Quá trình Phát tán vật chất trong các cửa sông và vùng nước ven bờ ( ĐH khoa học tự nhiên ) - Chương 2 pot

38



Chơng 2. Động lực học chất lỏng - Dòng chảy đồng
nhất
2.1 Giới thiệu
Trong Chơng 1, bằng những thuật ngữ đơn giản nhất đã chỉ ra rằng, việc đánh
giá nồng độ chất thải trong môi trờng biển tại một thời gian cho trớc phụ thuộc vào việc
biết đợc phân bố vận tốc dòng chảy và mức độ phát tán. Vì quá trình phát tán cũng phụ
thuộc vào sự biến đổi vận tốc trong trờng phát tán, điều quan trọng đầu tiên là xác định
đợc cờng độ và hớng của dòng chảy. Dòng chảy trong các cửa sông và vùng ven bờ bị
thủy triều chế ngự và nói chung, vận tốc dòng chảy tăng lên và hạ xuống theo chu kỳ.
Hơn nữa, dòng chảy bị ảnh hởng bởi ma sát với đáy và đờng bờ, các hiệu ứng phát sinh
xoáy của các vật cản nh các mũi đất và các đảo, và tác động tiếp tuyến của gió trên mặt
nớc. Nh vậy nhiệm vụ định lợng nồng độ chất phải xét đến nhiều khía cạnh có ảnh
hởng đến phân bố vận tốc.
Để cung cấp một cơ sở nhằm hiểu biết sự phức tạp và sự biến thiên dòng chảy
trong các cửa sông hoặc vùng ven bờ, chơng này giới hạn những thảo luận ban đâù đối
với dòng chảy trong ống hoặc lòng dẫn, trong đó những điều kiện ở trạng thái xấp xỉ ổn
định. Những dòng chảy nh vậy thể hiện một số đặc tính đã quan trắc đợc trong sông và
kênh, và trong các ví dụ ma sát đóng vai trò trong việc điều khiển chuyển động. Những
khía cạnh của ma sát đợc thảo luận chi tiết hơn trong chơng này về sau, đặc biệt lu ý
đến tầm quan trọng của hiệu ứng biên.
Trong mục cuối chơng thảo luận về dòng chảy không ổn định; trong dòng chảy
này vận tốc, và do đó độ sâu tại bất kỳ vị trí nào đều thay đổi theo thời gian. Điều này nói
lên ảnh hởng của sóng trong việc mang năng lợng từ khu vực này đến khu vực khác
của dòng chảy và phát sinh vận tốc mà theo đó những sóng nh vậy có thể lan truyền.
Thậm chí trong một dòng chảy ổn định sóng có thể hình thành, và với vận tốc dòng chảy
phân giới, chuyển năng lợng của chúng thành rối. Vận tốc sóng phụ thuộc vào độ sâu và

dòng triều, ví dụ có thể lệch pha so với sự thay đổi độ sâu, do đó ảnh hởng lên dòng triều
trung bình tại một điểm cố định; khía cạnh này rất quan trọng bởi vì các đo đạc dòng
chảy tại một vị trí cố định có thể dẫn đến một chỉ định sai lạc về mức độ mà một chất bị
loại ra khỏi một khu vực. Nhng từ quan điểm phát tán, có mối quan tâm thực tế là bằng
cách nào năng lợng sóng trở nên biến đổi thành rối và cuối cùng bị tiêu tán - điều này
một lần nữa dẫn đến vấn đề đánh giá ma sát tại những biên với dòng chảy. Các quan trắc
về biến đổi thủy triều do sức cản ma sát sau đó đợc sử dụng để chỉ ra những hiệu ứng
biến dạng của các biến đổi không gian (hớng thẳng đứng trong ví dụ này) trong trờng
vận tốc bị ảnh hởng nh thế nào.

39



2.2 Dòng chảy ổn định
2.2.1 Dòng đều
Dòng chảy ổn định đều trong một lòng dẫn có hai thành đứng song song, với độ dốc
nhỏ là một trong những tình huống đơn giản nhất có thể xem xét để minh họa những đặc
tính chuyển động của nớc. Một dòng chảy ổn định là không biến đổi theo thời gian và
một dòng chảy đều là dòng chảy trong đó vận tốc không đổi từ chỗ này đến chỗ khác. Khi
nớc chảy trong lòng dẫn, tổn thất về chiều cao so với mức tham chiếu nằm ngang (tức là
tổn thất thế năng) đợc chuyển thành vận tốc (tức là nhận đợc động năng). Tuy nhiên,
sự chuyển đổi này không phải là hoàn toàn và một ít năng lợng bị tổn thất do ma sát tại
những biên của lòng dẫn. Vì ma sát tăng theo vận tốc dòng chảy, vận tốc dòng chảy bị
khống chế và một trạng thái cân bằng đợc thiết lập, trong đó năng lợng truyền đến
dòng chảy do tổn thất độ cao cân bằng một cách chính xác với năng lợng sử dụng bởi ma
sát, và dòng chảy ổn định phát sinh. Khi đạt đến trạng thái này, mặt nớc trở nên song
song với đáy lòng dẫn. Sự cân bằng giữa sức cản trọng lực lên khối nớc trong lòng dẫn và
lực ma sát lên thành lòng dẫn có thể sử dụng để đa ra một biểu thức cho hệ số cản.
Để thể hiện điều này hãy xét một đoạn lòng dẫn có độ dài L và diện tích mặt cắt

ngang A, qua đó nớc chảy với vận tốc trung bình mặt cắt ngang u

(hình 2.1). ứng suất
trợt lên đáy và thành ớt có thể liên hệ với vận tốc bằng biểu thức

2


uC
d

(2.1)
trong đó là mật độ của nớc trong lòng dẫn và C
d
là hệ số cản (mục 2.3.3). Biểu thức này
hợp lý đối với dòng chảy, trong đó số Reynolds đủ lớn để ma sát phụ thuộc vào độ nhám
trên đáy và những thành lòng dẫn, tức là ảnh hởng độ nhớt của nớc là không đáng kể.
Cân bằng giữa trọng lợng của nớc tác động theo độ dốc và sức cản ma sát dọc theo đáy
và những thành lòng dẫn, bằng tích số của và diện tích ớt, có thể biểu thị nh sau

PLuCALg
d
2
sin



(2.2)
với g là gia tốc trọng trờng, sin là độ dốc đáy và P là chu vi ớt.
Nó cho thấy

d
C
g
P
A
u


sin
2

. (2.3)
Trong dòng chảy đều gradient mặt nớc bằng độ dốc đáy sin. Nh vậy số hạng sin
bằng độ hạ thấp mặt nớc tự do trên một đơn vị khoảng cách dọc theo lòng dẫn, và thể
hiện độ tổn thất chiều cao trên đơn vị độ dài của thế năng dòng chảy. Vì dòng chảy không
phải là tăng tốc, thế năng liên quan đến sự hạ thấp độ cao phải bằng toàn bộ năng lợng
dùng bởi ma sát, tức là không có thế năng làm tăng thêm động năng của dòng chảy. Do đó
thay đổi thế năng trên một đơn vị khoảng cách dọc theo lòng dẫn (g sin) cân bằng với
tổn thất năng lợng do ma sát. Tổn thất do ma sát đợc mô tả bởi độ giảm hiệu quả của
'cột nớc h
f
nên
g sin = gh
f
/ l = gi (2.4)

40

trong đó l là một đoạn ngắn của lòng dẫn và i là tổn thất năng lợng do ma sát trên đơn
vị độ dài. Từ những phơng trình (2.3) và (2.4) thấy rằng

d
C
gi
Ru
2

(2.5)
trong đó R là bán kính thủy lực, xác định bằng tỷ số A/ P, và có thứ nguyên độ dài; gọi là
'bán kính' bởi vì nó là một số đo chính xác của nửa bán kính trong lòng dẫn có mặt cắt
ngang nửa hình tròn. Để duy trì một dòng chảy đều, giả thiết cơ bản là ma sát với thành
lòng dẫn làm giảm gia tốc của nớc do tổn thất của thế năng. Hiển nhiên rằng, thậm chí
một dòng sông chuyển động chậm có thể không có dấu hiệu nổi bật của nhiễu động, cũng
phụ thuộc vào sức cản ma sát trong đó những xoáy rối liên tục đợc tạo ra và dần dần
tiêu tán.


