Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Chương 8 docx

141

Chơng 8. Dòng không ổn định: sóng dài trên mặt tự
do
8.1. Mở đầu
Những sóng với độ dài lớn hơn 20 lần độ sâu nớc (L > 20 h) đợc gọi là những sóng
dài trên mặt tự do. Những ví dụ của sóng dài là: sóng lũ trong sông, sóng thủy triều
trong đại dơng, biển và cửa sông, sóng tịnh tiến (bore và tsunami) và sóng đứng trong
cảng (sóng chấn động). Một số ví dụ đợc cho trong hình 8.1. Một giả thiết cơ bản của lý
thuyết sóng dài là áp suất chất lỏng thuỷ tĩnh, có nghĩa là bỏ qua những gia tốc theo
hớng thẳng đứng (hớng z).
Trong trờng hợp dòng chảy đồng nhất (mật độ không đổi) những phơng trình
cơ bản có thể lấy trung bình độ sâu để đa ra một mô hình hai chiều ngang (2DH) cho
vận tốc và mực nớc trong đại dơng, biển, vịnh và cửa sông. Tiếp theo, việc tích phân
theo bề rộng dẫn đến mô hình một chiều (1D) cho dòng chảy trong sông và cửa sông.
Trong chơng này mô tả các chủ đề sau đây:
- các phơng trình cơ bản
- các sóng tiến
- các sóng đứng
- các sóng tịnh tiến
- sóng lũ trong sông
- sóng thuỷ triều
- dòng chảy mật độ
- dòng chảy gió
8.2. Những phơng trình cơ bản
8.2.1. Phơng trình liên tục và chuyển động
Những phơng trình cơ bản trung bình độ sâu mô tả hiện tợng sóng dài là (5. 2.
11), (5. 4. 49) và (5. 4. 50) cho dòng chảy đồng nhất hai chiều ngang, và (5.2.7) và (5. 4.
53) cho dòng chảy đồng nhất một chiều. Với lý do để đơn giản và rõ ràng, ở đây sự chú ý

142

tập trung về những phơng trình 1 chiều. Bằng cách thể hiện ứng suất trợt tại đáy là

b
= gQ
2
/(A
2
C
2
) những phơng trình là:

Hình 8.1. Những ví dụ sóng dài trên mặt tự do


143

liên tục:
0





x
Q
t
h
b

(8. 2. 1)
chuyển động:










0
1
)(
2
2
x
s
FQQ
ARC
g
x
z
gA
A
Q
xt
Q

(8. 2. 2)
trong đó:
b = bề rộng lòng dẫn (không đổi theo thời gian),
h
= độ sâu nớc trung bình bề rộng,
Q = lu lợng (= A
u
),
A = diện tích mặt cắt ngang (= b
h
),
R = bán kính thủy lực (= A/),
C = hệ số Chezy (= 18 log(12h/k
s
)),
u
= vận tốc dòng chảy trung bình mặt cắt ngang,
z
b
= cao độ đáy trên mặt chuẩn nằm ngang (i
b
= - dz
b
/dx),
z
s
= cao độ mặt nớc trên mặt chuẩn nằm ngang (=
h
+ z

b
),
1 = hệ số,
F
x
= ngoại lực trên đơn vị độ dài (N /m) theo hớng x (lực gió, vv.),
x = toạ độ dọc,
t = thời gian,
g = gia tốc trọng trờng.
Trong sông, mặt cắt ngang thờng gồm một lòng dẫn chính mà lu lợng chảy qua
đó, và bãi ngập nông chủ yếu có chức năng nh những khu chứa, đặc biệt khi có mặt
các kè chỉnh trị lòng dẫn. Trong trờng hợp đó, lu lợng Q thể hiện lu lợng trong
lòng dẫn chính và diện tích A trong (8.2.2) cần thay thế bằng diện tích A
s
của lòng dẫn
chính (A
s
= b
s
h
). Bề rộng b
s
là bề rộng trên mặt của lòng dẫn chính. Bề rộng b trong
phơng trình (8.2.1) thể hiện bề rộng toàn bộ của sông kể cả những vùng ngập lũ.
Trong trờng hợp một lòng dẫn rộng (b >> h) với mặt cắt ngang hình chữ nhật và
bề rộng không đổi, các phơng trình (8.2.1) và (8.2.2) đơn giản thành (với = 1):
liên tục:
0
)(

x
hu
t
h
(8. 2. 3)
chuyển động:










0
1
2
x
Fuu
hC
g
x
h

g
x
u
u
t
u

(8. 2. 4)
trong đó:
u
= vận tốc dòng chảy trung bình độ sâu,
h = độ sâu nớc,
i
b
= độ dốc đáy (-dz
b
/dx),
F
x
= ngoại lực trên đơn vị diện tích.

144

Trong phơng trình chuyển động (phơng trình 8.2.4) có thể phân biệt những số
hạng sau đây:
Số hạng 1: gia tốc của thể tích chất lỏng do những lực thay đổi theo thời gian và
đợc gọi là số hạng gia tốc địa phơng.
Số hạng 2: gia tốc của thể tích chất lỏng do những lực thay đổi theo hớng x và
đợc gọi là số hạng gia tốc bình lu hoặc đối lu.
Số hạng 3: áp lực liên quan đến độ dốc mặt nớc theo hớng x (xem hình 7.5), theo

