Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Chương 6 pdf

68

Chơng 6. dòng chảy ổn định đều
6.1. Mở đầu
Trong chơng này xét dòng chảy ổn định (u/t = 0), có nghĩa là vận tốc tại một
điểm không đổi theo thời gian. Đối với dòng chảy rối điều đó có nghĩa là vận tốc trung
bình thời gian là không đổi theo thời gian.
Dòng chảy cũng đợc coi là đều, có nghĩa là vận tốc không đổi theo hớng dòng
chảy (u/x = 0).
Một dòng ổn định đều trong lòng dẫn hở lăng trụ là dòng chảy với vận tốc không
đổi và độ sâu nớc không đổi, trong khi mặt nớc song song với đáy, nh trong hình
6.1. Vận tốc dòng chảy và độ sâu nớc có thể xem nh những giá trị cân bằng.
Vì xem xét dòng chảy của chất lỏng thực với độ nhớt , có sự tiêu tán năng lợng
dòng chảy và không thể áp dụng phơng trình Bernoulli. Cột nớc tổng cộng H
e
giảm
theo hớng dòng chảy. Mức giảm cột nớc tổng cộng H
e
trên đơn vị chiều dài L dẫn
đến gradient năng lợng i
e
= H
e
/ L và bằng gradient đáy hoặc độ dốc đáy i
b
sin. Nh
vậy i
e
= i
b

.


Hình 6.1. Dòng ổn định đều trong lòng dẫn hở

Cột nớc lu tốc (VH), không đổi theo hớng dòng chảy là (
u
là vận tốc trung bình
mặt cắt ngang):

g
u
VH
2
2


(6.1.1)
với:


A
dAu
uA
3
3
1

. (6.1.2)
Cột nớc tổng cộng (h

e
) so với mặt chuẩn nằm ngang là:

69


H
e
= z
b
+ hcos +
g
u
2
2

. (6.1.3)
Đối với độ dốc nhỏ cột nớc tổng cộng là:
H
e
= z
b
+ h +
g
u
2
2

. (6.1.4)
Cao độ mặt nớc trên mặt chuẩn nằm ngang (z

b
+ h) gọi là cao trình của dòng chảy.
Năng lợng đặc trng (SE) trong một mặt cắt xác định bằng năng lợng trên đơn
vị khối lợng chất lỏng so với đáy lòng dẫn:
SE = h +
g
u
2
2

= h +
2
2
2gA
Q

(6.1.5)
trong đó: Q = lu lợng, A = diện tích mặt cắt ngang.
Phơng trình chuyển động đối với dòng ổn định đều tơng đối đơn giản và đợc thể
hiện bằng công thức sức cản. Nhiều loại công thức sức cản sẽ đợc cho trong chơng
này, trong khi cũng đa ra phân bố vận tốc trong dòng chảy phân tầng và trong dòng
chảy rối.
6.2. Các lực chất lỏng và ứng suất trợt
Những lực tác động lên một phần tử chất lỏng trên đơn vị bề rộng x của dòng ổn
định đều đợc cho trong hình 6.2. Các lực áp suất thủy tĩnh F
1
và F
2
bằng nhau. Thành
phần trọng lực theo hớng x là F

g
= gxy(h-z) sin. Cân bằng lực theo hớng x dẫn
đến:

z
xy = gxy(h-z) sin

z
= g(h-z) sin.
Vì sin i
b
, cho thấy:

z
= gi
b
(h-z). (6.2.1)
Phơng trình (6.2.1) biểu thị phân bố ứng suất trợt tuyến tính theo độ sâu. Đối
với z = 0 nó cho thấy (
z=0
=
b
):

b
= ghi
b
.

(6.2.2)

Phơng trình (6.2.2) hợp lệ đối với một lòng dẫn rộng (b >> h). Trong trờng hợp
một mặt cắt ngang tuỳ ý, cân bằng lực đối với một phần tử x của mặt cắt ngang A cho
ta (xem hình 6.2):

b
x = gAx sin

b
= g(A/)i
b
= gRi
b
(6.2.3)
trong đó:

70

A = diện tích mặt cắt ngang
= chu vi ớt
R = A/ = bán kính thủy lực

b
= ứng suất trợt tại đáy.


Hình 6.2. Các lực chất lỏng

Phơng trình (6.2.1), (6.2.2) và (6.2.3) hợp lệ đối với dòng chảy phân tầng và rối.
Đối với mặt cắt ngang hình chữ nhật đơn giản (độ sâu = h, bề rộng = b) bán kính
thủy lực là:

R = bh/(b + 2h). (6.2.4)
Đối với mặt cắt ngang hình chữ nhật rộng: R h.
6.3. Phân bố vận tốc trong lớp biên dòng chảy phân tầng
6.3.1. Mở đầu
Lớp biên là lớp dòng chảy ở trên biên, trong đó vận tốc dòng chảy bị chậm lại bởi
hiệu ứng của biên. Nói chung, lớp biên xác định theo khoảng cách từ mặt biên đến
điểm mà tại đó u = 0,995u
e
với u
e
= vận tốc tại lớp ngoài. Trớc hết, ta thảo luận sự
phát sinh lớp biên. Tốt nhất có thể trình diễn điều này bằng việc xét dòng chảy dọc theo
một tấm phẳng trơn có chiều dài hữu hạn. Dòng chảy đến gần đợc giả thiết đồng nhất
theo hớng thẳng đứng với vận tốc u
e
. Khi chất lỏng đạt đến chỗ bắt đầu của tấm
phẳng, những ứng suất trợt lớn sẽ phát sinh ở bề mặt tấm phẳng. Những hạt chất
lỏng tại bề mặt tấm phẳng bằng không và những hạt ở trên tấm phẳng bị chậm lại bởi