Hình 2.1 Mặt cắt dọc của một lòng dẫn nghiêng với dòng chảy ổn định
Ví dụ
Sử dụng phơng trình (2.3), đánh giá vận tốc trung bình mặt cắt ngang u

khi đã
biết tỷ số A/P, độ dốc đáy trung bình và hệ số cản C
d
. Nói chung, C
d
có giá trị khoảng

0,0025 trong lòng dẫn hoặc những sông có trầm tích đáy là bùn hoặc cát. Đối với sông có
mặt cắt hình chữ nhật, rộng 20 m và sâu 2 m, và độ dốc đáy là 0,05 m km
-1
, phơng trình
(2.3) cho dòng chảy dự đoán song song với đáy là
.57,0]
0025,0
)1005,0sin(81,9
204
40
[
12/1
3





msu


2.2.2 Phơng trình Bernoulli
Dòng chảy đợc mô tả trong mục trên thể hiện trạng thái thờng thấy của thế
năng đợc chuyển thành động năng, với ma sát sử dụng cách điều khiển nào đó. Ngời đi
xe đạp khôn ngoan sử dụng ma sát của phanh để điều khiển vận tốc khi đi xuống một
ngọn đồi dốc, thông thờng nhờ dùng phanh đủ để giữ cho vận tốc ổn định. Chất lỏng
chảy theo độ dốc bằng một cách tơng tự nhng có một yếu tố cần phải xem xét, hơn tất

41

cả mọi yếu tố đối với cơ chế của một vật rắn, đó là áp suất. Trong hai mục tiếp theo,
những hiệu ứng của ma sát đợc bỏ qua để lu tâm nhấn mạnh đến tầm quan trọng của
áp suất trong dòng chảy chất lỏng.
Nhà toán học ngời Thuỵ Sỹ Daniel Bernoulli (1700-82) đa ra một phơng trình
để mô tả khi trong dòng chảy không có ma sát, sự thay đổi vận tốc từ điểm này sang điểm
khác phải liên quan đến những thay đổi áp suất chất lỏng nh thế nào. Trong dòng chảy
tầng ổn định, đờng đi của dòng chảy theo các hạt riêng biệt gọi là những đờng dòng,
trong dòng chảy rối thuật ngữ đờng dòng vẫn đợc sử dụng nh một cách thể hiện tiện
lợi hớng của dòng chảy chính, mặc dù chúng không tơng ứng với đờng đi của các hạt
đặc trng nh chúng thờng làm trong dòng chảy ổn định tầng.
Phơng trình Bernoulli có thể dẫn xuất bằng việc xem xét một dòng nguyên tố
nằm trong một dòng chảy mà mặt cắt ngang của nó biến đổi theo hình dạng các đờng
dòng (hình 2.2). Giả thiết rằng dòng nguyên tố này không làm nhiễu chuyển động và rằng
chất lỏng là không nén đợc, do vậy nó có mật độ không đổi. Dòng chảy cũng đợc giả
thiết là ổn định. Hơn nữa, giả thiết rằng các hạt có vận tốc u
r1
tại một đầu của dòng
nguyên tố nơi có mặt cắt a
1
và đạt vận tốc u
r2
khi chúng đi đến đầu kia của dòng nguyên
tố sau thời gian t. Vì diện tích mặt cắt thay đổi thành a
2
, tính liên tục thể tích đòi hỏi
rằng
u
r1

a
1
= u
r2
a
2
. (2.6)


Hình 2.2. Biến đổi vận tốc và áp suất trong một dòng nguyên tố chất lỏng

Lực do áp suất p
1
tác động lên một đầu, thực hiện công trên thể tích V của nớc đi
vào dòng nguyên tố với giá trị là p
1
a
1
u
1
, ứng với toàn bộ công trong khoảng thời gian t là
p
1
a
1
u
1
t = p
1
V. áp suất hỗ trợ các hạt đi qua dòng nguyên tố, nhng chuyển động của

chúng bị cản trở bởi áp suất p
2
tác động lên đầu phía kia, do vậy toàn bộ công thực hiện
W
PR
bằng

42



W
PR
= (p
1
p
2
)V . (2.7)
Biến đổi động năng W
KE
của thể tích các hạt chuyển động qua dòng nguyên tố
bằng
W
KE
= (1/2)V(u
2
r2
u
2
r1

). (2.8)
Nếu độ cao trung bình của các diện tích a
1
và a
2
là z
1
và z
2
so với mực chuẩn (giả
thiết z dơng theo hớng lên trên), thì thế năng nhận đợc W
PE
của thể tích các hạt đợc
biểu thị bằng
W
PE
= Vg(z
2
z
1
) . (2.9)
Công thực hiện bởi áp suất cân bằng với năng lợng thực tế nhận đợc cho nên

PEKEPR
WWW
. (2.10)
Sử dụng những phơng trình trên đối với các số hạng này
)()(
2
1

)(
'
1
'
2
2
1
2
221
zzVguuVVpp
rr


. (2.11)
và giản ớc cho ta

'
2
2
22
'
1
2
11
2
1
2
1
gzupgzup
rr

. (2.12)
Khi không có ngoại lực, tại bất kỳ điểm nào dọc đờng dòng cần tuân thủ

constgzpu
r

'2
2
1

. (2.13)
Đối với mỗi đờng dòng, hằng số này có thể khác nhau; chỉ khi không có sự trợt
vận tốc, dòng chảy có thể coi là 'không quay' và trong hoàn cảnh nh vậy những hằng số
của tất cả các đờng dòng là nh nhau. Đây là dạng sử dụng tổng quát nhất của phơng
trình Bernoulli.
Số hạng đầu tiên trong phơng trình (2.13) thể hiện động năng trên đơn vị thể tích
chất lỏng, và số hạng thứ ba là công thực hiện để nâng một thể tích đơn vị từ một mực
chuẩn lên đến chiều cao z'. Số hạng thứ hai trong phơng trình (2.13) thể hiện công thực
hiện bởi chất lỏng để chuyển dịch một thể tích đơn vị có mật độ từ một điểm có áp suất
p đến một điểm có áp suất bằng không. Đó là công thực hiện do chất lỏng chuyển động và
không phải là 'năng lợng do áp suất, nh đôi khi vẫn nhầm lẫn.
Phơng trình Bernoulli mô tả quan hệ giữa những số hạng truyền toàn bộ cơ năng
của một thể tích đơn vị chất lỏng; những số hạng trong phơng trình không tơng ứng với
năng lợng đợc trữ. Phơng trình này liên kết vận tốc, áp suất và cao độ mực nớc dọc
theo một đờng dòng trong một chất lỏng và có nhiều ứng dụng trong dòng chảy của
nớc.
Phơng trình Bernoulli thể hiện sự cân bằng năng lợng đối với dòng chảy chất
lỏng không có ma sát. Vì năng lợng là công thực hiện khi dịch chuyển một khoảng cách

dới một lực, biến thiên năng lợng trên khoảng cách đơn vị là số đo của lực tác động.
Trong một vài trờng hợp, nh khi dẫn xuất phơng trình Bernoulli, tốt nhất là xác định
tọa độ z thẳng đứng trên một mực chuẩn, trong đó z đợc đo thẳng lên trên. Tuy nhiên,

43



mặt biển thể hiện mức tham chiếu tiện lợi đối với nhiều vấn đề phát tán, và trong suốt
quyển sách này, các tọa độ đợc xác định với z hớng thẳng đứng, chiều dơng hớng
xuống dới. Trục x lấy theo hớng dọc dòng chảy chính và trục y lấy hớng vuông góc với
trục x trong mặt nằm ngang.
Với hệ thống tọa độ này, phơng trình đối với cân bằng lực trên thể tích đơn vị có
thể dẫn xuất từ biểu thức Bernoulli nên ta có

0)
2
1
(
2



gzpu
r
r

(2.14)
trong đó r là hớng kết quả của dòng chảy. Biểu thức này có thể diễn đạt lại theo các
thành phần ngang (hớng x) và thẳng đứng nh lực trên đơn vị khối lợng (tức là gia tốc)

ở dạng

0
1






x
p
x
u
u

(2.15)
0
1






g
z
p
z
w

w

(2.16)
trong đó vận tốc dòng chảy u
r
dọc theo đờng dòng đợc phân tích thành những thành
phần thẳng đứng và nằm ngang sao cho u
r
2
= u
2
+ w
2
. Đối với nhiều mục đích, hợp lý nhất
là giả thiết rằng gia tốc thẳng đứng w/z không đáng kể để phơng trình (2.16) có thể
đợc đơn giản thành

0
1



g
z
p

(2.17)
là phơng trình áp suất thuỷ tĩnh.
Những phơng trình (2.15) và (2.17) có thể dẫn xuất từ những nguyên lý đầu tiên
bằng việc xem xét sự cân bằng của các lực lên một phần tử chất lỏng (Officer, 1976: tr.

