Phân tích thống kê trong thủy văn ( ĐH Quốc Gia HN ) - Chương 2 ppsx

22

Chơng II

Phân tích tần suất
Nh đã phân tích ở chơng 1, chúng ta coi chuỗi thuỷ văn là ngẫu nhiên, độc lập
và đồng nhất và có thể áp dụng lý thuyết xác suất thống kê trong phân tích tần suất.
Kiểm định chặt chẽ hơn các giả thiết này sẽ đợc đề cập trong chơng 3 và 5.
2.1. Đờng tần suất kinh nghiệm
Đờng tần suất kinh nghiệm là đờng cong tần suất vẽ theo các điểm kinh
nghiệm biểu thị quan hệ giữa tần suất và giá trị quan trắc thực. Để vẽ đợc đờng tần
suất kinh nghiệm phải tính đợc tần suất kinh nghiệm.
2.1.1.Công thức tính tần suất kinh nghiệm
Ban đầu ngời ta sử dụng công thức (1.2), nhng sau đó thấy rằng ứng với số
hạng cuối (khi m=n) nó luôn luôn cho tần suất không đổi là 100%, dù là chuỗi ngắn
hay dài. Đây là điều không hợp lý. Vì vậy các nhà chuyên môn đã đề xuất các công
thức khác để khắc phục nhợc điểm này. Sau đây là một số công thức tính tần suất
kinh nghiệm thờng dùng hiện nay trong thuỷ văn.
a. Công thức số trung bình (Hazen)

%.
,
100
50
1
n
m
P

(2.1)
b. Công thức số giữa (Tsegođaev)

%100.
4,0
3,0
2



n
m
P
(2.2)
c. Công thức số kỳ vọng

%.100
1
3


n
m
P
(2.3)
Ví dụ 2.1: Theo 3 công thức trên tính toán cho chuỗi số liệu dòng chảy năm trạm
Hoà Bình trên sông Đà (1956-2002) đợc kết quả nh bảng 2.1
So sánh thấy rằng:
Với P<50% (dòng chảy lớn) thì cùng giá trị X cho P

3
>P
2
>P
1
và P
3
an toàn hơn.
Với P>50% (dòng chảy nhỏ) cùng một giá trị X cho P
3
<P
2
<P
1
và P
3
an toàn hơn.

Bảng 2.1: Tính tần suất kinh nghiệm chuỗi dòng chảy năm trạm Hoà Bình-sông Đà
TT Năm Q
i
Q
i
Tần suất kinh nghiệm (%)


23

đã sắp xếp

P
1
P
2
P
3

1 1956 1800 2240 1,06 1,48 2,08
2 1957 1420 2180 3.19 3,59 4,17
3 1958 1550 2160 5,31 5,70 6,25
4 1959 1810 2120 7,45 7,81 8,33
5 1960 1590 2110 9,57 9,92 10,42








43 1998 1950 1360 90,42 90,08 89,58
44 1999 2240 1330 92,55 92,19 91,67
45 2000 1850 1260 94,68 94,30 93,75
46 2001 2120 1240 96,81 96,41 95,83
47 2002 2160 1230 98,94 98,52 97,92

Bảng 2.2: Tính tần suất kinh nghiệm dòng chảy lớn nhất năm trạm Dừa-sông Cả
TT Năm Q
i
Q

i
đã sắp xếp

Tần suất kinh
nghiệm (%)
1 1959 1830 2489 1,19
2 1960 1959 2460 3,57
3 1961 2017 2366 5,95
4 1962 2284 2357 8,86
5 1963 2341 2341 10,71









38 1986 2313 1816 89,29
39 1987 1867 1753 91,67
40 1988 1619 1693 94,03
41 1989 1826 1672 96,43
42 1990 2076 1619 98,81
2.1.2. Phơng pháp vẽ đờng tần suất kinh nghiệm
Bớc đầu, để vẽ đờng tần suất kinh nghiệm ta phải thực hiện các bớc sau:
- Sắp xếp chuỗi số liệu theo thứ tự giảm dần
- Tính P theo công thức công thức kinh nghiệm tuỳ theo từng trờng hợp.
- Trên giấy kẻ ô, chấm các điểm quan hệ (thờng chọn trục hoành X là giá trị P,
trục tung Y là giá trị dòng chảy (hoặc hệ số môđun).

- Vạch một đờng cong trơn đi qua các nhóm điểm, đợc một đờng có xu thế cong 2
chiều, có dạng nh hình 2.1a,b.
Ví dụ 2.2: Tính và vẽ tần suất kinh nghiệm cho chuỗi dòng chảy lớn nhất năm
(1959-1990) trạm Dừa-sông Cả (bảng 2.2).


24

Tổng số năm là n=42. Tính tần suất kinh nghiệm theo công thức số giữa (2.2)
(bảng 2.2). Sau đó chấm các điểm kinh nghiệm lên giấy kẻ ô vuông (hệ toạ độ Đêcac)
đợc hình 2.1a. Dạng khái quát chung nh hình 2.1b.










Hình 2.1a: Đờng tần suất kinh nghiệm Qmax trạm Dừa sông Cả (giấy ô vuông)

Hình 2.1b: Đờng tần suất khái quát (giấy ô vuông)
Tuy nhiên trong tính toán thuỷ văn thiết kế thì tần suất quy định thờng ra khỏi
phạm vi khống chế của chuỗi quan trắc và đờng kinh nghiệm (P<10% hoặc P>90%),
trong khi dạng đờng này lại có 2 hớng cong ở 2 đầu nên rất khó cho phân tích và
ngoại suy. Vì vậy ngời ta tìm một đờng cong toán học phù hợp với dạng đờng kinh
nghiệm trong phạm vi khống chế của chuỗi quan trắc để mô phỏng. Đờng này gọi là
đờng tần suất lí luận, đợc xác định dựa trên một số đặc trng thống kê cơ bản.
Đồng thời cũng sử dụng loại giấy đặc biệt có lới xác suất để uốn thẳng các đờng tần
suất.
2.2.Giấy xác suất (giấy tần suất)
Trên giấy tần suất có lới xác suất nhằm mục đích chuyển hoá các trục theo các
thang tỷ lệ khác nhau để đờng tần suất trở thành đờng thẳng, tạo cho việc ngoại
suy đợc dễ dàng.
2.2.1. Giấy tần suất theo luật phân bố chuẩn (giấy Hazen)
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
0
20
40
60
80
100
P

K
S e rie s1
0 10 20
30 40 50 60 70 80 90 100
P(%)



25

Sử dụng đờng tần suất của hệ số môđun K có phân bố chuẩn với các thông số là:
K
=1, C
v
=1 và C
s
=0. Đờng vẽ trên hệ trục toạ độ vuông góc nẳm ở bên trái hình 2.2.
Tiến hành chuyển hoá thang tỷ lệ trục hoành (tần suất) qua đờng thẳng nằm bên
phải hình 2.2. Thang độ của trục tung đợc giữ nguyên. Góc nghiêng của đờng thẳng
bên phải hình trên cho ta phạm vi và tỷ lệ của thang tần suất ở trục hoành.