71

tác động của ứng suất nhớt trong chất lỏng. Khu vực dòng chảy bị chậm lại đợc gọi là
lớp biên. Đối với khoảng cách hớng dọc nào đó, dòng chảy bên trong lớp biên là phân
tầng. Hạ lu khu vực phân tầng, dòng chảy sẽ trở nên không ổn định và cuối cùng sẽ
thành rối. Độ dày lớp biên tăng theo hớng dòng chảy. Trong khu vực rối, profil vận tốc
đồng nhất hơn cùng với gradient vận tốc lớn gần mặt biên.
Sự quá độ từ dòng chảy phân tầng đến dòng chảy rối phụ thuộc vào độ nhám của
bề mặt tấm, vận tốc và mức độ rối của dòng chảy đến gần.
Sự phát triển lớp biên có thể biểu thị theo (Cebeci và Bradshaw,1977):
dòng chảy phân tầng:

50
5
,
)(




x
u
x
e

dòng chảy rối (trơn và nhám):
20
40
,
)(,




x
u
x
e

với x = khoảng cách từ mép của mặt biên. Lớp phân tầng trở nên không ổn định đối với
u
e

= 2000, tơng đơng với u
e
x/ = 5 x10
5
.
Dựa vào biểu thức đối với dòng chảy rối, khoảng cách phi thứ nguyên yêu cầu để
nhận đợc bề dày lớp biên bằng độ sâu nớc ( = h) là x/ h = 3 (
u
h/)
0,25
cho ta:
x/ h = 50 đối với = h = 0,5 m và
u
= 0,2 m/s (trong máng thuỷ lực)
x/ h = 200 đối với = h = 10 m và
u
= 1 m/s (tại hiện trờng).
Trong mục sau ta xét profil vận tốc trong một dòng chảy phân tầng ổn định, có
nghĩa là bề dày lớp biên phân tầng không đổi theo hớng dọc (bề dày lớp biên cân
bằng).


Hình 6.3. Sự phát sinh lớp biên

6.3.2. Phân bố vận tốc
ứng suất trợt trong dòng chảy phân tầng là = du/dz. áp dụng phơng trình
(6.2.1), thấy rằng:

)( zhgi
dz

du
b




72


dzzh
gi
du
b
)(

.
Tích phân cho ta: (u
z=0
= 0):

)
2
1
(
2
zhz
gi
u
b
z

. (6.3.1)
Phơng trình (6.3.1) biểu thị một profil vận tốc dạng parabôn với vận tốc lớn nhất
u
max
= gi
b
h
2
/2 ở mặt z = h (xem hình 6.12). Vận tốc trung bình độ sâu là:

2
3
h
gi
u
b


. (6.3.2)
6.4. Phân bố vận tốc trong lớp biên rối
6.4.1. Đáy trơn và nhám
Theo thủ tục Reynolds, ứng suất trợt tại độ cao z trong dòng ổn định đều có thể
mô tả nh sau (xem phơng trình 5.4.47):

''
wu
dz
du

z


. (6.4.1)
Mặc dù vận tốc thẳng đứng trung bình thời gian w bằng không (w = 0), những dao
động rối thẳng đứng không bằng không (w' 0). Nh vậy, ứng suất trợt do rối
0
''
wu
t

.
áp dụng phơng trình (6.2.1) cho thấy:

)(
''
zhgiwu
dz
du
bz


. (6.4.2)
Phần đầu tiên biểu thị ứng suất trợt do nhớt (

); phần thứ hai biểu thị ứng suất
trợt do rối (
t
). Phơng trình (6.4.2) mô tả một phân bố tuyến tính theo z, nh trong
hình 6.4. Tuy nhiên, những phép đo chỉ ra rằng ứng suất trợt gần đáy hầu nh không

đổi (
b
) trong một lớp có bề dày khoảng 0,1 h.
ứng suất trợt do rối (
t
) chiếm u thế trong phần chủ yếu của độ sâu dòng chảy.
Trong trờng hợp một đáy trơn, những ứng suất trợt do nhớt (

) trở nên u thế ở sát
đáy do những dao động rối u' và w' tắt hẳn gần đáy và bằng không tại đáy (u' = w' = 0
tại z = 0). Lớp có ứng suất trợt do nhớt chiếm u thế gọi là lớp con nhớt (

). Phía trên
lớp con nhớt là dòng chảy rối. Lớp con rối quan trọng nhất là lớp con dạng lôgarit. Về
sau, sẽ chỉ ra rằng bề dày của lớp con nhớt khoảng

= 5 /u
*
. Giữa lớp con nhớt và lớp
con lôgarit có một lớp con quá độ, đôi khi gọi là lớp con đệm. Phía trên lớp con lôgarit có
một lớp con ở phía ngoài (xem thêm hình 6.5).



73


Hình 6.4. Phân bố ứng suất trợt

Hiệu ứng của độ nhám đáy (hoặc tờng) lên phân bố vận tốc trong dòng chảy rối

đợc Nikuradse (1933) khảo sát lần đầu tiên cho dòng chảy trong ống. Ông sử dụng
những cái ống đợc phủ bởi những hạt cát đồng đều ở phía trong và đo những phân bố
vận tốc với những số Reynolds (Re), đờng kính ống (D) và kích thớc hạt (d
50
) khác
nhau. Dựa vào những thí nghiệm này, Nikuradse giới thiệu khái niệm độ nhám hạt cát
tơng đơng hoặc độ nhám Nikuradse (k
s
) nh một tiêu chuẩn đối với tất cả các loại
phần tử nhám (k).


