Đề cương ôn tập học kì 1 môn toán lớp 10 năm 2010-2011 ppsx

MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.MATHVN.com 1
CNG ễN TP HC K 1 MễN TON LP 10
Nm hc 2010- 2011
PHN I: I S
CHNG I. TP HP. MNH (Dnh cho phn trc nghim)

Bi 1: Cỏc mnh sau ỳng hay sai ? lp mnh ph nh ca mnh ú:
1/
"
n
ẻ
N
*
, n
2
+ n + 1 là số nguyên tố. 2/
"
x
ẻ
Z , x
2


x .
3/
$
k
ẻ
Z , k
2

+ k + 1 là một số chẵn. 4/
"
n
ẻ
N , n
3
- n chia hết cho 3.
5/
"
x
ẻ
R , x < 3
ị
x
2
< 9. 6/
$
x
ẻ
R , 1
1
2
2
>
+
x
x
.
7/
$

x
ẻ
Q, Z
1
23
2
ẻ
+
+
x
x
. 8/ ,Nx
ẻ
"
x
2
chia hết cho 3
ị
x chia hết cho 3.
Bài 2. Cho
{
}
{
}
{
}
1 , 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 9 ; 0 , 2 , 4 , 6
, 8 , 9 ; 3 , 4 , 5 , 6 , 7
A B C= = = .
1/ Tìm

; \ ; ; \
A B B C A B A B
ầ ẩ
.
2/ Chứng minh: CBACBA \)()\(
ầ
=
ầ
.
Bi 3: Lit kờ cỏc phn t ca cỏc tp hp sau.
a/ A = {3k -1| k
ẻ
Z , -5
Ê
k
Ê
3
} b/ B = {x ẻ Z / x
2
- 9 = 0}
c/ C = {x ẻ R / (x - 1)(x
2
+ 6x + 5) = 0} d/ D = {x ẻ Z / |x |Ê 3}
e/ E = {x / x = 2k vi k ẻ Z v -3 < x < 13}
Bi 4: Tỡm tt c cỏc tp hp con ca tp: a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c}
c/ C = {a, b, c, d}
Bi 5: Tỡm A ầ B ; A ẩ B ; A \ B ; B \ A , bit rng :
a/ A = (2, + Ơ) ; B = [-1, 3]
b/ A = (-Ơ, 4] ; B = (1, +Ơ)
c/ A = {x ẻ R / -1 Ê x Ê 5}B = {x ẻ R / 2 < x Ê 8}

CHNG II: HM S BC NHT V BC HAI (Dnh cho t lun v trc nghim)
VN 1. Tỡm tp xỏc nh
ã
Tỡm tp xỏc nh D ca hm s y = f(x) l tỡm tt c nhng giỏ tr ca bin s x sao cho biu thc f(x) cú ngha:
D =
{
}
x R f x coự nghúa
( )ẻ
.
ã
iu kin xỏc nh ca mt s hm s thng gp:
1) Hm s y =
P x
Q x
( )
( )
: iu kin xỏc nh: Q(x)
ạ
0.
2) Hm s y =
R x
( )
: iu kin xỏc nh: R(x)

0.
Chỳ ý: + ụi khi ta s dng phi hp cỏc iu kin vi nhau.
+ iu kin hm s xỏc nh trờn tp A l A
è
D.

+ A.B
ạ
0


A
B
0
0
ỡ
ạ
ớ
ạ
ợ
.

MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.MATHVN.com 2
VN 2. Xột tớnh chn l ca hm s
xột tớnh chn l ca hm s y = f(x) ta tin hnh cỏc bc nh sau:

ã
Tỡm tp xỏc nh D ca hm s v xột xem D cú l tp i xng hay khụng.

ã
Nu D l tp i xng thỡ so sỏnh f(x) vi f(x) (x bt kỡ thuc D).
+ Nu f(x) = f(x),
"
x
ẻ

D thỡ f l hm s chn.
+ Nu f(x) = f(x),
"
x
ẻ
D thỡ f l hm s l.
Chỳ ý: + Tp i xng l tp tho món iu kin: Vi
"
x
ẻ
D thỡ x
ẻ
D.
+ Nu
$
x
ẻ
D m f(x)
ạ


f(x) thỡ f l hm s khụng chn khụng l.

VN 3. S bin thiờn ca hm s
Cho hm s f xỏc nh trờn K.

ã
y = f(x) ng bin trờn K

x x K x x f x f x
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )
" ẻ < ị <




f x f x
x x K x x
x x
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
, : 0
-
" ẻ ạ ị >
-


ã
y = f(x) nghch bin trờn K


x x K x x f x f x
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )
" ẻ < ị >

f x f x
x x K x x
x x
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
, : 0
-
" ẻ ạ ị <
-

VN 4. Hm s bc nht
1. Hm s bc nht y = ax + b (a
ạ
0)
ã Tp xỏc nh: D = R.
ã S bin thiờn: + Khi a > 0, hm s ng bin trờn R.
+ Khi a < 0, hm s nghch bin trờn R.
ã th l ng thng cú h s gúc bng a, ct trc tung ti im B(0; b).
Chỳ ý: Cho hai ng thng (d): y = ax + b v (d
Â
): y = a
Â
x + b
Â
:

+ (d) song song vi (d
Â
)

a = a
Â
v b
ạ
b
Â
.
+ (d) trựng vi (d
Â
)

a = a
Â
v b = b
Â
.
+ (d) ct (d
Â
)

a
ạ
a
Â
.
2. Hm s

y ax b
= +
(a ạ 0)

b
ax b khi x
a
y ax b
b
ax b khi x
a
( )
ỡ
+ -
ù
ù
= + =
ớ
ù
- + < -
ù
ợ

Chỳ ý: v th ca hm s
y ax b
= +
ta cú th v hai ng thng y = ax + b v y = ax b, ri xoỏ
i hai phn ng thng nm phớa di trc honh.