hớng mực nớc thấp nhất.
Số hạng 4: lực ma sát đáy tác động lên thể tích chất lỏng.
Số hạng 5: trọng lực tác động lên thể tích chất lỏng.
Số hạng 6: ngoại lực bổ sung tác động lên thể tích chất lỏng, nh các lực do gió và
sóng.
Nhiều kỹ thuật giải các phơng trình sóng dài với những điều kiện biên và điều
kiện ban đầu thích hợp. Những phơng pháp giải tích có thể áp dụng sau khi đơn giản
hóa những phơng trình cơ bản. Phơng pháp đặc trng có thể áp dụng sau khi tuyến
tính hoá những phơng trình cơ bản. Hệ phơng trình đầy đủ chỉ có thể giải đợc bằng
việc áp dụng kỹ thuật số.
8.2.2. Phân tích (đánh giá) bậc đại lợng
Thông tin về độ lớn tơng đối của các số hạng trong phơng trình chuyển động
(8.2.4) có thể nhận đợc bằng phân tích bậc đại lợng. Mỗi số hạng đợc biểu thị nh
tích của một hệ số quy mô không đổi và một biến phi thứ nguyên, nh sau:
x = L x'
h = D h'
u
= U u'
t = T t
trong đó: L = quy mô độ dài (bớc sóng trong trờng hợp đáy nằm ngang), D = quy mô
độ sâu, U = quy mô vận tốc dòng chảy, T = quy mô thời gian (chu kỳ sóng).
Thay thế những số hạng này vào phơng trình (8.2) cho trờng hợp i
b
= 0 và F
x
= 0
dẫn đến:

0
'

''
'
'
'
'
'
'
'
2
22









h
uu
D
C
gU
x
h
L
gD
x
u

u
L
U
t
u
T
U
. (8.2.5)
Có thể đánh giá mức độ quan trọng tơng đối của mỗi số hạng bằng hệ số quy mô
của nó. Số hạng 4 là số hạng ma sát đáy, đợc lấy làm số hạng tham khảo. Nhân tất cả
các số hạng với C
2
D/gU
2
dẫn đến:

0
'
''
'
'
'
'
'
'
'
2
2222

h
uu
x
h
LU
DC
x
u
u
gL
DC
t
u
gUT
DC
. (8.2.6)
Đặt số Froude Fr
2
= U
2
/gD hoặc U
2
= gDFr

2
dẫn đến:

145


0
'
''
'
'
'
'
'
'
'
2
22
5.1
5.02









h

uu
x
h
LgFr
DC
x
u
u
gL
DC
t
u
TFrg
DC
. (8.2.7)
Những hệ số quy mô của các số hạng so với số hạng ma sát đáy là:
Số hạng 1, thể hiện lực gia tốc địa phơng:
TFrg
DC
51
502
,
,
.
Số hạng 2, thể hiện gia tốc lực đối lu:
gL
DC
2
.
Số hạng 3, thể hiện lực độ dốc mặt nớc:

LgFr
DC
2
2
.
Số hạng 4, thể hiện lực ma sát đáy: 1.
Số hạng 1, 2 hoặc 3 có thể bỏ qua so với số hạng 4 khi giá trị của nó << 1).
áp dụng C = 50 m
0,5
/s, g = 10 m /s
2
và Fr = 0,1, thấy rằng:
Số hạng 1 = 1000D
0,5
/T.
Số hạng 2 = 250D/L.
Số hạng 3 = 25000D/L.
Số hạng 4 = 1.
Xét những trờng hợp sau đây:
Sóng thủy triều trong cửa sông: D = 10 m, T = 10 000 s, L = 100 000 m

Số hạng 1 = O (10
0
)
Số hạng 2 = O (10
-1
)
Số hạng 3 = O (10
0
)

Số hạng 4 = O (10
0
)
Số hạng gia tốc đối lu 2 có thể bỏ qua khi độ dốc lòng dẫn nhỏ (i
b
= 0).
Sóng lũ trong sông: D = 10 m, T = 100 000 s, L = 100 000 m
Số hạng 1 = O (10
-1
)
Số hạng 2 = O (10
-1
)
Số hạng 3 = O (10
0
)
Số hạng 4 = O (10
0
)
Số hạng 1 và 2, gia tốc đối lu và địa phơng có thể bỏ qua.
Sóng đứng trong cảng: D = 10 m, T = 1 000 s, L 10 000 m, D / L 0,001
Số hạng 1 = O (10
1
)
Số hạng 2 = O (10
0
)
Số hạng 3 = O (10
1
)

Số hạng 4 = O (10
0
)
Số hạng 2 và 4 là gia tốc đối lu và ma sát đáy có thể bỏ qua so với những số hạng

146

khác.
8.2.3. Đặc tính của những sóng dài
Đặc tính của nhiều loại sóng dài đợc minh họa trong hình 8.2. Trục thẳng đứng
thể hiện vận tốc lan truyền phi thứ nguyên c/
gh
, với c = vận tốc lan truyền thực tế
của sóng và
gh
= vận tốc lan truyền trong trờng hợp lý tởng của sóng biên độ nhỏ
trên một đáy không có ma sát. Trục ngang là tham số phi thứ nguyên
h
g
C
gT
E
2

thể
hiện hiệu ứng kết hợp của chu kỳ sóng T và hệ số Chezy C. Ba đờng cong thể hiện
những số Froude khác nhau Fr =
ghu /
= 0,1, 0,2 và 0,4. Sóng quán tính đơn thuần
(không có ma sát) nhận đợc khi E tiến đến không (E 0). Vận tốc lan truyền của một

sóng nh vậy là c =
gh
. Những sóng tịnh tiến và những sóng thủy triều trong đại
dơng là những sóng quán tính. Ma sát đáy u thế khi E tiếp cận vô hạn (E ).
Những sóng lũ trong sông là những sóng ma sát thống trị.
Đối với E có độ lớn từ 50 tới 500, cả hai số hạng gia tốc quán tính và ma sát đáy
đều quan trọng. Những sóng triều trong nớc nông rơi vào nhóm những sóng này.


