Toán cao cấp c2 đại học pps
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (235.52 KB, 15 trang )
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BÀI TẬP THƯỜNG KỲ
MÔN TOÁN CAO CẤP C2 ĐẠI HỌC
(
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
)
GVHD: ThS. Đoàn Vương Nguyên
Lớp học phần:……………………… Khoa:……………
Học kỳ:………Năm học:…………
Danh sách nhóm:
1. Nguyễn Văn A
2. Lê Thị B
………
HƯỚNG DẪN TRÌNH BÀY
1) Trang bìa như trên (đánh máy, không cần in màu, không cần lời nói đầu).
2) Trong phần làm bài tập, chép đề câu nào xong thì giải rõ ràng ngay câu đó.
3) Trang cuối cùng là Tài liệu tham khảo:
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A2 – ĐH Công nghiệp TP. HCM.
2. Khoa Toán Thống kê – Giáo trình Đại số tuyến tính – ĐH Kinh tế TP.HCM.
3. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A2 – NXB ĐHQG TP. HCM.
4. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp A2 – NXB Giáo dục.
5. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp A2 – NXB Giáo dục.
6. Lê Sĩ Đồng – Toán cao cấp Đại số Tuyến tính – NXB Giáo dục.
7. Bùi Xuân Hải – Đại số tuyến tính – ĐH KHTN TP. HCM.
Chú ý
• Phần làm bài bắt buộc phải viết tay (không chấp nhận đánh máy) trên 1 hoặc 2 mặt giấy A4 và đóng thành
tập cùng với trang bìa.
• Thời hạn nộp bài: Tiết học cuối cùng.
• Nếu nộp trể hoặc ghi sót tên của thành viên trong nhóm sẽ không được giải quyết và bị cấm thi.
• Mỗi nhóm có từ 1 (một) đến tối đa là 5 (năm) sinh viên. Sinh viên tự chọn nhóm và nhóm tự chọn bài tập.
• Phần làm bài tập, sinh viên phải giải bằng hình thức tự luận rõ ràng. Khuyến khích sinh viên làm các câu
khó (sẽ được đánh giá cao).
• Các dạng bài tập:
1. Từ câu 1 đến câu 12.
2*. Từ câu 13 đến câu 29.
3*. Từ câu 30 đến câu 39.
4*. Từ câu 40 đến câu 43.
5. Từ câu 44 đến câu 53.
6*. Từ câu 54 đến câu 69.
7*. Từ câu 70 đến câu 83.
8. Từ câu 84 đến câu 93.
9*. Từ câu 94 đến câu 106.
10*. Câu 107.
11. Từ câu 108 đến câu 109.
12*. Từ câu 110 đến câu 119.
13*. Câu 120.
14. T
ừ câu 121 đến câu 144.
15*. T
ừ câu 145 đến câu 178.
16*. Từ câu 179 đến câu 195.
17*. Từ câu 196 đến câu 208.
18*. Từ câu 209 đến câu 211.
19*. Từ câu 212 đến câu 228.
20*. Từ câu 229 đến câu 240.
21*. Câu 241.
22*. Từ câu 242 đến câu 249.
23*. Từ câu 250 đến câu 253.
24*. Câu 254.
25*. Câu 255, 256.
26*. Từ câu 257 đến câu 261.
27*. Câu 262, 263.
28*. Câu 264, 265.
• Cách ch
ọn bài tập như sau:
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 2
1) Nhóm chỉ có 1 sinh viên thì chọn làm 16 câu trong các dạng có dấu “*”, không được chọn 2 câu
trong cùng 1 dạng. Câu có nhiều câu nhỏ thì chỉ làm 1 câu nhỏ. VD. Chọn câu 108. 3).
2) Nhóm có từ 2 đến tối đa 5 sinh viên thì làm như nhóm có 1 sinh viên, đồng thời mỗi sinh viên tăng
thêm phải chọn làm thêm 10 câu trong 28 dạng liệt kê ở trên.
VD. Nhóm có 4 sinh viên thì số bài tập sẽ là: 16 + 10.3 = 46 câu.
3) Sinh viên tự đọc bài đọc thêm (phần cuối cùng) và làm thêm như sau:
a) Nhóm có từ 1 đến 2 sinh viên phải chọn làm thêm 3 câu trong phần Bài toán Kinh tế gồm: chọn
câu 1 hoặc 2; chọn câu 3 hoặc 4 hoặc 5; chọn câu 7 hoặc 8.
b) Nhóm có từ 3 đến 5 sinh viên phải làm hết 8 câu trong phần Bài toán Kinh tế.
………………………………………………………
ĐỀ BÀI TẬP
I. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Câu 1. Tính các định thức
=
0 1 2 0
2 2 7 0
A
7 3 4 1
0 4 4 0
;
=
2 1 1 1
1 2 1 1
B
1 1 2 1
1 1 1 2
.
Câu 2. Tính các định thức
=
7 3 4 1
0 1 2 0
A
2 2 7 0
0 4 4 0
;
=
3 1 1 1
1 3 1 1
B
1 1 3 1
1 1 1 3
.
Câu 3. Tính các định thức
=
0 1 2 0
7 3 4 1
A
1 2 7 0
0 4 4 0
;
−
−
=
−
−
2 1 1 1
1 2 1 1
B
1 1 2 1
1 1 1 2
.
Câu 4. Tính các định thức
=
0 0 1 2
7 1 3 4
A
1 0 2 7
0 0 4 4
;
−
−
=
−
−
3 1 1 1
1 3 1 1
B
1 1 3 1
1 1 1 3
.
Câu 5. Tính các định thức
=
7 1 3 4
0 0 1 2
A
1 0 2 7
0 0 4 4
;
−
−
=
−
−
4 1 1 1
1 4 1 1
B
1 1 4 1
1 1 1 4
.
Câu 6. Tính các định thức
=
4 1 3 7
0 0 1 2
A
1 0 2 4
0 0 7 7
;
=
4 1 1 1
1 4 1 1
B
1 1 4 1
1 1 1 4
.
Câu 7. Tính các định thức
=
1 1 2 0
2 3 4 1
A
1 1 7 0
2 2 2 1
;
=
5 1 1 1
1 5 1 1
B
1 1 5 1
1 1 1 5
.
Câu 8. Tính các định thức
=
4 1 0 0
2 3 0 0
A
0 0 7 1
0 0 2 1
;
=
1 1 1 1
1 2 1 1
B
1 1 3 1
1 1 1 4
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 3
Câu 9. Tính các định thức
=
0 2 1 2
0 1 3 4
A
2 1 0 0
1 1 0 0
;
−
=
−
1 1 1 1
1 2 1 1
B
1 1 3 1
1 1 1 4
.
Câu 10. Tính các định thức
=
0 0 1 2
0 0 3 4
A
1 1 1 2
2 1 3 5
;
=
4 1 1 1
1 3 1 1
B
1 1 2 1
1 1 1 1
.
Câu 11. Tính các định thức
=
1 1 1 2
2 0 3 2
A
1 1 2 4
2 4 4 8
;
−
−
=
−
1 1 1 1
1 2 1 1
B
1 1 3 1
1 1 1 1
.
Câu 12. Tính các định thức
=
2 1 1 2
2 0 1 2
A
1 1 4 4
1 1 1 2
;
=
4 0 1 2
8 0 3 4
B
6 1 1 2
14 1 3 5
.
Từ câu 13 đến câu 29 có câu hỏi chung là tìm tham số m để định thức ∆ có giá trị thỏa điều kiện cụ thể (trong từng câu).
Câu 13.
+
∆ = + −
− − −
m 8 7 6
m 1 m 2m 1
m 1 m 1 m 1
,
∆ =
0
. Câu 14.
+
∆ = + −
+ + +
m 8 7 6
m 1 m 2m 1
m 1 m 1 m 1
,
∆ =
0
.
Câu 15.
+
∆ = + −
+ + +
m 8 7 6
m 1 m 2m 1
m 1 m 1 m 1
,
∆ ≥
0
. Câu 16.
∆ =
1 1 3
1 2 m
1 1 m
,
∆ ≥
0
.
Câu 17.
∆ =
1 1 3
1 2 m
1 1 m
,
∆ >
0
. Câu 18.
∆ =
1 1 m
1 2 0
1 1 2
,
∆ <
0
. Câu 19.