VN 5. Hm s bc hai

y ax bx c
2
= + +
(a
ạ
0)

ã Tp xỏc nh: D = R
ã S bin thiờn:

ã th l mt parabol cú nh
b
I
a a
;
2 4
D
ổ ử
- -
ỗ ữ
ố ứ
, nhn ng thng
b
x
a
2
= -
lm trc i xng, hng b
lừm lờn trờn khi a > 0, xuụng di khi a < 0.
MATHVN.COM | www.mathvn.com

www.MATHVN.com 3
Chỳ ý: v ng parabol ta cú th thc hin cỏc bc nh sau:
Xỏc nh to nh
b
I
a a
;
2 4
D
ổ ử
- -
ỗ ữ
ố ứ
.
Xỏc nh trc i xng
b
x
a
2
= -
v hng b lừm ca parabol.
Xỏc nh mt s im c th ca parabol (chng hn, giao im ca parabol vi cỏc trc to v cỏc
im i xng vi chỳng qua trc trc i xng).
Cn c vo tớnh i xng, b lừm v hỡnh dỏng parabol v parabol.


Bi 1: Tỡm tp xỏc nh ca cỏc hm s sau:
1)
2
3

+
-
=
x
x
y 2) y =
12-3x
3)
4
3
-
-
=
x
x
y
4)
xx
x
y

=
3)1(
5)
= + + -
2 7
y x x
6) y =
5
2

3 10
x
x x
-
- -

Bài 2. Tỡm a hm s xỏc nh trờn tp K ó ch ra:
1)
y x a x a
2 1
= - + - -
; K = (0; +Ơ). 2)
x a
y x a
x a
2 3 4
1
-
= - + +
+ -
; K = (0; +Ơ).
3)
x a
y
x a
2
1
+
=
- +

; K = (1; 0). 4) y x a
x a
1
2 6
= + - + +
-
; K = (1; 0).
Bi 3: Xột tớnh chn, l ca hm s :
1) y = 4x
3
+ 3x 2) y = x
4
- 3x
2
- 1 3)
4
2 5
y x x
= - +

Bài 4. Xét tính đồng biến; nghịch biến của hàm số:
1) y
x
4
1
=
+
2)
(
)

+Ơẻ= ;0; xxxy 3)
( )
+Ơẻ
-
= ;2;
2
3
x
x
y
Bi 5: Kho sỏt s bin thiờn v v th cỏc hm s sau:
a) y = 3x-2 b) y -2x + 5 c) y =
2 5
3
x
-

Bi 6: Xỏc nh a, b th hm s y = ax + b :
a) i qua hai im A(0;1) v B(2;-3)
b/ i qua C(4, -3) v song song vi t y = -
3
2
x + 1
c/ i qua D(1, 2) v cú h s gúc bng 2
d/ i qua E(4, 2) v vuụng gúc vi t y = -
2
1
x + 5
Bi 7: Xột s bin thiờn v v th cỏc hm s sau :

2
a/ y = x - 4x+3
b/ y = -x
2
x + 2 c/ y = -x
2
+ 2x - 3 d) y = x
2
+ 2x
e/ y = x
2
+ 3x + 4 f/ y = 2x
2
x 1 g/ y = - x
2
+ 4x + 5 h/ y = -x
2
+ 4x
Bi 8: Tỡm ta giao im cỏc ca cỏc th hm s sau:
1/ 1
-
=
xy và 12
2
= xxy (KQ: (3;2), (0;-1))
2/ 3
+
-
=
xy và 14

2
+ = xxy (KQ: (-1;4), (-2;5))
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.MATHVN.com 4
3/ 52
-
=
xy và 44
2
+-= xxy (KQ: Tiếp xúc tại (3;1))
Bài 9: Xác định parabol y= ax
2
+ bx+1 biết parabol đó:
a) Qua A(1;2) và B(-2;11)
b) Có đỉnh I(1;0)
c) Qua M(1;6) và có trục đối xứng có phương trình là x=-2
d) Qua N(1;4) có tung độ đỉnh là 0.
Bài 10: Tìm Parabol y = ax
2
- 4x + c, biết rằng Parabol đó:
a/ Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(2; 3)
b/ Có đỉnh I(-2; -2)
c/ Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2; 1)
d/ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm (3; 0)
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( Dành cho tự luận)
VẤN ĐỀ 1. Khái niệm phương trình
1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
· x
0
là một nghiệm của (1) nếu "f(x

0
) = g(x
0
)" là một mệnh đề đúng.
· Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
· Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:
+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức
P x
1
( )
thì cần điều kiện P(x)
¹
0.
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức
P x
( )
thì cần điều kiện P(x)
³
0.
+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x).
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Cho hai phương trình f
1
(x) = g
1
(x) (1) có tập nghiệm S1
và f
2

