Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Chương 9 pps

212

Chơng 9. Dòng không ổn định: sóng Ngắn trên mặt
9.1. Mở đầu
Sóng ngắn trên mặt tự do là sóng dao động đợc đặc trng bởi độ cao, độ dài, chu
kỳ, vận tốc lan truyền và hớng của chúng. Chu kỳ sóng là khoảng thời gian giữa
những lần đi qua hai đỉnh sóng liên tiếp tại một vị trí đã cho. Hớng sóng (và cũng là
hớng gió) đợc định nghĩa là hớng mà từ đó sóng đang đến so với hớng Bắc. Nh
vậy, hớng sóng 90
0
có nghĩa sóng đến từ phía Đông. Hớng sóng ngợc với hớng dòng
chảy, là hớng mà dòng chảy đi về phía đó.
Sóng ngắn khác với sóng dài ở chỗ áp suất chất lỏng theo hớng thẳng đứng là phi
thuỷ tĩnh. Sóng ngắn trên mặt tự do thờng phát sinh bởi lực gió. Sóng ngắn lan truyền
trong một vùng dới ảnh hởng của lực gió đợc gọi sóng gió hoặc sóng biển. Những đặc
trng sóng gió đợc xác định bởi đà gió, là khoảng cách mà qua đó gió thổi, bởi vận tốc
gió và bởi thời gian gió thổi. Cùng một lúc, gió phát sinh ra các sóng có nhiều độ cao, độ
dài và chu kỳ (sóng ngẫu nhiên).
Sóng đã lan truyền ra khỏi trờng lực của gió đợc gọi sóng lừng. Sóng này thay
đổi trong thời gian lan truyền của chúng từ sóng gió tơng đối dốc và ngắn (L/H = 20, T
= 5 10 s) thành sóng tơng đối phẳng và dài (L/H = 100, T = 10 30 s) và thể hiện
giống nh sóng đơn điệu (đều) hơn. Sóng gió (biển) và sóng lừng là sóng trọng lực bởi vì
trọng lực có xu hớng trả bề mặt chất lỏng về vị trí cân bằng nằm ngang của nó. Sóng
ngắn với chu kỳ giữa 30 và 300 s đôi khi đợc gọi là sóng dới trọng lực mà chuyển
thành sóng dài.
Sóng ngắn có thể lan truyền qua đại dơng và biển cho đến khi chúng tiếp cận bờ,
nơi năng lợng còn lại của chúng một phần đợc phản xạ hoặc tiêu tán bởi sóng đổ và
ma sát đáy.
Chơng này giới thiệu cơ sở lý thuyết sóng ngắn, có thể phân chia nh sau:
Sóng biên độ nhỏ Sóng tuyến tính Airy (Sinusoid)

Sóng Stokes bậc cao
Sóng biên độ hữu hạn Sóng Trocoid
Sóng Cnoid
Sóng đơn độc
Những chủ đề sau đợc trình bày:
những phơng trình cơ bản của sóng tuyến tính và phi tuyến
những thuộc tính sóng tuyến tính
lớp biên sóng
năng lợng sóng và sự truyền năng lợng sóng

213

phản xạ sóng, nớc nông, khúc xạ, nhiễu xạ và sóng đổ
biến đổi mực nớc do sóng (nớc rút và nớc dâng)
dòng chảy dọc bờ do sóng
sóng ngẫu nhiên
Thông tin bổ sung có thể thấy trong Vật lý biển Công trình (Wiegel,1962) và
theo Hớng dẫn Bảo vệ Bờ (1984).
9.2. Lý thuyết sóng tuyến tính và phi tuyến
9.2.1. Phơng trình Bernoulli cho dòng không ổn định
Giả thiết cơ bản của lý thuyết sóng tuyến tính và phi tuyến là dòng không quay,
nói rằng không có ứng suất trợt nội.
Về cơ bản, sự quay phát sinh tại các biên và thâm nhập từ đó vào trong chất lỏng.
Sự quay không thể tự nó phát sinh trong chất lỏng khi không có biên. Trong trờng hợp
sóng mặt tự do chu kỳ ngắn trong nớc sâu, chuyển động sóng không trải rộng đến đáy
và do đó không thể phát sinh sự quay. Trong nớc nông chuyển động sóng đạt đến đáy
và phát sinh lớp biên sóng với dòng quay. Tuy nhiên, lớp biên này rất mỏng (0,01 m) do
chu kỳ của sóng nhỏ. Dòng chảy sẽ đảo ngợc trớc khi một bề dày lớp biên đáng kể
phát triển và những xoáy nớc phát sinh trớc khi dòng đảo ngợc nhanh chóng mất đi.
Nh vậy, những chuyển động quay sẽ bị hạn chế trong một lớp biên khá mỏng gần đáy

và có thể bỏ qua trong phơng trình chuyển động mô tả dao động tự do trên mặt.
Những phơng trình cơ bản mô tả dòng chảy không ổn định không quay trong mặt
phẳng thẳng đứng x - z là phơng trình liên tục (phơng trình 5.2.2) và phơng trình
chuyển động Euler:

0





z
W
x
U
(9.2.1)

0
1

x
P
z
U
W
x
U
U
t
U

(9.2.2)

0
1












g
z

P
z
W
W
x
W
U
t
W

(9.2.3)
trong đó: U, W = vận tốc tức thời theo các hớng x, z.
Dòng không quay có thể mô tả dới dạng thế vận tốc (xem mục 7.2.2), đợc định
nghĩa là:

x
U




và
z
W




. (9.2.4)
Thay phơng trình (9.2.4) vào phơng trình liên tục cho ta phơng trình Laplace,

nh sau:

214



0
2
2
2
2






z
x

. (9.2.5)
Thay phơng trình (9.2.4) vào những phơng trình Euler (9.2.2), (9.2.3) và sắp xếp
lại, áp dụng phơng trình liên tục (9.2.1) cuối cùng cho ta:

0])(
2
1
)(
2
1

[
22












gz
P
zxtx




(9.2.6)

0])(
2
1
)(
2
1
[

22












gz
P
zxtz




. (9.2.7)
Nh vậy, tổng những số hạng trong dấu móc không đổi theo không gian, nhng có
thể thay đổi theo thời gian, cho ta:

)()(
2
1
)(
2
1

22
tFgz
P
zxt














. (9.2.8)
Giá trị hàm phụ thuộc thời gian F(t) không mang ý nghĩa vật lý ở đây (sóng ổn
định) và đợc lấy là F(t) = 0, cho ta:

0)(
2
1
)(
2
1
22

gz
P
zxt




. (9.2.9)
Phơng trình (9.2.9) là phơng trình Bernoulli cho dòng không ổn định, hợp lệ tại
mỗi điểm trong miền dòng chảy.