∆ = −
1 0 m
2 1 2m 2
1 0 2
,
∆ >
0
.
Câu 20.
∆ =
1 2 1
0 m 1
1 0 1
,
∆ >
0
. Câu 21.
∆ = +
+
1 2 m
2 5 m 1
3 7 m 2
,
∆ >
0
.
Câu 22.
+
∆ =
2 m 2 4
m m 0
1 2 m
,
∆ =
0
. Câu 23.
+
∆ = + +
2 2m 2 4
m 1 2m 1 2
1 2 2m
,
∆ =
0
.
Câu 24.
∆ =
+ +
2 m 4
m 0 0
3 m 1 4 m
,
∆ =
0
. Câu 25.
+
∆ = − − −
+
2 2m 1 4
3 1 m
m 3 1 m
,
∆ >
0
.
Câu 26.
+ −
∆ = − + −
+ − −
2 2m 5 12
m 3 m 1 3m
m 3 m 1 3m
,
∆ >
0
. Câu 27.
+
∆ = +
2 2m 1 4
m 3 1 m
3 1 m
,
∆ >
0
.
Câu 28.
−
∆ =
m 0 2m m
1 m 1 m 0
1 1 0 0
m 0 0 0
,
∆ >
0
. Câu 29.
−
∆ =
m 0 0 0
1 m 1 0 0
1 1 m 0
m 2m 0 1
,
∆ >
0
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 4
Câu 30. Tính các định thức
=
x 2 2
A 2 x 2
2 2 x
;
=
+ + +
1 1 1
B a b c
b c c a a b
.
Câu 31. Tính các định thức
=
x 1 1 1
1 x 1 1
A
1 1 x 1
1 1 1 x
;
+
=
2
x 1 x 1 1
2 x 1 1
B
1 0 x 1
x 0 1 x
.
Câu 32. Tính det A,
=
1 0 3 0 1 2 1 3 2
A 2 1 1 1 1 0 2 1 3
3 2 2 2 0 1 3 2 1
. Câu 33. Tính det A,
=
1 0 3 0 1 2 1 3 5
A 2 1 1 1 1 0 5 0 1
3 2 2 2 0 1 3 1 0
.
Câu 34. Tính det A,
=
1 0 3 1 3 2 1 3 5
A 2 1 1 2 1 3 5 0 1
3 2 2 3 2 1 3 1 0
. Câu 35. Tính det A,
=
0 1 2 1 3 2 1 3 5
A 1 1 0 2 1 3 5 0 1
2 0 1 3 2 1 3 1 0
.
Câu 36. Tính det A
T
,
=
1 0 3 0 1 2 1 3 2
A 2 1 1 1 1 0 2 1 3
3 2 2 2 0 1 3 2 1
. Câu 37. Tính det A
T
,
=
1 0 3 0 1 2 1 3 5
A 2 1 1 1 1 0 5 0 1
3 2 2 2 0 1 3 1 0
.
Câu 38. Tính det A
T
,
=
1 0 3 1 3 2 1 3 5
A 2 1 1 2 1 3 5 0 1
3 2 2 3 2 1 3 1 0
. Câu 39. Tính det A
T
,
=
0 1 2 1 3 2 1 3 5
A 1 1 0 2 1 3 5 0 1
2 0 1 3 2 1 3 1 0
.
Câu 40. Không tính định thức, hãy chứng minh rằng:
1)
+ + +
+ + + =
+ + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
y z z x x y x y z
y z z x x y 2 x y z
y z z x x y x y z
;
2)
= − − − + +
3
3
3
1 a a
1 b b (a b)(b c)(c a)(a b c)
1 c c
;
3)
+ +
+ + = −
+ +
1 1 1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
a b x a x b c a b c
a b x a x b c (1 x ) a b c
a b x a x b c a b c
.
Câu 41*. Tính các định thức cấp n:
=
a x x x
x a x x
A
x x x a
;
+
+
=
+
1 2 n
1 2 n
1 2 n
1 a a a
a 1 a a
B
a a 1 a
.
HD:
2 n 1 2 n
2 n 1 2 n
2 n 1 2 n
1 a a a a a
0 1 a a a 1 a a
B
0 a 1 a a a 1 a
+ +
= +
+ +
.
Câu 42*. Tính các định thức:
=
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
A
1 1 1 1 0
(cấp n);
+
+
=
+
1 2 n
1 1 2 n
1 2 2 n
1 2 n n
1 a a a
1 a b a a
1 a a b a
B
1 a a a b
(cấp n + 1).
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 5
Câu 43*. Tính các định thức:
=
x y y y
y x y y
A
y y y x
(cấp n);
=
1 2 n
2 n
1 n
1 2
1 x x x
1 a x x
1 x a x
B
1 x x a
(cấp n + 1).
Câu 44. Giải phương trình:
− −
− −
=
2
1 x 1 1
1 x 1 1
0
0 1 1 1
0 2 0 2
. Câu 45. Giải phương trình:
− −
− −
=
1 2x 1 1
1 x 1 1
0
3 1 1 1
0 2 0 2
.
Câu 46. Giải phương trình:
− −
− −
=
2
1 2x 1 1
1 x 1 1
0
0 0 x 1
0 0 0 2
. Câu 47. Giải phương trình:
− −
=
1 x 1 1
1 x 1 1
0
0 1 1 1
0 2 0 2
.
Câu 48. Giải phương trình:
− −
=
2
x x 1 1
1 x 1 1
0
1 1 1 1
1 0 1 1
. Câu 49. Giải phương trình:
=
x x 1 x
x 1 1 1
0
x x 2 1
x x 1 3
.
Câu 50. Giải phương trình:
=
x x 1 0
1 2 1 1
0
2 2 1 2
x x 2 x
. Câu 51. Giải phương trình:
=
− −
x 1 0 0
1 x 0 0
0
1 1 x 2
1 1 2 x
.
Câu 52. Giải phương trình:
−
=
−
x 1 2 2
1 x 1 4
0
0 0 x 2
0 0 2 x
. Câu 53. Giải phương trình:
− +
−
=
−
+
2
5 100
1 x x 1 x 2
0 0 x 1 0
0
x 1 x x 2
0 0 x 1 x
.
Từ câu 54 đến câu 69 có câu hỏi chung là tìm hạng của ma trận A.
Câu 54.
=
1 2 3 4 5
2 4 6 8 11
A
3 6 9 12 14
4 8 12 16 20
. Câu 55.
=
1 3 5 7 9
2 4 6 9 10
A
3 5 7 9 11
4 6 8 10 12
. Câu 56.
=
1 2 3 4 5
5 10 15 20 35
A
3 7 9 12 14
4 8 13 16 20
.
Câu 57.
−
− − − −
=
1 1 1 1 3
1 2 1 1 3
A
2 0 1 2 3
4 0 2 4 7
. Câu 58.
−
=
− −
1 3 2 5
2 1 3 2
A
3 5 4 1
1 17 4 21
. Câu 59.
−
=
− − −
1 3 4 8
2 1 1 2
3 2 5 10
A
3 5 2 4
1 17 18 36
.
Câu 60.
=
1 2 3 4
2 4 9 6
A
1 2 5 3
1 2 6 3
. Câu 61.
=
1 1 2 4 3
2 1 4 8 5
A
4 2 8 16 10
5 2 10 20 12
. Câu 62.
=
2 3 3 1 5
4 4 6 2 10
A
8 6 12 4 20
10 8 15 5 26
.
Câu 63.
−
=
− −
4 1 3 4 5
1 5 2 1 4
A
5 4 1 5 9
2 5 7 2 3
. Câu 64.
− −
−
=
− −
−
2 1 1 2 1
3 1 0 2 1
A
7 1 2 2 1
13 1 2 2 1
. Câu 65.
− −
−
=
− −
2 1 1 2 1
3 1 0 2 1
A
9 2 3 4 2
15 0 3 0 2
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 6
Câu 66.
−
−
=
−
−
1 2 1 1 2
2 4 1 0 2
A
4 8 1 2 2
7 15 9 8 18
. Câu 67.
−
−
=
−
−
1 1 1 2 2
2 1 0 4 2
A
4 1 2 8 2
7 9 8 14 18
.
Câu 68.
− −
−
=
− −
−
3 1 1 2 1
3 1 0 2 1
A
9 1 2 2 1
15 1 2 2 1
. Câu 69.
=
2 1 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2
A
3 4 3 4 3 4
5 5 6 7 5 5
.
