Quá trình Phát tán vật chất trong các cửa sông và vùng nước ven bờ ( ĐH khoa học tự nhiên ) - Chương 6 ppt

166



Chơng 6. Mô hình hóa quá trình Phát tán
6.1 Giới thiệu
Nói chung, các nghiên cứu phát tán nhằm mục đích định lợng độ pha loãng đạt
đợc trong một thời gian nhất định, dới những điều kiện khí quyển và hải dơng đặc
trng. Mô hình toán học cung cấp phơng tiện để tính toán sự pha loãng bằng cách sử
dụng dữ liệu về mức độ tăng thể tích bị chiếm chỗ bởi một khối lợng đã cho của chất
phát tán. Mức độ này thờng đợc mô tả bởi những hệ số xáo trộn, mặc dù có thể áp dụng
những phơng pháp khác, nh kỹ thuật lăng trụ thủy triều phác thảo trong mục 6.6.2.
Những mô hình sẵn có với sự đa dạng về chủng loại, những khác biệt của chúng
thờng phụ thuộc vào cách mô tả sự hạn chế tăng trởng bởi các biên dòng chảy. Chơng
này đa một tổng quan chứ không mô tả chi tiết cấu trúc và ứng dụng của tất cả các loại
mô hình khác nhau. Chỉ có các công thức tơng đối đơn giản mô tả trớc đây sẵn đợc
giải trong chơng này trên cơ sở những chi tiết đã cho - đối với những mô hình tiên tiến
hơn, hầu hết đòi hỏi năng lực tính toán đáng kể, ngời làm mô hình có lẽ phải tham chiếu
đến những tài liệu chuyên môn về kỹ thuật số. Những mô hình tiên tiến đợc đề cập
trong chơng này để bảo đảm rằng ngời đọc ý thức đợc phạm vi của những loại mô
hình sẵn có. Trong một vài hoàn cảnh, phần mềm cho một mô hình nh vậy có thể có sẵn,
và nó sẽ quan trọng đối với ngời dùng để hiểu những quá trình phát tán đã đợc biểu thị
bằng toán học trong mô hình ra sao.
Chơng này bắt đầu mô tả sự pha loãng ban đầu của một chất nổi thải vào môi
trờng biển, khi xuất hiện tại nguồn thải và những nguồn đổ vào khác tại đáy biển. Hai
mục tiếp theo về phát tán những đốm loang và vệt loang cung cấp các công thức có thể sử
dụng để đánh giá 'cốt lõi bên trong' của nồng độ, hoặc pha loãng mà không cần khả năng
tính toán đáng kể. Mục tiếp theo mô tả kỹ thuật ngẫu hành, một phơng pháp có các ứng
dụng thực tế đa dạng nhng cần một tài nguyên tính toán tốt. Phần còn lại của chơng
này phác thảo những loại mô hình có thể áp dụng trong các cửa sông và nớc ven bờ. Mục

về những mô hình một chiều đối với cửa sông bắt đầu với việc mô tả những mô hình lăng
trụ thủy triều. Mặc dù kỹ thuật này đã đợc thay thế bởi những mô hình giải các phơng
trình cân bằng động lợng và khối lợng (các mục 2.4.2 và 4.2.3), quy trình đợc nhắc đến
để chỉ ra việc có thể xét tác động thủy triều để suy luận sự pha loãng nh thế nào khi xáo
trộn đợc hạn chế bởi những giới hạn của một cửa sông. Trong phác thảo những mô hình
tiên tiến ở nửa sau chơng này, đa ra một mô tả tiếp cận cho phép phá huỷ những chất
dễ bị phân hủy sinh học.

167



6.2 Pha loãng và cuốn theo bằng Tia
Trong khuyếch tán rối qua một mặt phân cách, có vận chuyển khối lợng nhng
không có vận chuyển thực tế của nớc. 'Cuốn theo' khác với khuyếch tán ở chỗ vận
chuyển khối lợng kèm theo chuyển động thực tế của nớc. Sự cuốn theo có thể xuất hiện
khi một chất lỏng đang lan truyền nhanh so với một chất lỏng kề bên; khác biệt vận tốc
giữa những chất lỏng làm cho một chất lỏng sẽ bị kéo vào bên trong chất khác. Ví dụ, khi
nớc sông chảy ra biển trên nớc chuyển động chậm và nhiều muối hơn ở một cửa sông,
những chuyển động tơng đối kéo nớc mặn vào trong dòng chảy mặt, một hiệu ứng có
thể làm tăng thể tích vận chuyển về phía biển của nớc nhiễm mặn khoảng hai mơi lần
lu lợng thể tích đến cửa sông do các nguồn sông nhập vào (Bowden, 1967).


Hình 6.1 Sự cuốn theo vào bên trong một tia đang trồi lên, đợc hình thành do việc thải liên tục một chất
nổi tại đáy biển

Do sự có mặt của một thể tích nớc ngọt lớn, chất thải hoặc những chất thải công
nghiệp nói chung có mật độ thấp hơn nớc biển. Nh vậy, những nguồn đổ xuống đáy
biển dâng lên phía mặt nớc và trở nên loãng bởi sự cuốn theo của nớc biển ở vùng lân

cận (hình 6.1). Nếu chuyển động hớng lên của chất thải cha đợc ngăn ngừa bởi sự có
mặt của một lớp có mật độ thấp, việc pha loãng tia tiếp tục tăng lên cho đến khi nó đạt
đến mặt nớc biển và lan rộng ra để hình thành một trờng rộng. Trờng này, đợc coi
nh một trờng 'sôi', thờng rõ ràng nhận ra nh một khu vực biển mịn phía trên nguồn
đổ. Những dòng thủy triều liên tục mang trờng chất thải ra khỏi khu vực nguồn đổ, và
do bị pha loãng bởi xáo trộn rối, nó hình thành một vệt loang mở rộng.
Sự pha loãng bởi cuốn theo liên quan đến động năng và thế năng xả và giai đoạn
này của quá trình pha loãng thờng xác định từ công thức kinh nghiệm hơn là bằng cách
giải những phơng trình cân bằng thể tích và động lợng. Một họ tiêu biểu những đờng
cong pha loãng đợc thiết lập bởi Abraham (1963) trên cơ sở các thực nghiệm với tia trong
những bể nớc yên tĩnh. Những đờng cong này liên hệ sự pha loãng một tia đang dâng
lên theo tỷ lệ của độ sâu nớc với đờng kính của cửa thoát, và với 'số Froude tia' F
j
của

168



dòng chảy. Số Froude liên quan đến mật độ tức thời của tia
j
, và mật độ nớc bao quanh

a
, với vận tốc tia u bởi biểu thức


5,0
'
j

j
dg
u
F
(6.1)
trong đó g' = g(
a
-
j
)/
a
và d
j
là đờng kính của tia. Một công thức hữu ích đối với độ pha
loãng D
0
phát sinh do sự cuốn theo, cho một kết quả tơng tự nh những đờng cong pha
loãng của Abraham là

3/5
0
66,0
38,0
54,0

jj
j
Fd
h
FD
(6.2)
trong đó h là toàn bộ độ sâu nớc (Cederwall, 1968).
Ví dụ
Với việc xả lu lợng là 0,1 m
3
s
-1
từ một nguồn đổ có đờng kính 0,3 m định vị tại
đáy biển trong nớc có độ sâu 12 m, đòi hỏi đánh giá độ pha loãng ban đầu tại mặt nớc
biển. Với mật độ của nguồn thải là 1005 kgm
-3
và mật độ nớc biển là 1020 kgm
-3
, gia tốc
triết giảm do trọng lực lấy bằng g'= 9,81 x ( 1020 - 1005) /1020 = 0,144 ms
-2
. Vận tốc u
j

lấy bằng lu lợng thể tích chia cho diện tích mặt cắt của nguồn đổ, cho ta u = 0,1/

x

(0,3 / 2)
2
= 1,41 ms
-1
. Do đó từ phơng trình (6.1), F
j
= 1,41 /(0,144 x 0,3)
1/2
= 6,8.
Từ phơng trình (6.2), D
0
= 0,54 x 6,8 [( 0,38 x 12) /( 0,3 x 6,8) +0,66]
5/ 3
= 21,4 lần.
Đây là tiêu biểu của độ pha loãng ban đầu do tăng độ nổi nhận đợc trong nớc tơng đối
nông nh vậy. Cần thấy rằng công thức hợp lý với nớc yên tĩnh, nh có thể thấy trong
biển tại những thời gian thủy triều dừng khi hớng dòng chảy đảo ngợc. Công trình thực
nghiệm chỉ ra rằng có thể thu đợc những pha loãng ban đầu hơi cao hơn khi thải vào
nớc đang chuyển động.
Đối với một tia chất lỏng nổi từ một nguồn trong biển, tính liên tục thể tích đòi hỏi
rằng

bduQD
v 00

(6.3)
trong đó D
0
là độ pha loãng ban đầu do cuốn theo, Q
v

là lu lợng thể tích thải qua miệng
tia, u
0
là vận tốc dòng chảy bao quanh đi qua điểm thải, b là chiều rộng ban đầu của
trờng nổi và d là độ sâu của nó (hình 6.1). Những biểu thức này cho thấy chiều rộng và
độ sâu ban đầu của trờng phụ thuộc vào vận tốc dòng chảy ra sao, và khi dòng chảy bao
quanh đợc chỉ rõ, có thể sử dụng để đánh giá những biến này nếu các đặc trng khác đã
xác định.
Một xấp xỉ thờng sử dụng là giả thiết rằng phân bố nồng độ ngang qua trờng là
Gauss và phân bố thẳng đứng là bán Gauss. Dạng phân bố nồng độ Gauss đợc cho trong
hình 4.3; dạng bán Gauss liên quan đến một nửa phân bố này, lấy từ một đờng đối xứng
qua nồng độ cực đại. Một thuộc tính hữu ích của phân bố nồng độ Gauss là chiều rộng b
giữa các điểm, bằng một phần mời nồng độ cực đại, bằng 4,3 lần độ lệch chuẩn của phân
bố, độ lệch chuẩn đợc xác định trong mục 6.3.1; giá trị này đợc làm tròn thành 4,0 đối