9.2.2. Lý thuyết sóng tuyến tính biên độ nhỏ
Giả thiết rằng dao động mực nớc nhỏ, những số hạng phi tuyến
2
)(
x



và
2
)(

z



biểu thị gia tốc đối lu phi tuyến có thể bỏ qua, ta có phơng trình Bernoulli
tuyến tính sau:

0


gz
P
t


(9.2.10)
trong đó z = tọa độ thẳng đứng, chiều dơng hớng lên trên tính từ mặt nớc (xem hình
9.1).
Lý thuyết sóng tuyến tính hợp lệ đối với sóng tiến biên độ nhỏ trong chất lỏng
đồng nhất có độ sâu không đổi.
Để giải phơng trình (9.2.5) và (9.2.10), những điều kiện biên cần thiết là:
+ điều kiện động học tại z = - h là: W = 0 hoặc

0


z

(9.2.11)

215

+ điều kiện động học tại z =
x,t
là:
t
dt
dx
x
dt
dz








cho ta
t
U
x
W

hoặc

t
x
x
z















(9.2.12)
+ điều kiện động lực tại z =
x,t
là:
0

gz
P
t


với P = 0 cho ta

0





g
t
. (9.2.13)


Hình 9.1. Sóng tiến biên độ nhỏ trên mặt tự do

Những phơng trình (9.2.12) và (9.2.13) chỉ rõ những điều kiện biên tại mặt tự do z
=
x,t
là một trong những biến cha biết sẽ đợc giải. Vấn đề này có thể giải quyết bằng
việc xấp xỉ phơng trình (9.2.12) và (9.2.13) tại z = bằng khai triển chuỗi Taylor tại
mặt nớc trung bình z = 0, là một vị trí đợc biết. áp dụng cho phơng trình Bernoulli
(9.2.13):
0
0
2

2
2
00

zzzz
g
t
z
g
tz
g
t
g
t

.
(9.2.14)
Trong lý thuyết sóng tuyến tính chỉ xét đến số hạng đầu tiên bên vế phải của
phơng trình (9.2.14).
Cũng ứng dụng quy trình đó cho phơng trình (9.2.12) và sau đó giả thiết rằng
/x = 0 trong phơng trình (9.2.12).
Hệ phơng trình đầy đủ cho lý thuyết sóng tuyến tính bây giờ là:
+ liên tục:
0
2
2
2
2






z
x

(9.2.15)
+ chuyển động:
0


gz
P
t


(9.2.16)

216

+ điều kiện biên động học z = 0:
t
z








(9.2.17)
+ điều kiện biên động lực z = 0:
0

g
t
. (9.2.18)
Những phơng trình (9.2.17) và (9.2.18) có thể sắp xếp lại thành:

0
2
2






z
g
t

. (9.2.19)
Lời giải hệ phơng trình tuyến tính (9.2.15) và (9.2.19), kết hợp với phơng trình
(9.2.11) là:

)sin(
sinh
)(cosh

kxt
kz
zhk
c



(9.2.20)
trong đó:


= biên độ mặt nớc (= H / 2)
z = tọa độ thẳng đứng (chiều dơng hớng lên từ mặt nớc trung bình, xem hình
(9.1)
= tần số góc (= 2 /T)
k = số sóng (= 2 /L)
H = độ cao sóng
L = bớc sóng
T = chu kỳ sóng
c = /k =(gtanh(kh)/k)
0,5
= vận tốc lan truyền sóng.
Vận tốc lan truyền sóng c cũng đợc gọi vận tốc pha bởi vì tất cả điểm của prôfil
sóng (có cùng pha) lan truyền với cùng vận tốc c đó. áp dụng c = L/T = /k, có thể nhận
đợc biểu thức sau:

2
= gk tanh(kh) (9.2.21)
và gọi là quan hệ phân tán, biểu thị quan hệ giữa chu kỳ sóng T và bớc sóng L. Sóng
đợc gọi phân tán khi sóng có tần số (chu kỳ) khác nhau lan truyền với vận tốc pha

khác nhau.
Biên độ mặt nớc đợc mô tả bằng (xem hình 9.2):
=


cos(t - kx). (9.2.22)


Hình 9.2. Lan truyền sóng

217


Những vận tốc U và W có thể nhận đợc từ những đạo hàm của hàm thế (mục
9.3.3). Vận tốc U và W lệch pha 90
o
đối với chuyển động quỹ đạo của vectơ vận tốc. Mỗi
hạt chất lỏng mô tả một chuyển động quỹ đạo hình êlíp với trục dài song song với đáy.
Những quan trắc chỉ ra rằng quỹ đạo hạt chất lỏng trong sóng tiến là không kín. Có sự
dịch chuyển nhỏ thực sự theo hớng ngang trong thời gian mỗi chu kỳ sóng (xem mục
9.2.4). Đây là hiệu ứng phi tuyến, có nghĩa là không thể dự đoán những quỹ đạo không
kín chỉ bằng lý thuyết sóng tuyến tính.
Mô tả chi tiết những thuộc tính sóng tuyến tính cho trong mục 9.3.
9.2.3. Lý thuyết sóng biên độ nhỏ phi tuyến
ở phạm vi nào đó có thể xét những số hạng gia tốc đối lu phi tuyến (/x)
2
và
(/z)
2
bằng cách thể hiện thế theo một chuỗi số mũ nh sau:

)(3sin)(2sin)sin(
3,
3
2,
2
1,,,
kxtHkxtHkxtH
xxxtzx

(9.2.23)
trong đó H = độ cao sóng và
z,1
,
z, 2
là những hàm của z giảm về bậc độ lớn.
Số hạng đầu tiên bên vế phải phơng trình (9.2.23) đợc thể hiện trong lý thuyết
sóng tuyến tính. Những số hạng khác là số hạng hiệu chỉnh, thể hiện các hiệu ứng phi
tuyến. Lý thuyết sóng bậc hai thể hiện hai số hạng đầu tiên, nh Stokes (1819 -1903)
đa ra:
)(2sin
sinh
)(2cosh
4
8
3
)sin(
sinh
)(cosh
2

4
2
kxt
kz
zhkH
kxt
kz
zhkH
k










. (9.2.24)
Tỷ số biên độ số hạng bậc hai và số hạng bậc nhất là:

33
2
0050
4
1
16
3
)(,)(

h
L
L
H
h
L
L
H
R

. (9.2.25)
Tỷ số này biểu thị rằng tính phi tuyến của chuyển động sóng nhỏ, nếu tham số U
R

= (h/L)(L/h)
3
nhỏ (< 1). Số hạng này đợc gọi là số Ursell. Trong trờng hợp U
R
< 1, lý
thuyết sóng tuyến tính có thể ứng dụng an toàn trong nớc sâu. Lý thuyết Stokes chỉ có
thể áp dụng trong nớc không sâu lắm nếu độ dốc sóng H/L nhỏ.
Biên độ mặt nớc theo lý thuyết sóng bậc hai là:
)(2cos
sinh
)2cosh2)(2(cosh
4
4
)cos(
2
3

2
kxt
kz
khkhHk
kxt
H




. (9.2.26)
Phơng trình (9.2.26) cho trong hình 9.3. Với việc tính đến những số hạng bậc cao
hơn, mặt cắt sóng trở nên biến dạng hơn. Những đỉnh sóng trở nên hẹp và cao, những
chân sóng trở nên rộng và thấp. Hiệu ứng này tăng lên khi độ sâu giảm (nớc nông).
Trong nớc sâu độ biến dạng rất nhỏ. Mặt cắt sóng luôn đối xứng qua một mặt phẳng
đi qua đỉnh sóng hoặc chân sóng.
Những lý thuyết sóng tuyến tính và phi tuyến không chính xác trong nớc nông,
trừ khi H/h và H/L nhỏ. Để vợt qua điều này, những lý thuyết sóng đặc biệt cho nớc

218

nông đã đợc phát triển. Một ví dụ là lý thuyết sóng Cnoidal. Về cơ bản, những lý
thuyết này là những lý thuyết sóng dài có sự hiệu chỉnh những hiệu ứng đối lu động
lợng thẳng đứng. Điều này đặc biệt quan trọng dới đỉnh sóng.
9.2.4. Các hiệu ứng phi tuyến: vận chuyển khối lợng trong sóng
không đổ
Nói một cách chặt chẽ, vận chuyển khối lợng là một hiệu ứng phi tuyến bởi vì
những phơng trình chứa số hạng H
2
. Tuy nhiên có thể nhận đợc những phơng trình

này bằng cách áp dụng những đặc điểm của lý thuyết sóng tuyến tính.
Dòng dao động không nhớt
Stokes là ngời đầu tiên chỉ ra rằng những hạt chất lỏng không mô tả chính xác
những quỹ đạo kín trong trờng hợp sóng mặt biên độ nhỏ (sinusoidal) lan truyền trong
một dòng dao động không nhớt (không quay) hoàn chỉnh, xem hình 9.4. Những hạt có
vận tốc Lagrange trung bình bậc hai (gọi là dòng trôi Stokes) theo hớng lan truyền
sóng. Điều này là do vận tốc quỹ đạo ngang tăng theo độ cao (z) ở trên đáy. Vậy, một
hạt tại đỉnh quỹ đạo ở đỉnh sóng chuyển động nhanh hơn về phía trớc so với khi tại
đáy quỹ đạo ở chân sóng theo hớng ngợc lại. Theo định nghĩa, không thể phát hiện
dòng trôi Stokes theo phơng pháp Lagrange bằng việc đo đạc tại một điểm cố định.
Dòng trôi Stokes tức thời hớng ngang (U
s
) của một hạt nớc so với vị trí trung
bình x
1
và z
1
là U
s
(x
1
+ z
1
+ ), trong đó và là những tọa độ của vị trí hạt trên quỹ
đạo. Một xấp xỉ của U
s
là:

z
U

x
U
zxUzxU
s







),()(
1111
(9.2.27)
áp dụng lý thuyết sóng bậc nhất (tuyến tính) và lấy trung bình chu kỳ sóng, ta có:

kh
hzk
kHzU
s
2
2
sinh
)(2cosh
8
1
)(

(9.2.28)
trong đó:
s
U
= vận tốc trôi Stokes (tỷ số của độ dịch chuyển hớng ngang thực tế với chu kỳ
sóng)
= 2 /T = tần số sóng
k = 2 /L = số sóng
z = tọa độ thẳng đứng (chiều dơng hớng lên trên từ mực nớc trung bình)
Tại đáy (z = - h):
kh
kHU
s
2
2
sinh
1
8
1


. (9.2.29)
Tại mặt (z = 0):
kh
kh
kHU
s
2
2
sinh

2cosh
8
1


. (9.2.30)


219


Hình 9.3. Mặt cắt sóng bậc hai

Đối với sóng lan truyền trong một miền không có biên ngang, dòng khối lợng tích
phân theo độ sâu (m
2
/s) là:

c
gH
kh
H
kh
kh
kHdzzUM
h
s
s
8
coth

8
sinh
2sinh
16
1
)(
22
2
2
0




(9.2.31)
trong đó: c = vận tốc sóng.