(x) = g
2
(x) (2) có tập nghiệm S
2
.
· (1) Û (2) khi và chỉ khi S
1
= S
2
.
· (1) Þ (2) khi và chỉ khi S
1
Ì S
2
.
3. Phép biến đổi tương đương
· Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương
trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:
– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.
– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
· Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải
kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/
- + = + -
3 1 3
x x x 2/
2 2 1
x x
- = - +

3/
1 2 1
x x x
- = -
4/
2
3 5 7 3 14
x x x
+ - = +

5/
4 2
x
+ =
6/ 1x - (x
2
- x - 6) = 0

+
=
2
3x 1 4
7/
x-1 x-1

+ +
=
2
x 3 4

8/ x+4
x+4
x

Bài 2: Giải các phương trình sau :
1/
-
- + =
- -
2 2 2
1
2 2
x
x
x x
2/ 1 +
3
x
1
-
=
3
x
x27
-
-
3/
2 1 2
2 ( 2)
x

x x x x
-
- =
+ -

MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.MATHVN.com 5
4/
- - =
4 2
8 9 0
x x
5/
2
2
10
2
x x
x
+ -
=
+
6/
3 2 0
x x
- + =

VẤN ĐỀ 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.

– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
· Dạng 1:
f x g x
( ) ( )
=
C
f x
f x g x
f x
f x g x
1
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
é
ì
³
í
ê
=
î
Û
ê
ì
<
ê
í
ê

- =
î
ë

C
g x
f x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
ì
³
ï
Û
é
=
í
ê
ï
= -
ë
î

· Dạng 2:
f x g x
( ) ( )
=

[ ] [ ]
C
f x g x
1
2 2
( ) ( )
Û =

C
f x g x
f x g x
2
( ) ( )
( ) ( )
é
=
Û
ê
= -
ë

· Dạng 3:
a f x b g x h x
( ) ( ) ( )
+ =

Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.

VẤN ĐỀ 3. Phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:

– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định.
Dạng 1:
f x g x
( ) ( )
=
Û
[ ]
f x g x
g x
2
( ) ( )
( ) 0
ì
ï
=
í
³
ï
î

Dạng 2:
f x g x
f x g x
f x hay g x
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0 ( ( ) 0)
ì

=
= Û
í
³ ³
î

Dạng 3:
af x b f x c
( ) ( ) 0
+ + =
Û
t f x t
at bt c
2
( ), 0
0
ì
ï
= ³
í
+ + =
ï
î

Bài 3: Giải các phương trình sau :
1/
2 1 3
x x
+ = -
2/ |2x - 2| = x

2
- 5x + 6 3/ |x + 3| = 2x + 1
4/ |x - 2| = 3x
2
- x - 2 5/ x - 5x2 - = 4 6/
2 4 1
- = -
x x

7/
2 5 3 2
x x
+ = -
8/
2
7 10 3 1
x x x
- + = -
9/
3 2 2 2
- = - +
x x
10/
2
3 1 7 2
x x x
- - + =
11/
2 2
9 3

x x x x
+ - - = +
12/ 1x9x3
2
+- = x - 2
13/ 1x9x3
2
+- = x - 2 14/ x - 5x2 - = 4
VẤN ĐỀ 4. Phương trình bậc nhất
ax + b = 0 (1)
Hệ số Kết luận
a
¹
0
(1) có nghiệm duy nhất
b
x
a
= -

a = 0
b
¹
0
(1) vô nghiệm
b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x

MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.MATHVN.com 6
Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :

1/ 2mx + 3 = m - x 2/ (m - 1)(x + 2) + 1 = m
2
3/ (m
2
+ m)x = m
2
- 1
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau :
a.
2 3 5
3 3
x y
x y
+ =
ì
í
+ = -
î
b.
2 3
4 2 6
x y
x y
- + =
ì
í
- = -
î
c.
2 3

2 4 1
x y
x y
+ = -
ì
í
- - =
î
d.
7 4
41
3 3
3 5
11
5 2
ì
+ =
ï
ï
í
ï
- = -
ï
î
x y
x y

VẤN ĐỀ 5. Phương trình bậc hai
1. Cách giải

Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x =
c
a
.
– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x =
c
a
-
.
– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với
b
b
2
¢
=
.
2. Định lí Vi–et
Hai số
x x
1 2
,
là các nghiệm của phương trình bậc hai
ax bx c
2
0
+ + =
khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ
thức
b
S x x

a
1 2
= + = -
và
c
P x x
a
1 2
= =
.

Bài 6: Cho phương trình x
2
- 2(m - 1)x + m
2
- 3m = 0. Định m để phương trình:
a/ Có hai nghiệm phân biệt b/ Có hai nghiệm
c/ Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
d/ Có một nghiệm bằng -1 tính nghiệm còn lại
e/ Có hai nghiệm thoả 3(x
1
+x
2
)=- 4 x
1
x
2
f/ Có hai nghiệm thoả x
1
=3x

2

Bài 7: Cho pt x
2
+ (m - 1)x + m + 2 = 0
a/ Giải phương trình với m = -8
b/ Tìm m để pt có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó
c/ Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu
d/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x
1
2
+ x
2
2
= 9




ax
2
+ bx + c = 0 (a ¹ 0) (1)
b ac
2
4
D
= -
Kết luận
D
> 0

(1) có 2 nghiệm phân biệt
b
x
a
1,2
2
D
- ±
=
D
= 0 (1) có nghiệm kép
b
x
a
2
= -
D
< 0
(1) vô nghiệm

MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.MATHVN.com 7
PHẦN II: HÌNH HỌC
CHƯƠNG I. VÉC TƠ (Dành cho trắc nghiệm và tự luận)
I/ KHÁI NIỆM VÉC TƠ .
1. Các định nghĩa
· Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là
AB
uuur
.

· Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
· Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu
AB
uuur
.
· Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu
0
r
.
· Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
· Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
· Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu
a b
, ,
r
r
để biểu diễn vectơ.
+ Qui ước: Vectơ
0
r
cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
Mọi vectơ
0
r
đều bằng nhau.
2. Các phép toán trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ
· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:
AB BC AC

+ =
uuur uuur uuur
.
· Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:
AB AD AC
+ =
uuur uuur uuur
.
· Tính chất:
a b b a
+ = +
r r
r r
;
(
)
(
)
a b c a b c
+ + = + +
r r
r r r r
;
a a
0
+ =
r
r r

b) Hiệu của hai vectơ

· Vectơ đối của
a
r
là vectơ
b
r
sao cho
a b
0
+ =
r r
r
. Kí hiệu vectơ đối của
a
r
là
a
-
r
.
· Vectơ đối của
0
r
là
0
r
.
·
(
)

a b a b
- = + -
r r
r r
.
· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có:
OB OA AB
- =
uuur uuur uuur
.
c) Tích của một vectơ với một số
· Cho vectơ
a
r
và số k
Î
R.
ka
r
là một vectơ được xác định như sau:
+
ka
r
cùng hướng với
a
r
nếu k
³
0,
ka

r
ngược hướng với
a
r
nếu k < 0.
+
ka k a
.
=
r r
.
· Tính chất:
(
)
k a b ka kb
+ = +
r r
r r
;
k l a ka la
( )
+ = +
r r r
;
(
)
k la kl a
( )
=
r r

ka
0
=
r
r
Û k = 0 hoặc
a
0
=
r
r
.
· Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
(
)
a vaø b a cuøng phöông k R b ka
0 :
¹ Û $ Î =
r r r
r r r

· Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng Û $k
¹
0:
AB kAC
=
uuur uuur
.

· Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương
a b
,
r
r
và
x
r
tuỳ ý.
Khi đó $! m, n
Î
R:
x ma nb
= +
r
r r
.
Chú ý:
· Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û
MA MB
0
+ =
uuur uuur
r
Û
OA OB OM
2+ =
uuur uuur uuur
(O tuỳ ý).

· Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm DABC Û
GA GB GC
0
+ + =
uuur uuur uuur
r
Û
OA OB OC OG
3+ + =
uuur uuur uuur uuur
(O tuỳ ý).
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.MATHVN.com 8
II/ TA
1. Trc to
ã Trc to (trc) l mt ng thng trờn ú ó xỏc nh mt im gc O v mt vect n v
e
r
. Kớ hiu
(
)
O e
;
r
.
ã To ca vect trờn trc:
u a u a e
( ) .
= =

r r r
.
ã To ca im trờn trc:
M k OM ke
( ) .
=
uuur
r
.
ã di i s ca vect trờn trc:
AB a AB a e
.
= =
uuur
r
.
Chỳ ý: + Nu
AB cuứng hửụựng vụựi e
uuur
r
thỡ
AB AB
=
.
Nu
AB ngửụùc hửụựng vụựi e
uuur
r
thỡ
AB AB

= -
.
+ Nu A(a), B(b) thỡ
AB b a
= -
.
+ H thc Sal: Vi A, B, C tu ý trờn trc, ta cú:
AB BC AC
+ =
.
2. H trc to
ã H gm hai trc to Ox, Oy vuụng gúc vi nhau. Vect n v trờn Ox, Oy ln lt l
i j
,
r r
. O l gc to ,
Ox l trc honh, Oy l trc tung.
ã To ca vect i vi h trc to :
u x y u x i y j
( ; ) . .
= = +
r r
r r
.
ã To ca im i vi h trc to :
M x y OM x i y j
( ; ) . .
= +
uuur
r r

.
ã Tớnh cht: Cho
a x y b x y k R
( ; ), ( ; ),
 Â
= = ẻ
r
r
,
A A B B C C
A x y B x y C x y
( ; ), ( ; ), ( ; )
:
+
x x
a b
y y
ỡ
Â
ù
=
=
ớ
Â
=
ù
ợ
r
r
+

a b x x y y
( ; )
 Â
=
r
r
+
ka kx ky
( ; )
=
r

+
b
r
cựng phng vi
a
0
ạ
r
r
$k
ẻ
R:
x kx vaứ y ky
 Â
= =
.

x y

x y
 Â
=
(nu x
ạ
0, y
ạ
0).
+
B A B A
AB x x y y
( ; )
= - -
uuur
.
+ To trung im I ca on thng AB:
A B A B
I I
x x y y
x y;
2 2
+ +
= =
.
+ To trng tõm G ca tam giỏc ABC:
A B C A B C
G G
x x x y y y
x y;
3 3

+ + + +
= =
.
+ To im M chia on AB theo t s k
ạ
1:
A B A B
M M
x kx y ky
x y
k k
;
1 1
- -
= =
- -
.
( M chia on AB theo t s k
MA kMB
=
uuur uuur
).