Hình 2.2. Sơ đồ vẽ giấy tần suất Hazen
Chuỗi quan trắc thuỷ văn thờng không có phân bố chuẩn nên đờng vẽ trên giấy
Hazen sẽ không thẳng.
Nếu C
s
>0 thì đờng có dạng lõm (so với trục ngang-tần suất).
Nếu C
s
<0 thì đờng có dạng lồi.

C
s
càng lớn thì đờng có độ cong càng lớn.









Hình 2.3: Đờng tần suất kinh nghiệm Qmax trạm Dừa sông Cả (giấy tần suất)
Hình 2.3: Đờng tần suất kinh nghiệm Qmax trạm Dừa sông Cả (giấy tần suất)

Với C
v
khác nhau thì đờng tần suất trên giấy Hazen sẽ cho ta góc nghiêng khác
nhau. C
v
càng lớn thì góc nghiêng càng lớn. Vì vậy có thể nói góc nghiêng của đờng
thẳng biểu thị phân bố chuẩn sẽ xác định hệ số biến đổi.
Nếu C
v
>0,3 thì đờng tần suất vẽ trên giấy Hazen có một phần đi xuống dới giá
trị âm (<0), mâu thuẫn với bản chất vật lý của hiện tợng thuỷ văn, nên những giá trị
âm không đợc phản ảnh trên giấy tần suất.
Trên giấy Hazen ta xác định đợc đờng tần suất kinh nghiệm Q
max
trạm Dừa,

sông Cả nh hình 2.3.
2.2.2. Giấy tần suất theo phân bố nhị thức P.III (giấy Brokovich)


26

Chuỗi thuỷ văn thờng có C
s
0, khi đó đờng tần suất trên giấy Hazen có dạng
cong, nên ngời ta muốn uốn thẳng đờng này, trong đó chú ý đến trờng hợp C
s
=2C
v
,
khi mà đờng Pearson III trùng với đờng Kritski-Menkel. Chọn dạng phân bố P.III
với các thông số:
K
=1, C
v
=1 và C
s
=2C
v
.
Xuất phát từ giấy Hazen, tức là trục hoành (P) giữ thang tỷ lệ theo Hazen, còn
trục tung (trục K) đợc chia lại theo tỷ lệ để đờng tần suất trở thành đờng thẳng
(cho C
s
= 2C
v

). Đờng tần suất với các thông số đã chọn đợc vẽ trên giấy Hazen, chỉ
ra ở phía dới của hình 2.4. Góc nghiêng của đờng thẳng chuyển hoá, chỉ ra ở phía
trên của hình 2.4, xác định tỷ lệ thang tung độ.
Trên cơ sở này Brokovich thiết lập các loại giấy tần suất ứng với các tỷ số C
s
=
1,0C
v
; C
s
= 1,5C
v
; C
s
= 3,0C
v
; C
s
= mC
v
. Giá trị m càng lớn thì góc nghiêng của
đờng càng lớn.
2.2.3. Giấy tần suất theo luật phân bố log-chuẩn
Loại giấy tần suất này có thể nhận đợc từ lới xác suất theo quy luật phân bố
chuẩn nhng trục tung đợc chia theo logarit của K. Lới này thờng sử dụng khi
chuỗi có phân bố rất không đối xứng, tơng ứng với hệ thức C
s
= 3,0C
v
+C

v
3
.

Hình 2.4. Sơ đồ vẽ giấy tần suất Brokovich

2.2.4. Giấy tần suất theo luật phân bố Goodrich
Có thể nhận đợc bằng cách chuyển hoá đờng tần suất logK trên giấy kẻ ô
vuông. Đờng tần suất ban đầu có các thông số
K
=1, C
v
=1,0 và C
s
=2,0 (hình 2.5).
Thang độ tần suất ở hoành độ có thể kết hợp với thang tung độ chia đều của logK hoặc
thang tung độ logarit của K. Các bớc thực hiện nh sau:


27

Hình 2.5. Sơ đồ vẽ giấy tần suất Goodrich
Vẽ đờng tần suất logK - P trên giấy kẻ ô vuông.
Giữ trục logK (hoặc thang độ logarit), chuyển trục P theo thang tỷ lệ mới để có
đờng thẳng.
2.2.5. Giấy tần suất theo luật phân bố Gumbel
Giấy tần suất Gumbel có thể nhận đợc bằng cách chuyển hoá luật phân bố
Gumbel. Sơ đồ chuyển hoá đờng cong gốc không khác các phơng pháp đã xét ở trên.
Do phân bố Gumbel đợc đặc trng bởi một giá trị cố định của hệ số không đối xứng
nên không cần thiết chọn lới nh khi sử dụng phân bố nhị thức (hay Kritski-Menkel)

(hình 2.6)[32].

Hình 2.6. Giấy tần suất theo luật phân bố Gumbel

Hiện nay ở Việt Nam thờng chỉ dùng giấy tần suất Hazen, vì thực tế để ngoại
suy cho các tần suất nhỏ ngời ta sử dụng công thức tính và các bảng tra dựa trên các
thông số thống kê. Đờng tần suất trên giấy chỉ để mô tả hình dạng và phân tích hiệu
chỉnh.
2.3. Đờng tần suất lý luận
2.3.1. Khái niệm
Là đờng cong toán học phù hợp với dạng đờng kinh nghiệm trong phạm vi của
chuỗi quan trắc, cho phép ngoại suy đến các tần suất nhỏ và lớn mà chuỗi quan trắc
ngắn không đủ khống chế .
Đờng tần suất lý luận đợc xác định theo các dạng hàm phân bố xác suất, tức là
các phơng trình biểu thị quan hệ giữa X, hoặc K với P.
Mỗi đờng tần suất đợc xác định bởi một số thông số thống kê xác định, trong
thuỷ văn thờng là 3 thông số chủ yếu
X
, C
V
và C
S
. Các thông số của hàm phân bố
xác suất tơng ứng đều có thể quy về 3 thông số cơ bản trên.
2.3.2. Các đờng tần suất lí luận


