Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Chương 7 ppt

95

Chơng

7. dòng chảy ổn định không đều
7.1. Mở đầu
Dòng ổn định không đều là dòng chảy trong đó vận tốc không đổi theo thời gian
(
u
/t = 0), nhng không phải là hằng số trong không gian (
u
/x 0,
u
/y 0). Tính
không đều có thể do những thay đổi không gian của mặt cắt ngang hoặc bởi những vật
chắn (đập tràn) trong dòng chảy.
Hai loại dòng không đều đợc xem xét: dòng chảy biến đổi dần (chậm) và dòng chảy
biến đổi gấp (nhanh).
Trong dòng biến đổi dần, vận tốc thay đổi dần dần từ mặt cắt này đến mặt cắt
khác; những đờng dòng thực chất là song song và có thể giả thiết áp suất thủy tĩnh.
Giả thiết khác là tổn thất năng lợng cũng đợc xem nh đối với dòng chảy đều.
Trong dòng biến đổi gấp, những thay đổi độ sâu, bề rộng và do đó biến đổi vận tốc
xảy ra trong những đoạn lòng dẫn ngắn; những đờng dòng uốn cong mạnh và áp suất
trong dòng chảy không phải là thủy tĩnh (ví dụ: nớc nhảy thuỷ lực, chảy tràn tự do,
dòng chảy qua đập tràn). Thông thờng, tổn thất năng lợng do ma sát đáy có thể bỏ
qua so với những tổn thất năng lợng khác (tổn thất do mở rộng).
Những dòng không đều cũng có thể nghiên cứu bằng việc giả thiết dòng thế, có
nghĩa là bỏ qua những ứng suất trợt do nhớt (độ nhớt bằng không).
Các lực dòng chảy tác động lên công trình do những biến đổi vận tốc và áp suất
cũng đợc xem xét trong chơng này.

7.2. Dòng thế
7.2.1. Mở đầu
Dòng thế là dòng chảy không quay với những thành phần vận tốc có thể dẫn xuất
từ một hàm thế (). Vì dòng chảy không quay (có nghĩa là xoáy bằng không, xem mục
4.6), phơng trình Bernoulli hợp lệ cho toàn bộ trờng dòng chảy (xem mục 5.4.3).
Từ bức tranh đờng dòng và phơng trình Bernoulli, có thể nhận đợc những biến
đổi vận tốc và áp suất trong trờng dòng chảy. Những đờng dòng cùng với đờng thế
liên quan với chúng hình thành một lới dòng (lới thuỷ động lực) có thể xây dựng dễ

96

dàng bằng phép thử sai.
Nhiều chất lỏng thực có thể biểu thị nh những dòng thế khi hiệu ứng ma sát nội
là nhỏ để bỏ qua, thông thờng là trờng hợp cho dòng chảy tăng tốc (gấp). Ví dụ, hình
7.3 cho thấy một lới dòng trong khu vực tăng tốc của ống dẫn. ứng dụng cách tiếp cận
lới dòng không cho ta những kết quả chính xác đối với những dòng chảy giảm tốc
nhanh.
7.2.2. Dòng thế hai chiều
Dòng thế có thể mô tả dới dạng thế vận tốc () và hàm dòng (). ứng dụng của
hàm thế () và hàm dòng () chỉ thích hợp cho một trờng dòng chảy hai chiều: u =
f(x,y) hoặc u = f(x,z).
Đối với trờng dòng chảy hai chiều thẳng đứng không quay, có thể xác định thế
vận tốc (), sao cho những thành phần vận tốc u và w là:

x
u

và
z
w




. (7.2.1)
Phơng trình liên tục nh sau:

0





z
w
x
u
(7.2.2)
hoặc

0
2
2
2
2

z
x

. (7.2.3)
Phơng trình (7.2.3) đợc gọi là phơng trình Laplace.
Đối với một hàm liên tục nó dẫn đến:

x
z
z
x






22
hoặc (7.2.4)

x
w
z
u

(7.2.5)
có nghĩa là dòng chảy không quay (xem mục 4.6) và cho thấy rằng những thành phần
vận tốc đơng nhiên có thể thể hiện nh những gradient của đại lợng vô hớng
(phơng trình 7.2.1).
Trong mục 4.3 đã chỉ ra rằng những thành phần vận tốc (u, w) cũng liên quan đến
hàm dòng (), nh sau:

z
u




và
x
w




. (7.2.6)
Một đờng mà dọc theo đó không đổi biểu thị một đờng dòng. Những giá trị
khác nhau thể hiện những đờng dòng khác nhau.
Thay phơng trình (7.2.6) vào phơng trình (7.2.2) dẫn đến:

97

0
22






x
z
z
x

(7.2.7)
nói rằng những thành phần vận tốc cũng có thể biểu thị nh gradient của một đại
lợng vô hớng (phơng trình 7.2.6).
Thế vận tốc và hàm dòng đều là những hàm số của cả x lẫn z. Nh vậy,

wdzudxdz
z
dx
x
d

(7.2.8)

udzwdxdz
z
dx
x
d









. (7.2.9)
Thế không đổi dọc theo một đờng đẳng thế, có nghĩa là d = 0.
Hàm dòng không đổi dọc theo một đờng dòng, có nghĩa là d = 0.
Hai họ đờng có thể xây dựng trong mặt phẳng x - z:
đờng đẳng thế: udx + wdz = 0 (7.2.10)
đờng dòng: wdx - udz = 0. (7.2.11)
Những phơng trình (7.2.10) và (7.2.11) thể hiện một hệ trực giao của nhiều đờng,
mà có nghĩa là taị bất kỳ giao điểm nào những đờng dòng đều thẳng góc với những
đờng đẳng thế (xem hình 7.1). Những đờng đẳng thế cũng thẳng góc với những biên
của khu vực dòng chảy, bởi vì những biên cũng là những đờng dòng.