36). Cần thấy rằng, mặc dù những phơng trình (2.15) và (2.17) thờng xuyên đợc sử
dụng để mô tả phân bố dòng chảy trong môi trờng biển, phơng trình Bernoulli không
bỏ qua gia tốc thẳng đứng và bởi vậy có thể thích hợp hơn trong một vài tình huống.
2.2.3 Năng lợng đặc trng của dòng chảy
Dới những hoàn cảnh nhất định, dòng chảy chất lỏng có thể chịu sự biến đổi gấp
của phân bố năng lợng. Khi điều này xảy ra, phân bố vận tốc có thể thay đổi đột ngột,
phát sinh chuyển động rối và nh sẽ thấy trong chơng tiếp theo, hiện tợng này có thể
xuất hiện trong môi trờng biển dới những điều kiện đặc trng của dòng chảy. Trớc khi
xét nguyên nhân cơ bản của những thay đổi nh vậy ở trạng thái năng lợng, đòi hỏi có
một phơng trình năng lợng đối với chất lỏng có mật độ không đổi. Phơng trình này
bây giờ sẽ đợc dẫn xuất.
Đối với dòng chảy ổn định của nớc trong một lòng dẫn mà các đờng dòng thẳng
và song song một cách rõ rệt, áp suất tại bất kỳ điểm nào chỉ phụ thuộc vào độ sâu của nó
dới mặt tự do. Từ phơng trình (2.13) thấy rằng nếu độ cao của mặt nớc ở trên mặt

44



chuẩn là z
s
(hình 2.3), thì áp suất p lên một đờng dòng định vị tại chiều cao z' trên mặt
chuẩn bằng p = g(z
s
- z') và cân bằng năng lợng đợc mô tả bằng

constgzzzgu
sr

'''2

)(
2
1

. (2.18)
Nó đợc giản ớc thành

constgzu
sr

'2
2
1

( 2.19)
và phát biểu rằng tổng của động năng dọc theo một đờng dòng và thế năng do độ cao
mặt nớc ở trên mặt chuẩn là không đổi. Những năng lợng này đợc biểu thị nh những
năng lợng đơn vị trên thể tích đơn vị (tức là jun/ mét khối). Nếu vận tốc đồng nhất theo
độ sâu, thì phơng trình (2.19) có cùng hằng số tại mỗi độ sâu và biểu thức áp dụng cho
toàn bộ độ sâu của dòng chảy; trong thực tế tất cả các dòng chảy thể hiện sự trợt vận tốc
theo độ sâu do ma sát với các biên. Phơng trình (2.19) là một xấp xỉ hữu ích đối với cân
bằng năng lợng trong lòng dẫn thẳng và trơn vì phân bố vận tốc phải sao cho động năng
thực tế phải không khác nhiều so với giá trị trung bình độ sâu.


Hình 2.3 Chiều cao của đờng dòng trong một lòng dẫn nghiêng với dòng chảy ổn định

Trợt vận tốc trong lòng dẫn nhám có thể gây ra biến đổi thẳng đứng đáng kể của
phân bố động năng và điều này cho phép thay thế số hạng đầu tiên trong phơng trình
(2.19) bằng 1/2 u

r
2
, trong đó là hệ số có thể dao động trong phạm vi từ 1,03 đến 1,60.
Nếu lựa chọn đợc một vị trí đặc trng dọc theo lòng dẫn sao cho mực chuẩn trùng với
đáy, thì phơng trình (2.19) có thể viết

sr
Eghu

2
2
1
(2.20)
trong đó h là độ sâu toàn bộ và hằng số E
s
gọi là 'năng lợng đặc trng' của dòng chảy.
Phải thấy rằng biểu thức này có thể chỉ ứng dụng cục bộ vì giả thiết rằng trên độ dài của
lòng dẫn đợc xét, sự thay đổi cao trình đáy là không đáng kể; thuật ngữ 'đặc trng' chỉ

45



ra rằng E
s
không bao gồm sự thay đổi về thế trọng lực dọc theo đờng dòng, đợc áp dụng
trong phơng trình Bernoulli đầy đủ.
2.2.4 Nớc nhảy thủy lực
Phơng trình năng lợng đặc trng có thể sử dụng để giải thích sự thay đổi đột
ngột của trạng thái năng lợng, nhất là sự thay đổi thể hiện bằng nớc nhảy thủy lực.

Nớc nhảy thủy lực đợc đặc trng bởi sự tăng đột ngột về độ sâu và sự giảm tơng ứng
về vận tốc. Ví dụ, một tia nớc thả vào trong một thuỷ vực cỡ gang tay hình thành một
dòng chảy mỏng hớng vào điểm ảnh hởng và có vận tốc tơng đối lớn (hình 2.4). Dòng
chảy mỏng đợc bao vây bởi một khu vực nớc sâu hơn chuyển động chậm hơn nhiều;
theo độ sâu, mặt nớc đợc xáo trộn và không ổn định. Nớc nhảy thuỷ lực cũng quan
trắc đợc trong những lòng dẫn và dòng chảy sông. Thông thờng các đờng tràn, qua đó
nớc chảy nhanh hơn khi băng qua một đập ngăn hoặc đập dâng, đợc thiết kế để bảo
đảm rằng dòng chảy vợt qua nớc nhảy thuỷ lực tới mực nớc có vận tốc thấp hơn để
làm giảm xói.


Hình 2.4 Dòng chảy hớng tâm chảy êm và chảy xiết phát sinh bởi tác động của một tia nớc lên mặt
nớc nằm ngang

Xét quan hệ năng lợng đặc trng cho trong phơng trình (2.20) tại một điểm đáy đi
qua mặt chuẩn. Bằng cách thay u
r
bằng q/h, trong đó q là lu lợng trên chiều rộng đơn
vị trong lòng dẫn có mặt cắt hình chữ nhật và độ sâu h, phơng trình trở thành

s
Egh
h
q



2
2
2

1
. ( 2.21)
Hình 2.5 cho thấy đồ thị của độ sâu theo năng lợng đặc trng trên cơ sở của
phơng trình (2.21). Có thể thấy rằng với một lu lợng thể tích cố định, E
s
có thể có cùng
một giá trị đối với hai giá trị khác nhau của h. Đối với những giá trị rất nhỏ của h, số
hạng đầu tiên của phơng trình (2.21) trở nên rất lớn và động năng trở thành tác nhân
đóng góp chủ yếu đối với E
s
, nh vậy đờng cong tiệm cận với trục năng lợng đặc trng.

46



Giai đoạn động năng lớn này ứng với dòng chảy hớng tâm nhanh đợc chỉ ra trên hình
2.4. Phơng trình (2.21) suy luận rằng khi h trở nên rất lớn, số hạng động năng trở thành
rất nhỏ và năng lợng đặc trng biến đổi gần nh tuyến tính với độ sâu; nh vậy đờng
cong cũng tiệm cận với đờng E
s
, bằng h. Hình 2.5 chỉ ra rằng có một giá trị nhỏ nhất của
E
s
nằm giữa những trạng thái, trong đó h hoặc là nhỏ hoặc là lớn hơn, và độ sâu mà tại đó
hiện tợng này xuất hiện đợc gọi là độ sâu phân giới h
c
. Đối với một năng lợng đặc
trng cố định, trừ cực tiểu, có thể có hai giá trị đối với h, ứng với vận tốc dòng chảy thấp
và cao. Với lý do này, những dòng chảy tại những độ sâu ở dới và ở trên độ sâu phân giới

đợc gọi là những khu vực chảy 'xiết' và 'êm' tơng ứng. Những điều kiện dòng chảy trớc
khi quá độ, ứng với giai đoạn dòng chảy xiết có thể coi là trên phân giới và những điều
kiện dòng chảy sau khi quá độ, ứng với giai đoạn êm, có thể gọi là 'dới phân giới.


Hình 2.5 Thay đổi độ sâu và thay đổi liên quan đến năng lợng đặc trng phát sinh bởi nớc nhảy thuỷ
lực. (Theo Massey, 1989, đợc sự đồng ý của Chapman và Hall)

Sự thay đổi dần dần từ dòng chảy xiết đến dòng chảy êm không thể xảy ra. Ma sát
làm cho dòng chảy lớp mỏng vận tốc cao sẽ bị dày lên để khi theo đờng cong gần nhất với
trục x trong hình 2.5 thì năng lợng đặc trng giảm. Nếu độ sâu tiếp tục tăng đến độ sâu
phân giới và hơn nữa, thì năng lợng đặc trng cũng phải bắt đầu tăng lên. Vì không có
sẵn có năng lợng bổ sung, hệ thống không thể làm đợc điều này. Thay vào đó dòng chảy
đột biến nhảy đến một trạng thái năng lợng khác mà khi không có tổn thất năng lợng
do rối, thì cân bằng với năng lợng đặc trng của dòng chảy xiết. Một khi nớc nhảy đã
xuất hiện, một loạt các xoáy lăn hình thành khi những lớp nằm trên chuyển động ngợc
lại với dòng chảy xiết gần đáy. Năng lợng bị tổn thất do rối của những xoáy lăn làm cho
độ sâu cuối cùng không lớn nh có thể suy luận từ năng lợng đặc trng ban đầu. Điều
quan trọng cần chú ý là tiêu tán năng lợng bởi rối phát sinh do nớc nhảy thuỷ lực sẽ
lớn nhiều hơn bất kỳ tổn thất nào do ma sát tại đáy.
Có thể chỉ ra rằng (Massey, 1989: tr.373) tổn thất cơ năng do nớc nhảy thuỷ lực
bằng tổn thất cột nớc h
j
với

47

21
3
12
4
)(
hh
hh
h
j


(2.22)
trong đó h
1
, h
2
là độ sâu dòng chảy tơng ứng với trớc và sau nớc nhảy. Biểu thức này
cho thấy rõ ràng là h
2
phải lớn hơn h
1
vì có tổn thất của năng lợng; năng lợng có đợc
phải phù hợp với Định luật thứ Hai của Nhiệt động lực. Nh vậy, dòng chảy chỉ có thể
thay đổi từ xiết đến êm thông qua nớc nhảy mà không phải là ngợc lại. Cũng có thể
biểu thị (Massey, 1989: tr. 374) tỷ số các độ sâu bằng