28

Trớc khi xem xét các đờng tần suất lí luận chúng ta khảo sát một số hàm phân

bố rời rạc, thờng áp dụng trong thuỷ văn và là cơ sở ban đầu cho sự hình thành các
phân bố liên tục hay đờng tần suất sau này.
a. Các phân bố rời rạc
* Phân bố nhị thức
Trong một số trờng hợp tập hợp các biến thuỷ văn chỉ gồm 2 loại riêng rẽ xung
khắc nhau, chẳng hạn ma hay không ma, lũ vợt hay không vợt một độ lớn đã cho,
một giả thuyết đúng hay sai. Xác suất xuất hiện một biến cố là p và xác suất không
xuất hiện là q=1-p. Sự xuất hiện đợc coi là thành công, trái lại sự không xuất hiện
đợc coi là thất bại. Dĩ nhiên ta có p+q=1. Thông thờng giả định là các kết quả thành
công hình thành một chuỗi biến số độc lập và ngẫu nhiên. Mỗi biến ngẫu nhiên nh
thế gọi là biến Bernoulli, và mỗi lần thực hiện là phép thử Bernoulli, tức là phép thử
mà mỗi lần biến ngẫu nhiên chỉ nhận giá trị 1 hay 0 (tức là chỉ thành công hay thất
bại) với các xác suất là p và q=1-p, nghĩa là xác suất p{x=1} = p và p{x=0} = q.
Xác suất thành công của mỗi phép thử là p. Chúng ta tìm xác suất P(m) để trong
n phép thử có m lần thành công, còn lại (n-m) lần thất bại. Xác suất đó chính là hàm
mật độ:

mnmmnmn
m
qp
mnm
n
qpCmP



)!(!
!
)(
(2.4)

nghĩa là bằng số hạng thứ (n-m) hay số hạng chứa đại lợng p
m
trong khai triển của
nhị thức (q+p)
m
.Vì vậy phân bố đợc gọi là phân bố nhị thức.
Một trờng hợp đặc biệt khi mà xác suất thành công hay thất bại bằng nhau và bằng 1/2,
nghĩa là p=q=1/2. khi đó (2.4) đa đến:

)!(!
!
)!(!
!
)(
mnm
n
qp
mnm
n
mP
n
mnm





2
(2.5)
- Hàm luỹ tích:

Trong thực tế cũng yêu cầu xác định xác suất xuất hiện không quá r lần thành
công, hay ngợc lại không quá r lần thất bại trong n phép thử, tức là ta phải xác định
hàm phân bố luỹ tích của nó:





r
m
mnmn
m
qpCrmP
0
)(
(2.6)
Nhng trong thuỷ văn thờng xác định xác suất vợt hay tần suất, do đó:

)()( rmPrmP 1
(2.7)
Dạng đờng phân bố nh hình (2.7).


29



Hình 2.6. Đờng phân bố nhị thức

- Các thông số phân bố

Nếu mỗi phép thử thứ i đợc biểu thị bằng một biến số x
i
thì phân bố nhị thức có
những thông số thống kê sau:
Số trung bình: M(x)=np; (2.8)
Phơng sai: D(x)=npq; (2.9)
Khoảng lệch chuẩn:
npqD

; (2.10)
Hệ số biến đổi:
np
q
C
V

; (2.11)
Hệ số không đối xứng:
q
np
npq
pq
C
S
5
)(



; (2.12)

Hệ số nhọn:
3
61



npq
pq
C
e
. (2.13)
- Tính chất: Bị chặn bởi x=0 và x=1.
Ngời ta cũng lập bảng tra cho phân bố nhị thức nh phụ lục (2.1).
Phân bố nhị thức thờng đợc dùng khi xác định các sự kiện thuỷ văn hiếm nh
khô hạn hay ngập lụt.
Ví dụ 2.3[32]: Xác định xác suất để trong 20 năm quan trắc dòng chảy xẩy ra
không quá 5 năm khô cạn. Thực tế quan trắc trên nhiều sông thấy rằng trong 20 năm
thờng có 4 năm khô hạn, nh vậy p=4/20=0,2. Chúng ta có n=20; r=5; p=0,2 và q=1-
p=0,8. Từ công thức (2.6) tính đợc:






mmm
m
mnmn
m
CqpCmP

20
20
5
0
80205 ,,)(
0,808,
và theo (2.7) đợc xác suất để trong 20 năm xẩy ra hơn 5 năm khô cạn là:

)()( 515 mPmP
=1-0,808=0,192,
tức là xác suất khá nhỏ.
n=10, p=1/4 v q=3/4

PHN bố Nhị THứC

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n=10, p=q=1/2



rnr
qp
rnr
n
rxp



!!
!

)(



30

* Phân bố Poisson
Phân bố này biểu diễn xác suất xuất hiện các biến cố rời rạc, tức thời và độc lập
trong một khoảng thời gian (hay không gian) đã cho. Phân bố Poisson đợc suy ra từ
phân bố nhị thức khi


n
và np=

hữu hạn và không đổi.
Thực vậy, từ phân bố nhị thức ta có:
mnmmnmmnmn
m
pp
m
mnnnn
qp
mnm
n
qpCmP

)(
!
)) ()((
)!(!
!
)( 1
121
( 2.14)
Nhân tử và mẫu của (2.14) với n
m
và đổi biến np=

ta có:
mnm
m
p
mn
mnnnn
mP



)(
!
)) ()((
)( 1
121

(2.15)

Lại chia tử số cho n
m

ta đợc:

m
nm
p
p
mn
m
nn
mP
)(
)(
!
)) ()(()(



1
11
1
2
1
1
1

(2.16)
Đa từng phần của biểu thức (2.16) tới giới hạn.

Ta biến đổi biểu thức:
























p
np
pn
ppp
11

111 )()()(
và lấy giới hạn khi
0

p
:

Lim
p 0













p
p
1
1 )(
=


e

Tiếp tục lấy giới hạn của phần còn lại khi


n
và
0

p
:

1
1
1
1
2
1
1
1
0






m
p
n
p

n
m
nn
Lim
)(
)) ()((

Đa 2 giới hạn trên vào công thức (2.16) ta đợc hàm mật độ phân bố Poisson.
- Hàm mật độ (Hình 2.3):




e
m
mxPxf
m
!
)()(
, (2.17)
hoặc
x
exf



)(
(2.18)

Hình 2.8. Phân bố Poisson

31

- Hàm luỹ tích: Là xác suất vợt (tần suất) hoặc không vợt của m biến cố trong n
phép thử:




m
i
m
ipmxPP
0
)()(
, (2.19)
và
m
mi
m
PipmxPQ



1
1
)()(
(2.20)
Hàm luỹ tích có thể thu đợc từ họ đờng cong nh hình (2.8) với giá trị trung

bình

=np mà không cần tính toán theo các công thức ở trên.
- Các thông số: Chỉ có một thông số

, đợc xác định từ thực nghiệm. Các đặc
trng thống kê thờng dùng trong thuỷ văn có thể suy ra từ

:
Kỳ vọng: m(x) =

; (2.21)
Phơng sai: D(x)=


2
, do đó :


; (2.22)
Hệ số biến đổi:

1

v
C
; (2.23)
Hệ số bất đối xứng:

1
21

/
vs
CC
; (2.24)
Hệ số nhọn:

