CHƯƠNG I DAO ĐỘNG CƠ HỌC pdf

Trường THPT Trần Quốc Tuấn_Yên Hưng_quảng Ninh.
------------------------------------------------CHNG I
DAO NG C HỌC

I- TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1- Dao động là chuyển động trong một vùng không gian giới hạn, lặp đi lặp lại
nhiều lần quanh một vị trí cân bằng (VTCB). VTCB là vị trí ban đầu khi vật đứng yên
ở trạng thái tự do.
2- Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái chuyển động được lặp đi lặp
lại như cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau.
3- Dao động điều hoà là dao động mà li độ biến thiên theo thời gian và được mô
x = Asin(t + )

tả bằng định luật hàm số sin (hoặc cos):

trong đó: A, ,  là những hằng số, li độ x chỉ độ lệch khỏi vị trí cân bằng của vật.
+ Phương trình vi phân của dao động điều hồ có dạng: x'' +  2x = 0
4- Vận tốc của dao động:
v = x' = Acos(t + )  vmax = A
5- Gia tốc của dao động:
a = v' = x'' = - 2Asin(t + ) = -2x  amax = 2 A
A2 = x2 +

6- Công thức độc lập:

v2
2

7- Tần số góc - Chu kì - Tần số:
k
;

m

=

T=

2
m
= 2
; f = 1/T
k


8- Năng lượng dao động:
Động năng:

Wđ =

1
1
mv2 = m2A2 cos2(t + )
2
2

Thế năng:

Wt =

1 2 1
kx = m2A2 sin2(t + )

2
2

Cơ năng: W = Wđ + Wt =

(với k = m2)

1
1
kA2 = m 2A2 = Wđmax = Wttmax = const
2
2

9- Lực phục hồi là lực đưa vật về vị trí cân bằng: F = - kx hay F = k x
1


Trường THPT Trần Quốc Tuấn_Yên Hưng_quảng Ninh.
------------------------------------------------Lu ý: Ti v trí cân bằng thì F = 0; đối với dao động điều hồ k = m 2.
10. Con lắc lị xo
Lực đàn hồi Fđhx = - k(l + x)  k l  l CB  l 0
+ Khi con lắc nằm ngang (hình 2.1a): l = 0
+ Khi con lắc nằm thẳng đứng (hình 2.1b) :
k l =mg
+ Khi con lắc nằm trên mặt phẳng nghiêng 1 góc  (hình 2.1c) :
k l =mgsin

+ Lực đàn hồi cực đại:

Fmax = k( l + A)

+ Lực đàn hồi cực tiểu:
Fmin = 0 (nếu A  l ) và Fmin = k( l - A) (nếu A < l )
Lưu ý: A

MN
(với MN là chiều dài quỹ đạo của dao động)
2

+ Hệ con lắc gồm n lò xo mắc nối tiếp thì:
1
1
1
1
=
+
+ …
kn
k1
k2
k3

* Độ cứng của hệ là:
* Chu kì:

Thệ = 2

m
k he

* Nếu các lị xo có chiều dài l1, l2… thì k1l1 = k2l2 =…
(trong đó k1, k2, k3… là độ cứng của các lò xo)
+ Hệ con lắc lò xo gồm n lò xo mắc song song:
* Độ cứng của hệ là: khe = k1 + k2 + k3…
* Chu kì:

Thệ = 2

m
k he

11. Con lắc đơn:
+ Phương trình dao động khi biên độ góc m < 100
s = smsin (t + )
2


Trường THPT Trần Quốc Tuấn_Yên Hưng_quảng Ninh.
------------------------------------------------ = msin (t + )
Hình 2.2
s = l là li độ; sm = 1m: biên độ; : li độ góc; m biên độ góc (hình 2.2)
+ Tần số góc - chu kì - tần số:
=

g
2
g
; T=
= 2
; f = l/T

l

l

+ Vận tốc: khi biên độ góc bất kì m: v2 = 2gl(cos - cosm)
Lưu ý: nếu m < 100 thì có thể dùng l - cosm = 2sin2(m/2) = 2m/2
 vmax = m gl =  sm  v = s' = smcos(t + )
+ Sức căng dây:

 = mg(3cos - 2cosm)

Tại VTCB: vtcb = mg(3 - 2cosm) = max
Tại vị trí biên: biên = min = mgcosm
+ Năng lượng dao động:
- Động năng:

Wđ =

1
mv2 = mgl(cos - cosm)
2

- Thế năng: Wt = mgh = mgl( l - cos)
 - Cơ năng: W = mgl( l - cosm) = Wđmax = Wtmax
Lưu ý: khi m < 100 thì có thể dùng l - cosm = 2sin2(m/2) = 2m/2
 W=

mgl 2
mg 2
m=

s m = const
2
2l

12. Con lắc vật lí là một vật rắn quay quanh một trục cố định không đi qua trọng
tâm G của vật.
+ Chu kì dao động: (khi  < 100)  T = 2

I
(I là mơmen qua tính của vật
mgd

đối với trục quay và d là khoảng cách từ trọng tâm đến trục quay)
+ Chiều dài hiệu dụng:

lhđ =

I
md

13. Tổng hợp hai dao động
+ Hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số:
Phương trình dao động dạng:

x1 = A1sin(t + 1)

x2 = A2sin(t + 2)
3

Trường THPT Trần Quốc Tuấn_Yên Hưng_quảng Ninh.
------------------------------------------------ x = x1 + x2 = Asin(t + )
Trong đó:

A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos (2 - 1)

và

tg =

A1 sin  1  A2 sin  2
A1 cos 2 A2 cos 2

+ Nếu hai dao động thành phần có pha:
 = 2k  A = A1 + A2

cùng pha

ngược pha:  = (2k + 1)  A = A1  A2
lệch pha bất kì: A1  A2 < A < A1  A2
+ Nếu có n dao động điều hồ cùng phương cùng tần số:
x1 = A1sin(t + 1)
…………………..
xn = Ansin(t + n)
Dao động tổng hợp là:

x = x1 + x2 + x3….. = A sin(t + )

Thành phần theo phương nằm ngang Ox:
Ax = A1cos1 + A2cos2 + ……. Ansosn

Thành phần theo phương thẳng đứng Oy:
Ay = A1sin1 + A2sin2 + ……. Ansinn
A=

2
2
xmax  xmy + …. và tg =

xmy
xmx

14. Các loại dao động:
+ Dao động tự do là dao động có chu kì hay tần số chỉ phụ thuộc vào đặc tính của
hệ dao động, khơng phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài.
+ Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian,
Nguyên nhân: do lực cản của môi trường luôn ngược chiều chuyển động.
+ Dao động cưỡng bức là dao động của hệ dưới tác dụng của ngoại lực biến thiên
tuần hoàn có dạng: Fn = H sin(t + ).
Đặc điểm: Trong thời gian t, hệ thực hiện dao động phức tạp, là sự tổng hợp của
dao động riêng (f0) và dao động do ngoại lực gây ra (tần số f). Sau thời gian t, dao

4


Trường THPT Trần Quốc Tuấn_Yên Hưng_quảng Ninh.
------------------------------------------------ng riờng tt hn, hệ dao động có tần số bằng tần số f của ngoại lực, có biên độ phụ
thuộc vào quan hệ giữa tần số của ngoại lực với tần số riêng của hệ.
Nếu ngoại lực duy trì lâu dài thì dao động cưỡng bức cũng được duy trì lâu dài
với tần số f.
+ Sự cộng hưởng là hiện tượng biên độ của dao động cưỡng bức tăng nhanh và

đạt giá trị cực đại khi tần số của lực cưỡng bức bằng tần số riêng của hệ dao động. flực
= friêng  x = Aax

II- PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP.
A- PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Để giải nhanh các bài tập theo yêu cầu của phương pháp trắc nghiệm cần xác
định rõ nội dung và yêu cầu của bài toán để xếp chúng vào dạng cụ thể nào, từ đó áp
dụng các cơng thức đã có để giải.
Hai phương pháp chủ yếu để giải các bài toán về dao động là.
* Phương pháp khảo sát về mặt động lực học:
a. Chọn đối tượng khảo sát (vật hoặc hệ vật)
b. Chọn hệ quy chiếu và xác định các lực tác dụng lên vật.
c. Xác định vị trí cân bằng của vật trước khi khảo sát nó tại vị trí bất kì.
d. Chọn gốc toạ độ (thường thì tại vị trí cân bằng), chọn chiều dương
e. Áp dụng định luật II Newtơn, viết phương trình chuyển động.
+ Con lắc lò xo (theo phương chuyển động x): Fx = mx''
+ Con lắc đơn (theo phương tiếp tuyến quỹ đạo):
Pt = mat = ms'' hoặc M = I'' (s = 1)
f. Giải và trả lời theo yêu cầu bài toán
* Phương pháp khảo sát về mặt năng lượng.
a. Chọn đối tượng khảo sát là hệ (vật + lò xo hoặc vật + Trái Đất…)
b. Chọn mốc tính thế năng (để đơn giản nên chọn mốc tính thế năng tại vị trí cân
bằng, lúc đó thế năng của con lắc sẽ có giá trị dương và động năng của hệ luôn luôn
dương).
5


Trường THPT Trần Quốc Tuấn_Yên Hưng_quảng Ninh.
------------------------------------------------Vớ d:

Wt =

1 2
1
kx và Wđ = mv2
2
2

c. Khi bỏ qua ma sát, cơ năng của hệ được bảo toàn. Ta áp dụng định luật bảo
tồn cơ năng dưới dạng một phương trình.
Ví dụ:

W=

1
1
mv2 + kx2 = const
2
2

(con

lắc

lò xo)
W=

1
mv2 + mgl(1 - cos) = const
2

(con lắc lò đơn)

Lưu ý:
+ Nếu một hệ dao động nào đó cơ năng có dạng giống như cơ năng của con lắc lị
xo thì hệ đó dao động điều hồ với tần số góc  =

k
m

+ Khi có ma sát thì một phần cơ năng của hệ biến thành nhiệt năng và con lắc dao
động tắt dần.

B- PHÂN LOẠI CÁC BÀI TỐN.
LOẠI 1:

LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG
x = Asin (t + )

Trong phương trình, các đại lượng A, ,  được xác định như từ:
A=

BB'
và: v2 = 2 (A2 - x2)
2

Các trường hợp thường gặp:
+ Nếu đề cho ly độ x ứng với vận tốc v thì ta có: A =

x2

v2
2

(nếu buông nhẹ v = 0)
+ Nếu đề cho gia tốc cực đại: amax thì:
 a max = A

(tại VTCB v max = Aax)

+ Nếu đề cho lực phục hồi cực đại Fmax thì  F max = kA
+ Nếu đề cho năng lượng của dao động E thì  E =
6

1
kA
2


Trường THPT Trần Quốc Tuấn_Yên Hưng_quảng Ninh.
------------------------------------------------* : = 2f = 2/T và  =

k
m

* : Nếu chọn vị trí cân bằng làm gốc toạ độ (hình 2.3):

Hình 2.3

+ Tại thời điểm: t = 0 thì x0 = 0 và v0 = 0 

x0 = Asin   =


ta chỉ chọn nghiệm thoả mãn điều kiện của phương
 

trình:
v0 = Acos
+ Tại thời điểm ban đầu: t = t1  x = x1 và v = v1
a+2k
 x 1 = Asin(t1 + ) =

x1
= sin  t1 + 
xm

-+k2

Chỉ chọn các nghiệm thoả mãn điều kiện của phương trình:
v1 = Acos(t1 + )
Lưu ý: k là số dao động đã thực hiện ở thời điểm t1 và ta có:
t1
t
-1 k  1
T
T