Hình 7.1. Đờng dòng thẳng góc với đờng đẳng thế

7.2.3. Lới dòng (lới thuỷ động lực)
Lới dòng là một họ các đờng dòng và đờng đẳng thế tạo nên các hình vuông
cong. Trong một lới dòng khoảng cách giữa các đờng dòng () và khoảng cách giữa
các thế vận tốc () bằng nhau trong toàn bộ lới. Điều này có thể thấy bằng việc áp
dụng một hệ toạ độ tự nhiên (s, n), xem hình 7.1. Các vận tốc trong hệ là:

98


n
s
v
s








(7.2.12)

0

s
n
v
n


. (7.2.13)
Từ phơng trình (7.2.13) thấy rằng:








n
s
. (7.2.14)
Bằng việc lấy hình vuông (s = n), dẫn đến = .
Từ phơng trình (7.2.12) dẫn đến:
v
s
n = = q = const. (7.2.15)
Nh vậy, lu lợng giữa 2 đờng dòng bằng nhau và không đổi.

Hình 7.2. Lới dòng (lới thuỷ động lực)

Ví dụ trong hình 7.2, lu lợng q giữa 2 đờng dòng là q = 3 m
2
/s.
Khi biết lu lợng toàn bộ q, lu lợng q có thể rút ra từ q = q/m, trong đó m là
số lợng các khoảng đờng dòng giữa đáy và mặt nớc. Bằng cách đo những giá trị n,
có thể xác định vận tốc tại bất kỳ điểm nào:
v
s1
n1 = v
s2
n2 = q. (7.2.16)
Trờng áp suất có thể xác định từ phơng trình Bernoulli:

2
2
2
2
1
1
2
1
22
z
g
p
g
v
z

g
p
g
v
ss


. (7.2.17)
Với nhiều mục đích những lới dòng có thể vẽ tay. Những đờng dòng đợc vẽ cách
đều nhau một khoảng nào đó nơi dòng chảy song song. Số lợng đờng dòng phụ thuộc
vào độ chính xác mong muốn. Khoảng cách càng nhỏ, độ chính xác càng cao và đòi hỏi
nỗ lực lớn hơn khi vẽ lới dòng. Sau khi những đờng dòng đã đợc vẽ bằng mắt, vẽ
những đờng đẳng thế. Thực hiện những điều chỉnh liên tiếp cho cả những đờng dòng
lẫn những đờng đẳng thế, cho đến khi những hình vuông thích hợp xuất hiện. Để
kiểm tra, có thể vẽ những đờng chéo qua đỉnh các hình vuông, chúng cũng phải lập

99

thành một hệ trực giao.
7.2.4. ứng dụng
Dòng thế chảy qua một ống dẫn


Hình 7.3. Dòng thế qua một ống (Thijsse, 1951)

Hình 7.3 cho thấy lới dòng đối với dòng chất lỏng chảy từ một hồ chứa có mực
nớc cao thông qua một ống dẫn đến một hồ chứa có mực nớc thấp. Chênh lệch cột
nớc là h = 2 m.
áp dụng phơng trình Bernoulli từ điểm 1 đến điểm 2 dẫn đến:

2251575100
22
21
21
2
1
2
2
,,zz
g
p
g
p
g
u
g
u


u
2
= 6,26 m/s.
Lu lợng (q
2
) giữa những đờng dòng dới điểm 2 là q
2
= u
2
n
2

. Giá trị n
2
có
thể xác định bằng cách đo từ lới dòng, kết quả là n
2
= 0,22 m và do đó q
2
= 6,26 x
0,22 = 1,41 m
3
/s. Lu lợng toàn bộ q = 5q
2
= 7,05 m
2
/s.
Bây giờ có thể xác định vận tốc và áp suất tại những điểm khác bằng việc sử dụng
phơng trình liên tục và phơng trình Bernoulli.
Những kết quả cho trong bảng sau:


100

Điểm

z
(m)
n
(m)
u
(m/s)

u
2
/2g
(m)
p/g
(m)
z+p/g
(m)
1 5,00 0 0 0 5,00
2 1,25 0,22 6,26 2,00 1,75 3,00
3 0 0,32 4,29 0,92 4,08 4,08
4 1,15 0,11 12,52 8,00 -4,15 -3,00
5 0 0 0 5,00 5,00
6 3,00 - 0 0 0 3,00

Vận tốc lớn nhất xuất hiện tại điểm nơi hình vuông nhỏ nhất, gần điểm 4 (u
4
= 12,5
m/s. áp suất tại điểm 4 là số âm, có nghĩa là thấp hơn áp suất không khí. Những ví dụ
khác của những lới dòng cho trong hình 7.4.