1
3
e
C
(2.25)
Dạng đờng tần suất không khác nhiều với phân bố nhị thức, ngay cả khi dung
lợng mẫu tơng đối nhỏ, đặc biệt khi

giảm (hình 2.9).
- Tính chất:
Bị giới hạn dới:
0

x
.
- Bảng phân bố Poisson, có thể lập bảng tra sẵn ứng với

và m. Bảng này có ở
nhiều sách giáo khoa, ở đây đa ra bảng với số hạng của hàm
!
m

e
m



[10] (phụ lục 2.2).
Cũng có thể tính theo hàm trong bảng tính Excel.
- ứng dụng: Phân bố Poisson đợc dùng trong việc xác định các hiện tợng thuỷ
văn hiếm, vận chuyển ô nhiễm hay quá trình xẩy ra ma.
1-Luật nhị thức p=0,2, n=25; 2- Luật nhị thức p=0,1, n=50; 3- Phân bố Poisson =5


32

Hình 2.9: So sánh phân bố Poisson và nhị thức

Ví dụ 2.4 [32]: Nếu coi những thời kỳ nhiều nớc hoặc ít nớc kéo dài là hiện
tợng thuỷ văn hiếm và giả thiết thêm rằng giữa dòng chảy các năm không có quan hệ
thì có thể tìm đợc xác suất để trong n năm xuất hiện m lần nhóm năm nhiều nớc
hay ít nớc có độ dài không nhỏ hơn k năm theo phân bố Poisson. Khi đó

có thể tính
theo công thức gần đúng:
1
2


k
n

.
Với chuỗi dòng chảy n=85 năm của trạm Ypha, sông Belaia, khi m=2 và k=7 thì
17
2
85



=0,332,
và :
332,0
2
7
!
2
332,0
)2(

emP
=0,04=4%, tức là khá nhỏ.
Còn xác suất để chỉ xuất hiện 1 lần (m=1) là :
24,0)1(
7
mP
=24%, tức là khá
lớn.
Xác suất để trong n năm xuất hiện ít nhất một lần nhóm năm nhiều nớc hay ít
nớc có độ dài không nhỏ hơn k năm sẽ là :

1

2
1011



k
n
kk
emPmP )()(
(2.26)
Vơi số liệu trên ta có




3320
2
85
7
111
17
,
)( eemP
1-0,723=0,277=27%.
b. Đờng tần suất Pearson III (P.III)
Đờng này do Karl Pearson, một nhà thống kê sinh vật học ngời Anh, phát hiện.
Ông thấy nhiều số liệu thực nghiệm phù hợp với hàm mật độ dạng quả chuông, chỉ có
một số đông và 2 đầu giảm dần, tiệm cận với hoành độ. Ông đa ra dạng phơng trình
mô tả phân bố này.

2
210
xbxbb
ydx
dx
dy



)(
(2.27)
Giải phơng trình bậc 2 ở dới mẫu số của biểu thức trên đợc các loại nghiệm
khác nhau, tơng ứng với các đờng cong khác nhau và ông chia ra làm 13 loại.
Đờng P.III là một đờng trong số các đờng trên, ứng với b
2
= 0, nghĩa là ứng với
phơng trình:

xbb
ydx
dx
dy
10



)(
(2.28)
-Hàm mật độ: Chính là tích phân phơng trình (2.28)(Hình 2.10).

d
x
d
a
e
a
x
yyxf

)()( 1
0
(2.29)


33


Hình 2.10. Hàm mật độ tần suất Pearson III
trong đó: a: khoảng cách từ khởi điểm của đờng cong (trị số nhỏ nhất x
0
) đến số đông
x
đ
,; y
0
: Xác suất xuất hiện số đông (tung độ lớn nhất của đờng cong); d: khoảng cách
từ x
đ
đến
x

.
Viết tổng quát ta có hàm mật độ của đờng cong Pearson III:

x
exxf







1
)(
)(
(2.30)
- Hàm tần suất






x x
x
dxexdxxfxP

1
)(
)()(
(2.31)
Có tài liệu [32] cho rằng phân bố P.III là khái quát của phân bố nhị thức cho
trờng hợp biến x là liên tục và tăng lên vô hạn. Tuy nhiên cũng có ý kiến [10] cho
rằng không phải nh vậy, vì khi


n
thì phân bố nhị thức tiến tới phân bố Poisson
và phân bố chuẩn (chỉ cần n100), còn với phân bố P.III khi n tăng thì hệ số C
S
vẫn
không giảm tới không, tức là chuỗi không đối xứng.
Phân bố có hàm Gama ở trong các biểu thức của hàm tần suất và có 3 thông số x
o
,

và

nên đôi khi gọi là phân bố Gama 3 thông số. Khi C
s
=2C
v
thì x
o
= 0, chỉ còn 2
thông số

và

nên ngời ta gọi là phân bố Gama 2 thông số.
- Các thông số
Theo dạng tổng quát có thể xác định

và

theo các mômen trung tâm:

2
3
3
2
4




;
3
2
2




, (2.32)
trong đó: chỉ số dới là bậc của các mômen, còn chỉ số trên là bậc luỹ thừa của các
mômen đó.

Các hệ số C
v
, C
s
cũng đợc xác định theo các mômen trên nên có quan hệ tơng
ứng giữa 3 thông số thông dụng với các thông số

và



S
Cd
a 4
1

;
SV
CCd
21


(2.33)
Theo dạng (2.29) thì đờng P.III có 3 thông số là a,d và y
0
. 3 thông số này có quan
hệ với các thông số thờng dùng nh sau:


34

x
CC
d
sv









2
;
d
C
xC
a
s
v

2
;

2
4
4
2
0
4
1
4
2
2
2
s
C
v
C
s

s
C
eC
C
C
y
S
S
(2.34)
- Tính chất
Phân bố có giới hạn 1 đầu: x
min
< x < ;
Có một số đông x
đ
và không đối xứng;
Hệ số bất đối xứng có giới hạn:
min
K
C
CC
v
sv
1
2
2
với
x
x
K

min
min

(2.35)
Khi C
s
=2C
v
thì giới hạn dới x
min
=0, trên giấy Hazen đợc đờng thẳng;
Khi C
s
>2C
v
thì giới hạn dới x
min
>0, trên giấy Hazen đợc đờng cong lõm (so với
trục p);
Khi C
s
<2C
v
thì giới hạn dới x
min
<0, trên giấy Hazen đợc đờng cong lồi (so với
trục p). Đờng phân bố P.III xuất hiện trị số âm, điều này không có ỹ nghĩa vật lý.
Tuy nhiên nếu đờng phù hợp với các điểm thực nghiệm thì vẫn chấp nhận đợc và
phần giá trị âm không xét tới.
- Công thức hệ số tần suất

