Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Phụ lục pot

296

Phụ lục
Phụ lục A: Các công thức
Cơ bản
ứng suất trợt do nhớt:
dz
du
dz
du



áp suất thủy tĩnh: p = g(h - z), z = chiều cao ở trên đáy
Lực thủy tĩnh: F = 1/2g(h-z)
2

Lu lợng: Q = A
u

Lu lợng đặc trng: q = h
u

Động lợng trên đơn vị bề rộng đi qua mặt cắt:
uqm



Động lợng đi qua toàn bộ mặt cắt ngang:
uQM

Phơng trình Bernoulli dọc theo một đờng dòng:
constz
g
p
g
u
H
e


2
2

Bán kính thủy lực:

A
R

Số Reynolds: Re =

Ru
(> 600 đối với dòng chảy rối)
Lực cản: F
D
= 1/2u
0
2

C
D
A
Lực nâng: F
L
= 1/2u
0
2
C
L
A
Dòng chảy sông
ứng suất trợt tại đáy:
b
= ghi
b

b
= gRi
b

2
2
C
u
g
b

2
*
u
b




297

vận tốc trợt tại đáy:
e
ghiu
*


e
gRiu
*


C
u
gu
*

Dòng chảy trơn thủy lực:
5
/

*
*


uk
u
k
ss

Dòng chảy nhám thủy lực:
70
/
*
*


uk
u
k
ss

Dòng chảy quá độ:
70
/
5
*
*


uk

u
k
ss

Phân bố vận tốc tổng quát:
)ln(
0
*
z
z
k
u
u
z


Mực vận tốc không:
s
k
u
z 330110
0
,,
*



Công thức Chezy:
e
hiCu

e
hiChq


u
= C(Ri
e
)
0,5

Q = CA(Ri
e
)
0,5

Công thức White-Colebrook hoặc hệ số Chezy:
)
/,
log(
*
uk
R
C
s

33
12
18

Công thức Strickler:
6/1
)(25
s
k
R
C

Số Froude:
1
gh
u
Fr
(< 1 cho dòng dới phân giới)

hg
u
Fr
(với
s
b
A
h
)
Độ sâu phân giới:
3/1
2

)(
g
q
h
c



Độ dốc phân giới:
2
C
g
i
c


Độ sâu cân bằng:
3/2
)(
b
e
iC
q
h


298


Phơng trình Belanger:

b
c
e
i
hh
hh
dx
dh
33
33





3
2
2
2
1
gA
Qb
ARC
Q
i
dx
dh
s
b

Phơng trình Carnot:
g
uu
H
L
2
)(
2
2
2
1
1




Đập tràn đỉnh rộng không hoàn chỉnh:
)(2
33
hHgmhq

Đập tràn đỉnh rộng hoàn chỉnh:
232321
711
3
2

3
2
///
,)( mHHgmq

Những sóng mặt dài
Vận tốc lan truyền (không có ma sát):
0
2
ghc

Vận tốc dòng chảy của sóng tiến:

00
)cos(

h
c
kxt
h
c
u

Bớc sóng cộng hởng :
1
2
4


n

l
L
res
với n = 0, 1, 2, 3
Chu kỳ sóng cộng hởng :
0
)12(
4
ghn
l
T
res


với n = 0, 1, 2, 3
Vận tốc lan truyền sóng lũ trong sông: c = 1,5
u

Hệ số Coriolis: f = 2sin
Bán kính Rossby:
f
gh
R
0


Vận tốc lan truyền dòng mật độ:
ghc

50,

Số Richardson:
2
)(
z
u
z
g
Ri








Những sóng mặt ngắn
Quan hệ phân tán:
khgk tanh
2




299

)

2
tanh(
0
L
h
LL



)
2
tanh(
0
L
h
cc



)
2
tanh(
2
)(
2
L
hgL
T
L

khgkhk tanh
0


k
0
=
2
/g = 2 /L
0
TLv
T
cv
T
vc
Tc
T
r
)'/ cos (1
'/1'
'

'
2
tanh
2
'
)cos
'
(
2
L
hgL
v
T
L






Vận tốc quỹ đạo lớn nhất tại đáy:
kh
H
U
sinh
2

Dịch chuyển quỹ đạo lớn nhất tại đáy:



2

sinh
2

UTU
kh
H
A

Bề dày lớp biên sóng:
250
0720
,
)

(,



s
W
k

A
A




ứng suất trợt tại đáy trung bình thời gian:
2
,

4
1


Uf
w
wb


ứng suất trợt lớn nhất tại đáy:
2
,

2
1



Uf
wwb

Hệ số ma sát:
190
256
,
)