169



với đa số các ứng dụng thực tế. Tơng tự, đối với phân bố nồng độ bán Gauss trong hớng
thẳng đứng, độ tách ra d giữa mặt nớc và độ sâu mà nồng độ tại đó băng một phần mời
cực đại, xấp xỉ bằng hai lần độ lệch chuẩn của phân bố (hình 6.2). Nh vậy

4
0
b
y

2
0
d
z


(6.4)
trong đó
y0
và
z0
là các độ lệch chuẩn ban đầu của trờng mặt nớc. Nhớ rằng nồng độ
cực đại xuất hiện tại vị trí y = 0, ngời đọc có thể muốn chứng minh rằng yếu tố thật sự là
4,3 trong quan hệ giữa
y0
và b, bằng cách sử dụng công thức đối với phân bố Gauss đã
cho trong phơng trình (6.8) dới đây.


Hình 6.2 Độ sâu d tại đó nồng độ bằng 1/10 nồng độ mặt nớc đối với phân bố bán Gauss

Kết hợp những phơng trình (6.3) và (6.4), độ lệch chuẩn thẳng đứng ban đầu của
trờng nguồn đổ cho bằng

00
0
0
8
y
v

z
u
QD



. (6.5)
Đối với những mục đích mô hình hoá, thờng cần đánh giá độ lệch chuẩn hớng
đứng và hớng ngang tại lúc cuối giai đoạn pha loãng ban đầu. Trong nhiều trờng hợp
chiều rộng b của trờng có thể đánh giá tại giai đoạn này, hoặc bởi vết loang thấy đợc
trên mặt nớc, hoặc bởi việc thải thông qua một máy khuếch tán nhiều cổng có độ dài cho
trớc cắt qua dòng chảy, có thể giả thiết bằng b. Với việc sử dụng phơng trình (6.4), có
thể tính toán độ lệch chuẩn hớng ngang
y0
, và sau đó độ lệch chuẩn ban đầu của phân
bố thẳng đứng, tính toán từ phơng trình (6.5). Đây là điểm bắt đầu để tính toán sự pha
loãng thứ cấp tiếp theo trong một vệt loang liên tục.
6.3 phát tán đốm loang
6.3.1 Phơng pháp thể hiện Gauss
Những mô hình dự đoán nồng độ tại giai đoạn nào đó trong quá trình khuếch tán
dựa vào giả thiết rằng, mặc dù thể tích bị chiếm chỗ bởi vật chất tăng theo thời gian, toàn
bộ khối lợng là không đổi. Nếu biết khối lợng của vật chất, thì vấn đề giảm thiểu tới

170



việc xác định kích thớc của thể tích sau thời gian khuyếch tán xác định nào đó. Phân bố
nồng độ trong một hớng đã cho thờng có dạng hình chuông, có thể giống với hàm
Gauss, và mức trải rộng của phân bố này có thể biểu thị bởi độ biến thiên của nó. Thông

thờng mô tả độ biến thiên của phân bố nồng độ nh sau








cdy
dycy
y
2
2

(6.6)
trong đó c là nồng độ tại bất kỳ vị trí y nào. Trong biểu thức này mẫu số thể hiện toàn bộ
khối lợng của chất trong một đoạn có độ dày dx và độ sâu dz. Nếu M là toàn bộ khối
lợng của chất thải thì



cdxdydzM
. (6.7)
Khi phân bố thực sự là Gauss, hàm f(y) mô tả sự biến đổi theo hớng y bằng

2
2
2
exp
2
1
y
y
y
yf


(6.8)
trong đó những biểu thức tơng đơng áp dụng trong những hớng tọa độ khác.
Nếu một đốm loang chất khuếch tán không có bất kỳ sự đối xứng nào trong phân
bố nồng độ của nó, nh có thể xuất hiện với một tập hợp của các hạt khuếch tán độc lập,
thì sự lan rộng theo trục y có thể mô tả bằng

dxdydzytzyxc
M
y
22
,,,
1

. (6.9)
Biểu thức này là một số đo chiều rộng toàn bộ đốm loang nhng đòi hỏi một đặc
trng trờng nồng độ trong ba chiều (Csanady, 1973: tr. 27). Đối với nhiều mục đích, có
thể thực hiện sự đơn giản hóa là biến thiên của một phân bố trong một hớng sẽ độc lập
với hai hớng khác. Dới những hoàn cảnh nh vậy, nồng độ tại bất kỳ điểm nào có thể
viết





zfyfxMftzyxc
321
)(),,,(
(6.10)
trong đó những hàm số f
i
thể hiện những phân bố Gauss có dạng đã cho trong phơng
trình (6.8). Nh vậy nồng độ này có thể viết

2
2
2
2
2
2
2/3
2
1
exp
)2(
),,,(
zyxzyx
zyxM

tzyxc

. (6.11)
Biểu thức này mô tả phân bố nồng độ trong ba chiều khi sự lan rộng của đốm
loang vật chất cha đợc chặn bởi những biên hoặc những lớp phân tầng trung gian. Một
số nghiên cứu phát tán chất chỉ thị màu phát quang đã chỉ ra rằng trong những điều kiện
rối sự phân bố chất chỉ thị là một xấp xỉ tốt với Gauss trong mặt phẳng nằm ngang

171



(Csanady, 1973: tr. 82; Bowden và nnk., 1974). Nói chung, hiệu ứng của cấu trúc mật độ
thẳng đứng cản trở phân bố thẳng đứng do việc lấy dạng Gauss. Tuy nhiên, để mô tả
phân bố nồng độ của đốm loang vật chất bằng những số hạng toán học, tiện lợi hơn là giả
thiết phân bố đó là Gauss trong tất cả ba hớng.
Trong điều kiện xáo trộn mạnh đốm loang có thể nằm tại mặt nớc, hoặc có thể
gần đáy, cho nên sự lan rộng thẳng đứng bị hạn chế. Có thể tính đến hiệu ứng của biên
lên phân bố bằng việc lấy một nửa độ lan rộng nh đã cho bằng hàm số f
3
(z), sao cho phân
bố thẳng đứng đó là 'bán Gauss' (hình 6.2) và





zfyfxMftzyxc
321
)(2),,,(

(6.12)
và tại tâm đốm loang

zyx
M
tc

2/3
2
),0,0,0(
. (6.13)
Một trong những u điểm của việc sử dụng những hàm độc lập đã cho trong
phơng trình (6.10) là nếu phân bố là đồng nhất trong một hớng toạ độ, thì hàm số trong
hớng đó đơn giản đến một độ dài nghịch đảo. Ví dụ, nếu phân bố đồng nhất theo độ sâu
f
3
( z) = 1/h, trong đó h là toàn bộ độ sâu, và nồng độ tại tâm đốm loang này trở thành

yx
h
M
tc

),0,0(
. (6.14)
Trong thực tế, h có thể là độ sâu xuống đến mặt phân cách mật độ nào đó mà ngăn
chặn xáo trộn rối thẳng đứng.
Tỷ lệ của những độ lệch chuẩn hớng dọc so với hớng ngang tại bất kỳ thời điểm
nào là một số đo tiện lợi về mức độ của u thế phát tán trợt theo một trong số hai hớng
thành phần này. Tỷ lệ r

v
này xác định bằng

y
x
v
r



(6.15)
phải bằng 1 nếu những điều kiện là đẳng hớng theo hớng ngang và làm cho đốm loang
có hình tròn.
6.3.2 Nguồn có chiều rộng hữu hạn
Công thức nói trên giả thiết rằng vật chất đổ xuống nh một nguồn điểm. Trong
thực tế, trờng hình thành bởi một sự thải rời rạc vật chất sẽ có kích thớc hữu hạn trớc
khi sự lan rộng khuếch tán thật sự bắt đầu. Điều này phải đợc tính đến trong việc thiết
lập một mô hình để mô tả sự thay đổi nồng độ theo thời gian khuyếch tán, mà thờng
đợc đo từ thời gian mà tại đó một phần tử hình thành một phần của trờng trên mặt.
Giả thiết rằng những biến thiên ban đầu vào thời gian t = 0 có một độ lớn hữu hạn bằng
việc chấp nhận những phơng trình
22
0
2
xtxx


(6.16)
trong đó những chỉ số dới 0 và t quy về những biến thiên của trờng ban đầu tại mặt
nớc và phần của phân bố kế tiếp do xáo trộn thuần túy rối gây ra. Những biểu thức

172



tơng ứng có thể phát biểu đối với những hớng thành phần khác. Tại t = 0,
xt
bằng
không nên
x0
2
thể hiện sự biến thiên phân bố dọc của trờng ban đầu.
Phơng trình (6.16) có thể thay vào phơng trình (6.11) để cung cấp một biểu thức
cho nồng độ của đốm loang có kích thớc hữu hạn ban đầu. Một dạng đặc biệt hữu ích đối
với nồng độ trên mặt tại tâm đốm loang, lan rộng từ một trờng ban đầu có kích thớc
hữu hạn