Khi có 3 thông số cơ bản ta sẽ đợc hàm mật độ tần suất P.III, và sau đó tích phân
hàm mật độ sẽ đợc đờng tần suất luỹ tích. Tuy nhiên tích phân trực tiếp gặp nhiều
khó khăn. Để xác định đờng tần suất luỹ tích (tức là tìm các tung độ ứng với tần suất
p) đợc thuận lợi ngời ta sử dụng công thức hệ số tần suất của Ven Te Chow[15]:


Tp
Kxx
(2.36a)
hay:

xx
p
(2.36b)
Nếu chia 2 vế của (2.36b) cho
x
ta đợc:

vp
CK 1
, (2.37)
trong đó : K
T
hay

gọi là hệ số tần suất, hay hệ số lệch. K
T
phụ thuộc vào độ lặp lại
T, còn

phụ thuộc tần suất p

),( pCf
C
K
s
v
p



1
(2.38)
Hệ số K
T
trong một số phân bố có thể tính bằng công thức gần đúng.
Từ (2.36b) và (2.37) nhận đợc:

xKx
pp

(2.39)
- Bảng tra Foster- Rbkin. Ngời đầu tiên thiết lập bảng này là A. Foster, sau đó
đợc X.I. Rbkin và nhiều tác giả khác chính xác hoá (phụ lục 2.3). Bảng đợc tính
cho một loạt các giá trị C
s
và p.
Theo bảng này ứng với C
s
và p có thể tra ra

. Nếu không có đúng C
s
và p trong
bảng thì có thể nội suy giữa các giá trị của 4 điểm lân cận.


35

Chú ý rằng trong trờng hợp C
s
<0 thì phải tra bảng Foster- Rbkin ứng với (100-
p) và lấy giá trị tuyệt đối của C
s
, giá trị

tra đợc phải đổi dấu, tức là thực hiện theo
biểu thức:

p
(C
s
<0)= -

100-p
(
s
C
>0).
Ngoài ra cũng có thể tra bảng trực tiếp các giá trị K

p
ứng với các trờng hợp
C
s
=C
v
; C
s
=2C
v
;

C
s
=3C
v
; C
s
=4C
v
(phụ lục 2.4).
Có

đa vào công thức (2.36b) đợc x
p
hoặc công thức (2.37) đợc K
p
và sau đó
tính đợc x
p

=K
p
x
. Chấm các điểm x
p
và p tơng ứng lên giấy tần suất (thờng dùng
giấy Hazen) xác định đợc đờng tần suất P.III, dạng nh hình (2.11).
Ngời ta cũng thiết lập bảng cho giá trị K
T
=f(p,C
s
) (phụ lục 2.5) và sử dụng hoàn
toàn tơng tự nh bảng Foster- Rbkin.
- ứng dụng: Đờng tần suất P.III. đợc sử dụng rộng rãi trong thuỷ văn ở nhiều
nớc trên thế giới và cả ở Việt nam. Có thể sử dụng cho nhiều đại lợng thuỷ văn khác
nhau.

a- Cs=2Cv, 1- Cv=0.5 2- Cv= 0.3 3- Cv=0.1
b- Cv=0.5, 1- Cs= 0.5 2- Cs= 1.0 3- Cs= 1.5
Hình 2.11. Đờng tần suất P.III
Ví dụ 2.5: Xây dựng đờng tần suất P.III cho chuỗi dòng chảy năm trạm Lai Châu
trên sông Đà từ 1959-2003 (bảng 2.3)
Bảng 2.3. Xây dựng đờng tần suất Qnăm trạm Lai Châu-sông Đà (1959-2003).
Năm

Q
năm
Q
năm
sắp xếp

P
4,0
3,0


n
m

K
i
Các thông số thống kê

1959

1180
1530 1,11 1,33
Q
=1150
b)



36

1960

1020 1510 3,33 1,31


195
1961

1090 1430 5,56 1,24 C
v
=0,17
1962

989 1400 7,78 1,22 C
s
=-0,15
1963

745 1390 10,00 1,21

1999

1510 946 90,00 0,82
2000

1190 926 92,22 0,80
2001

1340 811 94,44 0,70
2002

1380 762 96,67 0,66
2003

1320 745 98,89 0,65
Tiến hành các bớc sau:
1). Tính các đặc trng thống kê mẫu theo phơng pháp mômen, đợc:
mn
Q
ă
=1150 m
3
/s;

195 m
3
/s; C
v
=0,17; C
s
=-0,15
2). Sắp xếp theo thứ tự giảm dần, tính tần suất kinh nghiệm theo công thức số
giữa (2.2).
3). Chấm các điểm kinh nghiệm Q~P tơng ứng lên giấy tần suất Hazen đợc
đờng kinh nghiệm (hình 2.12).
4). Với các thông số ở trên tra bảng Foster-Rbkin cho một số tần suất P đợc các
giá trị
P

. Lu ý rằng với C
s
=-0,15<0, phải sử dụng bảng tra với giá trị
s
C
=0,15 và
ứng với các tần suất (100-P), sau đó đổi dấu. Đa
P

vào công thức (2.37) tính đợc
các K
P
và suy ra Q

p
=K
P
.
Q
,

tơng ứng với các tần suất P (bảng 2.4).
5). Chấm các điểm quan hệ Q
p
~P vừa tính lên giấy tần suất.
6). Hiệu chỉnh lại thông số cho đờng lí luận phù hợp với đờng thực nghiệm
(nguyên tắc hiệu chỉnh đợc trình bày sau).
7). Với bộ thông số mới, tra lại bảng và tính lại Q.

Chấm lại các điểm lên giấy tần
suất và lợn trơn đợc đờng tần suất lý luận P.III (hình 2.12).



37

Hình 2.12: Đờng tần suất P.III Qnăm trạm Lai Châu-sông Đà
Bảng 2.4. Các giá trị

p
, Q
P
tơng ứng với các tần suất P của trạm Lai Châu-sông Đà
P% 0,1 1 5 10 25 50 75 90 99 99,9

p
2,88 2,22 1,60 1,26 0,68 0,02 -0,66

-1,30

-2,44

-3,31

K
p
1,490

1,377

1,272

1,214

1,116

1,003

0,884

0,779

0,585

0,437

Q
p
1714 1583

1453

1396

1283

1153

1016 895 673 502
c. Phân bố log-Pearson III
Phân bố log-Pearson III là phân bố khi lg(x) có phân bố P.III. Nh vậy các thông số
thống kê giá trị trung bình, hệ số biến đổi C
v
và hệ số bất đối xứng C
s
xác định theo
log(x). Hàm mật độ và hàm tần suất hoàn toàn tơng tự nh P.III, nhng với biến mới
y=log(x)
- Hàm mật độ

y
ey
x
xp

1
)(
)(
(2.40)
- Hàm tần suất






x x
x
dxey
x
dxxfxP




1
)(
)()(

(2.41)
Tính chất tơng tự nh hàm P.III, nhng ứng với biến y=log(x).
Có thể xác định giá trị y
p
theo các bớc nh phân bố P.III, sau đó đổi lại biến cũ
x=10
y

để đợc các x
p
tơng ứng.
Tuy nhiên cũng có thể sử dụng trực tiếp công thức hệ số tần suất của VenTe Chow
(2.36a) ở trên và K
T
đợc tính theo các biểu thức gần đúng tơng ứng với phân bố log-
P.III:
5432232
3
1
16
3
1
1 kZkkZkZZkZZK
T
)()()(
, (2.42)
trong đó:
32
2
0013080189629043278811

010328080285305155172
WWW
WW
WZ
,,,
,,,



, (2.43)
Với :
21
2
1
/
)ln(







p
W
, (2.44)
và: k=C
s
/6.
Với p> 0,5 ta thay p trong (2.40) bằng (1-p) và giá trị Z tính đợc sau đó đổi dấu.

