Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Chương 4 pdf

32

Lực nổi là hợp lực của các lực áp suất hớng thẳng đứng lên một vật thể chìm và
bằng trọng lợng của chất lỏng bị chiếm chỗ (định luật Acsimet).
Trong hình 3.4, lực thẳng đứng lên mặt trên 2 1 4 bằng trọng lợng của chất
lỏng ở trên bề mặt đó, và lên mặt đáy 2 3 4 bằng chất lỏng ở trên bề mặt đó, thậm
chí dù chất lỏng không chiếm toàn bộ thể tích đó.


Hình 3.4. Lực nổi tác động lên một thể tích chìm trong nớc

Nh vậy lực thẳng đứng thực tế thể hiện trọng lợng của chất lỏng trong thể tích 1
- 2- 3- 4 (thể tích chiếm chỗ). Lực đợc đặt ở trọng tâm của thể tích bị chiếm chỗ. Nh
vậy,
F
v
= gv
1234
. (3.5.1)


Chơng 4. Động học chất Lỏng

33

4.1. Mở đầu
Động học là hình học của chuyển động. Nh vậy động học chất lỏng mô tả những
chuyển động chất lỏng mà không xét đến những lực gây ra chuyển động đó. Động học
rất quan trọng bởi vì nó có thể giải thích nhiều hiện tợng chất lỏng theo một cách đơn
giản.

Có thể nghiên cứu những chuyển động chất lỏng bằng cách quan sát những hạt
chất lỏng đã cho khi chúng di chuyển trong không gian (phơng pháp Lagrange) hoặc
bằng cách quan sát chuyển động của những hạt chất lỏng khác nhau khi chúng đi qua
những điểm cố định trong không gian (phơng pháp Euler). Trong phơng pháp
Lagrange, đờng đi của hạt chất lỏng hoặc quỹ đạo là đờng cong có tầm quan trọng cơ
bản. Trong phơng pháp Euler, đờng dòng là đờng cong có tầm quan trọng cơ bản.
Phơng pháp Euler nói chung tiện lợi hơn và đợc sử dụng ở đây.
4. 2. Đờng dòng và dòng nguyên tố
Đờng dòng là một đờng cong mà tiếp tuyến của nó ở bất kỳ điểm nào đều trùng
với vectơ vận tốc chất lỏng tại điểm đó (xem hình 4.1). Do đó, có thể không có vận
chuyển của khối lợng chất lỏng ngang qua một đờng dòng.
Từ những xem xét động học (hình 4.1) thấy rằng dy/dx = V/U. Tơng tự, dz /dy =
W/V và dx/dz = U/W.
Nh vậy:

W
dz
V
dy
U
dx

. (4.2.1)

Hình 4.1. Đờng dòng

Giả sử, lấy ví dụ một dòng chảy 2 chiều với U = kx, V = - ky và k = const. Điều đó
dẫn tới: dx /x = - dy/y hoặc ln(x) = - ln(y) + C
1
, tơng đơng với xy = C

2
, trong đó C là
hằng số tích phân. Điều này thể hiện một trạng thái dòng chảy với những đờng dòng
hyperbol dạng góc vuông (dòng chảy tại góc), nh trong hình 4.2.


34


Hình 4.2. Đờng dòng tại một góc

Đờng dòng đặc biệt là đờng dòng phân chia, tách ra hai miền dòng chảy (ví dụ,
dòng chính và dòng hoàn lu nghịch).
Dòng nguyên tố là một phần tử dòng chảy đợc bao bọc bởi những đờng dòng và
nh vậy chất lỏng không thể đi qua những biên của dòng nguyên tố (xem hình 4.3).


Hình 4.3. Dòng nguyên tố
4.3. Hàm dòng
Trong dòng chảy hai chiều những phơng trình của đờng dòng có thể mô tả bằng
những hàm dòng . Giá trị không đổi dọc theo một đờng dòng. Những giá trị
khác nhau chỉ định những đờng dòng khác nhau. U và V là những thành phần vận tốc
liên quan đến hàm dòng nh sau:
U = -/y (4.3.1)
V = /x (4.3.2)

dy
y
dx
x

d








. (4.3.3)
Vì = (x,y), vi phân toàn phần của dẫn đến:
d = Vdx- Udy. (4.3.4)


35

Hàm dòng không đổi khi d = 0, kết quả là V dx - Udy = 0. Biểu thức này thể
hiện phơng trình đờng dòng (phơng trình 4.2.1). Nh vậy, hàm dòng không đổi
đối với một đờng dòng.
Giả sử, ví dụ hàm dòng = - kxy. Điều này dẫn tới U = kx và V = - ky. Những
đờng dòng là những đờng cong = const, nghĩa là những đờng hypebol dạng góc
vuông xy = const (xem hình 4.2).
4.4. Gia tốc
Vận tốc chất lỏng có thể thay đổi theo vị trí và theo thời gian. Nó có thể đợc mô tả
nh sau:

dt
rd
trfV ),(
(4.4.1)

trong đó:
V
= vectơ vận tốc chất lỏng với các thành phần U, V, W.
r
= vectơ vị trí với những thành phần x, y, z.
Ba thành phần vận tốc đợc xác định nh sau:
U = dx/dt = U(x,y,z,t)
V = dy/dt = V(x,y,z,t)
W = dz/dt = W(x,y,z,t) (4.4.2)
và cũng là những hàm của vị trí và thời gian.
Một khi vận tốc của một phần tử hoặc hạt chất lỏng là một hàm của cả vị trí lẫn
thời gian, chúng ta có thể viết cho thành phần x, ví dụ

dt
t
U
dz
z
U
dy
y
U
dx
x
U
dU

(4.4.3)
cùng những biểu thức tơng tự cho dV và dW. Gia tốc trong hớng x là:
t
U
z
U
W
y
U
V
x
U
U
t
U
dt
dz
z
U
dt
dy
y