Hình 8.2. Đặc tính của sóng dài (Thabet, 1980)
8.3. Sóng tiến
8.3.1. Phơng trình cơ bản
Sóng tiến điều hòa là một sóng tuần hoàn mô tả bằng một hàm sin (hoặc cosin).

147

Biên độ của nó tơng đối nhỏ so với độ sâu nớc và do đó vận tốc dòng chảy cũng nhỏ.
Số hạng gia tốc đối lu
xuu /
trong các phơng trình (8.2.3) và (8.2. 4) có thể bỏ qua,
khi đáy nằm ngang:
liên tục:
0
)(

x
hu
t
h
(8. 3. 1)
chuyển động:
0





x
h
g
t
u
. (8. 3. 2)
Đặt: h = h
0
+ (8. 3. 3)
(xem hình 8.3) và thay vào các phơng trình (8.3.1) và (8.3.2) dẫn đến:
liên tục:
0
)(
)(
0

x
u
x
hu
t

(8. 3. 4)
chuyển động:
0





x
g
t
u

. (8. 3. 5)


Hình 8.3. Định nghĩa phác họa của sóng tiến

Số hạng thứ ba trong phơng trình (8.3. 4) có thể bỏ qua ( << h), dẫn đến:
liên tục:
0
0






x
u
h
t

(8. 3. 6)
chuyển động:
0





x
g
t
u

. (8. 3. 7)
Đạo hàm phơng trình (8.3.6) theo t và phơng trình (8.3.7) theo x và trừ đi cho ta:

0
2
2
0
2
2






x
gh
t

. (8. 3. 8)
Nghiệm tổng quát của phơng trình (8.3.8) là:

)cos(

))(cos(

kxt
c
x
t

(8. 3. 9)

trong đó:

148



= H/2 = biên độ sóng,
= 2/T = tần số góc,
c = L/T = /k = vận tốc truyền sóng,
k = 2/L = số sóng.
Thấy rằng:

)sin(

kxt
t





(8. 3. 10)



22
2
2
)cos(

kxt
t
(8. 3. 11)
Tơng tự:



2
2
2
22
2
1
)cos(

1
c
kxt
c
x



(8. 3. 12)
Thay các phơng trình (8.3.11), (8.3.12) vào (8.3.8) dẫn đến:

0)/1(

2
0
2
cghn

(8. 3. 13)
Phơng trình (8.3.13) hợp lệ với tất cả các điều kiện nếu:

0
2
ghc
hoặc
0
ghc
(8. 3. 14)
Nghiệm tổng quát thể hiện hai sóng lan truyền theo những hớng ngợc nhau.
Vận tốc lan truyền c là vận tốc lan truyền của mặt nớc. Sóng lan truyền theo hớng
ngợc lại chỉ tồn tại sau khi phản xạ tại biên. Khi có một sóng thuận duy nhất, sóng
này đợc gọi là sóng tiến đơn cho bằng điều kiện biên =
)cos(

t


tại x = 0. Một sóng
nh vậy không biến dạng trong thời gian lan truyền vì ma sát đáy đợc bỏ qua.
Vận tốc chất lỏng đợc mô tả bởi:

)cos(

kxtuu
(8. 3. 15)
trong đó
u

là biên độ vận tốc và là độ lệch pha giữa mực nớc và vận tốc chất lỏng.
Thay phơng trình (8.3.15) vào phơng trình liên tục (8.3.6) dẫn đến:

)sin(

)sin(

0
kxtkxtkhu


cho ta = 0 và
0
0
0


h
c
hk
u

và



cq

.
Nh vậy:


00
)cos(

h
c
kxt
h
c
u
và q = c. (8.3.16)
Vận tốc chất lỏng trung bình độ sâu liên quan tuyến tính với cao độ mực nớc, và
vận tốc chất lỏng cùng pha với cao độ mực nớc địa phơng (
u
= 0 nếu = 0,
u
=
u

nếu




).
Giả thiết h
0
= 90 m,


= 0,5 m, g = 10 m /s
2
, cho ta
u

= 0,167 m/s.

149

8.3.2. Những hiện tợng ảnh hởng đến sự lan truyền sóng
Một sóng tiến điều hòa lan truyền trong nớc sâu là một tình huống lý tởng. Hiện
tợng cơ bản có thể ảnh hởng đến sự lan truyền của sóng là: phản xạ, khúc xạ, nớc
nông, biến dạng và tắt dần.
Phản xạ


Hình 8.4. Phản xạ sóng do độ sâu thay đổi

Những sóng dài bị phản xạ một phần khi chúng lan truyền qua những chớng ngại

trên đáy nh đá ngầm hoặc thềm lục địa. Hình 8.4 cho thấy sự thay đổi độ sâu nớc
theo từng bậc. Độ dài sóng L
2
= c
2
T giảm trong khu vực nớc nông, vì c
2
giảm (T là hằng
số). Nh vậy, L
2
< L
1
. Tại bậc đáy thấp biên độ mặt nớc bằng nhau, cho ta:

tri



. (8.3.17)
Phơng trình cân bằng khối lợng cho chất lỏng dẫn đến:

rit
qqq
(8.3.18)

rit
ccc


112

(8.3.19)
Những phơng trình (8.3.17) và (8.3.18) dẫn đến:

21
21

cc
cc
ir




(8.3.20)

21
1
2

cc
c
it



(8.3.21)
Năng lợng của một sóng dài là E = l /2g

2
L với L = bớc sóng (xem Chơng 9).
năng lợng phản xạ: E = l /2g


r
2
L
1

năng lợng đợc vận chuyển: E = l /2g


t
2
L
2

năng lợng đến: E = l /2g


i
2
L
1
.
Điều này dẫn đến:

150

E
r
= (


r
/


i
)
2
E
i
(8.3.21)
E
t
= (


t
/


i
)
2
(L
2
/L

1
)E
i
= (


t
/


i
)
2
(h
2
/h
1
)
0,5
E
i
.