2/122
0
2/122
0
2/122
0
2/3
)()()(2
),0,0,0(
ztzytyxtx
M
tc

. (6.17)



Hình 6.3 Vệt loang đợc mô tả nh (a) sự xếp chồng một đợt các đốm loang rời rạc, hoặc (b) một đợt các
lát mỏng

Để áp dụng phơng trình (6.17), một đánh giá biến thiên ban đầu của đốm loang
có thể xác định từ kích thớc của nó khi sử dụng phơng trình (6.4), và những biến thiên
kế tiếp sau thời gian khuyếch tán t nào đó sẽ xác định từ các mối quan hệ của các hệ số
xáo trộn, nh đã cho trong những phơng trình (5.23) và (5.24).
6.4 phát tán những vệt loang
6.4.1 Vệt loang Gauss
Vệt loang hình thành bởi việc thải liên tục có thể xấp xỉ bằng sự chồng kế tiếp lên
nhau của các đốm loang riêng biệt (hình 6.3 (a)). Hợp lý khi giả thiết rằng sự xáo trộn lẫn
nhau giữa những mặt cắt kề bên của một vệt loang trong hớng x không có hiệu ứng
đáng kể lên nồng độ vì những gradient nồng độ theo hớng đó phải tơng đối thấp so với
những gradient trong hớng đứng và ngang. Thấy rằng một vệt loang có thể xét nh một
đợt những lát mỏng, qua đó không có vận chuyển khuếch tán (hình 6.3 (b)). Trong mỗi lát
những phân bố nồng độ có thể vẫn lấy nh Gauss và nồng độ tại một điểm trong vệt loang
cha bị hạn chế bởi bất kỳ biên nào nh mặt nớc hoặc đáy biển, bằng

)()()/(),,(
320
zfyfuQtzyc
(6.18)

173

trong đó Q là lu lợng khối lợng và u
0
là vận tốc của dòng chảy tại nguồn. Tỷ lệ Q/u
0

thể hiện khối lợng vật chất đa vào trong mỗi lát mỏng trong mặt phẳng y-z. Có thể
thấy rằng nếu dòng chảy chậm, khối lợng đổ xuống trong một đơn vị thời gian đi vào thể
tích sẽ nhỏ hơn so với khi dòng chảy nhanh, và nh vậy làm cho nồng độ ban đầu cao hơn.
Thay thế biểu thức đối với phân bố hớng ngang, đã cho trong phơng trình (6.8),
và một biểu thức tơng đơng đối với phân bố thẳng đứng dẫn đến

2
2
2
2
0
2
1
exp
2
),,(
zy
zy
zy
u
Q
tzyc


. (6.19)
Đây là phơng trình cơ bản mô tả một vệt loang vật chất mở rộng trong dòng chảy
ổn định khi không có hạn chế lên sự lan rộng hớng ngang hoặc đứng của nó. Tuy nhiên,
nếu vệt loang đợc định vị tại mặt biển để nó chỉ có khả năng xáo trộn xuống dới, thì mô
hình nh vậy có thể áp dụng khi giả thiết có sự phản xạ hoàn toàn lên mặt phẳng hình
thành bởi mặt nớc, chứng tỏ rằng nồng độ đợc gấp đôi. Điều này dẫn đến một phơng
trình sửa đổi

2
2
2
2
0
2
1
exp),,(
zy
zy
zy
u
Q
tzyc

. (6.20)
Dọc theo trục vệt loang y = 0 và z = 0, và xác định nồng độ c(0, 0, t) dọc trục này
theo c
p
, phơng trình (6.20) có thể viết

















2
2
2
2
2
1
exp),,(
zy

p
zy
ctzyc

(6.21)
trong đó

zy
p
u
Q
tcc

0
),0,0(
. (6.22)
Biểu thức này đối với c
p
đơn giản phát biểu rằng nồng độ tại mặt biển phụ thuộc
vào sự lan rộng, xác định bởi độ lệch chuẩn của một khối lợng chất nhất định Q/u
0
trong
mỗi phần tử thể tích đi qua điểm xả trong một đơn vị thời gian.
Nếu xáo trộn đủ mạnh để nồng độ của chất hoà tan đồng nhất theo độ sâu, phơng
trình (6.19) ở trên có thể tích phân để có nồng độ trung bình độ sâu. Nồng độ này bằng

y
y
m
y
hu
Q
tyc
2
2
0
2/1
2
1
exp
)2(
),(

(6.23)
trong đó, trong ví dụ này, u
0
là dòng chảy trung bình độ sâu.
6.4.2 Cho phép đối với giới hạn biên
Vật chất đổ liên tục xuống mặt biển sẽ trở nên xáo trộn xuống tới đáy. Trớc khi
đạt đến một trạng thái đồng nhất thẳng đứng hoàn toàn, nồng độ tại mặt biển bị ảnh

174

hởng bởi vật chất xáo trộn ngợc từ đáy. Quá trình này có thể biểu thị bằng việc xem xét
phân bố phản xạ từ biên đáy cho nên những phơng trình (6.21) và (6.22) cho ta

2
2
2
2
2
2
)2(
2
1
exp
2
1
exp
2
1
exp),,(
zzy
p
hzzy

ctzyc

(6.24)
trong đó h là toàn bộ độ sâu. Lý luận cũng áp dụng đối với xáo trộn xuống đến mặt phân
cách mật độ tại độ sâu trung gian nào đó dới mặt nớc. Sự xấp xỉ này có thể cải thiện
bằng việc bổ sung thêm một chuỗi các số hạng để cho phép nhiều phản xạ (Pasquill và
Smith, 1983: tr. 328).
Khi y = 0 và z = 0, phơng trình ( 6.24) đơn giản thành


















2
2
2
exp1),0,0(

z
p
h
ctc

. (6.25)
Biểu thức này chỉ ra sự cho phép hiệu ứng phản xạ từ đáy lên nồng độ theo trục
của vệt loang tại mặt biển có thể thực hiện ra sao. Có thể viết ra một phơng trình tơng
đơng để mô tả ảnh hởng của phản xạ mặt nớc lên nồng độ tại đáy biển đối với việc
thải tại sàn đáy biển.


Hình 6.4 Phân bố nồng độ theo trục c(0, z, t) của vệt loang với phân bố bán Gauss theo hớng thẳng đứng
so với nồng độ c
m
(0, t) với phân bố xáo trộn thẳng đứng hoàn toàn

Phơng trình (6.24) khá phức tạp, và đối với những ứng dụng thực tế trong môi
trờng biển tốt hơn hết là áp dụng phơng trình (6.20) trong hai giai đoạn khác nhau:
Giai đoạn 1:
z
< 0,8 h, xáo trộn thẳng đứng không bị ảnh hởng bởi đáy và
z

trong phơng trình (6.20) lấy bằng
z
= (2K
z
t)
1/ 2

.
Giai đoạn 2:
z
0,8 h, giả thiết xáo trộn thẳng đứng sẽ hoàn toàn và
z
lấy bằng
0,8 h trong phơng trình (6.20).

175



Ví dụ
Hình 6.4 chỉ ra nồng độ c(0, z, t) lúc đâù có phân bố bán Gauss theo độ sâu nh thế
nào. Xáo trộn thẳng đứng làm cho nồng độ mặt nớc giảm trong khi nồng độ đáy biển
tăng lên - những phân bố tiêu biểu đa ra tại các thời gian t
1
và t
2
trong quá trình xáo
trộn. Trớc khi một chất hoà tan xáo trộn tới đáy, nồng độ c(y, 0, t) tại mặt biển do
phơng trình (6.20) đa ra với z = 0, bỏ qua phản xạ từ đáy biển đã nói trong mục này
trớc đây; vì sự xáo trộn tiếp tục, c(y, 0, t) tiếp cận đến nồng độ xáo trộn hoàn toàn c
m
(y, t)
đã cho bởi phơng trình (6.23). Điều kiện mà tại đó xáo trộn hoàn toàn có thể minh họa
bằng việc lấy tỷ lệ của phơng trình ( 6.20) (tại z = 0) đối với phơng trình (6.23), cho ta

zzm
hh

tyc
tyc

8,0
2
),(
),0,(
2/1








.
Nh vậy là nồng độ c(y, 0, t) bắt nguồn từ phơng trình (6.20) bằng cách thay
z
bằng 0,8 h tơng tự nh nồng độ xáo trộn hoàn toàn do phơng trình (6.23) đa ra. Cho
rằng
z
giả thiết bằng 0,8h và là hằng số sau khi nó đã vợt quá 0,8h, phơng trình vệt
loang (6.20) có thể áp dụng trong những trạng thái mà tại đó xáo trộn thẳng đứng cuối
cùng sẽ đợc giới hạn. Tơng tự, hiệu ứng xáo trộn hớng ngang gần đờng bờ đối với
nồng độ theo trục vệt loang c
m
(0, t) trung bình theo độ sâu, có thể mô tả bằng cách sử
dụng phơng trình (6.23) với những giá trị
y

tăng cho đến khi
y
đạt 0,8d, trong đó d là
khoảng cách từ tâm vệt loang đến đờng bờ; sau đó luôn luôn có một giá trị không đổi
bằng 0,8 d.
Nếu sự trải rộng hớng ngang của chất từ một nguồn liên tục bị hạn chế bởi
những bờ bao ở cả hai phía và xáo trộn ngang qua chiều rộng nhanh hơn nhiều xáo trộn
xuống dới, thì sự giảm tiếp theo của nồng độ sẽ phụ thuộc vào xáo trộn thẳng đứng. Một
tình huống nh vậy có thể xuất hiện trong cửa sông hẹp tơng đối sâu, đặc biệt trong đó
xáo trộn thẳng đứng đợc ngăn chặn bởi một mức độ phân tầng. Nồng độ qua hệ thống
đợc lấy đồng nhất và một biểu thức đối với nồng độ c
A
tại bất kỳ độ sâu z nào có thể dẫn
xuất bằng việc tích phân phơng trình (6.19) theo giá trị y để cho ta