2/122/1
1
2
1

1
2
)2
4
1
(
2
1
)
2
4
1
(
2
1
Fr
gh
u
h
h

. (2.23)
Trong phơng trình Fr này đã đợc xác định nh sau

2/1
11
)/(ghuFr
. (2.24)
Fr đợc gọi là 'số Froude' mang tên nhà động lực chất lỏng William Froude (1810-
79). Froude thực hiện rất sớm một vài thí nghiệm về sức cản của nớc lên chuyển động

của tàu bè, bằng cách sử dụng các mô hình tỷ lệ các vỏ tàu trong thí nghiệm các bể kéo.
Ông nhận thấy rằng nếu giá trị Fr trong mô hình bằng giá trị nguyên mẫu, thì kết quả
thực nghiệm về sức cản có thể lấy theo tỷ lệ để xác định sức cản lên con tàu có kích thớc
thật.
Fr thể hiện tỷ lệ của số hạng quán tính đối với số hạng trọng lực trong phơng
trình chuyển động, và tơng đơng với tỷ lệ của vận tốc dòng chảy trong lòng dẫn đối với
vận tốc sóng dài trên mặt nớc. Trong mục 2.4.3 sẽ thấy rằng trong lòng dẫn có độ sâu
đồng nhất h, vận tốc c của sóng dài là c = (gh)
1/2
. Khi vận tốc dòng chảy trong lòng dẫn
vừa bằng vận tốc sóng, Fr = 1,0 và phơng trình (2.23) nói rằng độ sâu h
2
h
1
. Dới
những hoàn cảnh nh vậy, độ sâu thay đổi rất ít trong nớc nhảy thuỷ lực. Khi vận tốc
dòng chảy trong lòng dẫn ứng với Fr nhỏ hơn 1,7, ứng với h
1
/h
2
nhỏ hơn 2,0, mặt nớc
không thể tăng đột biến nhng hình thành một đợt những sóng gợn dần dần giảm kích
thớc; tình huống nớc nhảy gợn sóng này đợc minh họa trong hình 2.6. Với vận tốc
trong lòng dẫn cao hơn, ứng với Fr > 1,7, mặt nớc có thể tăng lên đột biến và nớc nhảy
thuỷ lực chuyển từ yếu đến mạnh, phụ thuộc vào độ lớn của Fr. Những lớp trên của sóng
cố gắng lan truyền lên thợng lu ngợc với dòng chảy vận tốc cao của lớp có độ sâu h
1
,
nhng chuyển động này bị ngăn chặn bởi sự truyền động lợng từ lớp thấp hơn vào trong
lớp cao hơn. Đối với những dòng chảy trong đó h

1
/h
2
nằm giữa 3,0 và 5,5, những nhiễu
động tại nớc nhảy có thể hình thành những sóng mặt không đều phát triển xuống hạ
lu. Hơn nữa, với những giá trị h
1
/h
2
nằm giữa 5,5 và 12, chuyển động của lớp trên ngợc
với dòng chảy bị ngăn lại và tạo ra nớc nhảy ổn định, trong đó có thể nhận thấy sự tạo
thành rối. Cần thấy rằng những giá trị đợc trích dẫn cho Fr chỉ hợp lý đối với dòng chảy
trong lòng dẫn có mặt cắt hình chữ nhật.
Hiện tợng nớc nhảy thuỷ lực là mối quan tâm đặc biệt bởi vì rối do nó phát sinh
không phải do ma sát của biên với dòng chảy; đó là một thuộc tính của sóng dài, sự lan
truyền của nó bị hạn chế bởi dòng chảy bên dới. Vận tốc của sóng dài trên mặt trong
nớc có độ sâu 10 m là khoảng 10 m s
-1
, nhng thông thờng Fr nhỏ hơn 1,0 nhiều lần

48



trong những dòng chảy tiêu biểu ở các cửa sông và vùng ven bờ, và do đó nớc nhảy thuỷ
lực trong những hệ thống nh vậy có lẽ tơng đối hiếm. Tuy nhiên, nh sẽ thấy trong
mục 3.3.1, những sóng lan truyền dọc theo mặt phân cách mật độ chuyển động với những
vận tốc chậm hơn nhiều so với những sóng mặt, và điều kiện trong đó Fr vợt quá 1,0 có
thể tơng đối phổ biến. Dới những điều kiện này 'những nớc nhảy thủy lực nội' có thể
xuất hiện, phát sinh rối tại mặt phân cách và 'làm trơn' chênh lệch mật độ giữa những lớp

kề nhau (mục 3.3.3).
2.2.5 Dòng chảy biến đổi dần dần
Mục trớc đã mô tả những tình huống theo đó vận tốc dòng chảy có thể thay đổi
đột ngột. Tuy nhiên, những điều kiện trong các cửa sông và vùng ven bờ nói chung thích
hợp với sự biến đổi dần dần của vận tốc theo khoảng cách dọc theo hớng dòng chảy, và
đợc gọi những dòng chảy 'không đều'. Bây giờ ta xét một phơng pháp để đánh giá mức
độ thay đổi vận tốc theo khoảng cách trong dòng chảy không đều. Những trạng thái trong
đó sự thay đổi vận tốc và độ sâu theo khoảng cách diễn ra chậm, dòng chảy đợc mô tả
nh 'biến đổi dần dần' và những hiệu ứng của gia tốc theo thời gian có thể giả thiết là
không đáng kể.


Hình 2.6 Hiệu ứng của việc tăng số Froude lên mặt nớc tự do và rối trong nớc nhảy thủy lực. (Theo
Massey, 1989, đợc sự đồng ý của Chapman và Hall)

Nếu ma sát, độ dốc đáy và hình dạng lòng dẫn không thay đổi, thì dòng chảy đều có
thể chỉ xuất hiện tại một độ sâu đặc biệt. Ví dụ nếu ma sát tăng thì vận tốc phải giảm cho
đến khi những điều kiện dòng chảy đều đợc thiết lập lại. Sự giảm vận tốc làm giảm ứng
suất trợt tại đáy và những thành bên của lòng dẫn, nhng sự tăng độ sâu để đảm bảo

49



tính liên tục làm chu vi ớt tăng lên. Bằng cách này ma sát tiêu thụ năng lợng chỉ ở mức
đòi hỏi để cân bằng với tổn thất năng lợng trọng lực do độ dốc đáy. Thậm chí dới những
điều kiện lý tởng của dòng chảy, dòng chảy đều là xấp xỉ tiệm cận và do đó không bao
giờ thật sự xuất hiện.
Trong một lòng dẫn mở rộng hoặc thu hẹp dần dần, thậm chí không thể có dòng
chảy xấp xỉ đều. Khi xét dòng chảy trong ống ở Mục 2.2.2, tính liên tục của thể tích nớc

đòi hỏi rằng

2211
AuAu
rr

(2.25)
trong đó những chỉ số dới tham chiếu đến hai mặt cắt tại hai đầu của một đoạn lòng
dẫn. Ví dụ nếu lòng dẫn co hẹp sao cho diện tích mặt cắt ngang A
2
nhỏ hơn A
1
, dòng chảy
buộc phải tăng tốc giữa hai mặt cắt. Đối với một lu lợng thể tích cố định, nớc có thể
chuyển động dọc theo một lòng dẫn có mặt cắt ngang biến đổi theo nhiều cách. Khi vận
tốc tăng lên hoặc giảm đi, độ sâu nớc biến đổi tơng đối so với đáy nên mặt nớc có dạng
một đờng cong. Những biến đổi độ sâu nớc làm thay đổi áp suất, và vì những biến đổi
áp suất có những hệ quả quan trọng đối với dòng chảy, việc đánh giá hình dạng mặt nớc
theo khoảng cách là mối quan tâm đặc biệt.


Hình 2.7 Thay đổi cao độ mặt nớc trên một đáy nghiêng do (a) giảm tốc và (b) tăng tốc, nảy sinh do điều
kiện lòng dẫn biến đổi

Hình 2.7 cho thấy các dạng tiêu biểu của đờng mặt nớc trong dòng chảy chậm
dần và nhanh dần. Nếu sự giảm tốc phát sinh do lòng dẫn bị cản, độ sâu nớc so với đáy
tăng lên trong một dòng chảy êm (Fr < l) (hình 2.7 (a)). Ngợc lại, nếu lòng dẫn chảy tự
do, thì trong dòng chảy êm sự tăng tốc làm cho độ sâu tơng đối giảm đi (hình 2.7 (b)).