Hình 9.4. Những quỹ đạo hạt kín và không kín

Phơng trình (9.2.31) đơn giản thành M
s
= H
2
/8 đối với nớc sâu (kh >> 1).
Đối với sóng lan truyền trong miền có biên nằm ngang, thích hợp nhất là gán điều
kiện dòng khối lợng bằng không (M = 0) cho mỗi vị trí (x), cho ta (hình 9.5A):

kh
kh

kh
hzk
kHzU
s
2
2
sinh
2
2sinh
)(2cosh
8
1
)(



. (9.2.32)
Phơng trình (9.2.32) có thể xem nh tổng của dòng trôi Stokes về phía trớc và
một dòng đều quay ngợc lại. Việc phát sinh một dòng khối lợng dơng gần mặt theo
hớng sóng và một dòng âm gần đáy ngợc với hớng sóng đòi hỏi sự có mặt một
gradient áp suất ngang (ứng suất trợt vắng mặt trong dòng không nhớt), gradient này
đợc tạo ra bởi "sự dâng" mặt tự do về phía bờ (tơng tự nớc dâng do gió).
Dòng khối lợng (m
2
/s) tại một vị trí cố định (x) trong một miền không có biên cũng
có thể xác định theo phơng pháp Euler nh sau:

T
t
h
e
dzztU
T
M
0
)(
),(
1

. (9.2.33)
trong đó:

220

U = vận tốc ngang tức thời tại độ cao z
= độ dịch chuyển mặt nớc so với mặt trung bình.
Trong vùng giữa đỉnh và chân của sóng hình sin, sự bất đối xứng của vận tốc
ngang chỉ ra rằng chất lỏng truyền theo hớng sóng dới đỉnh lớn hơn trong vùng chân
sóng. Dới chân của sóng hình sin, giá trị trung bình thời gian của vận tốc ngang tại
một điểm cố định bằng không.
Bằng việc áp dụng lý thuyết sóng bậc nhất (tuyến tính) cho sóng hình sin biên độ
nhỏ, phơng trình (9.2.33) cho ta:

c
gH
M
e

8
2

. (9.2.34)
Phơng pháp Euler và phơng pháp Lagrange cho ta cùng khối lợng vận chuyển
tích phân theo độ sâu. Tuy nhiên, phân bố thẳng đứng của vận tốc vận chuyển khối
lợng lại khác nhau đối với cả hai phơng pháp.
Dòng dao động rối và nhớt
Longuet - Higgins (1953) đã chỉ ra rằng đối với những chất lỏng thực với độ nhớt ,
có sự truyền động lợng thực tế xuống dới trung bình theo thời gian vào trong lớp biên
do khuyếch tán nhớt (
zU /

), tạo ra dòng Euler trung bình (
s
U
) bổ sung cho dòng
trôi Stokes kiểu Lagrange (
e
U
). Dòng Euler trung bình có thể xem nh vận tốc trung
bình của các tâm quỹ đạo. Giả thiết dòng không nhớt, vận tốc Euler trung bình bằng
không (lý thuyết Stokes).
Vận tốc vận chuyển khối lợng tổng cộng (
m
U
) xác định nh sau:

Udt
z
U
Udt
x
U
UUUU
esem
. (9.2.35)
Với dòng chảy phân tầng trong lớp biên, Longuet - Higgins dẫn ra:

)3cos85(
sinh
16
)(
2
2
2



zz
m
e
z
e

kh
kH
zU
(9.2.36)
trong đó:


/2
= độ dày lớp biên phân tầng. (9.2.37)
Phơng trình (9.2.37) có giá trị lớn nhất gần đáy:

c
U
kh
kH
U
m
2
2
2
3761
4
3761



,
sinh
,
max,

. (9.2.38)
Khi z/ -, phơng trình (9.2.37) cho ta vận tốc tại mép lớp biên:

c
U
kh
kH
U
m
2
2
2

4
5
sinh
16
5



(9.2.39)
trong đó:

221


H×nh 9.5. Nh÷ng vËn tèc vËn chuyÓn khèi lîng trong sãng kh«ng ®æ

222


b
U

= giá trị vận tốc quỹ đạo lớn nhất ngay ngoài lớp biên theo lý thuyết sóng tuyến
tính, phơng trình (9.3.25)
c = vận tốc sóng (/k).
Bằng việc giả thiết dòng khối lợng bằng không trên toàn bộ độ sâu nớc (M = 0),
Longuet - Higgins (1953) dẫn xuất:

)/(
sinh
8
)()()(
2
2
hzF
kh
kH
zUzUzU
esm


(9.2.40)
)1)(
2
3
2

2sinh
(
2
3
)143)(2sinh(
2
2
3
)(2cosh)/(
2
2
2
2

h
z
kh
kh
h
z
h
z
kh
kh
hzkhzF
.
(9.2.41)
Phơng trình (9.2.40) có thể xem nh tổng của dòng trôi Stokes về phía trớc
(phơng trình (9.2.28)) và phân bố vận tốc parabôn Euler, cho ta một dòng chảy về phía
trớc tại đáy và một dòng chảy ngợc lại tại giữa độ sâu (hình 9.5 C). Giải thích này

không chắc chắn lắm bởi vì nó liên quan đến một thành phần dựa vào dòng không nhớt
và một thành phần khác dựa vào dòng nhớt.
Những vận tốc tại mép lớp biên (z = - h):

c
U
kh
kH
U
s
2
2
2

2
1
sinh
8
1



(9.2.42)

c
U
kh
kH
U
e

2
2
2

4
3
sinh
16
3



(9.2.43)

c
U
kh
kH
U
m
2
2
2

4
5
sinh
16
5

. (9.2.44)
Phơng trình (9.2.40) hợp lệ đối với H < 2, cho ta một cấp độ cao sóng ít quan
trọng đối với thực hành. Dựa trên so sánh với kết quả thí nghiệm, đã nhận đợc những
dự đoán khá tốt đối với 0,7 < kh < 1,5.
Longuet - Higgins cũng cho thấy có thể sử dụng phơng trình (9.2.44) để mô tả vận
tốc vận chuyển khối lợng ngay bên ngoài lớp biên trong trờng hợp dòng dao động rối
trơn.
9.2.5. Các hiệu ứng phi tuyến: vận chuyển khối lợng trong sóng đổ
Vận chuyển khối lợng cũng phát sinh do sóng đổ. Trên mực chân sóng có vận
chuyển khối lợng thực tế hớng vào bờ. Theo xấp xỉ bậc nhất, khối lợng vận chuyển
trên mực chân sóng có thể đánh giá nh sau (xem phơng trình 9.2.34):

c
gH
M
e
8
2

. (9.2.45)
áp dụng c = (gh)
0,5
trong nớc nông, ta có:

223


h

gH
M
8
2

. (9.2.46)
Giả thiết không có dòng thực tế trong toàn bộ độ sâu, dòng trở lại, còn gọi là dòng
sóng dội, dới mực chân sóng có thể đánh giá bằng (xem hình 9.6):

t
offm
h
H
h
g
U
2
8
1

,
. (9.2.47)
Lấy h
t
= 0,8 h, ta có:

h
H
h
g

U
offm
2
150,
,

. (9.2.48)
Ví dụ
Giả thiết h = 2 m và H = 1,2 m, dòng chảy trở lại là
offmU ,
= 0,25 m/s.