Hình 7.4. Ví dụ của lới dòng

7.3. Dòng chảy rối biến đổi dần
7.3.1. Mở đầu
Trong trờng hợp của dòng biến đổi dần (ổn định) độ sâu nớc thay đổi chậm theo
chiều dài lòng dẫn. Những đờng dòng thực tế là song song nên áp suất chất lỏng là

thủy tĩnh. Giả thiết cơ bản cho những loại dòng chảy này là: có thể xác định ứng suất
trợt tại đáy cho mỗi đoạn bằng việc áp dụng công thức sức cản cho dòng đều. Nh vậy,

2
2
C
u
g
b


(7.3.1)
cũng hợp lệ cục bộ đối với dòng biến đổi dần. Điều này có nghĩa là tổn thất cột nớc
trong một đoạn cũng nh đối với một dòng chảy đều.
Hai loại đờng cong mặt nớc có thể phân biệt trong dòng không đều:
1. đờng nớc dâng khi độ sâu dòng chảy tăng theo hớng dòng chảy (dh/dx > 0),

101

và
2. đờng nớc hạ khi độ sâu dòng chảy giảm theo hớng dòng chảy (dh/dx < 0).
Một đờng nớc dâng phát sinh khi dòng chảy đợc ngăn bởi một đập tràn (hình
7.7.16). Một đờng nớc hạ phát sinh trong trờng hợp chảy tràn tự do (hình 7.7.16).
7.3.2. Phơng trình Belanger
Những đờng cong nớc dâng và nớc hạ có thể xác định bằng việc áp dụng
phơng trình Belanger, rút ra từ phơng trình (5.4.54), cho một mặt cắt ngang tuỳ ý
hoặc bằng phơng trình (5.4.55) cho một mặt cắt ngang hình chữ nhật rộng (b >> h).
Phơng trình Belanger cũng có thể dẫn xuất bằng việc áp dụng cân bằng động
lợng đối với một phần tử chất lỏng có chiều dài x và chiều cao h nh trong hình 7.5
đối với lòng dẫn chữ nhật rộng.

Lực áp suất thực tế trên đơn vị bề rộng (F
p
) theo hớng s là:

s
ds
dh
ghF
p


. (7.3.2)
Các lực khác theo hớng s là trọng lực F
G,H
và lực ma sát đáy F
w
:
F
G,H
= gh s sin (7.3.3)
F
w
= -
b
s. (7.3.4)


Hình 7.5. Các lực trong dòng không đều

Gia tốc của phần tử chất lỏng theo hớng s là:

ds
ud
u
. (7.3.5)
Phơng trình chuyển động dẫn đến:
F
s
= ma
s

102


))((sin
ds
ud
ushssgh
ds
dh
sgh
b


(7.3.6)
hoặc

0sin
h
g

ds
dh
g
ds
ud
u
b



. (7.3.7)
Trong trờng hợp độ dốc nhỏ sin = i
b
và phơng trình (7.3.7) trong hệ thống toạ độ
x z là:

0
h
gi
ds
dh
g
ds
ud
u
b
b


. (7.3.8)

Phơng trình liên tục dẫn đến:

0
)(

dx
ud
h
dx
dh
u
dx
hud
. (7.3.9)
Thay phơng trình (7.3.9) vào phơng trình (7.3.8) cho ta:

h
gi
ds
dh
h
u
g
b
b


)(
2
đối với i

b
0. (7.3.10)
Cuối cùng thay phơng trình (7.3.1) dẫn đến phơng trình Belanger:

b
b
i
gh
u
ihC
q
dx
dh
2
32
2
1
1



. đối với i
b
> 0 (7.3.11)
Phơng trình (7.3.11) cũng có thể biểu thị nh sau:

b
c
e
i

hh
hh
dx
dh
33
33



đối với i
b
> 0 (7.3.12)
trong đó:
3/2
)(
b
e
iC
q
h
= độ sâu cân bằng tại cùng lu lợng q ứng với công thức Chezy
3/1
2
)(
g
q
h
c

= độ sâu phân giới tại cùng q.

Đối với những giá trị đã cho của q, i
b
, và C, biết đợc những độ sâu h
e
và h
c
, ta có
phơng trình vi phân đối với độ sâu h. Nếu cần thiết, hệ số cũng đợc xét đến bằng
việc áp dụng h
c
= (q
2
/g)
1/3
.
Khi đã biết giá trị k
s
, độ sâu cân bằng h
e
có thể tính toán từ:
q = Ch
e
(h
e
i
b
)
1/2
= [18log(12h
e

/k
s
)]h
e
3/2
i
b
1/2
.
7.3.3. Phân loại những đờng cong mặt nớc

103


H×nh 7.6. Ph©n lo¹i nh÷ng ®êng cong mÆt níc (De Vries, 1985)