Hình 6.5. Lớp con nhớt và rối đối với một đáy trơn

Những phần tử nhám chủ yếu ảnh hởng đến phân bố vận tốc sát đáy, vì những
phần tử nhám phát sinh những xoáy có kích thớc cùng bậc với những phần tử nhám,
chúng ảnh hởng đến cấu trúc rối và do đó là những vận tốc sát đáy. Sau nữa, những
xoáy sẽ nhanh chóng bị hấp thụ vào cấu trúc rối hiện có nói chung.
Loại chế độ dòng chảy có thể liên quan đến tỷ số của độ nhám Nikuradse (k
s
) và

74

quy mô độ dài của lớp con nhớt (/u
*
). Dựa vào số liệu thực nghiệm, thấy rằng:
1. Dòng chảy trơn về thuỷ lực, đối với
5
/

*
*


uk
u
k
ss

Những phần tử nhám nhỏ hơn nhiều bề dày của lớp con nhớt (xem hình 6.6) và
không ảnh hởng đến phân bố vận tốc.
2. Dòng chảy nhám về thuỷ lực, đối với
70
/
*
*


uk
u
k
ss

Lớp con nhớt không tồn tại và phân bố vận tốc không phụ thuộc vào độ nhớt của
chất lỏng (hình 6.6).
3. Dòng chảy quá độ về thuỷ lực, đối với
70
/
5
*

*


uk
u
k
ss

Phân bố vận tốc bị ảnh hởng bởi độ nhớt cũng nh bởi độ nhám đáy.



Trơn Nhám
Hình 6.6. Dòng chảy trơn và nhám về thuỷ lực
6.4.2. Lớp con rối lôgarit
ứng suất trợt do nhớt có thể bỏ qua trong lớp con này. Dựa vào đo đạc, giả thiết
rằng ứng suất trợt do rối trong lớp này không đổi và bằng ứng suất trợt tại đáy (
b
).
Nh vậy,

''
wu
b


(6.4.3)

''
/ wu

b


. (6.4.4)
Theo định nghĩa
b
= u
2
*
dẫn đến:

2
*
''
/ uwu
b


. (6.4.5)

75


Lý thuyết quãng đờng xáo trộn của Prandtl
Trong dòng chảy rối có những gói chất lỏng di chuyển từ lớp này sang lớp khác
bằng những chuyển động xoáy, nh trong hình 6.7. Vận tốc chất lỏng trung bình thời
gian trong lớp 1 lớn hơn trong lớp 2. Gói chất lỏng 1 trong lớp 1 có động lợng lớn hơn
trong lớp 2. Khi gói chất lỏng 1 đến lớp 2 nó làm tăng tốc những gói chất lỏng trong lớp
2 bởi sự truyền động lợng của nó. Tơng tự, gói chất lỏng 2 trong lớp 2 có động lợng
thấp hơn, làm chậm những gói chất lỏng trong lớp 1 khi vào đến đó. Tác động của gói

chất lỏng 1 có thể xem nh tác động của ứng suất trợt
1
lên lớp 2 trong khi cố tăng tốc
lớp 2. Tơng tự, tác động của gói chất lỏng 2 có thể xem nh tác động của ứng suất
trợt
2
làm chậm dần lớp 1. Từ hình 6.7 có thể thấy rằng +u' liên quan đến w'. Tơng
tự -u' liên quan đến +w.
Prandtl (1875-1953) đa ra khái niệm quãng đờng xáo trộn, phát biểu rằng một
gói chất lỏng đi hết chiều dài l trớc khi động lợng của nó đợc truyền đi.
Prandtl cũng đề xuất:

dz
du
lu
'
và
dz
du
lw
'
. (6.4.6)


Hình 6.7. Lý thuyết quãng đờng xáo trộn

Thay phơng trình (6.4.6) vào phơng trình (6.4.3) dẫn đến:

dz
du

dz
du
l
b
2


. (6.4.7)
Tơng tự nh đối với ứng suất trợt do nhớt = du/dz, phơng trình (6.4.7) có
thể mô tả nh sau:

dz
du
b


(6.4.8)

76

trong đó:
dz
du
l
2


= hệ số nhớt rối hoặc hệ số xáo trộn.
Phơng trình (6.4.8) cũng gọi là phơng trình Boussinesq.
Sau đó, Prandtl giả thiết rằng quãng đờng xáo trộn l tỷ lệ với khoảng cách đến

đáy nh sau:
l = kz (6.4.9)
trong đó: k = hệ số tỷ lệ.
Tham số k đợc gọi là hằng số Von Karman.
Thay phơng trình (6.4.9) vào (6.4.7) dẫn đến:

dz
du
dz
du
zk
b
22


(6.4.10)

2
*
22
u
dz
du
dz
du
zk
(6.4.11)

kz
u

dz
du
*

. (6.4.12)
Tích phân theo hớng z dẫn đến:

1
*
ln Cz
k
u
u
z

. (6.4.13)
Phơng trình (6.4.13) biểu thị một phân bố vận tốc dạng lôgarit. Tham số k và
hằng số tích phân C1 phải đợc xác định từ đo đạc. Đã thấy tham số k có giá trị là k =
0,4. Tham số C1 phụ thuộc mạnh vào những điều kiện dòng chảy sát đáy (dòng chảy
trơn hoặc nhám về thuỷ lực).
Phơng trình (6.4.13) cũng có thể biểu thị nh sau:

2
**
)ln( C
zu
k
u
u
z

. (6.4.14)
Hình 6.8 cho thấy những vận tốc đo đạc. Một lớp lôgarit có thể quan sát đối với
u
*
z/ > 30. Những đo đạc dòng chảy trong lòng dẫn hở cho thấy phân bố vận tốc lôgarit
hợp lệ cho đến z = 0,2 h.
Phơng trình (6.4.13) cũng có thể biểu thị nh sau:

B
k
z
k
u
u
s
z
)ln(
*
(6.4.15)
trong đó:
k
s
= tham số nhám Nikuradse
B = hằng số tích phân
k = 0,4.