Sai số tính Z theo công thức trên nhỏ hơn 0,00045 (Abramo Witz và Stegun (1965)[15].
ở Mỹ phân bố log-P.III đợc coi là phân bố tiêu chuẩn trong tính toán tần suất lũ
lớn nhất hàng năm [15].
Ví dụ 2.6: Trong ví dụ với dòng chảy lớn nhất năm trạm Hoà bình sông Đà, đã xác
định đợc các thông số
max
Q
=9598;


2399; C
v
=0,25; C
s
=0,65. Tính Q
max2%
.
Vì p=2%=0,02, theo (2.44) ta đợc:
21
2
1
/
)ln(

p
W
=
21
2
020
1
/
)
,
ln(






W
=2,7971.


38

Thay W ở trên vào công thức (2.42) ta đợc:
32
2
0013080189629043278811
010328080285305155172
WWW
WW

WZ
,,,
,,,



=2,054.
C
s
=0,65 suy ra k=C
s
/6=0,65/6=0,11.
Với z vừa tính đợc ở trên thay vào (2.42), ta có:
5432232
110
3
1
110054211010542110054260542
3
1
110105420542 ,,.,,).,(,).,.,(,).,(,
T
K
= 2,398.
Đa giá trị vừa tính vào công thức (2.36a), đợc:

239939829598
2
*,
max%max

T
KQQ
15350 (m
3
/s).
Trong khi đó theo đờng P.III có: Q
max2%
= 15500 (m
3
/s).
Sai khác với đờng P.III là 0,95%.
d. Phân bố Kritski-Menkel
Đờng tần suất P.III đợc ứng dụng rộng rãi trong thuỷ văn, tuy nhiên khi
C
s
<2C
v
đờng đi xuống vùng giá trị âm, nhiều trờng hợp không có ý nghĩa vật lý. Chỉ
khi C
s
=2C
v
thì đờng P.III mới có giá trị biến đổi trong phạm vi từ 0 đến . Nhng
nếu tất cả mọi trờng hợp đều sử dụng quan hệ C
s
=2C
v
thì cũng không hợp lý. Vì vậy
cần xây dựng một đờng cong tần suất khắc phục nhợc điểm của đờng P.III, có

phạm vi biến đổi từ 0 đến với C
v,
C
s
bất kỳ. Kritski-Menkel dùng cách đổi biến số từ
đờng P.III ban đầu với
x
=1 và C
s
=2C
v
để thu đợc đờng tần suất mới gọi là đờng
Kritski-Menkel.
Đặt: x = az
b
0 z (2.45)
Từ đờng P.III ta có
z
ez
z
zf







1
)(

)(
khi C
s
=2C
v
và
z
=1 thì
VZ
C
1


.
Chuyển đổi từ f(x) sang f(z) theo biểu thức:

dx
dz
zfxf )()(
(2.46)
ta đợc:

39

Hình 2.13. Đờng tần suất Kritski-Menkel

- Hàm mật độ

b
a
x
b
b
ex
ba
xf
1
1

)(
)(
(2.47)
- Hàm tần suất













x x
a
x
b
b
b

dxex
a
xfdxxfxP
b
1
1






)(
)()()(
(2.48)
Đờng tần suất có 3 thông số a, b và

nên cũng thờng đợc gọi là đờng cong
Gama 3 thông số. Dạng đờng tần suất nh hình (2.13).
- Các thông số: 3 thông số trên có thể tính đợc từ các mômen sau:

b
ab
x



)(
)(

1
; (2.49)


1
2
2
2




)(
)()(
b
b



; (2.50)


2
3
3
3
3
23

2
3







)(
)()(
)(
)()(
b
b
b
b





, (2.51)
Nói riêng vì lấy
x
=1 nên từ (2.49) ta có:
)(
)(
b
a

b





(2.52)
- Tính chất
Chỉ có 1 số đông x
đ
;
Khi C
s
= 2C
v
trùng với đờng P.III;
Khi C
s
>2C
v
ở vùng P lớn (>99%) tung độ đờng Kritski-Menkel nhỏ hơn P.III,
còn ở vùng P nhỏ (<1%) đờng Kritski-Menkel lớn hơn. Điều này có thể nhận thấy
qua bảng so sánh (2.4) dới đây. Khi C
s
<2C
v
thì ngợc lại;
ở phạm vi tần suất thông thờng (P=5-95%), 2 đờng này trùng nhau.
Bảng 2.5: So sánh trị số Kp của dòng chảy lớn nhất trạm Hoà Bình sông Đà theo đờng P.III
và Kritski-Menkel

P% 0,1 1 5 10 25 50 75 90 99 99,9

K
p
(P.III)

2,01 1,70 1,45 1,33 1,15 0,97

0,82

0,70

0,54

0,45

K
p
(K-M)

2,08 1,72 1,45 1,33 1,15 0,97

0,82

0,70

0,54

0,44

Q
p
(P.III)

17200

16300

13900

12800

11000

9330

7870

6740

5180

4320

Q
p
(K-M)

19960

16500

13900

12800

11000

9330

7870

6740

5180

4220


- Bảng tra: Để giảm bớt các khó khăn phức tạp khi tính trực tiếp các thông số và
tích phân hàm tần suất, Kritski-Menkel, Đ.V. Kopenistov và sau đó E.G. Blokhinov và
N.V. Nhiconskaia đã lập bảng tơng tự bảng Foster-Rbkin: K
P
= f (C
V
,p) ứng với các


40

C
S
=mC
V
khác nhau (phụ lục 2.6). Các bớc thực hiện tơng tự nh khi xây dựng
đờng tần suất Pearson III.
- ứng dụng: Đờng tần suất Kritski-Menkel cũng đợc ứng dụng ở nhiều nơi
trong đó có Việt nam và thờng hay sử dụng cho dòng chảy lớn nhất do ở tần suất nhỏ
đờng này cho giá trị lớn hơn, làm tăng độ an toàn của kết quả tính toán. Tuy nhiên
trên thế giới nó không đợc dùng rộng rãi nh đờng P.III.
-Ví dụ 2.7: Xây dựng đờng tần suất Kritski-Menkel cho dòng chảy lớn nhất năm
trạm Hoà Bình sông Đà (1956-2002)(bảng 2.6).
Bảng 2.6: Lu lợng lớn nhất trạm Hoà Bình, sông Đà (1956-2002)
Đờng kinh nghiệm TT