2
2
0
2/1
2
exp
)2(

),(
zz
A
z
u
Q
tzc

(6.26)
trong đó Q
w
, lu lợng khối lợng thải trên chiều rộng đơn vị. Nồng độ c
A
này tơng ứng
với một nguồn vô hạn trên đờng nằm ngang.
Trong những trạng thái mà sự lan rộng hớng ngang của vệt loang không bị hạn
chế, nồng độ c
A
, đơc tích phân theo tất cả các giá trị y, là một tham số hữu ích bởi vì nó
có thể biểu thị toàn bộ khối lợng trên độ sâu đơn vị của một chất trong bất kỳ mặt cắt
nào qua vệt loang. Nh vậy bằng việc so sánh những giá trị c
A
tại những độ sâu khác
nhau nhận đợc từ những bản ghi liên tục nồng độ chất chỉ thị, có thể sử dụng để khảo
sát phân bố thẳng đứng của khối lợng trong một mặt cắt ngang của vệt loang; điều này
tránh việc phải bận tâm về những hiệu ứng xáo trộn ngang khi đánh giá những hệ số xáo
trộn thẳng đứng.

176

6.4.3 Nguồn có chiều rộng hữu hạn
Với mô hình đốm loang rời rạc, những phơng trình vệt loang giả thiết rằng chất
đang nói đến đợc đổ xuống từ một nguồn điểm. Trong thực tế, những ống thải hoặc
những lỗ khuếch tán có thể đủ nhỏ để giả thiết này hợp lệ, nhng trờng mặt nớc đợc
hình thành bởi nguồn thải lại có chiều rộng ban đầu hữu hạn. Để cho phép điều này,
những biến thiên thể hiện chiều rộng và bề dày của vệt loang có thể liên quan đến kích
thớc nguồn tơng ứng nh trong phơng trình (6.16). Thay những biến thiên này vào
phơng trình (6.21) cho ta

22
0
2
22
0
2
2
1
exp),,(
ztzyty
pr
zy
ctzyc

(6.27)
trong đó

2/122
0
2/122
00
)()(
ztzyty
pr
u
Q
c

. (6.28)
Hai phơng trình này có thể sử dụng để mô tả nồng độ tại mặt biển của chất phát
ra từ một nguồn liên tục. Trong một vài ứng dụng thực tế, điều hữu ích là biểu thị
phơng trình (6.28) dới dạng pha loãng tơng đối so với nồng độ khởi điểm của trờng
ban đầu. Sắp xếp lại ta có

2/1
2
0
2
2/1
2
0
2
000
11

z
zt
y
yt
zy
pr
u
Q
c





. (6.29)
Do đó độ pha loãng D
1
cho bằng

2/1
2
0
2
2/1

2
0
2
0
1
11


















z
zt
y
yt
pr
c

c
D




(6.30)
trong đó
0000
/
zy
uQc


.
Kết quả này có thể sử dụng để đánh giá 'sự pha loãng thứ cấp', xuất hiện sau giai
đoạn tăng độ nổi, đối với một nguồn đổ ra tại đáy biển. Mức độ mở rộng của vệt loang này
đợc dẫn ra bằng việc biểu thị những độ biến thiên
yt
2
,
zt
2
dới dạng những hệ số xáo
trộn và thời gian phát tán, ở dạng phơng trình (4.17). Có thể chú ý rằng nếu trờng ban
đầu rất rộng, thì sự pha loãng tăng do tăng trởng hớng ngang của vệt loang có thể nhỏ
so với ảnh hởng của xáo trộn xuống dới.
6.5 những mô hình Ngẫu hành
'Mô hình ngẫu hành' không áp dụng phơng trình cân bằng khối lợng giống nh
những mô hình mô tả trong hai mục trớc đây - khối lợng của chất phát tán đợc thể

hiện bởi một đám hạt, mỗi hạt tơng đơng với một phần của vật chất. Mô hình theo dõi
sự chuyển động của mỗi hạt trong ba chiều khi nó đợc vận chuyển bởi dòng chảy và dịch
chuyển theo hớng dọc, hớng ngang hoặc thẳng đứng bởi các xoáy rối. Theo thời gian,
những hạt trở nên tách ra xa hơn và xa hơn nữa bởi chuyển động ngẫu nhiên và kích

177



thớc toàn bộ của đám hạt tăng lên. Một khi những hạt thể hiện khối lợng, số lợng của
những hạt trong một thể tích đã cho sau chu kỳ phát tán xác định nào đó là một số đo của
nồng độ. Nh vậy bằng việc đếm số lợng những hạt trong một ô đợc chọn của thể tích
đã biết, có thể phỏng đoán nồng độ của chất. Mặc dầu phơng pháp ngẫu hành đợc đề
xuất từ nhiều năm trớc đây, chỉ gần đây máy tính mới có khả năng theo dõi số lợng
những hạt đòi hỏi đối với đa số các vấn đề thực tế.
Cùng với những mô hình khác dựa trên máy tính, những mô hình ngẫu hành mô
tả sự phát tán với một chuỗi những khoảng thời gian hoặc bớc thời gian. Hình 6.5 (a) cho
thấy chuyển động của một hạt đơn từ điểm bắt đầu trên một lới hình chữ nhật cố định
sau một bớc thời gian, hạt đợc mang theo hớng x dọc theo trục lới bởi dòng chảy và
dịch chuyển theo hớng ngang trong ví dụ này bởi chuyển động rối. Chỉ có chuyển động
nằm ngang của hạt đợc xét trong ví dụ này, nhng trong thực tế rối có thể đã dịch
chuyển hạt theo hớng thẳng đứng cũng nh hớng ngang trong khoảng thời gian đó.
Vẫn hạn chế sự xem xét đối với mặt nằm ngang, hình 6.5 (b) minh họa sự phân bố có thể
đã đợc tạo ra nếu một số hạt đợc thải tại cùng một điểm khởi đầu vào lúc ban đầu của
bớc thời gian. Mỗi hạt dịch chuyển cùng khoảng cách dọc theo trục bởi dòng chảy. Tuy
nhiên, bớc nhảy do rối đợc đánh giá bằng việc gán một số ngẫu nhiên cho mỗi hạt và
kết hợp nó với một hệ số khuyếch tán để nhận đợc hớng và độ lớn dịch chuyển dọc theo
hoặc ngang với dòng chảy. Sự dịch chuyển có thể là về phía trớc hoặc về phía sau dọc
theo trục x bởi một lợng phụ thuộc vào K
x

hoặc về phía kia của trục bởi một lợng phụ
thuộc vào K
y
. Vì những số ngẫu nhiên đợc chọn từ một phân bố chuẩn, những hạt trở
nên đợc sắp xếp theo phân bố Gauss dọc theo và ngang qua trục x, tập trung lên khoảng
cách dịch chuyển do dòng chảy; phân bố Gauss hớng ngang đợc cho trong hình 6.5 (b).
Những bớc thời gian kế tiếp làm cho các hạt chiếm giữ một trờng hình êlíp nh đợc
chỉ ra trong hình 6.5 (c). Nh vậy phơng pháp ngẫu hành có khả năng mô tả trờng
phát tán phát sinh do việc thải một đốm loang chất chỉ thị hoặc vật chất hoà tan khác
trong biển.
Để giải thích những nguyên lý nằm sau cách tiếp cận ngẫu hành một cách chi tiết
hơn, điều có lợi là khảo sát cơ sở toán học cơ bản. Lý thuyết đối với cách tiếp cận ngẫu
hành song hành với lý thuyết dẫn xuất bởi Taylor (1921) đối với khuyếch tán do những
chuyển động liên tục (mục 4.3.2). Giả thiết rằng rối ổn định và đồng nhất mặc dù khá lý
tởng về khái niệm, ít nhất cũng phải thực tế một cách cục bộ trong môi trờng biển. Lấy
những thời gian khuyếch tán dài để thậm chí những quy mô rối lớn nhất hiện có tham gia
vào quá trình khuếch tán, độ dịch chuyển quân phơng
2
X
của những hạt trong hớng x
cho trong phơng trình (4.26) là

TKX
x
2
2

. (6.31)

178

Hình 6.5 Phân bố của các hạt bởi tác động bình lu và khuếch tán: (a) dịch chuyển một hạt riêng lẻ trong
một bớc thời gian tơng đối với lới mô hình; (b) phân bố cắt ngang dòng chảy đối với một số hạt; (c)
hình dạng toàn bộ của phân bố hạt trong mặt phẳng nằm ngang sau một vài bớc thời gian.

Cần thấy rằng X thể hiện sự dịch chuyển của một hạt riêng lẻ từ một gốc cố định
trên trục x. Trong mỗi bớc thời gian t, một hạt đơn lẻ đợc dịch chuyển bởi dòng chảy u
bao quanh và dịch chuyển do rối x
m
do vậy sự thay đổi vị trí thực tế của nó theo hớng x
bằng

m
xtux
. (6.32)
Máy tính tính toán sự chuyển động của hạt tại mỗi bớc thời gian và xác định vị
trí tuyệt đối mới của nó x + x so với gốc (x = 0) từ vị trí bắt đầu x của nó. Bằng cách
tơng tự, những tọa độ của hạt đối với trục y và z cũng đợc tính toán tại mỗi bớc thời
gian.
Phơng trình (6.31) có thể sử dụng để đánh giá sự tăng độ dịch chuyển theo bớc
thời gian t khi hệ số khuyếch tán K
x
đợc biết. Lựa chọn một số ngẫu nhiên từ một phân
bố chuẩn bình thờng, độ dịch chuyển cho bằng

tKx

xm
2

. (6.33)
Những biểu thức tơng đơng với phơng trình (6.33) có thể thiết lập để mô tả
những dịch chuyển trong các hớng y và z.