104

Phơng trình (7.3.12) có thể giải đợc khi biết q, C, i
b
và những điều kiện biên ở x =
0. Trong trờng hợp dòng dói phân giới (Fr < 1) cần biết độ sâu nớc hạ lu. Trong
trờng hợp dòng trên phân giới cần biết độ sâu nớc thợng lu, bởi vì sóng mặt không
thể lan truyền ngợc hớng dòng chảy trong trờng hợp này. Nhiều lời giải của phơng
trình (7.3.12) đã cho trong hình 7.6. Phân biệt những loại sau:
A Loại đờng cong cho độ dốc đáy ngợc
H Loại đờng cong cho đáy nằm ngang
M Loại đờng cong cho độ dốc đáy thuận vừa phải (h
e

> h
c
)
C Loại đờng cong cho dốc đáy thuận tới hạn (h
e
= h
c
)
S Loại đờng cong cho độ dốc đáy thuận rất dốc (h
e
< h
c
).
Độ dốc phân giới xuất hiện khi h
e
= h
c
hoặc i
c
= g/C
2
, có thể dẫn xuất từ những biểu
thức đối với h
e
và h
c
(phơng trình 7.3.12). Dốc vừa phải là i
b
< i
c

và rất dốc là i
b
> i
c
.
Nhận xét
1. Đờng cong mặt nớc đợc biết nhiều nhất là đờng nớc dâng thợng lu một
đập tràn trong trờng hợp độ dốc đáy vừa phải (i
b
= 10
-4
). Nó phát sinh đờng cong M
1

vì h > h
e
> h
c
. Độ sâu nớc giảm theo hớng thợng lu (xem hình 7.6).
2. Trong trờng hợp đáy ngang độ sâu cân bằng h
e
lớn vô hạn (h
e
= ). Nh vậy
không thể h > h
e
. Nh vậy, đờng cong loại H
1
không tồn tại.
3. Trong trờng hợp h

e
= h
c
thấy rằng dh/dx = i
b
dẫn đến mặt nớc nằm ngang đối
với h > h
e
= h
c
và h < h
e
= h
c.

Các ví dụ:
Vấn đề trong tính toán những đờng cong mặt nớc là tìm đợc độ sâu nớc thích
hợp, hoặc hạ lu trong trờng hợp dòng dói phân giới (Fr < 1) hoặc thợng lu trong
trờng hợp dòng trên phân giới (Fr > 1).
1. Lối ra tự do hoặc chảy tràn tự do
Trong trờng hợp đáy dốc vừa phải, có nghĩa là i
b
< i
c
với i
c
= g/C
2
và độ sâu nớc h
0

tại đầu cuối lòng dẫn bằng độ sâu phân giới, nh vậy là h
0
= h
c
(xem hình 7.7.1). Đó là
quy luật tự nhiên mà mặt nớc tìm đợc vị trí thấp nhất có thể của nó ứng với độ cao
năng lợng nhỏ nhất H
emin
, nh đã cho trong mục 6.6.2. Vì dòng chảy là phân giới, cần
sử dụng độ sâu hạ lu h
0
= h
c
= (q
2
/g)
1/3
làm điều kiện biên. Đờng mặt nớc là một
đờng cong loại M
2
. Nếu mực nớc h
A
trong thuỷ vực tại hạ lu lòng dẫn lớn hơn h
c
nh-
ng nhỏ hơn h
e
(trạng thái 2), sẽ nhận đợc đờng cong M
2

khác. Nếu mực nớc h
A
lớn
hơn h
e
(trạng thái 3), sẽ đợc nhận đợc đờng cong M
1
.
Trong trờng hợp đáy rất dốc, có nghĩa là i
b
> i
c
và h
c
> h
e
, độ sâu nớc tại đầu cuối
lòng dẫn sẽ bằng độ sâu cân bằng h
e
= (q/Ci
b
0,5
)
2/3
khi lòng dẫn đủ dài. Vì dòng chảy trên
phân giới (Fr > 1), độ sâu nớc trong lòng dẫn phụ thuộc vào điều kiện biên thợng lu

105

(xem hình 7.7.2). Nếu lòng dẫn ngắn, thì có thể không đạt đến độ sâu cân bằng, và độ

sâu h
0
có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn h
e
phụ thuộc vào độ sâu nớc thợng lu.




Hình 7.7.2. Lối ra tự do trong trờng hợp rất dốc (Fr > 1)

Nếu độ sâu h
A
lớn hơn h
c
, nớc nhảy thủy lực sẽ phát sinh ở giao điểm của đờng
cong S
1
và độ sâu h
2
(phơng trình 7.4.11).
2. Lối vào tự do
Trong trờng hợp độ dốc vừa phải có thể tính toán độ sâu h
0
ở lối vào của lòng dẫn
bằng việc áp dụng phơng trình Bernoulli (xem hình 7.7.3):

g
u
hh

A
2
2
0
0

.
Vì dòng chảy dới phân giới, sẽ hình thành một bậc nớc.
Trong trờng hợp rất dốc độ sâu h
0
ở lối vào bằng độ sâu phân giới h
c
. Vì dòng chảy
trên phân giới (Fr > 1), điều kiện biên áp dụng ở thợng lu phát sinh đờng cong S
2

(hình 7.7. 4).