77

Hình 6.8. Phân bố vận tốc trong dòng ổn định đều trên một đáy trơn

Dựa trên số liệu thực nghiệm dòng chảy trơn và nhám về thuỷ lực trong phạm vi
7,5 R/k
s
250, Nikuradse tìm thấy:

55
1
,)ln(
*


s
k
u
k
B
đối với
5
*


s
u
k
(6.4.16)

58
,

B
đối với
70
*


s
u
k
. (6.4.17)
Những phơng trình (6.4.16) và (6.4.17) đợc cho trong hình 6.9.


Hình 6.9. Hằng số tích phân đối với dòng chảy trơn và nhám về thuỷ lực.

Thay phơng trình (6.4.16) vào phơng trình (6.4.15) dẫn đến dòng chảy trơn về
thuỷ lực:
)
/,
ln(,)ln(
*
***
u
z
k
u
z

u
k
u
u
z

110
55
(6.4.18)
Thay phơng trình 6.4.17) vào phơng trình (6.4.15) dẫn đến dòng chảy nhám về

78

thuỷ lực:

)ln(,)ln(
**
ss
z
k
z
k
u
k
z
k
u
u
30
58

. (6.4.19)
6.4.3. Lớp con nhớt
ứng suất trợt do nhớt chiếm u thế trong lớp này. Giả thiết ứng suất trợt do
nhớt là hằng số trong lớp này và bằng ứng suất trợt tại đáy, cho thấy:

b
dz
du




2
*
u
dz
du





/
2
*
u
dz
du

(6.4.20)

tích phân và giả sử u = 0 tại z = 0 dẫn đến:


/
2
*
zuu
z

. (6.4.21)
Nh vậy, có một phân bố vận tốc tuyến tính trong lớp con nhớt (xem hình 6.8).
Phân bố vận tốc tuyến tính và phân bố vận tốc lôgarit cắt nhau ở khoảng cách
6.11/
*


zu
, dẫn đến một lớp con nhớt với bề dày là:

*
,
u



611

. (6.4.22)
Những giá trị đo đạc trong hình 6.8 chỉ ra rằng lớp con hoàn toàn nhớt có phần nhỏ
hơn (5/u

*
).
6.4.4. Lớp con quá độ
Hình 6.8 cũng chỉ ra rằng có lớp quá độ hoặc lớp đệm đối với 5 < u
*
z/ < 30. Có sẵn
nhiều biểu thức đối với phân bố vận tốc trong lớp này. Những biểu thức này không đa
ra ở đây, vì chúng cha đợc sử dụng rộng rãi.
6.4.5. Lớp con phía ngoài
Một hiện tợng tiêu biểu của lớp ngoài (xem hình 6.5) là vận tốc gần nh không
đổi, đợc tạo ra bởi sự có mặt của những xoáy lớn sản sinh xáo trộn mạnh dòng chảy.
Những đo đạc trong lòng dẫn hở cho thấy vận tốc dòng chảy lớn nhất không xuất
hiện ở bề mặt (z = h) mà ở một khoảng cách nhỏ dới mặt (z = 0,9 h), có lẽ là kết quả
của phân bố ứng suất trợt phi tuyến và/hoặc bởi hiệu ứng ma sát ở mặt phân cách
chất lỏng và không khí. Những hiệu ứng gió cũng có thể ảnh hởng đến phân bố vận tốc
gần mặt.
Sẵn có nhiều biểu thức trong các tài liệu để mô tả phân bố vận tốc trong lớp ngoài.

79

Tuy nhiên những biểu thức này cha đợc sử dụng rộng rãi. Nói chung, phân bố vận
tốc lôgarit (phơng trình 6.4.13) cũng đợc áp dụng cho lớp ngoài. Những vận tốc đo đạc
và tính toán cho thấy sự phù hợp hợp lý.
Về cơ bản, phơng trình (6.4.13) chỉ hợp lệ đối với phần thấp của độ sâu dòng chảy
(z < 0,2 h) nơi ứng suất trợt hầu nh không đổi và nơi quãng đờng xáo trộn tỷ lệ với
khoảng cách tới đáy (l = kz).
Khi phơng trình (6.4.13) áp dụng trong lớp ngoài, những giả thiết này (
b
= const,
l = kz) không còn hợp lệ nữa và phải đợc thay thế bởi những giả thiết khác. Giả thiết

phân bố ứng suất trợt tuyến tính, =
b
(1-z/h), có thể dẫn ra phơng trình (6.4.13) từ
phơng trình (6.4.7) bằng việc lấy quãng đờng xáo trộn nh sau:
l = kz(1-z/h)
0,5
(6.4.23)
thay cho l = kz.
Điều này nói lên một phân bố nhớt rối dạng parabôn

*
*
222
)/1()/1( uhzkz
kz
u
hzzk
dz
du
l

. (6.4.24)
Những phơng trình (6.4.23) và (6.4.24) đợc cho trong hình 6.10.