Hình 9.6. Vận chuyển khối lợng trong sóng đổ
9.3. Các thuộc tính sóng tuyến tính
9.3.1. Mở đầu
Những thuộc tính sau đây của sóng tuyến tính biên độ nhỏ đợc xem xét:
bớc sóng
vận tốc lan truyền sóng
vận tốc hạt chất lỏng
độ dịch chuyển hạt chất lỏng
áp suất chất lỏng
năng lợng sóng và vận chuyển
vận tốc nhóm sóng và vận tốc front sóng.

224

Thông thờng các phơng trình mô tả những thuộc tính sóng có thể đơn giản hóa
cho nớc sâu và nớc nông bằng việc áp dụng những giá trị tiệm cận cho những hàm
hyperbolic.

Những hàm hyperbolic có thể biểu thị nh sau:

2
sinh
khkh
ee
kh





2
cosh
khkh
ee
kh





khkh
khkh
e
e
ee
kh

tanh
.

Bỏ qua những sai số nhỏ hơn 5 %, nói chung có thể áp dụng các xấp xỉ nớc sâu và
nớc nông (các hình 9.7 và 9.8):

Những xấp xỉ Nớc sâu kh < 0,1
(h < 0,05 L)
Nớc nông kh >
(h > 0,5 L)
sinh(kh) kh 1/2e
kh

cosh(kh) 1 1/2e
kh

tanh(kh) kh 1

Những tham số sóng nớc sâu nói chung đợc gán chỉ số dới 0, là H
0
, L
0
, c
0
vân
vân.

Hình 9.7. Chuyển động quỹ đạo trong nớc sâu và nớc nông


225


Hình 9.8. Các hàm hyperbolic

9.3.2. Quan hệ phân tán
Quan hệ phân tán biểu thị mối tơng quan hàm số giữa chu kỳ sóng, bớc sóng và
gia tốc trọng trờng nh sau:

khgk tanh
2


(9.3.1)
hoặc
)
2
tanh(
2
)(
2
L
hgL
T
L

. (9.3.2)
Phơng trình (9.3.1) cũng có thể biểu thị bằng:

khgkhk tanh
0

(9.3.3)

)
2
tanh(
0
L
h
LL


(9.3.4)

)
2
tanh(
0
L
h
cc


(9.3.5)

trong đó:
= 2 /T = tần số góc

226

k = 2 /L = số sóng
k
0
=
2
/g = 2 /L
0
= số sóng tại nớc sâu
L = bớc sóng
L
0
= bớc sóng tại nớc sâu (= 2 g/
2
)
T = chu kỳ sóng (hằng số)
c = L / T = vận tốc lan truyền sóng
c
0
= L
0
/T = vận tốc lan truyền sóng tại nớc sâu
h = độ sâu nớc.
Phơng trình (9.3.1) không thể giải tờng minh khi biết chu kỳ sóng T. Những
hàm xấp xỉ do Nielsen (1984) đa ra, chính xác đến 1% đối với kh < 3 (phơng trình
9.3.6) và bởi Hunt (1979), chính xác tới 0,1% đối với kh < (phơng trình 9.3.7).

),,(
2
031016601 yyykh
(9.3.6)
65432
22
00654002180063201610355066601 yyyyyy
y
ykh
,,,,,,
)(



(9.3.7)
trong đó:

2
2
22
024
4
Th
gT
h
g
h
y /,

.
Quan hệ phân tán, phơng trình (9.3.2) đợc đa vào dạng đồ thị trong hình 9.9
(Groen và Dorrestein, 1976).
Các giá trị đặc trng sau đây cho nớc nông và sâu:
Nớc sâu:


2
0
2
T
g
L


. (9.3.8)

T
g
c

2
0

. (9.3.9)
Nớc nông:

ghTL
(9.3.10)

ghc
. (9.3.11)
Độ dài sóng nhận đợc đối với T = 10 s và h = 50 m (cho ta y = 2,01) là:
kh = 2,068 và L = 151,9 m theo với phơng trình (9.3.6)
kh = 2,078 và L = 151,1 m theo với phơng trình (9.3.7)
L = 150 m theo hình 9.9.
Những phơng trình (9.3.2) và (9.3.5) dự đoán độ dài và vận tốc truyền sóng sẽ
giảm về phía bờ, giả thiết chu kỳ sóng không đổi và độ sâu giảm.

227


Hình 9.9. Quan hệ phân tán ở dạng đồ thị (Groen và Dorrestein, 1976)

Ví dụ,
T = 10 s:



L
0
= 156 m
L = 152 m
L = 131 m
L = 92 m
c
0
= 15,6 m/s
c = 15,2 m/s
c = 13,1 m/s

c = 9,2 m/s
tại h = 500 m
tại h = 50 m
tại h = 25 m
tại h = 10 m
ảnh hởng của dòng chảy
Khi sóng lan truyền vào trong nớc nông hơn gần bờ, chúng có thể gặp dòng chảy
tơng đối mạnh ảnh hởng tới những đặc trng sóng. Một dòng chảy ngợc với sóng
làm cho độ cao sóng tăng và bớc sóng giảm, nh vậy sóng trở nên dốc, thậm chí đạt