(8.3.22)
Giả thiết độ sâu đại dơng h
1
= 4000 m và độ sâu thềm lục địa h
2
= 200 m, nh vậy

t
=1,64


i
và


r
= 0,64


i.
Sau đó E
t
= 0,6 E
i
và E
r
= 0,4 E
i
. Nh vậy 60% năng lợng
đến đợc truyền và 40% đợc phản xạ. Sóng truyền có độ dài ngắn hơn nhng có chiều
cao lớn hơn sóng đến. Hiệu ứng này đợc gọi là nớc nông.
Phản xạ là một trong số những hiện tợng sóng quan trọng nhất gần bờ và trong
cửa sông. Sóng đứng


r

=


i
sẽ phát sinh trong trờng hợp phản xạ toàn phần tại biên
thẳng đứng.
Khúc xạ
Khi sóng đi đến dới một góc trong khu vực có độ sâu nớc thay đổi, nó sẽ bị khúc
xạ. Trong nớc nông hơn đờng đỉnh sóng lan truyền với vận tốc nhỏ hơn so với trong
nớc sâu hơn. Vì hiệu ứng này đờng đỉnh sóng sẽ càng ngày càng sắp thẳng hàng song
song với bờ khi lan truyền trong nớc nông hơn. Hiện tợng này đợc gọi là khúc xạ và
tạo ra sự thay đổi hớng lan truyền sóng (hình 8.5). Khúc xạ sóng rất quan trọng đối
với những sóng dài đến từ đại dơng sâu và tiếp cận lục địa trên thềm của nó.


Hình 8.5. Khúc xạ sóng

Nớc nông
Toàn bộ năng lợng của sóng bằng 0,125 gH
2
L trong đó H = độ cao sóng và L =
bớc sóng. Vận tốc lan truyền sóng trong nớc nông hơn sẽ giảm đi. Vậy, bớc sóng L =
cT sẽ giảm, vì chu kỳ T sóng không đổi theo định nghĩa. Giả thiết ở đó không có phản

151

xạ và không có tổn thất năng lợng, chiều cao sóng H sẽ tăng thêm vì H
2
L = không đổi
và L giảm. Nh vậy, sóng sẽ trở nên ngắn hơn nhng cao hơn (hình8.6). độ cao sóng sẽ

2 lần lớn hơn nếu một sóng lan truyền từ đại dơng sâu (h = 4000 m) trên thềm lục địa
(h = 200 m), khi bỏ qua phản xạ và tổn thất năng lợng. Sự giảm bề rộng lòng dẫn
trong đó sóng lan truyền có hiệu ứng tơng tự lên độ cao sóng. Nớc nông là một hiện
tợng quan trọng trong những cửa sông, nơi độ sâu và bề rộng giảm dần.


Hình 8.6. Hiệu ứng nớc nông, biến dạng và tắt dần của sóng
Biến dạng
Một sóng điều hòa lan truyền từ nớc sâu đến nớc nông không thể còn là điều hòa

152

(hình sin). Độ sâu nớc (h) dọc theo sóng thay đổi. Độ sâu nớc lớn dới đỉnh và nhỏ ở
dới chân. Vì vận tốc lan truyền tỷ lệ với h
0,5
, đỉnh sóng sẽ lan truyền nhanh hơn chân
sóng, hình dạng sóng thay đổi và đợc gọi là biến dạng (hình 8.6). Sóng sau đó không
còn thuần tuý hình sin; nớc lớn thủy triều có dạng đỉnh nhọn và nớc ròng thủy triều
có dạng phẳng và dãn dài. Có thể mô tả hình dạng của sóng biến dạng bằng những
thành phần sinusoidai bổ sung gọi là những sóng điều hoà bậc cao hơn sóng cơ bản. Ma
sát đáy và nớc nông cũng làm cho sóng biến dạng.
Tắt dần
Ma sát giữa nớc đang chảy và đáy gây ra tổn thất năng lợng và kết quả là độ cao
sóng sẽ giảm (năng lợng = H
2
L). Khi độ sâu nớc gần nh không đổi, độ cao sóng giảm
theo số mũ trong thời gian lan truyền (hình 8.6).
Sự phi tuyến của số hạng ma sát (ma sát
2
u

) phát sinh những thành phần tần số
cao hơn tần số cơ bản của sóng thủy triều ( = 2 / T). Xét một sóng điều hòa đi vào
một cửa sông nơi ma sát trở nên quan trọng. Vận tốc dòng chảy tại biển có thể mô tả
bằng:
tuu

sin


. Ma sát dần trở nên quan trọng trong những phần nông hơn của cửa
sông và đợc thể hiện bằng số hạng
2
2
/ Cug
(xem phơng trình 8.2.4). Gần miệng cửa
sông, số hạng ma sát có thể biểu thị bằng (áp dụng khai triển chuỗi Fourier):