(,exp(


s
w
k
A
f


f
w,max
= 0,3
Năng lợng sóng trên diện tích đơn vị:
2
8
1
gHE

Dòng năng lợng sóng:
EcEcnF
g



)
2
sinh
2
1(
2
1
kh
kh
n


Hệ số nớc nông:
22
11
cn
cn
K
s



300

HÖ sè khóc x¹:
2
1
b
b
K
r


§Þnh luËt Snell:
const
c


sin

§é dèc sãng giíi h¹n:
kh
L
H
br
tanh,)( 140

§é cao sãng giíi h¹n:
880,
h
H
br


Sãng rót t¹i ®êng sãng ®æ:
br
br
br
br
H
h
H
h

16
1
16
'
2


Sãng d©ng t¹i ®êng bê:
HHh
br

8
3
16
5
' 

VËn tèc dßng ch¶y däc bê:
brbr
br

gHv

cossin,171

Sãng ngÉu nhiªn: H
1/10
= 1,8 H
rms


H
1/3
=
2
H
rms
= 1,41 H
rms


H
=

2
1
H
rms
= 0,89 H
rms

Hrms
MH
,
,
0
2
80

H
1/3
2
= 16H
0,M
H
1/3
= 4



2
2
8
1
8
1
rms
i
gH
N

H
gE





urms
U

2
ˆ



u
U

2
ˆ
3/1






301

Phụ lục B : Toán học dùng trong cơ học chất lỏng

1. Các đạo hàm
Thông thờng cách viết /x và /t đợc sử dụng để biểu thị những thay đổi theo
không gian và thời gian của những tham số liên quan.
Xét một biến: z = f(x,y). Một ví dụ của biến này là độ cao bề mặt của trái đất trên
một mặt chuẩn. Mặt phẳng S trong hình 1 là một ví dụ khác của hàm số z = f(x,y).


Hình 1. Đạo hàm riêng của z(x,y), (Geidof, 1978)

Đạo hàm riêng của f(x,y) theo x tại điểm (x
1
, y
1
) là:

x
yxfyxxf
x
dx
d
x
z
x

),(),(
0
1111
lim
1
1

.
Tơng tự, đạo hàm riêng của f(x,y) theo y tại điểm (x
1
, y
1
) là:

y
yxfyyxf
y
dy
d
y
z
y

),(),(
0
1111
lim
1
1

.
áp dụng cong thay cho d thẳng chỉ ra một hàm của hai biến hoặc hơn.
Trong ý nghĩa hình học đạo hàm riêng z/x tại điểm (x
1
, y
1
) bằng tan
1
(xem hình
1).
Tơng tự, z/y = tan
2

.
Tam giác CAB trong hình 1 đợc thấy rõ hơn ở hình 2.


302


H×nh 2. §¹o hµm riªng

z/

x = tan

1
(Geldof, 1978)

Trong giíi h¹n x 0, nh÷ng tam gi¸c CAB vµ B
*
A
*
B lµ ®ång d¹ng, dÉn ®Õn:
CA
BA
AB
BA
x 
**
*
lim
0

1
*1
lim
tan0





x
zz
x

11
1*
lim
tan)tan(tan0





x
zz
x

1
1
tan





x
z
.
§¹o hµm cña hµm sè z = f(x,y) theo mét híng tuú ý (vÝ dô tõ ®iÓm 1 ®Õn ®iÓm 3,
h×nh 3) cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng viÖc xÐt vi ph©n cña z theo híng x vµ y.


H×nh 3. §¹o hµm cña z(x,y), (Geldof, 1978)

Vi ph©n toµn phÇn cña z gåm hai thµnh phÇn:

303

1. Vi phân
x
x
z




ứng với dịch chuyển trên khoảng cách x,
2. Vi phân
y
x
z

ứng với dịch chuyển trên khoảng cách y.
Nh vậy
y
y
z
x
x
z
z






31
với
1
tan




x
y
.

Sau khi lấy giới hạn:

dy
y
z
dx
x
z
dz







đợc gọi là vi phân toàn phần của z.
Đạo hàm của hàm số z = f(x,y) theo hớng từ điểm 1 đến điểm 3 bằng tan
3
, nh
trong hình 3. Nó cũng đợc gọi là đạo hàm theo hớng dy/dx = tan
1
.
Giá trị của tan
3
cho bằng:

22
3
tan

dydx
dz





21113
tansintancostan



với
x
z



1
tan

và
y
z



2
tan

.
Một trờng hợp đặc biệt là đạo hàm đối lu (cũng gọi là đạo hàm vật chất hoặc đạo
hàm thể chất). Nó biểu thị sự thay đổi theo thời gian của một tham số tại điểm P mà
một ngời quan sát chuyển động với vận tốc và hớng của điểm P thấy đợc. Ví dụ xét
nồng độ cát c tại điểm P trong một dòng sông (c = F(x,y,z,t)). Đạo hàm toàn phần theo
thời gian bằng:

dt
dz
z
c
dt
dy
y
c
dt
dx
x
c
t
c
dt
dc

và gồm một đạo hàm cục bộ theo thời gian c/t (c thay đổi theo thời gian tại một vị trí
cố định) và ba đạo hàm theo không gian. Định nghĩa những vận tốc dịch chuyển của
nồng độ tại điểm P là u = dx/dt, v = dy/dt và w = dz/dt, dẫn đến:

z
c
w
y
c
v
x
c
u
t
c
dt
dc

đợc gọi là đạo hàm đối lu.
Một công cụ toán học thờng đợc ứng dụng là chuỗi Taylor.
Nếu một hàm liên tục z = f(x,y) của hai biến độc lập x và y đợc biết tại x = x
0
, thì
nó có thể xấp xỉ ở vị trí x = x
0
+ x khác bằng chuỗi Taylor:
!
)(
!
2
)()(),(),(
000
2
2
2
00
n
x
x
fx
x
f

x
x
f
yxfyxxf
n
x
n
n
xx












với những đạo hàm của f(x,y) lấy tại x = x
0
. Đối với những giá trị nhỏ của x, các số

304

hạng chứa x
2
và cao hơn thờng đợc bỏ qua (chuỗi Taylor cắt cụt).

2. Những đại lợng vô hớng và vectơ
Một đại lợng vô hớng là một biến không có hớng (khối lợng, thể tích, năng
lợng).
Một vectơ là một biến có hớng (vận tốc, lực, động lợng, gia tốc).
Vectơ
a
trong một hệ tọa độ trực giao có thể biểu thị nh sau:

kajaiaa
321


với những vectơ đơn vị
i
,
j
,
k
và những độ dài hình chiếu a1, a2, a3 (hình 4).


Hình 4. Vectơ trong hệ tọa độ trực giao

Độ lớn của
a
, đợc biểu thị bằng |
a
|, theo đó:

2

3
2
2
2
1
aaaa
.
Hớng của
a
theo cos của các góc giữa
a
và những trục toạ độ. Ví dụ,

a
a
1
cos

.
a) Tích vô hớng

Tích vô hớng của hai vectơ bằng:


cos. baba

với = góc giữa
a
và
b

(0 < < ). Tích vô hớng của hai vectơ là một đại lợng vô
hớng với độ lớn phụ thuộc vào hớng của các vectơ (hình 5).

305

Giá trị lớn nhất là |
a
||
b
| nếu = 0.
Giá trị nhỏ nhất là -|
a
||
b
| nếu = .


Hình 5. Tích vô hớng của hai vectơ

Tích vô hớng cũng có thể viết nh sau:

332211321321
)).((. bababakbjbibkajaiaba

vì
1 kkjjii

và
0 ikkjji
.

b) Tích có hớng
Tích có hớng của hai vectơ là:

n
ebaba

sin.

với vectơ đơn vị
n
e
thẳng góc với mặt phẳng đi qua
a
và
b
; hớng của
n
e
xác định
theo quy tắc xoáy. Nh vậy, tích có hớng là một vecté có giá trị bằng diện tích bề mặt
của
a
và
b
(hình 6).

Hình 6. Tích véc tơ của hai vectơ

Tích có hớng cũng có thể viết nh sau:
kbabajbabaibabakbjbibxkajaiabxa )()()()()(

122131132332321321

vì
jkxiixk
ijxkkxj
kixjjxi





306

và
0 kxkjxjixi
.
c) Những đạo hàm không gian
Đạo hàm không gian của một đại lợng vô hớng F có thể biểu thị bằng một vectơ,
xác định là:

),,(
z
F
y
F
x
F
k
z
F

j
y
F
i
x
F
gradF
















.
Véc tơ gradF gồm ba vectơ thành phần theo những trục toạ độ trực giao, với các giá
trị bằng đạo hàm không gian theo hớng tơng ứng.
Cách viết gradF đôi khi đợc thay thế bởi F. Toán tử (nabla) là một toán tử
vectơ, xác định nh sau:

k

z
j
y
i
x








.
Nh vậy: F = grad F
Tích vô hớng của toán tử và vectơ vận tốc
v
= u
i
+ v
j
+ w
k
, phát sinh một
biến vô hớng gọi là div của
v
(rút ngắn là: div
v
).

z
w
y
v
x
u
vdivv








.
.
Tích véc tơ của toán tử và vectơ
v
là x
v
, và gọi là rot
v
hoặc curl
v
:
k
y
u
x

v
j
x
w
z
u
i
z
v
y
w
kwjviuxk
z
j
y
i
x
vx )()()()()(

.
Các ví dụ:
F = grad F : thế dòng chảy
.
v
= div
v
: bảo toàn thể tích
x
v
= rot
v
: dòng chảy quay.
d) Đạo hàm đối lu
Đạo hàm đối lu của biến vô hớng c là:

z
c
w
y
c
v
x
c
u
t
c
dt
dc













có thể đợc biểu thị nh sau:

)().(

()
()



v
tdt
d
.
Nh vậy là

307


cv
t
c
dt
dc
).(



.
Toán tử cũng có thể áp dụng cho vectơ
a
. Đạo hàm đối lu đợc cho bằng:

)(
)(

).(
z
a
w
y
a
v
x
a
u
t
a
a
z
w
y
v
x
u
t
a
av
t
a
dt
ad

3. Số phức và vectơ
Mong muốn của những nhà toán học có thể lấy căn những số âm là nguồn gốc của
số phức. Euler (1707-1783) đa ra một số i mới (số 1 ảo) và liên hệ nó với những số thực
bằng yêu cầu rằng:
i

2
= -1
do vậy
1i
là căn bậc hai dơng của -1. Ví dụ, biểu thức x
2
= -1 có những căn x
1
= i
và x
2
= - i.
Một số phức z tuỳ ý có dạng:
z = a + ib
trong đó a và b là những số thực. Thông thờng, a gọi là phần thực của z và b là phần
ảo của z, viết tắt là a = Re(z) và b = Im(z).
Giả sử z
1
= a + bi và z
2
= c + di, thì:
z
1
= z
2
nếu a = c và b = d
z
1
+ z
2

= (a + c) + i(b + d)
z
1
- z
2
= (a - c) + i(b - d)
z
1
z
2
= (a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i
2
bd = (ac - bd) + i(ad + bc)
22
2
1
)()(
dc
adbcibdac
idc
iba
z
z






.

Một số phức có thể vẽ nh một vectơ trong một mặt phẳng gọi là mặt phẳng phức.
Phần thực của số phức đợc sử dụng trên trục x nằm ngang và phần ảo trên trục y
thẳng đứng (hình 7). Nh vậy, trục hoành là trục thực và trục tung là trục ảo.
Đại lợng |z| = (a
2
+ b
2
)
0,5
gọi là mô đun của vectơ z. Góc là đối số của z.
Bởi vì a = r cos và b = r sin , dẫn đến:
z = r (cos + i sin ).

308


Hình 7. Hình vẽ vectơ của số phức

Tích số và thơng số của hai số phức z
1
= r
1
(cos
1
+ i sin
1
) và z
2
= r
2

(cos
2
+ i sin

2
) là:
z
1
z
2
= r
1
r
2
[cos (
1
+
2
) + i sin (
1
+
2
)].
Tích số là một số phức mới với mô đun|z
1
z
2
| = r
1
r

2
và đối số arg (z
1
z
2
) =
1
+
2
=
arg z
1
+ arg z
2.


2
1
2
1
r
r
z
z

[cos (
1
-
2
) + i sin (

1
-
2
)].
Một hệ quả của nó là (đối với mọi giá trị thực của n):
z
n
= r
n
[cos n + i sin n] = r
n
[cos + i sin ]
n
.
Về mặt toán học, có thể chứng minh rằng (bằng khai triển chuỗi):
cos + i sin = e
i


cos - i sin = e
-i

.
Từ đó dẫn đến:

2
cos


ii

ee



và
i
ee
ii
2
sin





.

309

Phụ lục C: Rối
1. Mở đầu
Hầu hết những dòng chảy trong tự nhiên là rối. Mỗi ngời từng quan sát dòng chảy
trong một dòng sông, đã thấy hiện tợng cơ bản của rối là sự tăng trởng và phân huỷ
những xoáy nớc xuất hiện một cách rất không đều và ngẫu nhiên. Tuy vậy, đặc biệt
khó để đa ra một định nghĩa chính xác của rối. Thông thờng, nói rằng rối là một
chuyển động chất lỏng không đều, trong đó các biến cho thấy sự biến đổi ngẫu nhiên
theo không gian và thời gian.
Những đặc trng quan trọng nhất của rối là:
Tính không theo quy luật hoặc tính ngẫu nhiên, yêu cầu một cách tiếp cận ngẫu
nhiên,

