny sẽ tăng, dù tăng rất ít, khi
a giảm. Nghịch lý
cảng sẽ thể hiện yếu hơn đối với hi Helmholtz, nếu cho rằng
mất mát ma sát sẽ quan trọng hơn tại cửa cảng. Vấn đề ny sẽ
thảo luận chi tiết trong chơng 6.
5.7.4 Các kết quả v thực nghiệm số
Phản ứng của cảng hình vuông đã đợc Unluata v Mei
(1973) tính toán theo phơng trình (7.25) cho một dải rộng các
số sóng; những kết quả ny phù hợp với những kết quả Miles
đa ra năm 1971 bằng một phép phân tích xấp xỉ khác. Hai giá
trị độ rộng cửa khác nhau đã đợc xét, xem hình 7.3. Hiệu ứng
giảm
a phù hợp với các phân tích trong các mục 5.7.2 v 5.7.3.

Hình 7.3 Phản ứng bình phơng trung bình
v cờng độ
dòng chuẩn hoá
)/()/( AQg 2
0
tại cửa cảng.
2
1032

ì=Ba / (đờng liền nét);
2
1058502

ì= ,/ Ba
(đờng gạch nối). đợc định nghĩa trong phơng trình (9.5)

Các lý thuyết giải tích xấp xỉ cho cảng hình tròn đã đợc
Miles v Lee đa ra 1971. Ngoi ra, Lee đã tiến hnh những thí
nghiệm rất phù hợp với lý thuyết tuyến tính. Chỉ có một khác

137
biệt đáng kể xuất hiện đối với các đỉnh cộng hởng tần thấp
nhất, ở gần đó có lẽ ma sát quan trọng, xem hình 7.4. Có thể chỉ
ra rằng các thí nghiệm của Lee tiến hnh ở vùng nớc rất sâu,
1>>kh v phép so sánh với lý thuyết sóng di dựa trên tính
đồng dạng đối với các thuyết tuyến tính với độ sâu không đổi v
các vách đứng. Tuy nhiên, trong phòng thí nghiệm, tính phi
tuyến l không thể tránh khỏi ở các vùng nớc nông v các sự
khác biệt giữa các thí nghiệm nớc nông v lý thuyết sóng di
tuyến tính chắc hẳn l khá lớn.
5.7.5 Các hiệu ứng của kênh vo hữu hạn
Đối với một cảng có một thủy vực đơn, Carrier, Shaw v
Miyata (1971) đã phát hiện rằng độ di hữu hạn của kênh vo,
hay bề dy hữu hạn của một đê chắn sóng tại cửa vo, có cùng
hiệu ứng về mặt định tính nh một cửa hẹp. Kết luận ny cũng
có thể chứng minh bằng các phép tiệm cận xứng hợp. Đối với
một kênh nối, độ rộng
d2 cùng bậc đại lợng nh độ rộng a2 ,
nghiệm vùng gần có thể đợc tính bằng phép biến đổi Schwarz
Christoffel. Năm 1944 Davey đã đa ra các kết quả ở dạng các
tích phân eliptic v đợc Guiney, Noye v Tuck (1972) áp dụng
cho sự truyền sóng nớc sâu qua một khe hẹp. Unluata v Mei
(1973, khi xét dao động cảng) v Tuck (1975, khi khảo sát sự
truyền sóng qua các lỗ hổng nhỏ) đã cho biết rằng tất cả các kết
quả nghiên cứu cho một khe hở hẹp có thể áp dụng giải thích cho

một khe hổng giữa tờng dầy nếu đa ra độ rộng hữu hiệu
e
a
thay cho độ rộng thực tế. Độ rộng hữu hiệu
e
a đợc cho dới
dạng tham số (thông qua
v
) bằng các mối liên hệ sau:
21
2
/
pv
a
a
e
= , )''''( EKvK
p
a
d
22
2
2
= , (7.45)
trong đó
12
)2(


= KvEp

,
2/12
)1( vv =

,
=



=
=
)(
)(
vKK
vEE
tích phân eliptic hon chỉnh loại






hai
một

,
)(),( vKKvEE

.

Hình 7.4 Đờng cong phản ứng tại
70,=r
bộ,
o
45= , cảng tròn bán
kính
750,= bộ. Các đờng liền nét v gạch nối tơng ứng với hai lý thuyết
khác nhau;
: theo thí nghiệm. (a) mở
o
60 ; (b) mở
o
10 (theo Lee, 1971)

138
(Chú ý rằng các ký hiệu
E
v
K
l các qui ớc dùng trong ti liệu
về các tích phân eliptic, chứ không có nghĩa l các ký hiệu chỉ đại
lợng).