50

2.2.6 Phơng trình của dòng chảy biến đổi dần dần
Phơng trình Bernoulli có thể áp dụng đối với dòng chảy không đều ở những tình
huống minh họa trong hình 2.8. Cân bằng năng lợng tại hai vị trí nh trong dòng chảy
không đều bằng

lgihhg
uu
lgsghu





)(
2
)(
2
1
2
2
(2.26)
trong đó sl là mức giảm cao độ đáy giữa hai mặt cắt và i là tổn thất năng lợng do ma
sát trên đơn vị khoảng cách dọc theo lòng dẫn, nh đợc sử dụng trong mục 2.2.1. Vì số
hạng il là một số đo của phần giảm cao độ mặt nớc tự do trong lòng dẫn có thể quy cho
ma sát, nó có thứ nguyên độ dài và thờng gọi là 'tổn thất cột nớc'.
Phơng trình này có thể sắp xếp lại để thấy rằng h = (s - i)l - uu / g, số hạng
(u)

2
giả thiết không đáng kể. Trong giới hạn khi l 0

dl
du
g
u
is
dl
dh
)(
. ( 2.27)
Số hạng du/dl đợc khử bằng cách lấy vi phân phơng trình liên tục thể tích Au =
const để nhận đợc

0
dl
dA
u
dl
du
A
(2.28)
và sắp xếp lại cho ta

dl
dA
A
u
dl

du

. (2.29)

Hình 2.8 Biến đổi vận tốc và độ dốc mặt nớc theo mặt cắt dọc của lòng dẫn có dòng chảy biến đổi dần
dần. (Theo Massey, 1989, đợc sự đồng ý của Chapman và Hall)

Xét tình huống lý tởng trong đó hình dạng và sự thẳng hàng của lòng dẫn không
đổi theo khoảng cách dọc theo chiều dài của nó, sao cho A là một hàm số chỉ của độ sâu h.

51



Đặt A = c
1
h trong đó c
1
là hằng số, và thay phơng trình (2.29) vào phơng trình (2.27), có
thể thấy sự biến đổi h so với khoảng cách l đo dọc theo đáy lòng dẫn nhận đợc là

)/(1
2
ghu
is
dl
dh

. (2.30)
Phơng trình (2.30) chỉ ra rằng khi vận tốc dòng chảy là êm (tức là dới phân giới vì
u
2
< gh), mẫu số là dơng. Nếu độ dốc của đáy lớn hơn độ dốc đòi hỏi để bù đắp cho tổn
thất năng lợng do ma sát, s > i và tử số cũng là dơng; do đó độ sâu tăng theo hớng
dòng chảy. Nói cách khác, nếu độ dốc đáy không đủ để tạo ra tiêu tán năng lợng bởi ma
sát, s < i và tử số là âm để độ sâu giảm theo hớng của dòng chảy.
Nh vậy đối với một độ dốc đáy cho trớc, độ cong mặt nớc là chỉ số của tổn thất
ma sát trong dòng chảy (Massey, 1989: tr. 408). Khi đáy dốc ngợc hớng dòng chảy, s là
âm và độ sâu giảm theo hớng dòng chảy với lu lợng phụ thuộc vào tổn thất ma sát.
Dòng chảy cùng hớng và ngợc hớng với độ dốc đáy thờng gặp trong các quan trắc tại
một vị trí cố định trong dòng triều thuận nghịch.
Khi độ sâu nhỏ và vận tốc lớn, số Froude tiến đến 1 (tức là u
2
= gh). Những điều
kiện phân giới nh vậy của dòng chảy là không bền vững bởi vì dh/dl liên tục đổi dấu và
dòng chảy trở thành không ổn định, tạo nên mặt nớc có dao động sóng đặc trng.
Phơng trình (2.30) mô tả sự biến đổi độ sâu dọc theo lòng dẫn trong dòng chảy
đồng nhất. Vì tổn thất do ma sát là một hàm của u, không thể tích phân trực tiếp phơng
trình (2.30). Tuy nhiên, có thể đợc xác định vị trí l mà tại đó dòng chảy có độ sâu đặc
trng h từ phơng trình (2.30), bằng cách giả thiết có cùng tổn thất ma sát i tại một đoạn
đặc trng nh khi đối với một dòng chảy đều. Giả thiết này cho phép sử dụng phơng
trình (2.5) để đánh giá i. Giả thiết tiếp theo là có một khu vực thợng lu lòng dẫn mà tại
đó dòng chảy có thể giả thiết là đều bởi vì ma sát cân bằng với tổn thất cột nớc do độ dốc
đáy (Massey, 1989: tr. 389).
Ví dụ
Một đập tràn chắn ngang lòng dẫn mặt cắt chữ nhật có thành song song, làm mực
nớc tăng lên, độ sâu ngay tại phía thợng lu là 1,72 m, và mặt nớc giống nh 'đờng
nớc dâng' đợc minh họa trong hình 2.7 (a). Chiều rộng của lòng dẫn là 30 m, lu lợng

thể tích là 34,2 m
3
s
-1
, và độ dốc đáy là 1 m trên 10 km. Giả sử yêu cầu xác định khoảng
cách lên phía thợng lu của đập tràn phải xa bao nhiêu để độ sâu xấp xỉ với độ sâu dòng
chảy đều. Giả thiết hệ số cản C
d
là 0,0025. Sử dụng phơng trình (2.5) để xác định vận
tốc tại vị trí thợng lu, tại đó dòng chảy là bình thờng, thấy rằng

4
10
1
0025,0
81,9
230
30
30
2,34
n
n
h
h
h
u



trong đó h

n
là độ sâu tại khu vực dòng chảy đều. Lời giải bằng phép thế cho ta h
n
= 1,54 m.
Để xác định xa lên thợng lu đập đến đâu thì độ sâu giảm đến giá trị này, phơng trình
(2.30) đợc biểu thị lại là

52







n
h
h
dh
is
ghu
l
0
)/(1
2

l
km
2466,9
3822,8

10611,7
16901
h
m
0,06
0,06
0,06

dl/dh

41115
63713
176862

s-i

2,37E-05
1,52E-05
5,46E-06

i từ Pt.
(2.5)

7,63E-05
8,48E-05
9,45E-05

1-
u
2

/2g

0,972
0,969
0,966

u
m/s
0,674
0,699
0,726

P
m
33,38
33,26
33,14

A
m
2

50,7
48,9
47,1

h trung
bình
m
1,69

1,63
1,57

Bảng 2.1 Các bớc tính toán khoảng cách thợng lu bị ảnh hởng bởi đập tràn

Phạm vi h
m
1,72-1,66
1,66-1,60
1,60-1,54
Tổng
khoảng
cách cách


53



và đợc giải theo ba phần trung gian giữa đập tràn và đoạn dòng chảy đều; mỗi phần thể
hiện một đoạn nhỏ bằng nhau trong phạm vi độ sâu giữa 1,54 m và 1,72 m.
Dữ liệu trong bảng 2.1 là các bớc thực hiện để đánh giá khoảng cách l, bắt đầu từ
đập tràn. Những bớc đầu tiên gồm tính toán vận tốc trung bình theo chiều rộng và độ
sâu trung bình cho mỗi phần, và kết quả này đợc sử dụng để tính toán tử số trong biểu
thức đối với l đã cho ở trên. Sử dụng những giá trị vận tốc trung bình, tổn thất ma sát i
trên đơn vị độ dài đợc xác định từ phơng trình (2.5) và do đó là mẫu số trong biểu thức
đối với l đã tính toán.
Cuối cùng, dl/dh đợc tính toán và, khi biết độ giảm mực nớc từ đoạn hạ lu đến
đoạn thợng lu, khoảng cách toàn bộ cho khu vực dòng chảy đều đợc xác định. Một tính
toán nh vậy sẽ tơng đối dễ thực hiện khi sử dụng bảng biểu, nhng trong những tình

huống phức tạp hơn mô hình toán học đợc áp dụng, do đó cho phép xét đến nhiều biến
hơn so với trờng hợp tiếp cận đơn giản này.
Một u điểm đặc biệt của phơng trình (2.30) là nó minh họa độ dốc đáy và ma sát
có thể ảnh hởng đến sự biến đổi độ sâu theo khoảng cách ra sao. Trong dòng chảy biến
đổi dần dần, sự uốn cong của những đờng dòng rất nhẹ và áp suất tại một điểm trong
dòng chảy đợc kiểm soát bởi độ sâu của nó dới mặt nớc. Nh vậy mức độ biến đổi của
áp suất p theo khoảng cách có thể suy luận từ dh/dl, giả thiết mật độ biến đổi không đáng
kể theo chiều dọc. ý nghĩa của sự biến đổi áp suất theo chiều dọc sẽ trở nên hiển nhiên
trong mục sau về hiệu ứng lớp biên.
2.3 Các hiệu ứng lớp biên
2.3.1 Trạng thái của những lớp biên
Khái niệm lớp biên đợc nhà động lực học chất lỏng ngời Đức Ludwig Prandtl
(1875 - 1953) đề xuất, để liên kết khoa học lý thuyết của thủy động lực học cho một chất
lỏng không nhớt, (tức là chất lỏng trong đó hiệu ứng của độ nhớt là không đáng kể) với
khoa học thực hành của thủy lực học, trong đó dòng chảy liên hệ theo kinh nghiệm với
những yếu tố điều khiển. Ví dụ, thủy động lực học không thể sử dụng để giải thích lực cản
hoặc những lực nâng tác động lên một vật thể bị kéo chìm. Mặt khác, có các công thức
đợc sắp đặt bởi những kỹ s thủy lực để định lợng hiện tợng này, nhng 'những hằng
số' thực nghiệm đợc trình bày lại thể hiện sự biến thiên không giải thích đợc. Lý thuyết
lớp biên bắc cầu qua chỗ trống, sử dụng những khái niệm của cả thủy lực học lẫn thủy
động lực học.
Lớp biên trong dòng chảy chất lỏng là khu vực gần với bề mặt, trong đó vận tốc
biến đổi nhanh theo khoảng cách kể từ bề mặt. Ví dụ, một ngời nhìn vào thành của một
con tàu đang chuyển động phải thấy rằng nớc ở kề ngay sát vỏ tàu đợc kéo dọc theo
tàu, nhng kể từ thành tàu ra xa hơn nớc không bị dao động bởi sự dịch chuyển của con
tàu. Khu vực bị ảnh hởng bởi con tàu tạo nên lớp biên và đợc đặc trng bởi nhiều xoáy
rối. Một lớp biên cũng phải hiển thị nếu con tàu thả neo trong một dòng chảy đang chảy
để cho nớc gần vỏ tàu chuyển động chậm và càng ra xa hơn thì chảy nhanh hơn. Trong
thực tế, những lớp biên hình thành tại bất kỳ chỗ nào mà một chất lỏng chảy qua hoặc đi