228

điểm sóng đổ. Một dòng chảy theo hớng sóng làm tăng bớc sóng và giảm độ cao sóng.
Mặc dầu độ cao và bớc sóng có thể thay đổi, chu kỳ sóng vẫn hầu nh không đổi
so với một hệ thống tọa độ cố định. Lý thuyết tuyến tính có thể vẫn ứng dụng cho hệ
thống tọa độ chuyển động với vận tốc dòng chảy (v).
Trớc hết, xem xét một dòng chảy đồng nhất theo không gian (v) đi theo sóng. Một
hệ tọa độ chuyển động với vận tốc v đợc đa ra. Độ dài sóng L' khi có mặt dòng chảy sẽ
không đổi đối với một hệ tọa độ chuyển động và cố định, nhng chu kỳ sóng và vận tốc
pha thay đổi phù hợp với hệ chuyển động. Chu kỳ sóng và vận tốc pha đối với hệ chuyển
động là c
r
và T
r
, cho ta:
L = cT = c
r
T
r
= (c=v)T

r
. (9.3.12)
Nh vậy,

TLv
T
cv
T
vc
Tc
T
r
)'/(1'/1'
'






. (9.3.13)
Một ngời quan sát chuyển động với vận tốc bằng vận tốc pha sẽ chịu một tình
huống ổn định với sóng "đóng băng" và T
r
= .
Trong trờng hợp dòng chảy (
v
) làm một góc với hớng sóng, cần phải lấy thành
phần vận tốc (
v

cos ) theo hớng sóng, cho ta:

TLv
T
cv
T
vc
Tc
T
r
)'/ cos (1
'/1'
'







. (9.3.14)
Chu kỳ sóng tơng đối cũng có thể biểu thị nh sau:


cos' vk
r

. (9.3.15)
Phơng trình (9.3.15) và phơng trình (9.3.11) là đồng nhất. Độ dài sóng L' có thể
xác định từ phơng trình phân tán mà giờ đây hợp lệ với hệ chuyển động, cho ta:

)'tanh('
2
hkgk
r


. (9.3.16)
áp dụng L ' = c
r
T
r
= (
r
/k')T
r
ta có:

'
2
tanh
2
'
)
'
(
2
L
hgL
T

L
r



(9.3.17)
hoặc
'
2
tanh
2
'
)cos
'
(
2
L
hgL
v
T
L




(9.3.18)
trong đó:
v
= độ lớn vectơ vận tốc trung bình độ sâu
= góc giữa hớng dòng chảy và hớng lan truyền sóng ( = 0

o
đối với dòng chảy
theo, = 180
o
đối với dòng chảy ngợc, = 90
o
đối với dòng chảy vuông góc với sóng)
c' = vận tốc lan truyền sóng (tuyệt đối) khi có mặt dòng chảy

229

T = chu kỳ sóng tuyệt đối ( = 2 /T)
c
r
= vận tốc lan truyền sóng tơng đối so với dòng chảy (= c
0
-
v
cos ).
Tr = chu kỳ sóng tơng đối so với dòng chảy ( = 2 /Tr)
L ' = bớc sóng khi có mặt dòng chảy
k' = số sóng khi có mặt dòng chảy (= 2 /L ').
Có thể xác định ảnh hởng của dòng chảy lên vận tốc pha và bớc sóng trong nớc
sâu bằng việc giả thiết rằng chu kỳ sóng vẫn không đổi đối với hệ tọa độ cố định, cho ta:


cos
'
'
'

,0
0
0
0
0
0
vc
L
c
L
c
L
T
r


. (9.3.19)
L
0
và c
0
là bớc sóng và vận tốc pha thay đổi do hiệu ứng dòng chảy đem lại.


Hình 9.10. ảnh hởng của dòng chảy lên bớc sóng và vận tốc pha trong nớc sâu

Trong nớc sâu: L
0
= 2c
0

2
/g, và L
0
' = 2c
2
0,r
/g (lý thuyết sóng tuyến tính tơng đối
hợp lệ với dòng chảy) sau khi thay vào phơng trình (9.3.19) cho ta:


cos
,0
,0
2
0
0
2
vc
c
c
c
r
r


hoặc
r
r
ccvc
,0

2
0,0
)cos(

. (9.3.20)
Lời giải phơng trình (9.3.20):

)
)cos4
11(
2
1
0
0,0
c
v
cc
r


. (9.3.21)
áp dụng L'
0
/ L
0
= (c
0,r
/c)
2
ta có:

230


2
0
00
)
)cos4
11(
4
1
'
c
v
LL


. (9.3.22)
Những phơng trình (9.3.21) và (9.3.22) đợc giới thiệu trong hình 9.10, cho thấy
bớc sóng giảm và vận tốc pha giảm trong trờng hợp có dòng chảy ngợc. Với

cosv
=
- 0,25 c
0
, cho ta L'/L
0
= 0,25, c
0,r

/c
0
= 0,25 và c
0
= c
0,r
+

cosv
= 0,5c
0
- 0,25c
0
= 0,25c
0

có nghĩa là năng lợng sóng không thể lan truyền ngợc lại dòng chảy.
Những phơng trình (9.3.22) và (9.3.18) cho ta những kết quả đồng nhất đối với
nớc sâu.
Ví dụ
Tính toán bớc sóng trong trờng hợp h = 10 m,
v
= 1 m/s, = 60 và T = 10 s.
Hình 9.9 đối với bớc sóng 92 m cho
v
= 0 m/s. Phơng trình (9.3.18) cho ta giá trị
chính xác bằng cách áp dụng phơng pháp lặp và bắt đầu với L = 92 m. Nh vậy:

L = 92 m
385775

92
862
286
92819
50
10
92
2
,,
,
tanh
,
,
),(
x

L = 97 m
486684
97
862
286
97819
50
10
97
2
,,
,
tanh
,

,
),(
x

L =98 m
686586
98
862
286
98819
50
10
98
2
,,
,
tanh
,
,
),(
x


Nh vậy, bớc sóng là 98 m và chu kỳ sóng tơng đối là T = 10,5 s. Khi bỏ qua ảnh
hởng dòng chảy, bớc sóng là L = 92 m. Vì

< 90 (theo dòng chảy), ta có

cosv
/c >

0 và nh vậy bớc sóng sẽ luôn luôn lớn hơn 92 m (xem hình 9.10).