Từ câu 70 đến câu 83 có câu hỏi chung là tìm tham số m để ma trận A có hạng (r(A)) cụ thể (được chỉ ra trong từng câu).
Câu 70.
− +
=
− + +
1 m 1 2
2 3m 1 2 m 4
A
4 5m 1 m 4 2m 7
2 2m 2 4
, r(A) = 3. Câu 71.
− +
=
− + +
+
1 m 1 2
2 3m 1 2 m 4
A
4 5m 1 m 4 2m 7
2 2m 2 m 4
, r(A) = 3.
Câu 72.
=
+
+
3 m 0 1
6 2m m 2
A
9 3m 0 m 2
15 5m 1 0 7
, r(A) = 2. Câu 73.
=
+
3 m 0 1
6 2m m 2
A
9 3m 0 m 2
15 5m 0 7
, r(A) = 2.
Câu 74.
− + +
=
− + +
1 m 1 2
2 3m 1 m 2 m 3
A
4 5m 1 m 4 2m 7
2 2m 2 4
, r(A) = 2. Câu 75.
− +
=
− + +
1 m 1 2
2 3m 1 2 m 4
A
4 5m 1 m 4 2m 7
4 4m 4 8
, r(A) = 2.
Câu 76.
=
+
+
1 3 2 3
2 5 4 5
A
3 8 6 m 9
2 5 4 m 6
, r(A) = 2. Câu 77.
=
+
+
1 1 3 3
3 2 8 8
A
3 2 8 m 9
2 1 5 m 6
, r(A) = 2.
Câu 78.
−
− +
=
−
−
1 1 3 4
8 4 16 2m 5
A
3 2 7 m
5 2 9 m
, r(A) = 2. Câu 79.
− −
− −
=
− −
− −
1 2 3 4
2 3 4 5
A
3 5 7 9
5 7 9 m
, r(A) = 2.
Câu 80.
=
+
+
1 2 1 1
2 5 4 5
A
1 3 4 m 4
4 10 9 m 10
, r(A) = 2. Câu 81.
−
−
=
−
−
1 2 3 4
2 3 4 5
A
3 5 7 m
5 7 9 m
, r(A) = 3.
Câu 82.
=
1 2 3 4
2 3 4 5
A
3 5 7 m
5 7 9 m
, r(A) = 2. Câu 83.
+
=
+
1 2 3 4
5 8 11 m 15
A
2 3 4 5
3 5 7 10 m
, r(A) = 2.
Câu 84. Tính: a)
−
− −
−
− −
1 3
1 0 2 1 2
2 2
0 3 1 1 0
3 1
; b)
−
−
1 2 3
3 2 1
3 2 1
1 3 0
0 1 2
.
Câu 85. Tính:
−
1 4
1 1 0 2
1 2 3 2 1
0 1 1 0
3 0 4 3 2
1 0 2 1
4 3
. Câu 86. Tính:
−
1 4
1 1 0 2
1 2 4 2 1
0 1 1 0
3 0 1 3 2
1 0 2 1
4 3
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 7
Câu 87. Tính:
− −
−
1 4
1 1 0 2
1 2 3 2 1
0 1 1 0
0 3 4 3 2
1 0 2 1
4 3
. Câu 88. Tính:
− −
− −
− −
1 4
1 1 0 2
1 2 3 2 1
0 1 1 0
3 0 4 3 2
1 0 2 1
4 3
.
Câu 89. Tính:
− −
− −
− − −
1 1 0 1 2 3 1 1 0 1
0 1 1 3 2 1 0 1 1 0
1 0 1 2 1 3 1 1 1 1
. Câu 90. Tính:
− −
− −
− − − −
1 1 0 1 2 3 1 1 0 1
0 1 1 3 2 1 1 1 1 0
1 1 1 2 1 3 0 1 1 1
.
Câu 91. Tính:
−
− −
−
− −
T
1 3
1 0 2 1 2
2 2
0 3 1 1 0
3 1
. Câu 92. Tính:
−
−
T
1 2 3
3 2 1
3 2 1
1 3 0
0 1 2
.
Câu 93. Tính:
− −
− −
− − − −
T
1 1 0 1 2 3 1 1 0 1 3 5 1
0 1 1 3 2 1 1 1 1 5 0 1 0
1 1 1 2 1 3 0 1 1 3 1 0 1
.
Câu 94. Tính
n
1 1
0 1
. Câu 95. Tính
6
2 1
1 3
. Câu 96. Tính
− −
5
3 2
4 2
. Câu 97. Tính
n
x 1
0 x
.
Câu 98. Cho ma trận
=
0 0
A
1 0
, tính
(
)
2010
2
I A−
. Câu 99. Cho ma trận
=
−
0 0
A
1 0
, tính
(
)
2010
2
I A−
.
Câu 100. Cho ma trận
=
0 1
A
0 0
, tính
(
)
2010
2
I A−
. Câu 101. Cho ma trận
−
=
0 1
A
0 0
, tính
(
)
2010
2
I A−
.
Câu 102. Cho ma trận
=
0 1 0 0
0 0 1 0
A
0 0 0 1
0 0 0 0
, tính A
T
A. Câu 103. Cho ma trận
=
0 1 0 0
0 0 1 0
A
0 0 0 1
0 0 0 0
, tính AA
T
.
Câu 104. Cho ma trận vuông cấp 100:
(
)
=
ij
A a
, trong đó phần tử ở dòng thứ i là (–1)
i+j
. Tìm phần tử a
41
của A
2
.
Câu 105. Cho ma trận vuông cấp 100:
(
)
=
ij
A a
, trong đó phần tử ở dòng thứ i là (–1)
i
.i. Tìm phần tử a
41
của A
2
.
Câu 106. Cho ma trận vuông cấp 100:
(
)
=
ij
A a
, trong đó phần tử ở dòng thứ i là i
2
. Tìm phần tử a
14
của A
2
.
Câu 107. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp biến đổi sơ cấp trên dòng:
1)
=
1 0 3
A 2 1 1
3 2 2
; 2)
=
0 1 2
B 1 1 0
2 0 1
; 3)
=
1 3 2
C 2 1 3
3 2 1
; 4)
=
1 3 5
D 5 0 1
3 1 0
;
5)
1 2 0 1
1 1 2 0
E
0 1 1 2
2 0 1 1
=
; 6)
2 1 0 2
2 2 1 0
F
0 2 2 1
1 0 2 2
=
; 7)
1 1 0 0
0 1 1 0
G
0 0 1 1
1 0 0 1
=
.
Câu 108. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp ma trận phụ đại số (adjA):
1)
=
1 0 3
A 2 1 1
3 2 2
; 2)
=
0 1 2
B 1 1 0
2 0 1
; 3)
=
1 3 2
C 2 1 3
3 2 1
; 4)
=
1 3 5
D 5 0 1
3 1 0
.
Câu 109. Thực hiện các phép tính sau:
1)
− − − −
=
− −
1 1 1 1
0 1 0 1 0 2 3 0
A
1 0 2 1 1 0 2 1
; 2)
1 1 1 1
0 2 3 0 0 1 0 1
B
1 0 2 1 1 0 2 1
− − − −
=
− −
;
3)
1 1 1 1
0 2 0 1 3 0 0 1
C
1 0 1 0 2 1 2 1
− − − −
=
− −
; 4)
1 1 1 1
0 2 0 1 0 1 3 0
D
1 0 1 0 2 1 2 1
− − − −
=
− −
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 8
Từ câu 110 đến câu 119 có câu hỏi chung là tìm điều kiện của tham số m để ma trận A khả nghịch.
Câu 110.
+
= +
m 1 1 3
A 2 m 2 0
2m 1 3
. Câu 111.
+
= + +
+ +
m 1 1 3
A m 3 m 3 3
2m 2 m 3 3
.
Câu 112.
+ +
= +
− +
m 1 m 2 0
A 2 m 2 0
m 4 3 m 2
. Câu 113.
=
+
3 1 m
A 2 3 1
7 7 2m 3
.
Câu 114.
−
= − −
− −
2 2 0
A m 1 m 1
1 3 m 1
. Câu 115.
− −
= +
+ +
3 1 3
A m 1 m 7
m 3 0 2m 7
.
Câu 116.
− −
= −
+ − −
3 2 3
A m 1 m 1
m 6 3 m 7
. Câu 117.