54



qua một bề mặt cố định. Sự giảm vận tốc trong lớp biên thể hiện tổn thất động lợng và
điều này cho thấy tổn thất động lợng là do sức cản ma sát tại biên. Sức cản này có thể do
những ứng suất nhớt tác động theo phơng tiếp tuyến với bề mặt trong trờng hợp năng
lợng bị mất đi do việc đốt nóng bề mặt. Tuy nhiên, nếu bề mặt là nhám, sức cản có thể
tăng lên do những nhiễu động áp suất tác động pháp tuyến lên bề mặt, tạo nên những
xoáy bị đẩy ra khỏi những phần tử nhám trên bề mặt và do đó lấy năng lợng của dòng
chảy trung bình; thông thờng tổn thất động lợng do sự tạo thành các xoáy bởi độ nhám
bề mặt lớn hơn nhiều so với ứng suất nhớt. Cuối cùng năng lợng trong các xoáy cũng bị
tiêu tán do nhớt thành nhiệt năng. Sức cản do ứng suất nhớt đợc dẫn ra nh 'sức cản ma
sát lớp đệm và sức cản phát sinh bởi áp suất pháp tuyến thờng gọi là 'sức cản áp suất',
hoặc đôi khi là 'sức cản hình dạng'. Sức cản kết hợp bởi ma sát lớp đệm và sức cản áp suất
gọi 'sức cản lớp biên', hoặc đôi khi gọi là 'sức cản phân bố'.
2.3.2 áp suất động lực
Hình dạng phân bố vận tốc đối với nớc chảy trên bề mặt nhám phụ thuộc vào độ
lớn của sức cản lớp biên, mà đến lợt nó phụ thuộc vào mức độ mà những xoáy bị đẩy ra
khỏi những phần tử nhám. Nh vậy có hai khía cạnh then chốt ảnh hởng đến phát tán:
vận tốc tại một điểm và sự trợt vận tốc, phụ thuộc vào những quá trình trong lớp biên.
Xu thế để những xoáy quay ra khỏi những phần tử nhám riêng lẻ là một tính năng thay
đổi theo không gian của áp suất trong dòng chảy. Ngời ta định lợng áp suất trong dòng
chảy bằng phơng trình Bernoulli (mục 2.2.2) và biểu thức này có thể sử dụng để xác
định những tác nhân khác nhau đối với áp suất p.
Có thể biểu thị những tác nhân đóng góp cho áp suất bằng việc xem xét nguyên lý
của ống đo áp lực chất lỏng (hình 2.9). Thiết bị này gồm một cái ống, đủ rộng để những
hiệu ứng mao dẫn là không đáng kể, với một chỗ uốn cong vuông góc tại một đầu đối diện
với dòng chảy. Khi đặt vào trong lòng dẫn đang chảy, nớc dâng lên lên trên ống đến một
mức cao hơn mặt nớc của dòng chảy, và khi cân bằng, không còn chuyển động trong ống

nữa.
Tại mép phía hạ lu ống, phơng trình (2.13) có thể sử dụng để mô tả áp suất p
f

trong dòng chảy tại độ sâu của chỗ uốn trong ống. Nh vậy là

gzuconstp
rf


2
2
1
( 2.31)
trong đó z đợc đo xuống dới từ một mực chuẩn tại nớc mặt nớc. Tại miệng ống, u
r
=
0, nên áp suất p
m
bằng

gzconstp
m


. ( 2.32)
Thấy rằng chênh lệch áp suất giữa miệng ống và vị trí hạ lu tại cùng độ sâu dới
mặt chuẩn, tức là trên một đờng dòng, bằng cách trừ đi phơng trình (2.31) từ phơng
trình (2.32), nên ta có

2
2
1
rfm
upp


. (2.33)

55



Giả thiết xấp xỉ thuỷ tĩnh, áp suất tại vị trí mép hạ lu của ống bằng áp suất do
trọng lợng của nớc cùng với áp lực không khí p
a
để có

gzpp
af


. ( 2.34)

Hình 2.9 ống đo áp lực chất lỏng trong lòng dẫn đang chảy

áp suất p
m
tại miệng ống bằng trọng lợng của nớc trong ống cộng với áp suất
không khí để cho

gzglpp
am


. (2.35)
Từ những phơng trình ( 2.33) - ( 2.35) thấy rằng áp suất p
d
liên quan đến chiều
cao của cột nớc trong ống ở trên mặt nớc tự do bằng

dr
pglu

2
2
1
(2.36)
p
d
gọi là 'áp suất động lực' và bởi vì nó đợc đo theo chiều cao l, việc xác định nó thể hiện
một trong những phơng pháp chính xác nhất để đo vận tốc chất lỏng.
áp suất trong một chất lỏng chuyển động bị giảm so với áp suất tại cùng độ sâu đó
trong một chất lỏng ổn định là bởi áp suất động lực, vậy nên

2
2
1
rmf
upp

. (2.37)
Nh vậy nếu vận tốc u
r
tại một điểm đặc trng trong dòng chảy giảm đến không,
áp suất tại vị trí đó tăng lên từ p đến p + p
d
, trong đó
2
2/1
rd
up


.
Một trình bày đơn giản của áp suất động lực đợc minh họa bởi thiết bị trong hình
2.10, trong đó nớc chảy thông qua một ống nằm ngang co hẹp trớc khi trở lại đờng
kính ban đầu. áp suất p trong dòng chảy đợc chỉ ra bằng chiều cao của cột nớc trong
các ống thẳng đứng, hoặc bằng áp kế, tại mỗi đoạn ống. Thấy rằng chiều cao cột nớc hạ

56



thấp tại mặt cắt co hẹp và sau đó lại tăng lên khi chỗ co hẹp của cái ống trở lại với kích
thớc ban đầu của nó. Từ phơng trình Bernoulli, áp suất dọc theo một đờng dòng đợc
lấy theo phơng trình (2.31), và xét một đờng dọc theo trục trung tâm của ống, áp suất
này giảm khi vận tốc tăng lên do đờng kính ống giảm. Mặc dù về lý thuyết, áp suất và
do đó chiều cao cột nớc, cần phải nh nhau trong những mặt cắt có cùng đờng kính, ta

lại thấy sự giảm chiều cao cột nớc, vì ma sát đã làm giảm áp suất từ giá trị ban đầu của
nó. Mặc dù có những tổn thất nhỏ nh vậy của áp suất, sự hạ thấp cột nớc từ những mặt
cắt rộng đến những mặt cắt hẹp của cái ống thể hiện công thực hiện trong việc tăng tốc
dòng chảy.


Hình 2.10 Thay đổi áp suất trong một ống nằm ngang khi vận tốc dòng chảy tăng khi đi qua một mặt cắt
co hẹp và sau đó trở lại vận tốc ban đầu

Sự biến đổi theo không gian của áp suất có tầm quan trọng đáng kể trong dòng
chảy tự nhiên. áp suất do độ dốc mặt nớc sẽ điều khiển dòng chảy theo hớng gradient
giảm, nhng nếu có sự giảm tốc theo khoảng cách dọc dòng chảy, ví dụ do tăng diện tích
mặt cắt, thì áp suất động lực giảm và áp suất p trở nên lớn hơn, ngợc với sự giảm áp
suất dọc theo hớng dòng chảy do độ dốc mặt nớc. Nh vậy những biến đổi không gian
của áp suất động lực ảnh hởng đến những biến đổi không gian của áp suất trong dòng
chảy. Trong mục 2.3.5 sẽ thấy rằng các hiệu ứng áp suất có thể đặc biệt quan trọng trong
lớp biên bởi vì sức cản ma sát cản trở việc chảy về phía trớc do độ dốc mặt nớc, trong
khi cho phép những thay đổi áp suất tơng đối nhỏ dọc theo dòng chảy làm ảnh hởng
đến phân bố vận tốc.
2.3.3 Hệ số cản
Đã phát biểu rằng lớp biên là một khu vực trong đó dòng chảy trung bình bị chậm
lại để cung cấp động lợng bị mất đi do sức cản ma sát tại biên. Tổn thất động lợng này
là một quá trình liên tục đối với dòng chảy trên một đáy nhám, cho nên những tổn thất do
ma sát phải liên tục xảy ra bằng cách lấy nhiều động lợng hơn từ dòng chảy trung bình.
Nh vậy, thậm chí nếu không có bất kỳ sự thay đổi nào về áp suất theo khoảng cách,
những lớp biên vẫn dày lên. Vận tốc tại đỉnh lớp biên tiệm cận với vận tốc của dòng chảy
trung bình. Mép trên thực tế của lớp biên không xác định một cách tuyệt đối và đối với