Hình 6.10 Quãng đờng xáo trộn và phân bố nhớt rối
6.4.6. Phân bố tổng quát của vận tốc đối với dòng chảy trơn và nhám
Phân bố vận tốc
Một biểu thức tổng quát đối với phân bố vận tốc trên toàn bộ độ sâu đối với những
dòng chảy trơn và nhám (hình 6.11):

)ln(
0
*
z
z
k
u
u
(6.4.25)
trong đó:

80

z
0
= mức vận tốc không (u = 0 tại z = z
0
).
Chế độ thủy lực trơn:
*
,
u
z

110
0

đối với
5

*


s
ku

Chế độ thủy lực nhám:
s
kz 330
0
,
đối với
70
*


s
ku

Chế độ thủy lực quá độ:
s
k
u
z 330110
0
,,
*


đối với

705
*


s
ku




Trơn Nhám
Hình 6.11. Phân bố vận tốc trong dòng chảy trơn và nhám về thuỷ lực



Hình 6.12. Phân bố vận tốc trong dòng chảy rối và phân tầng (De Vries, 1985)

Hình 6.12 cho thấy phân bố vận tốc trong dòng chảy phân tầng (phơng trình

81

6.3.1) và dòng chảy rối đối với h/z
0
= 10, 100, 1000. Profil vận tốc đồng nhất hơn đối với
tham số h/z
0
lớn hơn, mà có nghĩa là độ nhám đáy nhỏ hơn. Mực vận tốc không, đợc
giải thích nh một tham số tính toán mà không có ý nghĩa vật lý, vì phơng trình
(6.4.25) không hợp lệ khi rất sát đáy (z < k
s

). Trong trờng hợp biên nhám vị trí của
điểm vận tốc không là không biết đợc. Thông thờng, đáy (z = 0) đợc xác định nh
mặt phẳng tạo ra sau khi làm nhẵn những phần tử nhám. Đối với các phần tử hình cầu
nhám, nó dẫn đến giá trị khoảng 0,75 k trên mặt dới của hình cầu (k = đờng kính
hình cầu), nh thấy trong hình 6.11. Một giá trị thực tế của mực vận tốc không (z = z
0
)
có thể tìm bằng cách vẽ những giá trị u/u
*
với (z- z
0
)/z
0
theo tỷ lệ bán lôgarit và z
0
khác
nhau cho đến khi nhận đợc sự phù hợp tốt nhất. Phơng pháp này cho ta giá trị z
0
=
0,25 k đối với những hạt cát và sỏi.
ứng dụng của phơng trình (6.4.25) cho toàn bộ độ sâu nói lên rằng vận tốc lớn
nhất u = u
h
tại z = h. Thay biểu thức này vào phơng trình (6.4.13) dẫn đến cái gọi là
định luật thiếu hụt vận tốc:

)ln(
*
h
z

k
u
uu
h

(6.4.26)
với
)ln(
0
*
z
h
k
u
u
h

(6.4.27)
Đối với nhiều ứng dụng kỹ thuật, cũng có thể mô tả phân bố vận tốc bởi một biểu
thức theo định luật hàm mũ, nh sau:

n
h
h
z
uu )(
(6.4.28)
trong đó:
u
h

= vận tốc dòng chảy ở mặt nớc
n = số mũ.
Tham số n phụ thuộc vào độ nhám đáy và số Reynolds. Những giá trị giữa n = 1/6
và n = 1/10 đã đợc thấy. Thông thờng, sử dụng n = 1/7. Lấy trung bình phơng trình
(6.4.25) theo độ sâu dẫn đến:



h
z
z
h
h
z
k
u
dz
z
z
k
u
h
u
0
)]ln(1[)ln(
1
0
0*
0
*

. (6.4.29)
áp dụng phơng trình (6.4.29) cho phơng trình (6.4.25), cũng có thể biểu thị phân
bố vận tốc nh:

)ln(
)/ln(1/
000
z
z
zhhz
u
u


. (6.4.30)
Bỏ qua tham số z
0
/h trong phơng trình (6.4.30), vận tốc dòng chảy trung bình độ
sâu xuất hiện ở z = h/e = 0,37 h, trong đó e là cơ số lôgarit tự nhiên (e = 2,72).
Xác định vận tốc trợt tại đáy

82

Phơng trình (6.4.25) cũng có thể ứng dụng để xác định vận tốc trợt tại đáy khi
sẵn có những vận tốc đo đạc. Với mục đích đó phơng trình (6.4.25) đợc viết nh sau:

)ln()ln(
0
**
z

h
k
u
h
z
k
u
u
(6.4.31)
hoặc


)log(
,
)log(
,
**
0
3232
z
h
k
u
h
z
k
u
u
(6.4.32)
trong đó: h = độ sâu nớc.

Hình 6.13. Phân bố vận tốc trên tỷ lệ bán lôgarit

Phơng trình (6.4.32) dẫn đến một đờng thẳng trên tỷ lệ bán lôgarit, nh trong
hình 6.13. Một đờng thẳng khớp với những vận tốc đo đạc gần đáy. Những vận tốc đo
đạc ngoài lớp gần đáy không thể sử dụng, vì cơ bản phơng trình 6.4.32) chỉ hợp lệ đối

83

với khu vực gần đáy (k
s
< z < 0,2 h). Vận tốc trợt tại đáy (u
*
) và tham số nhám (z
0
) có
thể xác định nh sau (xem hình 6.13):
z/h = 1 -> log(z /h) = 0 và u = 0,49 m/s
z/h = 0,1 -> log(z /h) = -1 và u = 0,24 m/s
dẫn đến:

)log(
,
,
*
0
32
490
z

h
k
u



)log(
,
,
,
**
0
3232
240
z
h
k
u
k
u

.
Trừ đi cho ta:

k
u
*
,
,
32

250
hoặc
sm
k
u /,
,
,
*
04350
32
250

(với k = 0,4).
Tham số h/z
0
dẫn xuất từ
961
32
490
0
,
,
,
)log(
*

u
k
z
h

, cho ta h/z
0
= 91 và z
0
= 0,0022m
đối với h = 0,2 m.
6.4.7. Phân bố vận tốc theo hớng ngang (dòng thứ cấp)
Do sự có mặt của bờ ở cả hai phía của lòng dẫn, vận tốc phân bố không đều theo
hớng ngang.