− −
= − −
− −
1 2 3
A m 1 m 4
1 3 5
.
Câu 118.
−
= − −
− −
2 2 0
A m 1 m 1
1 3 m 1
. Câu 119.
m 1 2 m
A 0 m 1 3
m 0 m 1
−
= +
−
.
Câu 120. Biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số m:
1)
=
1 2 3 4 5
4 6 8 9 10
A
5 8 11 13 16
10 16 22 26 m
; 2)
=
−
2 1 3 4 2 8
1 0 1 1 0 0
B
3 4 2 4 1 1
5 5 5 8 3 m
;
3)
− −
− − −
=
−
1 2 1 1 1
m 1 1 1 1
C
1 m 0 1 1
1 2 2 1 1
; 4)
=
1 2 1 0 m 1
2 5 3 1 2m 3
D
3 7 4 1 3m 4
5 12 7 2 5m m
.
Từ câu 121 đến câu 144 có câu hỏi chung là giải hệ phương trình tuyến tính.
Câu 121.
+ − =
+ − =
+ − =
x y z 2
2x y 3z 1
3x 2y 4x 3
. Câu 122.
+ + =
+ + =
+ + =
x 2y z 1
2x 6y 3z 2
x 5y 3z 0
. Câu 123.
− − =
− − =
− − =
x y z 3
2x 2y 2z 6
5x 5y 5z 15
.
Câu 124.
+ + =
+ + =
+ + =
3x 6y 2z 11
4x 9y 4z 17
x 3y z 5
. Câu 125.
+ + =
− + =
+ + =
2x 3y 3z 0
x 2y z 1
3x y 4z 1.
. Câu 126.
+ − =
− + = −
+ − =
x 3y 4z 4
x 2y z 1
x 2y 3z 3.
.
Câu 127.
+ − =
+ − =
+ − =
5x 12y 12z 2
2x 5y 5z 1
3x 7y 7z 1.
. Câu 128.
− + =
− − =
− + =
x y 2z 1
3x 2y z 0
4x 3y z 2.
. Câu 129.
+ + =
+ + =
+ + =
x y z 0
2x 3y z 1
3x 4y 3z 1.
.
Câu 130.
− − =
+ + =
− − =
x y 2z 0
x y 4z 2
2x 2y 5z 0.
. Câu 131.
− − =
+ − =
+ − =
x y z 3
2x y 2z 0
5x y 5z 3.
. Câu 132.
− + =
− + =
− + =
x 3y 4z 1
2x 5y z 2
5x 13y 6z 5.
.
Câu 133.
− + =
− + =
− + =
x 3y 4z 1
2x 5y z 2
5x 13y 7z 5.
. Câu 134.
− + =
− + =
− + =
x 3y 4z 1
2x 6y 8z 2
5x 15y 21z 5.
.
Câu 135.
− + =
− + =
− + =
x 3y 4z 1
2x 6y 8z 2
5x 15y 20z 5.
. Câu 136.
+ − =
+ − =
+ − =
3x 4y 3z 2
4x 7y 4z 6
2x 3y 2z 2.
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 9
Câu 137.
+ + + + =
+ + + − = −
+ + + =
+ + + − =
x y z t u 7
3x 2y z t 3u 2
y 2z 2t 6u 23
5x 4y 3z 3t u 12
. Câu 138.
+ − − + =
− + + − =
+ − − + =
+ − − + =
2x y z t u 1
x y z t 2u 0
3x 3y 3z 3t 4u 2
4x 5y 5z 5t 7u 3
.
Câu 139.
− + − + =
+ − + − =
− + − + =
− + − + = −
2x 2y z t u 1
x 2y z t 2u 1
4x 10y 5z 5t 7u 1
2x 14y 7z 7t 11u 1
. Câu 140.
+ − + − =
− + − + =
+ − + − =
− + − + =
3x y 2z t u 1
2x y 7z 3t 5u 2
x 3y 2z 5t 7u 3
3x 2y 7z 5t 8u 3
.
Câu 141.
+ + + + =
+ + + − =
+ + + =
+ + + − =
x y z t u 0
3x 2y z t 3u 0
y 2z 2t 6u 0
5x 4y 3z 3t u 0
. Câu 142.
+ − − + =
− + + − =
+ − − + =
+ − − + =
2x y z t u 0
x y z t 2u 0
3x 3y 3z 3t 4u 0
4x 5y 5z 5t 7u 0
.
Câu 143.
− + − + =
+ − + − =
− + − + =
− + − + =
2x 2y z t u 0
x 2y z t 2u 0
4x 10y 5z 5t 7u 0
2x 14y 7z 7t 11u 0
. Câu 144.
+ − + − =
− + − + =
+ − + − =
− + − + =
3x y 2z t u 0
2x y 7z 3t 5u 0
x 3y 2z 5t 7u 0
3x 2y 7z 5t 8u 0
.
Từ câu 145 đến câu 178 có câu hỏi chung là biện luận số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính theo tham số m.
Câu 145.
− + − =
+ =
(m 1)x (m 1)y 1
x my 0
. Câu 146.
(
)
(
)
+ + + =
+ =
m 1 x m 1 y 0
x my 0
.
Câu 147.
(
)
(
)
( )
+ + + =
+ + =
2 m 1 x m 10 y m
mx m 2 y 2m
. Câu 148.
α + α =
α − α =
x sin y cos m
x cos y sin 2m
(
α
cho trước).
Câu 149.
( )
+ =
+ + =
mx 2y 1
m 1 x 3y 1
. Câu 150.
(
)
( )
+ + = +
+ − =
mx m 2 y m 1
m 2 x y 0
.
Câu 151.
(
)
( )
+ + = +
+ + =
m 1 x y m 2
x m 1 y 0
. Câu 152.
( )
+ =
+ + =
mx 2y 1
m 1 x 3y 1
.
Câu 153.
+ =
+ =
mx y m
x my m
. Câu 154.
+ − = + +
+ = +
2
3
mx (6m 9)y 2m 3m 2
x my m 1
.
Câu 155.
(
)
(
)
(
)
+ + − = +
+ + = +
2
m 1 x 6m 4 y 2m 4
x m 1 y m 4
. Câu 156.
(
)
− = + +
− + =
2
mx y 2m m 1
m 2 x y m
.
Câu 157.
+ − =
+ − =
+ − = +
2x 2y z 3
2x 5y 2z 7
6x 6y 3z 2m 1.
. Câu 158.
+ − =
+ − =
+ + =
x 2y 2z 0
2x 4y 5z 1
3x 6y mz 1.
.
Câu 159.
+ + =
+ − =
+ + =
x y z 0
x 2y mz 1
2x 3y 2z 1.
. Câu 160.
+ − =
+ − =
+ + =
x 2y 2z 2
3x 7y z 5
2x 4y mz 7.
.
Câu 161.
+ − =
+ − =
+ − =
x 2y 2z 2
2x 4y 5z 5
3x 6y mz 7.
. Câu 162.
+ + =
+ − = +
+ − =
4x 3y z 7
2x 4y 2z m 7
x 2y z 4.
.
Câu 163.
− + =
+ − =
− + =
3x y 2z 3
2x y 2z m
x 2y 4z 4.
. Câu 164.
+ − =
+ + =
+ + + =
2x 3y z 1
4x 7y 2z 2
8x 12y (m 6)z 5.
.
Câu 165.
+ − =
+ + + − = +
+ + + − = +
2x 3y z 1
4x (m 5)y (m 3)z m 1
8x (m 11)y (m 5)z m 4.
. Câu 166.
+ − =
+ + + − = +
+ + − = +
2x 3y z 1
4x (m 5)y (m 3)z m 1
8x 12y (m 4)z m 4.
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 10
Câu 167.
+ − =
+ + + − = +
+ + − = +
2x 3y z 1
4x (m 5)y (m 3)z m 2
8x 12y (m 4)z m 4.
. Câu 168.
+ + − =
+ − =
+ + − =
2x 4y 2(7 m)z 4
2x 4y 5z 1
5x 10y (m 5)z 4.
.
Câu 169.
+ + =
+ + =
+ + =
2
mx y z 1
x my z m
x y mz m
. Câu 170.
+ + + =
+ − + =
+ + + + =
(m 3)x y 2z m
mx (m 1)y z 2m
3(m 1)x my (m 3)z 3
.
Câu 171.