57

những mục đích thực hành có thể lấy, ví dụ tại điểm mà vận tốc trong lớp biên đạt 99 %
vận tốc dòng chảy trung bình. Lớp biên đợc phỏng đoán tăng lên từ đặc điểm khởi đầu
nào đó mà tại đó sức cản của biên trở nên hiệu quả - trong thực tiễn, những đặc tính này
có thể là bất kỳ, không theo quy luật nào trên mặt biên.
Mức độ tăng của một lớp biên riêng lẻ sẽ lớn khi vận tốc của dòng chảy trung bình
nhỏ, bởi vì sẽ cần một tỉ lệ lớn hơn của năng lợng dòng chảy trung bình để tạo nên tổn
thất động lợng do ma sát. Nếu sức cản của đáy, thờng biểu thị bằng ứng suất đáy
b

lớn, thì lớp biên phát triển nhanh hơn để đáp ứng nhu cầu đối với động lợng từ dòng
chảy trung bình. Nh vậy, mức độ mà theo đó bề dày lớp biên tăng theo khoảng cách dọc
biên sẽ tỷ lệ thuận với độ lớn của ứng suất đáy và tỷ lệ nghịch với động năng của dòng
chảy trung bình. Hệ số cản C
d
là tỷ lệ của hai biến này nên ta có
2
m
b
d
u
C



(2.38)
trong đó u
m
là vận tốc của dòng chảy trung bình độ sâu. Điều này thể hiện sự sắp xếp lại

biểu thức đối với
b
sử dụng trong mục 2.2.1. Trong môi trờng biển quy ớc lấy thừa số
1/2 cho số hạng động năng của hệ số. Những định nghĩa của C
d
thay đổi phụ thuộc vào
việc xác định vận tốc sử dụng và cần chú ý điều này khi so sánh những giá trị C
d
với
nhau. Ví dụ, giá trị của C
d
có thể hơi khác nếu dùng vận tốc gần đáy u
b
, thờng lấy tại 1
m phía trên đáy thay cho u
m
.
Tầm quan trọng của số Reynolds đối với dòng chảy trong việc điều khiển độ lớn
của hệ số cản đã đợc thể hiện bằng những thí nghiệm trong phòng. Hình 2.11 cho thấy
hình vẽ theo các kích thớc khác nhau của phần tử nhám trên mặt biên. Quá trình
chuyển từ dòng chảy tầng đến dòng chảy rối vẫn cha đợc hiểu rõ hoàn toàn. Tuy nhiên,
đợc biết rằng một dòng chảy tầng hoàn toàn tại phía thợng lu và chảy rối tại phía hạ
lu thể hiện sự thay đổi dần dần của các yếu tố dòng chảy. Với việc tăng số Reynolds độ
dài của khu vực quá độ này giảm đến một giá trị tới hạn, khu vực này đủ nhỏ để coi nh
một điểm. Độ nhám bề mặt thúc đẩy sự quá độ bởi tác động của các xoáy, loại đi những
đặc tính này và tổn thất năng lợng thành rối thờng làm tăng hệ số cản khi dòng chảy
trở lại tầng, nh hình vẽ đã cho thấy. Những phần tử nhám lớn hơn gây sức cản nhiều
hơn. Với những số Reynolds lớn hơn, động năng của dòng chảy trung bình cao hơn và lớp
biên có xu hớng mỏng đến một độ dày mà tại đó độ cao nhám trung bình ảnh hởng đến
sức cản. Vì sức cản ma sát lớp đệm nhỏ so với sức cản áp suất gây ra bởi các phần tử

nhám, những giá trị C
d
trở nên chỉ phụ thuộc vào kích thớc nhám trung bình và có xu
hớng không đổi khi số Reynolds tăng lên. Nh vậy, với những số Reynolds lớn hơn, bề
dày của lớp biên càng độc lập với vận tốc.
2.3.4 Phân bố lôgarít của vận tốc
Trong mục 2.3.3 đã phát biểu rằng thậm chí nếu áp suất không đổi theo khoảng
cách, lớp biên sẽ tăng lên cho đến khi vận tốc tại đỉnh của lớp biên xấp xỉ với vận tốc của
dòng chảy trung bình, trong đó sức cản ma sát không quan trọng. Một công thức lý thuyết
hữu ích cho dạng phân bố vận tốc trong lớp biên của dòng chảy ổn định đều có thể dẫn
xuất từ lý luận thứ nguyên.

58





Hình 2.11 Sự biến đổi của hệ số cản theo số Reynolds trong dòng chảy tầng hoặc rối, cho thấy ảnh hởng
của kích thớc nhám đáy

Xét một dòng chảy của nớc có mật độ không đổi trong lòng dẫn rộng vô hạn. Vì
giả thiết rằng không có gradient áp suất dọc theo hớng dòng chảy, có thể lập luận rằng
ứng suất mỗi lớp chất lỏng tác động lên những lớp kề bên là không đổi trên toàn bộ độ
sâu, tạo ra một 'lớp ứng suất không đổi' ( Sutton, 1953: tr. 72). Trên cơ sở thứ nguyên, hệ
số nhớt rối N
z
có thể biểu thị nh sau

dz

du
lN
mz
2

(2.39)
trong đó du/dz là gradient vận tốc thẳng đứng (tức là độ trợt vận tốc) và z đợc đo xuống
phía dới kể từ mặt nớc. Tham số l
m
là quy mô độ dài và gọi là 'quãng đờng xáo trộn'
đối với trờng rối (xem mục 4.2.2). Hơn nữa, có thể lập luận rằng quy mô xoáy trong
trờng rối, thể hiện bằng l
m
, tỷ lệ với khoảng cách kể từ biên đáy nên đối với xấp xỉ ban
đầu

)( zhkl
m

(2.40)
trong đó h là độ sâu lớp biên và k là hằng số. Điều này nói rằng l
m
= kh tại đỉnh lớp biên
(z = 0) và giảm đến không tại biên đáy (z = h). Trong phơng trình (1.4), ứng suất trợt
zx
liên quan đến N
z
, bằng biểu thức

dz

du
N
zzx


. (2.41)
Thay phơng trình (2.39) vào phơng trình (2.41) ta có

dz
du
dz
du
l
mzx







2

. (2.42)
Tại điểm này thấy rằng dòng chảy giảm về phía biên đáy do ma sát và bởi vậy
du/dz < 0. Việc tính đến điều này và sắp xếp lại phơng trình (2.42) dẫn đến

59

mm
zx
l
u
ldz
du
*
2/1
1












(2.43)
Vì ứng suất trợt =
zx
lấy không đổi trong toàn bộ độ sâu của lớp biên, nó bằng
ứng suất đáy
b
. 'Vận tốc ma sát' lấy theo u *=( / )

1/2
có thứ nguyên ms
-1
và là một tham
số tiện lợi để đặc trng cho ứng suất đáy trong dòng chảy ở môi trờng biển.
Thay quãng đờng xáo trộn cho trong phơng trình (2.40) dẫn đến quan hệ

)(
*
zhk
u
dz
du


(2.44)
và tích phân cho ta

constzh
k
u
u )ln(
*
. (2.45)
Giả thiết rằng biên đợc tạo nên do những phần tử nhám với quy mô quãng đờng
đặc trng, 'độ dài nhám' z
0
đánh giá theo quan hệ z
0
= h - h

0
, trong đó vận tốc là không tại
z = h
0
. Từ phơng trình (2.45) thấy rằng











0
*
ln
z
zh
k
u
u
. (2.46)
Phơng trình (2.46) chỉ ra rằng phân bố vận tốc trong lớp biên đáy về mặt lý
thuyết cần phải có dạng lôgarít. Phát hiện này đã đợc sử dụng trong biển và cửa sông để
phân tích dữ liệu dòng chảy đo bằng lu tốc kế gần đáy. Nếu những lu tốc kế riêng lẻ
đợc sử dụng, thì chúng thờng đợc định vị tại những độ cao khoảng 2 m ở trên đáy trên
một khung đỡ vững chắc; những đồng hồ đo đợc để cách nhau để lấy đợc nhiều chi tiết

hơn gần đáy, tại đó sự thay đổi vận tốc dòng chảy theo độ sâu là lớn nhất. Bằng việc làm
khớp những vận tốc thành phân bố lôgarít, phơng trình (2.46) có thể sử dụng để xác
định vận tốc ma sát, và từ đó là ứng suất trợt tại đáy, và độ dài nhám z
0
. Dựa vào
nghiên cứu thực nghiệm trong phòng, hằng số k (hằng số von Karman) cho thấy có giá trị
trong phạm vi 0,36 < k < 0,41.
2.3.5 Gradient áp suất thuận và nghịch
Phân bố lôgarit dẫn ra ở trên phụ thuộc vào việc có gradient áp suất bằng không.
Tuy nhiên, trong dòng chảy không đều những thay đổi của vận tốc theo khoảng cách phụ
thuộc vào những gradient áp suất khác không. Nh vậy khi dòng chảy chậm lại, áp suất
tăng lên theo hớng chuyển động và nó tác động thông qua lớp biên. Gần biên, 'gradient
áp suất nghịch' này và sức cản do ma sát đáy kéo ngợc dòng ở trên bằng tác động của
nhớt. Điều này làm cho dòng chảy gần biên nhất chảy chậm hơn dòng chảy ở xa hơn trong
dòng nớc và phân bố vận tốc trở nên ít uốn cong hơn. Nh vậy là hiệu ứng của gradient
áp suất nghịch là làm giảm gradient vận tốc du/dz tại biên (hình 2.12).
Khi gradient áp suất đủ lớn, gradient vận tốc này có thể giảm đến không cho nên
nớc gần nhất với bề mặt sẽ ở ngay tại điểm có chuyển động ngợc hớng với phần dòng
chảy còn lại; lúc này lớp biên ở tại điểm phân cách. Nếu gradient áp suất nghịch tăng