Khuếch tán gây ra sự xáo trộn nhanh của động lợng, nhiệt và khối lợng,
Tính ba chiều với những nhiễu động trong tất cả các hớng,
Tiêu tán động năng do tác động nhớt.
2. Nguồn gốc của rối
Trong dòng chảy phân tầng lúc ban đầu, rối đợc phát sinh bởi các bất ổn định
trong dòng chảy. Dòng chảy phân tầng trong ống trở thành rối khi số Reynolds (
U
D/)
vào khoảng 2000, trừ phi rất cẩn trọng để tránh phát sinh những bất ổn định có thể
thúc đẩy sự hình thành các xoáy lớn hơn.
Rối không thể tự nó duy trì mà phụ thuộc vào dòng chảy bao quanh để nhận đợc
năng lợng cho những chuyển động xoáy. Một nguồn năng lợng chung cho những
nhiễu động rối là sự trợt dòng chảy trung bình. Đó có thể là sự trợt tự do bởi những
khác biệt vận tốc trong những lớp chất lỏng, hoặc có thể là sự trợt phát sinh tại biên
(ma sát tờng). Nếu rối xuất hiện trong môi trờng không có sản sinh năng lợng, nó
phân huỷ vì những nhiễu động vận tốc sẽ mất đi.
3. Các loại rối
Phụ thuộc vào những điều kiện hình học, phân biệt những loại rối sau đây:
- rối đồng nhất, trong đó những thuộc tính rối không đổi trong không gian
- rối đẳng hớng tại đó những thuộc tính rối tại một điểm không đổi trong tất cả
các hớng
- rối tự do, phát sinh bởi những chênh lệch vận tốc khi không có biên cố định (dòng
tia, dòng rẽ sau vật cản, dòng lớp xáo trộn, xem hình 1)
- rối tờng phát sinh bởi sự trợt dọc tờng hoặc biên cố định (dòng lớp biên,dòng

310

tia dọc tờng, xem hình 1).

Hình 1. Các loại dòng chảy rối khác nhau
4. Cờng độ và năng lợng rối
Một hiện tợng tiêu biểu của dòng chảy rối là đặc tính nhiễu động của vận tốc tại
một điểm. Hình 2 cho thấy sự biến thiên của vận tốc tức thời theo thời gian tại một
điểm. Reynolds đề xuất cách thể hiện vận tốc tức thời U, V, W nh sau:
U = u + u' V = v + v ' và W = w + w '
trong đó:
u = vận tốc trung bình thời gian, xác định bằng

Udt
T
1
theo hớng x
u' = nhiễu động vận tốc tức thời theo hớng x.

Những biến tơng tự có thể xác định cho các hớng y và z.


Hình 2. Biến thiên vận tốc tức thời theo thời gian

Cờng độ rối tại một điểm là số đo sức mạnh hoặc cờng độ của những nhiễu động
vận tốc tại điểm đó và xác định bằng căn bậc hai trung bình bình phơng rms của
những nhiễu động vận tốc. áp dụng định nghĩa này, cờng độ rối là độ lệch chuẩn của

311

phân bố vận tốc so với vận tốc trung bình thời gian.
Nh vậy, những cờng độ rối (ký hiệu ) theo ba hớng là:

2'

u
u




2'
v
v




2'
w
w


.
Những nhiễu động vận tốc đợc bình phơng, lấy trung bình thời gian (gạch ngang
trên) và sau đó lấy căn.
Năng lợng rối (k) tại một điểm xác định nh sau:

2
2
2'2'2'
222
wvu
k
wvu

.
Những đo đạc trong lòng dẫn hở cho thấy rằng
u
,
v
và
w
có cùng bậc nh vận tốc
trợt tại đáy u
*
. Hình 3 cho thấy những phân bố thẳng đứng của tỷ số
u
/u
*
, và
w
/u
*

trong dòng chảy trơn, nhám và quá độ. ảnh hởng của độ nhám đáy chỉ đáng chú ý đối
với z/h < 0,2. Gần sát đáy, có thể quan sát những giá trị sau:

u
= (2 3)u
*

w
=

u
*.

5. Những quy mô chiều dài rối
Có thể phân biệt nhiều quy mô chiều dài của những chuyển động rối. Những quy
mô chiều dài này có thể giải thích là những quy mô chiều dài tiêu biểu của những xoáy
phát sinh và phân hủy trong dòng chảy rối. Một phổ rộng của những quy mô chiều dài
xoáy thể hiện từ những quy mô rất nhỏ với chuyển động chất lỏng phân tầng, cho đến
những quy mô lớn xấp xỉ bằng độ sâu nớc. Trong dòng chảy rối, những xoáy lớn hơn
liên tục vỡ thành những xoáy nhỏ hơn cho đến khi những xoáy nhỏ đến mức chuyển
động chất lỏng trở nên phân tầng lần nữa, làm cho năng lợng tiêu tán bởi tác động
nhớt (chuyển thành nhiệt). Quy mô chiều dài xoáy nhỏ nhất liên quan đến tiêu tán
năng lợng gọi là quy mô chiều dài Kolmogorov với những giá trị nhỏ hơn 1 milimet.
Để xác định nhiều quy mô chiều dài rõ hơn, cần đa ra hệ số tơng quan (R), xác
định nh sau:

)()(
),(),(
)(
''
,
BA
tButAu
R
ụi

uu
ụi
BA






trong đó:
u
i
(A, t) = nhiễu động vận tốc theo hớng i tại điểm A ở thời gian t
u
j
(B, t + ) = nhiễu động vận tốc theo hớng j tại điểm B ở thời gian t +

ui
(A) = cờng độ rối theo hớng i tại điểm A

uj
(B) = cờng độ rối theo hớng j tại điểm B

312

= chu kỳ trợt.