Hình 6.14. Phân bố vận tốc theo hớng ngang

Hình 6.14 cho thấy những phân bố vận tốc theo hớng ngang trong một lòng dẫn

84

chữ nhật.
Vận tốc lớn nhất đo đợc thờng xuất hiện ở dới mặt tự do. Khi lòng dẫn rộng (b
>> h), vận tốc lớn nhất có thể thấy đợc ở mặt tự do. Vận tốc lớn nhất lớn hơn khoảng
10% đến 30 % vận tốc trung bình mặt cắt ngang (
u
= Q/A), phụ thuộc vào độ nhám đáy
và bờ bao, và hình dạng của mặt cắt ngang. Nh đợc thấy bằng các đo đạc cẩn thận
trong phòng thí nghiệm, dòng chảy trong lòng dẫn lăng trụ thẳng là ba chiều với
chuyển động xoắn nhỏ theo hớng ngang (xem hình 6.14).
6.5. Các công thức sức cản dòng chảy
6.5.1. Công thức Chezy
ứng suất trợt tại đáy đối với dòng đều qua một mặt cắt ngang tuỳ ý do phơng
trình (6.2.3) đa ra nh sau:

b
= gRi
e
.

(6.5.1)
Phơng trình (6.5.1) tơng đơng với (
b
= u
2
*
):
u
2
*
= gRi
e
. (6.5.2)
Dựa vào dữ liệu thực nghiệm đối với dòng chảy rối, Chezy (1718 - 1783) đề xuất
công thức sau:
Q = CA(Ri
e
)
0,5
hoặc
u
= C(Ri
e
)

0,5
(6.5.3)
trong đó :
Q = lu lợng (m
3
/s)
A = diện tích mặt cắt ngang (m
2
)
u
= vận tốc trung bình mặt cắt ngang (m/s)
C = hệ số Chezy (m
0,5
/s)
R = bán kính thủy lực (m)
i
e
= độ dốc năng lợng (-).
Thay phơng trình (6.5.2) vào phơng trình (6.5.3) dẫn đến:

50,
*
g
C
u
u

hoặc
2
2

C
u
g
b


. (6.5.4)
Hệ số Chezy (C) liên quan với hệ số Đacxi Weisbach (f), nói chung đợc sử dụng ở
Hoa Kỳ:

f
g
C
8
2

. (6.5.5)
6.5.2. Hệ số Chezy

85

Phơng trình (6.5.4) chỉ ra rằng có thể xác định hệ số Chezy bằng việc lấy trung
bình phân bố vận tốc trong mặt cắt ngang.
áp dụng phơng trình (6.4.25) cho một lòng dẫn hình chữ nhật có bề rộng vô hạn
dẫn đến (k = 0,4):



h
z

h
z
z
dz
z
z
kh
u
dzu
h
u
00
)ln(
1
0
*
dẫn đến:

)
/,
log(,)
/,
ln(,
**
,
*
uk
h
uk
h

g
C
u
u
ss

33
12
755
33
12
52
50




. (6.5.6)
Phơng trình (6.5.6) cũng có thể áp dụng cho một lòng dẫn với mặt cắt ngang tuỳ ý
nhờ sử dụng bán kính thủy lực, nh sau:

)
/,
log(,
*
,
*
uk
R
g

C
u
u
s

33
12
755
50


. (6.5.7)
Những phơng trình (6.5.6) và (6.5.7) còn đợc gọi là công thức White - Colebrook.
Công thức White-Colebrook (cũng đợc biết nh hệ số Chezy) cũng có thể biểu thị nh
sau:

)
/,
log(
*
uk
R
C
s

33
12
18

. (6.5.8)
Về cơ bản, phơng trình (6.5.8) hợp lệ đối với phạm vi 7,5 R/k
s
250 (phạm vi thí
nghiệm của Nikuradse). Phơng trình (6.5.8) đợc đa vào hình 6.15. Hệ số Chezy tăng
khi giá trị k
s
giảm. Hệ số ma sát Đacxi Weisbach tăng khi giá trị k
s
tăng, nh vậy lôgic
hơn.
Đối với dòng chảy trơn về thuỷ lực (u
*
k
s
/ 5), cho thấy:

)
Re
,
log()
,
log()
/,
log(
*
*
C
Ru
u

R
C
411
18
643
18
33
12
18

(6.5.9)
trong đó :
Re =

Ru
= số Reynold .
ứng dụng phơng trình (6.5.9) yêu cầu một thủ tục tính toán lặp.
Đối với dòng chảy nhám về thuỷ lực (u
*
k
s
/ 70), cho thấy:
)
12
log(18
s
k
R
C
. (6.5.10)

ứng dụng phơng trình (6.5.8) và (6.5.10) yêu cầu thông tin độ nhám cát Nikuradse
(k
s
) tơng đơng. Giá trị k
s
cho nhiều loại phần tử nhám đợc xác định bằng thí nghiệm
trong máng (U, H đo đạc, C và k
s
có thể tính toán).
Ví dụ, một đáy gồm các dải thép với chiều cao k đợc đặt ở khoảng cách tơng đối
là 10 k, có độ nhám Nikuhadse tơng đơng là k
s
= 10 k (xem Schlichting, 1968).