Năm Q
max

Q
maxsắpxếp
K
i
P=m/(n+1)
1 1956 9940 16900 1,76 2,08
2 1957 9210 15400 1,60 4,17
3 1958 9040 14500 1,51 6,25
4 1959 8830 12400 1,29 8,33
5 1960 8230 12300 1,28 10,42

43

1998 12300 6430 0,67 89,58
44

1999 10800 6180 0,64 91,67
45

2000 9810 5890 0,61 93,75
46

2001 10400 5480 0,57 95,83
47

2002 10600 4380 0,46 97,92

Tiến hành nh sau:
1). Sắp xếp số liệu theo thứ tự giảm dần, tính tần suất kinh nghiệm theo công
thức số kỳ vọng (2.3).
2). Vẽ đờng tần suất kinh nghiệm lên giấy tần suất Hazen.
3). Tính các đặc trng thống kê mẫu theo phơng pháp mômen, đợc:
max
Q
=9598
m

3
/s;


2399 m
3
/s; C
v
=0,25. Riêng C
s
chọn C
s
=3C
v
.
4). Dựa vào các giá trị C
v
và C
s
để tra bảng phân bố Kritski-Menkel ứng với các
tần suất P đợc các giá trị K
p
. Tính Q
maxp
theo công thức (2.39). Chấm các điểm
Q
maxp
~P lên giấy tần suất.
5). Hiệu chỉnh lại thông số cho đờng lí luận phù hợp với đờng thực nghiệm
(nguyên tắc hiệu chỉnh đợc trình bày mục sau).

6). Với bộ thông số mới, tra lại bảng và tính lại Q
maxp.
Chấm lại các điểm lên giấy
tần suất và lợn trơn đợc đờng tần suất lí luận Kritski-Menkel có dạng nh hình
(2.14). Kết quả tơng ứng với một số tần suất p cho trong bảng (2.5)


41


Hình 2.14: Đờng tần suất Kritski-Menkel Qmax trạm Hoà Bìnhsông Đà
e. Phân bố Goodrich
Goodrich E.D. đề nghị một phân bố thống kê cho chuỗi dòng chảy sông ngòi và ma có
dạng kinh nghiệm. Sau đó Alecxâyev G.A. đã chỉ ra rằng dạng này cũng là dạng giải tích để trở
thành đờng tần suất lí luận mô tả chuỗi thuỷ văn nh các đờng tần suất khác.
- Hàm tần suất
m
m
n
xx
xx
exP
)(
)(
)(




0

, (2.53)
trong đó: x
0
=x
min
là giá trị nhỏ nhất; x
m
=x
max
là giá trị lớn nhất của đại lợng ngẫu nhiên x,


, n, m là các thông số xác định theo chuỗi quan trắc x.
Nh vậy đờng này có 5 thông số. Trong thực tế chỉ sử dụng một số trờng hợp riêng và
khi đó số thông số sẽ giảm đi.






1 - n=1,0; Cs = 2,0; Cv = 1,0; 2 - n = 1,4; Cs = 1,19; Cv = 0,72; 3 - n = 2,0; Cs = 0,63; Cv = 0,52; 4 -
n=3,6; Cs = 0,0; Cv = 0,31; 5 - n = 6,0; Cs = -0,37; Cv = 0,19.
Hình 2.15: Đờng tần suất Goodrich trờng hợp bị chặn dới
1). Trờng hợp1: Bị chặn dới, có 3 thông số, khi m=0 và x
0
x<

n

xx
exP
)(
)(
0



(2.54)
2). Trờng hợp 2: Bị chặn 2 đầu, có 4 thông số, khi n=m và x
0
x x
m


m
m
xx
xx
exP

0

)(
(2.55)


42

Trong thực tế thờng dùng cơ số 10 thay cho cơ số e khi nâng bậc luỹ thừa trong các công
thức (2.54), (2.55).
- Hàm mật độ: Vi phân các phơng trình (2.54), (2.55) ta sẽ đợc hàm mật độ
1). Trờng hợp 1:Bị chặn dới

n
xx
n
exxn
dx
dP
xp
)(
)()(
0
1
0

(2.56)
2). Trờng hợp 2:

m
xx
m
m
m
e
xx
xx
xxm
dx
dP
xp
)(
)(
)(
)()(
0
1
1
0
0

(2.57)
Hàm mật độ dạng (2.56) chỉ ra nh hình (2.15)
- Các thông số
Các thông số của đờng cong có thể xác định qua các quan hệ sau:

0
1
1
1
1
x
n
x
n
)(

(2.58)

nn
n
1
1
2
1
1
2
2
2
()(


(2.59)

3
2
2
3
1
1
2
1
1
12
2
1
1
13
3

1









)()(
)()()()(
nn
nnnn
C
s
(2.60)
Alecxâyev cho rằng có quan hệ gần đúng giữa C
s
và C
v
của đờng Goodrich nh sau
C
s
=2,9C
v
-0,9.
- Tính chất
Bị chặn dới: x
0

< x <;
k
0
=1-BC
v
> 0 nếu C
v
< 1/B;
k
0
=1-BC
v
=0 nếu C
v
=1/B;
k
0
=1-BC
v
< nếu C
v
> 1/B,
trong đó:
)()(
)(
nn
n
B
1
1

2
1
1
1
2



(2.61)
Khác với đờng P.III, đờng Goorich luôn dơng khi C
s
< 2C
v
nếu C
v
< 1/B hoặc
C
s
> 2,9C
v
- 0,9.
Khi C
v
> 1 đờng Goorich ứng với P nhỏ sẽ đi vào khu vực giá trị âm nhiều hơn đờng
P.III.
- Bảng tra
Alecxâyev[32] cũng đã thiết lập bảng tra tơng tự nh bảng Foster-Rbkin, bao gồm các
giá trị :
),(
s

v
CPf
C
k

1



43

Ví dụ 2.8[32]: Tính toán dòng chảy năm của trạm Losmanskaia Kamenka sông Đơnhiev
ứng với các tần suất p theo phân bố Goodrich dẫn ra trong bảng (2.7)
Bảng 2.7: Tính toán dòng chảy trạm Losmanskaia Kamenka sông Đơnhiev theo phân bố Goodrich
P% 1 3 5 10 50 60 80 90 99
K
p
=y
p
C
v
+1 1,73 1,58 1,50 1,38 0,98 0.90 0,75 0,65 0,49
X
p
=k
p
X
6,54 5,97 5,67 5,22 3,70 3,40 2,84 2,46 1,85