Hình 7.7.1. Lối ra tự do trong trờng hợp độ dốc vừa phải (Fr < 1)

106


Hình 7.7.3. Lối vào tự do trong trờng hợp độ dốc vừa phải (Fr < 1)



Hình 7.7.4. Lối vào tự do trong trờng hợp rất dốc (Fr > 1)

3. Đập tràn chảy trên mặt

Hình 7.7.5. Đập tràn trong trờng hợp độ dốc vừa phải (Fr < 1)

Thông thờng, những đập tràn đợc sử dụng để làm tăng độ sâu nớc thợng lu
đập cho mục đích giao thông thuỷ. Hình 7.7.5 cho thấy một đập tràn tràn trong trờng
hợp độ dốc vừa phải (i
b
< i
c
). Độ sâu nớc hạ lu đập tràn sẽ bằng độ sâu cân bằng. Độ
sâu nớc ở trên đập tràn sẽ xấp xỉ bằng độ sâu phân giới h
c
. Độ sâu nớc ngay tại
thợng lu đập tràn sẽ bằng h
0
= d + H, trong đó d là chiều cao đập tràn và H là mực
nớc thợng lu đập tràn. Mực nớc H dẫn xuất từ công thức lu lợng cho đập tràn
(xem mục 7.4.7) là H = q
2/3
với là hệ số liên quan đến loại đập tràn và q là lu lợng

107

trên đơn vị bề rộng cần biết.
Vì dòng chảy dới phân giới, điều kiện biên để tính toán mặt nớc cho tại hạ lu
h
0
= d + H, đờng mặt nớc là đờng cong M
1

.
4. Đập chảy dới sâu
Có thể phân biệt hai trạng thái: dòng dới phân giới (hình 7.7.6) hoặc dòng trên
phân giới (hình 7.7.7) ở hạ lu đập tràn trong trờng hợp độ dốc vừa phải.


Hình 7.7.6. Đập chảy dới sâu (dốc vừa phải)

Hình 7.7.6 cho thấy dòng dới phân giới ở hạ lu đập tràn. Những độ sâu nớc hạ
lu và thợng lu đập tràn liên quan với nhau qua công thức tính lu lợng nh sau:
q = a[2g(h
0
- h
e
)]
0,5

trong đó là hệ số liên quan đến loại đập tràn và a là chiều cao mở (xem mục 7.4.7). Độ
sâu nớc h
0
có thể tính toán khi biết q, , a và h
e
. Vì dòng chảy dới phân giới, có thể
tính toán đờng cong mặt nớc M
1
bằng việc áp dụng h
0
làm điều kiện biên hạ lu.

Hình 7.7.7. Đập chảy dới sâu (dốc vừa phải)

Hình 7.7.7 cho thấy dòng trên phân giới hạ lu đập tràn. áp dụng phơng trình
Bernoulli và phơng trình cân bằng động lợng, lu lợng có thể biểu thị nh sau:

0
0
2
ha
g
ahq






108

trong đó a là chiều cao mở và là hệ số co hẹp (h
1
= a, = 0,6). Độ sâu nớc h
0
có thể
tính toán khi q, và a đợc biết.
Mặt nớc giữa đập tràn và nớc nhảy thủy lực là đờng cong M
3
. Vị trí của nớc
nhảy thủy lực đã cho trong mục 7.4.3.
5. Sự quá độ từ đáy trơn đến đáy nhám

a) dốc vừa phải: i
b
< i
c
và h
c
< h
e
và Fr < 1


Hình 7.7.8.

b) rất dốc: i
b
> i
c
và h
c
> h
e
và Fr > 1

Hình 7.7.9.

6. Sự quá độ độ dốc đáy
a) dốc vừa phải: i
b
< i
c

và h
c
< h
e
và Fr < 1


Hình 7.7.10.

b) rất dốc: i
b
> i
c
và h
c
> h
e
và Fr > 1

109


H×nh 7.7.11.
7. Sù qu¸ ®é tõ dèc võa ph¶i ®Õn rÊt dèc


H×nh 7.7.12.
8. Sù qu¸ ®é tõ rÊt dèc ®Õn dèc võa ph¶i
Níc nh¶y sÏ ph¸t sinh trong lßng dÉn rÊt dèc khi ®é s©u h
e2

lín h¬n ®é s©u h
2
cña
níc nh¶y (ph¬ng tr×nh 7.1.1.1). NÕu kh«ng, níc nh¶y sÏ ph¸t sinh trong lßng dÉn
dèc võa ph¶i.


H×nh 7.7.13.


110

9. Sự quá độ trong bề rộng dòng chảy
a) dốc vừa phải: i
b
< i
c
và h
c
< h
e
và Fr < 1

b) rất dốc: i
b
> i
c
và h
c
> h

e
và Fr > 1
Nếu đoạn 2 ngắn, thì đờng cong S
2
không thể tự nó phát triển trong đoạn đó; thay
vào đó phát sinh một bậc nớc.
10. Kết hợp những đờng cong mặt nớc
Hình 7.7.16 cho thấy các kết hợp của những đờng cong mặt nớc cho độ dốc đáy
vừa phải và rất dốc.



Hình 7.7.14.
Hình 7.7.15.