LOẠI 2: XÁC ĐỊNH CHU KÌ VÀ TẦN SỐ CỦA DAO ĐỘNG
Có 2 phương pháp xác định chu kì, tần số của dao động:
a. Phương pháp phân tích lực: Nếu hệ chịu tác dụng của lực có dạng F = -kx thì

hệ đó dao động điều hồ với chu kì: T = 2

k
. Vì vậy, để giải được nhanh các bài
m

tốn dạng này ta cần phân tích các lực tác dụng vào hệ (trọng lực, phản lực, lực căng
của lò xo, lực căng dây của con lắc) và khảo sát tính chất của hợp lực tại các vị trí
khác nhau (vị trí cân bằng, vị trí có toạ độ x).
b. Phương pháp dùng định luật bảo toàn năng lượng: Bằng cách chứng tỏ rằng
gia tốc của vật có dạng: x'' = -2x, từ đó suy ra tại vị trí x vật có:
Động năng:

Wđ =

1
mv2
2

Thế năng:

Wt =

1 2
kx
2

(con lắc lò xo)
7

Trường THPT Trần Quốc Tuấn_Yên Hưng_quảng Ninh.
------------------------------------------------Wt = mgh = mgl (1 - cos)
(con lắc đơn với  < 100)
2


1 x2
1 mg 2
Sử dụng tính chất: 1 - cos  2   =
 Wt =
x
 
2
21
2 1
2

Theo định luật bảo toàn năng lượng: E =

1
1
1 mg 2
mv2 + kx2 +
x = const
2 1
2
2

Bằng cách lấy đạo hàm bậc nhất của phương trình trên ta được:

k g
  x : đặt
m n

x'' = - 


k g
2
2
   =   x'' = -  x  T = 2/
m n


LOẠI 3: HỆ LÒ XO GHÉP NỐI TIẾP VÀ SONG SONG
a. Lị xo ghép nối tiếp:

Hai lị xo có độ cứng k1 và k2 ghép nối tiếp (hình 2.5 a,b) có thể xem như một lị
xo có độ cứng k thoả mãn biểu thức:

1 1
1
 
k k1 k 2

b. Lò xo ghép song song:
Hai lị xo có độ cứng k1 và k2 ghép song song (hình 2.6a, b, c) có thể xem như một
lị xo có độ cứng k thoả mãn biểu thức: k = k1 + k2

Hình 2.5

Hình 2.6

c.Cắt lị xo
Khi giải các bài tốn dạng này, nếu gặp trường hợp một lị xo có độ dài tự nhiên l0
(độ cứng k0) được cắt thành hai lị xo có chiều dài lần lượt là l1 (độ cứng k1) và l2 (độ
cứng k2) thì ta có:
k0l0 = k1l1 = k2l2
Trong đó k0 =

ES
const
=
; E: suất Young (N/m2); S: tiết diện ngang (m2)
l0
l0

LOẠI 4:

XÁC ĐỊNH VẬN TỐC CỦA CON LẮC ĐƠN

a. Khi con lắc dao động với biên độ lớn: v = 2 gl (cos m  cos )
* Tại vị trí cao nhất: m =   v = 0
8


Trường THPT Trần Quốc Tuấn_Yên Hưng_quảng Ninh.
------------------------------------------------* Ti v trớ cân bằng: m = 0  vmax = 2 gl (1  cos )
a. Khi con lắc dao động với biên độ nhỏ: từ phương trình vận tốc ta có:
2

cos  m  1 
2
2
cos   1 
2

 cosm - cos =

1 2
2
( -  m )
2

2
 v =  gl  2   m 

b. Trong trường hợp, trên đường thẳng đứng qua
O có vật cản (cái đinh) (Hình 2.9) khi vật dao động qua
vị trí cân bằng dây sẽ bị vướng vật cản này, biên độ
góc ' của dao động lúc này được xác định từ:
cos' =