Hình 7.5 Tỉ số aa
e

/ giữa độ rộng hữu hiệu v độ rộng thực của kênh nối
nh l hm số của tỉ số độ dầy v độ rộng
ad / . Phơng trình (7.45): đờng
liền nét; phơng trình (7.46): đờng gạch nối (Mei v Unluata, 1978)

Chi tiết để dẫn lập các phơng trình (7.45) khá phức tạp v
có trong ti liệu của Unluata v Mei (1973). Chúng ta chỉ diễn
tả một cách đơn giản l
aa
e
/ giảm đơn điệu theo ad / . Phép
xấp xỉ tờng minh hơn cho các phơng trình (7.45) đúng cho
ad / lớn l












+

1
2
8
a
d
a
a
e
exp , (7.46)
nó rất chính xác đối với 50
,/ >ad . Thực tế thậm chí đối với
0=ad / , phơng trình (7.46) vẫn cho một kết quả khá tốt:
=aa
e
/ 9370, (xem hình 7.5).
5.8 Tác dụng của đê chắn sóng nhô ra biển
Đờng bờ ở gần cửa cảng thờng không phải l đờng thẳng
do địa hình tự nhiên hoặc do đê chắn sóng hớng ra biển. Đó l
hình thái thờng thấy ở các cảng nhỏ tại các bờ nông. Về
phơng diện vật lý, đê nhô ra biển lm thay đổi các sóng phân
tán khi cửa cảng đóng; do đó, nhân tố cỡng bức tại cửa sẽ khác
với trờng hợp đờng bờ thẳng. Bức tranh phát xạ cũng khác vì
bây giờ cửa cảng thờng giống nh một chiếc loa phóng thanh
nhô ra biển từ một vách chắn. Hình dạng nhô ra v vị trí của
cửa cảng đã trở thnh một yếu tố mới cần đợc xem xét khi
thiết kế v vận hnh cảng.

Hình 8.1 Cảng dạng tròn với đê chắn sóng nhô ra biển
Để minh hoạ ảnh hởng của việc nhô ra biển, ta theo
phơng pháp của Mei v Petroni (1973) v xét một cảng hình

139
tròn với một nửa diện tích nằm sau bờ biển thẳng. Đê chắn sóng
l một cung hình bán nguyệt với cửa mở tại
0
= . Cửa cảng đối
diện với góc
2 (xem hình 8.1).
5.8.1 Biểu diễn nghiệm
Xét nghiệm ở bên ngoi cảng. Ta nghiên cứu bờ biển thẳng
trớc, sau đó l đê chắn sóng hình bán nguyệt v cuối cùng l
cửa cảng. Lấy góc tới l
I
nh hình 8.1.
Bờ biển phản xạ hon phần dọc theo trục
y sinh ra sóng
phản xạ
I

cùng với sóng tới
I
. Tổng các sóng l
[
]
[]
)()(cos)()(cos)(
)cos()cos(
'
krJmimiA
eeA

m
m
I
m
I
m
m
ikrikr
II
II


++=
+=+
++










+

=
m
mIIm

krJmm
m
imm
m
A )(sinsinsincoscoscos
22
2
,
2 1 0 ,,,=m (8.1)
Dễ dng chứng minh rằng không có vận tốc vuông góc trên
trục
y , nghĩa l
()
2
0
1

==+


,
'II
r
. (8.2)
Sự tồn tại của một xy lanh tròn thể rắn nằm tại gốc toạ độ
sẽ tạo ra các sóng phân tán phát xạ ra ngoi vô cực. Do đó,
chúng ta cần bổ sung vo phơng trình (8.1) các số hạng tỷ lệ
với

m
m
krH
m
sin
cos
)(
, trong đó
m
H l các hm Hankel loại một.
Các hệ số cần đợc lựa chọn sao cho tổng
'II
+ v
S
phân tán
thoả mãn phơng trình
ar
r
==


0

0
, , (8.3)
trong đó
SII
++=
'0
(8.4)
l nghiệm cho bi toán nhiễu xạ đối với bán đảo hình tròn
trên một bờ biển thẳng. Kết quả l









+

=
m
IIm
mm
m
imm
m
Ar sinsinsincoscoscos),(
22
2

0

arkrH
kaH
kaJ
krJ
m
m
m
m









ì ,)(
)(
)(
)(
(8.5)
trong đó ( ) ký hiệu phép vi phân theo đối số. Chú ý rằng điều
kiện biên trên đờng bờ vẫn đợc thoả mãn. Nghiệm trên có thể
đợc ví nh l hai sóng phẳng đi đến đối xứng từ hai phía đối
diện của trục
y v bị phân tán bởi một trụ hình tròn trong biển
mở. Phần tơng tự âm thanh đối với một sóng tới đã đợc biết

rõ (Morse v Feshbach, 1953, Tập 2, tr. 1387).
Để hon thiện trờng sóng ở bên ngoi cảng, ta cần tiếp tục
điều chỉnh đối với tác động piston tại cửa cảng. Li độ tơng ứng
có thể cho một cách hình thức nh sau

+

=
m
mm
m
m
R
aRmBmA
kaHka
krH
),sincos(
)(
)(
, (8.6)
trong đó
m
A v
m
B l các đại lợng cần tìm.
Tóm lại, trờng sóng tổng cộng bên ngoi cảng l
<+=
2
1
0

0
,, ar
R
. (8.7)
Li độ trong cảng
H

phải thoả mãn phơng trình
Helmholtz sao cho nghiệm hình thức l

+

=
m
mm
m
m
H
mDmC
kaJk
krJ
r )sincos(
)(
)(
),( , (8.8)
trong đó
m
C v
m
D vẫn l các ẩn cha biết.