179



Để áp dụng kỹ thuật ngẫu hành cho sự phát tán trong biển, một lới ba chiều đợc
xác định cho khu vực quan tâm. Một bớc thời gian thích hợp đợc lựa chọn và những hạt
đợc đa vào một thể tích nguồn - khi mô tả sự phát tán của đốm loang vật chất, số lợng
hạt đợc xác định một lần chỉ tại lúc bắt đầu chạy mô hình. Tuy nhiên, khi mô tả một vệt
loang liên tục, các hạt đợc đa vào thể tích nguồn tại mỗi bớc thời gian. Những hạt
đợc đặt ngẫu nhiên trong thể tích nguồn. Ví dụ, khi mô tả sự thải liên tục, thể tích
nguồn có thể xác định bằng tích số của chiều rộng, độ sâu và khoảng cách lan truyền theo
hớng của dòng chảy trong một bớc thời gian, số này bằng udt. Nh vậy, ví dụ vị trí
hớng ngang của một hạt đợc xác định bằng việc lấy tỷ lệ chiều rộng trờng ban đầu
bằng một số ngẫu nhiên đợc chọn trong phạm vi từ 0 đến 1.0. Nếu số ngẫu nhiên đợc
chọn là 0,8 đối với một hạt thải từ một hệ thống khuếch tán có độ dài 50 m, thì hạt đợc
chèn vào vị trí 0,8 x 50 = 40 m kể từ một đầu của máy khuếch tán. Bằng cách này, những
vị trí ban đầu của những hạt trong thể tích nguồn đợc xác định, chúng đợc chỉ rõ
những tọa độ x, y và z so với gốc trên hệ thống lới.
Đối với một vệt loang liên tục, mức nguồn vào của các hạt trong mô hình tỷ lệ với
mức đầu vào của chất hoà tan. Khi chọn đợc số lợng những hạt để thải tại mỗi bớc
thời gian, khối lợng của chất thải xác định khối lợng của mỗi hạt trong mô phỏng. Để
đánh giá nồng độ sau thời gian khuyếch tán nào đó, số lợng hạt trong các ô đặc trng
đợc đếm để tính toán nồng độ của chất. Những ô này có thể có bất kỳ kích thớc u tiên

nào đó và không đợc lớn bằng lới mô hình; tuy nhiên, nếu có rất ít hạt trong một ô đợc
chọn, thì không thể thực hiện một xác định nồng độ chính xác. Bằng việc lựa chọn kích
thớc của các ô trong những khu vực xung yếu nhất định, nh khu vực lân cận một nguồn
đổ, có thể mô tả chi tiết phân bố nồng độ cục bộ ở mức độ đáng kể.
Một trong những u điểm của phơng pháp ngẫu hành là cho phép thực hiện việc
hạn chế lan truyền bởi những biên nh mặt biển hoặc đáy biển. Khi một bớc nhảy ngẫu
nhiên trong một bớc thời gian mang một hạt đi qua một biên, nó đợc phản xạ ra khỏi
biên nên vị trí của nó là ảnh gơng của vị trí mà nó phải có nếu không có biên (hình 6.6).
Những biên đợc tạo ra bởi phân tầng mật độ hoặc những vật cản trong dòng chảy có thể
xét với kỹ thuật này.


Hình 6.6 Xác định vị trí của một hạt riêng lẻ sau khi phản xạ tại biên


Những mô hình theo dõi hạt có nhiều u điểm so với phơng pháp vệt loang Gauss,
mặc dầu dới những điều kiện giới hạn cả hai kỹ thuật đều phát sinh những kết quả

180



tơng tự. Những mô hình hạt có thể sử dụng để mô tả sự chồng lên nhau của vật chất từ
một vệt loang phát tán khi sự đảo ngợc của thủy triều làm cho vệt loang gấp ngợc lên
chính nó. Tơng tự, những mô hình nh vậy có thể xem xét sự chồng lên nhau của những
vệt loang phát ra từ một số các điểm thải. Hình 6.7 minh họa phân bố tiêu biểu của các
hạt trong một vệt loang phát ra từ một nguồn liên tục tại một cửa sông khi triều xuống.
Phơng pháp ngẫu hành thích hợp với sự phát tán 'tuyệt đối' của vật chất so với
một gốc cố định, nh sử dụng trong lý thuyết của Taylor đối với sự phát tán ứng với hệ
tham chiếu Euler (mục 4.3.2). Với lý do đó, những hệ số phát tán 'tơng đối' xác định từ

những nghiên cứu chất chỉ thị, liên quan đến hệ tham chiếu Lagrange (mục 4.3.1), có thể
không luôn luôn thích hợp để so sánh với những dự đoán ngẫu hành. Chênh lệch độ lớn
giữa những hệ số tơng đối và tuyệt đối cần phải đợc lu tâm khi áp dụng kỹ thuật
ngẫu hành.


Hình 6.7 Phân bố hạt tiêu biểu phát sinh bởi mô hình ngẫu hành của một vệt loang trong cửa sông khi
triều xuống. Vùng có mật độ hạt lớn nhất thể hiện khu vực nồng độ cao nhất
6.6 những mô hình Cửa sông Một chiều
6.6.1 Giới thiệu
Khái niệm 'ngập tràn' một cửa sông dễ hình dung nhất bằng việc xem xét sự thích
ứng của độ mặn cửa sông với những thay đổi dòng chảy sông. Đợc lấy trung bình qua
nhiều chu kỳ thủy triều và với dòng chảy nớc ngọt vào sông không đổi, độ mặn tại một
điểm dọc theo trục cửa sông dự kiến là không đổi. Trạng thái này xuất hiện bởi vì một sự
cân bằng thiết lập giữa vận chuyển muối về phía biển qua bất kỳ mặt cắt nào của dòng
chảy sông và chuyển động của muối bởi 'khuyếch tán' rối hớng vào phía đất. Trong thực
tế, những đánh giá chỉ ra rằng đó là tác động phát tán của trợt thẳng đứng và ngang
trong dòng chảy, chứ không phải là các xoáy khuếch tán, mà điều khiển dòng muối hớng
vào phía đất. Việc tăng dòng chảy sông có thể làm cho nớc mặn bị đẩy về phía biển xa
hơn, nh vậy làm giảm độ mặn quan trắc tại một vị trí đã cho. Nếu dòng chảy sông mạnh

181



duy trì trong một số chu kỳ thủy triều, thì một vị trí cân bằng mới đợc thiết lập đối với
phân bố dọc của muối (hình 6.8).
Trong hệ thống xáo trộn mạnh, hợp lý khi giả thiết rằng những chất hoà tan, có
thể là chất ô nhiễm hoặc vật chất xuất hiện tự nhiên, phải bị phân bố bởi cùng cơ chế
giống nh những cơ chế phân bố muối. Bởi vậy, nhiều nỗ lực đã đặt vào việc tạo ra những

mô hình toán học có khả năng tái tạo lại phân bố độ mặn đã quan trắc. Một khi có hiệu
lực, các mô hình này cung cấp một công cụ quí giá để xác định 'thời gian ngập tràn' cho
vật chất đi ra khỏi những giới hạn của cửa sông để vào biển hở, hoặc để đánh giá phân bố
nồng độ dọc theo cửa sông nếu chất đi vào hệ thống tại một điểm đặc trng.


Hình 6.8 Dịch chuyển phân bố dọc của muối trong cửa sông do dòng chảy nớc ngọt thay đổi

Cách tiếp cận sớm nhất sử dụng những thay đổi thể tích cửa sông giữa nớc lớn và
nớc thực tế để phát triển một mô hình tơng đối đơn giản nhằm giải thích sự lan truyền
của muối. Những mô hình 'lăng trụ thủy triều' này chia nhỏ cửa sông ra những đoạn và
có thể sử dụng để đánh giá những thời gian c ngụ để vật chất hoà tan đi vào bất kỳ vị trí
riêng biệt nào. Phân bố dọc của muối cũng có thể suy luận từ kỹ thuật này và đợc so
sánh với những quan trắc để cho ta sự tin tởng khi đánh giá thời gian ngập tràn.
Trong một vài hoàn cảnh, mô hình lăng trụ thủy triều có thể không cung cấp các
so sánh thỏa mãn với dữ liệu hiện trờng. Nếu dữ liệu đủ để xác định sự biến đổi dọc của
độ mặn trong một chu kỳ thủy triều, hoặc thậm chí trong một vài trờng hợp với một nửa
chu kỳ thủy triều, phân bố độ mặn có thể sử dụng để suy luận phân bố kết quả của những
chất hoà tan khác. Một lần nữa nó phụ thuộc vào giả thiết rằng những quá trình phân bố
những chất này là nh nhau, giống nh quá trình phân bố muối. Cách tiếp cận hữu ích
này gọi là mô hình 'so sánh độ mặn'.
Với sự nhanh tăng của sức mạnh máy tính trong những năm gần đây, những mô
hình này đã đợc thay thế bằng những mô hình giải phơng trình bình lu - khuếch tán
bằng cách sử dụng những phơng pháp số nh kỹ thuật 'sai phân hữu hạn'. Những mục
sau nói về các mô hình một chiều sẽ lần lợt xem xét từng phơng pháp này.