U
dt
dx
x
U
dt
dU
a
x

(4.4.4)
trong đó

tz
W
y
V
x
U
dt
d












(4.4.5)
đợc gọi là đạo hàm vật chất, hoặc thể chất, hoặc hạt. Ba số hạng đầu tiên liên quan
đến chuyển động của các hạt chất lỏng và là những gia tốc đối lu, và số hạng cuối cùng
liên quan đến sự thay đổi thuộc tính tại một điểm cố định theo thời gian, là gia tốc địa

phơng.
Trong dạng vectơ, gia tốc của một hạt chất lỏng là

36


t
V
V
t
V
z
V
W
y
V
V
x
V
U
dt
Vd
a

).(
. (4.4.6)
Trong tọa độ Đecacto
t
U
z
U
W
y
U
V
x
U
Ua
x

t
V
z
V
W
y
V
V
x
V
Ua
y

t
U
z
W
W
y
W
V
x
W
Ua
w












. (4.4.7)
Điều quan trọng phải chú ý là nếu một hạt thay đổi vận tốc khi di chuyển từ một
điểm này đến điểm khác trong không gian thì có một gia tốc đối lu. Nếu gia tốc đối lu
bằng không, thì dòng chảy đợc gọi là dòng đều. Nếu vận tốc của những hạt chất lỏng
liên tiếp đi qua một điểm đã cho trong không gian thay đổi theo thời gian, thì có một
gia tốc địa phơng. Nếu gia tốc địa phơng bằng không, thì dòng chảy đợc gọi là dòng

ổn định.
4.5. Biến dạng
Về cơ bản, có thể phân biệt bốn loại biến dạng cho một khối lập phơng nguyên tố
với những cạnh x, y và z. Những biến dạng này là hệ quả của những biến đổi không
gian của vận tốc. Bốn loại biến dạng là:
- a dịch chuyển,
- b quay,
- c1 biến dạng tuyến tính,
- c2 biến dạng góc.
Dịch chuyển và quay bao gồm những biến dạng mà không có sự thay đổi về hình
dạng của phần tử chất lỏng. Tuy nhiên, biến dạng tuyến tính và biến dạng góc bao gồm
sự thay đổi hình dạng. Chỉ thông qua hai biến dạng này mới phát sinh nhiệt và cơ năng
đợc tiêu tán nh kết quả của tác động nhớt trong chất lỏng. Hình 4.4 cho thấy bốn loại
biến dạng trong mặt phẳng x - y của khối lập phơng.
Dịch chyển:
Dịch chuyển theo hớng x : Udt
hớng y: Vdt
hớng z : Wdt.
Quay:

37

Độ quay trong mặt phẳng x - y là trung bình độ quay của những cạnh x và y, là
1/2(tan + tan):

dt
y
U
x
V

y
ydt
y
U
x
xdt
x
V
)(
2
1
)(
2
1















.

Tốc độ quay trong mặt phẳng x - y là vận tốc góc:

dt
y
U
x
V
z
)(
2
1







. (4.5.1)


Hình 4.4. Các loại biến dạng

Tơng tự,

dt
z
V
y
W

x
)(
2
1







(4.5.2)

dt
x
W
z
U
y
)(
2
1







. (4.5.3)

Có ba thành phần của vectơ vận tốc góc

:
VxVcurl
2
1
2
1

.
Biến dạng tuyến tính:

38

Biến dạng tuyến tính theo hớng x: (U/x)xdt;
theo hớng y: (V/y) ydt
theo hớng z : (W/z) z dt.
Thay đổi chiều dài của mỗi cạnh gây ra thay đổi tơng ứng của thể tích khối lập
phơng là:

VVdiv
z
W
y
V
x
U
e .

. (4.5.4)
Đối với chất lỏng không nén đợc nó bằng không (e = 0) và biểu thị phơng trình
liên tục (xem thêm Chơng 5).
Biến dạng góc:
Biến dạng góc trong mặt phẳng x - y là trung bình các biến dạng góc của những
cạnh riêng lẻ x và y:

dt
y
U
x
V
)(
2
1





.
Mức biến dạng trong mặt phẳng x y là:

)(
2
1
y
U
x
V
xyyx







. (4.5.5)
Tơng tự,

)(
2
1
y
W
z
V
zyyz

(4.5.6)

)(
2
1
z
U
x
W
xzzx







. (4.5.7)
4.6. Xoáy
Vectơ xoáy đợc xác định nh sau (xem phơng trình 4.5.1 4.5.3):

VxVcurl

2
(4.6. 1)
và bằng hai lần vectơ vận tốc góc. Vectơ xoáy là hàm của cả vị trí lẫn thời gian. Một
đờng xoáy là một đờng cong dọc theo đó vectơ xoáy là tiếp tuyến. Một xoáy nguyên tố

đợc giới hạn bởi những đờng xoáy. Những xoáy có thể tồn tại trong dòng chảy nhớt và
dòng chảy không nhớt. Nếu xoáy bằng không trong một chất lỏng đang chuyển động,
thì dòng chảy đợc gọi là không quay. Nh vậy
0 Vx
và:

y
U
x
V





và
y
W
z
V





và
z
U
x
W

. (4.6.2)