− + + + =
+ + + =
+ + + + + =
2
(3m 1)x 2my (3m 1)z 1
2mx 2my (3m 1)z m
(m 1)x (m 1)y 2(m 1)z m
. Câu 172.
+ + =
+ + =
+ + =
2
x my m z 1
x 2y 4z 2
x 3y 9z 3
.
Câu 173.
− + + =
+ − + = +
+ − − = −
x 2y z 2t m
x y z t 2m 1
x 7y 5z t m
. Câu 174.
+ − + =
+ − + = +
+ − + =
x 2y z t m
2x 5y 2z 2t 2m 1
3x 7y 3z 3t 1
.
Câu 175.
− + − =
+ − + =
+ − =
+ =
x y 2z 2t 0
2x y z t 3
3x z t 3
5x y m
. Câu 176.
− + − + =
+ − − + =
+ + − + =
+ − + = −
2x y z 2t 3u 3
x y z t u 1
3x y z 3t 4u 6
5x 2z 5t 7u 9 m
.
Câu 177.
− + + =
+ − + =
+ − + =
+ − + = +
2x y z t 1
x 2y z 4t 2
x 7y 4z 11t m
4x 8y 4z 16t m 1
. Câu 178.
+ − + =
− + + =
+ − + =
+ − + =
2x y z 2t 4
x y z 2t 3
2x 2y 2z t 3
x y 2z t m
.
Từ câu 179 đến câu 195 có câu hỏi chung là tìm điều kiện của tham số m để hai hệ phương trình có nghiệm chung.
Câu 179.
x y z t 2m 1
x 7y 5z t m
+ − + = +
+ − − = −
và
x 2y z t m
2x 5y 2z 2t 2m 1
+ − + =
+ − + = +
.
Câu 180.
x 2y z 2t m
x 7y 5z t m
− + + =
+ − − = −
và
x 2y z t m
3x 7y 3z 3t 1
+ − + =
+ − + =
.
Câu 181.
x 2y z 2t m
x y z t 2m 1
− + + =
+ − + = +
và
2x 5y 2z 2t 2m 1
3x 7y 3z 3t 1
+ − + = +
+ − + =
.
Câu 182.
x y 2z 2t 0
2x y z t 3
− + − =
+ − + =
và
2x y z 2t 3u 3
x y z t u 1
− + − + =
+ − − + =
.
Câu 183.
x y 2z 2t 0
5x y m
− + − =
+ =
và
2x y z 2t 3u 3
5x 2z 5t 7u 9 m
− + − + =
+ − + = −
.
Câu 184.
2x y z t 3
3x z t 3
+ − + =
+ − =
và
x y z t u 1
3x y z 3t 4u 6
+ − − + =
+ + − + =
.
Câu 185.
x 2y z 4t 2
x 7y 4z 11t m
+ − + =
+ − + =
và
2x y z 2t 4
x y 2z t m
+ − + =
+ − + =
.
Câu 186.
x 2y z 4t 2
4x 8y 4z 16t m 1
+ − + =
+ − + = +
và
2x 2y 2z t 3
x y 2z t m
+ − + =
+ − + =
.
Câu 187.
2x y z t 1
x 7y 4z 11t m
− + + =
+ − + =
và
2x 2y 2z t 3
x y 2z t m
+ − + =
+ − + =
.
Câu 188.
2x y z t 1
4x 8y 4z 16t m 1
− + + =
+ − + = +
và
2x y z 2t 4
x y 2z t m
+ − + =
+ − + =
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 11
Câu 189.
x 2y z 2t m
x y z t 2m 1
− + + =
+ − + = +
và
+ − + =
+ − + = +
+ − + =
x 2y z t m
2x 5y 2z 2t 2m 1
3x 7y 3z 3t 1
.
Câu 190.
− + + =
+ − + = +
+ − − = −
x 2y z 2t m
x y z t 2m 1
x 7y 5z t m
và
x 2y z t m
3x 7y 3z 3t 1
+ − + =
+ − + =
.
Câu 191.
x y 2z 2t 0
2x y z t 3
− + − =
+ − + =
và
2x y z 2t 3u 3
x y z t u 1
3x y z 3t 4u 6
− + − + =
+ − − + =
+ + − + =
.
Câu 192.
x y 2z 2t 0
2x y z t 3
3x z t 3
− + − =
+ − + =
+ − =
và
2x y z 2t 3u 3
x y z t u 1
− + − + =
+ − − + =
.
Câu 193.
2x y z t 1
x 2y z 4t 2
x 7y 4z 11t m
− + + =
+ − + =
+ − + =
và
2x 2y 2z t 3
x y 2z t m
+ − + =
+ − + =
.
Câu 194.
2x y z t 1
x 2y z 4t 2
4x 8y 4z 16t m 1
− + + =
+ − + =
+ − + = +
và
2x y z 2t 4
x y 2z t m
+ − + =
+ − + =
.
Câu 195.
x 7y 4z 11t m
4x 8y 4z 16t m 1
+ − + =
+ − + = +
và
2x y z 2t 4
2x 2y 2z t 3
x y 2z t m
+ − + =
+ − + =
+ − + =
.
II. KHÔNG GIAN VECTOR – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Câu 196. Xác định m để vector w = (1; m; 1) là một tổ hợp tuyến tính của u = (1; 1; 0) và v = (2; 1; 1).
Câu 197. Xác định m để vector w = (2; m + 4; m + 6) là một tổ hợp tuyến tính của u = (1; 2; 3) và v = (3; 8; 11).
Câu 198. Xác định m để vector w = (m; 2m + 2; m + 3) là một tổ hợp tuyến tính của u = (3; 6; 3) và v = (2; 5; 3).
Câu 199. Tìm điều kiện a, b, c để vector w = (a; b; c) là một tổ hợp tuyến tính của u = (1; 2; 3) và v = (2; 4; 5).
Câu 200. Tìm điều kiện a, b, c để vector w = (a; b; c) là một tổ hợp tuyến tính của u = (1; 2; 3) và v = (2; 4; 6).
Câu 201. Tìm điều kiện a, b, c để vector w = (a; b; c) là một tổ hợp tuyến tính của u = (1; 0; 2) và v = (1; 2; 8).
Câu 202. Tìm điều kiện a, b, c để vector w = (a; b; c) là một tổ hợp tuyến tính của u = (1; 2; 4) và v = (3; 6; 12).
Câu 203. Tìm điều kiện a, b, c để vector w = (a; b; c) là một tổ hợp tuyến tính của u = (1; 3; 1) và v = (2; 1; 2).
Câu 204. Xác định m để vector w = (1; m; 1) không là một tổ hợp tuyến tính của u = (1; 2; 4) và v = (2; 1; 5).
Câu 205. Xác định m để vector w = (1; m; 1) không là một tổ hợp tuyến tính của u = (1; 1; 3) và v = (2; 2; 5).
Câu 206. Xác định m để vector w = (1; m + 2; m + 4) không là một tổ hợp tuyến tính của u = (1; 2; 3) và v = (3; 7; 10).
Câu 207. Tìm điều kiện a, b, c để vector w = (a; b; c) không là một tổ hợp tuyến tính của u = (1; 2; 1) và v = (3; 6; 3).
Câu 208. Tìm điều kiện a, b, c để vector w = (a; b; c) không là một tổ hợp tuyến tính của u = (1; 1; 0) và v = (3; 6; 4).
Câu 209. Tìm điều kiện của tham số m để các vector sau phụ thuộc tuyến tính:
1) u = (1; 2; m), v = (0; 2; m), w = (0; 0; 3).
2) u = (m + 1; m; m – 1), v = (2; m; 1), w = (1; m; m – 1).
3) u = (m; 1; 3; 4), v = (m; m; m + 2; 6), w = (2m; 2; 6; m + 10).
4) u = (m; 1; 3; 4), v = (m; m; m + 4; 6), w = (2m; 2; 6; m + 10).
5) u = (m; 1; 1; 4), v = (m; m; m; 6), w = (2m; 2; 2; m + 10).
6) u = (m; 1; 3; 4), v = (m; m; m + 2; 6), w = (2m; 2; 6; 10).
7) u = (m; 1; 3; 4), v = (m; m; m + 2; 6), w = (2m; 2; 7; 10).
8) t = (2; 8; 4; 7), u = (2; 3; 1; 4), v = (4; 11; 5; 10), w = (6; 14; m + 5; 18).