182

6.6.2 Mô hình lăng trụ thủy triều
Mô hình cửa sông phân đoạn
'Thời gian ngập tràn' có thể xác định theo độ mặn của từng đoạn đợc chọn dọc
theo cửa sông khi sử dụng giả thiết rằng xáo trộn của nớc ngọt và nớc mặn là hoàn
toàn trong mỗi đoạn, trong thời gian một chu kỳ thủy triều. Nồng độ phân số của nớc
ngọt f
n
trong một đoạn cửa sông lấy bằng

sw
nsw
n
S
SS
f


(6.34)
trong đó s
n
là độ mặn tại đoạn và s
sw
độ mặn của biển. Toàn bộ thể tích Q
s
của nớc sông
tích lũy trong đoạn lấy bằng f
n
nhân với thể tích trung bình thủy triều của đoạn, và thời
gian ngập tràn là Q
s

/ R, trong đó R là lu lợng thể tích của sông. Nh vậy, sử dụng giá
trị của f
n
cho một đoạn, có thể tính toán thời gian trung bình để cho nớc sông dịch
chuyển qua một đoạn.
Ví dụ
Cửa sông Mersey có một khu vực nông với các bãi bùn rộng xuất hiện giữa các chu
kỳ thuỷ triều. Nớc từ khu vực này tiêu ra biển thông qua một nhánh sâu và hẹp hơn, cửa
hẹp Mersey. Hughes (1958) sử dụng những đo đạc độ mặn trung bình thủy triều tại một vị
trí trong cửa hẹp để đánh giá thời gian tràn ngâp từ công thức nói trên, dới giả thiết
rằng cửa hẹp hình thành một đoạn riêng biệt nối với biển hở. Bảng 6.1 tổng kết những giá
trị đã dẫn xuất. Với dòng chảy sông là 25,7 m
3
s
-1
, thời gian để tất cả nớc ngọt trong
nhánh hoàn toàn đợc thay thế (tức là ngập tràn) đợc đánh giá là 5,3 ngày.
Kỹ thuật lăng trụ thủy triều
Mô hình lăng trụ thủy triều cung cấp sự mô tả hiện thực hơn về quá trình ngập
tràn (Ketchum, 1951). Giả thiết cửa sông đợc tạo ra từ những đoạn, giới hạn bởi những
mặt cắt thẳng đứng qua cửa sông. Cách tiếp cận giả thiết rằng thể tích chảy vào của nớc
biển khi triều lên trở nên xáo trộn hoàn toàn với thể tích d, còn lại trong đoạn cửa sông
lúc nớc thực tế. Thể tích của nớc đi vào thể hiện sự khác nhau giữa những thể tích giữ
lại trong đoạn lúc nớc lớn và nớc thực tế và gọi là 'thể tích giữa các chu kỳ triều' hoặc
'lăng trụ thủy triều'. Giả thiết không có thay đổi về độ cao nớc lớn và nớc ròng, thể tích
lăng trụ thủy triều này dịch chuyển đến mặt cắt tiếp theo về phía biển trong đợt triều
xuống kế tiếp. Thấy rằng thể tích nớc lớn trong đoạn đã cho bằng thể tích d khi nớc
thực tế cộng với lợng trữ giữa các chu kỳ triều. Trong mô hình, thể tích nớc lớn của mỗi
đoạn lấy bằng thể tích nớc thực tế của đoạn kề bên về phía biển, và nó xác định độ dài
của mỗi đoạn dọc theo cửa sông.

Vì nớc sông liên tục chảy vào tại đỉnh sông, sự xáo trộn những thể tích d và giữa
các chu kỳ triều cũng làm xáo trộn nớc ngọt tích lũy trong một chu kỳ thủy triều. Lợng
nớc ngọt xáo trộn trong thể tích d thì còn lại trong các cửa sông, nhng phần xáo trộn
trong lăng trụ thủy triều đợc tràn ra khi triều xuống sau đó. Nh vậy, nếu V
n
là thể tích

183



nớc thực tế của đoạn thứ n và P
n
là thể tích giữa các chu kỳ triều tơng ứng, thì thể tích
V
n+1
của đoạn kế tiếp về phía biển bằng V
n+1
= V
0
+ P
n
. Tại đỉnh sông phía thợng lu, thể
tích giữa các chu kỳ triều lấy bằng dòng chảy sông R cho nên V
1
= V
0
+ R.
Lý luận đối với mô hình cửa sông phân đoạn đợc sử dụng trong phơng pháp lăng
trụ thủy triều. Mỗi đoạn nhận một thể tích nớc ngọt trong mỗi chu kỳ thủy triều và

phân số f
n
của thể tích này bị loại ra khi triều xuống, trong đó f
n
xác định bằng
nn
n
n
VP
P
f


. (6.35)

Bảng 6.1 Đánh giá thời gian ngập tràn của nớc từ Cửa hẹp của sông Mersey sử dụng những quan trắc độ
mặn. (Theo Hughes, 1958, đợc sự đồng ý của Hội Thiên văn Hoàng gia)
f
n
trung
bình
Thể tích
trung bình của
nớc trong
đoạn (x10
8
m
3
)

Thể tích
trung bình của
nớc ngọt tích
luỹ (x10
8
m
3
)
R
(x10
6
m
3
d
-1
)
Thời gian
ngập tràn
(ngày)
0,0795 1,472 0,117 2,22 5,3

Phân số còn lại là 1 - f
n
đối với chu kỳ đầu tiên này. Phân số đó của nớc sông đến
trong chu kỳ thủy triều trớc phải còn lại khi triều xuống trớc đó, cho nên thể tích còn
lại sau khi 'ngập tràn' trong hai chu kỳ thủy triều liên tiếp phải là (1 - f
n
)
2
R. Nh vậy,

sau thời gian hai chu kỳ thủy triều thể tích của nớc sông bị loại ra phải là f
n
(1-f
n
)R. Quá
trình này phải tiếp tục đối với nhiều chu kỳ thủy triều trớc đó; nớc ngọt bị loại và còn
lại đợc cho trong bảng 6.2.
Tổng cộng của cột phía tay phải trong bảng 6.2, cộng với thể tích của nứơc sông
mới đợc đa vào, thể hiện toàn bộ thể tích của nớc sông Q
n
đã tích lũy trong đoạn thứ
n. Đây là một cấp số nhân có tổng là

))1(1(
1

m
n
n
n
f
f
R
Q
(6.36)
trong đó m là số lợng những chu kỳ thủy triều. Phân số (1 - f
n
)
m
tiến tới không sau một

số lớn chu kỳ thủy triều và Q
n
tiến đến

n
n
f
R
Q
. (6.37)
Tổng của cột giữa chỉ ra thể tích của nớc sông bị loại cân bằng với dòng chảy sông
R, nh vậy thể hiện rằng nớc sông chuyển động về phía biển qua mỗi mặt cắt ngang cân
bằng với thể tích của nớc ngọt đi vào, và bởi vậy điều kiện trạng thái ổn định đợc thỏa
mãn.


184



Bảng 6.2 Công thức để tính toán thể tích, sử dụng phơng pháp lăng trụ thủy triều sửa đổi
Tuổi theo chu
kỳ thủy triều
Thể tích của nớc sông bị
loại
Thể tích của nớc sông
còn lại
1 f
n
R (1-f

n
)R
2 f
n
(1-f
n
)R (1-f
n
)
2
R
3 f
n
(1-f
n
)
2
R (1-f
n
)
3
R
4 f
n
(1-f
n
)
m-1
R (1-f
n

)
m
R


Hình 6.9 So sánh độ mặn quan trắc với dự đoán cho cửa sông Raritan. (Theo Ketchum, 1951, đợc sự
đồng ý của Tạp chí Nghiên cứu Biển, Trờng đại học Yale)

Nếu độ mặn tại biên phía biển của cửa sông là s
sw
, độ mặn trong đoạn thứ n có thể
tính toán theo thể tích lũy tích của nớc ngọt. Vì khối lợng tổng cộng của muối trong
đoạn bằng (V
n
+ P
n
- Q
n
)s
sw
, độ mặn s
n
bằng

sw
nn
n
n
S
PV

Q
S









1
. (6.38)
Sử dụng công thức này, có thể tính toán phân bố độ mặn tại nớc lớn dọc theo độ
dài đầy đủ của cửa sông. So sánh những dự đoán này với độ mặn quan trắc lúc nớc lớn
cho thấy mô hình phù hợp hợp lý với cửa sông thực tế. Nếu sự phù hợp đợc thỏa mãn, thì
mô hình lăng trụ thủy triều sửa đổi có thể sử dụng để đánh giá thời gian ngập tràn đối
với những chất đa vào trong các cửa sông. Thời gian ngập tràn đối với đoạn thứ n lấy
bằng 1/f
n
và thời gian ngập tràn tổng cộng từ đoạn đó đến biển hở sẽ là tổng của mọi thời
gian ngập tràn của các đoạn. Ketchum giả thiết rằng có thể xét đến hiệu ứng xáo trộn
thẳng đứng không đầy đủ bằng cách phân tích thừa số các thời gian ngập tràn theo tỷ số
d/h, trong đó d là độ sâu của lớp xáo trộn phía trên và h là toàn bộ độ sâu.
Ví dụ: Sông Raritan (Ketchum, 1951)
Mô hình lăng trụ thủy triều sửa đổi đợc Ketchum ứng dụng cho cửa sông của con
sông Raritan (1951). Cửa sông đợc chia thành những đoạn có độ dài ứng với độ dịch