f. Phân bố Gumbel

Để nghiên cứu các biến cố thuỷ văn cực đoan, ngời ta chọn ra một chuỗi các giá
trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) từ các tập số liệu quan trắc của biến đang xét. Với quan
điểm cho rằng chuỗi số liệu cực hạn chỉ lấy 1 năm một số hạng sẽ là một chuỗi có phân
bố đặc biệt và Fisher cùng Tippett (1928) đã chứng minh rằng khi số phần tử đợc
chọn đủ lớn thì phân bố của nó sẽ hội tụ về 1 trong 3 dạng của phân bố giá trị cực hạn,
tơng ứng gọi là loại 1, 2 và 3. Gumbel nghiên cứu sâu hơn cho phân bố cực hạn loại 1
(gọi tắt là EV1), Frechet đối với phân bố giá trị cực hạn loại 2 (EV2), và Weibull với
phân bố giá trị cực hạn loại 3 (EV3). Jenkinson (1955) đã chứng minh rằng cả 3 loại
trên là trờng hợp riêng của phân bố giá trị cực hạn tổng quát (GEV), với hàm phân
bố xác suất là:









k
ux
kxP
1
)1(exp)(

, (2.62)
trong đó: k, u,

là những thông số cần xác định; >0.
- Hàm mật độ

1). Phân bố EV1:










)exp(exp)(

uxux
xp
1
(2.63)
Đặt :

ux
y


, ta có:


)exp(exp)( yyxp

1
(2.64a)

hay:
y
ey
eyp


)(

(2.64b)
Vì có dạng (2.64b) nên phân bố còn đợc gọi là phân bố mũ kép (hình 2.16), và y đợc gọi
là biến ngẫu nhiên rút gọn.


44


Hình 2.16: Hàm mật độ Gumbel
2). Phân bố EV2

k
k
k
ex
eu
ex
eu
kxp exp
)(
)(
)(
1
(2.65)
3). Phân bố EV3:

b
b
a
mx
a
mx
a
b
xP )(exp)(
1
(2.66)
- Hàm tần suất
1). Phân bố EV1:


)exp(exp)exp(exp)( y
ux
xP

(2.67)
2). Phân bố EV2:










k
ex
eu
xP )(exp)(
(2.68)
3). Phân bố EV3:

b
a
mx
xP )(exp)(
(2.69)
- Các thông số
* Với phân bố Gumbel (EV1), Fisher và Tippet đề nghị xác định 2 thông số và u
có liên hệ với các thông số thông dụng trong thuỷ văn nh sau:




6
x

, (2.70)
hay :



2811
6
,
x

57720
,


x
u
, (2.71a)
hay:
x
xu

450,
, (2.71b)
trong đó: u chính là số đông của phân bố.
C
s
=1,3. Tuy nhiên G.A. Alecxâyev [32] cho rằng C
s
=1,14; (2.72)
C
e
=3, (2.73)
nghĩa là các thông số bất đối xứng và nhọn của phân bố Gumbel là hằng số.
Biến rút gọn

45

* Với phân bố EV3 (Weibull), có các thông số nh sau:

)(
b
amx
1
1
; (2.74)
















2
22
1
1

2
1
bb
a )(

; (2.75)

3
3
1
12
1
1
2
13
1
1

bbbb
C
s
)()()(
, (2.76a)
trong đó:
2
1
2
1
1
2
1

bb
)(

(2.76b)
Bảng 2.8: Giá trị
)(ny
và
)(n
y

của biến rút gọn y với n khác nhau
n
)(ny

)(n
y


n
)(ny

)(n
y


n
)(ny

)(n
y


10 0,495 0,950 38 0,542 1,136 60 0,552 1,175
15 0,513 1,021 40 0,544 1,141 65 0,554 1,180
20 0,524 1,063 42 0,545 1,146 70 0,555 1,185
22 0,527 1,076 44 0,546 1,150 75 0,556 1,190
24 0,530 1,086 46 0,547 1,154 80 0,557 1,194
26 0,532 1,096 48 0,548 1,157 85 0,558 1,197
28 0,534 1,105 50 0,548 1,161 90 0,559 1,201
30 0,536 1,112 52 0,549 1,164 95 0,559 1,204
32 0,538 1,119 54 0,550 1,167 100 0,560 1,206
34 0,540 1,126 56 0,551 1,170 1000

0,574 1,269
36 0,541 1,131 58 0,552 1,172

0,577 1,282

- Các thông số tính theo các công thức ở trên áp dụng cho trờng hợp chuỗi có độ
dài khá lớn khi n. Trong thực tế, với chuỗi đo đạc ngắn, các thông số C
s
, C
e
không
hoàn toàn đúng nh (2.71), (2.72), và Gumbel đề nghị xác định các thông số và u
nh sau:

)(

)(
n
n
y
x




, (2.77)
và :

)()( nynxu
, (2.78)
ở đây
)(ny
và
)(n
y

xác định theo bảng (2.8) phụ thuộc vào n của chuỗi quan
trắc, còn
)(nx
và
)(n
y

xác định theo các công thức (1.12a) và (1.19) thông thờng,
các thông số khác không thay đổi.
- Tính chất

Với phân bố Gumbel hàm không bị chặn: - < x < , phân bố không dối xứng,
có dạng nh hình 2.16;


46


1. Phân bố Gumbel; 2 - Phân bố P.III.
Hình 2.17: So sánh đờng Gumbel với đờng P.III khi Cs

1,14

Hình 2.18: Quan hệ giữa biến x và y cho 3 loại phân bố giá trị cực hạn
Với các phân bố EV2 và EV3 hàm bị chặn 1 đầu, ta có:
Khi C
s
>1,14 ở khu vực tần suất nhỏ giá trị theo Gumbel thiên nhỏ so với đờng
thực nghiệm, còn khi C
s
<1,14 thì lại thiên lớn. Chỉ khi C
s
1 thì mới có sự phù hợp giữa
đờng lí luận và đờng thực nghiệm. Điều này đợc minh hoạ trên hình (2.17).
Quan hệ giữa biến x và biến rút gọn y cho 3 loại phân bố giá trị cực hạn EV1,
EV2 và EV3 đợc chỉ ra trên hình (2.18).
Từ hình (2.18) nhận thấy đồ thị của hàm phân bố cực hạn loại 1 (EV1) là một
đờng thẳng, trong khi đó, với các giá trị lớn của y, đờng cong phân bố loại 2 (EV2)
dốc hơn đờng EV1, còn đờng cong EV3 thoải hơn và bị chặn ở phía trên.
- Xác định x
P

: Các giá trị x
P
có thể xác định theo các phơng pháp:
Theo công thức hệ số tần suất (2.36a) của VenTeChow[15]:


TT
Kxx
, (2.36c)
với T là chu kỳ hay độ lặp lại:
P
T
100

(2.79)
K
T
đợc xác định theo công thức (2.43):
Biến rút gọn