Bi 1: Cho 6 im phõn bit A, B, C, D, E, F chng minh :

)
a AB DC AC DB
+ = +
uur uuur uuur uur

)
b AB ED AD EB
+ = +
uur uur uuur uur


)
c AB CD AC BD
- = -
uur uur uuur uur

)
d AD CE DC AB EB
+ + = -
uuur uur uuur uur uur


) AC+ DE - DC - CE + CB = AB
uuur uuur uuur uur uuur uuur
e ) + + = + + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
f AD BE CF AE BF CD AF BD CE

Bi 2: Cho tam giỏc MNP cú MQ l trung tuyn ca tam giỏc . Gi R L trung im ca MQ. Cmr

) 2 0
a RM RN RP
+ + =
uuur uuur uur r

+ + = "
uuur uuur uur uur
) 2 4 , bất kì
b ON OM OP OR O

c) Dng im S sao cho t giỏc MNPS l hỡnh bỡnh hnh. Chng t rng
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.MATHVN.com 9

2
MS MN PM MP
+ - =
uuur uuur uuur uuur

d)Vi im O tựy ý, hóy chng minh rng:
ON OS OM OP
+ = +
uuur uuur uuuur uuur
;

4
ON OM OP OS OI
+ + + =
uuur uuuur uuur uuur uur

Bi 3:.Cho 4 im bt kỡ A,B,C,D v M,N ln lt l trung im ca on thng AB,CD.Chng minh rng:

a)
2

CA DB CB DA MN
+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuuur
b)
4
AD BD AC BC MN
+ + + =
uuur uuur uuur uuur uuuur

c) Gi I l trung im ca BC.Chng minh rng:2( ) 3+ + + =
uur uur uur uur uur
AB AI NA DA DB

Bi 4:. Cho tam giỏc MNP cú MQ ,NS,PI ln lt l trung tuyn ca tam giỏc. Chng minh rng:

) 0
+ + =
uuur uur uur r
a MQ NS PI

b) Chng minh rng hai tam giỏc MNP v tam giỏc SQI cú cựng trng tõm .
c) Gi M L im i xng vi M qua N , N L im i xng vi N qua P , P L im
i xng vi P qua M. Chng minh rng vi mi im O bt kỡ ta luụn cú:

' ' '
+ + = + +
uuur uuuur uuur
uuur uuur uur
ON OM OP ON OM OP

Bi 5: Gi G v
G
Â
ln lt l trng tõm ca tam giỏc ABC v tam giỏc
A B C
  Â
.
Chng minh rng 3
AA BB CC GG
   Â
+ + =
uuur uuur uuuur uuuur

Bi 6: Cho tam giỏc ABC , gi M l trung im ca AB, N l mt im trờn AC sao cho NC=2NA,
gi K l trung im ca MN

1 1
) CMR: AK= AB + AC
4 6
a
uuur uuur uuur

1 1
b) KD= AB + AC
4 3
uuur uuuur uuur
Gọi D là trung điểm của BC, chứng minh :
Bi 7: a) Cho MK v NQ l trung tuyn ca tam giỏc MNP.Hóy phõn tớch cỏc vộct , ,
uuur uur uuur
MN NP PM

theo hai vộct
u MK
=
r uuuur
, =
r uuur
v NQ

b) Trờn ng thng NP ca tam giỏc MNP ly mt im S sao cho
3
SN SP
=
uuur uur
. Hóy phõn
tớch vộct
MS
uuur
theo hai vộct
u MN
=
r uuuur
,
v MP
=
r uuur

c) Gi G l trng tõm ca tam giỏc MNP .Gi I l trung im ca on thng MG v H l
im trờn cnh MN sao cho MH =
1

5
MN
.Hóy phõn tớch cỏc vộct , , ,
uur uuur uur uuur
MI MH PI PH
theo hai vộct
u PM
=
r uuuur
,
v PN
=
r uuur

Bi 8: Cho 3 im A(1,2), B(-2, 6), C(4, 4)
a) Chng minh A, B,C khụng thng hng
b) Tỡm to trung im I ca on AB
c) Tỡm to trng tõm G ca tam giỏc ABC
d) Tỡm to im D sao cho t giỏc ABCD l hỡnh Bỡnh hnh
e) Tỡm to im N sao cho B l trung im ca on AN
f) Tỡm to cỏc iờm H, Q, K sao cho C l trng tõm ca tam giỏc ABH, B l trng tõm ca tam
giỏc ACQ, A l trng tõm ca tam giỏc BCK.
g) Tỡm to im T sao cho 2 im A v T i xng nhau qua B, qua C.
h) 3 ; 2 5T ì m toạ độ điểm U sao cho = = -
uuur uuur uuur uuur
AB BU AC BU

k) , theo 2 ; theo 2 AB
uuur uuur uuur uuur uuur
Hãy phân tich vec tơ AU và CB vectơ AC và C