9) t = (1; 2; 1; 4), u = (2; 3; m; 7), v = (5; 8; 2m + 1; 19), w = (4; 7; m + 2; 15).
Câu 210. Tìm điều kiện của tham số m để các vector sau độc lập tuyến tính:
1) u = (m + 1; 1; m + 1), v = (1; 1; 1), w = (2; 0; m + 2).
2) u = (m + 2; 3; 2), v = (1; m; 1), w = (m + 2; 2m + 1; m + 2).
3) u = (2; 1; 1; m), v = (2; 1; 4; m), w = (m; 1; 0; 0).
4) u = (2; 1; 1; m), v = (2; 1; 4; m), w = (m + 2; 1; 0; 0).
5) u = (2; 1; 1; m), v = (2; 1; m; m), w = (m + 2; 1; 0; 0).
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 12
6) u = (2; 1; 1; m), v = (2; 1; –1; m), w = (10; 5; –1; 5m).
7) t = (2; 3; 1; 4), u = (3; 7; 5; 1), v = (8; 17; 11; m), w = (1; 4; 4; –3).
Câu 211. Tìm điều kiện của tham số m để các vector sau tạo thành một cơ sở của
3
ℝ
,
4
ℝ
:
1) u = (1; 2; m), v = (1; m; 0), w = (m; 1; 0).
2) u = (m; 1; 1), v = (1; m; 1), w = (1; 1; m).
3) u = (1; 2; 3), v = (m; 2m + 3; 3m + 3), w = (1; 4; 6).
4) u = (1; 2; m), v = (m; 2m + 3; 3m + 3), w = (4; 3m + 7; 5m + 3).
5) t = (3; 1; 2; m – 1), u = (0; 0; m; 0), v = (2; 1; 4; 0), w = (3; 2; 7; 0).
6) t = (1; 2; 3; 4), u = (2; 3; 4; 5), v = (3; 4; 5; 6), w = (4; 5; 6; m).
7) t = (2; 3; 1; 4), u = (3; 7; 5; 1), v = (8; 17; 11; m), w = (1; 4; 4; –3).
Câu 212. Tìm một cơ sở của không gian con W = <u, v, w> của
3
ℝ
: u = (2; 3; 4), v = (2; 6; 0), w = (4; 6; 8).
Câu 213. Tìm một cơ sở của không gian con W = <u, v, w> của
3
ℝ
: u = (2; 3; 4), v = (5; –4; 0), w = (7; –1; 5).
Câu 214. Tìm một cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
3
ℝ
: t = (1; 2; 4), u = (0; 1; 2), v = (0; 0; 1), w = (0; 0; 2).
Câu 215. Tìm 1 cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
4
ℝ
: t = (1; 2; 3; 4), u = (0; 2; 6; 0), v = (0; 0; 1; 0), w = (0; 2; 4; 4).
Câu 216. Tìm 1 cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
4
ℝ
: t = (1; 2; 3; 4), u = (0; 2; 6; 0), v = (0; 0; 1; 0), w = (1; 2; 4; 4).
Câu 217. Tìm số chiều n = dimW và 1 cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
4
ℝ
:
t = (1; 2; 3; 4), u = (2; 3; 4; 5), v = (3; 4; 5; 6), w = (4; 5; 6; 7).
Câu 218. Tìm số chiều n = dimW và 1 cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
4
ℝ
:
t = (2; 2; 3; 4), u = (1; 3; 4; 5), v = (3; 5; 7; 9), w = (4; 8; 11; 15).
Câu 219. Tìm số chiều n = dimW và 1 cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
4
ℝ
:
t = (2; 2; 3; 4), u = (4; 4; 6; 8), v = (6; 6; 9; 12), w = (8; 8; 12; 16).
Câu 220. Tìm số chiều n = dimW và 1 cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
4
ℝ
:
t = (1; 2; 3; 4), u = (2; 0; 6; 0), v = (6; 6; 7; 0), w = (8; 0; 0; 0).
Câu 221. Tìm số chiều n = dimW và 1 cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
4
ℝ
:
t = (3; 1; 5; 7), u = (4; –1; –2; 2), v = (10; 1; 8; 17), w = (13; 2; 13; 24).
Câu 222. Tìm số chiều n = dimW và 1 cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
4
ℝ
:
t = (2; 3; 5; 7), u = (4; 1; 3; 2), v = (8; 7; 13; 16), w = (6; 4; 8; 9).
Câu 223. Tìm số chiều n = dimW và 1 cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
4
ℝ
:
t = (1; 1; 5; 7), u = (1; –1; –2; 2), v = (2; 2; 10; 17), w = (3; 3; 15; 24).
Câu 224. Tìm tham số m để không gian con W = <u, v, w> của
3
ℝ
có số chiều là 2:
u = (1; 3; 1), v = (1; m + 3; 3), w = (1; m + 6; m + 3).
Câu 225. Tìm tham số m để không gian con W = <u, v, w> của
4
ℝ
có số chiều là 2:
u = (m; 1; 0; 2), v = (m; m + 1; –1; 2), w = (2m; m + 2; –1; 5).
Câu 226. Tìm tham số m để không gian con W = <u, v, w> của
4
ℝ
có số chiều là 2:
u = (m; 1; 0; 2), v = (m; m + 2; 0; 2), w = (2m; m + 3; 1; 4).
Câu 227. Tìm tham số m để không gian con W = <u, v, w> của
4
ℝ
có số chiều là 3:
u = (m; 1; 0; 2), v = (m; m + 2; 0; 2), w = (2m; m + 3; 0; 5).
Câu 228. Tìm tham số m để không gian con W = <u, v, w> của
4
ℝ
có số chiều là 3:
u = (m; 1; 0; 2), v = (m; m + 2; 0; 2), w = (2m; m + 3; 0; 4).
Câu 229. Tìm tọa độ của vector u = (1; 2; 4) theo cơ sở ß = {(1; 0; 0), (0; –3; 0), (0; 0; 2)}.
Câu 230. Tìm tọa độ của vector u = (1; 2; 1) theo cơ sở ß = {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1)}.
Câu 231. Tìm tọa độ của vector u = (2; 3; 6) theo cơ sở ß = {(1; 2; 3), (1; 3; 4), (2; 4; 7)}.
Câu 232. Tìm tọa độ của vector u = (–5; 0; 1) theo cơ sở ß = {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (0; –1; 1)}.
Câu 233. Tìm tọa độ của vector u = (1; 1; 4) theo cơ sở ß = {(1; 2; 3), (3; 7; 9), (5; 10; 16)}.
Câu 234. Tìm tọa độ của vector u = (1; 3; 6) theo cơ sở ß = {(1; 0; 0), (0; 2; 0), (2; 1; 1)}.
Câu 235. Tìm tọa độ của vector u = (2; 3; 6) theo cơ sở ß = {(1; 2; 3), (1; 3; 4), (2; 4; 7)}.
Câu 236. Trong không gian
3
ℝ
, cho hai cơ sở ß = {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1)} và ß’ = {(1; 2; 3), (1; 3; 4), (2; 4; 7)}.
a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở ß sang ß’; b) Tìm tọa độ u = (2; 1; –1) trong hai cơ sở đó.
Câu 237. Trong không gian
3
ℝ
, cho hai cơ sở ß = {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (0; –1; 1)} và ß’ = {(1; 2; 3), (1; 3; 4), (2; 4; 7)}.
a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở ß sang ß’; b) Tìm tọa độ u = (2; 1; –1) trong hai cơ sở đó.
Câu 238. Trong không gian
3
ℝ
, cho hai cơ sở ß = {(1; 0; 1), (0; 1; 1), (0; 0; 1)} và ß’ = {(1; 2; 3), (1; 3; 4), (2; 4; 7)}.
a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở ß sang ß’; b) Tìm tọa độ u = (2; 1; –1) trong hai cơ sở đó.
Câu 239. Trong không gian
3
ℝ
, cho hai cơ sở ß = {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (0; –1; 1)} và ß’ = {(1; 0; 1), (0; 1; 1), (0; 0; 1)}.
a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở ß sang ß’; b) Tìm tọa độ u = (2; 1; –1) trong hai cơ sở đó.