)3sin
15
8
sin
3
8
(

sin

2
2
2

2
2
2
2
tt
C
u
gt
C
u
g
C
u
g



. (8.3.24)
Nh vậy, những thành phần điều hòa với những tần số cao hơn 3, đợc phát
sinh.
8.4. Sóng đứng
8.4.1 Thuỷ vực hở
Một sóng đứng phát sinh khi một sóng tiến đơn bị phản xạ toàn phần tại biên. Cao
độ mực nớc địa phơng () là tổng của sóng đến (
i
) và sóng phản xạ (
r
), cả hai có
cùng biên độ và chu kỳ (xem hình 8.1.D và (8.7):

kxtkxtkxt
ri
coscos

2)cos(

)cos(



. (8.4.1)
Vận tốc đợc mô tả bằng:

kxthu sinsin/

2
0


. (8.4.2)
Hệ thống sóng đứng gồm những nút thuận với 0,25 L, 0,75 L, 1,25 L và những nút
nghịch với 0, 0,5 L, L Biên độ của sóng đứng hai lần lớn hơn chính sóng đến. Vận tốc
chất lỏng của sóng đứng bằng không tại nút nghịch và lớn nhất tại nút thuận. Vận tốc
chất lỏng sẽ lớn nhất vào thời gian mặt nớc nằm ngang. Vận tốc đảo hớng (u 0) khi
mặt nớc ở vị trí cực trị của nó.

153


H×nh 8.7. Sãng ®øng

154

Khi một sóng tiến đơn lan truyền trong một thuỷ vực là cảng hở, rộng, có độ dài l,
sóng đứng sinh ra sẽ tắt dần do hiệu ứng nhớt. Sóng đứng sẽ đợc duy trì khi một đợt
sóng tiến đến cảng.
Một điểm nút sẽ có mặt tại cửa vào thuỷ vực khi bớc sóng bằng:

1
2
4


n
l
L
với n = 0, 1, 2, 3. (8.4.3)
Cộng hởng sẽ xuất hiện khi sóng phản xạ không thể hoàn toàn ra khỏi thuỷ vực
do phản xạ từng phần tại cửa vào thuỷ vực (những hiệu ứng hình học).
Một phần năng lợng sóng đến bị giữ lại trong thuỷ vực gây ra sự tăng dần biên độ
sóng trong thuỷ vực (cộng hởng). Phơng trình (8.4.3) thể hiện bớc sóng cộng hởng
L
res
. Chu kỳ cộng hởng của một thuỷ vực hở là T
res
= L
res
/ c, dẫn đến:

0

)12(
4
ghn
l
T
res


với n = 0, 1, 2, 3 (8.4.4)
Cộng hởng có thể xuất hiện khi chu kỳ của sóng đến bằng chu kỳ cộng hởng của
thuỷ vực (T
res
).
Cộng hởng (= liên tục tăng biên độ mực nớc trong thuỷ vực) không dễ xuất hiện
trong một thuỷ vực rộng, hở, với độ dài bằng l = 1/4L, 3/4L vì hầu hết năng lợng đi
vào có thể dễ dàng rời khỏi thuỷ vực. Một thuỷ vực với lối vào hẹp là trạng thái của
thuỷ vực kín (xem mục tiếp theo).
Trong thực tế một hệ thống sóng đứng sẽ bị ảnh hởng bởi ma sát đáy gây hiệu
ứng tắt dần.Có thể xét đến ma sát đáy bằng việc áp dụng phơng trình liên tục và động
lợng bao gồm số hạng ma sát đáy, nh sau:

0
0






x

u
h
t

(8.4.5)

0
2
0
2






u
hC
g
x
g
t
u

(8.4.6)
Có thể nhận đợc nghiệm giải tích bằng cách tuyến tính hoá số hạng ma sát thành
m
u
với
0

2
3

8
hC
ug
m


, (phơng pháp Lorentz, xem phơng trình (8.3.24)).
Dựa vào lời giải giải tích, tỷ lệ biên độ có thể xác định:

5022
1
,
)sin(cos


ll
f
cv
bd
A





(8.4.7)
với

2
0
)(11
2



m
c


2
0
)(11
2



m
c



155


00
ghc

l = chiều dài thuỷ vực.

Hình 8.8. Tỷ số của biên độ mực nớc tại đầu cuối và tại lối vào của một thuỷ vực hở trong
trờng hợp sóng đứng, Thabet (1980)

Tỷ số f
A
là một hàm của l/c
0
và m/ đợc cho trong hình 8.8. Những sóng đứng với
một điểm nút tại lối vào thuỷ vực xuất hiện khi l/c
0
=/2, 3/2 Khi ma sát đợc bỏ
qua, m = = 0 cho ta một hệ thống sóng đứng "lý tởng". Hình 8.8 cho thấy rõ ma sát
đáy phần lớn điều khiển hệ thống dòng chảy trong một thuỷ vực (hoặc vịnh hoặc cửa
sông). Ngoài ma sát đáy, các hiện tợng khác nh nớc nông và hình học của hệ thống
dòng chảy cũng xác định kiểu chung cuộc của phản xạ và mức độ biến dạng sóng trong
một thuỷ vực (vịnh hoặc cửa sông).

156

Ví dụ
Cho:
Một sóng dài với chu kỳ T = 1 giờ ( = 1,75 10
-3
rad/s) lan truyền vào
trong một thuỷ vực rộng hở với độ dài l = 7500 m, độ sâu h
0
= 5m, hệ số Chezy C = 50
m

0,5
/s. Vận tốc lớn nhất tại cửa vào là
u
= 1m/s.
Tính toán: Biên độ sóng lớn nhất tại đầu cuối của thuỷ vực.
Lời giải: Hệ số ma sát đánh giá là
0
2
3

8
hC
ug
m


, m/

= 0,39
00
ghc
= 7m/s và

l/c
0
= 1,9
Hình 8.8 cho ta f
A
= 2.
áp dụng phơng trình (8.4.7) cho ta:

= 2,6 x 10
-4
và

l = 1,9


= 4,9 x 10
-5
và

l = 0,37
f
A
= 2
Nh vậy:
cvbd


2



Độ dài cộng hởng là

l
res
/c

0
=

/2 hoặc l
res
= 6300 m, gần bằng độ dài thuỷ vực l =
7500 m. Cho rằng có những điều cha chắc chắn, độ dài thuỷ vực khoảng l = 10000 m
là lời giải tốt hơn trong trờng hợp này.
8.4.2 Thuỷ vực kín
Hình 8.7 cho thấy vận tốc chất lỏng trong nút nghịch bằng không, có nghĩa là có
thể đặt một biên không ma sát vào chỗ đó mà không làm ảnh hởng đến các dao động
(sóng đứng) khi chúng đợc phát sinh và duy trì (bởi gió hoặc những hiệu ứng khác).
Điều này phát sinh kiểu dao động khác. Những ví dụ tiêu biểu là: 1, những dao động
dọc trong cảng với một lối vào hẹp (bề rộng của lối vào nhỏ hơn nhiều bề rộng của thuỷ
vực); 2, những dao động ngang trong cảng do những hiệu ứng khí tợng và 3, những
dao động trong hồ, biển và đại dơng giữa hai bờ (xem hình 8.7 bên dới).
Trong trờng hợp này l
res
bằng 2l/n, phát sinh chu kỳ cộng hởng của thuỷ vực:

0
2
ghn
l
T
res

với n = 1, 2, 3 (8.4.8)
Kiểu dao động này đợc gọi là "chấn động" khi chúng phát sinh bởi những hiệu ứng
khí tợng nh sự thay đổi nhanh của áp suất không khí và vận tốc gió. Cái tên "chấn

động" bắt nguồn từ Thuỵ Sỹ, nơi loại dao động này đợc quan sát đầu tiên. Quy mô thời
gian của "chấn động" cỡ từ 100 tới 1000 s. Hình 8.9 cho thấy "chấn động" chồng lên
những sóng triều (gồm những hiệu ứng nớc dâng) trong thuỷ vực cảng gần Rotterdam.
Dao động với biên độ có độ lớn là 0,1 đến 0,5 m đã đợc quan sát trong Biển Bắc gần bờ
Hà Lan.
Một thuỷ vực với lối vào hẹp có thể xem nh một thuỷ vực kín. Khi dao động phát

157

sinh, một điểm nút nghịch sẽ có mặt tại lối vào của thuỷ vực. Hầu hết năng lợng đi
qua lối vào sẽ đợc bẫy trong thuỷ vực, gây ra sự tăng dần của toàn bộ năng lợng
trong thuỷ vực. Những sóng đứng sẽ có mặt bên ngoài và bên trong thuỷ vực. Nói chung
lối vào càng, nhỏ những dao động bên trong thuỷ vực càng lớn. Sẽ không thực tế khi lối
vào nhỏ đến mức ma sát biên chiếm u thế.
Cần ngăn ngừa những hiệu ứng cộng hởng trong cảng càng nhiều càng tốt vì nó
tạo ra dòng chảy ngang và những biến đổi mực nớc lớn ảnh hởng đến tàu neo đậu.


Hình 8.9. Những chấn động chồng lên sóng thủy triều trong cảng

8.5. Những sóng tịnh tiến
Những sóng tịnh tiến là những sóng dài lan truyền trong lòng dẫn nh một "khối"
chất lỏng (có chiều cao nhỏ) mà không thay đổi đáng kể về hình dạng và thông thờng
phát sinh bởi sự đột ngột tăng hoặc giảm mặt nớc địa phơng. Ví dụ là tsunami, bore
và sóng do mở ụ tàu.
Tsunami là một sóng dài phát sinh bởi sự tăng đột ngột cao độ đáy do những hoạt
động địa chất trong đại dơng. Bore là một sóng tịnh tiến phát sinh bằng một front
sóng không ổn định. Ví dụ, sóng gió (ngắn) khi tiếp cận đờng bờ, sau khi vỡ tạo ra
bore, có thể quan sát rõ ràng khi đứng trên biển. Sóng thủy triều có thể phát sinh bore
khi mặt sóng trở nên không ổn định. Những ví dụ nổi tiếng là bore Severn trong cửa

sông Bristol, (Nớc Anh) và bore Qianbang (hình 8.10) trong cửa sông Hangzhou,
(Trung Quốc). Đòi hỏi quan trọng là độ lớn thủy triều cao kết hợp với một cửa sông co

158

hẹp nhanh (bề rộng giảm và đáy cao lên, có các doi cát). Do những khác biệt về vận tốc
lan truyền của đỉnh và chân sóng, sóng trở nên biến dạng và cuối cùng trở thành không
ổn định khi phát sinh bore. Bore Qiantang có chiều cao trung bình khoảng 1.5 m và
chiều cao lớn nhất 3 m với vận tốc lan truyền khoảng 10 m/s. Bore đợc chia thành 2
front do sự có mặt của doi cát lớn giữa cửa sông. Hai front này cố gắng đi xuống hạ lu
doi cát trong khi phát sinh sóng địa phơng có độ cao đến 10 m. Khi đi bore gầm thét vô
cùng ồn ào. Theo nhà thơ Qiu Yuan nổi tiếng (1247 - 1326 A.D.) của Triều đại Yuan,
nhìn cứ nh thể "mời nghìn ngựa rống xung quanh, dồn lại nh tiếng trống thiên
đờng, trong khi sáu rùa thần khổng lồ quay lại, đổ ập nh một núi tuyết ".


Hình 8.10. Bore Qiantang gần Hangzhou ở Trung Quốc

Sóng tịnh tiến do mở ụ tàu bắt nguồn từ sự đột ngột mở ụ tàu, nh trong hình
8.11.