N

Bi 9: Cho tam giỏc ABC cú M(1,4), N(3,0); P(-1,1) ln lt l trung im ca cỏc cnh: BC, CA,
AB. Tỡm to A, B, C.
Bi 10: Trong mt phng ta Oxy.Chng minh rng cỏc im:
a) A(1;1), B(-1; 7), C(0; 4) thng hng.
b) M(-1; 1), N(1; 3), P(-2; 0) thng hng.
c) Q(-1; 1), R(0; 3), S(-4; 5) khụng thng hng.
Bi 11: Trong h trc ta cho hai im A(2; 1) v B(6; -1) Tỡm ta :
a) im M thuc Ox sao cho A,B,M thng hng.
b) im N thuc Oy sao cho A,B,N thng hng.
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.MATHVN.com 10
O x
y
M
x
y
1
-1
O
A
B
a
r
b
r
a
r
b

r

CHƯƠNG II. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG

I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC BẤT KỲ TỪ 0
O
ĐẾN 180
O

1. Định nghĩa
Lấy M trên nửa đường tròn đơn vò tâm O. Xét góc nhọn a =
·
xOM
. Giả sử M(x; y).
sin
a
= y (tung độ)
cos
a
= x (hoành độ)
tan
a
=
y tungđộ
x hoànhđộ
ỉ ư
ç ÷
è ø
(x
¹

0)
cot
a
=
x hoànhđộ
y tungđộ
ỉ ư
ç ÷
è ø
(y
¹
0)
Chú ý: – Nếu
a
tù thì cos
a
< 0, tan
a
< 0, cot
a
< 0.
– tan
a
chỉ xác định khi
a

¹
90
0
, cot

a
chỉ xác định khi
a

¹
0
0
và
a

¹
180
0
.
2. Tính chất
· Góc phụ nhau · Góc bù nhau

0
0
0
0
sin(90 ) cos
cos(90 ) sin
tan(90 ) cot
cot(90 ) tan
a a
a a
a a
a a
- =

- =
- =
- =

0
0
0
0
sin(180 ) sin
cos(180 ) cos
tan(180 ) tan
cot(180 ) cot
a a
a a
a a
a a
- =
- = -
- = -
- = -

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt


II/ TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ
1. Góc giữa hai vectơ
Cho
a b
, 0
¹

r r
r
. Từ một điểm O bất kì vẽ
OA a OB b
,
= =
uuur uuur
r
r
.
Khi đó
(
)
·
a b AOB
, =
r
r
với 0
0
£
·
AOB
£ 180
0
.
Chú ý:
+
(
)

a b
,
r
r
= 90
0

Û

a b
^
r
r

+
(
)
a b
,
r
r
= 0
0

Û

a b
,
r
r

cùng hướng
+
(
)
a b
,
r
r
= 180
0

Û

a b
,
r
r
ngược hướng
+
(
)
(
)
a b b a
, ,
=
r r
r r

2. Tích vơ hướng của hai vectơ

· Định nghĩa:
(
)
a b a b a b
. . .cos ,
=
r r r
r r r
.
Đặc biệt:
a a a a
2
2
. = =
r r r r
.
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0

180
0

sin
a

0
1
2

2
2

3
2

1 0
cos
a

1
3
2

2
2

1
2
0 –1
tan
a

0
3
3

1
3

||
0
cot
a
||
3

1
3
3

0
||

MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.MATHVN.com 11
ã Tớnh cht: Vi
a b c
, ,
r
r r
bt kỡ v "k
ẻ

R, ta cú:
+
. .
a b b a
=
r r
r r
;
(
)
. .
a b c a b a c
+ = +
r r
r r r r r
;

(
)
(
)
(
)
. . .
ka b k a b a kb
= =
r r r
r r r
;
2 2

0; 0 0
a a a
= =
r
r r r
.
+
( )
2
2 2
2 .
a b a a b b
+ = + +
r r r
r r r
;
( )
2
2 2
2 .
a b a a b b
- = - +
r r r
r r r
;
(
)
(
)
2 2

a b a b a b
- = - +
r r r
r r r
.
+
.
a b
r
r
> 0


(
)
,
a b
r
r
nhoùn +
.
a b
r
r
< 0


(
)
,

a b
r
r
tuứ

.
a b
r
r
= 0


(
)
,
a b
r
r
vuoõng.
3. Biu thc to ca tớch vụ hng
ã Cho
a
r
= (a
1
, a
2
),
b
r

= (b
1
, b
2
). Khi ú:
a b a b a b
1 1 2 2
. = +
r
r
.
ã
a a a
2 2
1 2
= +
r
;
a b a b
a b
a a b b
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos( , )
.
+
=
+ +
r

r
;
a b a b a b
1 1 2 2
0
^ + =
r
r

ã Cho
A A B B
A x y B x y
( ; ), ( ; )
. Khi ú:
B A B A
AB x x y y
2 2
( ) ( )
= - + -
.