111




Hình 7.7.16. (Henderson, 1970)

7.3.4. Tính toán giải tích những đờng cong mặt nớc
Có thể thực hiện tính toán giải tích cho những trạng thái đặc biệt, nh dòng chảy
trên một đáy nằm ngang (i
b
= 0). Phơng trình (7.3.12) có thể biểu thị nh sau:

33
2

2
3
c
b
hh
C
q
ih
dx
dh



. (7.3.13)
Thay i
b
= 0 dẫn đến:

33
2
2
c
hh
C
q
dx
dh

hoặc
dhhhdx
C
q
c
)(
33
2
2

(7.3.14)

)(
000
33
2
2
dhhdhh
q
C
xd
h
h
c
h
h
x
x

(7.3.15)

)](
4
1
)([
4
0
4
101
3
2
2
01
hhhhh
q
C
xx
c

(7.3.16)

)](
4
1
)([
4
0
4
101

3
2
2
01
hhhhh
q
C
xx
c

(7.3.17)
trong đó:
x
0
= vị trí nơi điều kiện biên h = h
0
đợc biết (hình 7.8)

112

x
1
= vị trí nơi độ sâu nớc h bằng h
1
(hình 7.8).
Hệ số Chezy giả thiết không đổi, nhng cũng có thể tính theo C = 18log(12 h/k
s
) với
h =1/2(h
0

+ h
1
) = độ sâu nớc trung bình trên khoảng cách x
1
x
0
.


Hình 7.8. Tính toán giải tích đờng cong mặt nớc

Những tính toán giải tích cho nhiều trạng thái phức tạp hơn có thể thực hiện bằng
phơng pháp của Bresse.
Phơng pháp của Bresse
Độ sâu nớc đợc biểu thị nh sau: h = h
e.

Phơng trình Belanger biểu thị nh sau:

b
e
c
e
e
i
h
h
h
h
h

h
dx
dh
3
3
3
3
3
3
1



(7.3.18)

b
b
e
i
g
iC
dx
d
h
2
3
3
1

d
g
iC
i
h
dx
b
b
e
1
3
2
3








d

g
iC
i
h
dx
b
b
e
1
11
3
2
3





113




d
g
iC
i
h
dx
b

b
e
]
1
1
1[
3
2





]
1
1
)1([
3
2



d
g
iC
d
i
h
dx
b

b
e


. ( 7.3.19)
Tích phân cho ta ( = 1 C
2
i
b
/g):

]
1
)[(
1
0
3
0101








d
i
h
xx

b
e
(7.3.20)
))]()(()[(
010101


b
e
i
h
xx
. (7.3.21)
Những giá trị do Bresse (xem Bảng 7.1) đa ra cho một lòng dẫn rộng (b >> h).
Hớng x dơng tính theo hớng dòng chảy. Hệ số Chezy giả thiết không đổi, nhng
cũng có thể biểu thị bằng C = 18log(12h/ k
s
) với h =1/2(h
0
+ h
1
) = độ sâu nớc trung bình
trên khoảng cách x
1
x
0
.


Hình 7.9. Tính toán đờng cong mặt nớc

Ví dụ
Một đập tràn trong sông làm tăng độ sâu nớc h = 0,5 m so với độ sâu cân bằng
h
e
. Lu lợng trên đơn vị bề rộng là q = 1,8 m
2
/s. Hệ số Chezy là C = 45 m
0,5
/s. Độ dốc
đáy i
b
= 10
-4
. Tính toán độ sâu nớc theo hàm số của x.

Bảng 7.1. Những giá trị

theo phơng pháp Bresse



(

)



(

)



(

)



(

)
0, 0, 0,90 1,218 1,002 1,953 1,18 0,509
0,10 0,1 0,91 1,257 1,005 1,649 1,20 0,479

114

0,20 0,2 0,92 1,300 1,010 1,419 1,25 0,420
0,30 0,302

0,93 1,348 1,02 1,191 1,30 0,373
0,40 0,407

0,94 1,403 1,03 1,060 1,35 0,335
0,50 0,517

0,95 1,467 1,04 0,970 1,40 0,304
0,60 0,637

0,96 1,545 1,05 0,896 1,50 0,257
0,65 0,703

0,97 1,644 1,06 0,838 1,60 0,218
0,70 0,776

0,98 1,783 1,07 0,790 1,70 0,190
0,75 0,857

0,990 2,017 1,08 0,749 1,80 0,166
0,80 0,950

0,995 2,250 1,09 0,712 1,90 0,146
0,82 0,993

0,998 2,690 1,10 0,681 2,00 0,132
0,84 1,040

0,999 2,788 1,12 0,626 2,50 0,082
0,86 1,092

1,000

1,14 0,580 3,00 0,055
0,88 1,151

1,001 2,184 1,16 0,541 lớn 1/2

2

1. Tính toán độ sâu cân bằng và độ sâu phân giới (

= 1)

m
Ci
q
h
b
e
522
32
50
,)(
/
.



m
g
q
h
c
690
31
2
,)(
/

979401
2
,
g
iC
b

.
Đáy dốc vừa phải và dơng và h > h
e
> h
c
, có nghĩa là đờng cong mặt nớc loại M
1

(xem hình 7.6).
x = 0 h = h
0
= 2,52 + 0,5 = 3,02 m


0
= h
0
/h
e
= 3,02/2,52= 1,2

(

0
) = + 0,479
x
1
= ? h
1
= 2,90 m

1
= 2,90/2,52 = 1,15

(

1
) = + 0,560
x
1
= 0 + 2,52/10
-4
[(1,15 - 1,20) - 0,98(0,56 - 0,479)] = -3260 m
x
2
= ? h
2
= 2,80 m