185

chuyển của một hạt trong thời gian triều xuống - điều này thỏa mãn tiêu chuẩn là thể tích
lúc nớc lớn của một đoạn bằng thể tích lúc nớc thực tế của đoạn tiếp theo hớng ra phía
biển. Dòng chảy nớc ngọt giả thiết là 21,0 m
3
s
-1
và độ mặn tại cửa biển lấy là 27,0.
Những giá trị tính toán đối với độ mặn tại nớc lớn và thời gian ngập tràn của mỗi đoạn
cho trong bảng 6.3.
So sánh độ mặn tính toán với những giá trị quan trắc cho thấy rằng (hình 6.9) mô
hình mô tả quá trình ngập tràn nớc một cách thoả đáng đối với việc đánh giá ban đầu
của xáo trộn cửa sông. Thời gian ngập tràn tổng cộng đối với một chất đi vào cửa sông tại
một đoạn đã cho có thể tính bằng cách thêm vào thời gian ngập tràn riêng biệt t
F
cho tất
cả các đoạn về phía biển, kể cả đoạn nhận lu lợng. Nh vậy, cần đến 11,2 chu kỳ thủy
triều (tức là gần 6 ngày) để một chất đổ vào đoạn số 2 đợc loại bỏ khỏi cửa sông.
Bảng 6.3 Giá trị dẫn ra trong việc đánh giá thời gian ngập tràn đối với các đoạn cửa sông Raritan. (Theo
Ketchum, 1951, đợc sự đồng ý của Tạp chí Nghiên cứu Biển, Trờng đại học Yale)

Thứ
tự
đoạn

Khoảng
cách kể
từ cửa
(km)

Độ
dài
đoạn
(km)
V
n
P
n

(x10
6

m
3
)
P
n
+ V
n

f
n
Q
n
s t
F

(thuỷ
triều)

0

16,2 4,7 0,28 0,94 1,22 0,779 1,20 0,4 1,28
1

12,5 3,7 1,22 1,19 2,41 0,494 1,89 4,9 2,03
2

9,3 3,2 2,41 1,16 3,57 0,325 2,87 4,5 3,08
3

6,6 2,7 3,57 1,81 5,38 0,336 2,78 11,1 2,97
4

3,5 3,1 5,38 3,53 8,91 0,396 2,36 16,9 2,53
5

0,3 3,2 8,91 5,52 14,43 0,382 2,44 19,1 2,62

Giá trị của phơng pháp lăng trụ thủy triều là có thể thiết lập một chơng trình
máy tính tơng đối đơn giản và sử dụng để suy luận thời gian ngập tràn đối với những
chất thải tại bất kỳ đoạn đặc trng nào của cửa sông. Điều này chỉ có thể đạt đợc nếu có
đầy đủ dữ liệu độ mặn có sẵn để đánh giá tính chấp nhận đợc của những dự đoán.
Nguyên lý của tính liên tục thể tích và xáo trộn hoàn toàn, sử dụng bởi Ketchum có thể
dẫn đến mâu thuẫn do cách phân đoạn cửa sông. Dyer và Taylor (1973) đề xuất một cải
tiến nhẹ đối với mô hình Ketchum để làm cho nó thích hợp một cách phổ biến hơn.
Kỹ thuật lăng trụ thủy triều sửa đổi này đợc đa ra để có những so sánh thỏa
đáng với độ mặn trong một vài cửa sông ở Mỹ. Tuy nhiên, trong nhiều cửa sông khác, nh
cửa sông Severn tại Vơng quốc Anh, những dự đoán không đúng với những quan trắc.
Điều này có vẻ đáng ngạc nhiên bởi vì Severn không phân tầng và hầu nh đòi hỏi cách

tiếp cận lăng trụ thủy triều đã sửa đổi của Ketchum. Giả thuyết xáo trộn theo các độ dài
rời rạc của cửa sông có lẽ là một sự mô tả nghèo nàn về trạng thái vật lý, và từ quan điểm
thực tế, tốt nhất là đánh giá độ lớn của những hệ số xáo trộn dọc theo cửa sông từ quan
trắc phân bố độ mặn. Với lý do này, những mô hình dịch chuyển thuỷ triều đợc phát

186



triển để trực tiếp sử dụng các quan trắc phân bố dọc của độ mặn. Đây là cơ sở cho kỹ
thuật 'nớc ngọt phân số' đợc mô tả trong mục sau.
6.6.3 Mô hình so sánh độ mặn
Kỹ thuật nớc ngọt phân số
Cách tiếp cận này đợc đa ra nh một phơng pháp đơn giản để tính toán phân
bố nồng độ của chất ô nhiễm trong cửa sông (Ketchum, 1955). Cửa sông đợc chia thành
những đoạn bằng nhau độ khoảng một nửa dịch chuyển thuỷ triều; một 'dịch chuyển thuỷ
triều' đợc xác định là khoảng cách mà một hạt lan truyền khi triều xuống cộng với
khoảng cách nó lan truyền khi triều lên khi đợc thải tại cùng vị trí đó. Giả thiết rằng
xáo trộn đồng nhất xuất hiện trong mỗi đoạn trong một chu kỳ thủy triều nên có thể xác
định giá trị trung bình nồng độ muối hoặc chất ô nhiễm. Mô hình dựa trên giả thiết rằng
nguồn đổ vào một đoạn riêng biệt sẽ phát tán lên thợng lu và xuống hạ lu kể từ nguồn
đổ, nhng khi cân bằng thì dòng thực tế lên thợng lu bằng không. Nói cách khác, sự
vận chuyển xuống hạ lu của chất ô nhiễm bởi dòng chảy sông phải phù hợp với sự vận
chuyển của nó lên thợng lu do quá trình phát tán. Về phía hạ lu vị trí nguồn vào, tác
động kết hợp của phát tán dọc và bình lu bởi dòng chảy sông mang chất ô nhiễm về phía
biển và sự mất mát này liên tục xảy ra do việc xả nguồn ô nhiễm (hình 6.10).


Hình 6.10 Những quá trình điều khiển nồng độ cân bằng hớng dọc của một chất liên tục đổ xuống cửa
sông

Trớc hết xem xét đoạn đổ vào. Một khi nguồn thải hoàn toàn xáo trộn với nớc
ngọt đang có, nó phải đợc loại ra khỏi đoạn với cùng mức độ đó và thấy rằng thời gian
ngập tràn trung bình của chất ô nhiễm và nớc ngọt là nh nhau. Để nồng độ c
o
của chất
ô nhiễm trở nên cân bằng, mức đổ vào phải cân bằng với mức tổn thất do việc ngập tràn.
Nh vậy đối với suất ô nhiễm đổ vào I và thời gian ngập tràn t
o
, trạng thái cân bằng có
thể biểu thị nh sau

187



0
00
t
Vc
I
(6.39)
trong đó V
0
là thể tích của đoạn đổ vào. Tuy nhiên, thời gian ngập tràn suy luận từ phân
bố độ mặn bằng

R
V
ft

0
00

(6.40)
trong đó R là lu lợng sông và f
o
là nồng độ phân số của nớc ngọt, có thể dẫn xuất từ độ
mặn khi sử dụng phơng trình (6.34). Cân bằng thời gian ngập tràn từ những phơng
trình này và sắp xếp lại cho ta

00
f
R
I
c
. (6.41)
Tại những vị trí hạ lu của điểm vào, trạng thái cũng phải tơng tự nh trong
đoạn đổ vào, chất ô nhiễm đi qua một mặt cắt ngang với cùng mức độ nh nó đợc đổ vào
tại mặt cắt đổ. Nh vậy thời gian ngập tràn qua đoạn thứ n xuống hạ lu bằng thời gian
đối với đoạn đổ, và thấy rằng nồng độ c
n
bằng

nn
f
R
I
c
(6.42)
trong đó f

n
là nớc ngọt phân số.
Tại thợng lu của nguồn đổ, mức vận chuyển chất ô nhiễm về phía đất cùng với
nớc mặn phải bằng mức đợc mang xuống hạ lu do dòng chảy sông. Lý thuyết so sánh
độ mặn lập luận rằng để trạng thái cân bằng này xuất hiện, tỷ lệ nồng độ nguồn đổ đối
với độ mặn phải phù hợp với nồng độ trong đoạn nguồn đổ và bởi vậy nồng độ c
m
trong
đoạn thợng lu m bằng

0
0
S
S
cc
m
m

(6.43)
trong đó s
0
, s
m
là độ mặn tại đoạn đổ và đoạn thứ m, tơng ứng.
Kỹ thuật này có thể áp dụng cho một cửa sông xáo trộn mạnh có dữ liệu phân bố
dọc của độ mặn, biểu thị nh những giá trị bình quân thủy triều. Hình 6.11 (a) minh họa
những biến đổi tiêu biểu của độ mặn theo hớng dọc và hình 6.11 (b) cho thấy dạng phân
bố nồng độ suy luận bằng cách sử dụng công thức trên đối với một nguồn vào (nguồn vào
1) của chất ô nhiễm bảo toàn (tức là không phân huỷ) tại trung tâm cửa sông. Mặc dù hơi
lý tởng, phác họa này cho thấy những đặc điểm chính của phân bố nồng độ dự đoán theo

phơng pháp này.
Nồng độ lớn nhất phải xuất hiện trong đoạn đổ (hình 6.11 (b)). Phân bố nồng độ hạ
lu có cùng dạng nh phân bố độ mặn chỉ ra trong hình 6.11 (a) nhng phân bố thợng
lu là ngợc lại với độ mặn. Có thể thấy rằng việc dịch chuyển nguồn đổ về phía biển
(nguồn vào 2) đợc dự đoán không có hiệu ứng lên nồng độ hạ lu nguồn đổ, nhng phải
làm thay đổi đáng kể những nồng độ thợng lu. Sự dịch chuyển về phía biển cũng đợc
dự đoán làm giảm nồng độ tại đoạn đổ vào.