Hình 3. Cờng độ rối và ứng suất trợt (Grass, 1971)

Một đặc trng của xoáy là những vận tốc bên trong xoáy có tơng quan với nhau.
Quy mô chiều dài của các xoáy có thể xác định bằng cách so sánh vận tốc đồng thời ( =
0) ở hai điểm A và B ở khoảng cách x. Hãy giả thiết một nhiễu động vận tốc u
A
theo
hớng x tại điểm A, và một nhiễu động vận tốc u
B
theo hớng y tại điểm B.

u
A
u
B


A x B
Hệ số tơng quan R
A,B
là:

BA
uu
BA
BA
uu
R

''
,

Điều đó cho thấy R
A,B
= 1 đối với x = 0, có nghĩa là hoàn toàn tơng quan, và R
A,B

0 đối với x >> 0, có nghĩa là không tơng quan. Hình 4 cho thấy hệ số tơng quan là
một hàm của x. Hình dạng chính xác của đờng cong phụ thuộc vào cấu trúc rối. Khi có
những xoáy lớn hơn hiện hữu trong dòng chảy, đờng cong sẽ tiệm cận trục hoành với
những giá trị x lớn. Một số đo đối với quy mô chiều dài của những xoáy lớn nhất, chỉ ra

313

mối tơng quan giữa những vận tốc xoáy, là quy mô tích phân (A), xác định nh sau:



0
RdxA


Hình 4. Hệ số tơng quan

Những xoáy với quy mô chiều dài bằng quy mô tích phân chứa khoảng 50 % động
năng liên quan đến những nhiễu động vận tốc. Những giá trị A xấp xỉ bằng 0.1 độ sâu
nớc, A = 0,1 h. Vận tốc xoáy tiêu biểu của những xoáy u thế gần bằng cờng độ rối và
khoảng 0,1 vận tốc trung bình độ sâu
u
= 0,1
u

.
Dựa vào điều này, quy mô thời gian tiêu biểu liên quan đến sự tiến triển một xoáy
xấp xỉ bằng T = h/
u
, phát sinh những giá trị từ 1 tới 10s đối với những lòng dẫn hở.
Những tần số tiêu biểu nằm trong phạm vi từ 0,1 đến 1 herz.
6. Cấu trúc của những lớp biên rối
Biên trơn
Năng suất của động năng rối đóng vai trò cơ bản. Năng suất tập trung trong khu
vực gần biên. Phân tích những số liệu đo đạc cho thấy 50% năng suất xảy ra bên trong
5 % bề dày lớp biên và 80% năng suất là trong 20 % bề dày lớp biên.
Những nghiên cứu trực quan chỉ ra rằng bức tranh dòng chảy gần biên tồn tại nh
một quá trình tựa tuần hoàn, đợc gọi là quá trình bùng phát. Chu trình có đặc tính
đóng- mở và phân bố ngẫu nhiên trên mặt biên. Nó có tần số trung bình dễ xác định.
Quá trình bùng phát có thể mô tả nh sự thành tạo của 3 giai đoạn:
1. nâng chất lỏng động lợng thấp từ lớp con nhớt lên trên (xem hình 5)
2. tăng trởng nhiễu động của gói chất lỏng đợc nâng (= bùng phát) và pha tràn
đến tờng của chất lỏng động lợng cao (= quét). Hình 6 chỉ ra những phân bố vận tốc
tức thời tiêu biểu cho quá trình bùng phát
3. phá vỡ những nhiễu động, trừ những bùng phát đã rõ, thành các chuyển động
ngẫu nhiên hơn hoặc hỗn loạn hơn cùng dòng trở lại biên có vận tốc nhỏ. Đó là bắt đầu
quá trình làm cho các xoáy trở nên nhỏ hơn (những tần số cao hơn) và dẫn tới sự phân

314

bố lại năng lợng trên các xoáy và cuối cùng tiêu tán ở quy mô xoáy nhỏ nhất.