Câu 240. Trong không gian
3
ℝ
, cho hai cơ sở ß = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)} và ß’ = {(0; 0; 1), (1; –1; 0), (1; 1; 1)}.
a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở ß sang ß’; b) Tìm tọa độ u = (2; 1; –1) trong hai cơ sở đó.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 13
Câu 241. Tìm một cơ sở của không gian con nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:
1)
+ + =
− + =
+ + =
2x 3y 3z 0
x 2y z 0
3x y 4z 0
. 2)
+ − =
− + =
+ − =
x 3y 4z 0
x 2y z 0
x 2y 3z 0
. 3)
+ − =
+ − =
+ − =
5x 12y 12z 0
2x 5y 5z 0
3x 7y 7z 0
.
4)
− + =
− − =
− + =
x y 2z 0
3x 2y z 0
4x 3y z 0
. 5)
+ + =
+ + =
+ + =
x y z 0
2x 3y z 0
3x 4y 3z 0
. 6)
− − =
+ + =
− − =
x y 2z 0
x y 4z 0
2x 2y 5z 0
.
7)
− − =
+ − =
+ − =
x y z 0
2x y 2z 0
5x y 5z 0
. 8)
− + =
− + =
− + =
x 3y 4z 0
2x 5y z 0
5x 13y 6z 0
. 9)
+ + =
+ + =
+ + =
x 3y 2z 0
x 5y z 0
3x 5y 8z 0
.
10)
− + =
+ − =
− + =
x 2y 7z 0
2x 3y 2z 0
2x y z 0
. 11)
+ − + − =
+ − + − =
+ − + + =
x 2y 2z 2t u 0
x 2y z 3t 2u 0
2x 4y 7z t u 0
. 12)
+ − + − =
+ − − + =
+ − + − =
x 2y z 3t 4u 0
2x 4y 2z t 5u 0
2x 4y 2z 4t 2u 0
.
Câu 242. Cho ánh xạ tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
, định bởi f(x, y) = (0; x). Tìm ma trận của f đối với cơ sở ß = {(1; 1), (1; 0)}.
Câu 243. Cho ánh xạ tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
, định bởi f(x, y) = (x; 0). Tìm ma trận của f đối với cơ sở ß = {(1; 2), (1; 3)}.
Câu 244. Cho ánh xạ tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
, định bởi f(x, y) = (x – y; x). Tìm ma trận của f đối với cơ sở ß = {(1; 2), (1; 3)}.
Câu 245. Cho ánh xạ tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
, định bởi f(x, y) = (x; x + y). Tìm ma trận của f đối với cơ sở ß = {(1; 3), (1; 2)}.
Câu 246. Cho ánh xạ tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
, ma trận của f đối với cơ sở ß = {(0; 1), (1; 0)} là
1 1
2 2
. Tìm biểu thức của f.
Câu 247. Cho ánh xạ tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
, ma trận của f đối với cơ sở ß
0
= {(1; 0), (0; 1)} là
1 2
3 4
. Tìm biểu thức của f.
Câu 248. Cho ánh xạ tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
, ma trận của f đối với cơ sở ß = {(1; 1), (–1;–2)} là
1 2
3 4
. Tìm biểu thức của f.
Câu 249. Cho ánh xạ tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
, ma trận của f đối với cơ sở ß = {(1; 2), (3; 4)} là
1 0
0 1
. Tìm biểu thức của f.
Câu 250. Trong
3
ℝ
cho hệ vector
{
}
= − = = −
1 2 3
x ( 1;1;0), x (1;1;1), x ( 1;0;1)
. Bằng cách đặt y
1
= x
1
,
〈 〉
= −
〈 〉
2 1
2 2 1
1 1
x , y
y x y
y , y
,
〈 〉 〈 〉
= − −
〈 〉 〈 〉
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
x , y x , y
y x y y
y , y y , y
(ký hiệu
〈 〉
,
là tích vô hướng). Tìm hệ trực giao hóa của hệ vector đã cho.
Câu 251. Trong
3
ℝ
cho hệ vector
{
}
= − = − =
1 2 3
x (1;0; 1), x (0;1; 1), x (1;1;1)
. Bằng cách đặt y
1
= x
1
,
〈 〉
= −
〈 〉
2 1
2 2 1
1 1
x , y
y x y
y , y
,
〈 〉 〈 〉
= − −
〈 〉 〈 〉
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
x , y x , y
y x y y
y , y y , y
(ký hiệu
〈 〉
,
là tích vô hướng). Tìm hệ trực giao hóa của hệ vector đã cho.
Câu 252. Trong
3
ℝ
cho hệ vector
{
}
= − = − =
1 2 3
x (1;0; 1), x (1; 1;0), x (1;1;1)
. Bằng cách đặt y
1
= x
1
,
〈 〉
= −
〈 〉
2 1
2 2 1
1 1
x , y
y x y
y , y
,
〈 〉 〈 〉
= − −
〈 〉 〈 〉
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
x , y x , y
y x y y
y , y y , y
(ký hiệu
〈 〉
,
là tích vô hướng). Tìm hệ trực giao hóa của hệ vector đã cho.
Câu 253. Tìm trị riêng và vector riêng của phép biến đổi tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
(
→
3 3
f :
ℝ ℝ
):
1) f(x, y) = (3x + y, x + 5y); 2) f(x, y) = (y; –x);
3) f(x, y, z) = (x – y; 2x + 3y + 2z; x + y + 2z); 4) f(x, y, z) = (x + y; y + z; –2y – z).
Câu 254. Tìm giá trị riêng và một cơ sở của các không gian con riêng của phép biến đổi tuyến tính
→
3 3
f :
ℝ ℝ
, biết ma
trận của f trong cơ sở chính tắc là:
1)
−
−
− −
2 1 2
5 3 3
1 0 2
. 2)
−
−
0 1 0
4 4 0
2 1 2
. 3)
−
− −
− −
1 3 3
2 6 13
1 4 8
. 4)
−
−
−
4 5 2
5 7 3
6 9 4
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 14
5)
−
−
−
1 3 4
4 7 8
6 7 7
. 6)
−
−
−
7 12 6
10 19 10
12 24 13
. 7)
− −
− −
− −
1 4 8
4 7 4
8 4 1
. 8)
− −
− −
− −
15 18 16
9 12 8
4 4 6
.
Câu 255. Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận A và xác định D = P
–1
AP, biết ma trận A là:
1)
− −
= −
−
1 4 2
A 3 4 0
3 1 3
. 2)
−
= −
− −
2 2 1
A 1 3 1
1 2 2
. 3)
= − − −
1 3 3
A 3 5 3
3 3 1
.
4)
−
= −
−
1 3 3
A 3 5 3
6 6 4
. 5)
=
1 0 0
A 2 2 0
3 3 3
. 6)
−
= −
3 1 1
A 1 1 1
1 1 1
.
Câu 256. Tìm ma trận trực giao S làm chéo hóa ma trận A và xác định D = S
–1
AS, biết ma trận A là:
1)
− −
= −
−
5 4 2
A 4 5 2
2 2 2
. 2)
=
3 1 1
A 1 3 1
1 1 3
. 3)
−
= −
6 2 2
A 2 5 0
2 0 7
.
4)
−
= − −
−
1 3 1
A 3 1 1
1 1 5
. 5)
=
3 2 0
A 2 2 2
0 2 1
. 6)
−
= − −
−
7 2 1
A 2 10 2
1 2 7
.
III. DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Câu 257. Đưa dạng toàn phương
= + + + + +
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
f(x ,x , x ) 5x 5x 5x 2x x 2x x 2x x
về dạng
chính tắc bằng phép biến
đổi trực giao, với cơ sở trực chuẩn
− − −
′ ′ ′
= = =
1 2 3
1 1 1 1 1 1 2 1
y ; ; , y ;0; , y ; ;
3 3 3 2 2 6 6 6
.
Câu 258. Đưa dạng toàn phương
= − − − + + +
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
f(x ,x , x ) 5x 5x 5x 2x x 2x x 2x x
về dạng
chính tắc bằng phép biến
đổi trực giao, với cơ sở trực chuẩn
′ ′ ′
= − = = − −
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 2
y ; ;0 , y ; ; , y ; ;
2 2 3 3 3 6 6 6
.
Câu 259. Đưa dạng toàn phương
= + + + + +
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
f(x ,x , x ) 10x 10x 10x 2x x 2x x 2x x
về dạng
chính tắc bằng phép
biến đổi trực giao, với cơ sở trực chuẩn
− − −
′ ′ ′
= = =
1 2 3
1 1 1 2 1 1 1 1
y ;0; , y ; ; , y ; ;
2 2 6 6 6 3 3 3
.