1 cos  OO'
1  OO'

(với OO' là khoảng cách từ điểm treo đến vật cản)

LOẠI 5:
Áp dụng

Hình 2.9

XÁC ĐỊNH LỰC CĂNG DÂY CỦA CON LẮC ĐƠN
T = mg(3cos - 2cos0)

* Vị trí cao nhất:  = 0  T = Tmin = mgcos
* Vị trí cân bằng:  = 0  T = Tmax = mg(3 - 2cos0)
* Nếu  là một góc nhỏ: cos  (1 - 2/2)  Tmin = mg(1 - 2/2)
và Tmax = mg(1 + 2)
LOẠI 6:

XÁC ĐỊNH LỰC ĐÀN HỒI VÀ NĂNG LỰỢNG DAO ĐỘNG

Trong trường hợp phải chứng minh cơ hệ dao động điều hoà trên cơ sở lực đàn
hồi tác dụng: F = -kx hoặc năng lượng của vật dao động (cơ năng) E = Et + Eđ, ta tiến
hành như sau:
Theo định luật II Newtơn: F = ma
* Điều kiện cần: a = -  2x với x = Asin(t + )

9


Trường THPT Trần Quốc Tuấn_Yên Hưng_quảng Ninh.
------------------------------------------------ F = - 2mx = kx với k =  2m = hằng số   =

k
m

* Điều kiện đủ: F = ma = -kx  x'' = - 2x
Các bước giải:

+ Phân tích lực tác dụng lên vật, chỉ ra: F = -kx
+ Chọn hệ trục toạ độ Ox
+ Chiếu lực F lên trục Ox
Áp dụng định luật II Newtơn để suy ra: x'' = - 2x
* Vì E = Et + Eđ trong đó: Et =
Eđ =

1 2 1
kx = k A2sin2(t + ) (con lắc lò xo)
2
2

1
1
1
2
2
mv2 = m xm 2 cos2 (t + ) = k xm cos2 (t + )
2
2
2

E=

1
1
2
2
k xm = m xm 2 = const
2

2

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng: E = Et + Eđ = const
+ Lấy đạo hàm hai vế theo t: a = v' = x''
+ Biến đổi để dẫn đến: x'' = - 2x
LOẠI 7:

BÀI TOÁN TỔNG HỢP DAO ĐỘNG

1. Độ lệch pha của hai dao động điều hoà cùng tần số
+ Hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số:
x1 = A1sin(t + 1)
x2 = A2sin(t + 2)
 = 1 - 2
Nếu  > 0  1 > 2

(x1 sớm pha hơn x2)

Nếu  < 0  1 < 2

(x1 trễ pha hơn x2)

Nếu  = k2 (k  z)

(x1 cùng pha với x2)

Nếu  = (2 + 1)  (k  z) (x1 ngược pha với x2)
+ Véctơ quay
Một dao động điều hồ có thể xem như hình chiếu một chất điểm chuyển động
trịn đều xuống một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo.

10


Trường THPT Trần Quốc Tuấn_Yên Hưng_quảng Ninh.
------------------------------------------------* Mi dao ng điều hồ có dạng: x = Asin(t + ) được biểu diễn bằng một
véctơ quay A (hình 2.13) có:
- Gốc trùng với O của hệ xOy
- Độ dài tỉ lệ với biên độ A
- Tại thời điểm t = 0, A tạo với trục chuẩn (Oy) một góc pha ban đầu 
* Nếu hai dao động x1 và x2 cùng phương, cùng tần số thì:
 x = x1 + x2 = Asin(t + )
Trong đó: A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos(2 - 1)
và

tg =

A1 sin  1  A2 sin  2
A1 cos  1  A2 cos  2

+ Hai dao động thành phần:
nếu A1  A2: A = A1 + A2
nếu A1  A2: A = A1  A2
nếu A1  A2: x =

A 21  A 2 2

11