86

Những giá trị k
s
cho ta nh sau:
đáy cát phẳng k
s
= 3d
90

đụn cát k
s
= 1/2 chiều cao đụn cát
đáy cuội sỏi phẳng k
s
= d

90

đáy bê tông k
s
= 0,001 0,01 m.
Phơng trình (6.5.10) có thể xấp xỉ bằng công thức Strickler:

6/1
)(25
s
k
R
C
(6.5.11)
dẫn đến sự phù hợp hợp lý trong phạm vi C = 40 đến 70 m
0,5
/s.
6.5.3. Công thức Manning
Một công thức khác khá nổi tiếng trong tài liệu Anglosaxan là công thức Manning
(
u
bằng m/s, R bằng m):

i
n
R
Ri
n
R
u

3/26/1

. (6.5.12)


Hình 6.15. Hệ số Chezy C = F(R/k
s
, R/


), Re =
u
R/

,


= 11,6

/u
*
(Jansen và nnk. , 1979)


87

áp dụng feet thay cho mét, công thức là (
u
bằng ft/s, R bằng ft):

i
n
R
u
32
491
/
,
(6.5.13)
trong đó:
n = hệ số Manning (xem Ven Te Chow, 1959)
i = độ dốc năng lợng.
6.5.4. Mặt cắt ngang phức tạp
Trong trờng hợp mặt cắt ngang phức tạp với những giá trị k
s
khác nhau, nh
trong các hình 6.16 A và B, sức cản dòng chảy có thể xác định bằng việc giả thiết rằng
công thức Chezy hợp lệ trong từng phần của mặt cắt ngang và rằng gradient mặt nớc
bằng nhau trong mỗi phần. Những ứng suất trợt trong mặt phẳng giữa các phần của
mặt cắt ngang đợc giả thiết bằng không.


Hình 6.16A,B Mặt cắt ngang phức tạp
Phơng pháp 1
Hình 6.16A cho thấy rõ hai phần riêng biệt A1 và A2. Gradient mặt nớc i
e
không
đổi đối với mỗi phần:

2

2
2
22
2
2
2
11
2
1
CR
u
CR
u
CR
u
i
e

. (6.5.14)
Phơng trình liên tục dẫn đến:

88

Q = Q1 + Q2 =
2
2
1
1
AuAuAu
. (6.5.15)

Thay phơng trình (6.5.14) vào phơng trình (6.5.15) cho ta:

50
2
2
22
2
50
2
2
11
1
,,
)()(
RC
CR
Au
RC
CR
AuAu


22
2
22
2
2
2
11
2

1
CA
CRACRA
R


. (6.5.16)
Giá trị C toàn bộ có thể tính toán nh sau:

b
CbCb
C
2211


. (6.5.17)
Những tham số khác: A
1
= b
1
h
1
, A
2
= b
2
h
2
, R
1

= A
1
/
1
, R
2
= A
2
/
2
,
1
= b
1
+ h
1
,
2
= b
2

+ h
2
, và C
1
= 18log(12R
1
/k
s1
), C

2
= 18log(12R
2
/k
s2
), giả thiết dòng chảy nhám.
Phơng pháp đã cho ở trên phát sinh một giá trị R hiện thực hơn cách tiếp cận
truyền thống R = A/ chỉ chính xác cho một mặt cắt ngang đơn giản với độ nhám đồng
nhất.
Phơng pháp 2
Trong trờng hợp của hình 6.16 B diện tích mặt cắt ngang A
1
và A
2
không thể thiết
lập chính xác. Bởi vậy, cần thiết giả thiết khác là luận cứ của Einstein. ông giả thiết
uuu
21
(xem phơng trình 6.5.14), dẫn đến:

22
22
2
11
111
CRCRCR

. (6.5.18)
Phơng trình (6.5.18) dẫn đến hai biểu thức:
1.

2
2
2
1
1
2
C
C
R
R

. (6.5.19)
áp dụng công thức Strickler (phơng trình 6.5.11), dẫn tới:

4/1
1
2
1
2
)(
s
s
k
k
R
R

. (6.5.20)
2.
i

A
Q
RCCR
2
2
22
11

(6.5.21)
và
i
A
Q
RCCR
2
2
22
22

. (6.5.22)
6.5.5. Các ví dụ
Tất cả các ví dụ đều cho đối với một lòng dẫn có mặt cắt ngang hình tam giác (xem
hình 6.17).

89




Hình 6.17. Lòng dẫn với mặt cắt ngang hình tam giác

1. Cho biết : i = 10
- 3
, h = 1 m, k
s
= 0,002 m, = 10
-6
m
2
/s. Tìm Q = ?
R = A/

= 1/
22
= 0,354 m
u
*
= (gRi)
0,5
= (9,81 x 0,354 x 10
-3
)
0,5
= 0,0598 m/s
u
*
k
s
/

= (0,0598 x 0,002 )/10
-6
= 118 (

70 dòng chảy nhám về thuỷ lực)
C = 18 log(12R/k
s
) = 59,9 m
0,5
/s
u
= C (Ri)
0,5
= 1,1 m/s
Q =
u
A = 1,1 m
3
/s
Re =
u
R/

= 3,9 x 10
5
(

600, dòng chảy rối).
2. Cho biết : Q = 1m
3

/s, h = 1 m, k
s
= 0,0001 m, = 10
-6
m
2
/s. Tìm i = ?
R = A/

= 1/
22
= 0,354 m
u
= Q/A = 1 m/s
Re =
u
R/

= (1 x 0,354)/10
-6
= 3,54 x 10
5
(

600, dòng chảy rối)
Nh vậy, có thể áp dụng công thức Chezy, dẫn đến: i =
)/(
2
2
RCu

Đầu tiên, C đợc đánh giá bằng C = 18 log(12R/k
s
) = 83,3 m
0,5
/s
Sau đó i = 1
2
/(83,3
2
x 0,354) = 4,07 x 10
-4
và u
*
= (gRi)
0,5
= 0,0376 m/s
u
*
k
s
/

= 3,8 (

5 dòng chảy trơn về thuỷ lực)
Bây giờ,
)
/,
log(

*
uk
R
C
s

33
12
18


= 78,4 m
0,5
/s và i = 4,6 x10
-4
và u
*
= 0,04 m/s
Một lần nữa
)
/,
log(
*
uk
R
C
s

33
12

18


= 78,6 m
0,5
/s và i = 4,6 x10
-4
đủ chính xác
so với giá trị trớc.
3. Cho biết : Q = 1m
3
/s, i = 10
-3
, k
s
= 0,0001 m, = 10
-6
m
2
/s. Tìm h = ?