Câu 260. Đưa dạng toàn phương
= + + + + +
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
f(x ,x , x ) 8x 8x 8x 2x x 2x x 2x x
về dạng
chính tắc bằng phép biến
đổi trực giao, với cơ sở trực chuẩn
− −
′ ′ ′
= = =
1 2 3
1 1 1 2 1 1 1 1
y ;0; , y ; ; , y ; ;
2 2 6 6 6 3 3 3
.
Câu 261. Đưa dạng toàn phương
= − − − + + +
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
f(x ,x , x ) 9x 9x 9x 2x x 2x x 2x x
về dạng
chính tắc bằng phép biến
đổi trực giao, với cơ sở trực chuẩn
− −
′ ′ ′
= = =
1 2 3
1 1 1 2 1 1 1 1
y ;0; , y ; ; , y ; ;
2 2 6 6 6 3 3 3
.
Câu 262. Xét dấu của các dạng toàn phương sau bằng cách dùng định thức con chính (định lý Sylvester):
1) f(x, y) = x
2
+ 26y
2
+ 10xy; 2) f(x, y) = – x
2
+ 2xy – 4y
2
;
3) f(x, y, z) = – 11x
2
– 6y
2
– 6z
2
+ 12xy – 12xz + 6yz; 4) f(x, y, z) = 9x
2
+ 6y
2
+ 12xy – 10xz – 2yz.
Câu 263. Tìm tham số m để dạng toàn phương sau:
1) f(x, y, z) = 2x
2
+ 6xy + 2xz – 6y
2
– 4yz + mz
2
xác định âm;
2) f(x, y, z) = 5x
2
+ 4y
2
+ mz
2
+ 6xy + 2xz + 2yz xác định dương.
Câu 264. Bằng phương pháp Lagrange, tìm phép biến đổi tuyến tính đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. Viết dạng
chính tắc đó và xác định dấu của dạng toàn phương:
1)
= + − + −
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3
f(x , x , x ) x 5x 4x 2x x 4x x
; 2)
= + +
1 2 3 1 2 2 3 1 3
f(x , x , x ) x x x x x x
;
3)
= + + − − +
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
f(x , x , x ) 4x x x 4x x 3x x 4x x
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 15
Câu 265. Tìm phép biến đổi trực giao đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. Viết dạng chính tắc đó và xác định dấu của
dạng toàn phương:
1)
= + −
2 2
1 2 1 2 1 2
f(x , x ) 27x 3x 10x x
; 2)
= + + + − +
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
f(x , x , x ) 6x 3x 3x 4x x 8x x 4x x
;
3)
= + + − + −
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
f(x , x , x ) 2x 5x 2x 4x x 4x x 2x x
;
4)
= − + − +
2
1 2 3 2 1 2 2 3 1 3
f(x , x , x ) 3x 4x x 4x x 10x x
; 5)
= − + − + +
2 2 2
1 2 3 1 2 3 2 3 1 3
f(x , x , x ) x x 5x 4x x 6x x
.
IV. BÀI TOÁN KINH TẾ (chưa có trong đề thi của học kỳ này)
Câu 1. Giả sử giá thị trường của 3 mặt hàng thịt bò, thịt heo và thịt gà (đơn vị: 10000đ/kg) vào các ngày 1/1 và 1/7 cho bởi các cột
của ma trận
3 5
P 5 2
7 6
=
. Lượng hàng (kg) mua tại các ngày nêu trên cho bởi các cột của ma trận
2 4
Q 5 4
3 2
=
.
a) Tính
T
Q P
và cho biết ý nghĩa từng phần tử của
T
Q P
.
b) Tính các chỉ số giá Laspeyres và Paasche.
Câu 2. Giả sử giá thị trường (đơn vị: triệu đồng/tấn) của 3 mặt hàng A, B, C bình quân trong các tháng 7/2008 và 7/2009 cho bởi
các cột của ma trận
4 4,1
P 6 6,2
18 19
=
. Lượng hàng (tấn) mua tại các ngày nêu trên cho bởi các cột của ma trận
1 0, 9
Q 2 2
3 1, 8
=
.
a) Tính
T
Q P
và cho biết ý nghĩa từng phần tử của
T
Q P
.
b) Tính các chỉ số giá Laspeyres và Paasche.
Câu 3. Cho các phương trình cung, cầu của một loại hàng hóa như sau:
D
2P Q 125
= − +
;
S
8P Q 45
= +
.
a) Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng.
b) Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng nếu như nhà nước đánh thuế 2,5 đơn vị tiền/đơn vị sản phẩm. Hãy cho
biết người mua hay người bán phải trả thuế này?
Câu 4. Cho các phương trình cung, cầu của một loại hàng hóa như sau:
D
P 2Q 144
= − +
;
S
4P 3Q 136
= +
.
a) Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng.
b) Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng nếu như nhà nước đánh thuế 11 đơn vị tiền/đơn vị sản phẩm. Hãy cho
biết người mua hay người bán phải trả thuế này?
Câu 5. Cho các phương trình cung, cầu của một loại hàng hóa như sau:
D
4P Q 102
= − +
;
S
5P Q 6
= +
.
a) Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng.
b) Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng nếu như nhà nước đánh thuế 9 đơn vị tiền/đơn vị sản phẩm. Hãy cho biết
người mua hay người bán phải trả thuế này?
Câu 6. Cho các hàm cung, hàm cầu của hai mặt hàng như sau:
1
D 1 2
Q 410 5P 2P
= − −
,
1
S 1
Q 3P 60
= −
;
2
D 1 2
Q 295 P 3P
= − −
,
2
S 2
Q 2P 120
= −
.
a) Hãy xác định giá cân bằng của hai mặt hàng trên.
b) Hãy cho biết hai mặt hàng trên có thể thay thế lẫn nhau hay phụ thuộc lẫn nhau?
Câu 7. Xét một nền kinh tế có 3 ngành: công nghiệp, nông nghiệp và dịch vụ.
Mỗi đơn vị đầu ra của ngành công nghiệp cần:
0,1 đơn vị đầu vào của ngành công nghiệp; 0,3 đơn vị đầu vào của ngành nông nghiệp và 0,3 đơn vị của ngành dịch vụ.
Mỗi đơn vị đầu ra của ngành nông nghiệp cần:
0,6 đơn vị đầu vào của ngành công nghiệp; 0,2 đơn vị đầu vào của ngành nông nghiệp và 0,1 đơn vị của ngành dịch vụ.
Mỗi đơn vị đầu ra của ngành dịch vụ cần:
0,6 đơn vị đầu vào của ngành công nghiệp; 0,1 đơn vị đầu vào của ngành dịch vụ.
a) Hãy lập ma trận hệ số đầu vào.
b) Tìm mức sản lượng của 3 ngành biết nhu cầu của ngành mở là D = (0; 18; 0).
c) Tìm lượng đơn vị đầu vào của từng ngành để sản xuất được 100 đơn vị đầu ra của ngành nông nghiệp.
Câu 8. Xét một nền kinh tế có 2 ngành: điện và gas.
Mỗi đơn vị đầu ra của ngành điện cần:
0,2 đơn vị đầu vào của ngành điện; 0,4 đơn vị đầu vào của gas và 1 đơn vị của ngành nước.
Mỗi đơn vị đầu ra của ngành gas cần:
0,3 đơn vị đầu vào của ngành điện; 0,2 đơn vị đầu vào của gas và 1,1 đơn vị của ngành nước.
Gọi
1 2
X (x ; x )
=
là mức sản lượng của ngành điện và ngành gas,
1 2 3
Y (y ; y ; y )
=
là tổng đơn vị đầu vào của 3 ngành
điện, gas và nước.
a) Hãy tìm một phương trình ma trận liên quan giữa X và Y.
b) Tìm tổng chi phí để sản xuất 100 đơn vị điện và 100 đơn vị gas, biết giá của 1 đơn vị điện, gas và nước là 0,6; 1 và 0,1.
c) Tìm mức sản lượng của ngành điện và ngành gas, biết ngành mở cần 500 đơn vị đầu ra của mỗi ngành. Khi đó, lượng
đơn vị đầu vào của ngành nước là bao nhiêu?
……………………………………………Hết…………………………………………