60



thêm nữa, thì nớc kề ngay biên trên thực tế chảy ngợc dòng và dòng chảy ngợc hình
thành một phần của một xoáy lớn. Những xoáy nh vậy nói chung không ổn định và vỡ
ngay khi xa bề mặt, trong khi cho phép những xoáy mới hình thành trong lớp biên.
Những gradient áp suất nghịch lớn xảy ra khi nớc chảy trên hoặc chảy xung quanh vật
thể dựng đứng không có đờng dòng nh trụ cầu. Những xoáy bị rơi vào dòng chảy ở
phía hạ lu vật chớng ngại, và vì một lợng đáng kể của năng lợng có thể tiêu tán

thông qua những xoáy này, sức cản do hiệu ứng này rất đáng kể.


Hình 2.12 Dòng chảy đảo ngợc do gradient áp suất nghịch
Nikuradse (1929) thực hiện những nghiên cứu thực nghiệm với các dòng chảy hội
tụ và phân kỳ để xác định những hiệu ứng của gradient áp suất thuận và nghịch tơng
ứng lên phân bố vận tốc; một vài prôfil tiêu biểu từ những thực nghiệm này đợc chỉ ra
trong hình 2.13. Có thể thấy gradient nghịch làm giảm độ cong của prôfil tơng đối lớn,
nhng các 'gradient áp suất thuận' lại có hiệu ứng ít rõ ràng hơn. Một lòng dẫn có thành
đứng song song (tức là gradient áp suất bằng không) tạo ra phân bố vận tốc lôgarit. Sự
thay đổi của prôfil dới một gradient áp suất nghịch nói lên rằng động lợng bị mất từ
dòng chảy trung bình và đợc chuyển thành rối thông qua những xoáy phát sinh từ
những phần tử nhám trên biên. Gradient áp suất làm cho lớp biên dày lên nhanh hơn
nh nó có thể dới một gradient áp suất bằng không. Với gradient áp suất thuận, nh khi
xuất hiện trong lòng dẫn co hẹp, lớp biên tăng chậm hơn nh nó có thể dới một gradient
áp suất không. Ngay sau khi chuyển thành dòng chảy rối, những hệ số cản giảm theo sự
tăng vận tốc hoặc số Reynolds, bởi vì một tỉ lệ nhỏ hơn của động lợng của dòng chảy
trung bình đợc đòi hỏi cho tổn thất ma sát.
Có thể vẽ sự tơng tự giữa hiệu ứng của gradient áp suất thuận lên giá trị C
d và

hiệu ứng của việc tăng số Reynolds trên hình 2.11. Từ hình vẽ có thể thấy đối với dòng
chảy rối, việc tăng số Reynolds làm giảm hệ số cản C
d
cho đến khi tại một độ nhám nhất
định C
d
trở nên không đổi. Trong một lòng dẫn co hẹp, nh một cửa sông khi triều lên,
vận tốc tăng theo khoảng cách ngợc lên lòng dẫn do diện tích mặt cắt ngang giảm. Sự

61



tăng này tạo ra gradient áp suất động lực thuận, ngăn cản lớp biên tăng trởng, và sức
cản đối với dòng chảy nhỏ đi. Nh kết quả thí nghiệm trong phòng dẫn ra trên hình 2.11,
hệ số cản giảm cho đến khi nó trở nên không đổi tại một giá trị liên quan đến kích thớc
trung bình của độ nhám bề mặt.
Dòng chảy trong lòng dẫn mở rộng dần, hoặc cửa sông khi thủy triều đang xuống,
sẽ giảm tốc và dẫn đến một gradient áp suất nghịch. Nh vậy, lớp biên dày lên, và nh
xảy ra khi R
e
giảm, những hệ số cản tăng lên. Hình 2.14 minh họa sự thích ứng của C
d

gần các thời điểm triều xuống và triều lên mạnh nhất đối với tham số gradient áp suất
trong cửa sông Tees (Lewis và Lewis, 1987). Tham số gradient áp suất
o
đợc xác định
bởi quan hệ

dx
dp
u
h
m
2
0
1,0

trong đó bề dày lớp biên đợc lấy xấp xỉ 0,1 toàn bộ độ sâu h, u
m
là vận tốc dòng chảy
trung bình theo độ sâu và dp/dx là gradient áp suất theo hớng dọc. Hình vẽ chỉ ra rằng
các hệ số cản khi triều xuống (
o
âm) lớn hơn nhiều so với khi triều lên; hơn nữa, những
giá trị C
d
khi triều lên ít biến đổi hơn so với những giá trị bị giảm khi triều xuống. Sự
thích ứng này của giá trị C
d
đối với những gradient áp suất đợc giải thích bằng hình vẽ
hỗ trợ ở trên, cùng với sự thích ứng của những giá trị C
d
đo đợc theo số Reynolds.


Hình 2.13 Phân bố vận tốc trong dòng chảy mở rộng và co hẹp; dựa trên những thực nghiệm lệch với các
thành song song theo những góc trong khoảng 2
o
và 4
o


Có thể thấy rằng một gradient áp suất dọc theo hớng dòng chảy rất quan trọng
bởi vì nó có thể gây ra sự lệch khỏi dạng lôgarit của phân bố vận tốc gần đáy. Cũng có

bằng chứng là những thay đổi theo thời gian của vận tốc trung bình có thể phát sinh
những gradient áp suất ảnh hởng đến dạng phân bố vận tốc thẳng đứng (Soulsby và
Dyer, 1981 Kuo và nnk., 1996).

62



2.3.6 Vết xoáy
Trong những trờng rối quan trắc ở các cửa sông và vùng ven bờ thờng thấy rằng
có những xoáy ngang quy mô tơng đối lớn hiện diện. Nói chung, những xoáy lớn này
xuất hiện tại một vị trí đặc biệt, gây ra sự tan rã bức tranh đờng dòng, và bị dịch chuyển
xa hơn xuống hạ lu bởi dòng chảy trung bình, tách thành các xoáy nhỏ hơn và trở thành
một phần của rối quy mô nhỏ hơn nh chúng vẫn vậy. Những xoáy lớn có thể hình thành
bởi dòng triều xung quanh các mũi đất, những đảo nhỏ, đá ngầm hoặc các đặc điểm khác
nằm trên đờng đi của dòng chảy. Sử dụng những kết quả nghiên cứu thí nghiệm dòng
chảy xung quanh những chớng ngại, có thể suy ra một vài điều kiện dẫn đến sự hình
thành xoáy.


Hình 2.14 Sự biến đổi hệ số cản theo tham số gradient áp suất
o
: triều xuống; triều lên. (Theo Lewis
và Lewis, 1987, đợc sự đồng ý của Academic Press)

Trong mục 2.3.3 đã thấy rằng đối với dòng chảy hệ số cản phụ thuộc vào số
Reynolds. Để minh họa điểm này, xét nớc chảy qua một hình trụ đặt thẳng đứng trong
dòng chảy (hình 2.15). Lấy một mặt bằng để quan sát, có thể thấy rằng để chuyển động
xung quanh hình trụ, nớc gần mặt trụ phải tăng tốc và sau đó lại giảm tốc. Trong giai
đoạn giảm tốc, một gradient áp suất nghịch đợc thiết lập (xem mục 2.3.5) và ở đó có xu

hớng dòng chảy tách ra khỏi mặt trụ và hình thành hai xoáy quay theo những hớng đối
diện. Nếu số Reynolds nhỏ, thì dòng chảy tầng và nhạy cảm đối với ảnh hởng của
gradient áp suất nghịch, sớm hình thành sự tách ra và một đám xoáy rộng sau vật cản
nh trong hình 2.15 (a). Tuy nhiên, nếu số Reynolds tăng đến một giá trị tới hạn mà tại
đó dòng chảy trở thành rối trớc khi sự tách ra có thể xuất hiện, thì lớp biên trở nên
mạnh hơn đối với ảnh hởng của áp suất nghịch và sự tách ra xuất hiện về sau. Điều này
làm giảm bề rộng đám xoáy sau vật cản nh thấy trong hình 2.15 (b). Việc giảm chiều