Hình 5. Chất lỏng vận tốc thấp nâng lên từ lớp con nhớt (Kim và nnk., 1971)

Hình 6. Profil vận tốc tức thời trong quá trình bùng phát (Kim và nnk., 1971)
Biên nhám
Trong trờng hợp này chu trình quét bùng phát đặc biệt mãnh liệt với việc chất
lỏng bị đẩy lên gần nh thẳng đứng từ giữa những khe của các phần tử nhám. Trong
thời gian những pha tràn, chất lỏng bị chậm lại chủ yếu bởi sức cản hình dạng (các áp
lực). Cơ chế bùng phát ảnh hởng trên toàn bộ độ sâu dòng chảy nh đã quan sát thấy
là do có sự sôi trên mặt tự do của dòng chảy.
7. ứng suất rối và mô hình hóa nó
Lấy trung bình thời gian phơng trình Navier-Stokes xuất hiện những số hạng mới
có thể giải thích nh những ứng suất pháp tuyến và tiếp tuyến (trợt). Ví dụ, ứng suất
trợt do rối trong một dòng đều là nh sau:

315


'' wu
xz


.
Những ứng suất rối bổ sung đợc gọi là ứng suất Reynolds.


Hình 7. Phân bố nhớt xoáy

Giả thiết u' = w' = 0,1
u
, ứng suất trợt do rối xấp xỉ bằng

2
01.0 u
t


. Những
ứng suất nhớt là
hu /



. Tỷ lệ của hai ứng suất là


/01.0/
2
hu
t

, dẫn đến
100/


t
đối với
u
h/ 10 000. Nh vậy, hầu nh trong tất cả các trờng hợp quan
tâm, ứng suất rối lớn hơn ứng suất nhớt rất nhiều. Hình 3 cho thấy phân bố ứng suất
trợt do rối trong một dòng đều.
Vấn đề khép kín rối là thể hiện những ứng suất trợt do rối. Boussinesq (1877) đa

ra khái niệm độ nhớt rối () tơng tự nh độ nhớt động học().
Nh vậy, đối với dòng đều:

316


dz
du
wu
xz

''
.
Tổng quát hơn:
)(
''
i
j
j
i
jiị
x
u
x
u
uu

.
Khái niệm này cho kết quả tốt đối với những dòng chảy lớp biên. Hình 7 cho thấy
phân bố đo đạc và dự đoán cho một dòng chảy lớp biên đều. Những giá trị cho ở dạng
phi thứ nguyên: /hu
*
, và /u
*
r nh một hàm của độ sâu z/h, z/r. Giả thiết phân bố ứng
suất trợt tuyến tính theo độ sâu = (1- z/h)u
*
2
, phân bố đợc xác định nh sau:

dz
du
u
h
z
z
/
)1(
2
*



.

Những građien vận tốc (du/dz) có thể rút ra từ những phân bố vận tốc đo đạc. Biết
h, u
*
, du/dz, những giá trị đợc xác định cho từng độ cao z, xem hình 7.
Trong trờng hợp phân bố vận tốc lôgarit, thấy rằng du/dz = u
*
/kz, dẫn đến một
phân bố parabôn của :

z
= (1 z/h)zku
*.
cũng đợc giới thiệu trong hình 7, thể hiện sự phù hợp hợp lý với những giá trị đo đạc.
Phơng pháp khép kín phổ biến nhất và đợc sử dụng rộng rãi cho những dòng
chảy phức tạp là mô hình k - epsilon, là cách khép kín hai phơng trình dựa trên những
phơng trình vận chuyển động năng rối (k) và mức độ tiêu tán (E) của nó. Những biến
k và E đợc xác định nh sau:

][
2
1
2'2'2'
wvuk


])()()()([
2
'
2
'

2
'
2
'
z
w
x
w
z
u
x
u
E













.
Những biến k và E liên quan tới độ nhớt xoáy (
f
) bằng:

E
k
C
f
2




trong đó:
C

= hằng số rối.
Những phơng trình vận chuyển năng lợng rối (k) và mức độ tiêu tán (E) cho
dòng chảy 2 chiều thẳng đứng nh sau:
0)()(
)()(
,,

E
z
u
zx
u
xz
u
x
u
p
z
wk
x
uk
k
f
k
f

xztxt








0)()()(
)()(
2
2
,,
1

k
E
C
z
E
zx
E
xz
u
x
u
p
k
E
C
z
wE
x
uE
E
E
f

E
f
xztxt
E








317

trong đó C
1E
, C
2E
,
k
và
E
là những hằng số vạn năng.
Giả thiết năng suất và tiêu tán năng lợng rối (k) bằng nhau và bỏ qua sự đối lu
của E, phơng trình vận chuyển đối với E rút gọn thành:

50
2
21
,

C
k
CC
E
EE

.
Tập hợp "chuẩn" các hằng số, nhận đợc bằng cách hiệu chỉnh trên máy tính đối
với những tia phẳng và những lớp xáo trộn là:
C


= 0,09, C
1E
= 1,44, C
2E
= 1,92,
k
= 1,
E
= 1,3, k = 0,435.