188





Hình 6.11 Phân bố dự đoán của (a) độ mặn và (b) chất hoà tan dọc theo cửa sông sử dụng mô hình một
chiều. Những đờng cong nồng độ riêng biệt cho hai vị trí tải nguồn vào khác nhau: nguồn vào 1 () và
nguồn vào 2 ( )

Kỹ thuật phân số nớc ngọt tránh việc tính toán tờng minh những hệ số xáo trộn.
Tuy nhiên, nh đã chỉ ra bởi Pearson và Pearson (1965), chúng đợc tính đến một cách
ẩn thông qua việc so sánh phân bố chất ô nhiễm và muối; họ áp dụng kỹ thuật này cho
cửa sông Great Ouse phía Đông Anglia, nớc Anh, để đánh giá sự phân bố của chất ô
nhiễm và muối dọc theo cửa sông.
6.6.4 Những mô hình trạng thái ổn định
Những phơng trình cân bằng thể tích và khối lợng
Những mô hình lăng trụ thủy triều mô tả ở trên chia cửa sông thành từng đoạn
riêng biệt, độ dài của nó phụ thuộc vào sự dịch chuyển thủy triều, và giả thiết rằng mỗi
đoạn là độc lập ở chỗ nó không bị ảnh hởng bởi xáo trộn từ các đoạn kề bên. Trong thực
tế, sự xáo trộn giữa các đoạn kề nhau làm trơn những phân bố, và những biến đổi nồng độ
(ví dụ muối hoặc chất ô nhiễm) là liên tục, cho thấy không có xu hớng thay đổi một cách

đột biến tại những vị trí dọc theo chiều dài cửa sông. Những biến đổi liên tục của nồng độ
đợc mô tả bởi sự cân bằng khối lợng (tức là phơng trình bình lu - khuyếch tán), đã
cho ở dạng những phơng trình vi phân đạo hàm riêng trong mục 4.2.3; những mô hình
đó tốt hơn những mô hình lăng trụ để đánh giá phân bố nồng độ.
Một phơng trình cân bằng khối lợng có thể sử dụng để đánh giá nồng độ của
chất hoà tan, hoặc đợc bảo toàn hoặc bị suy thoái (tức là phân huỷ bởi tác động vi sinh
vật hoặc hóa học); mục này sẽ giới hạn ở việc áp dụng một phơng trình nh vậy đối với
trạng thái ổn định, trong đó chất đang phát tán không bị suy thoái. Để minh họa một mô
phỏng máy tính có thể bắt nguồn từ những phơng trình này ra sao, sẽ xét một trạng thái

189



tơng đối đơn giản với lòng dẫn hình chữ nhật có mặt cắt ngang không đổi, trong đó dòng
chảy là ổn định và nồng độ đợc biểu thị là trung bình mặt cắt, do vậy chỉ có những thay
đổi dọc theo cửa sông đợc xét đến. Phơng trình cân bằng khối lợng (mục 4.2.3) mô tả
sự biến đổi nồng độ theo trục có thể đơn giản thành
svxe
I
x
c
K
x
c
x
c
u

(6.44)
trong đó c là nồng độ trung bình mặt cắt và trung bình chu kỳ triều của chất, u là vận tốc
trung bình mặt cắt và K
xe
là hệ số phát tán dọc. I
sv
là mức khối lợng đổ vào của chất trên
đơn vị thể tích tại vị trí nguồn, thể tích này xác định bằng tích số của diện tích mặt cắt và
độ dài đơn vị dọc theo cửa sông.
Đối với lòng dẫn không đồng nhất, tính liên tục thể tích đòi hỏi rằng vận tốc u qua
bất kỳ mặt cắt ngang nào của cửa sông bằng
A
R
u
(6.45)
trong đó A là diện tích mặt cắt và R là thể tích dòng chảy nớc ngọt đi qua hệ thống.
Một phơng trình cân bằng khối lợng đối với lòng dẫn không đồng nhất có thể
dẫn xuất từ phơng trình (4.14) bằng việc lấy tích phân trên mặt cắt ngang lòng dẫn để
có

AI
x
c
AK
xx
Auc
svxe













)(
. (6.46)
Biểu thức này có thể áp dụng để mô tả nồng độ của bất kỳ chất hoà tan nào tại bất
kỳ vị trí nào dọc theo cửa sông. Nếu vật chất, nh chất ô nhiễm phát ra từ một nguồn đổ,
đợc cho tại một vị trí nằm giữa đỉnh cửa sông và biển, thì tại vị trí đó, đợc xác định
bằng khoảng cách x = s từ một đầu của cửa sông, I
s
là mức khối lợng trung bình thủy
triều của nguồn vào của chất. Tại những vị trí không có chất ô nhiễm nhập vào, I

s
bằng
không trong phơng trình (6.46).
Những cách giải sai phân hữu hạn
Phơng trình (6.46) có thể giải bằng việc chia độ dài cửa sông thành một loạt
những mặt cắt cách đều nhau - độ dài của chúng không liên quan đến dịch chuyển thuỷ
triều. Kỹ thuật dựa trên giả thiết là mức độ thay đổi theo không gian của một đại lợng
có thể xấp xỉ bằng chênh lệch nồng độ trên đơn vị độ dài. Để sự xấp xỉ này hợp lệ, khoảng
cách giữa những mặt cắt phải nhỏ đến mức, thậm chí khi sự thay đổi nồng độ là không
tuyến tính, mức thay đổi nồng độ có thể xem nh hằng số. Ví dụ, sự thay đổi c/x có thể
viết là

x
cc
x
c
nn






2
11
(6.47)
trong đó khoảng cách giữa những mặt cắt kề nhau là x, và c
n+1 và
c
n-1

là nồng độ tại những
mặt cắt tại 2 phía của mặt cắt thứ n với nồng độ c
n
. Có nhiều biểu thức khác nhau để xấp

190



xỉ những mức thay đổi trong các phơng trình vi phân - ví dụ này thiên về 'xấp xỉ sai
phân trung tâm' (James, 1984).
Những đạo hàm bậc hai cũng có thể biểu thị bằng các công thức sai phân hữu hạn
khác nhau và chúng gồm nồng độ tại tất cả ba mặt cắt cho nên

2
11
2
2
2
x
ccc
x
c
nnn

. (6.48)
Sử dụng những xấp xỉ sai phân hữu hạn này, có thể bằng thao tác đại số nào đó để
chỉ ra rằng phơng trình (6.46) tại điểm lới thứ n có thể biểu thị nh

0
11

nnnnnn
cRcQcp
(6.49)
trong đó những hệ số P
n
, Q
n
, R
n
của nồng độ xác định nh sau




2
1111
22
1
x
AK
x
AKAK
R

x
P
nnnnnn
n















2
2
x
AK
Q
nn
n

2
1111
22
1
x
AK
x
AKAK
R
x
R
nnnnnn
n














.
Những tham số K

n
và A
n
thể hiện những giá trị của hệ số phát tán và diện tích
mặt cắt tại mặt cắt thứ n dọc theo cửa sông, R là dòng chảy nớc ngọt do sông nhập vào.
Có thể sử dụng máy tính để giải những phơng trình này nếu R và mặt cắt ngang
đợc biết. Những giá trị K
n
có thể dẫn xuất từ công thức có dạng đã cho trong Chơng 5,
nhng một kỹ thuật u tiên là sử dụng phân bố dọc của độ mặn thực đo, biểu thị bằng
trung bình thủy triều, nếu dữ liệu nh vậy sẵn có. Điều này đòi hỏi giải phơng trình
(6.49) với c là độ mặn hoặc nồng độ của nớc ngọt.
Kỹ thuật kéo theo việc so sánh phân bố độ mặn dự đoán với quan trắc; những giá
trị K
n
đợc điều chỉnh cho đến khi sự so sánh này đợc thỏa mãn. Để dự đoán phân bố
chất ô nhiễm, những hệ số xáo trộn đối với chất ô nhiễm lấy nh hệ số suy luận từ phân
bố độ mặn. Nếu một chất ô nhiễm đợc đa vào cửa sông tại vị trí gần một mặt cắt đặc
trng, xác định nh mặt cắt nguồn s, thì những nồng độ tại vị trí này và tại những mặt
cắt thợng lu và hạ lu vị trí này là c
s
, c
s-1
và c
s+1
, tơng ứng. Quy trình sẽ giả thiết rằng
mức khối lợng nguồn vào I
s
của chất ô nhiễm sẽ phân bố đều giữa những mặt cắt tại 2
phía của mặt cắt nguồn để phơng trình (6.49) trở thành

x2
I
cRcQcP
s
1ssss1ss



. (6.50)
Để giải những phơng trình (6.49) và (6.50), những điều kiện phải đợc chỉ rõ tại
các biên của mô hình. Ví dụ, tại đầu phía đất thành phần nớc ngọt phân số f = 1,0, độ
mặn s = 0, và khi không có nguồn ô nhiễm, c = 0. Tại biên phía biển, thờng giả thiết f =
0, s = s
sw
, trong đó s
sw
là độ mặn của biển, và giả thiết nồng độ của chất ô nhiễm trong
biển là không đáng kể, c = 0. Đối với mô hình loại này, những điều kiện biên đợc chỉ rõ