Hình 8.11. Sóng tịnh tiến do mở ụ tàu

159


ở đây, sự chú ý tập trung vào những sóng tịnh tiến có độ cao nhỏ so với độ sâu nớc
( << h). Trong trờng hợp đó có thể bỏ qua gia tốc đối lu (
xuu /

) và ma sát đáy
trong phơng trình chuyển động, dẫn đến hệ phơng trình ( = 1, i
b
= 0, A = const):
liên tục:
0





x
Q
t
h
b
(8.5.1)
chuyển động:
0





x
h
gA
t
Q
. (8.5.2)

Việc khử Q cho kết quả (
bAgc /
2

):

0
2
2
2
2
2






x
h
c
t
h
. (8.5.3)
Phơng trình (8.5.3) đợc gọi là phơng trình "sóng" đơn giản, vì nó mô tả sự lan
truyền của sóng cơ bản. Lời giải có thể biểu thị nh sau:
h = h
1
(x + ct) h
2

(x - ct) (8.5.4)
trong đó:
50,
)/( bAgc
= vận tốc lan truyền.
Về cơ bản, lời giải gồm hai thành phần. Thành phần 1 lan truyền ngợc hớng x và
thành phần 2 lan truyền thuận hớng x. Khi mực nớc trong ụ tàu lớn hơn hơn trong
lòng dẫn, chỉ có thành phần sóng thuận phát sinh sau khi mở cổng (xem hình 8.1 C).
Phản xạ từng phần sẽ xuất hiện khi sóng di chuyển qua đoạn quá độ trong lòng dẫn
(thay đổi mặt cắt ngang). Sóng tịnh tiến sẽ tắt nơi độ sâu nớc tăng mạnh.
Vận tốc lan truyền của sóng tịnh tiến có thể xác định bằng cách áp dụng phơng
trình Bernoulli. Giả sử ngời quan sát chuyển động theo đỉnh sóng với vận tốc c. Đối
với ngời quan sát đỉnh sóng không chuyển động, nhng nớc chuyển động với vận tốc
c phía trớc sóng và với vận tốc c c phía sau sóng (xem hình 8.12).


Hình 8.12. Sóng tịnh tiến

Bỏ qua những tổn thất năng lợng do ma sát dọc theo đáy (nh vậy chiều cao năng
lợng không đổi), phơng trình Bernoulli là:

160

Bernoulli:
g
c
h
g
cc
h

22
)'(
2




. (8.5.5)
Liên tục: (c - c ') (h + ) = ch . (8.5.6)
dẫn đến:

h
hh
ghc
2
1
2
1
2
2
2





. (8.5.7)
Trong trờng hợp độ cao sóng nhỏ (<< h):

ghc

. (8.5.8)
Khi vận tốc dòng chảy trong lòng dẫn là
u
, vận tốc lan truyền là:

ghuc
. (8.5.9)
Những trờng hợp đặc biệt là:
u
> c: sóng chỉ lan truyền hớng hạ lu
u
= - c: sóng tịnh tiến không chuyển động (front "đóng băng").
Cho rằng sóng tịnh tiến với chiều cao phát sinh sau khi mở ụ tàu (hình 8.11 và
8.13). Lu lợng Q giả thiết không đổi trong thời gian tháo cạn T. Độ sâu lòng dẫn là h
và bề rộng là b; vận tốc dòng chảy trong lòng dẫn là
u
= 0 m /s.


Hình 8.13. Sự lan truyền front sóng

Cân bằng khối lợng cho một thể tích kiểm tra có độ dài cdt là:
Qdt = bncdt
Q = bc. (8.5.10)
Khi lu lợng Q, bề rộng b và vận tốc lan truyền c đợc biết, có thể xác định độ cao
sóng . Khi sóng tiếp cận một mặt cắt lòng dẫn nhỏ hơn, sóng sẽ từng phần phản xạ và
từng phần tịnh tiến, nh thấy trong hình 8.14.
Những sóng phản xạ và tịnh tiến có thể tính toán từ phơng trình sau:

1

+
3
=
2
(8.5.11)
Q
1
Q
3
= Q
2
. (8.5.12)

161

Thay thế phơng trình (8.5.10) vào phơng trình (8.5.12) dẫn đến:
b
1

1
c
1
- b
1

3
c
1
= b
2

2
c
2

b
1
c
1
(
1
-
3
) = b
2

2
c
2
b
1
c
1
(2
1
-
2
) = b
2

2
c
2
(8.5.13)

1
2211
11
2
2

cbcb
cb



(8.5.14)

1
2211
2211
3

cbcb
cbcb




(8.5.15)

với
11
ghc
và
22
ghc
.


Hình 8.14. Phản xạ và lan truyền sóng tịnh tiến
8.6. Sóng lũ trong sông
Sự lan truyền sóng lũ trong sông (hình 8.16) đợc đặc trng bằng sự dâng lên và
sự hạ thấp dần dần của mặt nớc với quy mô thời gian vài ngày và bớc sóng khoảng
100 km. Ví dụ, hình 8.15 cho thấy cho sóng lũ trong sông Rhine qua nhiều trạm. ảnh
hởng thủy triều có thể quan sát đợc tại trạm Schoonhoven.
Sự lan truyền của một sóng lũ trong sông có thể mô tả bằng các phơng trình
(8.2.3) và (8.2.4). Nhiều sơ đồ có thể áp dụng để giải những phơng trình này:
mô hình sóng động lực
mô hình sóng khuếch tán,
mô hình sóng động học.