2

= 2,80/2,52 = 1,11

(

2
) = + 0,655
x
2
= 0 + 2,52/10
-4
[(1,11 - 1,20) - 0,98(0,655 - 0,479)] = -6615 m.
Nh vậy, độ sâu nớc sẽ là 2,9 m ở khoảng cách là 3260 m thợng lu đập tràn. Độ
sâu nớc là 2,8 m ở khoảng cách 6615 m thợng lu đập tràn.
Trong trờng hợp trên hệ số Chezy giả thiết không đổi. Thông thờng, giá trị k
s
cho
trớc. Ví dụ, nếu k
s
= 0,05 m, độ sâu cân bằng nh sau:
q = Ch
e
(h
e
i
b
)
1/2
= 18log(12h
e
/k

s
) h
e
3/2
i
b
1/2
rút ra h
e
= 2,35 m.
Điều này cho ta:

115

x = 0 h = h
0
= 2,35 + 0,5 = 2,85 m


0
= h
0
/h
e
= 2,85/2,52= 1,21

0
= + 0,470
x
1

= ? h
1
= 2,75 m

1
= h
1
/h
e
= 2,75/2,35 = 1,17

1
= + 0,525
h
0-1
= 1/2(h
0
+ h
1
) = 2,8 m C = 18log(12 x 2,8/0,05) = 50,9 m
0,5
/s

974.01
2
10


g
iC

b


x
1
= 0 + 2,35/10
-4
[(1,17 - 1,21) - 0,974(0,525 - 0,470)] = -2199 m.
Nh vậy, bây giờ độ sâu nớc sẽ là 2,75 m ở cách thợng lu đập tràn 2199 m.
7.3.5. Tính toán đờng cong mặt nớc bằng phơng pháp số
Với một lòng dẫn rộng, đờng cong mặt nớc có thể biểu thị nh sau:

b
c
e
i
hh
hh
dx
dh
33
33



(7.3.22)
Với một lòng dẫn có mặt cắt ngang tuỳ ý (nhng b
s
= bề rộng trên mặt = const), có
thể tính toán đờng cong mặt nớc từ phơng trình (5.4.54), dẫn đến:

b
s
b
b
i
gA
Qb
gR
i
dx
dh
3
2
1






. (7.3.23)
ứng suất trợt tại đáy
2222
2
// ACgQCug
b


. Thay thế giá trị này vào

phơng trình (7.3.23) dẫn đến:

b
s
b
i
gA
Qb
ARC
Q
i
dx
dh
3
2
2
2
1




. (7.3.24)
Độ sâu nớc có thể tính toán bằng việc áp dụng phơng pháp dự tính - hiệu chỉnh.
Hệ số Chezy có thể lấy không đổi (khi những biến đổi độ sâu nhỏ) hoặc bằng C = 18
log(12R/k
s
).
Giả thiết độ sâu nớc h
k

ở điểm x
k
đợc biết (điều kiện biên). Độ sâu nớc h
k+1
ở
điểm x
k+1
có thể tính toán nh sau (xem hình 7.10):

kkkkk
dx
dh
xxhh ))((
1
'
1


, phơng trình dự tính. (7.3.25)
Phơng trình (7.3.25) cho ta giá trị dự tính. Một giá trị chính xác hơn của độ sâu
nớc tại điểm x
k+1
có thể tính toán bằng việc áp dụng phơng trình hiệu chỉnh:

])()[(
2
1
)(
'
111

kkkkkk
dx
dh
dx
dh
xxhh
, phơng trình hiệu chỉnh. (7.3.26)

116


Hình 7.10. Phơng pháp dự tính - hiệu chỉnh

Ví dụ
Ví dụ của hình 7.9 đợc áp dụng: q = 1,8 m
2
/s, C = 45 m
0,5
/s, ib = 10
-4
, h
e
= 2,52 m,
h
c
= 0,69 m, h
x=0
= 3,02 m. Bớc không gian x = x
k+1

- x
k
giả sử là -3000 m (dấu âm ng-
ợc hớng dòng chảy).

Dự tính 1:
00
'
3000
))((


xxmx
dx
dh
xhh


.,,,
,,
,,
,
m89321270023
10
690023
522023
3000023
4
33
33

Hiệu chỉnh 1:
])()[(
2
1
)(
'
3000003000

xxxmx
dx
dh
dx
dh
xhh


.,,,
),,(,
]
,,
,,
,,
,,
[,

m
xx
xx
9052150023
1034304240
2
1
3000023
10
6908932
5228932
690023
522023
2
1
3000023
4
4
33
33
33
33