90


2
4
1
hR

u

= C (Ri)
0,5
)
/,
log(
*
uk
R
C
s

33
12
18


.
Đầu tiên, một khoảng nhám đợc xác định cho độ sâu h bằng việc áp dụng một giá
trị C nhỏ khoảng 30 m
0,5
/s và một giá trị C lớn khoảng 90 m
0,5
/s.
áp dụng
u
= Q/A, A = h
2
,
2
4

1
hR
công thức
u
= C (Ri)
0,5
có thể sắp xếp lại
thành:

iC
Q
h
2
2
5
2
4
1


dẫn đến h = 1,26 m đối với C = 30 m
0,5
/s và h = 0,81 m đối với C = 90 m
0,5
/s.
Nh vậy, khoảng có thể nhất đối với độ sâu h sẽ là h = 0,81 đến 1,26 m.
Thay thế
)
/,
log(

*
uk
R
C
s

33
12
18


vào công thức Chezy dẫn đến:

)
/,
log()(
*
,
uk
R
Ri
h
Q
s

33
12
18
50
2

và
2
4
1
hR
,
u
= C (Ri)
0,5
.
Những phơng trình chỉ có thể giải bằng thử sai, bắt đầu từ h = 0,81 m.
h = 0,9 m, Q/h
2
= 1,235,
)
/,
log()(
*
,
uk
R
Ri
h
Q
s

33
12

18
50
2


= 1,406
h = 1,0 m, Q/h
2
= 1,000,
)
/,
log()(
*
,
uk
R
Ri
h
Q
s

33
12
18
50
2


= 1,510
h = 0,85 m, Q/h

2
= 1,384,
)
/,
log()(
*
,
uk
R
Ri
h
Q
s

33
12
18
50
2


= 1,356.
Giá trị h = 0,85 m này đủ chính xác.
Re =

/Ru
= (1,37 x 0,3)/10
-6
= 4,11 x 10
5

(

600, dòng chảy rối)
u
*
k
s
/

= (0,0542 x 0,001)/10
-6
= 5,4 (chế độ quá độ).
6.6. Dòng chảy trên phân giới và dới phân giới
6.6.1. Vận tốc lan truyền của một sóng nguyên tố
Có thể xác định vận tốc c của một sóng nguyên tố đơn trên mặt một chất lỏng bằng
việc áp dụng phơng trình liên tục và phơng trình Bernoulli. Đối với ngời quan sát
chuyển động cùng với sóng, chất lỏng có vận tốc c theo hớng ngợc lại (xem hình 6.18).
Phơng trình liên tục dẫn đến:
c h = (c + dc)(h + dh)

91

hoặc
hdc +cdh = 0. (6.6.1)
Cột nớc tổng cộng trong mặt cắt 1 :
g
c
2
2
+ h.

Cột nớc tổng cộng trong mặt cắt 2 :
g
dcc
2
)(
2

+ h + dh.

Hình 6.18. Sự lan truyền của một sóng nguyên tố

Bỏ qua tổn thất năng lợng trên một khoảng cách nằm ngang nhỏ, cho thấy:

g
c
2
2
+ h =
g
dcc
2
)(
2

+ h + dh
hoặc
cdc + gdh = 0. (6.6.2)

Thay phơng trình (6.6.1) vào trong (6.6.2) dẫn đến
c(-

dh
h
c
) + gdh = 0
hoặc
c
2
= gh,
ghc
. (6.6.3)
Phơng trình (6.6.3) biểu thị vận tốc lan truyền của một sóng mặt nguyên tố.
Tỷ lệ của vận tốc trung bình độ sâu
u
và vận tốc lan truyền C đợc gọi là số Froude
Fr =
u
/c =
u
/(gh)
0,5
.
Một sóng mặt nguyên tố không thể lan truyền ngợc hớng dòng chảy khi
u
> c
hoặc

1
gh
u
. (6.6.4)

92

Dòng chảy đợc gọi là:
trên phân giới đối với
u
> c hoặc Fr > 1
dới phân giới đối với
u
< c hoặc Fr < 1
phân giới đối với
u
= c hoặc Fr = 1.
6.6.2. Dòng chảy phân giới và độ sâu phân giới
Dòng chảy gọi là phân giới khi năng lợng đặc trng hoặc cột nớc tổng cộng là nhỏ
nhất, xuất hiện khi số Froude bằng 1 (Fr = 1).
Độ sâu dòng chảy khi Fr = 1 đợc gọi là độ là sâu phân giới h
c
, bằng:

2
2
2
c
c
gh
q
g
u
h

(6.6.5)
hoặc
3/1
2
)(
g
q
h
c

(6.6.6)
trong đó: q =
c
hu
= lu lợng trên đơn vị bề rộng.
Cột nớc tổng cộng (h
e
) so với đáy lòng dẫn có thể biểu thị nh sau:

h
g
u
H
e

2
2

(6.6.7)
hoặc

h
gh
q
H
e

2
2
2

. (6.6.8)
Tham số H
e
là một hàm số của q và h (với

= 1).
Hình vẽ của hàm số này gồm một họ những đờng cong, từng đờng thể hiện một
giá trị q nhất định, nh trong hình 6.19.
Phơng trình (6.6.8) có hai đờng tiệm cận: h = H
e
và h = 0.
Mỗi đờng cong có cột nớc tổng cộng nhỏ nhất H
emin
nhận đợc từ dHe/dh = 0,
dẫn đến:

01
3
2

gh
q
dh
dH
e

(6.6.9)
cho ta:

3/1
2
)(
g
q
hh
c


hoặc

c
c
gh
u
(6.6.10)
trong đó h
c
là độ sâu phân giới (xem phơng trình 6.6.6).