9.3.3. Vận tốc hạt chất lỏng
Những vận tốc chất lỏng thẳng đứng và ngang có thể nhận đợc bằng việc lấy đạo
hàm của hàm thế , phơng trình (9.2.20), cho ta:

)cos(
sinh
)(cosh
2
kxt
kh
zhkH
U




(9.3.23)

)sin(
sinh
)(sinh
2
kxt
kh
zhkH
V

(9.3.24)

231

trong đó:
U = vận tốc chất lỏng ngang tại độ sâu z dới bề mặt, tại khoảng cách x và vào thời
gian t
W = vận tốc chất lỏng thẳng đứng tại độ sâu z dới bề mặt, tại khoảng cách x và
vào thời gian t
H = độ cao sóng
= 2 / T = tần số góc
k = 2 / L = số sóng
L = bớc sóng
h = độ sâu nớc từ mặt nớc tĩnh
x = toạ độ nằm ngang
z = toạ độ thẳng đứng, chiều dơng hớng lên trên từ mặt nớc = 0
t = thời gian.
Những biểu thức vận tốc chất lỏng cho thấy những đặc tính sau:
vectơ vận tốc (
v
) tại mỗi điểm mô tả một quỹ đạo hình êlip
vận tốc thẳng đứng và nằm ngang lệch pha 90
o

vận tốc ngang (U) lớn nhất phía trớc dới đỉnh sóng (xem hình 9.11).
vận tốc ngang (U) bằng không tại điểm có dao động mực nớc bằng không (hình
9.11)
vận tốc ngang có hớng theo hớng lan truyền sóng ở dới đỉnh sóng và ngợc

hớng lan truyền sóng ở dới chân sóng
vận tốc thẳng đứng (W) bằng không dới đỉnh sóng và chân sóng; nh vậy vectơ
vận tốc là nằm ngang dới đỉnh và chân sóng (hình 9.11)
vận tốc thẳng đứng (W) tăng theo hớng đi lên và lớn nhất tại giao điểm không
của profil sóng đi xuống, và giảm theo hớng đi xuống và nhỏ nhất tại giao điểm không
của profil sóng đi lên (hình 9.11)
vận tốc chất lỏng gần đáy về cơ bản là nằm ngang (W = 0).


Hình 9.11. Vận tốc chất lỏng trong một sóng ngắn tiến


232

Giá trị lớn nhất (biên độ) của vận tốc ngang tại mép lớp biên sóng gần đáy (z = - h)
rất quan trọng đối với những quá trình vận chuyển trầm tích, nh sau:

kh
H
U
sinh
2




. (9.3.25)
Về cơ bản, phơng trình (9.3.25) không hợp lệ trong nớc nông bởi vì lý thuyết
sóng biên độ nhỏ không hợp lệ trong trờng hợp đó. Tuy nhiên, những số đo vận tốc cho
thấy phù hợp tốt với những giá trị tính toán theo phơng trình (9.3.25).

Ví dụ
Những giá trị vận tốc ngang lớn nhất và độ dịch chuyển gần đáy đợc tính cho các
độ sâu và cho những chu kỳ sóng khác nhau (xem bảng dới)
độ sâu
nớc
chu kỳ
sóng
độ cao sóng

bớc
sóng
vận tốc ngang độ dịch chuyển
ngang
h (m) T (s) H (m) L (m)
)/(

smU


)/(

smA


10 5 3 37 0,71 0,57
10 10 3 92 1,28 2,04
5 5 2 30 1 0,8
5 10 2 68 1,3 2,07
2 5 0,5 21 0,49 0,39
2 10 0,5 44 0,54 0,86

Những kết quả này cho thấy vận tốc và độ dịch chuyển lớn hơn đối với một sóng
dài hơn (với cùng độ cao sóng và độ sâu nớc đó). Những hiệu ứng này trở nên yếu hơn
đối với những độ sâu nhỏ hơn.
9.3.4. Dịch chuyển hạt chất lỏng
Một hạt chất lỏng với một vị trí trung bình (x, z) mô tả một chuyển động quỹ đạo.
Những vị trí tức thời của hạt sẽ đợc biểu thị là x + A, z + B nh trong hình 9.12.
Những thành phần dịch chuyển (A, B) có thể nhận đợc bằng tích phân vận tốc đối với
thời gian:




T
BzAxtzx
dtUA
0
,,,
(9.3.26)




T
BzAxtzx
dtWB
0
,,,
. (9.3.27)
Bỏ qua A và B trong U

x+A, z+B
và W
x+A, z+B
ứng với x và z (sóng biên độ nhỏ), thay
phơng trình (9.3.23) và (9.3.24) và tích phân cho ta:

233


)sin(
sinh
)(cosh
2
kxt
kh
zhkH
A



(9.3.28)


)cos(
sinh
)(sinh
2
kxt
kh
zhkH

B



(9.3.29)
trong đó:
A = độ dịch chuyển ngang của hạt chất lỏng tại độ sâu z dới mặt nớc, tại khoảng
cách x và vào thời gian t
B = độ dịch chuyển thẳng đứng của hạt chất lỏng tại độ sâu z dới mặt nớc, tại
khoảng cách x và vào thời gian t.


Hình 9.12. Dịch chuyển hạt nớc

Giá trị lớn nhất (biên độ) của độ dịch chuyển ngang tại đáy:




U
kh
H
A

sinh
2


. (9.3.30)
Những phơng trình (9.3.28) và (9.3.29) biểu thị một quỹ đạo hình êlíp với trục dài

nhất song song với đáy và trục ngắn nhất thẳng góc với đáy. Độ dịch chuyển ngang (A)
và vận tốc ngang (U) lệch pha 90
o
. Tơng tự, B và W là lệch pha 90
o
. Trong nớc sâu
những biên độ dịch chuyển A và B bằng nhau và quỹ đạo là vòng tròn (xem hình 9.7).
Quỹ đạo trở nên dẹt theo sự giảm độ sâu nớc.
9.3.5. áp suất chất lỏng
Trờng áp suất dới một sóng tiến ngắn là phi thuỷ tĩnh và có thể nhận đợc từ
phơng trình Bernoulli không ổn định (9.2.10), cho ta:

)cos(
cosh
)(cosh
2
kxt
kh
zhkgH
ghP





. (9.3.31)
Số hạng đầu tiên bên vế phải phơng trình (9.3.31) là áp suất thuỷ tĩnh và số hạng
thứ hai gọi là áp suất động lực gây ra gia tốc hạt chất lỏng (xem hình 9.13).
Phơng trình (9.3.31) không chính xác gần mặt nớc bởi vì những số hạng bậc cao

234

hơn đã bị bỏ qua (Mục 9.2.2).