318

Phụ lục D: Phơng pháp đặc trng giải phơng trình dòng chảy
Những phơng trình liên tục và chuyển động đối với dòng không ổn định có thể giải

bằng phơng pháp đặc trng. Cách tiếp cận cơ bản là thay thế hai phơng trình này
bằng bốn phơng trình vi phân cấp 1, có thể giải khá dễ dàng bằng phơng pháp từng
bớc.
Trớc hết, xét một lòng dẫn lăng trụ rộng có đáy nằm ngang và bỏ qua ma sát đáy.
Những phơng trình là:

0
)(






t
h
x
hu
(1)

0








x

h
g
x
u
u
t
u
. (2)
Những điểm độ sâu h thỏa mãn phơng trình (1) và (2) nằm trong mặt phẳng h(x,t)
(xem hình 1) và điểm vận tốc
u
của lời giải nằm trong mặt phẳng u(x,t).
Những phơng trình (1) và (2) có thể biểu thị nh sau:

0
)(
gh
)(









t
gh
x

u
x
gh
u
(3)

0
)(









x
gh
x
u
u
t
u
. (4)
Thay c
0
2
= gh, dẫn đến:

02 c 2
0
0
0









t
c
x
u
x
c
u
(5)

02
0
0

x
c
c
x
u
u
t
u
. (6)
Cộng và trừ các phơng trình (5) và (6) dẫn đến:

0
)2(
)(
)2(
0
0
0






x
cu

cu
t
cu
(7)

0
)2(
)(
)2(
0
0
0






x
cu
cu
t
cu
. (8)
Nếu ta giả thiết
dt
dx
cu
0
thì phơng trình (7) biểu thị:

0
)2(
0


dt
cud
hoặc
constcur
0
2
hoặc
h
g
dh
ud

. (9)
Tơng tự, nếu ta giả thiết
dt
dx
cu
0
thì phơng trình (8) biểu thị:

319

0
)2(
0

dt
cud
hoặc
constcur
0
2
hoặc
h
g
dh
ud

. (10)
Nh vậy,
constcur
0
2
dọc theo đờng
dt
dx
cu
0
trong mặt phẳng x - t và
constcur
0
2
dọc theo đờng
dt

dx
cu
0
trong mặt phẳng x t với
ghc
0
.


Hình 1. Phơng pháp đặc trng

Những đờng
dt
dx
cu
0
trong mặt phẳng x - t gọi là những đờng đặc trng. Dọc
theo những đờng này
ghur 2
và
ghur 2
là những đại lợng không đổi.
Có 2 hớng đặc trng tại mỗi điểm của mặt phẳng x - t (xem hình 2). Một mặt phẳng
với những tọa độ
u
và
gh2
đợc đa ra để vẽ các đờng
constcur
0

2
(xem
hình 2). Những đờng tơng ứng có cùng một hớng. Một mặt phẳng với những tọa độ
u
, h cũng có thể áp dụng với những đờng đặc trng
h
g
dh
ud

.
Lời giải chỉ có thể nhận đợc khi đã cho những điều kiện biên: h và
u
ở một biên, h
hoặc
u
ở cả hai biên và khi đã cho những điều kiện ban đầu: h và
u
biết ở t = 0 tại
tất cả các giá trị x.

320

Ví dụ, giả thiết h = h
A
và
A
uu
đợc biết ở x = 0 trong hình 2, trong khi h và
u

đợc biết ở t = 0 tại tất cả các giá trị x. Tại điểm D những giá trị h
D
và
D
u
có thể tính
toán theo:

D
D
A
A
A
ghughur 22


D
D
B
B
B
ghughur 22
.
Những giá trị h
A
và
A
u
đợc biết (những điều kiện biên), những giá trị h
B

và
B
u

cũng đợc biết (những điều kiện ban đầu). Có sẵn hai phơng trình để giải h
D
và
D
u

và cứ nh thế.


Hình 2. Những đờng đặc trng

Trong trờng hợp lòng dẫn lăng trụ rộng có độ dốc đáy (i
b
) và xét đến ma sát đáy,
phơng trình cơ bản là:

h
C
uu
ggi
x
cu
cu
t
cu
b

2
0
0
0
)2(
)(
)2(






.
(11)

Những đờng đặc trng là:
dt
dx
cu
0
.
Những đại lợng bất biến (không đổi) dọc theo những đờng đặc trng là:

h
C
uu
ggi
dt
cud

b
2
0
)2(


. (12)
Cách tiếp cận băng số

constdt
hC
uu
ggicucu
b
t
t
tt


][]2[]2[
2
00
2
1
12
(13)