162


H×nh 8.15. Sãng lò n¨m 1970 trong s«ng Rhine, Hµ Lan (Verspuy, 1985)


163

8.6.1. Mô hình sóng động lực
Mô hình sóng động lực liên quan đến phơng trình chuyển động đầy đủ bao gồm
những số hạng gia tốc. Mặc dầu trong mục 8.2 đã thấy là trong đa số trờng hợp các số
hạng gia tốc (
tu /
và
xuu /
) có thể bỏ qua, vẫn có những trờng hợp những số
hạng này là quan trọng, nh dòng chảy sông kết hợp với dòng chảy thủy triều và sóng
lũ trong sông ở những vùng nhiệt đới (bandjirs).
Có thể nhận đợc lời giải bằng cách áp dụng các phơng pháp số. Những điều kiện
biên (vận tốc dòng chảy hoặc mực nớc) cần có tại những biên thợng lu và hạ lu.
Thông thờng, vận tốc dòng chảy (hoặc lu lợng) đợc chỉ rõ là hàm của thời gian tại
biên thợng lu (sông), trong khi mực nớc đợc cho là hàm của thời gian tại biên hạ
lu (cửa sông hoặc biển).
8.6.2. Mô hình sóng khuếch tán
Những thành phần gia tốc đợc bỏ qua khi áp dụng cách tiếp cận này, đây là một
sơ đồ hợp lý trong nhiều trờng hợp (Mục 8.2). Phơng trình (8.2.4) đơn giản thành:

0
2
2



h
C
u
i

x
h
b
. (8.6.1)
Phơng trình liên tục:

0
)(






x
hu
t
h
. (8.6.2)
Lấy đạo hàm phơng trình (8.6.1) theo x và khử
xu /
dẫn đến:

0
2
2

x
h
K
x
h
c
t
h
(8.6.3)
với c = 1,5
u
và K = 0,5(Ch)
2
/
u
= hệ số phát tán.
Vận tốc lan truyền có cùng bậc nh vận tốc dòng chảy
u
do hiệu ứng ma sát đáy
thống trị (nói cách khác c =
u
+
gh
, không có ma sát). Phơng trình (8.6.3) thể hiện
loại phơng trình đối lu khuếch tán. Sóng lan truyền với vận tốc c và biến đổi trong

thời gian lan truyền. Vận tốc lan truyền c liên quan đến vận tốc dòng chảy
u
. Khi độ
cao sóng nhỏ so với độ sâu nớc h (sóng biên độ nhỏ), những tham số c và K có thể lấy
nh những giá trị không đổi.
Bằng việc đa ra một hệ thống toạ độ chuyển động (y = x - ct), phơng trình (8.6.3)
có thể đơn giản thành:

0
2
2






y
h
K
t
h
. (8.6.4)
Một lời giải của phơng trình (8.6.4) là (xem Schonfeld, 1948):

)
)2(
exp(
2
2

2
0,
Kt
y
Kt
V
hh
ty


(8.6.5)

164

thể hiện hàm chuyển động Gauss (hình 8.16). V là thể tích nớc trên bề rộng đơn vị của
sóng lũ trên mặt nớc ban đầu (h = h
0
). Nh vậy,




constdxhhV
tt
)(
01
. Đỉnh xác
định tại x = ct hoặc y = 0, lan truyền với vận tốc c và giảm theo thời gian bằng tỷ lệ
)2/(1 Kt

.


Hình 8.16. Lan truyền sóng lũ theo mô hình sóng khuếch tán

Đồng thời, bớc sóng tăng theo thời gian ("độ lệch chuẩn"
Kt2

), kết quả là
sóng dài hơn nhng dẹt hơn (xem hình 8.16). Khi độ cao sóng không nhỏ so với độ sâu
nớc, vận tốc lan truyền (c) không phải là hằng số. Thông thờng, vận tốc dòng chảy
(
u
) lớn nhất trong vùng đỉnh sóng lũ. Nh vậy, đỉnh sóng lan truyền nhanh hơn vùng
bao quanh chân sóng, phát sinh độ dốc của front sóng. Cuối cùng, những front sóng trở
nên không ổn định và sẽ vỡ, tạo nên sự vỡ bore hoặc một đợt những gợn sóng gọi là bore
hình sóng (xem hình 8.17), phụ thuộc vào trạng thái hình học địa phơng gần front
sóng.
8.6.3. Mô hình sóng động học
Trong tiếp cận này bỏ qua những thành phần gia tốc và gradient độ sâu nớc h/x
trong phơng trình chuyển động. Thông thờng, số hạng h/x nhỏ so với số hạng
gradient đáy i
b
= - z
b
/x ở hạ lu sông.
Phơng trình (8.2.4) đơn giản thành:

165

b
i
h
C
u

2
2
. (8.6.6)
Phơng trình liên tục:

0
)(






x
hu
t
h
. (8.6.7)


Hình 8.17. Bore vỡ và bore hình sóng

Những biến đổi mực nớc bây giờ đợc mô tả đơn thuần bằng phơng trình liên

tục, mà về cơ bản là một mối quan hệ động học. Phơng trình (8.6.7) dẫn đến:

0








x
h
u
x
u
h
t
h


0

x
h
u
x
h
h
u
h
t
h


0





x
h
c
t
h
(8.6.8)
với
u
x
u

hc



.
Từ phơng trình (8.6.6) thấy rằng
u
i
C
h
u
b
2
2



.
Nh vậy:

b
b
hiCuuu
u
iC
huc 51512
2
2
,,/
. (8.6.9)

Phơng trình (8.6.8) đồng nhất với phơng trình (8.6.3) khi bỏ qua số hạng
khuyếch tán.
Phơng trình (8.6.8) mô tả một sóng lũ biến dạng trong thời gian lan truyền do vận