Hình 9.13. Trờng áp suất chất lỏng dới sóng ngắn tiến

Bởi vậy, phơng trình (9.3.31) áp dụng cho tới bề mặt với < 0 và tới z = 0 cho >
0. Trong trờng hợp sau giả thiết áp suất thuỷ tĩnh từ z = 0 tới z = , xem hình 9.13.
Trong điều kiện hiện trờng, độ cao sóng thờng đo bằng cách đặt máy đo áp suất
trên đáy. áp dụng phơng trình (9.2.22) và (9.3.31), có thể biểu thị áp suất chất lỏng
nh sau:

kh
zhk
gghP
cosh
)(cosh



. (9.3.32)
Tại mực đo nó trở thành:

p
KggaP


(9.3.33)
trong đó:

= biên độ mặt nớc tức thời tại vị trí x
kh
ahk
K
p
cosh
)(cosh


hệ số áp suất thích ứng
a = độ cao máy đo áp suất dới mặt nớc trung bình (z = -a).
Biên độ mặt nớc tính theo:

gKp
gaP





(9.3.34)
khi có sẵn số đo áp suất. Chu kỳ sóng cũng nhận đợc từ số đo áp suất. áp dụng quan
hệ phân tán, có thể tính toán biên độ mặt nớc.
9.3.6. Sóng đứng
Sóng đứng có thể coi nh sự chồng lên nhau của hai sóng tiến lan truyền ngợc
hớng với nhau.
Biên độ mặt nớc có thể biểu thị nh sau:

kxtH coscos

. (9.3.35)

235

Vận tốc ngang của chất lỏng U có thể biểu thị nh sau:

kxt
kh
zhk
HU sinsin
sinh
)(cosh



. (9.3.36)
Biên độ mặt nớc lớn nhất tại kx = n với n = 0,1,2 là nút nghịch. Tờng phản xạ
cũng là nút nghịch. Biên độ bằng không tại các nút kx = (n +1/2) . Vận tốc ngang lớn
nhất tại các nút thuận và bằng không tại các nút nghịch.
Sóng phản xạ và hình thành sóng đứng lên những công trình có mái dốc hoặc bờ
dốc. Các sóng chu kỳ dài khi đến một bãi phẳng và dốc thờng phát sinh sóng đứng bởi
vì độ dốc nhỏ của các sóng này (h/L) ngăn cản sóng đổ.
9.4. Lớp biên sóng
9.4.1. Bề dày lớp biên
Lớp biên sóng là một lớp mỏng hình thành nên lớp quá độ giữa đáy và lớp trên với
dòng chảy nhiễu động không quay (hình 9.11). Bề dày
W
lớp này mỏng (0.01 đến 0.1 m)

trong sóng chu kỳ ngắn (T 10 s) bởi vì dòng chảy đảo ngợc trớc khi lớp này có thể
tăng trởng theo hớng đứng. Bề dày lớp biên (
W
) có thể định nghĩa là khoảng cách
nhỏ nhất giữa đáy và một độ cao, tại đó vận tốc bằng giá trị lớn nhất của vận tốc dòng
tự do (

U

), nh trong hình 9.14.


Hình 9.14. Phân bố vận tốc trong lớp biên sóng

Trong dòng phân tầng bề dày lớp biên sóng là:




2

W
(9.4.1)

236

trong đó:
= (/2)
0,5
= quy mô độ dài Stokes

= 2/T = tần số góc.
Trong trờng hợp dòng rối (1976) Jonssen và Carlsen đề xuất:

250
0720
,
)

(,



s
W
k
A
A



đối với
1000

10
s
k
A

(9.4.2)
trong đó:

W
= bề dày lớp biên sóng

A

= giá trị lớn nhất của quỹ đạo ngay ngoài lớp biên
k
s
= độ cao nhám đáy Nikuradse.
Phơng trình (9.4.2) dựa trên nghiên cứu thí nghiệm và lý thuyết nhờ sử dụng
những phần tử nhám nhân tạo trong một tuynen sóng thí nghiệm.
Mặc dầu lớp biên sóng khá nhỏ, ứng suất trợt phát sinh và cờng độ rối khá lớn
và cơ bản quan trọng đối với những quá trình vận chuyển trầm tích.
9.4.2. Phân bố vận tốc
Những phơng trình động lợng cơ bản và điều kiện biên mô tả vận tốc ngang bên
trong lớp biên:

0
11









zx

P
t
U



(9.4.3)

0
1






x
P
t
U


(9.4.4)
U = 0 tại z = 0
U = U

=
tU

sin

tại z =
W
.
Thay phơng trình (9.4.4) vào phơng trình (9.4.3) cho ta:

0
1
)(






zt
UU



. (9.4.5)
Phơng trình (9.4.5) có thể giải bằng phơng pháp giải tích đối với dòng phân tầng
( = u/z) và bằng phơng pháp số đối với dòng rối ( = u/z). Cách tiếp cận đa
ra ở trên chỉ hợp lệ cho đáy phẳng.
Những ví dụ phân bố vận tốc khi dòng chảy lớn nhất đối với trờng hợp rối và phân
tầng đợc cho trong hình 9.14. Sự khác nhau cơ bản là hiệu ứng xáo trộn thẳng đứng
trong dòng rối cho ta phân bố đồng nhất hơn. Dòng rối là trờng hợp thú vị nhất đối với
những quá trình vận chuyển trầm tích, bởi vì dòng chảy sẽ rối trong trờng hợp đáy
gợn sóng và trong trờng hợp đáy phẳng có dòng mỏng sát đáy, cả hai đều là những chế

độ vận chuyển trầm tích quan trọng.