Dự tính 2:
30003000
'
6000
))((


xxmx
dx
dh
xhh


.
,
,
,
m
799210609052




Hiệu chỉnh 2:
])()[()(
'
600030003000

6000
2
1



xxx
mx
dx
dh
dx
dh
xhh


117


.
,
,
,
m
811209409052




Phơng trình hiệu chỉnh chỉ đa ra đánh giá hơi tốt hơn về độ sâu nớc. Những kết
quả chính xác hơn có thể nhận đợc bằng việc áp dụng bớc x nhỏ hơn. Về cơ bản, giá

trị x cần phải nhỏ trong khu vực gần đập tràn, do những biến đổi độ sâu lớn trong khu
vực đó. Xa hơn về thợng lu đập tràn, giá trị x có thể tăng.
7.4. Dòng chảy rối biến đổi nhanh
7.4.1. Mở đầu
Trong trờng hợp dòng biến đổi nhanh (ổn định), độ sâu nớc thay đổi rất nhanh
dọc lòng dẫn. Những đờng dòng cong rất mạnh, nên áp suất chất lỏng là phi thuỷ tĩnh.
Thông thờng, ma sát đáy có thể bỏ qua vì dòng biến đổi nhanh là một hiện tợng cục
bộ trên một khoảng cách tơng đối ngắn.
Dòng biến đổi nhanh có thể chia thành:
1. dòng chảy giảm tốc nhanh (mở rộng đột ngột, nớc nhảy thủy lực),
2. dòng chảy tăng tốc nhanh (đập tràn đỉnh hẹp và rộng, hình 7.11).
Nói chung, phơng trình Bernoulli có thể ứng dụng trong dòng chảy tăng tốc, trong
khi phơng trình cân bằng động lợng thích hợp hơn cho những dòng chảy giảm tốc.


Hình 7.11. Đập tràn đỉnh hẹp và rộng

7.4.2. Phơng trình Carnot cho dòng chảy giảm tốc
Phơng trình Carnot biểu thị tổn thất năng lợng do sự mở rộng đột ngột dòng
chảy, nh trong hình 7.12.
Phơng trình Bernoulli từ mặt cắt 1 đến mặt cắt 2 dẫn đến:
L
Hh
g
u
zh
g
u

2

2
2
11
2
1
22
(7.4.1)

118

h
g
uu
hzh
g
uu
H
L





2
)(
2
2
2
2
1

211
2
2
2
1
(7.4.2)
trong đó:
H
L
= tổn thất năng lợng
h = chênh lệch cao độ mặt nớc (= h
2
- (h
1
+z
1
)).


Hình 7.12. Sự mở rộng đột ngột

Cân bằng động lợng cho khối lợng chất lỏng giữa mặt cắt 1 và 2 dẫn đến:
12
2
21111
2
1
2
1
)(

2
1
2
1
uquqghzzhhggh


(7.4.3)
122
2
2
2
2
2
111
2
1
2
1
)2(
2
1
2
1
uhuuhughzzhggh



)(
2

1
)(
2
1
12
2
2
2
2
2
11
uuhughzhg


)(])[(
2
1
12
2
2
2
2
2
11
uuhuhzhg

)()])([(
2
1
12

2
2
211211
uuhuhzhhzhg

)()]2)([(
2
1
12
2
2
2211211
uuhuhhzhhzhg

)()]2)([(
2
1
12
2
2
2
uuhuhhhg
. (7.4.4)
Số hạng h có thể bỏ qua so với số hạng 2h
2
, kết quả là:

119

)(2)(

2
1
12
2
2
2
uuhuhhg

g
uuu
h
)(
122


. (7.4.5)
Thay phơng trình (7.4.5) vào phơng trình (7.4.2) dẫn đến:

g
uuu
g
uu
H
L
2
)(2
2
122
2
2

2
1






g
uu
H
L
2
)(
2
21


. (7.4.6)
Phơng trình (7.4.6) đợc gọi là phơng trình Carnot và chỉ hợp lệ đối với dòng
chảy trong lòng dẫn hở nếu h << h
2
. Phơng trình này chính xác đối với dòng chảy
trong ống.
Nếu số hạng h không bị bỏ qua so với số hạng 2h
2
(xem phơng trình 7.4.4), tổn
thất năng lợng có thể biểu thị nh sau:

g

uuu
hh
h
g
uu
H
L
2
)(
2
4
2
122
2
2
2
2
2
1





. (7.4.7)
Phơng trình này có thể biểu thị nh sau:
g
uuu
hzh
hzh

g
uu
H
L
2
)(2
2
)(
212
211
211
2
21






. (7.4.8)
Phơng trình (7.4.8) biểu thị chính xác tổn thất năng lợng khi mở rộng đột ngột
trong một lòng dẫn hở.
Cuối cùng, chú ý rằng cần phải tính đến hệ số để thể hiện hiệu ứng của profil vận
tốc (xem mục 7.3. 2).
Phơng trình Carnot (7.4.6) sẽ trở thành:

g
uu
H
L

2
)(
2
2
2
1
1



. (7.4.9)
7.4.3. Nớc nhảy thủy lực
Nớc nhảy thủy lực là sự quá độ từ dòng trên phân giới (Fr > 1) thợng lu của
nớc nhảy tới dòng dới phân giới (Fr < 1) hạ lu của nớc nhảy, nh trong hình 7.13.
Nớc nhảy thủy lực có thể xuất hiện ở chân một đờng tràn và đằng sau một cửa cống.
Những loại nớc nhảy với chiều dài L có thể phân biệt nh sau:
Fr,1 = 1 2 : nớc nhảy hình sóng, L =3h
2

Fr,1 = 2 2,5 : nớc nhảy yếu, L =4h
2

Fr,1 = 2,5 5 : nớc nhảy dao động, L =5h
2