Bi tp
Baứi 1. Tớnh giỏ tr cỏc biu thc sau:
a) a b c
0 0 0
sin0 cos0 sin90
+ + b) a b c
0 0 0
cos90 sin90 sin180

+ +
c) a b c
2 0 2 0 2 0
sin90 cos90 cos180
+ + d)
2 0 2 0 2 0
3 sin 90 2cos 60 3tan 45
- + -
e) a a a
2 2 0 0 2 0 2
4 sin 45 3( tan45 ) (2 cos45 )
- +
Baứi 2. Tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc sau:
a)
x x
sin cos
+
khi x bng 0
0
; 45
0
; 60
0
. b)
x x
2sin cos2
+
khi x bng 45
0
; 30

0
.
Baứi 3. Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AB = a, BC = 2a. Tớnh cỏc tớch vụ hng:
a)
AB AC
.
uuur uuur
b)
AC CB
.
uuur uuur
c)
AB BC
.
uuur uuur

Baứi 4. Cho tam giỏc ABC u cnh bng a. Tớnh cỏc tớch vụ hng:
a)
AB AC
.
uuur uuur
b)
AC CB
.
uuur uuur
c)
AB BC
.
uuur uuur

Baứi 5. Cho bn im A, B, C, D bt kỡ.
a) Chng minh: DABC DBCA DC AB
. . . 0
+ + =
uuur uuur uuur uur uuur uuur
.
b) T ú suy ra mt cỏch chng minh nh lớ: "Ba ng cao trong tam giỏc ng qui".
Baứi 6. Cho tam giỏc ABC vi ba trung tuyn AD, BE, CF. Chng minh:
BC AD CABE ABCF
. . . 0
+ + =
uuur uuur uur uuur uuur uuur
.
Baứi 7. Cho tam giỏc ABC cú A(1; 1), B(5; 3), C(2; 0).
a) Tớnh chu vi v nhn dng tam giỏc ABC.
b) Tỡm to im M bit
CM AB AC
2 3= -
uuur uuur uuur
.
c) Tỡm tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
Baứi 8. Cho tam giỏc ABC cú A(1; 2), B(2; 6), C(9; 8).
a) Tớnh
AB AC
.
uuur uuur
. Chng minh tam giỏc ABC vuụng ti A.
b) Tỡm tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
c) Tỡm to trc tõm H v trng tõm G ca tam giỏc ABC.
d) Tớnh chu vi, din tớch tam giỏc ABC.

e) Tỡm to im M trờn Oy B, M, A thng hng.
f) Tỡm to im N trờn Ox tam giỏc ANC cõn ti N.
g) Tỡm to im D ABDC l hỡnh ch nht.
h) Tỡm to im K trờn Ox AOKB l hỡnh thang ỏy AO.

MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.MATHVN.com 12


Bổ sung bài tập nâng cao:
(Học sinh ban cơ bản có thể làm)
Bài1: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x
2
- 4x + 3.
a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị ( P ) của hàm số.
b) Tìm giao điểm của (P) với đường thẳng d: y = x - 1.
Bài 2: Cho parabol (P):y = ax
2
+ 2x + c
a)Tìm parabol (P) biết rằng (P) cắt trục tung tại tung độ y = 2 và qua điểm A(-1;-1)
b)Vẽ parabol (P) vừa tìm được ở câu a).
Bài 3: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x
2
+ bx + c.
a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số khi a = 4, b = 3
b) Xác định b; c để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x = 1.
Bài 4: Cho parabol (P): y = ax
2
+ bx + c (
0

a
¹
).
a) Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(0;3) và có đỉnh S(2; -1).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a.
Bài 5: Cho parabol (P): y = ax
2
+ bx + c (
0
a
¹
).
a) Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(1; 2) và có đỉnh S(2; 3).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a.
Bài 6: a) Giải và biện luận theo m phương trình:
2 4
2
1
mx m
x
- +
=
+

b) Giải và biện luận theo a phương trình:
4 2
3
5
a
a

x
-
= +
-

c)
(
)
2 1 2
1
2
m x
m
x
- +
= +
-

d) Giải và biện luận các phương trình:
1)
1 2 3
mx x m
+ = - -
2)
2
2
1 ( 1)
1 1 1
mx m m x
x x x

- +
+ =
- + -
3)4)
2
( 1) (3 2)
m x m x m
- + = -

Bài 7: Giải và biện luận phương trình:
2
( 1) 7 12 0
m x x
- + - =

Bài 8: Cho phương trình
(
)
(
)
2
1 3 1 2 2 0
m x m x m
+ + - + - =
. Xác định m để phương trình có hai
nghiệm
1 2
,
x x
thỏa

1 2
3
x x
+ =
. Tính các nghiệm tron trường hợp đó.
Bài 9: Cho phương trình
(
)
2
2 1 1 0
kx k x k
- + + + =

a) Tìm các giá trị của k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương
b) Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn một và một nghiệm nhỏ
hơn 1.
Bài 10: Cho phương trình bậc hai
(
)
2 2
2 3 2 0
x m x m m
+ - + - =

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 3? Tìm các
nghiệm trong trường hợp đó.
c) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm
1 2
,

x x
thỏa
1 2
12
5
x x+ =

Bài 10: a) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:
( 1) ( 1)
(3 ) 3 2
m x m y m
m x y
- + + =
ì
í
- + =
î

b) Giải và biện luận hệ phương trình:
1)
1
2
mx y m
x my
+ = +
ì
í
+ =
î
2)

1
3 2 3
x my
mx my m
+ =
ì
í
- = +
î
3)
( 1) ( 1)
(3 ) 3 2
m x m y m
m x y
- + + =
ì
í
- + =
î

MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.MATHVN.com 13
Bài 11: Giải phương trình:
a)
4 1 1
x
+ =
b)
2 5 4
x x

- - =

c)
5 3 2
x x
+ - - =
d)
2 2
3 15 2 5 1 2
x x x x
+ + + + =

Bài 12: Giải phương trình:
a) 2 6 2
x x
+ = -
b)
2
2 5 5 1
x x x
+ = + +
c) 3 4 2
x x
+ = -
d)
2
2 4 1 2
x x x
- + = - -

Bài 13: Giải hệ phương trình:
a)
2 2
2 5
2 2 5
x y
x y xy
+ =
ì
í
+ - =
î
b)
2 2
2 2 5
2 7
x y xy
x y
ì
+ - =
í
+ =
î
c)
2 2
5
8
xy x y
x y x y
+ + =

ì
í
+ + + =
î
d)
2 2
4
13
x y
x y xy
+ =
ì
í
+ + =
î

Bài 14: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
4 3
x x m
- + =

Bài 15: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình:
2
1
2 6 1
2
x x m
+ - = -

Bài 16: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình:
2
4 3 1
x x m
- + - = +

Bài 17: Biện luận số giao điểm của hai parapol
2
2 3
y x x
= - - +
và
2
y x m
= -

Bài 18: Không giải phương trình, hãy xét xem phương trình trùng phương sau đây có bao nhiêu
nghiệm:
4 2
8 12 0
x x
+ + =

Bài 19: Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(3; -1); B( 2; 4 ); C( 5; 3).
a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của môt tam giác.
b) Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
c) Tìm tọa độ của M sao cho C là trọng tâm của tam giác ABM
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho tam giác ABN vuông cân ở N.
Bài 20: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(-3; 4); B(1; 2)
a) Tính cosin của góc OAB.

b) Tìm điểm M trên Ox sao cho AM = BM
c) Tìm điểm C sao cho O
2 3 0
OA OB OC
+ + =
uuur uuur uuur r
.
Bài 21: Trong hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8).
a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành, tìm tọa độ tâm của hình bình hành ABCD.
b) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính đường tròn đó.
d) Tìm tọa đô chân đường cao A1 kẻ từ A, chân đường phân giác trong của góc A.
Bài 22: Trong hệ tọa độ Oxy cho A(- 4; 1), B(2; 4), C(2;- 2)
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, tính chu vi tam giác ABC.
b) Tính cos
·
ABC
?
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho:
2 3 0
MA MB MC
+ - =
uuur uuur uuuur r
.
Bài 23: Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a
1. Dựng vectơ
3 4
OA OB
+
uuur uuur

.
2. Tính độ dài vetơ vừa mới dựng.
Bài 24:
a) Cho tanx = -2. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x.
b) Cho sinx = 1/4 . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x.
c) Cho
tan 5
x = . Tính giá trị của biểu thức
5sin -3cos
sin cos
x x
A
x x
=
+

Bài 25: Chứng minh các đẳng thức sau

( ) ( )
2 2
sin cos
) sin cos
cos 1 tan sin 1 cot
cos sin 1
) tan cot
1 sin 1 cos sin cos
x x
a x x
x x x x
x x

b x x
x x x x
- = -
+ +
æ ö æ ö
+ + + =
ç ÷ ç ÷
+ +
è ø è ø

Bài 26: Cho tam giác ABC ,các điểm M(1; 0); N(2; 2); P(-1; 3) lần lượt là trung điểm của
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.MATHVN.com 14
các cạnh BC, CA, AB.
a) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác MNP.
b) Phân tích véctơ
(4; 3)
x
-
r
theo hai véctơ ,
MN MP
uuuur uuur
.
c) Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC và kiểm chứng hai tam giác ABC và tam giác
MNPcó cùng trọng tâm.
Bài 27: Cho tam giác ABC biết AB = 10, AC = 4 và
µ
0
A 60

=
a) Tính chu vi tam giác ABC
b) Kẻ đường cao AH. Tính độ dai AH và BH. Tính diện tích tam giác ABC
c) Tính tanC
d) Lấy D trên tia đối của tia AB sao cho AD = 6 và điểm E trên AC sao cho AE = x. Tìm x để
BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
Bài 28: Chứng minh
a)
4 4 3 3
ví i mä i , .
a b a b ab a b R
+ ³ + Î b)
1 1 1 8
a b c
b c a
æ öæ öæ ö
ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè ø
+ + + ³
với a, b, c > 0
c)
(
)
(
)
2
2 2 2
3 ví i mä i , , .
a b c a b c a b c R
+ + £ + + Î

d)
1 1 1
( )( )( ) 8
a b c
a b c
+ + + ³

, , 0
a b c
" >
. e) Cho a,b>0 chứng minh
2 2
(1 ) (1 ) 8
a b
b a
+ + + ³

Bài 29: Cho tam giác ABC, gọi P là điểm sao cho
0
PA PB
+ =
uuur uuur r
, K là một điểm trên cạnh AC sao
cho KA = 3KC và E là trung điểm của đoạn PK. Chứng minh đẳng thức
5
4
2
AE AB BC
= +
uuur uuur uuur

.
Bài 30:
a) Cho
1
3
cos -
x = . Tính sinx, tanx, cotx?
b) Cho cotx = 3, hãy tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc x?